Modul barisan dan deret terlengkapFull description
analisis deret waktu
Modul dari Universitas Gunadarma kelas 1.
Descripción: materi matematika kelas XI k13
Modul logika matematika tingkat universitasDeskripsi lengkap
Dokumen ini berisi modul matematika diskrit yang menjelaskan mengenai materi matematika diskrit disertai berbagai bentuk soal yang ada.
Full description
taylor
Deskripsi lengkap
MatematikaFull description
Modul himpunanFull description
Deskripsi lengkap
matematica 2 (ii)Full description
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
DERET KUASA
Bentuk umum deret kuasa dalam (x - b ) yaitu : ∞
∑
a k ( x
− b) k = a0 + a1( x − b) + a 2 (x − b ) 2 + ...
(*)
k = 0
Sedang untuk b = 0 maka bentuk deret sebagai berikut : ∞
∑
ak x
k
= a0 + a1x + a 2 x 2 + ...
(**)
k = 0
Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x = b dan bentuk (**) konvergen untuk untuk x = 0 ( yaitu konvergen ke a0). Pengujian apakah ada nilai x yang lain yang menyebabkan deret konvergen dilakukan sebagai berikut : ∞
∑
Misal diberikan deret
a k ( x
−b
) k
dan lim
x →∞
k = 0
a k +1 ( x ak ( x
k − b ) +1
− b)
k
= L
∞
Maka : (1) L < 1, deret
∑
a k ( x
− b) k konvergen ( mutlak )
a k ( x
− b) k divergen.
k = 0
∞
(2) L > 1, deret
∑ k = 0
Untuk L = 1 tidak dapat disimpulkan, pengujian konvergensi deret dilakukan dengan mensubstitusikan nilai x yang bersesuaian dengan L = 1 sehingga didapatkan bentuk deret bilangan. Pengujian konvergensi deret bilangan dilakukan dengan berbagai uji ( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) baik deret positif maupun deret berganti tanda. Nilai x yang didapatkan dari pengujian di atas disebut radius konvergensi atau selang konvergensi deret. Contoh : ∞
Tentukan selang konvergensi deret kuasa :
∑ k = 0
Jawab :
L
3k
x
k
( k + 1)
3k +1 x k +1 ( k + 1) k + 1 x lim = lim = = 3 x 3 k k ( ) k k + + 2 2 k →∞ k →∞ 3 x
Deret konvergen bila L < 1. Oleh karena itu, | 3 x | < 1 atau
−1
3 ∞
Bila x = - 1/3 maka didapatkan deret berganti tanda
∑
< x <
1 3
( − 1) k
.
konvergen k + 1) ( k = 0 ( Tunjukkan : menggunakan tes deret berganti tanda ). Sedang untuk x = 1/3 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matemat Matemat ika Dasar Dasar
∞
didapatkan deret
∑
1
( k + 1) k = 0
divergen ( Tunjukkan : menggunakan tes −1
perbandingan ). Jadi radius konvergensi deret kuasa adalah
3
≤ x <
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 9 ) Tentukan semua nilai x yang menyebabkan deret konvergen. ∞
1. 2. 3. 4.
x
∑
k
6.
k k = 0 ( k + 1) 2
x
k
∑ k ! ∑
k + 1
( − 1) k x 2k 7. ∑ ( 2k ) !
k
∑ k! x
∑
( − 2 ) k x k +1
8.
( − 1) k x k k
3 ( k + 1)
9.
2 k +1
x ) k
∑(− 1
( 2k + 1) !
∑(− 1
∑
5
2
k
(
)2
k Ln k
k
5.
x
) k +1
x
k
k
( Nomor 10 sd 18 ) Tentukan selang kekonvergenan dari deret: ∞
10.
( x ) k
∑
(− 1
n=0
11. 12. 13. 14.
∑
k
k + 1
( x − 1) k
15.
∑ ( − 1)
16.
∑
k
∑ ∑
− 2)
( x + 2) k
17.
k !
( x − 5) k
18.
2
k
( x ) k +1
∑(−1
+ 1)
∑ ∑
− 4) k ( k + 1) 2
( k x
( 2k + 1) ! 3 k
( x − 2) k
( Ln k)( x − 3) k k
( 2 x − 3) k 42k
k
k
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
