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GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

2

ESO

Potencias y raíces cuadradas

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula Unidad 2


El estudio de potencias en 2.º de ESO supone un primer acercamiento al tratamiento de números grandes y técnicas matemáticas que simplifican el tratamiento de estos valores. Las propiedades de las operaciones de potencias resultan de gran utilidad en la resolución de problemas de física, biología o química, en los que sea conveniente el uso de la notación científica. En esta unidad se inicia el estudio de las potencias con base negativa, que debería quedar suficientemente afianzado en este curso, incidiendo en el correcto uso de los paréntesis para diferenciar las potencias de base negativa de las potencias de base positiva que llevan signo negativo. Las operaciones con potencias resultan sencillas para la gran mayoría de los alumnos; es importante que adquieran agilidad en su uso, puesto que luego se utilizarán repetidamente en las operaciones con polinomios. Por lo que respecta al cálculo de raíces cuadradas, en este curso se debe incidir en el cálculo de las mismas con algoritmo, sin insistir en que lo hagan de forma aproximada, acotando los valores enteros entre los que se encuentra la raíz. Por último y como en el resto de unidades en las que se trabajan operaciones algebraicas de cualquier tipo, hay que incidir en la importancia del uso de la jerarquía de operadores aritméticos, para las operaciones con raíces y potencias.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1. Operar con agilidad y corrección potencias, identificando sus características y expresando productos, cocientes y potencias de potencias como una única potencia cuando sea posible.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Identificar las potencias de base entera y exponente natural reconociendo la base y el exponente de la potencia y calculando su valor. 1.2 Expresar como única potencia los productos y cocientes de potencias de la misma base o con el mismo exponente, así como las potencias de potencias.

• Lingüística • Matemática

2. Calcular raíces cuadradas sencillas y aplicar el algoritmo de la raíz cuadrada al cálculo de raíces de números grandes.

3. Utilizar y relacionar las potencias y las raíces cuadradas para producir e interpretar distintos tipos de información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana, las ciencias experimentales y el mundo laboral.

2.1 Identificar cuadrados perfectos.

• Interacción con el mundo físico

2.2 Calcular la raíz cuadrada entera de un número empleando el algoritmo.

• Tratamiento de la información y competencia digital

2.3 Resolver operaciones combinadas con potencias y raíces utilizando la jerarquía de operadores aritméticos.

• Aprender a aprender • Autonomía e iniciativa personal

3.1 Resolver problemas en los que se haga necesario el uso de las potencias y las raíces cuadradas interpretando los datos del enunciado y las conclusiones obtenidas.

CONTENIDOS • Potencias de base entera y exponente natural

• Raíz cuadrada exacta

• Base y exponente de una potencia

• Resto de una raíz. Propiedad

• Producto y cociente de potencias con la misma base • Potencia de una potencia

• Cálculo de raíces cuadradas de enteros utilizando el algoritmo del cálculo de la raíz cuadrada

• Producto y cociente de potencias con el mismo exponente

• Jerarquía de operadores aritméticos

• Reducción de expresiones con potencias a una potencia única

• Actitud crítica en el uso de las diferentes propiedades, diferenciando los casos y aplicando la técnica correcta según las condiciones de partida

• Cuadrados perfectos 2

Unidad 2


Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Los contenidos de esta unidad son casi todos conocidos por los alumnos. Aun así, es preciso que a su inicio dominen las operaciones básicas con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.

2. Previsión de dificultades Para expresar propiedades de las potencias se emplean letras. De esta forma se dota a la aritmética de una faceta algebraica, lo que supone un paso hacia delante decisivo en el proceso de construcción del lenguaje algebraico. Esto puede resultarles a los alumnos algo abstracto, por lo que conviene hacer numerosos ejemplos. También surgirán dificultades a la hora de tener que asimilar que un número positivo tiene dos raíces cuadradas, mientras que uno negativo no tiene ninguna.

3. Vinculación con otras áreas Como ya mencionamos al principio, el cálculo con potencias tiene muchísima aplicación en otros campos, como la biología, la tecnología y la física. En la unidad, y en especial en las páginas dedicadas a competencias, existen numerosas actividades para poder expresar números grandes o pequeños con potencias.

4. Esquema general de la unidad La novedad en el tratamiento de potencias en segundo son las potencias de base negativa. Se incide en este punto en la definición de potencia de base entera y exponente natural para tratar después las operaciones con potencias de la misma base o con el mismo exponente. Junto con el estudio de potencias, la unidad trata las raíces cuadradas. El tratamiento de raíces que se hace es prácticamente un repaso de 1.º de ESO, pero estudiando con más profundidad la diferencia entre raíces exactas y aproximaciones a través del concepto de raíz cuadrada entera y resto de una raíz entera y el cálculo de la misma por medio del algoritmo

POTENCIAS

RAÍCES

Operaciones

Algoritmo

Para finalizar se insiste, como en la unidad anterior, en el uso de la jerarquía de operadores aritméticos en operaciones combinadas.

Jerarquía de las operaciones

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en 10 sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias 2.ª Potencias de base entera y exponente natural 3.ª Producto y cociente de potencias de la misma base. Potencia de una potencia 4.ª Operaciones de potencias del mismo exponente 5.ª Reducción de expresiones a una sola potencia 6.ª Cuadrados perfectos y raíz cuadrada exacta. Raíz cuadrada entera y resto. Cálculo aproximado 7.ª Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada entera de un número 8.ª Jerarquía de las operaciones 9.ª Actividades de repaso y consolidación 10.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es necesaria para comprender y aplicar los diferentes procedimientos expuestos y desarrollados en la misma. En las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” se trabaja de forma concreta la subcompetencia comprensión escrita, ayudando a fomentar en los alumnos el gusto por la lectura.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al desarrollarse en la unidad las potencias y sus propiedades y el algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada, se trabajan de especial manera los indicadores de la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En las páginas finales de “Pon a prueba tus competencias” se trabaja especialmente esta competencia. En concreto, los indicadores desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento y argumentar de manera razonada las consecuencias de diferentes modos de vida, de la subcompetencia conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable, son tratados de forma específica en las diferentes actividades de “El cuerpo humano”.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital A lo largo de la unidad aparecen en “Librosvivos” y “En la red” varias referencias para realizar actividades interactivas y buscar información con el fin de desarrollar y ampliar los contenidos de la unidad, desarrollando la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información. Al tener que realizar cálculos con números grandes expresados mediante potencias, también trabajaremos la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en la sección de “Autoevaluación” y de las actividades propuestas, con mayor carácter las de ampliación, y las de “Las torres de Hanoi” y “Potencias que crecen”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de construcción del propio conocimiento y conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Las actividades del texto de entrada, junto con las actividades 1, 2 y 3 de “Las torres de Hanoi” y las de “Potencias que crecen”, permiten trabajar la subcompetencia planificación y realización de proyectos, ya que los alumnos deberán aplicar todo su ingenio y creatividad para poder realizarlas.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas.

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Unidad 2



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento. Argumentar con espíritu crítico y constructivo.

Pon a prueba tus competencias: Juega y reflexiona – Elabora un pequeño informe. Pon a prueba tus competencias: Investiga y aprende – Deduce fórmulas a partir de pasos anteriores. Desarrolla tus competencias, 3 – Calcula razonadamente el grosor de un folio. Pon a prueba tus competencias Manipula y calcula

Razonamiento y argumentación.

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Opera con números grandes y pequeños.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Conoce características del cuerpo humano.

Matemática

Interacción con el mundo físico

– Conoce libros de matemáticas recreativas y muestra interés en su lectura.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Argumentar de manera razonada las consecuencias de diferentes modos de vida.

Pon a prueba tus competencias: Investiga y aprende, 1 y 2 – Utiliza tablas para representar información. Desarrolla tus competencias, 1 y 2

Pon a prueba tus competencias: Investiga y aprende – Explica las consecuencias del colesterol y cómo controlarlo. Pon a prueba tus competencias: Investiga y aprende, 3 – Busca en Internet para complementar la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Pon a prueba tus competencias: Juega y reflexiona – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 8 y 25

Conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Valorar el aprendizaje como enriquecimiento personal y social.

Construcción del conocimiento.

Admitir la diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar diferentes estrategias y metodologías para solventarlo.

Planificación y realización de proyectos.

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

Aprender a aprender

Autonomía e iniciativa personal

– Valora los conocimientos adquiridos y disfruta de la parte lúdica de las matemáticas. Pon a prueba tus competencias: Juega y reflexiona – Busca la forma de resolver un juego y compara las respuestas. Pon a prueba tus competencias: Juega y reflexiona – Inventa estrategias de resolución de problemas. Desarrolla tus competencias, 3 Pon a prueba tus competencias: Juega y reflexiona y Manipula y calcula


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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación para la salud: El cuerpo humano.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas. 1.º de ESO. N.º 1. “Números naturales” – Unidad 2. Potencias y raíces Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas. 2.º de ESO. “Aprende y aprueba” – Unidad 4. Potencias y raíces • Cuaderno de Matemáticas. 2.º de ESO. N.º 1: “Divisibilidad y números enteros” – Unidad III. Potencias y raíces • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Otros

Internet

SM

Otros

• GÓMEZ ALFONSO, BERNARDO: Numeración y cálculo, Síntesis, Madrid, 1999. Es un libro que explica procedimientos para presentar y desarrollar en el aula contenidos aritméticos, en particular la raíz cuadrada. www.smconectados.com www.librosvivos.net Potencias y raíces de números enteros en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación.

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatprd03

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• Dominós de potencias, que pueden construir los propios alumnos. • Calculadora, para posibilitar la obtención de valores muy grandes en el cálculo con potencias.


Sugerencias didácticas Entrada El texto de entrada hace referencia a la leyenda más conocida sobre la invención del ajedrez, en la que se pone de manifiesto una de las múltiples relaciones que existen entre el ajedrez y las matemáticas. Podemos indicar a los alumnos que numerosos matemáticos, como Poyla, Gauss y Euler, han mostrado interés por plantear y resolver problemas matemáticos relacionados con el ajedrez. El problema que más puede llamar la atención de los alumnos es el del movimiento del caballo: ¿es posible recorrer el tablero, pasando por todas las casillas una sola vez, con el movimiento del caballo? Sería interesante que los alumnos dibujasen en su cuaderno un cuadrado de 8 × 8 cuadros y que empezaran a describir el movimiento y observar cuál es el mayor número de casillas que ha podido recorrer cada uno de ellos.

Desarrolla tus competencias En el texto de entrada, los alumnos ya han podido apreciar que una de las principales utilidades de las potencias es la posibilidad de escribir números muy grandes de una forma muy concisa. Todas las actividades de la sección van encaminadas a que los alumnos traten de averiguar cómo calcular el número de granos de maíz que pidió el inventor del ajedrez al rey. I.

Esta actividad no debe suponer ninguna dificultad para los alumnos. Para que la resuelvan podemos indicarles que escriban en una columna las 15 primeras potencias de 2 y que después vayan sumando a cada una de ellas las anteriores. De esta forma, cuando tengan que averiguar el número de granos que le corresponde a la casilla n, bastará con que sumen, a la cantidad correspondiente a la casilla n − 1, la potencia 2n − 1.

II. Esta actividad va encaminada a que los alumnos reconozcan los cuadros de los primeros 12 números naturales. III. Esta actividad es de especial dificultad, ya que lo que tienen que deducir los alumnos es la fórmula de la suma de los 15 primeros términos de una progresión geométrica de razón 2.

1. Potencias de base entera y exponente natural • La gran novedad en el estudio de potencias en este curso es la introducción de potencias de base negativa. A pesar de su aparente sencillez, los alumnos tienen problemas con frecuencia para calcular el valor de las potencias de base negativa, sobre todo por el signo. Posiblemente la dificultad venga del lenguaje algebraico y en particular del uso de los paréntesis: no es lo mismo una potencia de base −2 (en cuyo caso la base se escribe entre paréntesis) que menos una potencia de base 2 (que es siempre negativa y en la que no aparecen paréntesis). Conviene practicar con varios casos para que los alumnos tengan clara esta diferencia.

• El link al que se hace referencia en el margen nos lleva a la unidad de operaciones con números enteros del proyecto Descartes. Los alumnos practicarán con el cálculo de potencias de base entera al tener que completar cuadrados mágicos multiplicativos con el cuadrado y el cubo de números enteros.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

2, 3 y 37 a 40

Medio

4 a 7, 41 a 43, 69 y 70

Alto

78

2. Operaciones de potencias con la misma base • Las operaciones con potencias de la misma base son uno de los casos más sencillos para enseñar a los alumnos a memorizar una propiedad y aplicarla en los casos correspondientes. Esta es una habilidad típicamente matemática y esencial en la formación del alumno: la capacidad de comprender un criterio general y aplicarlo a los casos particulares es imprescindible para la adquisición de la competencia matemática, así como para la correcta comprensión del método científico como forma útil de acercarse al medio físico. • Como novedad con respecto al curso pasado, se introducen en esta unidad las operaciones con potencias de base negativa, por ello debemos dedicar especial interés en resolver ejercicios como el 12. • El link del margen nos redirecciona de nuevo a una página del proyecto Descartes, en la que podemos encontrar juegos matemáticos para rellenar figuras como estrellas, cuadrados, aros cruzados, etc., cumpliendo condiciones que implican que los alumnos dominen el producto y el cociente de potencias de la misma base.


10

Medio

11, 12 y 46 a 48

Alto

72 a 74

3. Operaciones con potencias del mismo exponente • Igual que en el epígrafe anterior, el producto y el cociente de potencias con el mismo exponente es un buen ejercicio para que los alumnos aprendan a reconocer en qué casos se puede aplicar una determinada propiedad, estudiando si se verifican las condiciones necesarias para su aplicación. • En el epígrafe se distingue entre potencia de un producto (cociente) y producto (cociente) de potencias con el mismo exponente. Es preciso ver ejemplos de las dos situaciones para que los alumnos se den cuenta de que es la misma propiedad. Potencias y raíces cuadradas

Unidad 2

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Sugerencias didácticas

• Para que los alumnos comprendan que la potencia de una suma (resta) no es igual a la suma (resta) de las potencias de los sumandos, conviene poner ejemplos numéricos, ya que les cuesta mucho verlo con fórmulas, para que puedan comprobar por ellos mismos el resultado. Además, conviene que lo asimilen bien de cara a la unidad 5, en la que se introducen por primera vez las igualdades notables. • Los ejercicios 15 a 19 no supondrán problemas para los alumnos, ya que solo deben aplicar las propiedades reseñadas en este epígrafe. Sin embargo, en el resto de ejercicios aparecen expresiones en las que se combinan todas las propiedades de las potencias, para que los alumnos aprendan a discriminar qué propiedad hay que aplicar en cada caso. Para ello conviene dedicar una sesión exclusivamente a la reducción de expresiones a una sola potencia.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• La sección “En la red” habla de unos números curiosos, los cuadratines, que verifican numerosas propiedades relacionadas con los cuadrados perfectos: – Todos sus dígitos son cuadrados. – Son cuadrados perfectos. – Si separamos el número en parejas de dígitos de derecha a izquierda, estas parejas son cuadrados perfectos si los consideramos como números de 2 cifras. La actividad que aparece en esta página va dirigida a los alumnos que dominan el cálculo numérico. Pueden realizarla por sí solos, ya que pueden enlazar con la solución, que viene muy bien detallada.


27, 28, 54 a 58 y 67

Medio

29, 30, 68 y 71

Alto Básico

15 a 19 y 44

Medio

20 a 22, 49 y 50

Alto

23, 24, 51 a 53 y 76

4. Cuadrados perfectos y raíces cuadradas • Los alumnos ya han practicado en el curso anterior con el cálculo de raíces cuadradas exactas a partir del cuadrado de un número, pero daban solo la raíz positiva. En este curso se introduce por primera vez la noción de que un número entero positivo tiene dos raíces cuadradas: una positiva y otra negativa. • Este es posiblemente uno de los epígrafes más interesantes de la unidad, el estudio de las aproximaciones de raíces cuadradas ofrece muchas posibilidades para trabajar tanto con aquellos alumnos que tengan más dificultades como con los que posean un nivel más alto. • Hay muchas técnicas para el cálculo de raíces cuadradas exactas que evitan el uso del algoritmo y tienen gran utilidad didáctica: posiblemente la más sencilla sea la descomposición en factores primos del radicando, lo que nos permite el cálculo de la raíz sin más que dividir entre dos los exponentes. Esta es una estrategia que se puede trabajar con los alumnos con más dificultades y servirá también para afianzar la descomposición en factores primos. Pero se pueden estudiar otras propiedades muy interesantes, como: – El estudio de la última cifra del cuadrado en función de la última cifra de la base. Para ello conviene que pidamos a los alumnos que escriban los cuadrados de los 25 primeros números naturales, con el fin de que encuentren regularidades. – Cómo acotar la raíz entre dos valores en función de sus primeras cifras. • Se introduce también la propiedad del resto de la raíz cuadrada de un número entero, que comprobaremos con algunos ejemplos sencillos.

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Unidad 2


75 y 77

5. Raíz cuadrada de un número entero • La explicación del algoritmo de cálculo de la raíz cuadrada puede suponer una buena oportunidad para insistir en la acotación entre dos decenas o dos centenas de la raíz de un número entero. Calcular la primera cifra de la raíz ya es acotarla. • Se pueden presentar varios ejercicios de este tipo en los que se pide encontrar solo la primera cifra de la raíz y, a partir de ella, y por el número de cifras del cuadrado, entre qué dos valores se encuentra dicha raíz. • Por otro lado, para aquellos alumnos que tienen más dificultades puede ser interesante calcular raíces de valores muy sencillos: 1600, 2500, 4900… Es muy importante que se familiaricen con este tipo de cuadrados perfectos, y a la vez, en estos casos el algoritmo de cálculo es tan sencillo que puede ser un buen ejercicio de refuerzo. De hecho, quizá no tenga demasiado interés calcular raíces de valores muy complicados, sino más bien casos sencillos que permitan a los alumnos calcular mentalmente la solución y a la vez aplicar el algoritmo con facilidad. • También conviene poner ejemplos de cálculo de raíces de números tanto con un número par de cifras como con un número impar.


59

Medio

31, 32, 60 y 61

6. Jerarquía de las operaciones • Como en todas las unidades en las que se tratan operaciones en distintos conjuntos numéricos, la conclusión del tema incide en la jerarquía de operadores aritméticos. Es importante esta visión globalizadora. • Se deben plantear ejercicios de dificultad creciente. La ventaja en este punto es que es fácil graduar los ejercicios proponiendo casos más largos y complejos o más cortos y sencillos según el nivel del grupo o del alumno en concreto.

Sugerencias didácticas


34, 35, 62 y 66

Medio

36 y 63 a 65

Organiza tus ideas • Se insiste en el resumen de la unidad en tres puntos básicos: la definición de potencia y raíz cuadrada, las propiedades de operaciones con potencias y la jerarquía de operadores aritméticos. Es fundamental que los alumnos memoricen correctamente tanto las propiedades de las operaciones como la jerarquía de operadores aritméticos, puesto que con frecuencia los errores que cometen vienen originados porque no saben correctamente estas propiedades. • Especialmente al realizar los primeros ejercicios de la unidad puede ser interesante que cada alumno tenga delante este resumen u otro similar para identificar en cada ejercicio qué propiedad o definición se utiliza y por qué. Fomentaremos así poco a poco la autonomía del alumno a la hora de enfrentarse a los problemas.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias

En la actividad 1, los alumnos deberán realizar esquemas en su cuaderno con los movimientos necesarios para la resolución en el caso de 3 discos. Una vez que hayan terminado les pediremos que cada uno de ellos indique el número de movimientos que ha empleado, para que a continuación lo comparen con el número que obtienen en la actividad 2. La actividad 3 nos redirecciona a una página donde los alumnos podrán practicar interactivamente con el juego en el caso de 4 y 5 discos. Para resolver la actividad 4 será necesario que empleen calculadora científica, para que den de forma aproximada el número de años que tardarían los monjes. En la actividad 5 se pretende que reflexionen sobre cómo las potencias sirven para representar números grandes y para que realicen cálculos con ellas con ayuda de la calculadora, para lo que tendrán que introducir en el orden correcto las operaciones, de acuerdo con los conocimientos adquiridos en la unidad. MANIPULA Y CALCULA. POTENCIAS QUE CRECEN En esta actividad vuelve a ponerse de manifiesto cómo las potencias pueden expresar números grandes. Podemos dividir la clase en grupos de 4 personas, ya que si lo hacen de forma individual les llevaría mucho tiempo realizar todos los cortes. Otra opción para poder realizar todos los cortes es que amontonen varios trozos del mismo tamaño y que con ayuda de un cúter realicen más de un corte a la vez. Si los alumnos han entendido bien la forma de contar los granos de maíz del inventor del ajedrez y los movimientos de las torres de Hanoi, no tendrán problemas para completar la tabla de la actividad 1. En la actividad 2 deberán aplicar las propiedades de las operaciones con potencias y proporcionalidad. No tendrán problemas a la hora de aplicar esta última, ya que es de sobra conocida.

JUEGA Y REFLEXIONA. LAS TORRES DE HANOI

INVESTIGA Y APRENDE. EL CUERPO HUMANO

Esta actividad continúa con la idea introducida en la entrada. Si bien en la entrada se resaltaba la relación de las potencias con el ajedrez, aquí se relacionan con otro juego: las torres de Hanoi.

Las actividades aquí propuestas ofrecen a los alumnos ejemplos claros de cómo las matemáticas sirven para cuantificar la realidad que les rodea.

En la introducción de la actividad se refleja la leyenda del juego que recoge Perelman en su libro Matemáticas recreativas. Sería interesante llevar al aula algún ejemplar de este libro para que los alumnos lo ojeen y muestren interés y gusto por los libros de acertijos y juegos matemáticos, tratando de resolver algunos de los acertijos que en él aparecen, empleando los conocimientos matemáticos que poseen. Las actividades 1, 2 y 3 giran en torno a la resolución del juego en diferentes casos.

Tendremos que indicarles que las operaciones deberán realizarlas con aproximaciones y ayuda de la calculadora. Para la actividad 3, podríamos pedirles que lleven a clase los resultados de algún análisis de sangre para que vean cómo se indican los valores de cada uno de los indicadores. Además, esta actividad les permite realizar una reflexión sobre lo aconsejable de llevar una dieta saludable, no solo para controlar el colesterol, sino también para mantener dentro de los intervalos adecuados el resto de los principales elementos bioquímicos presentes en la sangre.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.


Unidad 2

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Actividades de refuerzo Unidad 2


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían conseguir son: • Calcular con agilidad el valor de las potencias de base entera y exponente natural. • Trabajar con potencias de números enteros. • Hallar el signo de la potencia en función del de la base y del tipo de exponente (par o impar). • Operar con potencias, sobre todo, producto y cociente de potencias con la misma base. • Identificar a1 con a, y a0 con 1. • Calcular raíces cuadradas, dando especial importancia al cálculo de soluciones enteras por ser este uno de los procedimientos básicos en el curso. En este nivel todavía se pueden emplear juegos en clase con gran aprovechamiento didáctico, lo que probablemente no ocurrirá en cursos posteriores. Especialmente para aquellos alumnos que tienen más dificultades, los juegos pueden presentar un enfoque diferente que les ayude a superarlas.

ACTIVIDAD DE GRUPO La oca de potencias Se utilizan varios tableros del juego de la oca y los correspondientes dados, un tablero y un dado por cada grupo que se forme. Los grupos deben ser de cuatro personas y competirán dos contra dos. La actividad consiste en que cada uno de estos grupos juegue una partida de la oca, pero avanzando en cada tirada tantas casillas como 2 elevado a lo que marque el dado. Se puede aumentar la dificultad avanzando en cada tirada tantas casillas como 23 ⋅ 2n, donde n es la puntuación obtenida. A medida que los alumnos adquieran agilidad con las potencias de 2, se puede variar el juego usando como base el 3 o el 4. Incluso podemos usar bases negativas, por ejemplo, −2. Si el resultado de la potencia es negativo porque el exponente es impar, el jugador debe retroceder en lugar de avanzar. Esta variante del juego puede resultar muy divertida y además útil para que los alumnos se familiaricen con las potencias de base negativa.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) −33 = −27 b) −53 = −125

c) −8 d) −1

4. a) 51 = 5

d) 82 = 64

b) 62 = 36

e) 92 = 81

c) 72 = 49

f) 102 = 100

2. a) 35

d) 74

b) 43

e) 86

5. a) 46 = (42)3

c) 65

f) 93

b) 54 = (54)1

e) 820 = (810)2

c) 612 = (66)2

f) 928 = (92)14

d) 710 = (72)5

3. a) 6 b) 6

6. a) 484 = 22 ⋅112 = 2⋅11= 22

c) 3

b) 256 = 28 = 24 =16 c) 1024 = 210 = 25 = 32 d) 2025 = 34 ⋅52 = 32 ⋅5 = 45

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 2


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 2


1. En los siguientes apartados te proponemos algunas pistas para adivinar a qué potencia nos referimos. ¿Puedes encontrarla? a) Es una potencia de base −3. Es negativa. Tiene dos cifras. b) Es una potencia de base −5. Tiene tres cifras. Es negativa. c) Es una potencia par. Es negativa. Tiene una cifra. d) Es una potencia impar. Es negativa. Tiene una cifra. 2. Expresa en forma de potencia única: a) 34 ⋅ 3

c) 62 ⋅ 62 ⋅ 6

e) 82 ⋅ 8 ⋅ 83

b) 43 ⋅ 40

d) 72 ⋅ 7 ⋅ 7

f) 9 ⋅ 92 ⋅ 90

3. Sustituye el signo de interrogación por el exponente correspondiente. a) 108 ⋅ 10? = 1014

b) 119 ⋅ 11? = 1115

c) 123 ⋅ 124 ⋅ 12? = 1210

4. Expresa en forma de potencia única y halla el valor de las siguientes expresiones. a) 54 : 53

c) 710 : 78

e) 913 : 911

b) 69 : 67

d) 812 : 810

f) 103 : 10

5. Expresa en forma de potencia única y luego vuelve a convertirlo en potencia de una potencia, pero con exponentes diferentes a los dados. a) (43)2

c) (64)3

e) (84)5

b) (52)2

d) (75)2

f) (97)4

6. Un método muy sencillo para calcular raíces cuadradas cuando son exactas es utilizar la descomposición en factores primos. Por ejemplo, si queremos calcular la raíz de 324, solo hay que descomponer 324 en factores primos y obtenemos: 324 = 22 ⋅ 34 Ahora, para calcular la raíz cuadrada solo tenemos que dividir entre dos los exponentes de los factores, en este caso 2 y 4. Y así obtenemos: 324 = 22 ⋅ 34 = 2⋅ 32 =18 Calcula usando este método las siguientes raíces. b) 256

c) 1024

d) 2025

Página fotocopiable

a) 484


Unidad 2

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Actividades de ampliación Unidad 2


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El estudio de potencias y raíces cuadradas ofrece ciertas posibilidades para trabajar con aquellos alumnos con un nivel más avanzado. En este sentido se proponen ejercicios con varias líneas de trabajo diferentes: se pueden tratar problemas en los que se estudie cómo se comportan las potencias con una base determinada a medida que aumentamos el exponente. El objetivo es presentar un acercamiento muy elemental al concepto de límite y al estudio de la función exponencial. Por otro lado, esta es una unidad en la que se tratan solamente las operaciones más básicas de potencias; por ello, otra posible línea de trabajo dentro de la ampliación son los problemas en los que se resuelvan operaciones más complicadas que las tratadas en el texto. Se proponen aquí algunos casos. Este tipo de ejercicios pueden resultar interesantes para preparar mejor a los alumnos para cursos posteriores.

ACTIVIDAD DE GRUPO ¿Quién es el más rápido? Vamos a competir por grupos para ver quién puede calcular raíces exactas más rápidamente. Antes de comenzar hay que enseñar a los alumnos algunos trucos para tantear cuál puede ser la raíz cuadrada de un número: si estudiamos las primeras cifras del cuadrado, podemos calcular inmediatamente la primera cifra de la raíz; observando la última cifra del cuadrado podemos limitar los casos para la última cifra de la raíz. Una vez se han seleccionado unos pocos casos posibles, se comprueba cuál es el correcto. Al principio se proponen casos sencillos de cuadrados de enteros con dos cifras: 1225, 1764, 3969, 5776, 5929… y a medida que los alumnos mejoran estas técnicas de tanteo se puede aumentar la dificultad. El objetivo de esta actividad es que los alumnos aprendan a desarrollar sus propias estrategias para resolver problemas y que se acostumbren a establecer hipótesis y comprobarlas. Además, la organización del trabajo en grupos para realizar más rápido varias comprobaciones resulta también un buen aprendizaje para ellos.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1 1 1 1 1 1. a) , , , , 2 4 8 16 32 b) Se hace cada vez más pequeño, por lo que se va acercando a cero. (−2)9 79 1 b) 16 9

5. a) Se hace cada vez más grande. b) A cero c) A ninguno 6. 729

2. a)

7. a) 1 8. a)

3. a) 2−1 b) 54 ⋅ 33 4. El resto es 1.

b)

b)

1 2

2 25 2 5

c) 5

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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Unidad 2


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 2


1. Potencias de base racional: La paradoja de Zenón. En el siglo V antes de Cristo, un filósofo griego, Zenón de Elea, quiso demostrar que el movimiento no existe, y para ello razonó de la siguiente manera: “Si quiero ir de A a B, primero debo recorrer la mitad de la distancia AB. Después, la mitad de lo que queda; después, la mitad del resto…, y así sucesivamente. El proceso ha de repetirse infinitas veces y, por tanto, el tiempo que se requiere es infinito. En conclusión, nunca llegaré a B”. Supongamos que queremos recorrer una distancia de 1 km. a) ¿Qué distancia recorreremos en cada paso siguiendo el proceso descrito por Zenón? Expresa el resultado con un número racional. Calcula la distancia recorrida en los 5 primeros pasos. ⎛ 1⎞ b) ¿A qué valor se acerca ⎜⎜ ⎟⎟⎟ si tomamos valores muy grandes de n? ⎜⎜⎝ 2 ⎟⎠ n

2. Expresa como cociente de dos potencias: ⎛⎛ ⎞3 ⎞⎟ ⎜ −2 a) ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⎟⎟⎟⎠

2

⎛ 1⎞ b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 9 ⎟⎠

⎛ −2 ⎞ ⋅⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 7 ⎠⎟

3

4

⎛ 1 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜⎝ 9 ⎟⎟⎠

2

⎛⎛ ⎞5 ⎞⎟ ⎜⎜⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜⎜⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎝⎜⎝ 9 ⎟⎠ ⎟⎟⎠

2

3. Escribe el resultado lo más simplificado posible. a)

2⋅(−2)2 ⋅ 8 ⋅(22 )3 4 ⋅ 24 ⋅16⋅ 23

b)

5n+1 ⋅ 5n+3 25n : 81n−1 32n−3 ⋅ 9n+1

4. Si elevamos 100 a la 100ª potencia y dividimos el resultado entre 11, ¿cuál es el resto? 5. a) ¿A qué valor se acerca 3n si n es grande? ⎛ 1⎞ b) ¿A qué valor se acerca ⎜⎜ ⎟⎟⎟ si n es grande? ⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ n

⎛ 1⎞ c) ¿A qué valor se acerca ⎜⎜− ⎟⎟⎟ si n es grande? ⎜⎜⎝ 3 ⎟⎠ n

6. Tenemos una potencia de 3 de tres cifras y una potencia de 5 también de tres cifras. Si la cifra de las decenas de la potencia de 5 coincide con la cifra de las decenas de la potencia de 3, ¿de qué potencia de 3 estamos hablando? 7. Simplifica las siguientes expresiones. a)

7 3 7 ⋅ 3 7

b)

5 2 2 ⋅ 4 10

8. Calcula las siguientes operaciones. 4 625

b)

8 25 4 625

c)

50


a)

2


Unidad 2

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PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 2


APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Calcula el valor de las siguientes potencias indicando su base y su exponente. a) 43

c) (−5)1

b) (−2)3

d) 1123

e) (−10)4

2. El producto nacional bruto per cápita de un país se calcula dividiendo el producto nacional bruto (PNB) entre el número de habitantes. Calcula el producto nacional bruto per cápita de un país con 106 habitantes y un producto nacional bruto de 1010 dólares. 3. Expresa como potencia única y calcula su valor: a)

26 22

c) 31 ⋅ 34

b) (−2)4 : (−2)4

d) (−5)2)3

4. Expresa como potencia única y calcula su valor: a)

22 ⋅ 25 ⋅ 23 (22 )3

b)

(−3)3 ⋅(−3) ((−3)2 )2

5. Calcula el valor de las siguientes raíces. a) 225

c) 81

b) 64

d) 625

6. Calcula el valor y el resto de las siguientes raíces. a) 185

b) 684

7. Expresa como única raíz: a) 5 ⋅ 30

c) 5 ⋅ 2 ⋅ 3

b) 6 : 2

d) 5 ⋅

2⋅ 8

e) (3 3 ⋅7 5 ⋅5 21):(3 3 ⋅ 8 21) f) 4

20 8. Simplifica todo lo que puedas y calcula: a)

34 ( 3 )2 ⋅ (32 )2


b) 2 3 ⋅ 3 −(−5)2

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Unidad 2


c) 3 3 ⋅7 21+ 3 3 ⋅ 8 21 d) 32 ⋅(32 ⋅ 3 −(−3)2 ⋅ 3 )

2 ⋅ 3 3

Propuesta de evaluación


Unidad 2

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) base 4, exponente 3, valor 64 b) base −2, exponente 3, valor −8 c) base −5, exponente 1, valor −5 d) base 1, exponente 123, valor 1 e) base −10, exponente 4, valor 10 000 2. 104 = 10 000 dólares 3. a) 24 = 16

b) (−2)0 = 1

4. a) 24 = 16

b) 30 = 1

5. a) 15

b) 9

6. a) Raíz: 13, resto: 16

b) Raíz: 26, resto: 8

7. a)

150

b)

3

c)

30

8. a) 3 b) −19

c) 35 = 243

d) (−5)6 = 15 625

c) 8

d) 25

d) 4 = 2 35 5 e) 8 f) 4 2

c) 45 63 d) 0


Unidad 2

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Unidad 2

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO


Adquirir el hábito de la lectura considerándola fuente de placer y conocimiento.

– Conoce libros de matemáticas recreativas y muestra interés en su lectura. Juega y reflexiona

Argumentar con espíritu crítico y constructivo.

– Elabora un pequeño informe. Investiga y aprende

Matemática Razonamiento y argumentación

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

– Deduce fórmulas a partir de pasos anteriores. Desarrolla tus competencias, 3 Calcula razonadamente el grosor de un folio. Manipula y calcula

Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Opera con números grandes y pequeños. Investiga y aprende, 1 y 2 – Utiliza tablas para representar información. Desarrolla tus competencias, 1 y 2

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Conoce características del cuerpo humano. Investiga y aprende

Argumentar de manera razonada las consecuencias de diferentes modos de vida.

– Explica las consecuencias del colesterol y cómo controlarlo. Investiga y aprende, 3

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en internet para complementar la información. En la red. Juega y reflexiona – Visita librosvivos para realizar distintas actividades. Actividades 8 y 25

Valorar el aprendizaje como enriquecimiento personal y social.

– Valora los conocimientos adquiridos y disfruta de la parte lúdica de las matemáticas. Juega y reflexiona

Admitir la diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar estrategias para solventarlo.

– Busca la forma de resolver un juego y compara las respuestas. Juega y reflexiona

Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

– Inventa estrategias de resolución de problemas. Desarrolla tus competencias, 3 Juega y reflexiona Manipula y calcula

Lingüística Comunicación escrita

Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable

Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información Aprender a aprender Conocimiento del propio proceso de aprendizaje Aprender a aprender Construcción del conocimiento Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO

2

2esomapi Gd Esu02

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