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GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

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ESO

Funciones de proporcionalidad directa e indirecta

2 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.

Programación de aula Unidad 9


Puesto que las funciones expresan la relación entre dos magnitudes, es natural estudiar las funciones que se obtienen a partir de dos de las relaciones que han aparecido en este curso: la función de proporcionalidad directa y la función de proporcionalidad inversa. En este punto es importante destacar la importancia que tiene el trabajo realizado con las expresiones algebraicas para obtener fórmulas, puesto que se va a introducir la expresión analítica de estas funciones a partir del estudio de una relación de proporcionalidad numérica expresada mediante una tabla. Es primordial que los 2 alumnos relacionen las expresiones y = mx e y = con las funciones de proporcionalidad directa e inversa y las usen x para representarlas gráficamente. Además de las funciones de proporcionalidad directa estudiaremos las funciones lineales, haciendo ver a los alumnos que no todas las rectas son funciones de proporcionalidad directa, sino que solo lo son las que pasan por el origen de coordenadas. A la pendiente de una recta se le da significado geométrico con el fin de aplicarlo al estudio de rectas paralelas, haciendo notar que en el caso de funciones de proporcionalidad directa coincide con la constante de proporcionalidad. Se introduce también la función de proporcionalidad inversa. Hay que hacer notar que no es una recta, y al principio habrá que ayudarles a representarlas. Es fundamental que descubran que los puntos no se pueden unir por líneas rectas, sino que la función es una curva.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Reconocer situaciones reales en las que aparezcan funciones de proporcionalidad directa.

1.1 Hallar la expresión de una función de proporcionalidad directa identificando la pendiente.

2. Identificar funciones lineales, distinguiendo la pendiente y la ordenada en el origen.

2.1 Calcular los parámetros de una función lineal.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística

2.2 Representar funciones lineales.

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana

2.3 Determinar rectas paralelas a una dada.

• Cultural y artística

2.4 Indicar si una función lineal es creciente o decreciente.

• Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

3. Reconocer las características y la gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

3.1 Hallar la expresión de una función de proporcionalidad inversa.

• Autonomía e iniciativa personal

3.2 Representar una función de proporcionalidad inversa.

CONTENIDOS • Funciones de proporcionalidad directa

• Rectas paralelas

• Representación de funciones de proporcionalidad directa

• Rectas paralelas a los ejes

• Función lineal o afín

• Obtención de ecuaciones de rectas paralelas a los ejes

• Representación de funciones lineales

2

• Función de proporcionalidad inversa

• Pendiente y ordenada en el origen

• Representación de la función de proporcionalidad inversa. Hipérbola

• Obtención de la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal

• Interpretación de situaciones reales y de otras ciencias por medio de gráficas

Unidad 9


Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para que los alumnos puedan enfrentarse a los contenidos de esta unidad deben manejar con soltura la construcción de una tabla de valores y la gráfica asociada a ella. También deben recordar las relaciones de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa, identificar cuándo dos magnitudes están relacionadas y calcular la constante de proporcionalidad en cada caso.

2. Previsión de dificultades Los alumnos presentarán dificultades a la hora de interpretar situaciones reales y asociarles la función adecuada que las representa. Para evitarlo, se ha acompañado la explicación de cada tipo de función con ejemplos de la vida que rodea a los alumnos y se ha dedicado de forma específica el epígrafe 6 a la interpretación de situaciones reales mediante gráficas.

3. Vinculación con otras áreas En la unidad anterior ya se vio que las funciones están presentes en múltiples ejemplos de la vida cotidiana y otras ciencias. En particular encontramos numerosas situaciones que pueden representarse mediante las funciones lineales y de proporcionalidad inversa, tales como paso de grados Celsius a Fahrenheit, ejemplo que ya apareció en la unidad anterior, y que en esta se detalla en la sección de “Desarrolla tus competencias”. Se trabajan también otras situaciones como el consumo de agua caliente, coste de llamada telefónica…

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza trabajando en la sección de “Desarrolla tus competencias” un ejemplo concreto de cómo se aplican las funciones lineales en otras ciencias, con la relación entre las diferentes unidades para medir la temperatura. El primer epígrafe describe las características de la función de proporcionalidad directa para pasar a desarrollar en los dos siguientes epígrafes las funciones lineales, explicando el significado de la pendiente y la ordenada en el origen. Como complemento se estudia cuándo dos rectas son paralelas y cuándo las rectas son paralelas a los ejes. A continuación se introduce la función de proporcionalidad inversa, describiendo sus elementos y entreteniéndose en su representación gráfica. La unidad termina con la interpretación de situaciones reales mediante gráficas, buscando la expresión que representa la situación.

FUNCIONES LINEALES Proporcionalidad directa

Pendiente Ordenada en el origen

Representación de rectas Rectas paralelas

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Hipérbola Interpretación de situaciones reales

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Desarrolla tus competencias 2.ª Función de proporcionalidad directa 3.ª Funciones lineales. Pendiente y ordenada en el origen 4.ª Rectas paralelas 5.ª Función de proporcionalidad inversa 6.ª Interpretación de situaciones reales mediante gráficas 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Trabajo de las competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.


Unidad 9

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, los problemas contextualizados y las actividades de “Pon a prueba tus competencias” desarrollan de forma más específica la mayoría de los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. Al estar dedicada la unidad al estudio de las funciones lineales y de las funciones de proporcionalidad inversa, se trabajan de una forma específica los descriptores de todas las subcompetencias que hacen referencia a la interpretación de la información y a la aplicación de las funciones y gráficas para describir la realidad.

Competencia para la interacción con el mundo físico En las secciones de “Desarrolla tus competencias” y “Temperatura espacial” de “Pon a prueba tus competencias” se introducen las diferentes unidades que hay para medir la temperatura, indicando bajo qué contexto conviene utilizar cada una, y estableciendo la relación que hay entre ellas, por lo que podremos trabajar la subcompetencia aplicación del método científico en diferentes contextos.

Competencia social y ciudadana La actividad 59 permite que los alumnos hagan una reflexión sobre la falta de alimentos en los países en vías de desarrollo y muestren su solidaridad, desarrollando la subcompetencia compromiso solidario con la realidad personal y social.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja de forma específica la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información a través del descriptor buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Al tener que interpretar datos dados en tablas para poderlos expresar de una forma más clara en una gráfica y tener que interpretar gráficas para poder sacar conclusiones sobre la relación existente entre dos magnitudes, también desarrollaremos el descriptor organizar la información, relacionarla y sintetizarla, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en la sección de “Autoevaluación” y de las actividades propuestas, con mayor carácter las de ampliación, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de construcción del propio conocimiento. También se trabaja el descriptor mostrar curiosidad y deseo de aprendizaje con las actividades de “Por esa regla de tres” de la sección “Pon a prueba tus competencias”.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Las actividades de “Tu edad en el espacio” permiten trabajar la subcompetencia planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre tu edad en el espacio en la que, además de la competencia autonomía e iniciativa personal , citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan las competencias y subcompetencias: • Lingüística: Comunicación escrita. • Tratamiento de la información y competencia digital: Uso de las herramientas tecnológicas y uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas. • Aprender a aprender: Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento. • Autonomía e iniciativa personal: Desarrollo de la autonomía personal. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas. 4

Unidad 9



TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Aplicar de forma efectiva las habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa.

– Responde a cuestiones de forma razonada y coherente. Pon a prueba tus competencias: Analiza y relaciona, 2

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Enriquece el vocabulario comprendiendo el significado coloquial de expresiones matemáticas. Pon a prueba tus competencias: Habla con matemáticas, 1

Argumentar con espíritu crítico y constructivo.

Razonamiento y argumentación

Interpretar y expresar con claridad y precisión distintos tipos de información, datos y argumentaciones, utilizando vocabulario matemático. Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

Matemática

– Participa en debates. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 6 – Explica términos relacionados con las matemáticas. Pon a prueba tus competencias: Habla con matemáticas, 1 – Responde una cuestión utilizando pistas. Desarrolla tus competencias, II y IV – Utiliza las gráficas para describir la realidad.

Resolución de problemas

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Actividades 28, 29 y 64 – Utiliza las funciones para calcular el consumo de electricidad. Actividad 63

Interacción con el mundo físico

Aplicación del método científico en diferentes contextos

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos.

– Conoce las diferentes unidades de temperatura. Pon a prueba tus competencias: Busca y compara

Social y ciudadana

Compromiso solidario con la realidad personal y social

Mantener una actitud constructiva, solidaria y responsable ante los problemas sociales.

– Es consciente de las necesidades de los países en vías de desarrollo. Actividad 59 – Busca en internet para complementar la información. En la red

Tratamiento de la información y competencia digital

Aprender a aprender

Autonomía e iniciativa personal

Pon a prueba tus competencias: Busca y compara, 1 Aprende a pensar, 1 – Visita librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 5 y 27

Obtención, transformación y comunicación de la información

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Construcción del conocimiento

Mostrar curiosidad y deseo de aprendizaje.

– Muestra interés por encontrar significados a algunas expresiones Pon a prueba tus competencias: Habla con matemáticas, 4

Planificación y realización de proyectos

Conocer y poner en práctica las fases del desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Realiza actividades siguiendo unas pautas. Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 4


Unidad 9

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EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación ciudadana: actividades 9, 26 y 63 • Educación medioambiental: ejemplo 7 • Educación para el desarrollo: actividad 59

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

Bibliográficos

• Cuadernos de Matemáticas. 2.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, funciones y estadística – Unidad II. Funciones SM

• Cuaderno de refuerzo de Matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO – Unidad 9. Gráficas y funciones • Cuaderno de matemáticas para la vida. 2.º de ESO – Matemáticas en vena • Cuadernos de resolución de problemas I y II

Otros

Internet

SM

AZCÁRATE, C., y DEULOFEU J.: Funciones y gráficas. Guía didáctica para explicar las funciones en enseñanza secundaria. www.smconectados.com www.librosvivos.net Unidad didáctica del programa Descartes sobre la función de proporcionalidad directa:

Otros

www.e-sm.net/2esomatprd13 Funciones y gráficas del tema de funciones del libro de 2.º de ESO del CIDEAD:

Otros materiales

www.e-sm.net/2esomatprd14

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Unidad 9

• Programas como el GeoGebra para representar funciones.


Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias La imagen de entrada con la lámpara del genio nos ayudará a que los alumnos lean con detenimiento y ganas el texto. I y II. En el texto se habla sobre cambios de temperatura. Los alumnos ya saben por el ejercicio 57 de la unidad anterior que hay diferentes unidades para medir la temperatura, lo que les da una pista para contestar a las dos primeras actividades. III. Los alumnos deberán responder a esta pregunta aplicando proporcionalidad, aun no siendo lo correcto. Aunque algunos emplearán la fórmula del ejercicio 57. Sería interesante que buscaran en internet alguna página de predicción meteorológica extranjera, a ser posible anglosajona, para que vean que efectivamente las temperaturas vienen dadas en grados Fahrenheit. IV. En esta actividad se recuerda la relación entre grados Celsius y grados Fahrenheit, por lo que los alumnos que no la hayan utilizado en la actividad anterior, podrán emplearla ahora. V. Una vez que hayan expresado mediante una fórmula la relación entre grados Kelvin y grados Celsius, podemos pedirles que encuentren la fórmula que relaciona los grados Fahrenheit con los Kelvin.

1. Funciones de proporcionalidad directa • Es muy importante que los alumnos identifiquen todos los elementos que caracterizan a las funciones de proporcionalidad directa identificando la constante de proporcionalidad en la fórmula. • Para que vean la característica común de las funciones de proporcionalidad podemos dibujar en unos mismos ejes coordenados las gráficas de varias funciones en donde la constante de proporcionalidad sea: – Positiva y entera – Positiva y fraccionaria – Negativa y entera – Negativa y fraccionaria • A la vista de los ejemplos, los alumnos deben ser capaces de relacionar si una función de proporcionalidad directa es creciente o decreciente con el signo de la constante. • Al igual que se hizo en el tema anterior, conviene poner ejemplos de funciones de proporcionalidad en los que a la hora de representar su gráfica no puedan unirse los puntos. Tal es el caso de la actividad resuelta 1. • También conviene poner algún ejemplo donde la constante de proporcionalidad sea negativa. Entre algunos de ellos encontramos el descenso constante de la velocidad de un coche y el vaciado de un camión cisterna. • Una vez que se hayan visto el ejemplo y el ejercicio resuelto 1, podemos pedir a los alumnos que indiquen ejemplos de funciones de proporcionalidad directa que están presentes a su alrededor.

• A la hora de dibujar la recta asociada a una función, ya sea de proporcionalidad directa o afín, conviene que acostumbremos a los alumnos a que den tres valores en la tabla, ya que si alguno queda fuera de la línea, les permitirá descubrir que han cometido un error.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

2 a 4 y 59

Medio

34 y 60

2. Funciones lineales • Es recomendable dibujar en unos mismos ejes coordenados diferentes funciones afines, dejando fija la constante m y variando la n, incluyendo el caso en el que n = 0, para que vean que en el caso en que n es diferente de 0, las rectas no pasan por el origen. • A la vista de los ejemplos, los alumnos se darán cuenta de que las funciones de proporcionalidad directa son un caso particular de las funciones lineales. • Conviene dibujar también funciones lineales con la misma n y variando la m para que se den cuenta de que todas ellas pasan por el punto (0, n). • Podemos pedir a los alumnos que traigan a clase facturas de teléfono, de gas o de electricidad, para que observen que en la mayoría de ellas el coste se calcula de la misma manera: una cantidad fija, dependiente de ciertos parámetros, y una cantidad proporcional al consumo.


7 a 9, 30 a 33 y 58

Medio

35 y 36

Alto

37 y 67 a 71

Ejemplo 2. Podemos aprovechar esta actividad para que los alumnos reflexionen sobre el derroche del agua.

3. Pendiente y ordenada en el origen • Los alumnos no tendrán problemas a la hora de indicar la ordenada en el origen de una función lineal que venga dada por su gráfica. Sin embargo, sí que tendrán problemas a la hora de hallar la pendiente. • Para comprender el concepto de pendiente es muy ilustrativa la referencia que se hace en el margen sobre la pendiente en una carretera. Observando lo que significa esa señal, los alumnos asimilarán, no sin dificultades, que la pendiente es la variación del desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal. • Para calcular la pendiente a través de la gráfica, les diremos a los alumnos que marquen dos puntos cualesquiera de la recta, con la condición, si es posible, de coordenadas enteras. Una vez que estén marcados los puntos, les diremos que se imaginen que tienen que desplazarse de uno a otro empleando para ello solo desplazamientos horizontales y verticales. Cuando tengan marcado el desplazamiento en los ejes, deberán contar las casillas que recorren cada vez.


Unidad 9

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Sugerencias didácticas

Para calcular la pendiente tendrán que hacer el cociente entre el número de casillas de desplazamiento horizontal, acompañado de signo menos si el desplazamiento es de derecha a izquierda, y el número de casillas de desplazamiento vertical, acompañado de signo menos si el desplazamiento es de arriba abajo. En el ejemplo 3, marcaríamos para la recta y = 3x + 4 los puntos P(−2, −2) y Q(0, 4), y haríamos el desplazamiento de P a Q. Para ello tendríamos que avanzar 6 casillas verticalmente hacia arriba y dos casillas horizontalmente hacia la derecha. • Si lo considerásemos oportuno, y en función del nivel de la clase, podríamos resolver el ejercicio 50, que indica de forma rigurosa el cálculo de la pendiente de una recta. • Conviene hacer muchos ejemplos de cálculo de pendientes y ordenadas en el origen a través de la gráfica, teniendo en cuenta que la ordenada sea siempre entera. • A los alumnos aventajados podemos plantearles ejercicios en los que tengan que hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y que lo resuelvan con ayuda de sistemas. • En el enlace del margen podemos encontrar una actividad realizada con GeoGebra en la que podemos ver cómo varía una recta, dejando fija la pendiente y variando la ordenada, y viceversa, dejando fija la ordenada y variando la pendiente. Esta actividad es muy útil como introducción al siguiente epígrafe.


De 11 a 14 y 38 a 40

Medio

15, 42, 62 y 63 72 y 73

Alto

4. Rectas paralelas • En el epígrafe 2, a la hora de explicar las funciones lineales, se recomendaba dibujar en unos mismos ejes rectas que tuvieran la misma pendiente, pero diferente ordenada. Si no se hizo en esa ocasión, conviene que lo hagamos en este punto, ya que así comprobarán que las rectas que tienen la misma pendiente son paralelas. • Es importante que los alumnos tengan claro que las rectas paralelas al eje de ordenadas no son representación gráfica de ninguna función, ya que a un mismo valor de x le corresponden infinitas imágenes. • Para relacionar las rectas paralelas a los ejes con sus ecuaciones, conviene que marquemos sobre ellas los puntos y que vean que cuando se trata de una recta paralela al eje X, todos los puntos que están sobre ella verifican que la segunda coordenada es la misma, y que cuando se trata de una recta paralela al eje Y, los puntos tienen en común la primera coordenada.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• Antes de empezar con la definición de proporcionalidad conviene que hagamos un pequeño ejercicio en clase, pidiendo a los alumnos que nos den ejemplos de magnitudes inversamente proporcionales. Escogeremos uno de ellos y completaremos una tabla a partir de una relación inicial también dada por ellos. A la vista de la tabla, les recordaremos la característica de las magnitudes relacionadas inversamente, que el producto de los valores correspondientes es constante y que este valor común es la constante de proporcionalidad. De esta manera, deducir la fórmula de una función de proporcionalidad inversa es inmediato. • A continuación expondremos el ejemplo, deteniéndonos en la forma de la gráfica. • Una vez visto el ejemplo, en donde el dominio son los números positivos, conviene que representemos en unos 1 1 mismos ejes las funciones f (x)= y f (x)=− , dibujando x x cada una de ellas con un color diferente. Para la repre1 1 sentación buscaremos las imágenes de ± , ± , ±1, ±2 4 2 y ±4 en ambos casos. De esta manera, los alumnos podrán apreciar las características comunes de las funciones de proporcionalidad inversa y las diferencias que existen cuando la constante es positiva o negativa. • Para ver la variación de las ramas de la hipérbola en función del valor de la constante conviene que realicemos algunas de las actividades a las que nos redirecciona el enlace del margen. • Las actividades 55, 56 y 57 hacen referencia a funciones de proporcionalidad inversas que no están centradas en el origen. Este tipo de actividades son de especial dificultad, por lo que las utilizaremos para motivar a los alumnos más aventajados.


22 a 26, 51 y 52

Medio

53, 54 y 64 a 66

Alto

55 a 57

6. Interpretación de situaciones reales mediante gráficas • Tanto el ejemplo que aparece en el epígrafe como los ejercicios propuestos hacen referencia a las funciones que se han estudiado a lo largo de la unidad. En concreto, en el ejercicio 28 encontramos una función de proporcionalidad directa, y en el 29, una de proporcionalidad inversa. Para que a los alumnos les queden claros todos los casos conviene que, además del ejemplo, resolvamos en la pizarra los ejercicios propuestos.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico

17 a 19 y 41

Medio

43 a 49

Básico

28

50

Medio

29 y 61

Alto

8

5. Funciones de proporcionalidad inversa

Unidad 9


Sugerencias didácticas

APRENDE A PENSAR. TU EDAD EN EL ESPACIO

Organiza tus ideas • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. De esta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos. • Una segunda actividad de interés puede ser que completen el resumen con ejemplos de situaciones cotidianas que pueden describirse con ayuda de las funciones estudiadas.

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolverlos, dado que no son problemas guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias BUSCA Y COMPARA. TEMPERATURA ESPACIAL En las páginas de “Desarrolla tus competencias” se daban indicaciones sobre los cambios de unidades en la medición de las temperaturas. Podemos aprovecharlo para que los alumnos los utilicen para comprobar si la información que se obtiene en la actividad 1 es correcta. Además trabajaremos la subcompetencia Comunicación en lengua extranjera, ya que la página web a la que hace referencia el texto está en inglés. Con la pregunta 2 debemos hacer ver a los alumnos que “con vida en otros planetas” se refiere a cualquier clase de vida, aunque sean solo organismos microscópicos. ANALIZA Y RELACIONA. TU PESO EN EL ESPACIO Podemos aprovechar las tablas que aparecen para pedir a los alumnos que ordenen los planetas y los satélites en función del peso. La pregunta 2 requiere que los alumnos realicen una lectura comprensiva de lo que le dice el niño a Bart, y extraigan la información de los pesos que están comparando. Una vez que identifiquen los pesos que se comparan, como en la actividad anterior han ordenado los planetas y satélites en función del peso, no tendrán problemas para contestar.

En esta actividad volvemos a trabajar de nuevo con las características de los planetas. Para resolver las actividades 1 y 2 podemos hacer una tabla como la siguiente: Planeta

Años

Días

Duración año

Mercurio Venus Tierra … Las columnas de años y días se pueden completar con ayuda a través de la aplicación que viene en la dirección que indica el texto. Para la tercera columna bastará con dividir el dato de la primera columna entre el de la segunda. Para responder a la pregunta 3, conviene que calculemos con la misma aplicación que usamos para la actividad 1 los años que tendría en todos los planetas una persona que tuviera 10, 20 y 30 años en la Tierra y completemos una tabla como la siguiente. En la aplicación pondríamos la fecha del día en que hacemos la actividad, pero de hace 10, 20 y 30 años. Equivalencia en años Mercurio

41

83

124

Venus

16

32

48

Tierra

10

20

30

…

…

…

…

Una vez que la tabla esté completada, los alumnos podrán ir comprobando si existe proporcionalidad, sin más que ir haciendo la división entre los datos correspondientes y comprobar si el cociente es constante. En el caso de Mercurio tendríamos: 41 = 4,1 10

83 = 4,15 20

124 = 4,13 30

Y podríamos concluir con la afirmación que indica la pregunta 4, de que un año en la Tierra equivale aproximadamente a 4,1 años en Mercurio. Con los cálculos realizados para responder a la pregunta 3 y con las indicaciones que nos da la pregunta 4, será sencillo construir todas las funciones. Las funciones halladas en la pregunta 4 nos servirán perfectamente para responder a la pregunta 5, basta con sustituir 200 en la variable dependiente y hallar el valor correspondiente de la variable dependiente, que en todos los casos será t (edad en La Tierra). En la última actividad se plantea el tema de debate sobre la posibilidad de vida inteligente en otros planetas, a través del blog. HABLA CON MATEMÁTICAS. POR ESA REGLA DE TRES Al realizar las actividades propuestas en esta sección conseguiremos que los alumnos vean cómo el lenguaje cotidiano se ve enriquecido con expresiones matemáticas.

En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.


Unidad 9

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Actividades de refuerzo Unidad 9


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos principales que los alumnos deberían alcanzar son: • Representar funciones de proporcionalidad directa y lineales. • Obtener la pendiente y la ordenada en el origen de una función lineal. • Reconocer cuándo dos rectas son paralelas. • Reconocer la gráfica de una función de proporcionalidad inversa. Con las actividades propuestas se intenta motivar a los alumnos con dificultades, a la vez que afianzar los contenidos de la unidad. También se puede proponer a los alumnos que trabajen la representación de funciones con GeoGebra, como se propone en la sección de Matemáquinas. Su manejo es muy intuitivo y podrán ver, de forma inmediata, la representación de cualquier recta.

ACTIVIDAD DE GRUPO Inventando rectas Se divide la clase en 4 grupos, y a cada uno se le da la siguiente información: • Una gráfica con dos puntos dibujados • Las coordenadas de dos puntos • La pendiente y un punto • Una gráfica con una recta discontinua y un punto exterior a ella, para que tracen la paralela por el punto. El trabajo consiste en que cada grupo obtenga la información que le falta en su representación de una recta. Deben obtener la ecuación de la recta, diferenciar si es de proporcionalidad directa o lineal, elaborar una pequeña tabla de datos, la representación gráfica, su pendiente y ordenada en el origen… Luego, cada grupo tendrá que explicar al resto de la clase cómo ha ido obteniendo la información pedida.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) (0, 1) b) (–1, 0) 2.

c) Sí d) No

e) m = 1 f) y = x + 1

N. º de videojuegos

1

2

3

4

Precio

45

90

135

180

Fórmula: y = 45x 3. Se observa que son paralelas. Y

5. a) m = –1, n = 2 b) m = 2, n = 3 c) m = –3, n = 1 d) m = 1, n = 1 6. La gráfica corresponde a la función del apartado b, 2 y = , ya que se trata de una función de proporcionalidad x directa con coeficiente positivo.

1 O

4. a) con II b) con IV c) con I d) con III

1

X

Se puede sugerir a los alumnos que sustituyan algún punto en la fórmula para comprobarlo.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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Unidad 9


Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO


Unidad 9

1. En unos ejes de coordenadas, marca los puntos A(2, 3) y B(4, 5); únelos y prolonga la recta hasta que corte los ejes. a) Indica dónde corta el eje Y. b) Indica dónde corta el eje X. c) ¿Pertenece C(3, 4) a la recta? d) ¿Pertenece D(2, 4) a la recta? e) Cada vez que avanzamos una unidad sobre el eje X avanzamos también una unidad sobre el Y. ¿Cuánto vale la pendiente de la recta? f) Con los apartados b y e, da la ecuación de la recta. 2. Completa la tabla siguiente. N. º de videojuegos

1

Precio

45

2

3

4

Escribe la fórmula que relaciona el número de juegos comprados (x) con el precio que se paga (y). 3. Representa en los mismos ejes de coordenadas, con colores distintos, las rectas r: y = 2x y s: y = 2x + 1. ¿Qué observas? 4. Asocia cada fórmula de las siguientes con la gráfica que le corresponda. a) y = −x + 2 I.

b) y = 2x + 3

Y

Y

II.

1 O

c) y = −3x + 1 Y

III.

X

O

Y

IV.

1

1

1

d) y = x + 1

1

X

O

1 1

X

O

1

X

5. Indica cuál es la pendiente y la ordenada en el origen de cada recta de la actividad anterior. 6. Asocia a la siguiente gráfica la fórmula que le corresponda. Y

1

x 3 a) y = + 2 5

b) y =

2 x

1

X

c) y = −2x − 5

d) y =

Página fotocopiable

O

−2 x


Unidad 9

11

Actividades de ampliación Unidad 9


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Con esta unidad se completa el estudio de las funciones correspondientes al presente nivel. Como ampliación de la unidad, se proponen actividades más difíciles, pero con las que se pueden sacar valiosas conclusiones que ayudarán al alumno a profundizar en lo que ha aprendido. También se puede proponer a los alumnos que trabajen las funciones con WIRIS, como se propone en la sección de Matemáquinas. Se explica cómo dibujar una recta a partir de dos puntos, de un punto y otra recta paralela o perpendicular…, además de relacionar el punto de corte de dos rectas con la solución de un sistema de ecuaciones. No procede la ampliación introduciendo a otro tipo de funciones (cuadráticas, por ejemplo), pues se estudiarán en cursos posteriores.

ACTIVIDAD DE GRUPO Mural Se divide la clase en grupos, y se le proporcionan a cada uno cartulinas grandes. El trabajo que se propone es dibujar, en los mismos ejes y con distintos colores, la función de proporcionalidad inversa variando la constante de proporcionalidad. Una vez realizadas las gráficas, es muy importante que analicen cómo va cambiando la forma de la gráfica al cambiar la constante de proporcionalidad inversa y que escriban las conclusiones obtenidas.

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Ecuación: y = x a) Pendiente: m = 1 b) Forma un ángulo de 45°. c) Estará por debajo de la bisectriz. 2. a)

Y

7. 1

2

3 X

O

Punto de corte (−1, −3) Y

b)

No es posible, pues no sería una función.

1 O

1

X

A (–1, –3)

8. a) con III b) con I 9.

c) con IV d) con II

Personas: x Horas: y

3. La figura que se forma es un paralelogramo, el resto de respuestas depende de los puntos que se elijan.

1

2

5

10

20

50

100

100

50

20

10

5

2

1

Y 100

Se trata de una función de proporcionalidad inversa.

50

4. (−1, 0), (1, 2) y (−7, 6) 5. A = 4,5 unidades cuadradas

y=

10 O

10

50

100 x

100 X

6. x = −1 e y = 3

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 9


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ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN


Unidad 9

1. Halla la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante y responde a las siguientes cuestiones. a) ¿Cuál es su pendiente? b) ¿Qué ángulo forma con el eje horizontal? c) Una función lineal que forme un ángulo de 30º con el eje horizontal, ¿estará por encima o por debajo de la bisectriz? 2. Halla el punto de corte de las rectas r: y = 2x − 1 y s: y = −x − 4. Para ello: a) Resuelve el sistema de ecuaciones que forman las rectas. b) Representa ambas rectas en la misma gráfica y encuentra su intersección. 3. A partir de las dos rectas de la actividad anterior: a) Elige un punto de la recta r, distinto del de intersección con s, y halla la ecuación de la paralela a s por el mismo. b) Elige un punto de la recta s, distinto del de intersección con r, y halla la ecuación de la paralela a r por el mismo. c) Las cuatro rectas forman una figura geométrica, ¿sabes cuál? d) Halla el vértice que falta. 1 5 4. Las rectas r: y = x + 1, s: y = −x − 1 y t: y =− x + determinan un triángulo. Halla sus vértices. 2 2 5. La recta x + y = 3 forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo isósceles. Halla su área. 6. Halla la ecuación de las rectas paralelas a los ejes que pasan por el punto (−1, 3). 7. Dibuja una función de manera que al trazar una paralela al eje de abscisas por el punto (0, 2) corte a la función en tres puntos. ¿Podrías dibujar otra función que corte por tres puntos a la paralela al eje de ordenadas por el punto (4, 0)? 8. Indica cuál de las siguientes fórmulas es la que corresponde a la función de la gráfica. −4 6 8 4 a) y = b) y = c) y = d) y = x x x x Y

II.

III.

2

2 O

Y

2

X

O

Y

IV.

2 2

X

O

Y

2 2

X

O

2

X

9. Para realizar cierto trabajo son necesarias 100 horas. Elabora una tabla que exprese el número de horas que corresponde a cada una según el número de personas que realicen el trabajo. ¿De qué tipo de función se trata? Halla la función y represéntala.


Unidad 9


I.

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 9


APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Manuel ha comprado 3 kilos de naranjas por 6 euros. a) Construye una tabla de valores y halla la constante de proporcionalidad. b) Escribe la función asociada. c) Representa la función.

2. Representa la función y = −4x. ¿Es creciente o decreciente?

3. Dada la función: y = −2x + 3 a) Da la pendiente y la ordenada en el origen. b) Represéntala.

4. Halla la función lineal que pasa por los puntos A(3, 3) y B(−6, −3).

5. Dadas las rectas y = 3x − 1 e y = 3x + 7, ¿podrías decir, sin representarlas, si son paralelas? ¿Por qué?

6. Dada la ecuación de la recta y = 2x + 3, escribe la ecuación de la recta paralela que pasa por (0, 1). Represéntalas en los mismos ejes.

7. Representa la siguiente función: y =

2 x

¿Qué tipo de función es?


8. Una piscina se llena en 12 horas empleando un grifo que arroja 180 litros de agua por minuto.

14

a) ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarse la piscina si el grifo arrojase 360 litros de agua por minuto? b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? c) Escribe la función asociada. d) Representa gráficamente la función. Unidad 9


Propuesta de evaluación


Unidad 9

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) k = 2

5. Son paralelas porque tienen la misma pendiente:

Kilos de naranjas

1

2

3

4

5

Euros

2

4

6

8

10

m=3 Y

b) La función es y = 2x.

1

€

O

8 7 6 5 4 3 2 1 O

X

1

6. y = 2x + 1 Y 1 2 3 4 5 6

Kilos

1 O

X

1

2. Es una función decreciente. Y

1

Y

7.

O

X

1

1 O

3. a) m = −2, n = 3 b)

1

X

Se trata de una función de proporcionalidad inversa.

Y

8. a) Tardará 6 horas en llenarse. 1 1

X

c) y = d)

2 4. La función es y = x +1 . 3

Horas

O

b) k = 12 ⋅ 180 = 2160 2160 x 54 48 42 36 30 24 18 12 6 O

40

120 200 280 360 440 520 600 Litros/hora


Unidad 9

15

Unidad 9 Funciones de proporcionalidad directa e indirecta

Aplicar las habilidades lingüísticas y estrategias no lingüísticas para interactuar y producir textos escritos adecuados a la situación comunicativa. Lingüística Comunicación escrita

Matemática Razonamiento y argumentación

DESEMPEÑO

DESCRIPTOR

– Responde a cuestiones de forma razonada y coherente.

Analiza y relaciona, 2

Leer, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Enriquece el vocabulario comprendiendo el significado

Argumentar con espíritu crítico y constructivo.

– Participa en debates.

Utiliza procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

coloquial de expresiones matemáticas. Habla con matemáticas, 1 Aprende a pensar, 6 – Responde a la cuestión planteada utilizando pistas.

Desarrolla tus competencias, II y IV – Utiliza las gráficas para describir la realidad.

Actividades 28, 29 y 64

Matemática Resolución de problemas

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Interacción con el mundo físico Aplicación del método científico en diferentes contextos

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos.

– Conoce las diferentes unidades de temperatura.

Mantener una actitud constructiva, solidaria y responsable ante los problemas sociales.

– Es consciente de las necesidades de los países en vías

Social y ciudadana Compromiso solidario con la realidad personal y social Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Utiliza las funciones para calcular el consumo de

electricidad. Actividad 63 Desarrolla tus competencias Busca y compara de desarrollo. Actividad 59 – Busca en internet para complementar la información.

En la red. Busca y compara, 1. Aprende a pensar, 1 – Visita librosvivos.net para realizar actividades.

Actividades 5 y 27 – Muestra interés por encontrar significados a algunas

Aprender a aprender Construcción del conocimiento

Mostrar curiosidad y deseo de aprendizaje.

Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos

Conocer y poner en práctica las fases del desarrollo de un proyecto. Planificar y gestionar el tiempo con eficacia.

expresiones. Habla con matemáticas – Realiza actividades siguiendo unas pautas.

Aprende a pensar, 4

LO CONSIGUE (4 puntos)

NO CON TOTALMENTE DIFICULTAD (3 puntos) (2 puntos)

NO LO CONSIGUE (1 punto)

Matriz de evaluación de competencias

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COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA

ESO

SOLUCIONARIO

2

2esomapi Gd Esu09

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