UFPa – – Universidade Universidade Federal Federal do Pará Departamento de Engenharia Civil – – Campus de Tucurui
Prof. MsC. MsC. Aarão Ferreira Lima Neto
MECÂNICA DOS SÓLIDOS II 3. TORÇÃO Bibliografia:
SHAUM - Resistênc Resi Resistência stência ia dos Materiais Materiais - McGrawMcGr McGraw aw-Hill -Hill - São Paulo Paulo e Rio de Janeiro; Janeiro; TIMOSHENKO - Resistênc Resi Resistência stência ia dos Materiais Materiais I - Livros Técnicos Técnicos e Científicos Científic Científicos os Editora S. AA- Rio de Janeiro Janeiro e São Paulo; Paulo; BEER - Resistênc Resi Resistência stência ia dos Materiais Materiais – Makron Makron Books Books – São Paulo. Paul Paulo. o. HIBBELER – Resistênc Resi Resistência stência ia dos Materiais Materiais – Prentic Prentice Pren Prenttice ice e Hall – São Paulo. Paul Paulo. o.
Torção em Eixos Circulares • Intere Interess ssado ado em em tensõe tensõess e deformações de eixos circulares submetido a momentos torçores. • Turbina Turbina exerce exerce Torque Torque no eixo. eixo. • Eixo transmite transmite o Torque Torque para o Gerador. • Gerador Gerador cria cria um torque torque T igual igual e de sentido contrário.
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Torque resultante devido a Tensões Internas • A resultante interna da tensão de cisalhamento é um torque interno, igual e oposto ao torque aplicado. T = ∫ ρ dF = ∫ ρ ( dA)
• Apesar do torque devido a tensão de cisalhamento ser conhecido, a distribuição das tensões não é conhecida. • A distribuição da tensão de cisalhamento é estaticamente indeterminada – temos que considerar a deformação do eixo. • Diferentemente da tensão normal devido a forças axiais, a distribuição da tensão de cisalhamento causada por forças torçores não pode ser assumida uniforme.
Componente Axial da Tensão de Cisalhamento. • O Torque aplicado no eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo da barra circular. • As condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces de dois planos contendo o eixo da barra circular. • A existência das tensões de cisalhamento é demonstrada considerando a barra circular constituída de várias lâminas finas. • As lâminas escorregam uma em relação a outra quando um torque de mesma intensidade e sentidos opostos são aplicados nas extremidades da peça.
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Deformação de Eixo. • Observa-se que o ângulo de torção da peça é proporcional ao torque aplicado e ao seu comprimento. φ ∝ T φ ∝ L
• Quando submetida a torção, cada seção transversal da barra circular permanece plana e conservam a sua forma. (barras circulares) • Seções transversais de eixos circulares maciços ou vazados permanecem planas e indeformadas porque o eixo circular é axisimétrico. • Seções transversais de eixos não-circulares são deformadas quando submetidas a torção.
Deformação de Eixo Circular.
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Deformação de Eixo Circular.
Deformação de Cisalhamento. • Considerando uma seção interna do eixo. Aplicando-se um momento de torção, o elemento no interior do cilindro se transforma em um losango. • Como as extremidades do elemento permanecem planas, a deformação de cisalhamento é igual ao ângulo de torção. • Assim sendo têm-se que L.γ = ρ .φ ou γ =
ρ .φ L
• Deformação de cisalhamento é proporcional a Unidades : ф e ρ : T (Torque) − N .m
γ max =
r .φ L
e
γ =
ρ r
.γ max
ρ ( raio externo ) − m J ( Mom. P. de Inércia) − m
4
τ (T . de Cisalham.) − MPa γ ( Def . de Cisalham.) − rad .
4
Tensões no Regime Elástico • Multiplicando-se a equação anterior pelo módulo de cisalhamento “G” teremos: G.γ =
ρ r
.G.γ max
Da Lei de Hooke τ =
ρ r
τ = G.γ
, ou
.τ max
A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção.
J = 12 .π .r 4
• Lembrar que a soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual ao torque na seção considerada do eixo circular, τ max
∫
T = ρτ dA =
r
∫ ρ
2
dA =
τ max r
J
• Os resultados são conhecidos como as fórmulas de torção elástica, J = 12 .π .( R − r 4
4
)
τ max =
T .r J
e τ =
T .ρ J
Tensões Normais • Elementos com faces paralela e perpendicular ao eixo da barra circular estão submetidos apenas a tensões de cisalhamento. Tensões normais, de cisalhamento ou a combinação delas podem ser encontradas em outras orientações. • Considerando 1 elemento a 45 o ao eixo da barra, F = 2(τ max A0 ) cos 45° = τ max A0 2
σ 45o =
F A
=
τ max A0 2 = τ max A0 2
• Elemento a encontra-se em cortante puro. • Elemento c está submetido a tensões de tração nas duas faces e tensões de compressão nas outras duas. • Note-se que todas as tensões para os elementos a e c tem a mesma magnitude.
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Tipos de Ruptura por Torção • Materiais dúcteis geralmente se rompem por cisalhamento. Materiais frágeis são menos resistente a tração que ao cisalhamento. • Quando uma espécie dúctil é submetido à torção, a ruptura ocorre em um plano de cisalhamento máximo, ou seja, plano perpendicular ao eixo longitudinal. • Quando uma espécie frágil é submetida à torção, a ruptura ocorre em planos perpendiculares à direção na qual a tração é máxima, isto é, os planos formam ângulo de 45o com o eixo longitudinal da barra circular.
Ruptura por Torção
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EXEMPLO 1 SOLUÇÃO: • Passando uma seção transversal no eixo AB e BC e fazendo uma análise estática encontraremos os momentos torçores. • Aplica-se as fórmulas de torção elástica para encontrar a tensão máxima e mínima no eixo BC. Eixo BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 e 120 mm, respectivamente. Eixos AB e CD são sólidos de diâmetro d . Para o carregamento indicado determine ( a) a tensão de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC , (b) o diâmetro d dos eixos AB e CD se a tensão de cisalhamento admissível do material é de 65 MPa.
• Sendo dado a tensão de cisalhamento admissível e o torque aplicado, inverte-se a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro solicitado.
Exemplo 1 SOLUÇÃO: • Passando uma seção transversal no eixo AB e BC e fazendo uma análise estática encontraremos os momentos torçores.
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − T AB
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − T BC
T AB = 6 kN ⋅ m = T CD
T BC = 20 kN ⋅ m
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Exemplo 1 • Aplica-se as fórmulas de torção elástica para encontrar a tensão máxima e mínima no eixo BC.
J =
π 2
( R
4
π 4 4 4 − r ) = (0.060) − (0.045) 2
[
• Sendo dado a tensão de cisalhamento admissível e o torque aplicado, invertese a fórmula de torção elástica para encontrar o diâmetro solicitado.
]
−6 4 = 13.92 ×10 m
τ max = τ 2 =
T BC R
J = 86.2 MPa
τ min τ max
=
τ max = =
(20 kN ⋅ m )(0.060 m )
r
τ min
R
86.2 MPa
τ min = 64.7 MPa
−6
13.92 × 10 m
Tr J
=
Tr π 2
4
r
65 MPa =
6 kN ⋅ m π 2
3
r
−3
r = 38.9 × 10 m
4
d = 2c = 77.8 mm
=
45 mm 60 mm
τ max = 86.2 MPa τ min = 64.7 MPa
Angulo de Torção na Região Elástica • Lembrando que o ângulo de torção e a deformação máxima de cisalhamento são relacionadas r .φ por: = γ max
L
• Na região elástica a deformação e a tensão de cisalhamento são relacionadas pela lei de Hooke por: τ max T .r γ max =
G
=
J .G
• Igualando as expressões da deformação de cisalhamento e resolvendo para o ângulo de torção, φ =
T . L J .G
• Se os torçores ou a seção transversal do eixo mudarem ao longo do comprimento, o ângulo de torção é a soma das rotações dos diversos segmentos φ = ∑ i
T i . Li J i .Gi
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Conv. de Sinal – – Regra da Mão Direita • A convenção de sinal é arbitrária; na figura abaixo é ilustrada uma convenção denominada de positiva mas nada impede de chamarmos de sentido negativo desde que a coerência seja mantida durante a solução de um mesmo exercício.
Conv. de Sinal – – Regra da Mão Direita • Considerando a convenção abaixo podemos assumir que o momento torçor de 80 N-m, 60 N-m e 10 N-m são positivos enquanto que o momento torçor de 150 N-m é negativo.
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Exemplo 2 Um eixo vertical AD é engastado a uma base fixa D, e fica submetido ao momento torçor indicado. A porção CD do eixo tem seção transversal vazada de 44 mm de diâmetro interno. Sabendose que o eixo é feito de aço, com módulo de elasticidade transversal G = 80 GPa, calcular o ângulo de torção do ponto A. Momento de Inércia Polar: Diagrama de corpo livre: T AB = 250 N .m
T BC = 2250 N .m T BC = T CD = 2250 N .m
J AB = J AB = J AB =
π 2
π 2
π 2
4 r =
4 r =
π 2
π 2
−6
4
(0,015) = 0,0795 × 10 m −6
4
(0,030) = 1,272 × 10 m
( R 4 − r 4 ) =
π 2
4
4
[(0,030) 4 − (0,022) 4 ] = 0,904 × 10−6 m 4
Ângulo de Torção no ponto A: φ A =
T i Li
1 T AB L AB
i
J AB
∑ J G = G i
+
T BC L BC J BC
+
T CD LCD
J CD
φ A = 0,0388 rad . = 2,220
Eixos Estaticamente Indeterminados • Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado, determinar os momentos torçores reativos nos apoios A e B. • Da análise de um corpo-livre do eixo, T A + T B = 120 N.m
mas que não é suficiente para encontrar as reações. O problema é estaticamente indeterminado. • Dividindo-se o eixo em dois segmentos que terão de ter deformações compatíveis, 120 N.m
T L T L φ = φ 1 + φ 2 = A 1 − B 2 = 0 J 1G J 2G
T B =
L1 J 2 L2 J 1
T A
• Substituindo na equação original de equilibrio, T A +
L1 J 2 L2 J 1
T A = 120 N.m
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Eixos Estatic. Indet. – – Sol. Alternativa • Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado, determinar os momentos torçores reativos nos apoios A e B. Lembre-se que o ângulo de torção em qualquer apoio engastado é nulo. • Da análise de um corpo-livre do eixo, T A + T B = T 0 mas que não é suficiente para encontrar as reações. O problema é estaticamente indeterminado. • Liberando o apoio engastado “B”, e aplicando a superposição de efeitos teremos T L T L L J φ = φ 1 + φ 2 = 0 A − B B = 0 T B = A B T 0 J AG J B G L B J A • Substituindo na equação original de equilíbrio, L J T A + A B T 0 = T 0 L B J A
Exemplo 3 Um eixo circular de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um apoio fixo e a um disco rígido, como mostra a seção longitudinal da figura. Sabendo-se que as tensões iniciais são nulas, determinar o máximo torque T 0 que pode ser aplicado ao disco, sendo a tensão admissível ao cisalhamento de 70 MPa para o alumínio e 120 MPa para o aço. Adotar G aço= 80 GPa e Galumínio= 27 GPa. Condições da Estática: Diagrama de corpo livre para o disco. T 0 = T A + T AL
Ângulo de torção: φ A = φ AL T A . L A G A . J A
=
T AL . L AL G AL . J AL
Relação entre os torques: T A = 0,908.T AL
Torques compatíveis com as condições de tensão máxima: T A = 2950 N .m T AL = 3250 N .m
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Dimension. de Eixos de Transmissão • As principais especificações do Eixo de Transmissão são: - Potência a ser transmitida. - Velocidade de rotação. • No dimensionamento do eixo o Engenheiro tem que escolher material e dimensões adequadas para atender as especificações do Eixo de Transmissão de modo que a máxima tensão de cisalhamento admissível não seja excedida.
• Determinação do torque a ser aplicado ao eixo em função da potência e da velocidade: = 2.π . f .T
P = T . T =
P
ω
=
P 2.π . f
• Cálculo da seção transversal para não exceder a máxima tensão de cisalhamento admissível: τ max = J r J R
= =
π 2
T .r J .r 3 =
π 2. R
( R
T
(eixo sólido )
τ max
4
4
)
− r =
T
τ max
(eixo vazado)
Torção de Membros de Seção não Circular • As fórmulas de torção anteriores são válidas para eixos de seção circular. • As seções transversais não-circulares de Eixos não permanecem planas e as tensões e deformações não variam linearmente. • Para seção transversal retangular uniforme: τ max =
T c1.a.b
2
φ =
T . L 3
c2 .a.b .G
• Para valores grandes de a/b, a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção para outros tipos de seções abertas são os mesmos da seção retangular. Usar C1 = C2 = 0,33
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Eixos de Seção Vazada de Paredes Finas • Somando as forças na direção-x em AB, ∑ F x = 0 = τ A (t A∆ x) − τ B (t B ∆ x) τ At A = τ Bt B = τ t = q = fluxo de cisalhamento
tensão de cisalhamento varia inversamente com a espessura • Cálculo do torque com a integral dos momentos devido a tensão de cisalhamento dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2q dA T = ∫ dM 0 = ∫ 2q dA = 2qA
τ =
T 2tA
• Ângulo de torção-Capítulo 10- Energia φ =
TL 2
4 A G
∫
ds t
Exemplo 5 Um tubo de alumínio de seção retangular fabricado por extrusão é submetido a um torque de 3 kN.m. Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes com (a) espessura uniforme de 4mm e (b) parede com espessura de 3mm em AB e AC e 5mm em CD e BD. SOLUÇÃO: • Determine o fluxo de cisalhamento através das paredes, como se fosse um tubo. • Encontre as correspondentes tensões de cisalhamento para cada espessura de parede.
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Exemplo 5 SOLUÇÃO: • Determine o fluxo de cisalhamento através das paredes, como se fosse um tubo.
• Encontre as correspondentes tensões de cisalhamento para cada espessura de parede. Com espessura de parede uniforme: τ =
T 2tA
3
=
3 × 10 N .m 2 × ( 4 ×10 −3 m)(5,367 × 10 −3 m 2 )
τ = 69,8 MPa
Com espessura de parede variável: τ AB = τ AC =
T 2. A
−3 −3 2 2 × (3 ×10 m)(5,367 ×10 m )
τ AB = τ BC = 93,0 MPa
− . 56mm ) = 5,327 × 10 3 m 2 A = (96mm )(
q=
3 3 ×10 N .m
3
τ BD = τ CD =
3 ×10 N .m −3
−3
2
2 × (5 × 10 m)(5,367 × 10 m )
τ BC = τ CD = 55,8 MPa
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