Distribución de probabilidad X : Ω →
4 . 0
R es la variabl variablee aleatori aleatoriaa en cue cuestió stión, n,
es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.
3 . 0 2 . 0
34.1% 34 .1% 34. 34.1% 1%
1 . 0
0.1%
2.1%
0 . 0
−3σ
13.6%
13.6% −2σ
−1σ
0
1σ
2.1%
2σ
1.1
Prop Propie iedad dades es
0.1%
Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:
3σ
La distribución La distribución Normal suele Normal suele conocerse como la “campana de Gauss”.
función continua por la derecha. derecha. • Es una función continua
función monótona no decreci decreciente ente.. • Es una función monótona En teoría En teoría de la probabilidad y probabilidad y estadística estadística,, la distribución una variable aleatoria es aleatoria es una función una función de probabilidad de una variable que asigna a cada suceso definido sobre la variable alea- Además, cumple toria la probabilidad la probabilidad de de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango lim F (x) = 0 de valores de la variable aleatoria. x →−∞
La distribución de probabilidad está completamente esy pecificada por la función la función de distribución, distribución, cuyo valor en cada x real real es la probabilidad de que la variable variable aleatoria sea menor o igual que x .
lim F (x) = 1
x→+∞
1
números reales reales cua cualesq lesquie uiera ra a y b tal que que (a < b) Defin Definic iciión de funci unción ón de dist distri ribu bu-- Para dos números , los sucesos (X ≤ a ) y ( a < X ≤ b) son mutuamente ción excluyentes y su unión es el suceso (X ≤ b ) , por lo que tenemos entonces que:
Dada una variable una variable aleatoria X , su función de distribución, F (x) , es X
P (X ≤ b ) = P (X ≤ a ) + P (a < X ≤ b ) F X (x) = Prob(X ≤ x) = µP {ω ∈ Ω|X (ω ) ≤ x }
P (a < X ≤ b ) = P (X ≤ b ) − P (X ≤ a )
y finalmente
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice X y se escribe, simplemente, F (x) . Donde en la fórmula fórmula anterior:
P (a < X ≤ b ) = F (b) − F (a)
Prob , es la probabilid probabilidad ad definida definida sobre un espacio de probabilidad y probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio el espacio muestral. muestral.
Por lo tanto una vez conocida la función de distribución t odos los valores de la variable variable aleatoria x coF (x) para todos noceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable. variable.
µP es la medida medida sobre la σ-álgebra la σ-álgebra de de conjun-
tos asociada al espacio de probabilidad.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad. densidad.
el espacio muestral, muestral, o conjunto de todos Ω es el espacio los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión. 1
2
2
Normal p.d.f .
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETA
• La distribución de Poisson, que describe el número
0.25
de eventos de en un cierto intervalo de tiempo y que puede obtenerse como límite de una distribución binominal.
0.2
• La distribución beta-binomial, que describe el nú-
0.3
Binomial p.m.f .
] k = X [ 0.15 P
mero de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados “sí" o “no”, cada uno de ellos con una probabilidad de acierto variable definida por una beta.
0.1
• La distribución degenerada en x0, en la que X toma 0.05
0 0
1
2
3
4
5
6
el valor x0 con probabilidad 1. A pesar de que no parece una variable aleatoria, la distribución satisface todos los requisitos para ser considerada como tal.
k
• La distribución uniforme discreta, en el que todos Gráfica de distribución binomial.
2
Distribuciones de variable discreta
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:
∑
• La distribución hipergeométrica, que mide la pro-
babilidad de obtener x (0 ≤ x ≤ d) elementos de una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población sin reemplazo. • distribución hipergeométrica no central de Fisher. • distribución hipergeométrica no central de Walle-
x
F (x) = P (X ≤ x ) =
los resultados posibles forman de un conjunto finito en el que todos son igualmente probables. Esta distribución describe el comportamiento aleatorio de una moneda, un dado o una ruleta de casino equilibrados (sin sesgo).
f (k )
k=−∞
Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde −∞ hasta el valor x .
nius. • La ley de Benford, que describe la frecuencia del
primer dígitode un conjunto de números en notación decimal. Definidas sobre un dominio infinito
2.1
Tipos de distribuciones de variable discreta
Definidas sobre un dominio finito
• La distribución de Bernoulli, que toma valores “1”,
con probabilidad p, o “0”, con probabilidad q = 1 − p. • La distribución de Rademacher, que toma valores “1” o "−1” con probabilidad 1/2 cada uno. • La distribución binomial, que describe el número de
aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados “sí" o “no” (ensayo de Bernoulli, todos ellos con probabilidad de acierto p y probabilidad de fallo q = 1 − p.
• La distribución binomial negativa o distribución de
Pascal, que describe el número de ensayos de Bernoulli independientes necesarios para conseguir n aciertos, dada una probabilidad individual de éxito p constante. • La distribución geométrica, que describe el núme-
ro de intentos necesarios hasta conseguir el primer acierto. • La distribución beta-binomial negativa, que descri-
be el número de experimentos del tipo “si/no” necesarios para conseguir n aciertos, cuando la probabilidad de éxito de cada uno de los intentos está distribuida de acuerdo con una beta. • La distribución binomial negativa extendida.
3.1
3
Tipos de distribuciones de variable continua
• La distribución de Boltzmann, importante en
mecánica estadística, que describe la ocupación de los niveles de energía discretos en un sistema en equilibrio térmico. Varios casos especiales son: • La distribución de Gibbs. • La distribución de Maxwell–Boltzmann. • La distribución elíptica asimétrica. • La distribución fractal parabolica. • La distribución hipergeométrica extendida. Distribución normal.
• La distribución logarítmica. • La distribución logarítmica generalizada. • La distribución de Poisson, que describe el número
de eventos individuales que ocurren en un periodo de tiempo. Existen diversas variantes como la Poisson desplazada, la hiper-Poisson, la binomial de Poisson y la Conway–Maxwell–Poisson entre otras. • La distribución de Polya-Eggenberger. • La distribución Skellam, que describe la diferencia
de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de Poisson de distinto valor esperado. • La distribución de Yule–Simon. • La distribución zeta, que utiliza la función zeta de
Riemman para asignar una probabilidad a cada número natural. • La ley de Zipf, que describe la frecuencia de utili-
zación de las palabras de una lengua. • La ley de Zipf–Mandelbrot es una versión más pre-
cisa de la anterior.
3.1
Tipos de distribuciones de variable continua
Distribuciones definidas en un intervalo acotado
• La distribución arcoseno, definida en el intervalo
[a,b]. • La distribución beta, definida en el intervalo [0, 1],
que es útil a la hora de estimar probabilidades. • La distribución del coseno alzado, sobre el intervalo
[\mu-s,\mu+s]. • La distribución degenerada en x0, en la que X toma
el valor x0 con probabilidad 1. Puede ser considerada tanto una distribución discreta como continua. • La distribución de Irwin-Hall o distribución de la
suma uniforme, es la distribución correspondiente a la suma de n variables aleatorias i.i.d. ~ U(0, 1). • La distribución de Kent, definida sobre la superficie
de una esfera unitaria. • La distribución de Kumaraswamy, tan versátil como
la beta, pero con FDC y FDP más simples. • La distribución logarítmica continua.
3
Distribuciones de variable continua
Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
∫
x
F (x) = P (X ≤ x ) =
−∞
f (t) dt
• La distribución logit-normal en (0, 1). • La distribución normal truncada, sobre el intervalo
[a, b]. • La distribución reciproca, un tipo de distribución in-
versa. • La distribución triangular, definida en [a, b], de la
cual un caso particular es la distribución de la suma de dos variables independientes uniformemente distribuidas (la convolución de dos distribuciones uniformes).
4
3
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA
• La distribución uniforme continua definida en el in-
• La distribución de Erlang, caso especial de la gam-
tervalo cerrado [a, b], en el que la densidad de probabilidad es constante.
ma con un parámetro k entero, desarrollada para predecir tiempos de espera en sistemas de líneas de espera.
• La distribución rectangular es el caso particular en el intervalo [−1/2, 1/2].
• La distribución gamma inversa.
• La distribución U-cuadrática, definida en [a, b], uti-
• La distribución gamma-Gompertz, que se utiliza en
lizada para modelar procesos bimodales simétricos. • La distribución von Mises, también llamada distri-
bución normal circular o distribución Tikhonov, definida sobre el círculo unitario. • La distribución von Mises-Fisher, generalización de
la anterior a una esfera N-dimensional. • La distribución semicircular de Wigner, importante
en el estudio de las matrices aleatorias. Definidas en un intervalo semi-infinito, usualmente [0,∞)
modelos para estimar la esperanza de vida. • La distribución de Gompertz. • La distribución de Gompertz desplazada. • La distribución de Gumbel tipo-2. • La distribución de Lévy. Distribuciones en las que el logaritmo de una variable aleatoria está distribuido conforme a una distribución estándar:
• La distribución log-Cauchy.
• La distribución beta prima.
• La distribución log-gamma.
• La distribución de Birnbaum–Saunders, también lla-
• La distribución log-Laplace.
mada distribución de resistencia a la fatiga de materiales, utilizada para modelar tiempos de fallo.
• La distribución log-logistic.
• La distribución chi.
• La distribución log-normal.
• La distribución chi no central.
• La distribución de Mittag–Leffler.
• La distribución χ² o distribución de Pearson, que es
• La distribución de Nakagami.
la suma de cuadrados de n variables aleatorias independientes gaussianas. Es un caso especial de la gamma, utilizada en problemas de bondad de ajuste. • La distribución chi-cuadrada inversa. • La distribución chi-cuadrada inversa escalada. • La distribución chi-cuadrada no central. • La distribución de Dagum. • La distribución exponencial, que describe el tiem-
po entre dos eventos consecutivos en un proceso sin memoria. • La distribución F, que es la razón entre dos variables
\mathbf{\chi}^2_n y \mathbf{\chi}^2_m independientes. Se utiliza para realizar análisis de varianza por medio del test F.
• Variantes de la distribución normal o de Gauss: • La distribución normal pleglada. • La distribución semi normal. • La distribución de Gauss inversa, también conocida
como distribución de Wald. • La distribución de Pareto y la distribución de Pareto
generalizada. • La distribución tipo III de Pearson. • La distribución por fases bi-exponencial, común-
mente usada en farmacocinética. • La distribución por fases bi-Weibull. • La distribución de Rayleigh. • La distribución de mezcla de Rayleigh.
• La distribución F no central.
• La distribución de Rice.
• La distribución de Fréchet.
• La distribución T² de Hotelling.
• La distribución gamma, que describe el tiempo ne-
• La distribución de Weibull o distribución de Rosin-
cesario para que sucedan n repeticiones de un evento en un proceso sin memoria.
Rammler, para describir la distribución de tamaños de determinadas partículas.
3.1
5
Tipos de distribuciones de variable continua
• La distribución Z de Fisher. Definidas en la recta real completa
• La distribución de Behrens–Fisher, que surge en el
problema de Behrens–Fisher. • La distribución de Cauchy, un ejemplo de distribu-
ción que no tiene expectativa ni varianza. En física se le llama función de Lorentz, y se asocia a varios procesos. • La distribución de Chernoff. • La distribución estable o distribución asimétrica
alfa-estable de Lévy, es una familia de distribuciones usadas e multitud de campos. Las distribuciones normal, de Cauchy, de Holtsmark, de Landau y de Lévy pertenecen a esta familia. • La distribución estable geométrica. • La distribución de Fisher–Tippett o distribución del
valor extremo generalizada. • La distribución de Gumbel o log-Weibull, caso es-
pecial de la Fisher–Tippett. • La distribución de Gumbel tipo-1. • La distribución de Holtsmark, ejemplo de una distri-
bución con expectativa finita pero varianza infinita. • La distribución hiperbólica. • La distribución secante hiperbólica. • La distribución SU de Johnson. • La distribución de Landau.
• La distribución gaussiana exponencialmente modi-
ficada, la convolución de una normal con una exponencial. • La distribución normal-exponencial-gamma. • La distribución gaussiana menos exponencial es la
convolución de una distribución normal con una distribución exponencial (negativa). • La distribución de Voigt, o perfil de Voigt, es la con-
volución de una distribución normal y una Cauchy. Se utiliza principalmente en espectroscopía. • La distribución tipo IV de Pearson. • La distribución t de Student, útil para estimar me-
dias desconocidas de una población gaussiana. • La distribución t no central. Definidas en un dominio variable
• La distribución de Fisher–Tippett o distribución del
valor extremo generalizada, puede estar definida en la recta real completa o en un intervalo acotado, dependiendo de sus parámetros. • La distribución de Pareto generalizada está definida
en un dominio que puede estar acotado inferiormente o acotado por ambos extremos. • La distribución lambda de Tukey, puede estar defi-
nida en la recta real completa o en un intervalo acotado, dependiendo de sus parámetros. • La distribución de Wakeby. Distribuciones mixtas discreta/continua
• La distribución de Laplace. • La distribución de Linnik. • La distribución logística, descrita por la función lo-
• La distribución gaussiana rectificada, es una distri-
bución normal en la que los valores negativos son sustituidos por un valor discreto en cero.
gística. • La distribución logística generalizada. • La distribución map-Airy. • La distribución normal, también llamada distribu-
ción gaussiana o campana de Gauss. Está muy presente en multitud de fenómenos naturales debido al teorema del límite central: toda variable aleatoria que se pueda modelar como la suma de varias variables independientes e idénticamente distribuidas con expectativa y varianza finita, es aproximadamente normal. • La distribución normal generalizada. • La distribución normal asimétrica.
Distribuciones multivariable
• La distribución de Dirichlet, generalización de la
distribución beta. • La fórmula de muestreo de Ewens o distribución
multivariante de Ewens, es la distribución de probabilidad del conjunto de todas las particiones de un entero n, utilizada en el análisis genético de poblaciones. • El modelo de Balding–Nichols, utilizado en el aná-
lisis genético de poblaciones. • La distribución multinomial, generalización de la
distribución binomial.
6
4
• La distribución normal multivariante, generaliza-
ción de la distribución normal. • La distribución multinomial negativa, generaliza-
ción de la distribución binomial negativa. • La distribución log-gamma generalizada multiva-
riante. Distribuciones matriciales
• La distribución de Wishart. • La distribución de Wishart inversa. • La distribución normal matricial. • La distribución t matricial. Distribuciones no numéricas
• La distribución categórica. Distribuciones misceláneas
• Distribución de Cantor. • Distribuciones logísticas generalizadas. • Distribuciones de Pearson. • Distribución de tipo fase.
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Enlaces externos •
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