3.3 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Unidad 3: Hidrodinámica Hidrodinámica

SUBTEMA 3.3 ECUACIÓN DE BERNOULLI Invest Investiga igarr en divers diversas as fuente fuentess c! c! deduci deducirr "as ecuaci ecuacine ness de energ# energ#aa a$"ic%nd"a en e" an%"isis de "a ecuaci&n de Bernu""i $ara un v"u!en de cntr". El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente corriente y y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento ni rozamiento en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido! "a energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes# $! %inética# %inética# es la energía energía debida a la velocidad velocidad que que posea el fluido! fluido! &! 'otencial 'otencial gravitaci gravitacional# onal# es la la energía debido debido a la altitud altitud que un fluido fluido posea! posea! ! Energí Energía a de flu)o# flu)o# es la energía energía que un fluido fluido contiene contiene debido debido a la presión presión que posee! "a sigu siguie ient nte e ecuac ecuació ión n cono conoci cida da como como *Ecua *Ecuaci ción ón de Berno Bernoul ullili** (Trin (Trinom omio io de Bernoulli consta de estos mismos términos!

+ónde# • •

•

 velocidad del velocidad del fluido en la sección considerada!  densidad del densidad del fluido!  presión a presión a lo largo de la línea de corriente!

•

 aceleración gravitatoria

•

 altura en la dirección de la gravedad desde gravedad desde una cota de cota de referencia!

Ecuación de Bernoulli



Mecánica de Fluidos

- expresada en alturas

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z altura geodésica 

. e& 

 altura de presión  En un fluido ideal no /ay viscosidad ni rozamiento ni, por tanto, transformación de energ energía ía /idr0 /idr0ul ulic ica a ene ene energ energía ía térm térmic ica! a! 1dem 1dem0s 0s en régi régime men n perm perman anen ente te la trayectoria de una partícula de fluido coincide con una línea de corriente! 2i adem0s esta partícula de fluido no recibe energía de una m0quina (bomba ni tampoco cede energía a una m0quina (turbina, en el tr0nsito de la partícula de un punto $ a otro punto & de una línea de corriente la energía podr0 transformarse de una clase a otra, pero seg3n el principio de conservación de la energía la suma tota totall de la energ energía ía que que pose posee e la partí partícu cula la debe debe de perm perman anece ecerr const constan ante te!! %onsiderando energías específicas esta suma en un fluido ideal e incompresible se compon compone e de energí energía a geodé geodési sica ca,, zg. zg. energ energía ía de pres presió ión, n, p4

y energ energía ía de

velocidad, v&4&! "a suma de estas tres energías debe pues permanecer constante!

$

g



($ y & en la misma línea de corriente, fluido ideal 5ótese, sin embargo, que aun en un fluido ideal sin pérdidas, y sin adición ni cesión de energía, no se opone al principio de conservación de la energía el que partículas situadas en líneas de corriente diversas puedan transportar diversa cantidad de energía! 'or tanto en un fluido ideal es posible que, siendo verdad porque $ y & est0n en la misma línea de corriente no sea verdad que

$

g



porque $ y  est0n en distinta de corriente




lo largo de todo el circuito! Es decir, que dic/a magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito! 2u expresión matem0tica es#

+onde es la presión /idrost0tica, la densidad, la aceleración de la gravedad, la altura altura del punto punto y la velocidad velocidad del fluido fluido en ese punto! punto! "os subíndices subíndices $ y & se refieren a los dos puntos del circuito! "a otra otra ecuac ecuació ión n que que cumpl cumplen en los los flui fluidos dos no comp compre resi sibl bles es es la ecuación de continuidad, continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito /idr0ulico#

+onde +onde es el el 0rea 0rea de la la secci sección ón del del conduct conducto o por por donde donde circul circula a el fluido fluido y su velocidad media!

Este Este teor teorem ema a pued puede e ser ser cons consid ider erado ado como como la ecuac ecuació ión n funda fundame ment ntal al de la /idrod /idrodin0m in0mica ica!! %onsti %onstituy tuye e una aplicac aplicación ión del princip principio io de conserv conservaci ación ón de la energía!




%ons %onsid idér éres ese e el tubo ubo de líqui íquido do de la figu figura ra!! 2ean 2ean 62 $ y 62& las las 0reas 0reas correspondientes a las secciones 1B y %+! +espués de un tiempo 6 t las partículas de fluido de la región 1B%+ pasan a ocupar la región 17B7%7+! 2iendo el fluido incompresible, esas dos regiones son iguales, por lo que en definitiva, /abiendo permanecido invariable la región 17B7%+, lo que /a ocurrido equivale a transportar la masa de fluido de la región 1B17B7 a la región %+%7+7, debiendo ser asimismo iguales, por la incompresibilidad del fluido, estas dos regiones! En din0mica vimos que el traba)o absorbido o realizado por un sistema se traduce en la variación de su energía cinética y potencial, es decir# 68  6E c 9 6Ep! :amos a aplicar esta ecuación a la masa de fluido contenida, inicialmente, en la región 1B17B7! El traba)o de las fuerzas de presión /idrost0tica es# 68  (p $ 62$

(p& 62& %%7

Es decir, la diferencia entre el traba)o (fuerza por espacio absorbido por esa masa de fluido y el realizado realizado por la misma! misma! 1/ora bien, como di)imos, los vol3menes vol3menes de las regiones 1B17B7B y %+%7%7+ son iguales, por lo que deber0 ser# 6:  62$ 117  62& %%7 +e donde, 68  (p $ p& 6: 2i la densid densidad ad del líqui líquido do es

y si v $ y v& son las velocidades en 1B y %+, la

variación de la energía cinética de la masa de fluido que estamos considerando ser0# 6Ec 

6: (v&& v$&

; la de su energía potencial# 6Ep 

6: (z& z$




=ue puede escribirse en la forma# p$

v$&

z$  p&

v&&

z&  cte

>sta es la ecuación fundamental de la /idrodin0mica, que se reduce a la de la /idrost0tica si v $  v&  ?!

BIBLIO'RA()A /ttp#44mit!oc@!universia!net4$!?A$4f?$4pdf4%52EC:E!pdf /ttp#44@ebserver!dmt!upm!es4Disidoro4b4c?F4TermodinamicaG&?delG&?volumen G&?deG&?control!pdf HE%I5J%1 +E "KJ+2 ; HI=KJ512

3.3 ECUACIÓN DE BERNOULLI

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