CINEMÁTICA CONCEPTO
1.
Es una parte de la Mecánica, que tiene por finalidad describir matemáticamente todos los tipos posibles de movimiento mecánico sin relacionarlo con las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. La cinemática estudia las propiedades geométricas del movi movimi mien ento to,, inde indepe pend ndie ient ntem emen ente te de las las fuer fuerza zass aplicadas y de la masa de la partícula. 2. MOVIMIENTO
En general es una propiedad fundamental de la materia asociada a ella y que se manifiesta a través de cambios, transformaciones y desarrollo. Los Los cuer cuerpo poss macr macros oscó cópi pico coss pose poseen en inte intern rnam amen ente te múlt múltip iple less movi movimi mien ento toss mole molecu cula lare ress tale taless como como:: Movimien iento Térmi rmico, Mov Movimient ientoo Biológico ico, Movimiento Electrónico, etc. Externamente los cuerpos macroscópicos con el tiempo experimentan transformaciones, cambios cambios en cantidad cantidad y calidad, calidad, esta realidad realidad objetiva es precisa pre cisament mentee la l a mater m ateria ia en movi m ovimie miento nto.. El movimiento mecánico es el movimiento más simple de la materia , es decir el cambio de posición. El movimiento mecánico es el cambio de posición respecto de un sistema de referencia. De otro modo, el movimiento mecánico es relativo. r elativo. 3.
MOVIMIENTO MECÁNICO Es aquel cambio de posición que realiza o experimenta un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. La visual del observador se considera en el origen de coordenadas y que la tierra no se mueve.
4. SISTEMA DE REFERENCIA
Es aquel lugar del espacio en donde en forma real r eal o imaginaría se sitúa un observador para par a anali an alizar zar un fenóm f enómeno. eno. Sobre un cuerpo en el espacio se fija rigurosamente r igurosamente un sistema coordenado (cartesiano, cilíndrico, polar, etc.), lugar en el cual se instala un reloj (sistema horario) y se ubica un 1
observador en forma real o imaginaria, quien estudiará el fenómeno (movimiento mecánico) en el espacio y en el tiempo. A este conjunto se le denomina sistema de referencia.
Y (m)
X (m) 5. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO
5.1) Móvil.- Es el cuerpo o partícula que realiza un movimiento mecánico o que puede moverse. 5.2) Trayectoria .- Es la línea recta o curva que describe el móvil al desplazarse. si la trayectoria es curvilínea, el recorrido es mayor que la distancia. En cambio si la trayectoria es rectilínea, entonces el recorrido es igual a la distancia.
Y (m)
r
0
Trayectoria
r
X (m)
5.3) Vector Posición ( r ) .- Es aquel vector utilizado por el observador con el fin de ubicar en el espació y en el tiempo, al móvil. Este vector se traza desde la visual del observador (origen de coordenadas) al móvil en un cierto instante. 5.4) Recorrido (e) .- Es la medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos considerados. Es una magnitud física escalar. 5.5) Desplazamiento ( d ) .- Es una magnitud física vectorial, que sirve para expresar el cambio de posición efectivo entre dos puntos efectuado por un móvil. De la figura: 2
Y (m)
r
r
1
0
X (m)
r r
2
r
r
Adición de vectores: r1 + d = r 2
r
r
Desplazamiento: d = r2 − r 1 r El desplazamiento se define como el cambio de posición: d = ∆r
5.6) Distancia Distancia (d).- Es el módulo del vector desplazamiento. desplazamiento. Es la medida del segmento segmento que une el punto inicial con el punto final del movimiento. 5.7) Tiempo Tiempo: Es una forma real de existencia de la materia, que se encuentra asociada a su movimiento y espacio ocupado. El Tiempo en Mecánica sirve para medir medir la duración de un fenómeno físico y su ubicación ubicación respectiva. El Tiempo para un evento físico definido previamente se puede clasificar en: - Intervalo de Tiempo ( t).- Denominado también tiempo transcurrido, es aquel que sirve para medir la duración duración de un evento evento físico. - Instante de Tiempo ( t 0).- Es aquel intervalo de tiempo pequeñísimo que nos permitirá ubicar la tendencia de ocurrencia de un fenómeno físico y su ubicación principalmente en el espacio. EJEMPLO 01: Una mosca sigue la trayectoria mostrada, desde A hasta B. Determine el desplazamiento desplazamiento y la distancia entre A y B (en m). y(m) 5
2
B
A 2
x(m) 6
3
Resolución Desplazamiento: d AB = B − A = (6 ; 5) 5) −( 2 ; 2) 2) = (4 ; 3) 3) =4 ˆi +3 ˆj La distancia es el módulo del desplazamiento (vector): d AB
=
4
2
2
+3 =
5m
EJEMPLO 02: Victoria ubicada inicialmente en el punto A (-2; -2) realizó los siguientes desplazamientos desplazamientos sucesivos: - 2 j (LATERAL); -3 i + 2 j (ZIG); 3 i + 2 j (ZAG) respectivamente. respectivamente. Jacky con un balón está ubicada en el punto B (1; 4). ¿Qué tan lejos debe lanzar el balón para entregar a Victoria? ¿en que dirección? dirección? (los desplazamientos se miden miden en metros) Resolución Inicialmente Victoria se encuentra en A y finalmente en A’. Cálculo de la posición final de Victoria: Inicial : A = (− 2; 2; −2) 2) Lateral : d 1 = (0; −2) Zig : d 2 = (−3; 3; 2) Zag : d 3 = (3; 2) Final : A´= A + d1 + d 2 + d 3 = (− 2; 0) Cálculo del desplazamiento desde B hasta A’: d AB
=
A´ − B
= ( −2; 0) 0) − (1; 4) 4) = ( −3; −4)
Cálculo de la distancia entre Victoria y Jacky: d AB = (−3) 2 + (−4)2 = 5 m
4
Y B
A’ X
A
EJEMPLO 02: En el mapa de un tesoro, indica que se debe iniciar la búsqueda desde un gran árbol, dirigiéndose 50 m al Este, luego 15 m al Sur y finalmente 42 m al Oeste. Determine cuánto se debe recorre y el módulo del desplazamiento entre el árbol y el tesoro. Resolución El árbol se encuentra en la posición A y el tesoro en D . Grafiquemos el desplazamiento:
A
N O
50 m
B
E S
15 m
P
15 m
17 m
8m
D
42 m
C
Recorrido : e = 50 m + 15 m + 42 m = 107 m Distancia: Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo APD, d= 17 m 6.
MEDIDAS DEL MOVIMIENTO El movimiento mecánico se puede expresar en función a la rapidez de cambio de posición en el tiempo, a través de la velocidad y la aceleración, y también en función a la naturaleza de las transformaciones y considerando la masa del cuerpo el movimiento se mide en base al 5
concepto de ENERGÍA y cantidad de movimiento, que estudiaremos mas adelante. 7. VELOCIDAD
Es una magnitud física vectorial que nos expresa la rapidez con la cual un móvil cambia o tiene de a cambiar de posición en un intervalo de tiempo como Velocidad Media y en función a un instante de tiempo como Velocidad Instantánea. 8. VELOCIDAD MEDIA (Vm)
Es aquella magnitud física vectorial que expresa la rapidez de cambio de posición de un móvil, evaluada en un intervalo de tiempo. la velocidad media Vm es colineal y del mismo sentido que el desplazamiento. La velocidad media se evalúa entre dos puntos de la trayectoria. Matemáticamente se expresa así:
r
V m =
∆r d La velocidad media es independiente de la trayectoria. = ∆t ∆t
Para un movimiento unidimensional en el eje X se expresa así:
r
V m =
∆ X X F − X 0 = ∆t ∆t
Y (m)
r
r
1
0
X (m)
r r
2
EJEMPLO: Una mosca sigue la trayectoria mostrada, desde A = (2 m; 2 m) hasta B = (5 m; 6 m) en 0,02 segundo. Determine la velocidad media de la mosca (en m/s). y B A
d x
0
Resolución
6
Cálculo del desplazamiento entre A y B: d AB = B − A = (5 ; 6) − (2 ; 2) = (3 ; 4)
=3 ˆi +4 ˆj
Cálculo de la velocidad media: r d AB 3 iˆ + 4 ˆj = = 150 iˆ + 200 ˆj (m / s ) Vm = ∆t 0,02 9. VELOCIDAD INSTANTÁNEA (V)
Es aquella magnitud física que expresa la rapidez probable de cambio de posición que tiende a poseer o posee un móvil en un instante de tiempo. Matemáticamente la velocidad instantánea viene a ser el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Se define como:
Vinstantanea = lim Vm ∆t →0
Con el uso del cálculo diferencial, la velocidad instantánea se expresa así:
dr
V
dt
Se lee derivada de la posición respecto del tiempo.
Para un movimiento unidimensional en el eje X.
dX
V
dt
, se lee derivada de la posición en el eje X respecto del tiempo. Donde X es un
polinomio cuya variable es el tiempo.
Unidades de la velocidad: cm/s; m/s; km/h
X (m)
V
V = Tg θ
Tangente
X (t)
0
t (s)
θ
t La velocidad instantánea se representa mediante un vector tangente a la curva. EJEMPLO 01: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: X (t ) = 4 + 5.t + 6.t 2 + 2.t 3 , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partícula en el instante t = 5 segundos. 7
Resolución La velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo: V (t ) = 0 + 5.t 0 + 6.2t 1 + 2.3.t 2 V (t ) = 5 + 12t 1 + 6t 2 Cálculo de la rapidez para t = 5 s V = 5 + 60 + 150 = 215 m/s Cálculo de la velocidad para t = 5 s V = 215 i m/s EJEMPLO 02: La posición de un partícula en el eje X se define mediante la ley: X (t ) = 4.t + 5.t 2 − 2.t 4 , donde t se mide en segundos y X en metros. Determine la velocidad de la partícula en el instante t = 4 segundos. Resolución La velocidad se define como la derivada de la posición respecto del tiempo: V (t ) = 4.1.t 0 + 5.2t1 − 2.4.t3 V (t ) = 4 + 10.t1 − 8.t 3 Cálculo de la rapidez para t = 4 s V = 4 + 10.41 − 8.43 V = 4 + 40 − 8.43 = −468 La velocidad media para t = 4 s V = -458 i m/s
M.R.U. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 1. CONCEPTO: El móvil describe una trayectoria rectilínea, avanzando distancias iguales en intervalos de tiempos iguales. El cuerpo se mueve con velocidad constante (módulo y
dirección).
Y
T
T
T
T
X 0
d
d
d
d
El movimiento rectilíneo uniforme, es el movimiento más simple de la materia.
8
2. VELOCIDAD CONSTANTE
La particula se mueve con velocidad constante en módulo y direccion. Es decir la trayectoria es rectilinea siempre.
V (m/s) 25
T(s) 0
1
2
3
4
El móvil recorre 25 metros en cada segundo, equivalente a 90 km/h. El área bajo la recta representa el cambio de posición. 3. CARACTERÍSTICAS DE LA VELOCIDAD EN EL M.R.U.
La velocidad instantánea es constante. La velocidad media es constante. La velocidad instantánea es igual a la velocidad media. La velocidad es una cantidad física vectorial, es decir tiene módulo y dirección. La rapidez es el módulo de la velocidad. Cálculo de la rapidez : Cálculo de la distancia:
V = d
d t
= V . t
Cálculo del tiempo transcurrido: t =
d V
d V Unidades: d : metros ;
t
t : segundos ;
V : m/s
4. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO (M.R.U.)
La posición final de la partícula es igual a la adición de la posición inicial más el desplazamiento. 9
x F
=
x0
+ V .t
El signo positivo o negativo representan la dirección de la cantidad vectorial. De otro modo, se reemplaza en la ecuación en signo de cada cantidad física vectorial.
Y (m)
t V X (m)
0
X0
: Posición final V : Velocidad
x f
d
XF
: Posición inicial t: tiempo transcurrido
x 0
5. EQUIVALENCIA
Un kilómetro equivale a mil metros. Una hora equivale a 3 600 segundos. Una hora equivale a 60 minutos. Un minuto equivale a 60 segundos.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 .
9 km/h = 2,5 m/s 18 km/h = 5 m/s 36 km/h = 10 m/s 54 km/h = 15 m/s 72 km/h = 20 m/s 90 km/h = 25 m/s 108 km/h = 30 m/s 144 km/h = 40 m/s 1 hora = 3 600 s 1 km = 1 000 m
6. TIEMPO DE ENCUENTRO
Dos cuerpo A y B se encuentra separados un distancia d, salen al encuentro simultáneamente con rapidez constante en direcciones opuestas.
10
dA
dB
VA
VB
A d
d A
T encuetro
d dB
d
V A .T
B
VB .T
d V A
V B
EJEMPLO 01: Don móviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultáneamente al encuentro con rapidez de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuánto tiempo demoran encontrarse en un mismo punto? Resolución. Los móviles A y B van al encuentro sobre una misma trayectoria. La distancia de separación inicial es 120 metros. Aplicamos la regla práctica. d 120 Tencuentro Te 4s V A V B 20 10 Respuesta: Los móviles A y b se encuentran después de 4 segundos. EJEMPLO 02: Dos móviles A y B participan de una competencia de ida y vuelta, en una pista de 120 m de largo. Si parten simultáneamente con rapideces de 6 m/s y 10 m/s respectivamente, ¿después de cuánto tiempo vuelven a encontrarse? Resolución En 12 segundos el móvil B (de mayor rapidez) llega al extremo recorriendo 120 m y el otro (A) recorre 72 m en el mismo intervalo de tiempo. Después el tiempo de encuentro es 3 segundos. t = 12 s
PARTIDA
P
6 m/s
72 m
M
Cálculo del tiempo de encuentro: d 48 m = = 3s Te = V A + VB 6 m / s + 10 m / s
11
10 m/s
48 m
N
El tiempo total transcurrido es: 12 s + 3 s = 15 segundos.
Respuesta: Después de 15 segundos los móviles A y B vuelven a encontrarse. 7. TIEMPO DE ALCANCE
Dos cuerpo A y B se encuentra separados un distancia d, salen simultáneamente en la misma dirección con rapidez constante.
dA dB VA
VB
A d
d B
T alcance
B
d dA
d
V A .T
VB .T
d V A
V B
EJEMPLO 01: Don móviles A y B se encuentran separados inicialmente 120 metros, salen simultáneamente en la misma dirección con rapidez de 40 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuánto tiempo demora el más veloz en alcanzar al más lento? Resolución El móvil A con rapidez de 40 m/s es más veloz que el móvil B. La distancia de separación inicial es 100 metros. Aplicamos la regla práctica. d 120 Talcance Ta 4s V A V B 40 10 Respuesta: El móvil alcanza al móvil B en 4 segundos. 8. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES OPUESTAS
Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones opuestas.
VA
VB
dA T cruce
d A
d B
V A
V B
dB
12
EJEMPLO 01: Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión cruzarse íntegramente con un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en dirección opuesta? Resolución Transformando tenemos que el camión de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en cruzarse el camión con el tren es:
T =
Lcamion + Ltren Vcamion + V tren
40 m + 260 m 300 m = = 10 segundos 20 m / s + 10 m / s 30 m / s Respuesta: El tiempo que demora en cruzarse el camión con el tren es 10 segundos. Reemplazando tenemos: T =
9. TIEMPO DE CRUCE EN DIRECCIONES IGUALES
Dos cuerpos rígidos A y B de largo apreciable como ocurre con los trenes, camiones, puentes, túneles, automóviles. Los cuerpos se mueven en direcciones iguales
VA
VB
dA T cruce
d A
d B
V A
V B
dB
EJEMPLO 01: Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión en pasar íntegramente a un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en la misma dirección? Resolución Transformando tenemos que el camión de 40 m tiene rapidez de 20 m/s y el tren de 260 m de largo con rapidez de 10 m/s. El tiempo que demora en adelantar el camión al tren es:
T =
Lcamion + Ltren Vcamion − V tren
40 m + 260 m 300 m = = 30 segundos 20 m / s − 10 m / s 10 m / s Respuesta: El tiempo que demora en adelantar el camión al tren es 30 segundos. Reemplazando tenemos: T =
10. SONIDO Y ECO El eco es un fenómeno acústico. El sonido en una onda mecánica. El sonido necesita para propagarse un medio diferente al vacío. En el aire se propaga con una rapidez promedio de 340 m/s. El eco se produce cuando el observador percibe el mismo sonido por segunda vez debido al rebote de la onda sonora en algún obstáculo (montaña, cerro, pared, muro, etc.). 13
La rapidez del sonido en el aire seco a 0 ºC es de unos 330 m/s. La presencia de vapor de agua en el aire incrementa ligeramente dicha rapidez. Un aumento de la temperatura del aire también aumenta la rapidez del sonido. La rapidez del sonido en aire aumenta en 0,6 m/s por cada grado centígrado. La rapidez del sonido en un material dado no depende de la densidad material, sino de su elasticidad. El acero en un material elástico. Los átomos de un material elástico están relativamente juntos. El sonido se propaga unas quince veces más a prisa en el acero que en el aire, y unas cuatro veces más a prisa en agua que en el aire. La ecuación muestra la variación de la rapidez del sonido en el aire debido al cambio de la temperatura en grados Celsius. m V T 330 0,6.T T 0 0C s ADRIÁN SOLANO CRUZ , músico, aprendió a tocar el violín muy joven, compuso bellas mulizas, chonguinadas y huaynos en la ciudad Tarma, departamento de Junín. Dirigió con acierto durante 50 años el Centro Musical Lira Tarmeña, grabando cerca de 50 composiciones musicales con la empresa fonográfica SONO RADIO. En vida disfrutó de la amistad franca y sincera del ex presidente del Perú, General Manuel Arturo Odría Amoretti, quien popularizó en huayno “Picaflor Tarmeño” en 1951. La música folclórica o vernácula es el alma de pueblos.
14
EJEMPLO 01: Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de qué intervalo de tiempo escuchará el eco?
8
5
0
m
Resolución Eco es aquel fenómeno en el cual el sonido percibe el hombre por segunda vez, esto ocurre cuando el sonido (onda sonora) se refleja debido a un obstáculo (montaña). Cálculo del tiempo que demora el sonido en llegar a la montaña: t=
d VSONIDO
=
850 m = 2,5 s 340 m / s
Entonces el sonido invierte 5,0 segundos en ir y regresar de la montaña.
Respuesta: El eco se escucha luego de 5 segundos. EJEMPLO 02: El ruido del motor del avión emito en la posición B escucha un hombre en A cuando el avión pasa por C con velocidad constante. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la rapidez del avión (en m/s). C
B
3
0
°
A
Resolución En el triángulo ACB recto en C, el avión recorre L metros mientras que el sonido recorre 2L metros en el mismo intervalo de tiempo, por consiguiente la rapidez del avión es la mitad de la rapidez de sonido.
t =
L sonido V sonido
=
Lavion V avion
Reemplazando los valores:
L 2 L = 340 V avion
Resolviendo obtenemos que: Vavion
= 170
m/ s
Respuesta: La rapidez del avión es 170 m/s. PROBLEMA 03 Un auto que tiene M.R.U., se mueve en dirección a una montaña con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia de la montaña se encontrará el auto cuando el chofer escucha el eco?
15
Resolución En 4 segundos el automóvil con rapidez de 20 m/s avanza 80 metros, en el mismo tiempo el sonido saliendo de A va hacia la montaña y regresa hasta el punto B, la nueva posición del auto .
Montaña
S o n i d o
B C
A
80 m
X
Para el auto (M.R.U.) desde A hasta B: d = V .T Reemplazando los datos: d AUTO = 20.4 = 80 m Para el sonido (M.R.U.): eSONIDO = VSONIDO .T ⇒ ( 80 + X ) + X = 340.4 Resolviendo: X = 640 m
Respuesta: El chofer escucha el eco cuando el auto se encuentra a 640 de la montaña. PROBLEMA 04 Un auto que tiene M.R.U., se mueve alejándose de una montaña con rapidez constante de 20 m/s, en cierto instante de la montaña el chofer toca la bocina y escucha el eco luego de 4 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia de la montaña tocó la bocina? Resolución En 4 segundos el automóvil con rapidez de 20 m/s avanza 80 metros, en el mismo tiempo el sonido saliendo de A va hacia la montaña en P y regresa hasta el punto B, la nueva posición del auto.
Montaña S o n i d o
A P
X
B 80 m
Para el auto (M.R.U.) desde A hasta B: d = V .T Reemplazando los datos: d AUTO = 20.4 = 80 m Para el sonido (M.R.U.): eSONIDO = VSONIDO .T ⇒ X + ( X + 80 ) = 340.4 Resolviendo: X = 640 m Respuesta: El chofer tocó la bocina cuando el auto se encontraba a 640 de la montaña.
PROBLEMA 04 Una persona ubicada entre dos montañas, en cierto instante emite un grito y percibe el primer eco a los 3,0 segundos y a los 3,6 segundos correspondiente a la otra montaña. 16
Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determinar la distancia entre las montañas.
Resolución Teniendo en cuenta el fenómeno del ECO, deducimos el sonido demora en llegar a la montaña A 1,5 segundos y 1,8 segundos a la montaña B. A
1,5 s
1,8 s
1,5 s
1,8 s
X Montaña A: d Montaña B: d
B
Y
VSONIDO .T VSONIDO .T
X Y
340 x1, 5 510 m 340 x1, 8 612 m
La distancia entre las montañas es: D
X
1122 m
Y
Respuesta: La distancia de separación entre las montañas es 1,122 km. EJEMPLO 05 Dos relojes electrónicos están separados 1 020 metros, cuando dan la hora, uno de ellos se adelanta 2,0 segundos. ¿A qué distancia del reloj adelantado una persona oirá a los dos relojes dar la hora al mismo instante? Resolución El observador debe ubicarse más distante del reloj adelantado para escuchar a los dos relojes dar la hora simultáneamente. (T – 2)
T
Sonido
Sonido
Normal
Adelantado X
Y
La distancia entre las montañas es: X
Y
1020 m
La distancia que recorre el sonido es: d SONIDO Reemplazando: 340. T
2
340. T
VSONIDO . t
1 020 17
Resolviendo tenemos que: T = 2,5 segundos Cálculo de la distancia respecto del reloj adelantado: Y Y
340. 2,5
VSONIDO . T
850 m
Respuesta: La persona debe ubicarse a 850 m del reloj adelantado. EJEMPLO 06 Un hombre dispara una bala en dirección horizontal con rapidez 170 m/s, contra un blanco y escucha el impacto luego de 3 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿A qué distancia del hombre se encuentra el blanco? Resolución El tiempo transcurrido para el observador es igual a la suma del tiempo empleado por el proyectil en llegar al blanco, mas el tiempo que demora el sonido en propagarse desde el blanco hasta la posición fija del observador. La velocidad de la bala es la mitad de la velocidad del sonido, por consiguiente la relación de los tiempo están en relación inversa. La misma distancia la bala recorre el doble de tiempo que el sonido.
TBALA = 2T
BLANCO
TSONIDO = T X 2T T 3 Veamos la ecuación temporal: T BALA TSONIDO 3s Resolviendo la ecuación: T = 1,0 segundo. X 340.1,0 340 m La distancia de separación es: X VSONIDO .T Respuesta: El hombre y el blanco están separados 340 m. EJEMPLO 07 Dos personas A y B están separadas una distancia X. En cierto instante la persona A dispara una bala horizontalmente con rapidez de 170 m/s, en dirección del blanco que se encuentra junto a la persona B. Sabiendo que B escucha el disparo y 3,0 segundos después percibe el impacto con el blanco. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine el valor de X en metros.
BLANCO Resolución A SONIDO La velocidad del proyectil es la mitad de la velocidad del sonido, por consiguiente cuando el sonido llega a B junto al blanco, el proyectil habrá recorrido la mitad de X. Entonces en 3,0 segundos recorre la otra mitad de X. X Para el proyectil: d V BALA .T . 3 170 170m/s 2
X/2 Resolviendo: X = 1 020Bala: metros.
B 18
Sonido: X
Respuesta: Las personas A y B están separados 1 020 metros. EJEMPLO 07 Un avión se dirige de B hacia C. el ruido del motor emitido en B, alcanza al observador en A en el instante en que el avión llega a la posición C. Sabiendo que la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determina la rapidez del avión.
C
B
53º
16º A
Resolución Analizando geométricamente, podemos establecer la proporción entre los lados del triángulo ABC. El tiempo empleado por el avión y por el sonido son iguales.
t =
L sonido V sonido
=
Lavion V avion
19
9a B
7a C
37º
53º 12 a
20 a 16º A t=
m 2a 7a = ⇒ V AVION = 119 340 Vavion s
Respuesta: La rapidez del avión es 119 m/s. EJEMPLO 08 Un auto se desplaza con M.R.U. en forma paralela a un muro extenso. Si en el instante en que dista 150 m del muro toca la bocina percibiendo el eco 1,0 segundo después. Determine la rapidez de auto. Rapidez del sonido en el aire = 340 m/s. Resolución El sonido recorre 170 m desde el punto A hasta el muro y se refleja recorriendo 170 m hasta encontrase con el auto en el punto B, en un segundo. Se construye un triángulo rectángulo donde se conocen dos lados de 170 m y 150 m, el tercero se determina aplicando el teorema de Pitágoras. Analizando geométricamente, en 1,0 segundo el auto avanza 160 m en línea recta paralelamente 170 m al muro. d 160 m m V 160 La rapidez del automóvil es: 170 m 170 AUTO m t 1,0 s s Respuesta: La rapidez del auto es 160 m/s.
150 m
V
AUTO A
80 m
80 m
20
B
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Se muestra un ciclista y un camión se mueven con velocidad constante. Si inicialmente están
juntos, determine la distancia de separación (en m) después de 20 segundos
Resolución En cada segundo el camión avanza 12 m y el ciclista 5 m, por consiguiente en cada segundo se separan en 12 – 5 = 7 m. La separación luego de 20 segundos será: 7 veces 20 = 140 m. d = Vrelativa .t = (12 − 5).(20) = 140 m En 20 segundos se separan en 140 metros. 2. Un piloto de MIG-29 prepara su nave para cumplir una misión aérea, después de 20 minutos
en el aire logra recorrer 24 km en 0,5 minuto. Determine el valor de la velocidad en este tramo (en m/s): Resolución Después de 20 minutos el avión alcanza un movimiento uniforme, recorriendo 24 000 metros en 30 segundos. La rapidez en este último tramo es: V =
d t
=
24 000 m 30 s
=
800
m s
3. Un tren de 200 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar
frente al poste 8 segundos y en atravesar el túnel 24 segundos. Determine el largo del túnel. tunel
Resolución La rapidez es constante:
V =
LTREN T1
=
LTREN + LTUNEL T 2
200 200 + LTUNEL = 8 24 Respuesta: el largo del túnel es 400 m.
Resolviendo tenemos: LTUNEL = 400 m
Reemplazando los datos:
4. Dos autos que parten simultáneamente de una ciudad A en dirección a la ciudad B, con
rapidez de 50 km/h y 60 km/h. Si llegan a la ciudad B con un intervalo de 20 minutos, ¿cuál es la distancia entre las ciudades A y B?
Resolución La distancia que recorren ambos móviles son iguales, entonces la velocidad y el tiempo empleado son inversamente proporcionales. d1 = d 2 ⇒ V1.T1 = V2.T2 21
Sabemos que 20 minutos es un tercio de hora. 1 Reemplazando tenemos que : 50.T = 60. T − 3 Resolviendo: T = 2 horas km .2 hora = 100 km La distancia entre A y B es: d AB = 50 hora Respuesta: La distancia entre las ciudades A y B es 100 km. 5. Un tren con M.R.U. pasa por delante de un poste en 10 s y atraviesa íntegramente un túnel en
15 s. ¿En cuánto tiempo (en s) el tren cruzará otro túnel si el tamaño de este fuera el triple del primer túnel?
Resolución La velocidad del tren es constante. Consideramos X el largo del tren e Y el largo del primer túnel (de menor tamaño).
V
TUNEL (1)
X
TUNEL (2)
Y
3Y
Cuando el tren pasa frente al poste recorre su propio tamaño en 10 segundos. X X Y resolviendo tenemos que: X 2Y … (1) V
10
15
Cuando el tren atraviesa el segundo túnel: V Reemplazando (1) en (2):
2Y 10
Resolviendo: T = 25 segundos
2Y 3Y T
X
10 2Y 10
X
3Y T 5Y
… (2)
T
Respuesta: El tren demora 25 segundos en atravesar íntegramente el segundo túnel.
22
6. BIBLIOGRAFÍA VIRTUAL Y FUENTES DE INFORMACIÓN
www.profisica.cl/experimentos.html www.cienciafacil.com/fisica.html www.didactika.com
[email protected] [email protected] http://grups.es/albert_einstein_koch/yahoo.com http://grups.es/didactika/yahoo.com
[email protected]
23
PROBLEMAS 01.- "En el movimiento........... el desplazamiento y la velocidad son siempre .................". a) rectilíneo, perpendiculares b) rectilíneo, colineales c) desacelerado, codirigidos d) curvilíneo, iguales e) acelerado, opuestas 02.- Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Una partícula tiene velocidad constante cuando su rapidez es constante. II. Cuando una partícula se mueve con MRU la trayectoria y el desplazamiento son iguales. III. La velocidad apunta en la dirección del desplazamiento. a) FFF b) VFF c) FW d) VFV e) FVF 03.- Dadas las siguientes proposiciones: ( ) El desplazamiento es un vector. ( ) El cambio de posición de un móvil viene dado por el desplazamiento. ( ) La longitud del vector desplazamiento nos indica la distancia existente entre el punto de partida y el punto de llegada. Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) VFF b) VFV c) VVV d) FW e) FFF 04.- Identificar la(s) proposición(es) incorrecta (s) I. La velocidad mide los cambios de posición de un móvil a través del tiempo. II. Un móvil en reposo puede presentar una velocidad no nula. III. En el M.R.U. la velocidad es variable. a) I b) II c) II d) II y III e) I y III 05.- Una partícula realiza un M.R.U. con V = +5m/s. Si en t o= 0, se tiene x o =10 m, halle el tiempo transcurrido cuando la distancia recorrida es 30 m. a) 5s b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 06.- Un cuerpo realiza un M.R.U. Si en los cuatro primeros segundos recorre 6 m más que en el tercer segundo. Determinar la rapidez del auto. a) 1m/s b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07.- Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa frente a un poste con una rapidez constante de 6 m/s. Si luego de 10s pasa frente al poste un automóvil con una rapidez constante de 20 m/s y en la misma dirección que el ciclista. Determine luego de cuanto tiempo el ciclista es alcanzado por el automóvil. a) 3s b) 2 c)4 d) 6 e) 8 08.- A partir del instante que se muestra, determine el tiempo de encuentro de los autos "A" y "B", sabiendo que el auto "A" y el atleta se encuentran al transcurrir 2 s desde las posiciones que se muestran. Todos los móviles realizan M.R.U.
24
a) 3 s
b) 2
c) 1
d) 5
e) 4
09.- Dos partículas se mueven con M.R.U., la partícula "A" tiene una rapidez de 20 m/s según el eje "x" y pasa por el origen en t = 0 s, la partícula "B" tiene una rapidez de 30 m/s según el eje "y" y se dirige al origen pasando por y = 30 m en t = 0 s. ¿A qué distancia se encuentran entre sí a los 0,5 s? a) 5 13m b) 2 13 c) 3 13 d) 5 5 e) 10 13 10.- Dos móviles "A" y "B" están separados 20 m. El móvil "A" parte en t = 0 s, con una velocidad V = 4 m/s hacia el móvil "B". El segundo móvil parte en la misma dirección con una V = 2 m/s, en t = 2 s. ¿Para qué instante el primero alcanza al segundo? a) 8 s b) 16 c) 12 d) 6 e) 10 11.- Dos móviles se desplazan en la misma pista con una rapidez constante, luego de 10 s el móvil "A" cambia su dirección en 180° manteniendo constante su rapidez. ¿Qué tiempo emplearon en encontrarse desde las posiciones indicadas?
a) 5 s
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
12.- Un helicóptero y el auto experimentan un M. R. U. a partir del instante mostrado, determine la distancia que los separa transcurrido 1 segundo.
a) 30 m
b) 40
c) 50
d) 60
e) 45
13. Dos personas "A" y "B" están separadas una distancia "x", en cierto instante "A" dispara una bala con una velocidad de 170 m/s en dirección del blanco que se encuentra junto a "B". Si "B" escucha el disparo y 3 s después percibe el impacto en el blanco, determinar "x". Rapidez del sonido = 340 m/s. a) 1 020 m b) 340 c) 680 d) 850 e) 1200 14.- La figura muestra el instante t = 0 s, en que dos móviles se mueven a lo largo del eje "x" con velocidades constantes, determine la posición (en "m") del móvil "A" cuando ambos nuevamente se encuentran separados 100 m.
a) +70 m
b) +210
c) +140
d) +180
e) +105 25
15.- Una motocicleta se mueve con una velocidad constante de 50 km/h hacia un automóvil que se encuentra en reposo pero cuando se encuentra a 600 m del automóvil, este parte con una velocidad constante de 20 km/h. Hallar a partir de ese momento el tiempo que tarda en alcanzar el automóvil. a) 1,8 min b) 0,6 c) 1,2 d) 2 e) 2,4 16.- Dos móviles "A" y "B" se están moviendo en sentidos opuestos con velocidades constantes VA y VB en t = 0 s se encuentran separados 120 m, si los móviles se cruzan después de 10 s, calcular después de que tiempo a partir del encuentro estarán separados 60 m. a) 5 s b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 17.- Dos móviles parten simultáneamente desde un mismo punto siguiendo trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí, con rapidez de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. Halle la distancia de cada móvil hacia el origen, en el instante que su separación mutua es de 200 m. a) 400 m; 300 m
b) 120; 160
c) 140; 210
d) 60; 80
e) 150; 200
18.- Un bus de 10 m de longitud que realiza un M.R.U. con una rapidez de 20 m/s cruza un puente en "t" segundos, si duplicara su rapidez se demoraría 2 s menos. ¿Cuál es la longitud del puente? a) 100 m b) 80 c) 70 d) 60 e) 50 19.- Dos trenes corren en sentidos contrarios con velocidades V 1 = 36 km/h y V 2 = 54 km/h. Un pasajero del primer tren (el de V 1) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 segundos. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (se supone que el pasajero esta inmóvil en el primer tren mirando a través de la ventana). a) 100 m
b) 150
c) 200
d) 250 e) 300
20.- Dos automóviles parten simultáneamente de un mismo punto y en la misma dirección con velocidades de 10 m/s y 40 m/s, 10 s después el automóvil retrasado toca la bocina. Hallar después de cuánto tiempo de haberse tocado la bocina el automovilista adelantado escucha el sonido. (Vsonido = 340 m/s) a) 25 s
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
21.- Un avión se dirige de "B" hacia "C", el ruido del motor emitido en "B" alcanza al observador en "A" en el instante en que el avión llega a la posición "C". Sabiendo que la velocidad del sonido es de 340 m/s, determinar la velocidad constante del avión.
a) 238 m/s
b) 119
c) 476
d) 272
e) 136
22.- Dos coches partieron al mismo tiempo uno de ellos de "A" en dirección a "B" y el otro de "B" en dirección a "A" y cuando se encontraron el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir del instante de encuentro el primero tardó una hora en llegar a "B" y el segundo 4h en llegar a "A". Hallar la distancia entre "A" y "B". a) 108 km b) 36
c) 72
d) 144
e) 180 26
23.- Se tienen dos velas de igual tamaño, las cuales tienen una duración de 4 h y 3 horas respectivamente. Si las velas se encienden simultáneamente, ¿al cabo de qué tiempo el tamaño de una de ellas es el doble de la otra? a) 2,4 h b) 2 c) 4,8 d) 0,42 e) 4 24.- Dos insectos vuelan con velocidades constantes en el mismo plano horizontal y están iluminados por un foco de luz y la figura muestra la posición de los insectos para t = 0 s. Determine la longitud de separación (en "m") entre las sombras de los insectos al cabo de 2 s. a) 16 m b) 30 c) 12 d) 24 e) 18
25.- Dos móviles parten simultáneamente con velocidades constantes según muestra la figura. ¿Cuánto tiempo después la separación entre ellos es mínima?
a) 1,25 s
b) 0,7
c) 1,4
d) 0,6
e) 1,6
26.- ¿Qué rapidez lleva el móvil, si pasados 5 s consigue el máximo acercamiento al punto "A"?
a) 5 m/s
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
27.- Dos móviles están separadas por una distancia de 2 300 metros. Si se desplazan al encuentro con rapideces de 60 m/s y 40 m/s respectivamente. ¿Al cabo de qué intervalo de tiempo estarán separados 1 300 m por primera vez? a) 12s b) 8s c) 10s d) 15s e) 13s 28.- Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 400 m de largo. ¿Cuál es su longitud? a) 200m b) 180m c) 160m d) 280m e) 400m
27
29.- La rapidez de un bote de ida es 20 km/h; cuando va de regreso (contra la corriente), logra una rapidez de 15 km/h. Hallar el recorrido si va de Iquitos a Nauta; sabiendo que además de ida demora 5 horas menos que de regreso. A) 500 km B) 150 km C) 225 km D) 300 km E) N.A. 30.- Todos los días sale de A hacia B un ómnibus con una rapidez de 80 km/h, éste se cruza siempre a las 11:00 a.m. con un auto que viene de B con una rapidez de 70 km/h. Cierto día el ómnibus que sale de A encuentra al auto a las 12:45 p.m. ¿A que hora se malogró dicho auto? a) b) c) d) e)
9:00 a.m. 7:00 a.m. 6:00 a.m. 10:00 a.m. 8:00 a.m.
PROBLEMAS PROPUESTOS: ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO 1. Victoria ubicada inicialmente en el punto A (-2; 2) realizó los siguientes desplazamientos
sucesivos: - 2 j (LATERAL)); -3 i - 2 j (ZIG); 3 i - 2 j (ZAG) respectivamente. Jacky con un balón está ubicada en el punto B (4; 2). ¿Qué tan lejos debe lanzar el balón para entregar a Victoria? ¿en que dirección? (los desplazamientos se miden en metros) A) 5m B) 6 m C) 7 m D) 4 m E) N.A. 2. En el mapa de un tesoro, indica que se debe iniciar la búsqueda desde un gran árbol,
dirigiéndose 50 m al Este, luego 15 m al Sur y finalmente 42 m al Oeste. Determine cuánto se debe recorre y el módulo del desplazamiento entre el árbol y el tesoro. A) 107 m y 42 m B) 92 m y 50 m C) 107 m y 15 m D) 107 m y 17 m E) 50 m y 25 m 3. Álvaro ubicado inicialmente en el punto A (-2; 2) realizó los siguientes desplazamientos
sucesivos: - 2 i (LATERAL)); 2 i + 2 j (ZIG); 2 i - 2 j (ZAG) respectivamente. Joel con un balón está ubicado en el punto B (1; -2). ¿Qué tan lejos debe lanzar el balón para entregar a Álvaro? ¿en que dirección? (los desplazamientos se miden en metros) A) 5m B) 6 m C) 7 m D) 4 m E) N.A. 4. Un móvil al ir de la posición A (2 m; 4 m) hasta el punto B (6m; 6m) emplea un tiempo de 2 segundos. Determinar la velocidad media del móvil entre A y B (en m/s). y(m) B A O
x(m)
A) 1 i + 2 j
B) 1 i - 2 j
C) 2 i + 1 j
D) 2 i - 1 j
E) -2 i
5. Una cucaracha sigue la trayectoria mostrada, desde A = (2m; 3m) hasta B = (5m; 6m).
Determine el desplazamiento (en m). y
e A
d trayectoria
B x
0
28
A) 4 i + 3 j
B) 3 i + 3 j
C) 6 i + 4 j
D) 4 i + 6 j
E) 4 i
6. Una mosca sigue la trayectoria mostrada, desde A hasta B. Determine el desplazamiento (en
m). y(m) 5
2
B
A
x(m) 6
2
A) 4 i + 3 j
B) 2 i + 4 j
C) 6 i + 4 j
D) 4 i + 6 j
E) 4 i
7. Un ratón sigue la trayectoria mostrada, desde A hasta B en 10 segundos. Determine la
velocidad media del ratón. y(m) 5
2
B
A
x(m) 6
2
A) 0,4 i + 0,3 j i
B) 0,2 i + 0,4 j
C) 0,6 i + 0,4 j
D) 0,4 i + 0,6 j
E) 0,4
8. Una mosca sigue la trayectoria mostrada, desde A = (2 m; 2 m) hasta B = (5 m; 6 m) en 0,02
segundo. Determine la velocidad media de la mosca (en m/s). y B A
d x
0
A) 150 i + 200 j
B) 15 i + 20 j
C) 60 i + 40 j
D) 40 i + 60 j
E) 40 i + 20 j
9. Una partícula tiene una velocidad de 3 j (m/s) durante 3 segundos. Luego en los siguientes 4
segundos su desplazamiento es -3 j (m) y en los últimos 3 segundos su velocidad es de -2 j (m/s). Determina la velocidad media (en m/s) durante todo el movimiento de la partícula. A) 0 j B) 2 j C) -2 j D) 4 j E) -4 j Los móviles W y P parten de los puntos (-2 ; -2) y (7 ; 1) con velocidades 2 i + 3 j (m/s) y -2,5 i +1,5 j (m/s) respectivamente. Determine la posición de encuentro (en m) A) 4 i + 3 j B) 2 i + 4 j C) 6 i + 4 j D) 4 i + 6 j E) 4 i + 2 j
10.
Una partícula se desplaza desde una posición A hasta la posición B, siendo su desplazamiento ∆r = (3 i + 4 j) m. Si el módulo de la velocidad media entre las posiciones A y B es 10 m/s. Determine la velocidad media (en m/s) entre A y B. A) 3 i + 5 j B) 2 i + 4 j C) 3 i + 8 j D) 3 i + 4 j E) 6 i + 8 j
11.
Dos móviles A y B se desplazan sobre el eje “x” de manera que sus posiciones respecto de un observador fijo al eje “x” están expresados por X A = 100 +15t y X B = 400 -35t respectivamente, donde “t” esta expresado en segundos y X en metros. Considerando que parten simultáneamente, determine el vector posición del móvil A (en m) en el instante en que se encuentra con el móvil B. A) 190 i B) 220 i C) 240 i D) 280 i E) 320 i
12.
La ecuación de movimiento de un avión teledirigido responde a la siguiente ecuación: X(t) = 80(t-1)3 +120(t+2)2 – 70t -150
13.
29
donde t(segundos); X(metros), se desea calcular: a) La posición en que se encontraba un avión enemigo que es derribado después de 7 segundos de lanzamiento del proyectil y la velocidad instantánea del proyectil en el momento del impacto. b) La velocidad media del proyectil en el intervalo de tiempo t = 3 s y t = 5 s. Un cazador sale de su cabaña con dirección hacia en Norte desplazándose 4 km, luego cambia de dirección hacia el Este caminando 3 km más. Determine el módulo del vector desplazamiento (en km): A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8
14.
Un cazador sale de su cabaña con dirección hacia en Este desplazándose 10 km, luego cambia de dirección hacia el Norte caminando 8 km mas, finalmente cambia de dirección hacia el Oeste recorriendo 4 km mas. Determine el módulo del vector desplazamiento (en km): A) 0 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8
15.
Un cazador de osos sale por la mañana de su cabaña con dirección hacia el Oeste caminando 10 km, luego a cambia de dirección hacia el Norte caminando 10 km, finalmente cambia de dirección hacia el Sur para seguir caminado llegando al atardecer a su cabaña llevando un oso. ¿De qué color es el oso? A) negro B) pardo C) plomo D) blanco E) marrón
16.
Los móviles A y B se están moviendo sobre una misma recta con velocidades constante uno al encuentro del otro, si en t = 0s se encuentran en los puntos (2; 10) m y (62; 90) m respectivamente, siendo la rapidez del móvil A igual a 4 m/s, determine la rapidez de B (en m/s), si tardan 10 segundos en encontrase. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
17.
Dos móviles (1) y (2) parten simultáneamente de los puntos (0; 0) y (6; 0) respectivamente y se desplazan con velocidad constante, en móvil (1) tiene una velocidad de 2 i +3 j (m/s) y choca con (2) en el punto (4; 6) m, determine la velocidad de (2) en m/s. A) - i + 3 j B) i + 2 j C) 2 i + 3 j D) - i + 2 j E) -2 i + 6 j
18.
Dos móviles A y B que parten del origen se mueven sobre el eje X, cuyas posiciones son XA = 80 t (en m) y X B = 1200 – 40 t + 2t 2. Determine la posición (en m) del móvil A en el instante en que B se detiene momentáneamente. A) 100 B) 800 C) 600 D) 400 E) 200
19.
El movimiento de una partícula esta dad por la siguiente ley: X = -2t 2 + t + 5 donde X se mide en metros y t en segundos. Determine el desplazamiento entre t = 0 s y t = 1 s.
20.
y d V 0
x
x0 xf
A) – 2 i (m)
B) - i (m)
C) +1 i (m)
30
D) -2i (m)
E) 4 i (m)
PROBLEMAS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Se muestra un ciclista y un camión se mueven con velocidad constante. Si inicialmente están juntos, determine la distancia de separación (en m) después de 20 segundos
21.
A) 14
B) 140
C) 125
D) 130
E) 135
Se muestra un motociclista con M.R.U. Determine el módulo de la velocidad constante (en m/s):
22.
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
Un piloto de MIG-29 prepara su nave para cumplir una misión aérea, después de 20 minutos en el aire logra recorrer 24 km en 0,5 minuto. Determine el valor de la velocidad en este tramo ( en m/s): A) 8 B) 80 C) 800 D) 160 E) N.A.
23.
Una persona conduce su auto con M.R.U. a razón de 60 km/h, se le baja una llanta y emplea 20 minutos en cambiarla, si le faltan 120 km para llegar a su destino, entonces la rapidez constante (en km/h) que debe emplear para llegar a su destino en el tiempo predeterminado es: A) 65 B) 72 C) 80 D) 96 E) 100
24.
Un tren de 200 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 8 s y en atravesar el túnel 24 s. Determine el largo del túnel.
25.
tunel
A) 100 m
B) 200 m
C) 400 m
D) 500 m
E) 600 m
Dos móviles A y B salen del mismo punto con rapidez constante de 20 m/s y 40 m/s. ¿Después de cuántos segundos equidistan del poste?
26.
600 m
A) 10 s
B) 15 s
C) 20 s
D) 25 s
E) 30 s
Se muestra dos esferas en movimiento. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. A partir del instante mostrado, ¿después de qué intervalo de tiempo el hombre escuchará el sonido del choque entre las esferas?
27.
31
V
=
0 1
9
0
0
2
m
m
2
A) 10 s
/ s 8
m
0
m
0
B) 3 s
C) 13 s
D) 14 s
E) 16 s
El ruido del motor del avión emito en la posición B escucha un hombre en A cuando el avión pasa por C con velocidad constante. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la rapidez del avión (en m/s).
28.
C
B
37° A
A) 204,6
B) 220
C) 240
D) 260
E) 280
Un hombre que se encuentra frente a una montaña emite un grito. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de qué intervalo de tiempo escuchará el eco?
29.
8
5
0
m
A) 5 s
B) 2,5 s
C) 3 s
D) 4 s
E) 6 s
El ruido del motor del avión emito en la posición B escucha un hombre en A cuando el avión pasa por C con velocidad constante. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la rapidez del avión (en m/s).
30.
C
B
3
0
°
A
A) 170
B) 220
C) 240
D) 260
E) 280
Dos móviles A y B salen del mismo punto con rapidez constante de 70 m/s y 50 m/s. ¿Después de cuántos segundos equidistan del poste?
31.
6
A) 10 s
0
B) 15 s
0
m
C) 20 s
D) 25 s
32
E) 30 s
Un tren de 150 m de largo se mueve en línea recta con rapidez constante. Si demora en pasar frente al poste 5 s y en atravesar el túnel 25 s. Determine el largo del túnel.
32.
A) 100 m
B) 200 m
C) 400 m
D) 500 m
E) 600 m
Se muestra la posición inicial de los móviles que tienen velocidad constante. ¿Qué distancia estarán se parados después de 3 horas?
33.
5
k m
/ h
8
1
A) 13 km
3
k
k m
m
B) 26 km
C) 15 km
D) 39 km
E) 6,5 km
Un hombre se encuentra frente a dos montañas, en cierto instante emite un grito y después de 2 segundos escucha el primer eco y el otro, correspondiente a la otra montaña, en 5 segundos. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la distancia de separación entre las montañas.
34.
x
A) 100 m
B) 210 m
C) 410 m
D) 510 m
E) 850 m
1. Un hombre se encuentra frente a dos montañas, en cierto instante emite un grito. Si la rapidez
del sonido en el aire es 340 m/s, determine la diferencia de los intervalos de tiempo en escuchar los ecos.
3
A) 1 s
4
0
m
B) 1,5 s
C) 2 s
D) 2,5 s
E) 3 s
Se produce una explosión en la posición A. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, determine la diferencia de intervalos de tiempo que demoran en llegar la repercusión a los puntos C y B.
35.
C 3 A
A) 0,5 s
7
°
3
0
0
B
B) 2,5 s
C) 0,3 s
D) 0,4 s
33
E) 0,6 s
Un auto que tiene M.R.U. posee velocidad 90 i (km/h), ¿qué distancia recorre en 25 segundos? A) 625 m B) 630 m C) 675 m D) 695 m E) 900 m
36.
Dos móviles están separados 550 m, sobre el eje X, si inician su movimiento simultáneamente velocidades 5 i (m/s) y -7 i (m/s). ¿Qué tiempo transcurren para que estén separados 170 m por segunda vez? A) 75 s B) 60 s C) 75 s D) 95 s E) 90 s
37.
Un bus que tiene M.R.U. pasa por delante de un semáforo en 4 segundos y por delante de una estación de 16 m de largo en 10 segundos. Determine la rapidez del bus. A) 6 m/s B) 5 m/s C) 4 m/s D) 3 m/s E) 2 m/s
38.
Un auto que tiene M.R.U. posee velocidad 20 i (m/s) en dirección a una pared, en cierto instante se encuentra a una distancia de 900 m de la pared tocando la bocina. ¿Qué tiempo transcurre para que el chofer escuche el eco de la bocina? Rapidez del sonido en el aire = 340 m/s. C) 5 s A) 7 s B) 6 s D) 9 s E) 4 s
39.
Un auto que tiene M.R.U. recorre 200 m en “t” segundos y 1,6 km en (2t + 24) segundos. Determinar la rapidez del móvil. A) 60 m/s B) 50 m/s C) 40 m/s D) 30 m/s E) 20 m/s
40.
41. Dos autos que parten simultáneamente de una ciudad A en dirección a la ciudad B, con rapidez de 50 km/h y 60 km/h. Si llegan a la ciudad B con un intervalo de 20 minutos, ¿cuál es la distancia entre las ciudades A y B? A) 20 km B) 40 km C) 60 km D) 80 km E) 100 km Un camión de 40 m de largo, marcha a 72 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo invertirá el camión en pasar íntegramente a un tren de 260 metros de largo que marcha a 36 km/h en la misma dirección? A) 10 s B) 20 s C) 25 s D) 30 s E) 40 s
42.
Dos móviles A y B participan de una competencia de ida y vuelta, en una pista de 120 m de largo. Si parten simultáneamente con rapideces de 6 m/s y 10 m/s, ¿después de cuánto tiempo vuelven a encontrarse? A) 10 s B) 12 s C) 13 s D) 14 s E) 15 s
43.
44. Se golpea una barra de hierro de longitud L y el sonido llega al otro extremo tanto por el aire como por la barra, con una diferencia de 7 segundos, ¿cuántos segundos aproximadamente tarda el sonido en llegar por la barra de hierro? Considere la rapidez del sonido en el aire 340 m/s y en el hierro 5 179 m/s. A) 0,5 s B) 1 s C) 1,5 s D) 2 s E) 2,5 s Una persona se encuentra frente a una pared, hace un disparo y después de 2 s escucha el impacto; pero si hubiera estado a 102 m más cerca de la pared, ¿después de qué tiempo escucharía el impacto? Considere la rapidez del proyectil 85 m/s y del sonido 340 m/s. A) 0,2 s B) 0,5 s C) 10,4 s D) 0,8 s E) 0,9 s
45.
Un tren de 50 m de largo viaja con velocidad de 20 i m/s y se dispone a cruzar un puente, en preciso instante en que una persona dentro de éste empieza a caminar con velocidad de 1,0 i m/s respecto del tren, desde el extremo posterior llegando al otro extremo justo cuando el tren cruza todo el puente. ¿Cuánto mide el largo del tren?
46.
34
A) 450 m
B) 900 m
C) 500 m
D) 950 m
E) 800 m
Dos trenes parten de Lima a Chorrillos con un intervalo de 10 minutos y con velocidades constantes de 30 i km/h. En una vía paralela y hacia Lima viene otro tren que se cruza con los dos primero en un intervalo de 4 minutos. ¿Qué rapidez constante tiene el tren que viene de Chorrillos a Lima? A) 20 km/h B) 30 km/h C) 35 km/h D) 45 km/h E) 60 km/h
47.
Juan Diego esta bajo una tormenta, en cierto instante ve un relámpago y 5 segundos después oye el trueno. ¿A qué distancia cayó el rayo? Rapidez del sonido en el aire = 330 m/s A) 1 450 m B) 1 900 m C) 1 500 m D) 1 650 m E) 1 800 m
48.
Un auto se desplaza con M.R.U. en forma paralela a un muro extenso. Si en el instante en que dista 150 m del muro toca la bocina percibiendo el eco 1 segundo después. Determine la rapidez de auto. Rapidez del sonido en el aire = 340 m/s A) 160 m/s B) 200 m/s C) 80 m/s D) 120 m/s E) 60 m/s
49.
Una columna de soldados de 33,5 m de longitud marcha con M.R.U. a paso ligero en dirección a una pared. Cuando el primer soldado emite una orden, percibe el eco 0,1 segundos antes que el último soldado. Determinar la rapidez de la columna. Rapidez del sonido en el aire = 330 m/s E) 5 m/s A) 1,5 m/s B) 2 m/s C) 2,5 m/s D) 4 m/s
50.
Dos lanchas a motor se desplazan con M.R.U. en un lago tranquilo por trayectorias rectilíneas perpendiculares entre si. Si en “t” segundos se cruzan rozándose y la suma de sus recorridos es 320 m, determine la distancia de separación al inicio. Sus rapideces son 15 m/s y 8 m/s. A) 150 m/s B) 1 200 m/s C) 170 m/s D) 280 m/s E) 360 m/s
51.
Un móvil se traslada de una localidad a otra separadas 20 km siguiendo una trayectoria rectilínea, si en el camino de ida posee una rapidez constante de 40 km/h y en el de regreso una rapidez constante de 50 km/h, determine la velocidad promedio en todo el recorrido. A) 44, 4 km/h B) 50, 5 km/h C) 30 km/h D) 25 km/h E) 36, 8 km/h 52.
Determinar el intervalo de tiempo en el cual un auto que se mueve a lo largote un trayecto recto recorre una distancia de 550 km, si su rapidez es constante e igual a 1000 m/s. A) 450s B) 385s C) 550s D) 400s E) 200s 53.
Determinar el recorrido máximo de un avión, si este tiene un tanque de combustible de 160 litros y su consumo (gasto) es de 40 litros/hora. El avión sigue una trayectoria rectilínea y su rapidez es de 240 km/h. A) 960 km B) 834 km C) 1020 km D) 980 km E) 885 km
54.
Dos móviles sobre una pista recta se mueven con velocidades v A = 10 i km/h y vB = −16 i km/ . Si parten simultáneamente y su separación inicial es de 427,5 km, determine al cabo de que intervalo de tiempo se encuentran en s y a que distancia del punto de donde partió el móvil A en km.
55.
35
A) 16,44 y 164,4 B) 17,5 y 175 y 157
C) 18,32 y 183,2 D) 20 y 200
E) 15,7
Determine el intervalo de tiempo que le lleva a un tren de 200 m de longitud atravesar completamente un túnel de 1600 m de largo. El tren se mueve sobre una vía recta y viaja con rapidez de 15 m/s. A) 120 s B) 150s C) 80s D) 110s E) 100s
56.
Un tren y un auto viajan por vías rectas paralelas en el mismo sentido, el auto viaja con una velocidad de 100 km/h y el tren con velocidad de 60 km/h. Si la longitud del tren es de 400 m, determine el intervalo de tiempo que le lleva al auto rebasar al tren. A) 40s B) 50s C) 70s D) 45s E) 36s
57.
Dos trenes que se mueven en vías paralelas y sentidos opuestos viajan con velocidades de 36 km/h y 54 km/h. Un pasajero del tren más lento (que mantiene su posición en todo momento), percibe que el otro tren pasa completamente en 6 s. Determine el largo del tren más rápido. A) 120m B) 125m C) 180m D) 150m E) 130m
58.
Una persona se mueve en trayectoria recta hacia una pared con una rapidez de 5 m/s, en ese instante emite un grito y luego de recorrer 10 m hacia la pared, escucha el eco. Si la rapidez del sonido en el aire es de 340 m/s, determine la distancia que lo separaba inicialmente de la pared. A) 485m B) 280m C) 345m D) 420m E) 350m
59.
Un corredor viaja entre dos puntos en línea recta, si su rapidez es de 12 km/h llega a destino a la hora T y si su rapidez es de 18 km/h llega una hora antes. Determine la rapidez que tiene cuando llega una hora después en km/h. A) 12 B) 18 C) 9 D) 10 E) 8
60.
Una persona toma un taxi que viaja a 36 km/h hasta cierto punto, luego para regresar al punto de partida decide caminar con una rapidez de 4 km/h. Si el trayecto siempre fue recto, determine el tiempo que camina si en total tardó 10 horas en regresar al punto de partida. A) 6h B) 9h C) 12h D) 10h E) 7h
61.
Dos autos parten simultáneamente de una ciudad A hacia otra B, con velocidades de 50 y 60 km/h. Determine la distancia que separa estas dos ciudades si el más rápido llega con 20 min de ventaja sobre el más lento. A) 200 km B) 150 km C) 180 km D) 120 km E) 100 km
62.
Se muestra una partícula que tiene M.R.U. El vector posición describe un área de 16 m 2 en cada segundo respecto del origen de coordenadas. Determine la distancia mínima ente la partícula y el origen de coordenadas durante el movimiento.
63.
36
y A d
16 m2
4m
B
0
x
A) 2 m
B) 4 m
C) 6 m
D) 8 m
E) 10 m
Nos encontramos en una batalla naval, en un buque situado entre el enemigo y los acantilados de la costa. A los 3 segundos de ver el fogonazo oímos el disparo del cañón, y a los 11 segundos del fogonazo percibimos el eco. Calcular la distancia a que están de nosotros el enemigo y la costa. Rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. A) 1 420 m; 231 m B) 264,8 m; 102 m C) 1 360 m; 217,6 m
64.
D) 1 020 m; 1 360 m
E) 1 360 m; 1 020 m
65. Un hombre se encuentra a 3,4 km de una montaña, en cierto instante grita. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de cuántos segundos escucha el eco? A) 10 B) 20 C) 30 D) 5 E) 50 Un auto que viaja con M.R.U. a razón de 180 km/h en dirección un gran muro vertical, cuando la distancia de separación es 1,7 km el chofer toca la bocina. Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/s, ¿después de cuantos segundos escuchara el eco proveniente del muro? A) 10,6 B) 13,6 C) 8,7 D) 16,6 E) 2,6
66.
Sabiendo que la estrella α-Centauro (la más próxima a nosotros después del Sol) se encuentra de la Tierra a 4,04x10 16 km, calcular el intervalo de tiempo que tarda la luz de αCentauro en llegar a la Tierra. La rapidez de la luz en el vacío = 300 000 km/s. A) 2,35x108 s B) 1,35x108 s C) 2,35x106 s D) 1,35x103 s E) 1,35x109 s
67.
68. Un tren con M.R.U. pasa por delante de un poste de luz en 10 s y atraviesa íntegramente un túnel en 15 s. ¿En cuánto tiempo (en s) el tren cruzará otro túnel si el tamaño de este fuera el triple del primer túnel? A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 Un tren, después de 2 horas de recorrido, se detiene 15 minutos y vuelve a ponerse en marcha con una velocidad igual a ¾ de la velocidad anterior, llegando a su destino con un retraso de 33 minutos. Si se hubiera detenido 7 km mas adelante, el retraso hubiera sido de 31 minutos. ¿Qué distancia (en km) recorrió el tren? A) 100 B) 183 C) 203 D) 253 E) 187
69.
Una mosca cambia de la posición A (20 cm; 30 cm) hasta la posición B (70 cm; 150 cm) en 13 segundos. Determine el módulo de la velocidad media en entre A y B.
70.
Y
( m
)
B
A
0
X
(
37
A) 30 cm/s B) 30 cm/s
C) 40 cm/s
D) 50 cm/s
E) 60 cm/s
GRAFICAS DEL MOVIMIENTO
Para el gráfico de velocidad vs. tiempo, determine la longitud del recorrido por el móvil durante el intervalo entre t = 3 s y t = 7 s, si su trayectoria es en línea recta.
71.
v(m/s)
15
A) 56m
B) 48m
3
t(s)
7
C) 50m
D) 60m
E) 70m
72. La gráfica muestra la variación de la posición de una partícula sobre el eje X en el tiempo. Determine la rapidez de la partícula. x
3
(
m
)
0
t (
5
A) 2 m/s
B) 4 m/s
C) 6 m/s
D) 8 m/s
E) 10 m/s
73. La gráfica muestra la variación de la posición de una partícula sobre el eje X en el tiempo. Determine el recorrido de la partícula en los 10 primeros segundos. x
1
(
m
)
0
4
4
A) 20 m
6
0 t (
1
B) 40 m
C) 60 m
D) 80 m
E) 10 m
74. La gráfica muestra la variación de la posición de una partícula sobre el eje X en el tiempo. Determine la rapidez de la partícula. x
( m
)
3
–
6
t (
s
38
A) 2 m/s
B) 4 m/s
C) 6 m/s
D) 8 m/s
E) 10 m/s
75. La gráfica muestra la variación de la posición de una partícula sobre el eje X en el tiempo. Determine el instante “t” sabiendo que la rapidez en ese instante es 2 m/s. x
1
(
m
)
6
8
t (
4
A) t = 8 s
B) t = 6 s
C) t = 4 s
D) t = 2 s
E) t = 16 s
76. La gráfica muestra la variación de la posición de una partícula sobre el eje X en el tiempo. Determine el recorrido de la partícula en los 10 primeros segundos de su movimiento. x
1
(
m
)
0
4
4
A) 20 m
6
0 t (
1
B) 40 m
C) 60 m
D) 80 m
E) 10 m
77. La gráfica muestra la variación de la posición en el tiempo de dos partículas A y B sobre el eje X. ¿En qué instante de tiempo se cruzan? x
8
0
3
0
(
m
3
7
)
°
5
3
° t (
A) t = 8 s
B) t = 6 s
C) t = 4 s
D) t = 2 s
E) N.A
La gráfica muestra la variación de la posición en el tiempo de dos partículas A y B sobre el eje X. ¿En qué instante de tiempo se cruzan?
78.
x
3
0
1
5
(
m
)
6
A) t = 8 s
B) t = 6 s
t (
C) t = 4 s
D) t = 2 s 39
E) N.A
40
PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROYECCIONES DE SOMBRAS Dos velas cuyas alturas H, en el momento inicial eran iguales, se encuentran a una distancia “d” una de otra, la distancia entre cada una de las velas y la pared mas próxima es también “d”. ¿Con qué rapidez se mueven las sombras de las velas por las paredes, si una vela se consume durante un tiempo T 1 y la otra durante T 2?
79.
d
d
d
H
Para el problema 83
Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, los cuales tienen una duración T 1 = 4 horas y T 2 = 3 horas emitiendo energía luminosa. Si las velas empiezan e emitir luz simultáneamente, ¿después de cuanto tiempo en tamaño de uno e de ellos es el doble que el otro?
80.
L (1)
(2)
Para el problema 84
A) 2,4 h
B) 2,2 h
C) 2,6 h D) 2,0 h E) 2,8 h
Se muestra una araña que desciende verticalmente con una rapidez de 6 cm/s. Determine la rapidez de la sombra de la araña proyectada en la pared.
81.
2
0
A) 6 cm/s
c m
4
0
c m
B) 12 cm/s
C) 18 cm/s
D) 15 cm/s
E) 20 cm/s
Se muestra un vela que se consume con rapidez de 4 cm/ min. Determine la rapidez de la zona iluminada proyectada en la pared debido al orificio en la pared “R”.
82.
41
