Bab 9
Standar Kompetensi 3. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar Kompetensi 3.1 Menentukan suku ke-n ke- n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret 3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya Tujuan Pembelaja Pembelajaran ran Siswa mampu:
Menentukan suku ke-n ke- n barisan aritmetika dan barisan geometri berhingga Menentukan suku tengah barisan aritmetika dan barisan geometri berhingga Menentukan nilai beda (b (b) barisan aritmetika dan nilai r barisan geometri berhingga Menentukan nilai beda (b (b) serta suku tengah barisan aritmetika baru Menghitung jumlah n suku pertama barisan aritmetika dan barisan geometri berhingga
DAFTAR ISI
Standar Kompetensi ................................................................................................................... ................................................................................................................... 1 Kompetensi Dasar ................................................................................................................... ................................................................................................................... 1 Tujuan Pembelajaran ...................................................... ............................................................................................................. ....................................................... 1 DAFTAR ISI.............................................................. ................................................................................................................................ .................................................................. 2 PETA KONSEP .......................................................................................................................... 3 PENDAHULUAN ....................................................................................................................... 4 Deskripsi Materi.................................................................... .......................................................................................................................... ...................................................... 4 Petunjuk Penggunaan Modul .................................................................................................... 4
3.1
Pola dan Barisan Bilangan ........................................................................... ................................................................................................ ..................... 5
A.
.................................................................................................. ........................................... 5 Pengertian Pola Bilangan .......................................................
B.
............................................................................................................... ....................................................... 5 Barisan Bilangan ........................................................
C.
Penentuan Suku ke-n ke-n (U (U n) Suatu Barisan Bilangan .......................................................... 6
3.2
Barisan dan Deret Aritmetika ........................................................................................... 9
A.
.......................................................................................................... .............................. 10 Barisan Aritmetika ............................................................................
B.
Suku Tengah Barisan Aritmetika ...................................................... .................................................................................... .............................. 11
C.
Sisipan pada barisan aritmetika .................................................................................. ...................................................................................... ..... 13
D.
Deret Aritmetika ............................................................................................................. 14
3.3
.......................................................................... ..... 17 Barisan dan Deret Geometri Berhingga .....................................................................
A.
............................................................................................................ ..... 17 Barisan Geometri .......................................................................................................
B.
Suku Tengah pada Barisan Geometri .............................................................................. .............................................................................. 18
C.
Sisipan pada Barisan Geometri ......................................................... ....................................................................................... .............................. 20
D.
.............................................................................................. .............................. 22 Deret Geometri Berhingga ................................................................
3.4
Aplikasi Barisan dan Deret ..................................................................................... ............................................................................................. ........ 23
RANGKUMAN ......................................................................................................... ......................................................................................................................... ................ 26 UJI KOMPETENSI ......................................................................... .................................................................................................................. ......................................... 29 KUNCI JAWABAN ......................................................................... .................................................................................................................. ......................................... 31 DAFTAR REFERENSI .............................................................................. ............................................................................................................ .............................. 44
Barisan dan Deret
2
PETA KONSEP
Barisan dan Deret
3
PENDAHULUAN Deskripsi Materi
Jika kita perhatikan, nomor rumah di suatu perumahan se lalu mengikuti pola yang teratur. Satu deretan rumah bernomor ganjil dan deretan lain yang berada di depannya bernomor gelap. Jadi jika nomor rumah Anda benromor 11, maka rumah yang berada di samping rumah Anda bernomor 9 dan 13, bukan 10 dan 12. Sehingga beda nomor antara dua rumah yang berdekatan selalu 2. Dengan memperhatikan pola ini, kita akan dapat menentukan, misalnya banyaknya rumah dari nomor 11 sampai 33 atau menentukan nomor rumah ke-12 dari rumah yang bernomor 32. Konsep barisan dan deret yang akan dibahas pada modul ini dapat digunakan untuk memecahkan masalah seperti di atas. Barisan dan deret banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bidang ekonomi dan perdagangan serta perbankan. Pada modul ini, kita akan mempelajari tentang pola barisan, barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri berhingga, serta aplikasi barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari.
Petunjuk Penggunaan Modul 1. Bacalah modul ini dengan seksama dan ikutilah instruksi yang diberikan
2. Baca dan pahamilah materi barisan dan deret yang ada di dalam modul 3. Untuk memeriksa pemahaman Anda maka kerjakanlah setiap latihan soal yang ada di dalam setiap sub bab modul 4. Dalam mengerjakan latihan soal, maka anda tidak diperkenankan untuk melihat kunci jawaban terlebih dahulu 5. Untuk memastikan bahwa jawaban Anda benar, maka Anda dapat melihat kunci jawaban dan pembahasan yang terletak di bagian akhir modul modul
Barisan dan Deret
4
BARISAN DAN DERET 3.1 Pola dan Barisan Bilangan A. Pengertian Pola Bilangan Di SMP kita telah mengenal berbagai macam himpunan bilangan, misalnya himpunan bilangan asli, himpunan bilangan genap dan himpunan bilangan ganjil. Apabila diperhatikan, susunan ketiga himpunan bilangan tersebut mengikuti pola atau aturan tertentu. Susunan antara dua bilangan yang berurutan pada himpunan bilangan asli yaitu 1 dan 2, 2 dan 3, 3 dan 4, selalu teratur dengan selisih satu. Dengan demikian, pola dari bilangan asli adalah bilangan pertama 1 dan bilan gan selanjutnya ditambah 1 dari bilangan sebelumnya. Dari uraian diatas, dapat diperoleh bahwa:
Pola bilangan ialah aturan yang menyebabkan bilangan-bilangan yang bersangkutan berubah secara teratur.
B. Barisan Bilangan Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis secara berurutan. Unsur-unsur atau suku-suku barisan adalah nilai-nilai suatu fungsi yang memiliki domain himpunan bilangan asli.
Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut suatu aturan tertentu a.
1, 3, 5, . . .
b.
2, 4, 6, 8, . . .
c.
1, 3, 6, 4, 5, . . .
d.
2, 5, 7, 1, 3, . . . Perhatikan barisan bilangan a, b, c, dan d. Susunan bilangan a dan b
memiliki pola atau aturan tertentu sehingga disebut barisan bilangan. Sedangkan susunan bilangan b dan c tidak memiliki pola atau aturan sehingga tidak dapat disebut barisan bilangan.
Barisan dan Deret
5
C. Penentuan Suku ke-n (U n) Suatu Barisan Bilangan Pada suatu barisan bilangan, setiap bilangan yang membentuk barisan itu disebut
suku barisan dilambangkan dengan U . Berikut beberapa ide untuk menentukan formula U n dari beberapa barisan bilangan.
Pada tahap pertama, selisih atau beda antarsuku yang berdampingan masingmasing bernilai sama.
1, 2, 3, 4, 5, . . ., U n Dari pola barisan bilangan asli di atas, maka
U 1 : Suku pertama
diperoleh U 1 = 1, U 2 = 2, U 3 = 3, U 4 = 4, U 5 =
U n : Suku ke-n atau suku umum
5 maka beda antar setiap suku ialah U 2 - U 1 =
b : beda atau selisih antarsuku
U 3 - U 2 = U 4 - U 3 = U 5 - U 4 = 2 – 1 = 3 – 2 =
Rumus suku ke-n = n + (U 1 – b)
4 – 3 = 5 – 4 = 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa beda antarsuku sama yaitu “+1” Jadi, formula suku ke-n adalah U n = n + (1 – 1) = n
0, 1, 2, 3, 4, . . ., U n Dari pola barisan bilangan asli di atas, maka diperoleh U 1 = 0, U 2 = 1, U 3 = 2, U 4 = 3, U 5 = 4 maka beda antar setiap suku ialah U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U 4 - U 3 = U 5 U 4 = 1 – 0 = 2 – 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = 1 sehingga dapat disimpulkan bahwa beda antarsuku sama yaitu “+1” Jadi, formula suku ke-n adalah U n = n + (0 – 1) = n – 1
1, 3, 5, 7, 9, . . ., U n Dari pola barisan bilangan asli di atas, maka diperoleh U 1 = 1, U 2 = 3, U 3 = 5, U 4 = 7, U 5 = 9 maka beda antar setiap suku ialah U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U 4 - U 3 = U 5 U 4 = 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2 sehingga dapat disimpulkan bahwa beda antarsuku sama yaitu “+2”. Jadi, formula suku ke-n adalah U n = 2n + (1 – 2) = 2n – 1
Barisan dan Deret
6
2, 4, 6, 8, 10, . . . , U n Dari pola barisan bilangan asli di atas, maka U 1 = 2, U 2 = 4, U 3 = 6, U 4 = 8, U 5 = 10 maka beda antar setiap suku ialah U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = U 4 - U 3 = U 5 - U 4 = 4 – 2 = 6 – 4 = 8 – 6 = 10 – 8 = 2 sehingga dapat disimpulkan bahwa beda antarsuku sama yaitu “+2”. Jadi, formula suku ke-n adalah U n = 2n + (2-2) = 2n
Pola bilangan tingkat kedua akan dijumpai jika proses aljabar di tingkat pertama tidak diperoleh hasil yang sama tetapi proses aljabar di tingkat kedua baru ditemukan hasil yang sama.
1, 3, 6, 10, . . . , U n Dari pola barisan bilangan asli di atas, maka diperoleh U 1 = 1, U 2 = 3, U 3 = 6, U 4 = 10, beda antara U 2 dan U 1 ialah 2 sedangkan beda antara U 3 dan U 2 ialah 3 sehingga untuk mendapatkan bedanya adalah dengan cara berikut. 1
3
+2
6
+3
10
...
+4
+1
tingkat satu
+1
Jadi, formula suku ke-n adalah
U n = luas segitiga = (n + 1) (n) =
tingkat dua
(n + 1) =
+
1, 4, 9, 16, . . . , U n Proses penentuan formula U n dapat dilakukan dengan mengubah bilangan ke bentuk bilangan kuadrat 1 = 12 , 4 = 2 2 , 9 = 3 2 , 16 = 4 2 , . . . , U n =
Barisan dan Deret
7
2, 6, 12, 20, 30, . . . , U n Proses penentuan formula U n dapat dilakukan dengan mengubah barisan tersebut ke dalam bentuk perkalian dua bilangan asli berurutan. U 1 = 2 = 1 × 2 = 1 × ( 1 + 1 ) U 2 = 6 = 2 × 3 = 2 × ( 2 + 1 )
Pada pengubahan 2, 6, 12, 20, 30, . . .
U 3 = 2 = 3 × 4 = 3 × ( 3 + 1 )
-
U 4 = 2 = 4 × 2 = 4 × ( 4 + 1 )
-
U 5 = 2 = 5 × 2 = 5 × ( 5 + 1 )
-
Kolom kiri berupa bilangan asli berarti U kiri = n, Kolom kanan berupa bilangan asli tambah satu, berarti U kanan = n + 1 U n = U kiri × U kanan
U n = 2 = n × ( n + 1 ) = Jadi, U n = n ( n + 1 ) =
.
CONTOH SOAL
Tentukanlah 3 suku pertama dari barisan U n = 4n – 3. Jawab: U n = 4n – 3 U 1 = 4 (1) – 3 = 1 U 2 = 4 (2) – 3 = 5 U 3 = 4 (3) – 3 = 9 Jadi, 3 suku pertamanya adalah 1, 5, dan 9.
Barisan dan Deret
8
LATIHAN SOAL 1
1. Tentukan empat bilangan pertama dari setiap formula suku ke-n berikut! a.
U n =
b. U n =
+ 2
2. Carilah rumus sederhana suku ke-n pada setiap barisan bilangan berikut! a. 3, 9, 27, 81, . . . b. -3, 3, -3, 3, . . . 3. Jika suku ke-n suatu barisan bilangan ditentukan oleh U n = + bn dengan a dan b bilangan real. Suku pertama dan suku keempat dari barisan itu berturut-turut adalah 3 dan 60. Hitunglah nilai a dan b. 4. Tentukanlah tiga suku pertama dari barisan 3n – 1 5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan 50, 42, 34 , . . . 6. Sebuah barisan ditentukan secara rekursif seperti di bawah i ni.
X n
1;=1 + ;>1
Salin dan lengkapilah tabel di bawah ini! n X n
1
2
3
4
5
3.2 Barisan dan Deret Aritmetika Penggunaan model barisan dan deret aritmetika digunakan oleh hampir semua pedagang. Pedagang atau penjual buah di pasar
menyusun
dagangan
mereka
dengan menggunakan aturan barisan dan deret aritmetika seperti pada gambar 3.2. Contohnya pedagang buah apel, pertama apelnya disusun 6 buah, kemudian di atasnya 5 buah, berikutnya 4 buah,
Gambar 3.2 Penyusunan buahbuahan
berikutnya lagi 3 buah , lalu 2 buah dan terakhir satu buah.
Barisan dan Deret
9
A. Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika atau barisan hitung adalah suatu barisan yang sukusukunya diperoleh dengan cara menambahkan suatu konstanta pada suku sebelumnya. Konstanta itu biasanya disebut dengan beda dan dinyatakan dengan b. Bentuk umum barisan aritmetika (dengan suku awal a dan beda b) adalah: a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , a + (n - 1)b Jadi, suku ke- n:
U n = a + (n - 1) b
Keterangan: a = suku awal (U 1) b = beda U n = barisan bilangan Bentuk ini dapat diubah menjadi: U n = nb + (a - b) .
′
Perhatikan formula: U n = nb + (a - b). Dari formula tersebut, kita dapat menemukan bahwa turunan pertama U n terhadap n adalah:
= b. Agar lebih memahami konsep
barisan aritmetika, pahamilah contoh soal berikut lalu kerjakanlah latihan soal yang diberikan.
CONTOH SOAL
Carilah suku ke-15 dari barisan aritmetika: 4, 7, 10, . . . Penyelesaian Dik: a = 4, b = 7- 4 = 10 – 7 = 3 Dit: U 15 Jawab: U n = a + (n – 1) b U 15 = 4 + (15 – 1) 3 = 4 + (14) 3 = 4 + 42 = 46 Jadi, suku ke-15 dari barisan aritmetika tersebut adalah 46.
Barisan dan Deret
10
LATIHAN SOAL 2
1. Selidiki, manakah dari barisan berikut i ni yang merupakan barisan aritmetika. a. 6, -6, -18, . . . b. log 4, log 6, log 8, . . . 2. Carilah beda dan suku kedelapan dari barisan aritmetika: 6, 10, 14, . . .
3. Carilah suku ke-n dari barisan aritmetika untuk nilai a = 7, b = , dan n = 22. 4. Tuliskan empat suku pertama barisan aritmetika yang mempunyai suku kedua -2 dan suku kedelapan 40. 5. Diberikan barisan aritmetika dengan suku ketiga sama dengan 7 dan suku kesebelas sama dengan 23. Tentukan suku ke-20! 6. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika -10, -8, -6, . . .
B. Suku Tengah Barisan Aritmetika Pada barisan aritmetika dengan banyak suku bilangan ganjil, kita dapat menentukan suku tengahnya. Berikut ini penjelasan tentang penentuan suku tengah pada barisan aritmetika. (i)
Barisan aritmetika yang tediri atas tiga suku: U 1, U 2, U 3, maka suku tengahnya adalah U 2.
U 2 = a + b = (2a + 2b) = [a + (a + 2b)]
U 2 = (a + U 3) (ii)
Barisan aritmetika yang terdiri atas lima suku: U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, maka suku tengahnya adalah U 3.
U 3 = a + 2b = (2a + 4b) = [a + (a + 4b)]
U 3 = (a + U 5) (iii)
Barisan aritmetika yang terdiri atas (2k – 1) suku, maka suku tengahnya ditentukan oleh:
U k = a + (k – 1) b = [2a + 2 (k – 1) b]
Barisan dan Deret
11
= [a + a + 2 (k – 1) b)] = [a + (a + [(2k – 1) - 1} b)]
U k = (a + U 2k -1) Perhatikanlah contoh soal berikut!
CONTOH SOAL
Diketahui barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, . . . , 56. Tentukanlah suku tengah barisan itu. Dik: U 1 = a = 2 dan U 3 = 56 Dit: U t
Jawab: U t = (a + U n) = (2 + 56) = 29
Di balik huruf-huruf yang membentuk kata HITUNG berikut tersembunyi bilangan-bilangan dengan pola tertentu.
H
i
t
u
n
g
Jika huruf N, G, dan T berturut-turut menyembunyikan lambang bilangan 396, 418, dan 352, tentukanlah lambang bilangan yang tersembunyi di balik huruf H, I, dan U!
Barisan dan Deret
12
LATIHAN SOAL 3
1. Tentukanlah suku tengahnya apabila diketahui barisan aritmetika 5, 8, 11, . . . , 125, 128, 131! 2. Tentukanlah suku tengah dari barisan aritmetika 2, 5, 8, . . . , 44 dan suku ke berapakah suku tengahnya! 3. Sebuah deret aritmetika terdiri atas n suku (n ganjil). Jumlah semua sukunya adalah 105 dan suku tengahnya adalah 15. Bila beda deret tersebut adalah 3, tentukanlah suku kedua dari deret itu! 4. Diketahui barisan aritmetika 4,9; 4,5; . . . ; 2,5. Jika banyaknya suku dari barisan tersebut ganjil, tentukanlah: a. suku tengahnya b. suku keberapa suku tengah tersebut 5. Tentukanlah suku tengah dari barisan 3, 4, 5, . . . , 25.
C. Sisipan pada barisan aritmetika Pada barisan aritmetika, dapat disisipkan k buah suku sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Proses penentuan formula, beda, dan banyak suku dari barisan aritmetika baru dapat dilihat pada uraian berikut:
Barisan aritmetika awal: a, U 2, U 3, . . . , U n dengan beda = b
⏟ ’, 2’, .., – 1 ’
Barisan aritmetika baru: a,
, U 2, U 2 + b’ , . . . , U 3, . . . , U n
U 1 = a
U k + 2
U ( n – 1) k + n
Berdasarkan pengamatan antara barisan awal dan barisan baru, diperoleh hubungan berikut ini:
U ’1 = a
U k + 2 = U2
∴ +
⇒
a + (k + 2 – 1) b’ = U 2 (k + 1) b’ = U 2 – a = b
b’ =
Barisan dan Deret
13
∴
Penentuan banyak suku pada barisan aritmetika baru: n’ =
U’ n
= U’ (n - 1) k + n
(n – 1) k + n
CONTOH SOAL
Empat bilangan disisipkan di antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, . . . sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Tentukanlah beda barisan yang baru terbentuk! Dik: a = 3 dan b = 15 disisipkan 4 bilangan berarti k = 4 Dit: b’ Jawab: b’ =
+ + =
= 3
LATIHAN SOAL 4
1. Diberikan barisan aritmetika: 2, 18, 34, . . . Diantara tiap dua suku yang berurutan disisipkan tiga bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru. Tentukanlah: a. beda pada barisan aritmetika baru b. suku kesepuluh dari barisan aritmetika baru 2. Diantara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan, sehingga terjadi barisan aritmetika. Tentukanlah: a. beda barisan aritmetika baru b. suku tengah barisan aritmetika baru dan letaknya 3. Antara bilangan 4 dan 112 disisipkan 11 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika, tentukan: a. Beda dan rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut b. Nilai U 10 4. Tentukan banyaknya bilangan yang disisipkan antara bilangan 2 dan 100 sehingga membentuk barisan aritmetika dengan beda = 2! 5. Tentukan rumus suku ke-n barisan antara bilangan -3 dan 149 yang disisipkan bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika dengan beda = 8!
D. Deret Aritmetika Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati speedomotor pada motor tersebut? Pada speedomotor terdapat angka-angka 0, 20, 40, 60, 80, 100 dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian mengendarainya. Angka-
Barisan dan Deret
14
angka ini berurutan mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar dengan pola tertentu sehingga membentuk deret aritmetika. Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika yaitu U 1, U 2, U 3, . . . , U n maka deret bilangan itu berbentuk: U 1 + U 2 + U 3 +. . . + U n. Jadi, S n = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + U n
1. Penentuan jumlah n suku pertama ( S n) deret aritmetika
Jika S n menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika, maka: S n =
a
+ (a + b)
+ (a + 2b)
S n = [a + (n – 1) b] + [a + (n – 2) b] + [a + (n – 3) b]
+ . . .+ [a + (n – 1) b] + . . .+
a +
2S n = [2a + (n – 1) b] + [2a + (n – 1) b] + [2a + (n – 1) b] + . . .+ [2a + (n – 1) b] 2S n = n [2a + (n – 1) b]
⇒
S n =
[2a + (n – 1) b]
Jadi, formula jumlah n suku pertama untuk deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut.
S n =
2 – 1 { . = ℎ
Keterangan:
a = suku awal (U 1) b = beda S n = deret bilangan 2. Hubungan rekursif U n terhadap S n
Perhatikan hubungan berikut! S n
= a + (a + b) + (a + 2b) + . . .+ [a + (n – 2) b] + [a + (n – 1) b]
S n – 1
= a + (a + b) + (a + 2b) + . . .+ [a + (n – 2) b]
S n - S n – 1
=
– 1
-
=
Barisan dan Deret
15
Dengan demikian, suku ke-n: U n = S n - S n – 1. Hubungan ini disebut sebagai relasi rekursif U n terhadap S n. 3. Hubungan kalkulus antara U n dan S n
Perhatikan formula berikut.
2 – 1 ′′ ′ ” " ⇒ " S n
=
= na +
= n ( a - ) +
n2 . . . (1)
Bentuk (1) dapat pula ditulis sebagai S n= (
+
a
)
Hubungan b, U n dan S n secara kalkulus:
Turunan pertama S n terhadap n, yaitu = (bn +
a
)
b =
U n =
b =
= a + (n – 1)b + . . . (2)
" ′ "
′
Turunan kedua S n terhadap n, yaitu = b
=
Jadi, hubungan kalkulus antara U n dan S n dapat dituliskan sebagai berikut:
′ ′ " ∴ ′ " = [a + (n – 1)b ] + = U n +
U n =
Agar lebih memahami hubungan kalkulus antara
U n dan S n, pahamilah contoh soal
berikut dan kerjakanlah latihan soal yang diberikan. CONTOH SOAL
Hitunglah 65 suku pertama pada deret aritmetika 3 + 5 + 7 + . . . Dik: a = 3 dan b = 2 Dit: S 65 Jawab: S 65 =
23 (65–1)2
= 4355
Barisan dan Deret
16
LATIHAN SOAL 5
1. Hitunglah jumlah 50 suku pertama dari deret aritmetika 2 + 4 + 6 + 8 + . . . 2. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah S n = (2n – 10),
3. 4. 5. 6.
7.
tentukanlah: a. beda (b) b. suku ke-n (U n) Pada sebuah deret aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 12, jumlah suku keempat dan keenam adalah 40. Hitunglah suku yang kesepuluh! Tentukan jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5. Sisipkanlah sembilan bilangan di antara 20 dan 90, hingga terjadi sebuah deret aritmetika. Hitunglah: a. Suku ke-5 dari deret aritmetika tersebut b. Jumlah deret aritmetika tersebut Jika jumlah n suku pertama suatu deret dinyatakan dengan 4n2 – 13n, maka tentukanlah suku ke-8 deret tersebut!
Diketahui suku ketiga dan suku kelima deret aritmetika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ... ( National Math Olympiad PDIM FEB Universitas Brawijaya 11/2013) a. b. c. d.
117 120 137 147
3.3 Barisan dan Deret Geometri Berhingga Contoh penerapan barisan dan deret geometri berhingga dalam kehidupan sehari-hari ialah saat menyusun bangku di dalam aula pertemuan, mengukur panjang lintasan pada bola dan menghitung panjang tali yang terpotong. A. Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta. Konstanta itu biasanya disebut dengan rasio atau pembanding dan dinotasikan dengan r .
Barisan dan Deret
17
Bentuk umum barisan geometri (dengan suku awal a dan rasio r ) adalah: a, ar 2 , ar 3 , . . . , ar n – 1 Jadi, suku ke-n adalah: U n = a r n – 1 Perhatikanlah contoh soal berikut.
CONTOH SOAL
Tentukan suku keenam dari barisan geometri: 1, 2, 4, 8, . . . Penyelesaian Dik: a = U 1 = 1 dan U 2 = 2 Dit: U 6 Jawab: r =
= = 2 sehingga U 6 = a r 5 = 1. 25 = 32
Jadi, suku keenamnya adalah 32.
LATIHAN SOAL 6
1. Manakah diantara barisan berikut ini yang merupakan barisan geometri? a. 3, 6, 18, 72, . . . b.
√ 2 √ 2 , 2, 2
, 4, . . .
−
2. Pada deret geometri diketahui U 1 = dan U 3 = serta U 8 = . Tentukan nilai a. 3. Pada barisan geometri diketahui U 1 = 81 dan U 5 = 1. Carilah r dan tentukan enam suku pertama dari barisan geometri tersebut ! 4. Berapa banyak suku yang ada di dalam barisan geometri 3, 6, 12, . . . , 3.072? 5. Suku keberapakah
dari barisan geometri 9, -6, 4, . . . ?
6. Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, . . . tentukanlah rumus suku ke-n ! 7. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 35, sedangkan hasil kali ketiga bilangan itu sama dengan 1000, maka tentukan barisan geometri tersebut!
B. Suku Tengah pada Barisan Geometri Suku tengah pada barisan geometri yang memiliki banyak suku bilangan ganjil dapat ditentukan sebagai berikut. Barisan geometri: a, U 2, U 3, . . . ,
, . . . , U n
Jika n = 2t – 1, maka barisan geometri dapat ditulis sebagai:
Barisan dan Deret
18
a, U 2, U 3, . . . , U t , . . . , U 2t – 1 Suku tengah (U t) : U t
√−. −− . . −+ ⇒ .
= ar t – 1 = = =
Dengan n = 2t – 1
t =
. Hal ini berarti:
Suku tengah: U t =
dengan t =
kerjakanlah latihan soal yang ada.
+
. Perhatikanlah contoh soal berikut lalu
CONTOH SOAL
Tentukan nilai n agar barisan (n + 1), n, (n – 3) membentuk barisan geometri. Penyelesaian: Menjawab soal ini menggunakan prinsip suku tengah yang telah dibahas pada sub bab suku tengah barisan geometri, yaitu n2 = (n + 1) (n – 3) n2 = n2 – 2n – 3 2n = -3
∴
n =
−
LATIHAN SOAL 7
1. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 26 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu! 2. Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, . . . , 3.072. banyaknya suku barisan tersebut ganjil. Tentukanlah: a. Suku tengahnya b. Suku keberapa suku tengahnya
3. Diketahui barisan geometri: , 1, 2, . . . , 32. Tentukanlah banyaknya suku dan suku tengah barisan itu. 4. Tentukan nilai tengah dari 5, 10, 20, 40, . . . , 5120. 5. Ditentukan barisan geometri
,
, , . . . , 128. Jika banyak suku pada barisan
geometri ini adalah ganjil, maka carilah suku tengahnya!
Barisan dan Deret
19
C. Sisipan pada Barisan Geometri
Di antara dua bilangan real x dan y ( x
≠
y) dapat disisipkan sebanyak k buah bilangan
dengan k bilangan asli, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Misalkan rasio barisan geometri yang terbentuk itu adalah r , maka bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu dapat disusun sebagai berikut.
, , , . . , ⏟ − ,
x,
, y
karena barisan di atas adalah barisan geometri, maka perbandingan dua suku yang berurutan sama dengan rasio
r .
tersebut,
Berdasarkan sisipan
deskripsi
pada
1. Untuk k genap, nilai r yang diperoleh hanya ada 1 kemungkinan, yaitu r' =
barisan
geometri dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.
2. Untuk k ganjil, nilai r yang diperoleh ada 2 kemungkinan, yaitu
(i) Banyak suku sesudah disisipkan
r' =
(n' ) ditentukan oleh:
atau r' = -
n' = n + (n – 1) k (ii) Rasio baru (r' ) sesudah penyisipan ditentukan oleh: r' =
=
Suku ke-n sesudah penyisipan (
′
) ditentukan oleh:
Barisan dan Deret
′
= a (r' )n' – 1
20
CONTOH SOAL
Di antara 2 dan 162 disisipkan 3 buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukanlah: a. rasio barisan geometri baru b. suku ke-n barisan geometri baru Penyelesaian Dik: a = 2 dan U n = 162 serta sisipan sebanyak k = 3 Dit: r’ dan
′
Jawab: rasio awal atau r =
= 81
√ 81 √ 3
a. Menggunakan rumus (ii) rasio baru: r’ = =
= 3
Jadi, rasio barisan geometri baru adalah 3. b. Banyak suku barisan geomteri baru = n' = n + (n – 1) k n' = 2 + (2 – 1) 3 = 5
n’ ,
maka menggunakan rumus (i)
′
Menggunakan rumus (iii) suku ke-n barisan geometri baru = = = a (r' )5 – 1 = a (r' )4 = 2 . (3)4 = 2. 81 = 162
′ ′
LATIHAN SOAL 8
1. Diantara bilangan 16 dan disisipkan 4 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan
geometri. Tentukanlah rasio dan jumlah barisan setelah sisipan! 2. Antara bilangan dan 32 disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan: a. Rasio barisan tersebut dan rumus suku ke-n nya, b. Nilai U 6
3. Persamaan kuadarat: 2 x2 + x + a = 0 mempunyai akar-akar
, dan
. Jika
, dan
( ) merupakan tiga suku pertama suatu barisan geometri, tentukan suku keempat barisan geometri itu.
4. Di antara bilangan-bilangan dan 8 disisipkan sebanyak 4 buah bilangan, tentukan nilai rasio dan barisan geometri yang terbentuk.
Barisan dan Deret
21
D. Deret Geometri Berhingga Jika S n menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret geometri, maka: S n
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n – 1
r S n
=
ar + ar 2 + . . . + ar n – 1 + ar n -
(1 – r ) S n = a – ar n = a ( 1 – r n ) sehingga
S n =
−− −−
untuk r < 1 atau
Sn =
untuk r > 1
Perhatikan bahwa: S n
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n – 2 + ar n – 1
S n – 1
= a + ar + ar 2 + . . . + ar n – 2 -
S n – S n – 1 = ar n – 1 = U n. Jadi, suku ke-n: U n = S n – S n – 1 Keterangan: a = suku awal (U1) r = rasio n = banyaknya suku S n = Jumlah suku ke-n
CONTOH SOAL
Hitunglah jumlah dari delapan suku pertama dari deret geometri:
6 + 2 + + + . . . Penyelesaian Dik: a = U 1 = 6 Dit: S n
−− ⇒
Jawab: r = S n =
−−
= = , karena r < 1 maka menggunakan rumus S 8 =
= 8, 99 (sampai 2 angka desimal)
Barisan dan Deret
22
LATIHAN SOAL 9
1. Diketahui suku ke-n dari sebuah deret adalah U n = 4 × 0,9 n. Buktikan bahwa deret itu merupakan deret geometri. 2. Tentukan jumlah dari 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 64 3. Dari sebuah deret geometri diketahui U 6 = 64 dan U 8 = 210. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret tersebut. 4. Dalam suatu n suku deret geometri, U 1 + U 2 = 4, U n - 1 + U n = 108 dan S n = 121. Tentukan nilai n, a, dan r . 5. Dalam sebuah deret, S n = 2n – 1. Buktikan bahwa deret itu adalah deret geometri. 6. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48, maka tentukanlah jumlah enam suku pertama deret tersebut! 3.4 Aplikasi Barisan dan Deret Barisan dan deret banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari seperti sa at bermain bandul, bermain ayunan, dan menemukan solusi dari permasalahan depresiasi. Depresiasi dalam ekonomi adalah suatu proses penurunan nilai mata uang dalam negeri yang disebabkan adanya mekanisme perdagangan. Selain itu, barisan dan deret digunakan dalam bidang ekonomi seperti perbankan, perdagangan, dan lain sebagainya. Agar lebih jelas, mari kita lihat contoh soal permasalahan depresiasi berikut.
Gambar 3. 4 Permasalahan Depresiasi (Sumber: https://yos3prens.wordpress.com/2014/04/01/10-soal-dan-pembahasan permasalahan-barisan-dan-deret-geometri/ )
Barisan dan Deret
23
CONTOH SOAL
Perhatikan gambar 3.4. Suatu mobil SUV baru mengalami depresiasi nilai jual sebesar 15% tiap tahunnya (hal ini berarti harga jualnya menjadi 85% dari harga jual tahun sebelumnya). Jika harga beli dari mobil SUV baru tersebut adalah 510 juta rupiah, berapakah harga jual dari SUV tersebut setelah 5 tahun? Berapa tahunkah sampai harga SUV tersebut kurang dari 100 juta rupiah? Jawab: Harga jual suatu SUV sama dengan 85% dari harga tahun sebelumnya, sehingga kita peroleh r = 85% = 0,85. Harga beli mobil SUV baru tersebut adalah 510 juta rupiah, atau dengan kata lain a o = 510 . 0,85 = 433, 5. Sehingga dalam menentukan harga jual SUV tersebut setelah 5 tahun, kita akan tentukan a 5. an = a1 . r n-1 = 433, 5 (0,85) 5-1
≈
226, 29 (hasil pembulatan)
kita peroleh bahwa harga jual SUV tersebut setelah 5 tahun adalah 226, 29 juta rupiah. Selanjutnya kita tentukan sempai tahun ke berapa ketika harga SUV tersebut kurang dari 100 juta rupiah. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menentukan nilai n dari persamaan: 100 = 433,5 (0,85) n-1 ln
,
ln 100 – ln 433,5
ln ln–,ln, 10, 02
≈
+1
⇔ , 1 1
= (0,85)n-1 (bagi kedua ruas dengan 433,5)
=
ln 0,85 (gunakan ln dan sifat pengkat)
=
ln 0,85 (sifat ln)
=n
n
Jadi, setelah tahun ke-10 (atau mulai tahun ke-11) harga SUV tersebut akan kurang dari 100 juta rupiah.
Barisan dan Deret
24
LATIHAN SOAL 10
1. Wagiman membeli sebuah komputer seharga Rp 3.000.000,00. Setiap satu bulan kerja terjadi penyusutan sebesar 10% dari harga beli. Berapakah harga jual komputer tersebut pada akhir 9 bulan kerja? 2. Seorang pegawai setiap tahun mendapat kenaikan gaji yang besarnya tetap. Ia mulai bekerja pada tahun 2000 dengan gaji Rp 225.000,00 per bulan, dan tahun 2006 gajinya menjadi Rp 465.000,00. Berapakah gaji yang akan diterima pada tahun 2010? 3. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, tentukanlah panjang tali semula! 4. Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan kelima? 5. Setiap minggu Rasti menabung di koperasi sekolah. Pada minggu pertama, Rasti menabung Rp 30.000, 00. Pada minggu kedua dan seterusnya, ia me nabung Rp 8.000, 00. Besarnya uang Rasti pada minggu ke-14 adalah? 6. Sebuah daerah pada tahun 3008 memiliki jumlah penduduk 24 orang. Tiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dua kali lipatnya. Maka, jumlah penduduk pada tahun 3012 adalah . . . 7. Rina menanamkan modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%. Berapakah besar modal setelah 2 tahun?
Barisan dan Deret
25
RANGKUMAN 1. Barisan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu. Bentuk umum barisan dituliskan sebagai berikut.
U 1, U 2, U 3, U 4, . . . , U n
2. Deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Bentuk umum deret dituliskan sebagai berikut.
U 1 + U 2 + U 3 + U 4 +. . . + U n
3. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan dengan selisih setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Selisih dua suku berurutannya disebut beda (b). Bentuk umum suku ke-n barisan aritmetika dituliskan sebagai berikut.
U n = a + (n - 1)b Keterangan: a = suku awal (U 1) b = beda U n = barisan bilangan
4. Bentuk umum suku tengah barisan aritmetika:
U k
= (a + U 2k -1)
Keterangan: a
= suku awal (U 1)
U k
= suku tengah
U 2k-1
= suku akhir barisan
5. Bentuk umum sisipan antara dua bilangan barisan aritmetika:
b’ =
+
Barisan dan Deret
26
Keterangan: b
= selisih dua bilangan awal sebelum disisipkan
k
= jumlah bilangan yang disisipkan
b’
= beda atau rasio baru setelah bilangan disisipkan
6. Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret aritmetika dituliskan sebagai berikut.
Sn =
– { . =
Keterangan: a = suku awal (U 1) b = beda n = banyaknya suku S n = Jumlah suku ke-n
7. Barisan geometri berhingga adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap dua suku berurutannya disebut rasio (r ). Bentuk umum suku ke-n barisan geometri dituliskan sebagai berikut.
U n = ar
n – 1
Keterangan: a = suku awal (U 1) r = rasio n = banyaknya suku U n = Suku ke-n
8. Bentuk umum suku tengah barisan deret geometri berhingga:
U t =
. −
Barisan dan Deret
27
Keterangan: a
= suku awal (U 1)
U t
= suku tengah
U 2t-1
= suku akhir barisan
9. Bentuk umum sisipan antara dua bilangan barisan deret geometri berhingga:
r' =
Keterangan: y, x
= dua bilangan awal sebelum disisipkan
k
= jumlah bilangan yang disisipkan
r ’
= beda atau rasio baru setelah bilangan disisipkan
10. Deret geometri berhingga adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret geometri dituliskan sebagai beri kut.
S n = S n =
−− −−
untuk r < 1 untuk r > 1
Keterangan: a = suku awal (U 1) r = rasio n = banyaknya suku S n = Jumlah suku ke-n
Barisan dan Deret
28
UJI KOMPETENSI I.
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1. Pada deret geometri U 1 + U 2 + . . . , jika U 1 = x-2, U 5 = x2, U 9 = 64, maka U 7 = . . . (Soal Barisan SPMB/ SNMPTN) a. – 16 b.
c. 8 d. 16 e. 32 2. Diketahui sebuah barisan 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, . . . , Jumlah 3 n suku pertama, untuk n = 1, 2, 3, 4, . . . dari barisan di atas adalah ... (Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2010)
a. S 3n = (9 – 9n) b. S 3n = (9 + 9n) c. S 3n =
(9 + 9n)
d. S 3n = (9 + 9n) e. S 3n = (3 + 3n) 3. Jika jumlah n suku dari suatu deret geometri yang rasionya r adalah S n, maka = . . . (Soal SPMB/ SNMPTN)
a. r 3n b. r 2n c. r 3n + 1 d. r 2n – 1 e. r 3n – 1 4. Bilangan ylog (x – 1), y log (x + 1), ylog (3x – 1) merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan 6, maka x + y = . . . (Soal SPMB/ SNMPTN) a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
Barisan dan Deret
29
e. 6 5. Jika U 1, U 2, U 3, . . . adalah barisan geometri yang memenuhi U 3 – U 6 = x dan U 2
−−− −−+ +++ +−− −++
– U 4 = y maka = . . . (Soal SBMPTN 2015) a. b. c. d. e.
II.
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar!
1. Diketahui sebuah barisan geometri a, b, c, . . . Jika diketahui a × b × c = 1728 dan a + b + c = 36, maka nilai a, b, dan c adalah ... (Soal Istana Matematika) 2. Tentukan nilai p terbesar apabila diketahui jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p! (OSN Tingkat Kota/Kab, 2008) 3. Banyak bilangan bulat positif n kurang dari 2008 yang mempunyai tepat
bilangan kurang dari n dan relatif prima terhadap n adalah ... (OSN Tingkat Provinsi, 2008)
4. Carilah semua pasangan bilangan asli ( x, n) yang memenuhi 1 + x + x 2 + . . . + xn = 40! (OSN Tingkat Provinsi, 2008) 5. Jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah ... (OSN Tingkat Provinsi, 2005)
Barisan dan Deret
30
KUNCI JAWABAN 1. a. U n =
3a = 12 maka a = 4 sehingga b = 3 – 4 = -1
LATIHAN 1
⇒⇒ ⇒⇒
untuk n = 1
U 1 =
untuk n = 2
U 2 =
untuk n = 3
U 3 =
untuk n = 4
U 4 =
Jadi, nilai a = 4 dan b = -1
= 1 = = =
Jadi, empat bilangan pertama dari formula U n =
adalah 1, , ,
b. U n = + 2, empat bilangan pertamanya adalah 3, 10, 29, 66 2. a. Barisan bilangan 3, 9, 27, 81, . . . 3 = 31, 9 = 3 2, 27 = 33, 81 = 34, . . . Jadi, U n =
3
b. Barisan bilangan -3, 3, -3, 3, . . . Barisan tersebut dapat ditulis: -1×3, 1 ×3, -1 ×3, 1 ×3, . . . masing-masing bilangan pada barisan tersebut merupakan perkalian dua bilangan, yaitu (bilangan kiri) × (bilangan kanan)
4. U n = 3n – 1 U 1 = 31 – 1 = 30 = 1 U 2 = 32 – 1 = 31 = 3 U 3 = 33 – 1 = 32 = 9 Jadi, 3 suku pertamanya adalah 1, 3 dan 9 5. Dik: a = 50, b = 42 – 50 = -8 Dit: U n Jawab: U n = a + (n - 1)b = 50 + (n - 1) -8 = 50 – 8n + 8 = 58 – 8n 6. Dik bahwa n = 1 maka U n = 1 Gunakan formula rekursif dari X n
=
memakai n = 2, 3, 4.
untuk n = 3, maka X 3 = untuk n = 4, maka X 4 = untuk n = 5, maka X 5 =
-1
n
1
= (-1) , +1
X n
1 1
= (-1)1, -1 = (-1) 3, . . . , (-1) n
bilangan kanan: 3, 3, 3, . . . , 3 Jadi, U n = (-1)n × 3 = 3 × (-1) n
3. Formula suku ke-n: U n = + bn U 1 = 3 maka a + b = 3 U 4 = 60, maka 16a + 4b = 60 atau 4a + b = 15 Eliminasi a + b = 3 4a + b = 15 -
dengan
+ + + +
untuk n = 2, maka X 2=
bilangan kiri: -1, +1, -1, +1, . . .
+ ;>1
=
= = =
12 13 14 15 2
3
4
5
LATIHAN 2
1. a. 6, -6, -18, . . . b = -6 – 6 = - 12 b = - 18 – (- 6) = - 12 Oleh karena U 2 – U 1 = U 3 – U 2 = - 12 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika b. log 4, log 6, log 8, . . . U 2 – U 1
Barisan dan Deret
= log 6 – log 4
31
= log = log U 3 – U 2
GaMe Math
Dik: G = U n = 418 Dit: bilangan yang tersembunyi di balik huruf H, I dan U ? Jawab: b = G – N = U 6 – U 5 = 418 – 396 = 22 G = U 6 = 418 418 = a + (n – 1 ) b 418 = a + (6 – 1 ) 22 418 = a + 418 – 110 = a 308 = a = U 1 = H
= log 8 – log 6 = log = log
≠
Oleh karena U 2 – U 1 U 3 – U 2 , maka barisan tersebut bukan barisan aritmetika 2. Dik: U 1 = a = 6, U 2 = 10, U 3 = 14 Dit: beda (b) dan U 8 Jawab: b = U 2 - U 1 = U 3 - U 2 = 10 – 6 = 14 – 10 = 4 U 8 = a + (8 – 1) = 6 + 7. 4 = 6 + 28 U 8 = 34 3. Dik: a = 7, b = 1/3, n = 22 Dit: U n Jawab: U n = a + (n - 1)b U 22 = 7 + (22 - 1) = 7 + 7 = 14 4. Dik: U 2 = - 2 dan U 8 = 40 Dit: U 4 Jawab: b =
− ⇒
= 7
a = U 2 – b = -2 – 7 = -9 U 3 = U 2 + b = -2 + 7 = 5 U 4 = U 2 + 2b = -2 + 14 = 12 5. Dik: U 3 = 7 dan U 11 = 23 Dit: U 20 = . . .? Jawab: b =
− ⇒
= 2
U 20 = U 11 + 9b = 23 + 18 = 41 6. Dik: a = -10 dan b = -8 – (-10) = -6 – (-8) = 2 Dit: U n Jawab: U n = - 10 + (n – 1 )2 = - 10 + 2n – 2 = 2n – 12
I = U 2 I = U 2
= 308 + (2 – 1 ) 22 = 330
U = U 4 I = U 4
= 308 + (4 – 1 ) 22 = 374
LATIHAN 3
1. Dik: a = 5, U n = 131 Dit: U t = . . . ? Jawab:
U t = (U 1 + U n) = (2 + 44 ) U t = 23 2. Dik: a = U 1 = 2 dan U n = 44 Dit: U t (suku tengah) = . . . ? Jawab:
U t = (U 1 + U n) = (2 + 44 ) U t = 23 Penentuan indeks t: U t = U 1 ( t – 1)b dengan b = 52=3 23 = 2 + (t – 1) . 3 23 – 2 = 3 (t – 1)
Barisan dan Deret
32
∴
7 = t – 1 t=8 3. Dik: U t = 15, S n = 105 dan b = 3 Dit: Jawab: Karena n ganjil, maka berlaku: = n U t S n 105 n =
Jawab: U k
= (a + U 2k -1)
U k
= (3 + 25) = (28) = 14
= n 15 = 7
LATIHAN 4
Jadi, banyaknya suku (n) = 7
+
Jika n = 7, maka letak suku tengah berada pada suku ke U t = U 4 sehingga
= 4.
1. Dik: a = 2, U 2 = 18 dan k = 3 Dit: a. b' dan b. U’ 10 Jawab: a. b = 18 – 2 = 16 b’
U 4
= 15
U 4
= a + 3b = (a + b) + 2b
U 4
= U 2 + 2b
U 2
= U 4 – 2b = 15 – 2(3)
a. U k = (a + U 2k -1)
maka b' = 16/4 =
=
+
= 96/12 = 8
Letak suku tengah: t =
= 3,7 b. b = 4,5 – 4,9 = - 0,4 U k = a + (k – 1) b 3,7 = 4,9 + (k – 1) (-0,4) 3,7 = 4,9 – 0,4k + 0,4 0,4k = 5,3 – 3,7 0,4k = 1,6
,,
b’
U t = 68
U k = (4,9 + 2,5) = (7,4)
=
+
b. U t = (U 1 + U n) = (20 + 116 )
4. Dik: U 1 = a = 4,9 dan U 2k- 1 (suku terakhir ) = 2,5 Dit: a. U t dan b. K Jawab:
=
4 b. U’ 10 = a + 9b’ maka U’ 10 = 2 + 36 = 38 2. Dik: a = 20, U’ n = 116 dan k = 11 Dit: a. b' dan b. U t Jawab: b = 116 – 20 = 96 a.
=9
k
5. Dik: U 1 = a = 3 dan U 2k- 1 (suku terakhir ) = 25 Dit: U t
+ + =
= 7
Jadi, suku tengahnya adalah 68 dan terletak pada suku ke-7. 3. Dik: a = 4, U n = 112, k = 11 Dit: a. b, U n dan b. U 10 Jawab: a. b =
= 4
Jadi, suku tengahnya adalah suku ke4.
− + =
= 9
U n = a + (n – 1)b = 4 + (n – 1) 9 = 4 + 9n – 9
Barisan dan Deret
33
2a + 8b = 40
= 9n – 5 b. U 10 = 9. 10 – 5 = 90 – 5 = 85 4. b =
−− ⇔ − − ⇔ 2 =
a + 4b = 20 . . . (2)
2k – 2 = 98
2k = 100 maka k = 50 Jadi, banyaknya bilangan disisipkan ialah 50. 5. b =
−− ⇔ −−− ⇔ 8 =
a + 4b = 20 . . . (2) yang
8k – 8 =
152 8k = 160 maka k = 20 Jadi, banyaknya bilangan disisipkan ialah 20.
yang
2 – 1 2 . 2 50 – 1 2
S 50
=
S 50
=
S 50
= 2550
25 4 98
2. Dik: S n = (2n – 10 )
′" "′ "
Dit: a. b dan b.U n
Jawab: S n= (2n – 10 ) = n2 – 5n = 2n – 5 = 2
a. b =
= 2
b. U n =
-
U 10
⇒
b = 4
⇒
a = 12 – 8 = 4
= 4 + (10 – 1) 4 = 40
jadi, suku ke- 10 adalah 40
n =
− 105 295 + 1 =
+ 1 = 39
Penentuan S n: S n
= =
= 39. 200 S n = 7800 Jadi, jumlah semua tersebut adalah 7800.
bilangan
5. Langkah awal kita cari jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3, yaitu: 3, 6, 9, . . . , 99 dengan a = 3, b = 3, dan U n = 99 S n
U n = 2n – 5 – 1 = 2n – 6 3. U n = a + (n – 1)b U 3 = a + 2b = 12 . . . (1) U 4 + U 6 = 40
2b = 8
4. Barisan bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah: 105, 110, 115, . . . , 295 Penentuan banyak suku (n):
1. Dik: a = 2, b = 2 dan n = 50 Dit: S 50 Jawab: =
a + 2b = 12 . . . (1)
a = 12 – 2b
LATIHAN 5
S n
dengan mengurangkan persamaan (1) dan (2) didapat:
= =
− 1.−02
(3 + 99)
= 1683
Lalu, kita cari jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 dan habis dibagi 5.
a + 3b + a + 5b = 40
Barisan dan Deret
34
Hal ini berarti bilangan itu habis dibagi 15, yaitu: 15, 30, . . . , 90 dengan a = 15, b = 15, dan U n = 90 S n
=
3−1.05−
(15 + 90)
= = 315 Jadi, jumlah bilangan yang dicari adalah 1683 – 315 = 1368. 6. Barisan yang terjadi: 20 + (20 + b) + (20 + 2b) + . . . + (20 + 9b) + 90
′ −+′ ′ ′′ ′′ ′ ′ =
18 = a + 2b 24 = a + 4b Sehingga menghasilkan 2b = 6 maka b = 3 dan a = 12
2 – 1 2 . 12 7–1 3
S n
=
S 7
=
S 7
= 147
Jawaban: D LATIHAN 6
= 7
a.
= a + ( b = 20 + ( 5 – 1 ) 7 = 48 = 9 + 2 = 11
b.
=
(a +
=
1. a. 3, 6, 18, 72, . . . U 1 = 3, U 2 = 18, U 4 = 72 r =
)
r =
(20 + 90 ) = 605
r =
2
7. Dik: S n = 4n – 13n Dit: U 8 = . . . ? Jawab: S n = 4n2 – 13n = 8n – 13
′" ′ ”
= 3 = 4
, 2, 2
, 4, . . .
, U 2 = 2, U 3 = 2
,
U 4 = 4 r =
=
r =
=
=
r =
=
=
karena
Dit: S 7
⇒ ⇒
, maka
√ 22 √ 2 2 √ √ √ √ 2 √ √ 2 √ √ 2 √ 2 √ 2 + +
U 1 =
= 8n – 13 – 8 = 8n
Dik: U 3 = 18 dan U 5 = 24
U 5 = a + 4b
=
b.
Ayo, kerjakan soal!
U 3 = a + 2b
=
barisan 3, 6, 18, 72, . . . bukan barisan geometri
– 21 U 8 = 8 (8) – 21 = 64 – 21 = 43
Jawab:
≠ ≠
= = 2
karena
=8
U n =
= 6, U 3
=
=
=
, maka barisan
, 2, 2 , 4, . . . merupakan barisan geometri
18 = a + 2b 2. 24 = a + 4b
Eliminasi kedua persamaan yang ada
Barisan dan Deret
=
=
=
=
=
=
35
+ + ⇒ + −− ++ + r 2 =
=
=
r 2 =
r =
= U 1 . r 7 = (
U 8
52 42 = 7a
⇒
r = atau r = -
3−−− 3−+
= 33 = 33 . = 34 – n 7. Kita misalkan ketiga bilangan
a3 = 1000
⇒
Jawab:
U n
=
=
n – 1
= ar
=
=
Dengan a = 10 maka
= =
+ 10 + 10r
r = atau r = 2
a = 10 dan r = maka barisan: 20, 10, 5 a = 10 dan r = 2 maka barisan: 5, 10, 20
LATIHAN 7
= =
a = 10
= 35, lalu kita kalikan r kedua ruas sehingga menghasilkan 10 + 10r + 10r 2 = 35r Disederhanakan menjadi 2 – 5r + 2r 2 = 0 maka didapat
U n = ar = 3072 = 3. 2 1024 = 2 n – 1 = 210 = 2n – 1 n = 10 + 1 = 11
− .
Didapat + a + ar = 35 dan . a . ar = 1000
n – 1
Jadi, banyak suku adalah 11. 5. Dik: a = U 1 = 9 dan U 2 = -6 Dit: n
⇒
tersebut adalah , a, ar
= = 2
− − − 9−− − −− −− −
U n = ar n – 1
4. Dik: a = U 1 = 3 dan U 2 = 6 Dit: n n – 1
adalah suku ketujuh.
= 27
atau 81, -27, 9, -3, 1, -
=
yaitu r =
tersebut adalah 81, 27, 9, 3, 1, ,
=7
6. Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, . . . adalah tetap,
Jadi, enam suku pertama barisan
Jawab:
n
7
3. a = U 1 = 81 maka U n = ar n – 1 U 5 = 81r 4 = 1
=6
Jadi,
= . = = 7a + 10 a = 6
r 4 =
n – 1
1. Barisan geometri: , a, ar Hasil kali: × a × ar = 216 a3 = 63 maka a = 6
hasil jumlah: + 6 + 6r = 26
+ 6r = 20
Barisan dan Deret
36
6
karena banyak suku pada barisan di atas ganjil, maka barisan di atas mempunyai suku tengah
= 20
=
= 3 + atau
Sehingga r = 3 atau r =
= + 3
U t =
. . 32 √ 16 =
=
= 4
Jadi, suku tengah barisan , 1, 2, . .
Penentuan barisan geometri:
. , 32 adalah 4. 4. Dik: a = 5 dan U n = 5120 Dit: U t Jawab:
Untuk a = 6 dan r = 3, maka: 2, 6, 18 (barisan naik)
Untuk a = 6 dan r = 3, maka: 18, 6, 2 (barisan turun)
U t
−
= =
2. Dik: a = U 1 = 3 dan (suku terakhir) = 3072
√ 25600× √ 5 × 5120 =
= 160
5. Barisan geometri , , , . . . , 128.
Dit: a. U t dan b. Indeks U t
Dik: U 1 = , r = 2 dan U n = 128
Jawab:
Dit: U t Jawab:
. − √ 3√ .93072216
a. U t
=
=
=
U t
=
= 96
b. U t = ar t – 1 96 = 3 . 2k – 1 2k – 1 = 32 2k – 1 = 25 k – 1 =5 k =6 Jadi suku tengahnya adalah suku ke-6.
Dit: n dan U t Jawab: U n = ar n – 1
=
= 4
1. Barisan baru: 16, ..., ..., ..., ..., Ada 4 bilangan diketahui
belum
√ ) [ −( ′ [−−]] − rasio barisan lama, r =
r ’ =
= 2n
yang
Banyaknya suku barisan lama n = 2 Banyaknya suku barisan baru n’ = 2 + (2 – 1)4 = 6
rasio barisan baru
= 2n – 1
128 = 2n maka n = 7
√ 16× × 128 LATIHAN 8
3. Dik: a = , r = 2 dan U n = 32
32
=
=
=
=
=
Barisan dan Deret
=
=
= 31
37
Jadi, rasio barisan baru adalah
dan jumlah barisan setelah sisipan
r ’ =
adalah 31
2. Dik: a = , U n = 32 dan k = 5 Dit: a. r dan b. U 6 Jawab: r =
Jawab: karena nilai k genap maka hanya ada 1 kemungkinan
√ 64
=
=
= 2
√ 32
=
=
Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah r = 2 dan barisam geometri yang
terbentuk adalah , , 1, 2, 4, 8.
Rumus suku ke-n : U n = ar n – 1
U n = 2n – 1 = 2n-2 sehingga 6-2
LATIHAN 9
4
U 6 = 2 = 2 = 16 Jadi, r = 2 dan U 6 = 16
≠ 12 1 −
3. Barisan geometri: , , ( Berdasrkan diperoleh:
prinsip
)
suku
tengah,
=
=
(karena
Substitusikan nilai diperoleh:
1. U n = 4 × 0,9 n U n-1 = 4 × 0,9n-1 Sehingga
=
= 0,9
1 adalah suatu
konstanta, maka deret itu merupakan deret geometri.
0)
ke bentuk (1), 2. Dik: a = U 1 = 1, U 2 = 2 dan U n = 64 Dit: S n
=
Jawab: r =
+1=0
Oleh karena r = 2 yang artinya r > 1 maka rumus S n yang digunakan ialah S n untuk deret naik.
= - 1
=
r = =
=
64 = 1 . 2 n – 1 64 = 2n – 1 26 = 2n – 1 n – 1 = 6 n =6+1=7
Penentuan suku keempat (U 4) U 4 = r 3
= 2
U n = ar n – 1
=
= (-1)
=
Untuk mencari nilai S n maka perlu mencari nilai n nya
Penentuan rasio barisan geometri:
S n =
=
4. Dik: x = , y = 8, k = 4 (genap) Dit: r
××,, ≠
Karena r =
= 0
=
= 2
S n =
Barisan dan Deret
−− −−
untuk r > 1
38
⇔ ⇔ − − ⇔ + −− ±22 ± 4 ⇔ 4 1 ⇒ ⇒ ⇔ 4 121 ⇔ ⇔ ± 3 − ⇒ ⇒ ⇔ ⇔ 3 −− + +
S 7 =
−− =
r n – 2 = 27
= 127
3. U 8 = ar 7 = 210 U 6 = ar 5 = 64 = 26 Sehingga =
=
Jika r = 4, maka
a =
Untuk a = S n =
a =
a =
S n
a =
= 121
=
⇔⇔ ⇔
a =
=
= 1
5. Untuk memperlihatkan bahwa deret itu adalah deret geometri maka harus dicari dahulu suku ke-n. U n
= 2n – 2n – 1
= 2n (1 – ) = 2n – 1
a (1 + r ) = 4 a =
+
. . . (i)
n – 2
( 1 + r ) = 108 . . . (ii)
Substitusi a dari (i) ke (ii). Ar n – 2 ( 1 + r ) = 108 r n – 2 ( 1 + r ) = 108
= S n – S n – 1 = 2n – 1 – (2n – 1 – 1)
a + ar = 4
ar n – 2 + a n – 1 = 108
⇔ +
r n = 243
Jadi, a = 1, r = 3, dan n = 5
=
U n – 1 + U n = 108
ar
Karena r n = 27 r 2
, r = - 4, maka
−− −−− − −
4. U 1 + U 2 = 4
=
Nilai yang memenuhi adalah r = 3 dan n = 5
= 85, 3125
Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 85, 3125 atau 51, 1875
108
r n =
= 51, 1875
= 121
, r = 4, maka
=
Untuk a =
= 121
= 9
o
= 121
108
Jika r = - 4, maka a (- 4)5 = 64
o
S n =
×
a 45 = 64
=
= r =
r n = 27 r 2
Selanjutnya harus dicari hasil bagi dua suku yang berurutan yaitu
=
=
= 2
Ternyata, hasil bagi dua suku yang berurutan merupakan suatu konstanta, tidak tergantung dari nilai n maka deret tersebut merupakan deret geometri. 6. Dik: a = 6 dan U 4 = ar 3 = 48
Barisan dan Deret
39
Dit: S 6 Jawab:
6r 3 = 48 sehingga r 3 = 8 maka r = 2 sehingga S n =
−− −− = S n =
= 378
Menentukan kenaikan gaji U 7 = U 1 + 6b (b = kenaikan gaji) 465. 000 = 225. 000 + 6 b 6b = 240. 000 b = 40.000 Jadi, kenaikan gaji pegawai itu adalah Rp 40.000
Menentukan gaji tahun 2010 (U 11) U 11 = U 1 + 10b = U 1 + 6b + 4b = U 7 + 4b = 465. 000 + 4 (40.000) = 625. 000 Jadi, besarnya gaji pegawai itu pada tahun 2010 adalah Rp 625. 000 3. Keenam bagian potongan tali membentuk barisan geometri: a, ar, ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 bagian paling pendek 3 cm. Ini berarti a = 3 bagian paling panjang 96 cm. Ini berarti ar 5 = 96
LATIHAN 10
1. Misalkan M adalah harga beli, p adalah penyusutan, n adalah periode, dan M n adalah modal setelah ditambahn harga majemuk. M = Rp 3. 000. 000,00 p = 10 n = 9
1 1
Harga komputer pada akhir periode n adalah M = M
maka harga
jual komputer pada akhir bulan ke-9 kerja adalah = 3.000.000
Rasio ukuran potongan tiap bagian (r )
−− −− =
= 3.000.000 ( 1 – 0,1)9
= 32 sehingga r = 2
= 3.000.000 (0,9) 9 = 3.000.000 . 0,387, karena ((0,9) 9 = 0,387) = 1.161.000 Jadi, harga jual komputer setelah 9 bulan kerja adalah Rp 1.161.000. 2. Soal tersebut merupakan pemecahan masalah dengan menggunakan barisan aritmetika. Tahun gaji = suku ke-n dan kenaikan gaji = beda Misalkan tahun 2000 = U 1, maka tahun 2006 = U 7 , dan tahun 2010 = U 11 Jadi, U 1 = 225. 000, U 7 = 465. 000
Panjang tali semula S n = S 6 =
= 3 (63) = 189
Jadi, panjang tali semula adalah 189 cm. 4. Dik: a = 3000, b = 500 dan n = 5 Dit: U 5 Jawab: U n = a + (n – 1)b = 3000 + (5 – 1) 500 = 3000 + 2000 = 5000 Jadi, hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5000 genteng
Barisan dan Deret
40
5. Diketahui besarnya uang yang ditabung tiap minggu membentuk barisan aritmetika dengan, tabungan minggu pertama = a = 30.000 penambahan tabungan tiap minggu = b = 8.000 lama menabung = n = 14 Besarnya uang Rasti pada minggu ke14 adalah banyaknya tabungan awal ditambah dengan uang yang ditabung tiap minggu (U 14) sehingga, U n = a + (n – 1)b = 30.000 + (14 – 1) 8.000 = 30.000 + 104.000 = 134. 000 Jadi, besarnya uang Rasti pada minggu ke-14 adalah Rp 134. 000 6. U n = ar n-1 Jumlah penduduk tahun 3008 ( U 1) = 24 orang Tiap tahun penduduk bertambah 2x lipat (r ) = 2 Maka jumlah penduduk tahun 3012 (U 5) U 5 = 24 . 2 5-1 = 24 . 2 4 = 384 orang Jadi, jumlah penduduk daerah tersebut pada tahun 3012 adalah 384 orang. 7. Misalkan M adalah modal awal, b adalah bunga setiap tahun, n adalah periode, dan Mn adalah modal setelah ditambah bunga majemuk. M
= Rp 20.000.000,00
n
=2
b
= 5% = 0,05
M n
= M ( 1 + b) n = 20.000.000 ( 1+ 0,05) = 20.000.000 (1,05) 2
2
= 22.050.000 Jadi, setelah 2 tahun modalnya menjadi Rp 22.050.000,00
UJI KOMPETENSI
I.
Multiple Choice
1.
=
⇔ ⇔ − 2− ⇔ ⇔ 2− . 2 2
x6 = 64
=
Maka x = 2 a = U 1 =
=
=
= x4
=
r 4 = x4
r = x sehingga U 7 =
=
=
=
= 16
Jawaban: D
2. 2, 3, 4, 6, 6, 6, 10, 9, 8, 14, 12, 10, ... Kita bagi barisan tersebut menjadi tiga barisan bilangan aritmetika BA1 : 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, ... BA2 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, . .. BA3 : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, . .. Lalu kita lihat pertanyaannya adalah jumlah 3n suku pertama dengan n adalah bilangan asli. Berarti kita dapat ciptakan barisan-barisan baru yang isinya itu dari 3n barisan-barisan tersebut kemudian kita hitung. Hasilnya adalah: BA3n : 10, 22, 34, . . .
⇒ ⇒
Sn = (2(10) + 12n – 12) = (12n
+ 8) BA3n : 9, 18, 27, . . .
Sn = (2(9) + 9n – 9 = (9n + 9)
Barisan dan Deret
41
⇒
BA3n : 8, 14, 20, . . .
y
log (x – 1) + y log (x + 1) + ylog (3x – 1) = 6
S n = (2(8) + 6n – 6 = (6n + 10)
y
Lalu jumlahkan semua S n yang ada sehingga diperoleh:
−− −− −− −− −+−+ 1
log [(x – 1) + (x + 1) + (3x – 1)] = 6
substitusi nilai x = 3 y log [ (2) (4) (8)] = 6 64 = y6 2 = y
⇒
S n = (12n + 8)
x+y=3+2=5 Jawaban: D
S n = (9n + 9)
S n = (6n + 10)
5. Diketahui U 3 – U 6 = x dan U 2 – U 4 = y. Misalkan suku pertama barisan geometri tersebut a dan rasionya r
+
S n = (27n + 27) S 3n =
(9n + 9)
Jawaban: C
= =
3. S n =
S 6n = S 3n =
=
=
=
Jawaban: C
sehingga
=
−− −− ++ −−++ + +
II.
=
E ssay
↔↔ ↔ ↔ √ 1728
1. a × b × c = 1728 a + b + c = 36
=
= Jawaban: C 4. U 2 – U 1 = U 3 – U 2 (berdasarkan beda pada barisan aritmetika) 2U 2 = U 1 + U 3
rasio =
=
a . c =
a + c = 36 – b
= =
kali silang sehingga b2 = ac b2 – ac = 0
b2 –
b3 – 1728 = 0
2 [ y log (x + 1) ]
b3 = 1728 b = substitusi nilai b = 12
= y log (x – 1) + ylog (3x – 1)
a.c=
y
log (x + 1) 2 = y log (x – 1) + ylog (3x – 1) (sesuai sifat logaritma) x2 + 2x + 1 = 3x 2 – 4x + 1 2x2 – 6x
=0
2x (x – 3)
=0
x = 3 atau x = 0 (tidak mungkin karena numeris log tidak ada yang negatif)
= 0
= 12
= 144
a + c = 36 – 12 = 24 Jadi, nilai a dan c yang paling memungkinkan jika nilai a . c = 144 dan a + c = 24 adalah a dan c = 12. Sebab, 12 . 12 = 144 dan 12 + 12 = 24 Jadi, nilai a, b dan c adalah 12, 12, 12 dan rasionya adalah 1. 2. (n) + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 2 (2n + 3)
Barisan dan Deret
42
(2n + 3) adalah bilangan ganjil, maka nilai p terbesar adalah 2. 3. Jelaslah bahwa n harus genap. Misalkan n = 2y . p1x1. p2x2 . . . pk xk dengan pi untuk i = 1, 2, . . . , k semuanya bilangan prima ganjil dan xi untuk i = 1, 2, . . . , k semuanya bilangan bulat tak negatif serta y asli. Karena salah satu faktor dari n adalah 2 maka semua bilangan genap n tidak akan relatif prima dengan n. Banyaknya bilangan genap n adalah sebanyak
≤ ≤
<
<
< <
Agar terpenuhi maka ada bilangan kurang dari n dan relatif prima terhadap n maka n tidak boleh memiliki faktor ganjil selain 1. Jadi pi = 1 untuk semua i = 1, 2, . . . , k . Maka n = 2y untuk suatu bilangan asli y. Karena n 2008 maka 2 y 2008. Jadi y 10. Maka nilai n yang memenuhi adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Sehingga banyaknya bilangan positif n yang memenuhi ada 10. 4. 1 + x + x 2 + . . . + x n = 40 x + x2 + . . . + x n = 39 x (1 + x + x 2 + . . . + x n-1 = 39) karena x dan n bilangan asli maka x merupakan faktor dari 39 nilai x yang mungkin memenuhi adalah 1, 3, 13, dan 39.
<≤
<
≠
1 maka 1 + x
− −
= 40
Untuk x = 3 maka 3 n+1 – 1 = 80 Jadi nilai n yang memenuhi = 3
≠−
x = 13 karena x x2 + . . . + x n =
1 maka 1 + x +
−
= 40
Untuk x = 13 maka 13 n+1 – 1 = 480 13n+1 = 481 = 13 . 37 Karena 37 tidak habis dibagi 3 maka tidak ada n asli yang memenuhi
bilangan ganjil kurang dari n juga
pi n dengan i = 1, 2, . . . , k juga merupakan faktor dari n yang mengakibatkan semua 1 pi n dengan i = 1, 2, . . . , k tidak akan relatif prima dengan n.
Jika x = 3 karena x + x2 + . . . + x n =
dan banyaknya
sebanyak . Tetapi untuk semua 1
Jika x = 1 maka 1 + 1 2 + . . . + 1 n = 39 Jadi n = 39
Jika x = 39 karena x x + x2 + . . . + x n =
≠
1 maka 1 +
− −
= 40
Untuk x = 39 maka 39 n+1 – 1 = 1520 39n+1 = 1521 = 392 Nilai n yang memenuhi adalah 1 Sehingga semua pasangan bilangan asli ( x, n) yang memenuhi adalah (1, 39), (3, 3), (39. 1) 5. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Sehingga jumlah sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129.
Barisan dan Deret
43
