3esomapi Gd Esu13

GUÍA DIDÁCTICA

UNIDAD

13

Figuras y cuerpos geo geométricos métricos 3

O S E

CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Su Suge gerrenc encias ias di didác dáctic ticas as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de ref refuerzo uerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

*También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad

13

Figuras y cuerpos geométricos

El tema se centra en el estudio de los cuerpos geométricos: poliedros y cuerpos redondos, aunque también se introducen algunos conceptos que no se han tratado en cursos anteriores, como, por ejemplo, las curvas cónicas y las coordenadas y sistemas de representación geográficos. Es fundamental que los alumnos reconozcan los poliedros y cuerpos redondos, describan sus propiedades y relaciones, y sepan clasificarlos y construirlos. También es importante que identifiquen los cuerpos geométricos por su desarrollo plano, como paso previo para el cálculo de áreas. Además, deben apreciar la importancia de la geometría esférica y lo útil que es en geografía para localizar lugares, calcular distancias o identificar distintas zonas horarias.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS

1.

2.

Reconocer y describir los elementos y propiedades métricas de cuerpos elementales y sus configuraciones geométricas.

Reconocer los cuerpos redondos indicando su desarrollo plano y propiedades.2. Obtener las medidas de longitudes, áreas y volúmenes de los cuerpos elementales en un contexto de resolución de problemas geométricos, utilizando el teorema de Pitágoras y fórmulas elementales.

1.1

Identificar y distinguir los poliedros, clasificándolos e indicando sus elementos, desarrollo plano y propiedades.

1.2

Obtener la figura transformada de una dada mediante una transformación geométrica.

2.1

Calcular longitudes, áreas y volúmenes de distintos cuerpos geométricos.

2.2

Aplicar el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos a la resolución de problemas.

3.

Conocer nuevos lugares geométricos planos o no definidos en el espacio.

3.1

Distinguir entre sí las curvas cónicas y la superficie esférica.

4.

Identificar y utilizar los sistemas de coordenadas geográficas.

4.1

Calcular distancias entre dos puntos de la superficie terrestre conociendo sus coordenadas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Poliedros. Elementos. Fórmula de Euler. • Poliedros regulares. • Prismas y pirámides. Propiedades métricas. • Cuerpos redondos. Elementos, simetría. • Las cónicas. • Áreas de poliedros y cuerpos redondos. • Desarrollos planos. • Volumen de poliedros y cuerpos redondos. • Esfera. Superficie esférica. • Elementos, área y volumen de la esfera. • Semiesfera. Casquete esférico. • Zonas y huso esférico. • Coordenadas geográficas: latitud y longitud. • Mapas: proyecciones cilíndrica, cónica y central. • Clasificación y descripción de poliedros. 2

Unidad 13


• Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular longitudes en el espacio. • Descripción del desarrollo de los diferentes cuerpos redondos: cilindro, esfera, cono y tronco de cono. • Reconocimiento y distinción entre las distintas cónicas. • Cálculo de áreas y volúmenes de prismas, pirámides y cuerpos redondos y aplicación a la resolución de problemas geométricos. • Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos compuestos. • Cálculo de distancias entre dos puntos de la geografía terrestre. • Interés por la investigación sobre la forma de objetos. • Flexibilidad para aceptar diferentes formas de resolver un problema geométrico. • Interés por la aportación de la geometría a otras ciencias, en especial a la arquitectura, el arte y la geografía.

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1.

Conocimientos previos

Muchos de los conceptos, especialmente los referidos a poliedros y a cuerpos redondos, ya se han trabajado en cursos anteriores. También debe recordarse la idea de lugar geométrico estudiada en el tema 11. Sería interesante preguntar al profesor de Ciencias Sociales cuándo y con qué profundidad han estudiado los alumnos el tema de las coordenadas geográficas, para aprovechar de esta forma esos posibles conocimientos previos. 2.

Previsión de dificultades

En este tema, las dificultades tienen dos orígenes: problemas con el cálculo y la utilización de las numerosas fórmulas que aparecen en la unidad y conflictos con la visión espacial de las figuras y sus elementos. 3.

Vinculación con otras áreas

Existen multitud de problemas y situaciones de la vi da cotidiana y de otras materias en los que aparecen cuerpos geométricos, especialmente en materias como plástica o tecnología. Además, ya se ha señalado anteriormente la obvia relación de la parte de geografía terrestre con los contenidos de Ciencias Sociales. 4.

Esquema general de la unidad

La unidad comienza repasando conceptos ya conocidos por los alumnos: poliedros, prismas y cuerpos redonCUERPOS GEOMÉTRICOS dos; clasificación, propiedades y elementos. Después se introducen los conceptos de eje y plano de simetría Simetrías Cuerpos redondos Poliedros de un cuerpo geométrico. En el epígrafe siguiente se introducen las cónicas tanÁreas - Volúmenes to a partir de su generación como intersección de un Regulares Cilindro plano con una superficie cónica, como dando su definición como lugar geométrico en el plano. Prismas Cónicas Cono Los epígrafes 6 y 7 están dedicados a recordar las fórmulas de áreas y volúmenes de todos los cuerpos geométricos, salvo la esfera. Las medidas de la esfera, así Pirámides Esfera como sus propiedades, se estudian posteriormente, relacionándolas con la geometría terrestre. Para las áreas se recuerdan los desarrollos planos a fin de faciCoordenadas geográficas litar la deducción de las distintas expresiones. El epígrafe 8 se centra en el estudio de la geometría de la Mapas esfera, y el 9 muestra cómo calcular el volumen de cuerpos compuestos, descomponiéndolos siempre en cuerpos elementales de los que se puede calcular su área y volumen a través de las fórmulas conocidas. Para finalizar, la unidad se centra en el estudio de la geometría terrestre, relacionando por primera vez las coordenadas geográficas con las matemáticas, y mostrando cómo a través de estas se pueden calcular distancias en la superficie terrestre. El último epígrafe describe de forma cualitativa los diferentes sistemas de representación utilizados en cartografía. 5.

Temporalización

Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias. 2.ª Poliedros. Prismas y pirámides. Cuerpos redondos. Simetrías. 3.ª Cónicas. Áreas de cuerpos geométricos. 4.ª Volúmenes en cuerpos geométricos. La esfera. Cuerpos compuestos. 5.ª La Tierra. Coordenadas geográficas y sistemas de representación. 6.ª Actividades de repaso y consolidación. 7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 13

3


CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias de comunicación escrita y de reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas y de uso de elementos y herramientas matemáticos.

Interacción con el mundo físico En esta unidad se pueden trabajar las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de medio natural y desarrollo sostenible.

Social y ciudadana Algunas de las actividades del tema, especialmente las referidas a los diamantes, posibilitan tratar las subcompetencias de desarrollo personal y social y de compromiso solidario con la realidad personal y social.

Cultural y artística Se pueden trabajar las subcompetencias de expresión artística y de patrimonio artístico.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de un trabajo manual sobre construcción de figuras geométricas permite tratar la subcompetencia de planificación y desarrollo de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

4

Unidad 13



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Reflexión sobre el lenguaje.

Ser consciente de las convenciones sociales, los valores y los aspectos culturales del lenguaje.

– Conoce cómo la observación de la realidad pasa al lenguaje común.

Resolución de problemas.

Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular resultados, y representar e interpretar la realidad mediante medidas matemáticas.

– Desarrolla la visión espacial para resolver problemas de cuerpos geométricos.

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Conocer los procesos científicotecnológicos más importantes que permiten el desarrollo y el mantenimiento de la vida y valorarlos.

– Conoce las zonas climáticas de la Tierra, su origen y saturación.

Comprender la influencia de las personas sobre el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.

– Conoce y reflexiona sobre la influencia medioambiental de la minería.

1. nivel de concreción 2.º nivel de concreción er

Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico Medio natural y desarrollo sostenible.

er

Sentir admiración y curiosidad ante la perfección de la naturaleza.

Desarrollo personal y social.

Social y ciudadana Compromiso solidario con la realidad personal y social.

Desarrolla tus competencias, IV. l de conc

Toda la unidad.

Actividad 37.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 5 y 6. – Conoce las diferentes utilidades del diamante y admira la belleza de sus formas talladas.

Desarrolla tus competencias.

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Conoce hechos y personajes relevantes de los diferentes campos de conocimiento y actividades.

Respetar y defender los principios universales que contiene la Declaración de los Derechos Humanos.

– Conoce y reflexiona sobre los conflictos bélicos actuales o del pasado más reciente.

Ser conscientes del dolor ajeno. Mostrarse solidarios frente a las injusticias.

Desarrolla tus competencias, III.

– Reflexiona sobre las situaciones de explotación de unos seres humanos por otros a causa de la importancia económica de los recursos naturales.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 1 y 4.

Expresión artística.

Poner en funcionamiento la iniciativa, la imaginación y la creatividad para expresar de forma personal ideas, experiencias o sentimientos mediante códigos artísticos.

– Construye cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos.

Patrimonio cultural y artístico.

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural y fomentar el interés por participar en la vida cultural.

– Conoce y valora manifestaciones artísticas de otras culturas y épocas.

Cultural y artística

Pon a prueba tus competencias. Experimenta y reflexiona.

Actividades 18 y 76. – Visita la página librosvivos.net.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Autonomía e iniciativa personal

Planificación y desarrollo de proyectos.

Conocer y poner en práctica las fases de desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

Actividad 23 (paso a paso), recursos, organiza tus ideas, autoevaluación. – Obtiene información o hace actividades en internet.

En la red. Actividades 41 y 42. Desarrolla tus competencias. Pon a prueba tus competencias. – Construye cuerpos geométricos a partir de sus desarrollos planos.

Pon a prueba tus competencias. Experimenta y reflexiona.


Unidad 13

5


EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores : • Educación en derechos humanos, intercultural, medioambiental, para la convivencia y para la igualdad: Aprende a pensar. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel me dio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación por competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas. MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida en el espacio. • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO. – Unidad 8. Cuerpos geométricos. s o c i f á r g o i l b i B

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

SM

t e n r e t n I

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO. – Unidad 9. Cuerpos geométricos. – Unidad 10. Áreas y volúmenes. • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 6: Geometría y medida. – Unidad III. Cuerpos en el espacio. – Unidad IV. Áreas y volúmenes. • Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO. • Cuadernos de resolución de problemas I y II.

www.smconectados.com www.librosvivos.net

Varias unidades correspondientes a 2.º y 3.º de ESO referidas a los contenidos de la unidad en la página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatprd42 OTROS

Tema correspondiente de la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación: www.e-sm.net/3esomatprd43

Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd44 (en inglés). s e s l a o i r r t e O t a m

6

Unidad 13

• Plantillas con desarrollos planos de diferentes cuerpos geométricos para construirlos. • Programas informáticos como GeoGebra o Cabri. • Vídeos 1, Mapas y coordenadas, y 14, Áreas y volúmenes, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida en España por Metrovideo España. • Globo terráqueo.


Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias

ACTIVIDADES POR NIVEL

El tema propuesto para comenzar la unidad trata de la talla de los diamantes en diferentes formas poliédricas para su posterior distribución comercial como joyas. A través de las actividades propuestas se pueden trabajar diferentes competencias, tal y como se ha descrito en las páginas anteriores. Estas actividades se pueden plantear como excusa para tratar otros temas, como, p or ejemplo: • Reflexionar cómo los poliedros y, en general, las formas geométricas tridimensionales están presentes en multitud de actividades humanas. Se puede proponer a los alumnos que participen en una “lluvia de ideas” para identificar algunas de esas actividades. • Darse cuenta de cómo la escasez de algunos materiales es fundamental para que estos adquieran precios elevados y sean el origen de numerosos problemas derivados de la codicia y el control de tales recursos. Como otros ejemplos se pueden citar el oro, el petróleo o, en otros contextos y/o épocas, la sal o el agua dulce. • Hacer notar que un material de “lujo” como el diamante puede tener aplicaciones mucho más prosaicas y útiles como es su uso industrial en perforaciones debido a su extraordinaria dureza. En este punto se puede plantear una actividad conjunta con el área de Biología y Geología para que conozcan la escala de Mohs, que clasifica por comparación la dureza de un material.

1. Poliedros • Una forma práctica de introducir la fórmula de Euler es completar la tabla del ejercicio 3, para que los alumnos la deduzcan por sí mismos. No obstante, convendría contar también las aristas, vértices y caras de los poliedros que abren el epígrafe para que se den cuenta de que es una propiedad de cualquier tipo de poliedro. • Al hablar de los poliedros regulares se debe insistir en que solo existen los cinco tipos descritos. El entrar en la explicación de por qué esto es así dependerá del nivel del grupo, aunque en principio es aconsejable dejar esta posibilidad para cursos posteriores.

1, 3, 46 y 47.

Medio

53.

Alto

56.

2. Prismas y pirámides • En primer lugar se caracterizan los prismas y pirámides, describiendo sus elementos e identificando los diferentes tipos. Todos estos conceptos son de repaso, puesto que se han visto en cursos anteriores. • En este apartado se describen, fundamentalmente a través de los ejemplos y ejercicios propuestos, las propiedades métricas de los prismas y pirámides, centrándose sobre todo en sus aplicaciones para el cálculo de longitudes. Aquí habrá que detenerse y poner varios ejemplos para que los alumnos asimilen bien el paso del teorema de Pitágoras del plano al espacio.

5, 48, 49, 52 y 102.

Medio

6 y 54.

3. Cuerpos redondos • La definición de cuerpo redondo se puede ilustrar en clase generándolos a partir de figuras planas, tal y cómo se sugiere en las figuras del texto. • Para los alumnos no resulta difícil captar este concepto. Puede proponérseles que generen sus propios cuerpos de revolución a partir de plantillas planas diseñadas por ellos mismos y que dibujen la figura obtenida. Después se pueden exponer en clase las diferentes ideas. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7, 50 y 51.

Medio

8 a 10.

4. Simetría en poliedros y cuerpos redondos • Dos propiedades importantes de todos los poliedros son el número de planos y ejes de simetría que se pueden encontrar en cada uno. Inducir al alumnado a buscar estos ejes y planos, al menos en los poliedros más sencillos, es un ejercicio que ayuda a los alumnos a fijarse bien en la geometría de cada pieza. • Lo dicho en el punto anterior también se puede aplicar a los cuerpos redondos para que adviertan la presencia de infinitos planos de simetría en el cilindro, el cono y la esfera. • La actividad con GeoGebra propuesta en el lateral (“En la red”) puede ampliarse a otros poliedros. ACTIVIDADES POR NIVEL

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

Básico

Básico

12, 13 y 57 a 60.

Medio

14 y 61 a 63.

5. Cónicas • Es importante que los alumnos capten las dos posibles definiciones de las cónicas: como intersección de una superficie cónica con un plano y como lugares geométricos asociados a propiedades métricas. • La presencia de las cónicas en la vida cotidiana y en la naturaleza debe remarcarse, especialmente en lo que se refiere a las órbitas de los cuerpos celestes, ejemplo bastante conocido, pero fundamental y muy motivador. A partir de aquí se puede suscitar un pequeño trabajo de investigación sobre los modelos astronómicos a través de la historia (geocentrismo y heliocentrismo). 18.

La utilización de la plaza de San Pedro como ejemplo del uso de las cónicas en el arte puede explotarse en dos sentidos: Figuras y cuerpos geométricos

Unidad 13

7

Sugerencias didácticas

• Investigar sobre cómo se gestó esta plaza, quién la encargó, quién la diseño y en qué circunstancias. • Buscar otros ejemplos arquitectónicos o urbanísticos. En este sentido, señalar que en muchas ciudades existen plazas circulares y elípticas. ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

16 a 18 y 64 a 68.

• El volumen de la esfera se puede obtener de forma experimental comparándolo con el del cilindro circunscrito. Esta experiencia puede servir para motivar la realización de algunas actividades de ampliación sobre cálculo de volúmenes. • La idea de calcular el área de la superficie esférica como un límite a partir de pirámides no es sencilla y se debe trabajar sólo si el grupo está muy motivado. ACTIVIDADES POR NIVEL

6. Áreas de poliedros, cilindros y conos • Conviene señalar que el cálculo de áreas no es más que la aplicación de lo trabajado en la unidad de geometría del plano al caso particular de los cuerpos geométricos. • Es útil realizar en el aula el desarrollo plano de los diferentes cuerpos para calcular su área como suma del área de sus caras. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

20, 69, 100 y 101.

Medio

21 y 22.

Alto

109.

7. Volúmenes de poliedros, cilindros y conos • Los volúmenes de prismas, cilindros y pirámides ya se conocen de cursos anteriores. Para recordarlos se pueden poner ejemplos de los diversos cuerpos. • Para ampliar el epígrafe se pueden hallar los volúmenes de un tronco de cono y de un tronco de pirámide, calculándolos razonadamente, restando al volumen mayor el volumen menor, utilizando el teorema de Tales para el cálculo de las diferentes alturas. • La actividad propuesta en el lateral puede ser útil para motivar al alumnado en un tema que no les suele resultar atractivo. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

25, 26 y 70 a 72.

Medio

73 a 78, 103, 105, 107 y 108.

Alto

79, 110, 111 y 113.

8. La esfera. Elementos, área y volumen • En este epígrafe se recuerda la definición de esfera como cuerpo redondo y se establece por primera vez la definición de superficie esférica como lugar geométrico. Es importante que perciban cómo esta superficie es la generalización del concepto de circunferencia al caso de tres dimensiones. • Se debe distinguir en todo momento si se trabaja con superficies o con cuerpos, por eso conviene introducir los conceptos de semiesfera, casquete esférico, zona esférica y huso esférico detenidamente y lo más gráficamente posible.

8

Unidad 13


Básico

27 y 80 a 84.

Medio

28, 29, 85, 86 y 104.

Alto

30, 87 a 91 y 112.

9. Áreas y volúmenes de cuerpos compuestos • En este epígrafe se relaciona todo lo aprendido anteriormente, estudiando figuras que combinan cuerpos geométricos elementales ya estudiados. • La mejor forma para que los alumnos vean cómo se calcula el área y el volumen de cuerpos compuestos es poner numerosos ejemplos haciendo hincapié en la importancia de que la descomposición sea en cuerpos elementales. ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

31, 32 y 106.

10. La Tierra: meridianos y paralelos • En este epígrafe se introducen conceptos relativos a la geografía terrestre que los alumnos ya conocen de otras materias. Servirá para que vean la importancia de la aplicación de las matemáticas en otras disciplinas. • Conviene que a la hora de establecer la definición de huso horario se calcule su ángulo utilizando una proporción, para que luego sea fácil calcular las diferencias horarias entre diferentes puntos de la geografía terrestre. • Puede resultar conveniente estudiar este epígrafe con juntamente con el siguiente y dejar la resolución de ejercicios para después. 37.

Con esta actividad se puede trabajar sobre el origen de las zonas climáticas terrestres en la inclinación del eje sobre el plano de la eclíptica. La interpretación utilizando geometría elemental es sencilla y suele ser motivadora para el alumnado, especialmente si se acompaña con algún vídeo o presentación.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

33 a 35, 92, 93 y 95.

Medio

36.

Alto

37.

11. Coordenadas geográficas • Conviene establecer la definición de latitud y longitud sobre un punto situado en el globo terráqueo e indicar los diferentes ángulos que intervienen. Se puede pre-

Sugerencias didácticas

guntar a los alumnos cuáles son los puntos que tienen la misma longitud o la misma latitud, para ver si han entendido los conceptos. • Los cálculos de distancias siempre se harán sobre puntos situados en un mismo paralelo o meridiano. Conviene hacer varios en clase para que se den cuenta de que todo se reduce a cálculos de longitudes de circunferencia. Será más complicado el caso de puntos situados sobre un mismo paralelo, ya que deben aplicar correctamente el teorema de Pitágoras para calcular el radio de la circunferencia y además tener en cuenta que, en este nivel, solo se puede resolver en el caso del paralelo de latitud 45 grados, para que el triángulo formado sea rectángulo isósceles. ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

38 y 94.

Medio

39 a 41 y 96 a 99.

Alto

42.

12. Sistemas de representación geográfica. Mapas • Aunque también este epígrafe se ha podido trabajar desde otras asignaturas, conviene insistir en la idea de proyección empezando por ejemplos sencillos como las sombras. • Hay que remarcar cómo las diferentes representaciones distorsionan de una u otra manera la realidad tridimensional que intentan reproducir. ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

43 a 45.

Organiza tus ideas • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. De esta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos. • Una segunda actividad de interés puede ser que los alumnos completen el resumen tanto con otros contenidos presentes en el tema, pero no incluidos en este esquema, como con contenidos de cursos anteriores relacionados, pero no tratados explícitamente en el tema.

Actividades 76. Aunque es un ejemplo muy utilizado en

muchas áreas, no deja de ser interesante, sobre todo porque el tema de las pirámides egipcias ejerce una cierta fascinación sobre los alumnos de estas edades. Se pueden proponer diferentes actividades, por ejemplo: • Realizar un estudio comparativo entre las dimensiones de las tres pirámides mayores, Keops, Kefrén y Micerinos. • Investigar sobre otras pirámides menores, pero muy importantes en el desarrollo de la arquitectura egipcia; por ejemplo, la pirámide escalonada del faraón Djoser o las del faraón Seneferu.

Pon a prueba tus competencias EXPERIMENTA Y REFLEXIONA: RECORTABLES DE CARTULINA

Aparte de las cuestiones puramente matemáticas, la importancia de esta actividad radica en que el alumno debe elaborar y ejecutar un proyecto para realizar la maqueta que se le propone. Esto supone obviamente trabajar la competencia de autonomía e iniciativa personal, pero también sirve para estimular en él el cuidado en la realización de obras que podemos considerar desde un punto de vista artístico. Las diferentes maquetas realizadas pueden servir para exponerse en clase e incluso en un lugar común del centro para que sean vistas por el resto de la comunidad educativa. Si se decide realizar esta extensión de la activi dad, convendría ampliar también el número de sólidos para aumentar la riqueza de la exposición. La actividad se puede combinar con la de “Observa y deduce” para conseguir el desarrollo del resto de sólidos arquimedianos y así poder realizar una “exposición total” sobre este tipo de cuerpos. En la misma se podrían exponer también los cinco poliedros regulares para poder observar las relaciones entre unos y otros. OBSERVA Y DEDUCE: LA TALLADORA DE GEMAS

Esta actividad es fundamentalmente matemática. Se propone para que el alumno descubra otro tipo de poliedros convexos de gran importancia: los arquimedianos. La búsqueda de información en la página web propuesta en el texto debe servir para que los alumnos se interesen por estos sólidos cuya presencia en nuestro entorno común es, a veces, insospechada, como sucede con el caso del clásico balón de fútbol. Si se dispusiera de tiempo, se podría plantear una actividad por grupos para que cada uno se encargase de estudiar y caracterizar varios de estos sólidos. APRENDE A PENSAR: EL VALOR DE LOS DIAMANTES

Esta actividad continúa de forma natural el tema iniciado al comienzo de la unidad, extendiendo su desarrollo hacia aspectos de gran importancia económica y, sobre todo, social y ética. Se trata de fomentar en los alumnos el conocimiento de los graves conflictos y peligros que encierra la explotación de los recursos naturales. Entre ellos podemos citar: • Conflictos bélicos. • Explotación del ser humano: pseudoesclavitud. • Falta de estructuras sociales. Corrupción política. • Impacto medioambiental de las explotaciones mineras. • Falta de solidaridad del primer mundo, Sería más que recomendable proceder al visionado de la película propuesta y de otra que trate un tema similar para poder hacer visualmente explícitos algunos de los problemas que se entremezclan en el tema. Si se decide esta proyección, hay que considerar previamente las escenas de violencia, lamentablemente muy verosímiles, que aparecen y preparar al alumnado para ello. Figuras y cuerpos geométricos

Unidad 13

9

Actividades de refuerzo Unidad

13


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad será suficiente con que los alumnos: • Sepan identificar el cuerpo geométrico ante el que se encuentran, enunciando brevemente sus características, pero de una forma guiada. • Aprendan a calcular el área de cuerpos a partir de su desarrollo plano. • Aprendan las fórmulas del volumen de los diferentes cuerpos elementales y las apliquen al cálculo de volúmenes de cuerpos compuestos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción de poliedros

Para esta actividad se necesita cartulina, tijeras y gomas elásticas. Se entrega a los alumnos unas plantillas con un triángulo equilátero y un cuadrado de 4 centímetros de lado, de tal manera que sobre cada lado haya una pequeña pestaña de 0,5 centímetros y con una muesca a los lados, tal y como aparece en la figura:

Los alumnos cortarán, en un principio, 8 triángulos y 6 cuadrados. Con ayuda de las gomas elásticas unirán las figuras planas por las pestañas de manera que queden perfectamente encajadas, con lo cual obtendrán diferentes poliedros: tetraedro, cubo, prisma triangular, octaedro, pirámide cuadrangular. Si quieren fabricarse más poliedros, bastará con hacer más plantillas planas: pentágono, hexágono, etc. Esta actividad es complementaria con la de “Experimenta y reflexiona” propuesta en la sección de “Pon a prueb a tus competencias”.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

L

A

T E C P R I P A R C O N V M E R I P I C U B

I C O S A E D R O

T U N M L X I A

U A O A E O A M

D D

a) i) 76 cm2; ii) 72 cm2; iii) 43,98 cm2 b) i) 2094,40 cm3; ii) 141,37 cm3; iii) 141,67 cm3

O

R

c) Prisma hexagonal recto. 95

L

O

N I

O D

S

27

83 47

93

E

44

141 27

76

44

141 2 094

53

72 43

141

15 143

72

141

76

53

141

76

43

72

74

74

117

148

96

2 092

105


5

3

La distancia entre los focos de la elipse es de 34,7 UA.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

Unidad 13

9

2 090 2 094

10

436

43

27

3.

28

2 093 37

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1.


13

Completa el siguiente cuadro con las definiciones que se dan a continuación, e indica el poliedro regular que se forma en la columna central:

1.

1. Medida en grados del arco, en el meridiano del lugar, formado por el Ecuador y el paralelo del lugar.

L

2.

D N

3. 4.

R

5.

A O

5. Circunferencias sobre la superficie terrestre. 6. Poliedro que puede apoyarse sobre cualquiera de sus caras.

I

7.

7.

M

8.

2.

3. Cuerpo redondo que se obtiene al girar un triángulo rectángulo por uno de sus catetos. 4. Poliedro cuyas caras son paralelogramos, y sus bases, polígonos.

6.

9.

2. Paralelo de circunferencia máxima.

de Greenwich.

8. Poliedro cuyas caras son triángulos, y su base, un polígono.

U

9. Poliedro regular de seis caras.

a) Calcula el área de los siguientes cuerpos. i)

ii)

iii)

4 cm

2 cm

5 cm

7 c m

5 cm 2 cm 4 cm

b) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. i)

10 cm

ii)

iii)

3 cm

2 cm

5 cm 5 cm

5 cm

c) Colorea de azul las partes enteras de los resultados que has obtenido al calcular las áreas y los volúmenes de las figuras de los apartados a y b, y obtendrás el desarrollo plano de un poliedro. ¿Cuál es? 95

83

27

141

15

436

47

27

76

143

93

44

44

141

2 094

43

72

141

76

53

53

72

141

141

76

43

72

74

96

74

117

43

148

9

2 090

27 2 094

3.

28

2 093 37

2 092

105

5

3

La órbita del cometa Halley es una elipse con un foco en el Sol. Su distancia más corta al Sol es de 0,6 UA, mie ntras que la mayor distancia al Sol es de 35,3 UA. Halla la distancia entre los focos.


Unidad 13

e l b a i p o c o t o f a n i g á P

11

Actividades de ampliación Unidad

13


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Las actividades propuestas a continuación están destinadas a que los alumnos desarrollen su visión espacial, así como su razonamiento deductivo en geometría. La geometría es una parte de la matemática que se les resiste, no solo a los alumnos, sino a muchos matemáticos. Estamos acostumbrados a oír expresiones como “no lo veo” al resolver problemas de geometría. Y es verdad que es difícil ver las relaciones entre lados, ángulos, aristas, áreas, etc. Por ello planteamos esta propuesta como medio para despertar la “visión” espacial de los alumnos.

ACTIVIDADES DE GRUPO Construcción de poliedros

Para esta actividad se necesita cartulina, tijeras y gomas elásticas. Se entrega a los alumnos unas plantillas con un triángulo equilátero y un cuadrado de 4 centímetros de lado, de tal manera que sobre cada lado haya una pequeña pestaña de 0,5 centímetros y con una muesca a los lados, tal y como aparece en la figura:

Los alumnos cortarán, en un principio, 8 triángulos y 6 cuadrados. Con ayuda de las gomas elásticas unirán las figuras planas por las pestañas de manera que queden perfectamente encajadas, con lo cual obtendrán diferentes poliedros: tetraedro, cubo, prisma triangular, octaedro, pirámide cuadrangular. Si quieren fabricarse más poliedros, bastará con hacer más plantillas planas: pentágono, hexágono, etc. Esta actividad es complementaria con la de “Experimenta y reflexiona” propuesta en la sección de “Pon a prueba tus competencias”.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

2.

El tetraedro es dual de sí mismo, el dodecaedro es dual del icosaedro, y viceversa.

3.

1767,15 cm 3

4.

Volumen:

13 3 +3 2 l ; Área: l 6 2

13 l 3

3 V = l −

6.

Vcono + Vsemiesfera = V cilin dro

7.

V =

8.

La distancia entre los focos es igual a la diferencia entre las distancias mínima y máxima al Sol. Por tanto, la excentricidad es:

a) 594,02 euros b) 20 h 58 m 40 s

43 l 6

5.

π ⋅h

e =

=

(3R2 − h2 ) 3

1017 , − 0,983 + 0,983 1017 ,

=

0017 ,

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 13


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad

13


1.

Si unimos con aristas los centros de cada dos caras consecutivas de un poliedro regular, obtenemos otro poliedro regular cuyo número de vértices coincide con el de caras del poliedro dado. Estos dos poliedros se dice que son duales. Por ejemplo, el cubo y el octaedro son poliedros duales. Indica cuál sería el poliedro dual del tetraedro, del dodecaedro y del icosaedro.

2.

Juan quiere pintar las paredes y el fondo de su piscina, cuyas dimensiones son las indicadas en la figura. a) Si el metro cuadrado de pintura cuesta 3 euros, ¿cuánto gasta Juan en pintar la piscina? 16 m 8m

2m

0,8 m

2m

b) Para llenarla utiliza una tubería que vierte 150 litros al minuto. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse la piscina? 3.

Calcula el volumen de una esfera, sabiendo que al cortarla con un plano secante se obtiene un casquete esférico de 3 centímetros de altura y 6 centímetros de radio de la base.

4.

Calcula el volumen y la superficie del tetraedro en función del lado del cuadrado.

5.

Utilizando el resultado del ejercicio anterior, calcula el volumen del tetraedro de la figura.

6.

Halla las relaciones entre el volumen de una semiesfera de radio R, el cilindro circunscrito a ella y el cono cuyo radio de la base y altura es R.

7.

El principio de Cavalieri nos dice: “Si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por planos paralelos a sus bases se obtienen superficies de la misma área, entonces los cuerpos tienen el mismo volumen”.

Siguiendo este principio, vamos a calcular el volumen de un casquete esférico. 1.º Considera los tres cuerpos del ejercicio anterior que se cortan por un plano perpendicular al eje de giro. Las secciones que se obtienen son círculos. Calcula sus áreas y comprueba que se verifica: Scono

+

Ssemiesfera

=

Scilindro

2.º Vista la relación anterior, y aplicando el principio de Cavalieri, se verifica: Vtroncodecono

+

Vcasquete

3.º A partir de esta relación, deduce que la fórmula del volumen del casquete esférico es: V = 8.

π ⋅

=

V cilindro

h(3R 2

−

h2 )

3

La excentricidad de una elipse se define como el cociente entre la distancia entre sus focos y la distancia entre los puntos más cercanos a cada foco. Calcula la excentricidad de la Tierra sabiendo que su distancia mínima al Sol es de 0,983 UA y su distancia máxima es de 1,017 UA.


Unidad 13


13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad

13


APELLIDOS: FECHA:

1.

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

Observa estos poliedros y contesta a los siguientes apartados.

(1)

(2)

a) Nómbralos. b) Indica su desarrollo plano. c) Comprueba que verifican la fórmula de Euler. 2.

Las aristas de un ortoedro miden 4, 5 y 8 centímetros, respectivamente. ¿Cuánto mide su diagonal?

3.

Dibuja el desarrollo de un cilindro, indicando sus elementos.

4.

De un triángulo rectángulo se sabe que su hipotenusa mide 10 centímetros, y uno de los catetos, 6. Si se hace girar sobre el cateto desconocido: a) ¿Qué cuerpo se obtiene? Represéntalo. b) ¿Cuánto mide su altura?

5.

a) Calcula el área lateral de un cono cuyo radio de la base mide 3 centímetros, y la generatriz, 7. b) Calcula el volumen de un prisma recto de 18 centímetros de altura y de base rectangular de 13 centímetros.

6.

×

8

Calcula el área lateral y el volumen del cuerpo que aparece en la figura. 2 cm 3 cm

7.

a) Calcula el área total de una pirámide hexagonal regular de 24 centímetros de altura y aristas laterales de 26 centímetros. b) Calcula el volumen de un tronco de cono que se obtiene al girar un trapecio rectángulo sobre su altura, si la altura mide 9 centímetros, y las bases, 6 y 15, respectivamente.


14

8.

Se quiere forrar de cuero un balón de fútbol. ¿Cuánto cuero hay que emplear si el diámetro mide 30 centímetros?Página fotocopiable

9.

Una quesería produce quesos cuyas dimensiones son 22 centímetros de diámetro y 15 de altura. Cada queso se envasa al vacío con un plástico especial para alimentos que cuesta 1,30 euros el metro cuadrado. Si al día se empaquetan 300 quesos, ¿cuál es el gasto semanal del empaquetado?

10.

Una marca de leche envasa su producción en tetra briks de 1 litro de capacidad cuya altura es de 19 centímetros, y las dimensiones de la base, 9 × 6 centímetros. La empresa decide cambiar el formato de sus envases y no sabe si usar el mismo cambiando las dimensiones de la base por 8× 7 centímetros o utilizar un envase cilíndrico de radio de la base 4 centímetros ¿Qué le sale más rentable? (Las medidas han de ser enteras.)

11.

¿Qué distancia hay entre dos puntos situados sobre el Ecuador cuyas longitudes son 15º E y 75º O, respectivamente? (Longitud del ecuador: 40 300 kilómetros.)

12.

Calcula la distancia que debe recorrer un avión cuyo aeropuerto de salida tiene por coordenadas 20º O, 10º N, y el de llegada, 20º O, 40º N. (Radio de la Tierra: 6371 kilómetros.)

13.

Calcula la distancia entre dos puntos de la geografía terrestre cuyas coordenadas son A(10º E, 45º N) y B(20º O, 45º N).

Unidad 13


Propuesta de evaluación Unidad


13

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.

a)

Tetraedro (1) y prisma regular de base hexagonal (2)

b)

b)

Consideramos dos conos: uno con radio de la base 15 cm y altura (9 + x ) cm, y otro de radio de la base 6 cm y altura x cm. Calculamos x y, posteriormente, el volumen de ambos conos y el volumen total. 9 + x

h

15 ; x = 6 cm 6

=

x a

c)

V Conogrande

Caras + Vértices = Aristas + 2; (1) 4 + 4 = 6 + 2 (2) 8 + 12 = 18 + 2

V Conopequeño V T

2.

D

=

42

+

3.

52

+

82

=

=

π ⋅

R2 ⋅ H

3 r ⋅h

π ⋅

=

=

3

1125 π cm3 72 π cm3

1053 π cm3

=

10,25 cm

r

h

=

8.

4 ⋅ π ⋅ r 2

9.

Área total de un queso: AT = A Lat + A b = 0,1797 m 2 Quesos semanales: 300 ⋅ 5 = 1500 Superficie total: 1500 ⋅ 0,1797 = 269,55 m2 Coste: 269,55 ⋅ 13 , = 350,42 euros

10.

1.er envase: 1000 = h ⋅ 7 ⋅ 8 = 56h; h = 17,85 ≈ 18 cm 2.º envase: 1000 = 16 ⋅ π ⋅ h; h = 19,89 ≈ 20 cm Superficie del 1.er envase: Área total: AT = ALat + Ab = 652 cm2 Superficie del 2.º envase (cilíndrico): Área total: AT = ALat + Ab = 603,18 cm 2 Es más rentable el envase cilíndrico.

11.

d =

40 300 ⋅ 90 360

12.

d =

2 ⋅ π ⋅ 6371 ⋅ 30 360

13.

Son dos puntos que están sobre el mismo paralelo. El radio del paralelo lo calculamos con el teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que el triángulo formado por el radio de la Tierra, el radio del paralelo y el segmento que une el centro de la Tierra con el centro del paralelo es rectángulo isósceles.

2πr

=

900 π cm2

r

Cono.

b) h2

102 − 62

8 cm

4.

a)

5.

a) AL =

6.

Área de la semiesfera: AS = 2 · p · r 2 = 18 p cm2 p cm2 · · r · h = 12 Área lateral del cilindro: ALatCil = 2 p 2 Área total: AT = AS + ALatCil = 30 p cm Volumen de la semiesfera: VS = 4 ⋅ π ⋅ r 3 = 18 π cm3 6 2 p cm3 Volumen del cilindro: V C = p · r · h = 18 3 Volumen total: V S + V C = 36 p cm

7.

a)

π ⋅

r⋅g

=

=

21π cm2

Área de la base: Ab =

p ⋅a

2

=

b) V = 1872 cm3

=

60 ⋅ 75 2

=

2598 , cm2

⋅ Área lateral total: ALat = 6 ⋅ 10 25,5 = 765,4 cm2 2 Área total: AT = Ab + ALat = 259,8 + 765 = 1025,2 cm3

r2 ⇒

+

r2

d =

=

=

10075 km

=

3335,85 km

6371; r = 4505 km

2 ⋅ π ⋅ 4505 ⋅ 30 360

=

2358,81 km


Unidad 13

15

3esomapi Gd Esu13

Recommend Documents