4.2 MARGEN DE FASE Y DE GANANCIA MARGEN DE FASE:
Es la cantidad de atraso de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia gananc ia es la frecuencia en la cual
|G ( jω )|
es unitaria. El margen de fase
la magnitud de la función de transferencia en lazo abierto γ es de 180° más el ángulo ángulo de fase
ϕ de la función de
transferencia en lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia, o γ =180 ° + ϕ
A continuación, continuación, se ilustran el margen margen de fase de un sistema estable y de un sist sistem ema a ines inesta tabl ble e en diag diagra rama mas s de Bode Bode,, diag diagra rama mas s pola polarres y diagramas de magnitud logarítmica con respecto a la fase. A) Diagramas de Bode
B) Diagramas polares
C) Diagramas de longitud logarítmica con respecto a la fase
En el diagrama polar, se dibua una l!nea del origen al punto en el que el c!rculo cruza el lugar geom"trico
|G ( jω)|
. El ángulo del ee real negativo para esta l!nea es el margen
de fase. Este es positivo para
γ ≥ 0 # negativo para
γ < 0 . $on el fin de que un sistema
de fase m!nima sea estable, el margen de fase debe ser positivo. En los diagramas logar!tmicos, el punto cr!tico en el plano compleo corresponde a las l!neas 0 d% # &180°. MARGEN DE GANANCIA:
El margen de ganancia es el rec!proco de la magnitud
|G ( jω )|
en la frecuencia a la cual
el ángulo de fase es ' 180°. (i definimos la frecuencia de cruce de fase
ω 1 como la
frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es igual a ' 180°, se produce el margen de ganancia Kg: K g =
1
|G ( j ω1 )|
En t"rminos de decibeles) K g dB =20log k g=−20log|G ( jω1 )| El margen de ganancia e*presado en decibeles es positivo si +g es ma#or que la unidad # negativo si +g es menor que la unidad. or tanto, un margen de ganancia positivo significa que el sistema es estable # un margen de ganancia negativo quiere decir que el sistema es inestable -ambos en decibeles.
ara un sistema estable de fase m!nima, el margen de ganancia indica cuánto puede incrementarse la ganancia antes de que el sistema se vuelva inestable. ara un sistema inestable, el margen de ganancia indica cuánto debe disminuir la ganancia para que el sistema se vuelva estable. El margen de ganancia de un sistema de primer o segundo órdenes es infinito, dado que las trazas polares para tales sistemas no cruzan el ee real negativo. or tanto, los sistemas de primer # segundo orden en teor!a no pueden ser inestables. -(in embargo, observe que los denominados sistemas de primer # segundo orden son sólo apro*imaciones, en el sentido de que, al obtener las ecuaciones del sistema, no se consideran los peque/os atrasos de tiempo #, por tanto, no se trata, en verdad, de sistemas de primer o segundo orden. (i se consideran estos atrasos peque/os, los supuestos sistemas de primer o segundo orden se vuelven inestables. Los márgenes de fase # de ganancia de un sistema de control son una medida de la pro*imidad de la traza polar al punto &1 0. or tanto, pueden usarse como criterios de dise/o. ebe se/alarse que el puro margen de ganancia o el puro margen de fase no aportan un indicio suficiente de la estabilidad relativa. eben considerarse ambos en la determinación de la estabilidad relativa.
ara un sistema de fase m!nima, los márgenes de fase # de ganancia deben ser positivos a fin de que el sistema sea estable. Los márgenes negativos indican inestabilidad. Los márgenes adecuados de fase # de aumento nos aseguran contra las variaciones de los componentes del sistema # se especifican para valores de frecuencia definidos. Los dos valores delimitan el comportamiento del sistema en lazo cerrado cerca de la frecuencia de resonancia. ara obtener un desempe/o satisfactorio, el margen de fase debe estar entre 203 # 403, # el margen de ganancia debe ser ma#or que 4 d%. $on estos valores, un sistema de fase m!nima tiene una estabilidad garantizada, incluso si la ganancia en lazo abierto # las constantes de tiempo de los componentes var!an en cierto grado. 5unque los márgenes de fase # de ganancia solo proporcionan estimados globales del factor de amortiguamiento relativo efectivo del sistema en lazo cerrado, ofrecen un medio conveniente de dise/ar los sistemas de control o austar las constantes de ganancia de los sistemas. ara los sistemas de fase m!nima, las caracter!sticas de magnitud # de fase de la función de transferencia en lazo abierto se relacionan en forma estrec6a. El requerimiento de que el margen de fase est" entre 203 # 403 significa que, en las trazas de %ode, la pendiente de la curva de magnitud logar!tmica en la frecuencia de cruce de ganancia debe ser más gradual
que &70 d%d"cada. En la ma#or parte de los casos prácticos, es conveniente para la estabilidad una pendiente de &90 d%d"cada en la frecuencia de cruce de ganancia. (i es de &70 d%d"cada, el sistema puede ser estable o inestable. -(in embargo, incluso si el sistema es estable, el margen de fase es peque/o. (i la pendiente de la frecuencia de cruce de ganancia tiene una pendiente de &40 d%d"cada o ma#or, es mu# probable que el sistema sea inestable. Ejemplo: :$uál es el margen de fase para un sistema que tiene la siguiente función de
transferencia de lazo cerrado; Go ( jω )=
9 s ( s +3)
−9 ω − j 27 ω Go ( jω )= = ω ∨ j 3 ω ω +9ω 9
2
4
2
or lo tanto, la magnitud es)
|
9
Go ( jω )=
√ ω + 9 ω 4
|
2
= la fase) −1
ϕ = tan
( ) 3 ω
El margen de fase es el ángulo de fase mas corto a partir de 180° cuando la magnitud es 1. 5s!) 1= ω
4
9
√ ω + 9 ω 4
2
2
+ 9 ω −81=0
(i se usa la e*presión para las ra!ces entonces de una ecuación cuadrática # considerando 2
ω
2
ω
como la ra!z, entonces 9 81 324 −− √ + 2
= puesto que sólo interesan los valores positivos de ω=
2.36 rad
s −1
ϕ = tan
ω , se tiene que
. El ángulo de fase para esta magnitud es, por lo tanto
( )= 3 2.36
ω se tiene que
51.8 °
uesto que tanto la parte real como la imaginaria de
Go ( jω) son negativas, este ángulo
es relativo a &180° #, de esta forma, es el margen de fase.
