ANALISIS MODAL EXPERIMENTO 3
Para la matriz de masa
0.598 p
:= 0.598 kg
-1
0.061
-2
g
2
= 0.061 m
= 9.807 m s
p
m :=
0.598
0.061 m
g
kg s
m0 :=
0.02
0
0
0
0.02
0
0
0
m
-1
2
kg s
0.02
Para la matriz de rigidez K 1 := 365.285
K 2 := 373.412
K 3 := 162.214
K 1 + K 2 K X := -K 2
0
kg m kg m kg m
-K 2 K 2
-K 3 0
+ K 3
-K 3
738.697 -373.412 K X
K 3
0
= -373.412 535.626 -162.214
0
-162.214 162.214
ensamblando la matriz característica
a( λ )
:=
K X 10
a(λ ) expa expan nd , λ
3
- m0 λ
-0.02 λ + 0.738697
-0.373412
0
-0.373412
-0.02 λ + 0.535626
-0.162214
0
-0.162214
2
3
-0.02 λ + 0.162214
λ - 0.00873256893808 0.0005746148 λ - 0.000008 λ + 0.02212628197775788
cuya determinante se puede expresa expresarr m ediante un polinomio c aracterístico:
f ( λ )
2
3
:= 0.02212628197775788 - 0.00873256893808 λ + 0.0005746148 λ - 0.000008 λ
16.887703693842427662 root( f ( λ ) , λ , 0 , 800000)
3.1631469253629230057
51.775999380794649332
cuyas raíces o ceros del polinomio c aracterístico son: k0 λ r := ( 3.1631469253629230057 16.887703693842427662 51.775999380794649332 ) m0
con estas raíces podemos calcular los valores propios y vetores propios de la estructura.
0.2
0.1
f ( λ )
0
- 0.1
- 0.2 0
20
40
60
80
λ
Gráfico de la función del polinom io caraterístico en donde se aprecian los ceros.
m0 := 1
ω := 1
ω := 2
3
k0 := 10 k0 m0 k0 m0
λ r1 , 1
ω = 56.242
λ r1 , 2
ω = 129.953
1
2
T
1
T
2
:= 2
π ω
1
:= 2
π ω
2
T
1
T
2
= 0.112
f 1 :=
1 T
f 1 = 8.951
Hz
1
= 0.048
f 2 :=
1 T
2
f 2 = 20.683 Hz
k0
ω := 3
m0
λ r1 , 3
ω = 227.543
π
:= 2 3
T
3
= 0.028 3
T
ω
3
f 3 :=
1 T
f 3 = 36.215 Hz
3
Reemplazando en la ecuación característica para el modo K, podemos hallar una solución para cada modo de vibrar:
-0.02 λ + 0.70703
-0.353515
-0.353515
-0.02 λ + 0.502799
0
-0.149284
ϕ1 , K 0 -0.149284 ϕ 0 2 , K -0.02 λ + 0.149284 ϕ 0 3 , K
0
=
normalizando los modos de vibrar, para el nivel N
ϕ
N , K
=
1
siendo conocido podemos evaluar
λ := λ r
1, 1
CC := submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 1 , 2)
CA :=
Q
0.67543406149274153989 -0.373412
-1 submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 3 , 3 )
-1
:= CC
CA
1
Q2 , 1
1
0 0.162214
0.33723872313753688232 0.610003214844227624483
Q1 , 1 Ψ :=
0.47236306149274153989 -0.373412
0.337 Ψ = 1
0.61 1
λ := λ r
1, 2
CC := submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 1 , 2)
CA :=
0.40094292612315144676 -0.373412
-1 submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 3 , 3 )
0.19787192612315144676 -0.373412
0 0.162214
Q
-1
:= CC
CA
-1.00784479670470437456 -1.0821511945753668193
Q1 , 1 Ψ := 2
-1.008
Q2 , 1
Ψ = 2
1
-1.082
1
λ := λ r
1, 3
CC := submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 1 , 2)
CA :=
Q
-0.373412 -0.29682298761589298664 -0.373412 -0.49989398761589298664
-1
:= CC
CA
6.77280922219971496587 -5.38366594508422816229
Q1 , 1 Ψ := 3
0 0.162214
-1 submatrix( a( λ ) , 1 , 2 , 3 , 3 )
6.773
Q2 , 1
1
Ψ = 3
-5.384
1
con estos vectores ensamblamos la m atriz de vectores propios
1
ϕ
2
:= Ψ1
ϕ
0.337 -1.008 ϕ=
0.61
3
:= Ψ2
ϕ
6.773
-1.082 -5.384
1
1
:= Ψ3
1
-0
0
0
1076.355
-0
0
0
93.998 T
ϕ K X ϕ =
78549.165
cuya determinante de la matriz de vectores propios es ortogonal debido a: ϕ Con cada columna de la m atriz de vectores propios procedemos a dibujar los modos de vibracion de la estructura como se ilustra en la figura de abajo:
Modo 1
Modo 2
Modo 3
3
3
3
2
2
2
1
1
1
-1 0 1
-1 0 1
-1 0 1
