3 Bölüm - TRİGONOMETRİK NİVELMAN

Trigonometrik Yükseklik Ölçümü

3. BÖLÜM TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜMÜ Yükseklikler genellikle geometrik nivelmanla belirlenir. Minare kule gibi yanına gidilemeyen ya da arazinin çok engebeli olduğu durumlarda ve geometrik nivelman inceliği istenmeyen işlerde, noktaların yükseklikleri trigonometrik nivelmanla belirlenir. Trigonometrik nivelman, daha çok nirengi noktaları ile takimetrik alımda ve total station benzeri elektronik aletlerle yapılan üç boyutlu kutupsal alımda nokta yüksekliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Trigonometrik yükseklik belirlemesi için yüksekliği bilinen bir noktaya teodolit ya da total station kurularak, düşey açı okunur, alet yüksekliği ve işaret yüksekliği ölçülür. Ayrıca iki nokta arasındaki uzaklığın da bilinmesi veya ölçülmesi gerekir.

3.1. Düşey Açı Zenit (Başucu)

Z : Zenit (başucu) açısı α : Eğim açısı Z+α = 100g

P

Z Yatay Şekil 3.1 Düşey açı İki çeşit düşey açı vardır. Bunlar zenit (başucu) açısı ve eğim açısıdır. Teodolitlerde düşey açı ölçme düzenleri genellikle zenit açısı ölçülecek şekilde yapılmıştır. Düşey açı bölüm dairesi, daire merkezi yatay eksenle çakışacak şekilde ve düşey durumda dürbüne bağlanmıştır. Dürbün aşağı yukarı hareket ettirildiği zaman düşey açı bölüm dairesi de dürbünle birlikte hareket eder.

65


3.1.1. Gösterge (Düşey Kolimasyon) Hatası Düşey açı bir gösterge çizgisiyle okunuyorsa, optik eksen tam yatay durumda iken gösterge çizgisinin de tam 100 gradı göstermesi gerekir. Optik eksen yatay durumda iken düşey açı düzeci ayarlandığında gösterge çizgilerini birleştiren doğru ile bölüm dairesinin 100 ve 300 grad çizgileri çakışmıyorsa açı 100 gradtan biraz farklı olacaktır. Bu fazla ya da az okunan miktara gösterge hatası veya düşey kolimasyon hatası denir. Gösterge çizgilerinin yataylanması düşey açı düzeci yardımıyla veya kompensatörlerle otomatik olarak sağlanmaktadır. Gösterge hatası, ya optik eksen ile bölüm dairesinin 100g-300g çizgilerini birleştiren doğru, ya da düzeç ekseni ile gösterge ekseni birbirlerine paralel değilse oluşur. Şekilde birinci hata δ1, ikinci hata ise δ2 ile gösterilmiştir. Açı ölçümünde bu iki hatanın toplamı bir tek hata olarak görünür. Zenit (başucu)

δ 300 100

δ2 δ δ1

Z

α1

300

O

300

δ

100

200

P

0

P

0

0

O

Zenit

Zenit

α2

Z 100

200

α1= Z+δ Z =α1-δ

α2=400g - Z+δ Z =400g-(α2-δ)

Birinci dürbün durumu

İkinci dürbün durumu

200

Şekil 3.2 Düşey kolimasyon hatası α1+ α2 = 400g +2δ δ=( α1+ α2 - 400g) / 2 Eğer alet hatalı değilse dürbünün iki durumunda ölçülen zenit açılarının toplamı 400g olur. 400 gradtan fazla olan miktar, gösterge hatasının iki katıdır. Bunun yarısı α1 den çıkarılarak hatasız zenit açısı bulunur. Gösterge hatası her alet kurulan noktada ölçülen bütün açılar için yaklaşık olarak eşittir. Bir aletle iki dürbün durumunda yapılan ölçümlerle hatasız zenit açısı elde edilir. Hata büyük olursa hesapta zorluk yaratacağı ve bir dürbün durumunda yapılan ölçümler hatalı olacağından alet ayarlanarak bu hata giderilir. Alette hatanın giderilmesi şöyle yapılır: δ hata miktarı birinci dürbün durumunda okunan açıdan çıkarılarak hatasız zenit açısı Z bulunur. Z = α1 − δ

Sonra alet birinci dürbün durumunda P noktasına yöneltilir ve mikrometre vidası ile okunması gereken Z açı değeri ayarlanır. Düşey açı bölüm dairesinin gösterge 66


çizgileri, düşey açı düzeçleme vidası yardımıyla çakıştırılır ve kayan düzeç kabarcığı düzeç ayar vidası yardımıyla ortalanarak aletin hatası giderilmiş olur. Hata giderildikten sonra kontrol için işlem yinelenir. Örnek: α1=97g.6586 α2=302g.3458

α 1 + α 2 − 400 g

400.0044 − 400 0.0044 = = 0 g .0022 2 2 2 g g g Z = α 1 − δ = 97 .6586 − 0 .0022 = 97 .6564

δ=

=

3.1.2. Düşey Açı Ölçümü ve Hesabı Düşey açı ölçümü genellikle refraksiyonun (ışığın kırılmasının) az olduğu öğle saatlerinde yapılmalıdır. Düşey açılar genellikle 2 silsile olarak ölçülürler. Bir silsile düşey açı ölçümü şöyle yapılır: Alet nokta üzerine kurulup düzeçlendikten sonra bir P noktasına yöneltilir ve yatay gözlem çizgisinin ortaya yakın bir yeri dürbünün düşey az hareket vidası yardımıyla noktaya tatbik edilir. Düşey açı düzeci yataylanır ve düşey açı okunur. Eğer alet otomatik ise yani gösterge çizgisinin yataylanması bir kompensatör yardımıyla otomatik olarak yapılıyorsa düzecin ayarlanmasına gerek yoktur. Dürbün ikinci duruma getirilir ve yatay gözlem çizgisi tekrar noktaya tatbik edilip, düzeç ayarlandıktan sonra düşey açı okunur. İkinci silsileye başlarken yatay açı ölçümündeki gibi başlangıç doğrultusunun kaydırılması söz konusu değildir. DN

BN

A

B

C

Silsile No 1

Dürbün Durumu I II

2

I II

1

I II

2

I II

Okunan Düşey Açı 95g.7718 304.2342 400.0060 95.7730 304.2350 400.0080 107.3641 292.6429 400.0070 107.3623 292.6431 400.0054

δ -30cc -30cc -40cc -40cc -35cc -35cc -27cc -27cc δort=-33

Z 400g-Z 95g.7688 304.2312 400.0000 95.7690 304.2310 400.0000 107.3606 292.6394 400.0000 107.3596 292.6404 400.0000

Ortalama Z 95g.7689

107.3601

vδ

Vδ2

-3

9

+7

49

+2

4

-6

36

Bir istasyonda s tane noktaya bakılarak n silsile düşey açı ölçülmüşse, ölçü sayısı n·s olur.

67


vδ i =

[δ i ] − δ

n ⋅s

mz = ± Mz = ±

mz = ±

i

= δ ort − δ i

[ v δ2 ]

Bir silsile ölçülen açının ortalama hatası

n ⋅ s −1 mz

n silsile ölçülen açının ortalama hatası

n [ v δ2 ]

98 = ± 5 cc .72 2 ⋅ 2 −1

=±

n ⋅ s −1 m 5.72 Mz = ± z = ± = ±4 cc .04 n 2

Bir silsile ölçülen bir açının ortalama hatası 2 silsile ölçülen bir açının ortalama hatası

Refraksiyon katsayısı, havanın sıcaklık derecesine, yoğunluğuna, rutubetine ve basıncına göre değişir. En büyük değişmeler sabah ve akşam saatlerinde, en küçük değişmeler öğle saatlerinde olmaktadır. Bu nedenle trigonometrik yükseklik ölçümünde düşey açı ölçümleri öğle saatlerinde yapılmalıdır. Bundan başka, yere ve su yüzeylerine yakın geçen ışınlar daha fazla kırıldıklarından, açı ölçümünde ışınların mümkün mertebe yere ve su yüzeyine yakın olmamasına dikkat edilmelidir. k değeri, Türkiye’nin çeşitli bölgeleri için Harita genel Komutanlığınca 1/200 000 ölçekli 27 pafta için hesaplanmış olan 27 değerin ortalaması alınarak 0.13 bulunmuştur. (C. Songu, Ölçme Bilgisi, ikinci Cilt, 1975).

3.2. Kısa Mesafede (S<250 m) Trigonometrik Yükseklik Ölçümü Z

D

h

t

Yatay

B

i

∆h

S

A Şekil 3.3 Trigonometrik nivelman Şekil 3.3 den, HB = HA + i + h – t h = S cotZ Yatay uzunluğa göre h = D cosZ Eğik uzunluğa göre yazılabilir. h’ın değeri yukarıdaki (3.1) eşitliğinde yerine konursa, HB = HA + i + S cotZ – t HB = HA + i + D cosZ – t 68

(3.1)

(3.2)


eşitlikleri elde edilir. İki nokta arasındaki yükseklik farkının trigonometrik olarak hesaplanabilmesi için, bu noktalardan birine teodolit kurularak, diğer noktadaki işarete bakılır ve düşey açı ile birlikte yatay ya da eğik uzunluk ölçülür. Ayrıca durulan noktada alet yüksekliği (yatay eksene kadar), bakılan noktada da işaret yüksekliği ölçülür. Yerin küreselliğinin ve refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi 250 metreye kadar uzunluklarda 1 cm nin altında kaldığı için bu iki faktörün etkisi, 250 metreye kadar olan uzunluklarda dikkate alınmaz. Trigonometrik yükseklik hesabında 250 metreye kadar olan uzunluklar, kısa mesafe olarak adlandırılır. 3.2.1. Kule Yüksekliği Ölçümü Kule Yüksekliği belirlemesi, alet kurulan nokta ile kule arasındaki S uzunluğunun doğrudan ölçülüp ölçülmemesine bağlı olarak iki şekilde ele alınır. 3.2.1.1. S Uzunluğu Ölçülüyor T Z2

Z1

Bilinen: HA Ölçülen: Z1, Z2, S

h

İstenen: h = ?

i A

S

T’

Şekil 3.4 S uzunluğunun ölçülmesi durumunda kule yüksekliği hesabı h kule yüksekliği, şekilden de görüldüğü üzere h = HT - HT’ bağıntısı ile hesaplanır. Öncelikle verilenlere göre HT ve HT’ nün hesaplanması gerekir. HT = HA + S cotZ1 HT’ = HA + S cotZ2 h = HT – HT’ = S (cotZ1 – cotZ2) Örnek: Z1 = 95g.3674 S = 75.14 m g Z2 = 102 .1826 h=? h = S (cotZ1 – cotZ2) = 75.14 * (cot95.3674 – coot102.1826) = 8.0546 m h = 8.05 m Eğer kulenin tabanı olan T’ noktasının yüksekliği önceden biliniyorsa ya da geometrik nivelmanla belirlenmişse, trigonometrik olarak yalnızca kulenin tepesinin yüksekliğinin (HT) hesaplanması yeterlidir. Yine h=HT-HT’ bağıntısı kullanılarak h hesaplanır. Bu durumda Z2 nin ölçülmesine ihtiyaç yoktur; fakat i alet yüksekliğinin ölçülmesi gerekir. 69


Örnek : Z = 93g.7853

S = 86.55 m

HA = 125.82 m

i = 1.50 m

HT’ = 127.39 m

h=?

HT = HA + i + S cotZ = 125.82 + 1.50 + 86.55 * cot93.7853 = 125.82 + 1.50 + 8.48 = 135.80 m h = HT – HT’ = 135.80 – 127.39 = 8.41 m 3.2.1.2. S Uzunluğu Ölçülemiyor a) Yatayda Oluşturulan iki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bilinenler Ölçülenler

: HA, HT’ yükseklikleri : Z düşey açısı

İstenen: h = ?

α, β, γ, δ yatay açıları a ve b kenarları T

B

Z

α

a β A

T’ A

γ b

S

T

S δ

C Şekil 3.5 Yatayda oluşturulan iki üçgen yardımıyla kule yüksekliği hesabı sinα sin(α + β) sinδ ATC → S = b ⋅ sin(γ + δ) ABT → S = a ⋅

Buradan ortalama S bulunur ve bu değerle de HT

yüksekliği hesaplanır. HT = HA + i + S ∗ cotZ h = HT – HT’ Örnek : a = 28.15 m

α = 75g.1428

b = 23.90 m

β = 67.3920

g

Z = 95 .1686

γ = 71.2675

i = 1.50 m

δ = 80.4750

HA = 101.00 m HT’=101.95 m

h=? 70


sinα = 33.162 m sin(α + β) sinδ S = b⋅ = 33.142 m sin( γ + δ ) S = a⋅

Sort = 33.152 m

HT = HA + 1.50 + S * cotZ = 101.00 + 1.50 + 33.152 * cot95g.1686 = = 101.00 + 1.50 + 2.52 = 105.02 m h = HT –HT’ = 105.02 -101.95 = 3.07 m b) Düşey Düzlemde Oluşturulan İki Üçgen Yardımıyla S Kenarının Hesabı Bu yöntemde A, C ve B noktaları, aynı düşey düzlem içinde olacak şekilde seçilir. T

Bilinenler: HA, HB, HT’ Ölçülenler : d uzaklığı ia, ib alet yükseklikleri İstenen: h = ?

ZB

ZA

ZA, ZB düşey açıları

ib

ia

B

h T’

d e A Şekil 3.6 Düşey düzlemde iki üçgen oluşturulması

HT = HA + ia + (d + e) cotZA HT = HB + ib + e cotZB HA +ia + + (d+e) cotZA = HB + ib + e cotZB e cotZA - e cotZB = HB + ib - HA - ia - d cotZA e=

H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A cotZ A − cotZ B

T noktasının yüksekliğinin incelikli olarak hesaplanabilmesi için şu noktalara dikkat edilmelidir: 1. B noktası, ZB açısı yaklaşık 50g olacak şekilde seçilmelidir. 2. d uzunluğu, kule yüksekliğinin yaklaşık iki katı olmalıdır. Bunun için de ZA, 80g civarında olur. 3. A noktasındaki zenit açısı ZA, ZB ye göre daha hassas ölçülmelidir. 4. d uzunluğu hassas bir şekilde ölçülmelidir. 5. Kulenin yüksekliği, A noktasındaki ölçümlere göre hesaplanmalıdır. B noktasındaki hesap kontrol için yapılmalıdır. Hesap : HT = HA + ia + (d+e) * cotZA Kontrol: HT = HB + ib + e * cotZB 6. A ve B noktalarının en uygun konumu, kulenin ayrı ayrı tarafında seçilmeleridir. 71


Örnek: ZA= 82g.1694 ZB= 53g.4961 HA = 100.00 m HB = 102.15 m HT’ = 105.24 m

ia =1.55 m ib =1.42 m d = 42.76 m h=?

HT = H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A HT = H B + i b + e ⋅ cotZ B H A + i a + (d + e) ⋅ cotZ A = H B + i b + e ⋅ cotZ B e=

H B − H A + i b − i a − d ⋅ cotZ A 102.15 − 100.00 + 1.42 − 1.55 − 42.76 ⋅ cot82.1694 = cotZ A − cotZ B cot82.1694 − cot53.4961

− 10.2796382 2 = 16.903 m − 0.60814156 92 Hesap → HT = 100.00 + 1.55 + (42.76 + 16.90) ⋅ cot82.1694 = 118.712 m

e=

Kontrol → HT = 102.15 + 1.42 + 16.90 ⋅ cot53.4961 = 118.709 m h = HT − HT ′ = 118.71 − 105.24 = 13.47 m

3.2.2. Trigonometrik Nivelman

ZA

hA

ℓA

A

hB

ZB

ℓB ileri

geri sa

P

Bilinen

: HA

Ölçülenler: ZA, ZB, sa, sb, ℓA, ℓB İstenen

: HB = ?

B sb

Şekil 3.7 Trigonometrik nivelman Trigonometrik nivelmanla iki nokta arasındaki yükseklik farkının bulunmasında, geometrik nivelmandaki geri - ileri bağıntısından yararlanılır.

∆H AB = H B − H A = geri − ileri = ( l A − h A ) − ( l B − hB ) H B − H A = l A − s a ⋅ cotZ A − l B + s b ⋅ cotZ B H B = H A + s b ⋅ cotZ B − sa ⋅ cotZ A + l A − l B Yukarıdaki bağıntı∗, şu şekilde de elde edilebilir: Alet kurulan P noktasına göre, A ve B noktalarının yüksekliklerini veren bağıntılar yazılır ve sonra bu bağıntılardan HB -HA oluşturulur.

∗

Bu bağıntı çıkartılırken ZA ve ZB nin değerleri ne olursa olsun, ZA ve ZB nin 100g dan küçük, yani hA ve hB nin pozitif olduğu şekil 3.7 esas alınır. ZA ve ZB nin tüm değerleri için yukarıdaki eşitlik geçerlidir. 72


H B = H P + i + s b ⋅ cot Z B − l B H A = H P + i + sa ⋅ cot Z A − l A H B − H A = s b ⋅ cot Z B − s a ⋅ cot Z A + l A − l B H B = H A + s b ⋅ cot Z B − sa ⋅ cot Z A + l A − l B Örnek : ZA

hB

ZB

ℓB

hA

ℓA A

P

141.72 m

B 121.17 m

Bilinen : HB=1000.00 m Ölçülenler : ZA=106g.1871 ZB=95g.3943 ℓA=1.20 m ℓB=3.46 m İstenen : HA = ?

∆H AB = H B − H A = ( l A − sa cot Z A ) − ( l B − s b cot Z A ) H A = H B + sa cot Z A − s b cot Z B − l A + l B H A = 1000.00 + 141.72 cot 106.1871 − 121.17 cot 95.3943 − 1.20 + 3.46 H A = 1000.00 − 13.817 − 8.782 − 1.20 + 3.46 = 1000.00 − 20.339 = 979.661 m HA = 979.66 m 3.2.3. İki Nokta Arasındaki Uzunluğu Ölçmeden Yükseklik Farkının Bulunması Ölçülenler İstenen

ℓ

Z2 Z1

m

: Z1, Z2, i, t, l : ∆hAB=?

t

B

i A

s

∆hAB

Şekil 3.8 Uzunluk ölçülmeden yükseklik farkının hesaplanması s ⋅ cot Z1 = m + l ⇒ m = s ⋅ cot Z1 − l s ⋅ cot Z 2 = m s ⋅ cot Z1 − l = s ⋅ cot Z 2 s ⋅ (cot Z1 − cot Z 2 ) = l s=

l cot Z1 − cot Z 2

∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z1 + i − ( l + t ) ∆h AB = H B − H A = s ⋅ cot Z 2 + i − t

73


Örnek: ℓ

Z2 Z1

m

t

B

i

∆hAB

s

A s=

Ölçülenler :Z1=96g.7120 Z2 =97g.9122 İ= 1.50 m t=1.90 m ℓ= 2.00 m Bilinen : HA =101.50 m İstenen : HB=?

l 2.00 2.00 = = = 105.89 m cot Z1 − cot Z 2 cot 96.7120 − cot 97.9122 0.0188869

H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 96.7120 − 2.00 − 1.90 = 104.57 m H B = H A + 1.50 + 105.89 ⋅ cot 97.9122 − 1.90 = 104.57 m

3.2.4. Kısa Uzunluklarda Trigonometrik Yükseklik Ölçümünde İncelik Ölçülen büyüklükler, s uzunluğu, Z düşey açısı, i alet yüksekliği ve t işaret yüksekliği ile bunların ortalama hataları da ms, mz, mi, mt olmak üzere kısa uzunluklarda trigonometrik yükseklik ölçümündeki inceliği bulmak için, ∆hAB=HB -HA=s cotZ+i-t formülüne hata yayılma kanunu uygulanırsa; dh = cot Z ⋅ ds −

s

sin 2 Z

m ∆2 h = cot 2 Z ⋅ ms2 +

dz + di − dt

s2 4

⋅

m z2

sin Z ρ

2

+ mi2 + mt2

elde edilir. Örnek :

m z = ±15

cc

m ∆2 h

= cot

2

Z ⋅ ms2

+

s2 4

⋅

m z2

sin Z ρ

2

+ mi2 + mt2

ms = ±15 mm

m ∆2 h = 5.644 + 5.834 + 4 + 4 = 19.478

mi = ±2 mm

m ∆h = ±4.4 mm

mt = ±2 mm

Z = 95 g ⇒ m ∆2 h = 1.3936 + 5.586 + 4 + 4 = 14.9796

s = 100 m

m ∆h = ±3.9 mm

Z = 90 g

Z = 99 g ⇒ m ∆2 h = 0.0555 + 5.5544 + 4 + 4 = 13.6099

m ∆h = ?

m ∆h = ±3.7 mm

74


3.3. Uzun Mesafede (S > 250 m) Trigonometrik Nivelman Noktalar arasındaki uzaklık 250 metreden fazla ise, yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının (refraksiyonun) etkisi hesaba katılır. B F δ

A

γ 2

s

E C

R

hk

h

R = 6373394 m (Dünyanın yarıçapı), R’= R/k (Işın yayının yarıçapı), k = Kırılma (refraksiyon) katsayısı, hk = Yerin küreselliğinin etkisi, hr =Refraksiyonun (ışığın kırılmasının) etkisi, ∆H = A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı,

hr

∆h

Z = 100g – α h = s * tan α = s * cot Z

R’

γ 2δ

O

O’ Şekil 3.9 Uzun mesafede trigonometrik nivelman

γ hk γ = ⇒ hk = s ⋅ tan 2 s 2 s AOC üçgeninde tan γ = R γ küçük açı olduğundan , s γ γ s γ = tan γ = ⇒ = tan = R 2 2 2R Bu değer (1) eşitliğinde yerine konulursa, AEC üçgeninde tan

(1)

s s2 = 2R 2R elde edilir. Işın yayı, bir daire yayı olarak alınabilir ve yarıçapı R‘ ile gösterilirse, ışığın kırılmasının etkisi de, yerin küreselliğinin etkisine benzetilerek hk = s ⋅

s2 s2 s2 ⋅ k hr = = = R 2R ′ 2R 2 k 75


yazılabilir. Şekilden görüldüğü gibi, küreselliğin etkisi daima (+),ışığın kırılmasının etkisi ise eksi daima (-) dir. Refraksiyon (kırılma) katsayısı verilmezse ya da bilinmiyorsa, ülkemizde k=0.13 ortalama değeri kullanılır. ∆H = h + hk − hr ∆H = s ⋅ cot Z + ∆H = s ⋅ cot Z +

s2 s2 ⋅ k − 2R 2R

(1 − k) ⋅ s 2 2R

Alet ve işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,

(1 − k) 2 ⋅s + i −t 2R olarak elde edilir. Alet kurulan noktanın yüksekliği biliniyorsa, bakılan noktanın yüksekliği aşağıdaki eşitlik ile bulunur. ∆H = s ⋅ cot Z +

H B = H A + ∆H = H A + s ⋅ cot Z +

(1 − k ) 2 ⋅s + i −t 2R

Yerin küreselliğinin ve ışığın kırılmasının etkisi k=0.13, R=6373394 m alınarak, belirli uzunluklar için hesaplanmış ve aşağıdaki çizelgede verilmiştir. si

50 m

hk

0.20 mm

hr Hk+hr

100 m

250 m

500 m

1 km

-0,03 mm

0.78 mm -0.10 mm

4.90 mm -0.64 mm

9.61 mm -2.54 mm

78,45 mm 10.20 mm

0.17 mm

0.68 mm

4.26 mm

7.07 mm

68.25 mm

Örnek 1: HA = 2000.00 m HB = ?

94g.7215 3.10 m 1.50 B A

H B = H A + s ⋅ cot Z +

s=2462.36m

(1 − k ) 2 ⋅s + i −t 2R

(1 − 0.13 ) ⋅ ( 2462.36 ) 2 + 1.50 − 3.10 2 ⋅ 6373394 H B = 2000.00 + 204.634 + 0.414 + 1.50 − 3.10 = 2203.45 m H B = 2000.00 + 2462.36 ⋅ cot 94.7215 +

76


Örnek 2:

103g.4715

ℓ2=1.85 m

g

92 .7524

B

ℓ1=1.50 m

A

i

C

sA=345.14 m HA=200.00 m

sB=762.94 m

R=6373 394 m

HB = ?

1−k 2 ⋅ sB − l 2 2R 1−k 2 ⋅ s A − l1 H A = H C + i + s A ⋅ cot Z A + 2R 1−k 2 2 H B − H A = s B ⋅ cot Z B − s A ⋅ cot Z A + ⋅ ( sB − sA ) + l1 − l 2 2R 1 − 0.13 = 762.94 ⋅ cot 92 g .7524 − 345.14 ⋅ cot 103 g .4715 + (762.94 2 − 345.14 2 ) + 1.50 − 1.85 2R H B − H A = 105.755 m → H B = H A + 105.755 m = 305.755 m H B = H C + i + s B ⋅ cot Z B +

Işığın Kırılma (Refraksiyon) Katsayısının (k) Belirlenmesi ZB

δ2

s' ZA

δ1

A

β1

B

β2

α s C

R

R' R'

γ O

Şekil 3.10 Işığın kırılma katsayısı k nın belirlenmesi

77


AOB üçgeninden

⇒ β1 + β 2 + γ = 200 g

(1)

β1 = 200 − (Z A + δ1 ) β 2 = 200 − (Z B + δ 2 ) Bu iki değer yukarıda (1) de yerlerine konulursa, 200 g − Z A − δ 1 + 200 − Z B − δ 2 + γ = 200

(2)

Z A + Z B + δ 1 + δ 2 = 200 + γ elde edilir. AB ışın yayı bir daire yayı olarak alınırsa, δ1= δ2 olur. İnceliğe bir etkisi olmadığından s’=s alınabilir. Bu durumda, δ1 = δ 2 =

s = 2 ⋅ R'

γ s s = ⋅k = k R 2R 2 2⋅ k

olur. Bu değerler (2) de yerlerine konulursa, Z A + Z B + k ⋅ γ = 200 g + γ Z A + Z B − 200 g = γ − k ⋅ γ = γ ⋅ (1 − k )

⇒1 − k =

Z A + Z B − 200 g γ

s ⋅ ρ değeri yerine raydan cinsinden karşılığı yazılırsa, R Z + Z B − 200 g R Z + Z B − 200 g 1−k = A → k =1− ⋅ A s s ρ ⋅ρ R γ=

3.4. Karşılıklı Gözlemlerle İki Nokta Arasındaki Yükseklik Farkı Günümüzde hesaplama araçlarının gelişmiş olması nedeniyle ZA ve ZB açıları; yaklaşık olarak değil kesin olarak hesaplanmalıdır. ZB ZA

β1

HA

β2

δ1

A

B

δ2

D α γ/2 s

ZB

h C

R

∆ZA

L

HB ZA

∆ZB

Z’B

tB iB

DBA

Deniz yüzeyi

Z’A

γ

B

DAB

tA iA

O

s

A

Şekil 3.11 Karşılıklı gözlemlerle iki nokta arasındaki yükseklik farkının belirlenmesi 78


Z’ : Ölçülen zenit açısı Z : İşaret tepesine indirgenmiş zenit açısı ∆ZA ve ∆ZB nin yaklaşık hesabı:

t −i ∆Z A = A A ⋅ ρ s t −i ∆Z B = B B ⋅ ρ s

Z A = Z' A + ∆Z A Z B = Z' B + ∆Z B

ZA ve ZB nin Kesin hesabı:

DAB ve DBA eğik uzunlukları ölçülmemiş ve s yatay uzunluğu verilmişse öncelikle bu eğik uzunluklar,

D AB =

s ' sin Z AB

;

DBA =

s ' sin Z BA

eşitlikleri ile hesaplanır. Sonra tanjant teoremine göre yazılan aşağıdaki eşitlikten ∆ZA hesaplanır. a + D AB a − D AB

tan

∆Z A + (200 g − Z A' − ∆Z A )

200 g − Z A' 2 2 = = g ' ∆Z A − (200 − Z A − ∆Z A ) 2 ∆Z A − 200 g + Z A' tan tan 2 2 tan

tan

2 ∆Z A − 200 g + Z A' a − D AB 200 g − Z A' ⋅ tan = 2 a + D AB 2

⎛ a − D AB 2 ∆Z A − 200 g + Z A' 200 g − Z A' ⋅ tan = atn ⎜⎜ 2 2 ⎝ a + D AB

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ a − D AB 2 ∆Z A 200 g − Z A' 200 g − Z A' − = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 2 ⎝ a + D AB

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ a − D AB 200 g − Z A' ⋅ tan 2 ⎝ a + D AB

∆Z A = atn⎜⎜

⎞ 200 g − Z A' ⎟+ ⎟ 2 ⎠

Benzer şekilde ⎛ a − DBA 200 g − Z B' ⎞ 200 g − Z B' ⎟+ ⋅ tan ∆Z B = atn⎜⎜ ⎟ + a D 2 2 BA ⎝ ⎠ yazılır. Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşit olduğundan, şekle göre Z AB = Z A' + ∆Z A Z BA = Z B' + ∆Z B 79


yazılarak ZAB ve ZBA hesaplanır. Tanjant teoremine göre OAB üçgeninden, ( R + HB ) − ( R + H A ) = ( R + H B ) + ( R +H A )

β − β2 tan 1 2 β1 + β2 tan 2

(1)

yazılabilir. β1 + β2 200 g − γ π γ = = − 2 2 2 2 β + β2 π γ γ tan 1 = tan( − ) = cot 2 2 2 2

β1 = 200 g − ( Z A +δ1 ) β2 = 200 g − ( Z B + δ 2 ) β1 − β 2 = 200 − Z A − δ1 − 200 + Z B + δ 2 = Z B + δ 2 − Z A − δ1 β −β Z + δ 2 − Z A − δ1 tan 1 2 = tan B 2 2 yazılabilir. β − β2 β + β2 değerleri, yukarıda (1) no lu eşitlikte yerlerine konulursa, ve tan 1 tan 1 2 2

Z +δ − Z A − δ1 tan B 2 HB − HA 2 = γ 2 R + HB + HA cot 2 olur. Buradan ∆hAB = HB - HA çekilirse,

Z + δ 2 − Z A − δ1 tan B 2 γ cot 2 H A + HB Z B +δ 2 −Z A − δ1 γ ∆H AB =H B −H A = 2 R ⋅ tan ⋅ (1 + ) ⋅ tan 2 2R 2

H + HB ∆H AB = H B − H A = 2 R ⋅ (1 + A )⋅ 2R

γ küçük açı olduğundan s γ 2 s tan = = 2 R 2R

⇒ 2R ⋅ tan

γ =s 2

yazılabilir. Öte yandan AB ışın yayı bir daire yayı olarak kabul edilirse δ1= δ2 olur. H A +H B = Hm 2 denilir ve A ile B noktalarındaki işaret yükseklikleri de dikkate alınırsa,

Ayrıca,

80


Hm Z − ZA ) ⋅ tan B + t A − tB R 2 şeklini alır. Noktalar arasındaki s uzaklığı ya da ortalama yükseklik Hm küçük ise parantez içindeki terim ihmal edilebilir. Bu durumda, ∆H AB =H B −H A = s ⋅ (1 +

Z − ZA ∆H AB =H B −H A = s ⋅ tan B + t A − tB (2) 2 olur. Formüldeki ZA ve ZB açıları işaret tepesine indirgenmiş zenit açılarıdır. A noktasının yüksekliği biliniyorsa, B noktasının yüksekliği; H B = H A + ∆H AB = H A + s ⋅ (1 +

Hm Z − ZA ) ⋅ tan B + t A − tB R 2

(3)

şeklinde yazılabilir. ∆H AB yükseklik farkı şu formülle de hesaplanabilir: işaret yükseklikleri dikkate

alınmadan A ve B noktaları arasındaki yükseklik farklar ∆HAB ve ∆hBA , ∆H AB = s ⋅ cot Z A ∆H BA = s ⋅ cot Z B

biçiminde yazılabilir. Bu iki değerin ortalaması alınmak suretiyle, ∆H AB + ( − ∆H BA ) ∆H AB − ∆H BA s ⋅ cot Z A − s ⋅ cot Z B cot Z A − cot Z B = = =s⋅ 2 2 2 2 elde edilir. İşaret yükseklikleri de dikkate alınırsa, ∆H AB =

cot Z A − cot Z B + t A − tB 2 Yatay uzunluk yerine eğik uzunluk kullanılırsa (4 ) numaralı eşitlik yerine, ∆H AB = H B − H A = s ⋅

(4)

cos Z A − cos ZB + t A − tB (5) 2 olur. (4) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçla, (2) numaralı eşitlikten elde edilen sonuçlar aynıdır. İki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanırken, önce (2) veya (4) numaralı eşitliklerden birine göre aranan nokta yüksekliği hesaplanır ve daha sonra, (3) numaralı eşitlikten noktanın kesin yüksekliği elde edilir. ∆H AB = H B − H A = D ⋅

81


3.5.1. Zenit Açılarının Zemin Noktasına İndirgenmesi

Z’A ZB Z’B D’

Z’B a

Z’A

tA

∆ZA

tB

∆ZB

D”

ZA

b

D D

iB

ZA B

iA

D s

A

Şekil 3.12 Zenit açılarının zemin noktasına indirgenmesi Z’A, Z’B : Ölçülen zenit açıları, ZA, ZB : Zemin noktasına indirgenmiş zenit açıları, D’, D’’ : Ölçülen eğik uzunluklar, D : Zemin noktaları arasındaki eğik uzunluk, S : Zemin noktaları arasındaki yatay uzunluk, iA, iB : Alet yükseklikleri, tA, tB : İşaret yükseklikleri olmak üzere; a = tA-iB, b = tB-iA kısaltmaları ile ve uzun mesafede D′ ≅ D′′ ≅ D kabulüyle, ı s = D ⋅ sin Z A

→D=

s ı sinZ A

b b ′ ⋅ sin Z ′A = ⋅ sin 2 Z A s D a a ′ = ⋅ sin 2 Z B′ Sin ∆Z B = ⋅ sin Z B s D ′ + ∆Z A ZA = ZA ′ + ∆Z B ZB = ZB Sin ∆Z A =

yazılır. Z = 90 g − 110 g arasında sinZ ≅ sin 2 Z ≅ 1 açılar olduğu da dikkate alınırsa; b b ⋅ρ = ⋅ρ D s a a ∆Z B = ⋅ ρ = ⋅ ρ D s ∆Z A =

yazılabilir. 82

alınabilir. ∆Z A ve ∆Z B nin küçük


ÖRNEKLER: 1- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılmıştır. Aşağıdaki verilere göre; a) k kırılma (refraksiyon) katsayısını hesaplayınız. b) HA=2500.00 m verildiğine göre, B noktasının yüksekliğini hesaplayınız.

ZA 103g.4116

4.50 m

ZB

∆ZB

∆ZA

96g.5373 5.00 m

1.50

1.40

A S= 4745.38 m

B

t −i 4.50 − 1.50 ∆Z A = A A ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0402 S 4745.38 t −i 5.00 − 1.40 ∆Z B = B B ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0483 S 4745.38

Z A = 103.4116 + ∆Z A = 103.4116 + 0.0402 = 103 g .4518 Z B = 96.5373 + ∆Z B = 96.5373 + 0.0483 = 96 g .5856

a) k = 1 −

6373394 0.0374 R Z A + Z B − 200 g R 103.4518 + 96.5856 − 200 ⋅ =1− ⋅ =1− ⋅ S ρ S 63.6620 4745.38 63.6620

k = 1 − 0.789 = 0.21

b) H B = H A + S ∗ tan

ZB − Z A + t A − tB 2

H B = H A + 44745 .38 ∗ tan

96.5856 − 103.4518 + 4.50 − 5.00 2

H B = 2500 .00 − 256 .1525 − 0.50 = 2243 .347 m

H B = H A + S ⋅ (1 + Hm =

Z − ZA Hm ) ∗ tan B + t A − tB 2 R

H A + H B 2500.00 + 2243.347 = = 2371.674 m 2 2

H B = 2500.00 + 4745.38 ⋅ (1 +

96.5856 − 103.4518 2371.674 + 4.50 − 5.00 = ) ∗ tan 2 6373394

H B = 2500 .00 − 256 .248 − 0.50 = 2243 .25 m

83


2- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HA=2000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma (refraksiyon) katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır).

106g.1836 1.46

93g.8849

ZA 0.55

∆ZB

ZB

∆ZA

1.54 m

A

0.35 S=4785.34 m

B

i −t 1.46 − 055 ∆Z A = A A ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0121 S 4785 .34 i −t 1.54 − 0.35 ∆Z B = B B ⋅ ρ = ⋅ 63.6620 = 0 g .0158 S 4785.34

Z A = 106.1836 − ∆Z A = 106.1836 − 0.0121 = 106 g .1715 Z B = 96.5373 − ∆Z B = 93.8849 − 0.0158 = 93 g .8691

a) k = 1 −

R 106.1715 + 93.8691 − 200 6373394 0.0406 R Z A + Z B − 200 g ⋅ =1− ⋅ =1− ⋅ ρ S 63.6620 4785.34 63.6620 S

k = 1 − 0.849 = 0.15

b) H B = H A + S ∗ tan

ZB − Z A + t A − tB 2

93.8691 − 106.1715 + 0.55 − 0.35 2 H B = 2000.00 − 463.817 + 0.20 = 1536.38 m H B = H A + 4785.34 ∗ tan

H B = H A + S ⋅ (1 +

Hm =

Hm Z − ZA + t A − tB ) ∗ tan B R 2

H A + H B 2000.00 + 1536.38 = = 1768.19 m 2 2

H B = 2000 .00 + 4785.34 ⋅ (1 +

1768.19 93.8691 − 106.1715 ) ∗ tan + 0.55 − 0.35 6373394 2

H B = 2000 .00 − 463 .946 + 0.20 = 1536 .25 m

84


3- A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. HB=3000.00 m olduğuna göre; B noktasının yüksekliğini ve k kırılma katsayısını bulunuz (R=6373394 m alınacaktır). 108g.3685 1.60

91g.7007

0.45 A 1.50 m 0.65

S = 6666.66 m B

a) İşaret Tepesine İndirgenmiş Açılarla Çözüm

108g.3685 1.60

91g.7007

ZA 0.45

∆ZB

∆ZA

ZB 1.50 m

A

0.65 S=6666.66 m

B

iA − tA 1.60 − 0.45 ⋅ρ = ∗ 63.6620 = 0 g .0110 S 6666.66 i −t 1.50 − 0.65 ∆Z B = B B ⋅ ρ = ∗ 63.6620 = 0 g .0081 S 6666.66

∆Z A =

Z A = Z A' − ∆Z A = 108.3685 − 0.0110 = 108 g .3575 Z B = Z B' − ∆Z B = 91.7007 − 0.0081 = 91 g .6926 Z A − ZB 108.3575 − 91.6926 + t B − t A = 6666.66 ∗ tan + 0.65 − 0.45 2 2 H A − H B = 877.588 + 0.65 − 0.45 = 877.788 m

∆H BA = H A − H B = S ⋅ tan

H A = H B + 877 .788 = 3000 .00 + 877 .788 = 3877 .788 m Hm =

H A + H B 3877 .788 + 3000 .000 = = 3438 .89 m 2 2

Hm Z − ZB ) ⋅ tan A + tB − t A = R 2 3438.89 108.3575 − 91.6926 ) ∗ tan + 0.65 − 0.45 = 878.062 + 0.20 H A − H B = 6666.66 ∗ (1 + 2 6373394

H A − H B = S ⋅ (1 +

H A − H B = 878.262 m

→ H A = H B + 878.262 = 3000.000 + 878.262 = 3878.26 m

H A = 3878.26 m 85


k =1 −

R Z A + Z B − 200 g R 108.3575 + 91.6926 − 200 6373394 0.0501 ⋅ =1 − ⋅ =1 − ⋅ S ρ S 63.6620 6666 .66 63.6620

k = 1 − 0.75235 = 0.24765 ≅ 0.248 b) Zemin Noktasına İndirgenmiş Açılarla Çözüm a=1.50-0.45=1.05 108g.3685 1.60

0.45

ZA

∆ZA

91g.7007

b=1.60-0.65=0.95

∆ZB

A

1.50 m

ZB

0.65

S = 6666.66 m B

∆Z A =

i A − tB 0.95 b 1.60 − 0.65 ⋅ρ = ⋅ρ = ⋅ 63.6620 = ⋅ 63.6620 = 0 g .0091 6666 .66 S S 6666 .66

∆Z B =

iB − tA a 1.50 − 0.45 1.05 ⋅ρ = ⋅ρ = ⋅ 63.6620 = ⋅ 63.6620 = 0 g .0100 S S 6666 .66 6666 .66

b 0.95 ⋅ sin 2 Z A′ = ⋅ sin 2 108.3685 = 0.0001400519 398 → ∆Z A = 0 g .0089 S 6666.66 a 1.05 Sin ∆Z B = ⋅ sin 2 Z B′ = ⋅ sin 2 91.7007 = 0.0001548385 624 → ∆Z B = 0 g .0099 S 6666.66 Z A = Z A′ − ∆Z A = 108.3685 − 0.0089 = 108 g .3596

Sin ∆Z A =

Z B = Z B′ − ∆Z B = 91.7007 − 0.0099 = 91 g .6908 ∆H BA = H A − H B = S ⋅ tan

Z A − ZB 108.3596 − 91.6908 = 6666 .66 ∗ tan = 877.796 m 2 2

H A = H B + 877.796 = 3000.00 + 877.796 = 3877.796 m Hm =

H A + H B 3877.796 + 3000.000 = = 3438.90 m 2 2

H A − H B = S ⋅ (1 +

Hm Z − ZB 3438 .90 108.3596 − 91.6908 ) ⋅ tan A = 6666 .66 ∗ (1 + ) ∗ tan R 2 6373394 2

H A − H B = 878.270 m k =1 −

→ H A = H B + 878.270 = 3000.000 + 878.270 = 3878.27 m

R Z A + Z B − 200 g R 108.3596 + 91.6908 − 200 6373394 0.0504 ⋅ =1 − ⋅ =1 − ⋅ S ρ S 63.6620 6666.66 63.6620

k = 1 − 0.7569 = 0.2431 ≅ 0.243

86


Elektronik Takeometrelerle Yapılan Karşılıklı Gözlemlerle Trigonometrik Yükseklik Ölçümü

Aralarındaki yükseklik farkı belirlenecek iki noktada da, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üzerine reflektör yerleştirilmiş birer elektronik takeometre (total station) olmalıdır. Bu iki noktada eş zamanlı karşılıklı gözlemlerle düşey açı ve eğik uzunluklar ölçülürse, iki nokta arasındaki yükseklik farkı hesaplanabilir. Elektronik takeometrenin yatay ekseni ile üzerindeki reflektör arasındaki a mesafesinin her alet için, bir kez incelikli olarak ölçülmesi yeterlidir. Daha sonra ölçüm anında yalnızca elektronik takeometrelerin yatay ekseninin zemindeki noktadan olan mesafesinin ölçülmesi yeterli olur. Düşey açı ölçümünde, yatay gözlem çizgisinin hedef levhasındaki > < işaretlerinin ortasına tatbik edilmesi yerinde olur. ZAB a

Z’AB

tA

∆ZB

L

ZBA a

∆ZA

DAB

DBA

iA

Z’BA

a

tB

iB

A S

B

Tanjant Teoremine Göre Çözüm:

Yukarıdaki şekil ve notasyonlara göre tanjant teoreminden, ∆Z A + ( 200 g − Z 'AB − ∆Z A ) 200 g − Z 'AB tan a + D AB 2 2 = = g ' a − D AB ∆Z A − ( 200 − Z AB − ∆Z A ) 2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB tan tan 2 2 tan

2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB a − D AB 200 g − Z 'AB tan = ⋅ tan 2 a + D AB 2

⎛ a − D AB 2 ∆Z A − 200 g + Z 'AB 200 g − Z 'AB = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 ⎝ a + D AB

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ a − D AB 2 ∆Z A 200 g − Z 'AB 200 g − Z 'AB − = atn ⎜⎜ ⋅ tan 2 2 2 ⎝ a + D AB

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

87


⎛ a − D AB 200 g − Z 'AB ⋅ tan ∆Z A = atn⎜⎜ 2 ⎝ a + D AB

⎞ 200 g − Z 'AB ⎟+ ⎟ 2 ⎠

Benzer şekilde ' ⎛ a − DBA 200 g − Z BA ⋅ tan ∆Z B = atn ⎜⎜ 2 ⎝ a + DBA

' ⎞ 200 g − Z BA ⎟+ ⎟ 2 ⎠

yazılır. Z AB = Z 'AB + ∆Z A ' Z BA = Z BA + ∆Z B

L AB sin Z 'AB

=

D AB sin Z AB

→ L AB = D AB ⋅

⎫ ⎪ ⎪ L AB + LBA ⎬ L= 2 ⎪ ⎪ ⎭

sinZ 'AB sinZ AB

' sinZ BA DBA = → LBA = DBA ⋅ ' sinZ BA sin Z BA sin Z BA L ∆H AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2

LBA

Kosinüs Teoremine Göre Çözüm Bu çözüm yolunda düşey açının 100 grad civarında olması durumunda, a kenarının çok kısa olması nedeniyle ölçülerin formüllerde yerine konmasıyla anlamsız sonuçlara ulaşılabilmektedir. Bu nedenle düşey açının 100g civarında olduğu durumlarda tanjant formüllerine göre çözüm yapılması daha doğru olacaktır.

∆H AB = H B − H A =

1 S ⋅ (cot Z AB − cot Z BA ) + t A − t B 2

Yatay uzunluğa göre

∆H AB = H B − H A =

1 L ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2

Eğik uzunluğa göre

⎫ L AB + LBA ⎪ ⎬ L= 2 ⎪ ⎭

2 − 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z 'AB L AB = a 2 + D AB 2 ' − 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA LBA = a 2 + DBA

Sinüs teoremine göre, sin Z AB sin Z 'AB = D AB L

→ sinZ AB =

D AB ⋅ sin Z 'AB L

D Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z 'AB ) L DBA ' Z BA = arcsin( ⋅ sin Z BA ) L ∆H AB =

L (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B 2 88


Örnek: A ve B noktaları arasında karşılıklı gözlem yapılıyor. Aşağıdaki verilere göre B noktasının yüksekliğini bulunuz. ' Z AB = 103 g .9388

D AB = 57.450 m

t A = 1.80 m

a = 0.22 m

' Z BA = 95 g .5718

DBA = 57.475 m

t B = 1.81 m

∆H AB = ?

a) Tanjant teoremine göre çözüm:

⎛ a − D AB 200 g − Z 'AB ⎜ ⋅ tan ∆Z A = atn⎜ 2 ⎝ a + D AB

⎞ 200 g − Z 'AB ⎟+ ⎟ 2 ⎠

200 g − 103.9388 ⎞ 200 g − 103.9388 ⎛ 0.22 − 57.450 ⎟⎟ + ⋅ tan = 0 g .24326 2 2 ⎝ 0.22 + 57.450 ⎠

∆Z A = atn⎜

200 g − 95.5718 ⎞ 200 g − 95.5718 ⎛ 0.22 − 57.475 ⎟⎟ + ⋅ tan ∆Z B = atn⎜ = 0 g .24316 2 2 ⎝ 0.22 + 57.475 ⎠ ' Z AB = Z AB + ∆Z A = 103.9388 + 0.24326 = 104 g .18241 ' Z BA = Z BA + ∆Z B = 95.5718 + 0.24316 = 95 g .81496

⎫ sinZ 'AB sin103.938 8 = 57.450 ⋅ = 57.464 m ⎪ sinZ AB sin104.182 41 57.464 + 57.460 ⎪ = 57.462 m ⎬ L= ' 2 sinZ BA sin 95.5718 ⎪ LBA = DBA ⋅ = 57.475 ⋅ = 57.460 m ⎪ sinZ BA sin 95.81496 ⎭ L 57.462 ∆H AB = ⋅ (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B = ⋅ (cos104 .18241 − cos 95.81496 ) + 1.80 − 1.81 2 2 ∆H AB = −3.783 m L AB = D AB ⋅

b) Kosinüs teoremine göre çözüm: ' 2 − 2 ⋅ a ⋅ D AB ⋅ cos Z AB = 0.22 2 + 57.450 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.450 ∗ cos103.9388 LAB = a 2 + D AB

LAB = 57.464 m ' 2 LBA = a 2 + DBA − 2 ⋅ a ⋅ DBA ⋅ cos Z BA = 0.22 2 + 57.475 2 − 2 ∗ 0.22 ∗ 57.475 ∗ cos 95.5718

LBA = 57.460 m L AB + LBA 57.464 + 57.460 = = 57.462 m 2 2 D 57.450 ' ) = arcsin( Z AB = arcsin( AB ⋅ sin Z AB ⋅ sin103.9388 ) = 104 g .1491 L 57.462 D 57.475 ' Z BA = arcsin( BA ⋅ sin Z BA ) = arcsin( = sin 95.5718 ) = 95 g .7823 L 57.462 L 57.462 ∆H AB = (cos Z AB − cos Z BA ) + t A − t B = ⋅ (cos104 .1491 − cos 95.7823 ) + 1.80 − 1.81 = 2 2 ∆H AB = −3.783 m

L=

89

3 Bölüm - TRİGONOMETRİK NİVELMAN

Recommend Documents