TEMA 2.4. DIELÉCTRICOS EN CAMPOS ELÉCTRICOS. En secciones anteriores, encontramos que la diferencia de potencial entre las placas de un capacitor se reduce por el factor
k cuando
se introduce un dieléctrico o
aislante. Puesto que la diferencia de potencial entre las placas es igual al producto del campo eléctrico y la separación d , V el factor k ,
=
Ed
, el campo eléctrico se reduce también por
Así, si Eo es el campo eléctrico sin el dieléctrico, el campo eléctrico en
presencia del dieléctrico dieléctrico es:
E
Eo =
k
Esta relación puede comprenderse advirtiendo que es posible que un dieléctrico esté polarizado. A escala atómica, en un material polarizado, las cargas positiva y negativa están separadas ligeramente. Si las moléculas del dieléctrico poseen momentos de dipolo eléctrico (momento bipolar), permanentes en ausencia de un campo eléctrico, se denominan moléculas polares (el agua y el alcohol por ejemplo). Los dipolos se orientan aleatoriamente en ausencia de campo eléctrico. Cuando se aplica un campo eléctrico externo Eo, se ejerce un momento de torsión sobre los dipolos, lo que origina grado de alinea alineamie miento nto que estos estos estén estén parcia parcialme lmente nte alinea alineados dos con con el campo campo.. El grado depende de la temperatura y de la magnitud del campo aplicado . En general, el alineamiento aumenta con la reducción de la temperatura y con el aumento de la intensi intensidad dad del campo campo eléctric eléctrico o.
Los dipolo dipoloss alinea alineados dos parcia parcialme lmente nte produc producen en un
camp campoo eléc eléctr tric icoo inte intern rnoo que que se opon oponee al camp campoo exte extern rno, o, caus causan ando do por por ello ello una una reducción en el campo neto dentro del dieléctrico. Si las moléculas del dieléctrico no poseen un momento de dipolo permanente se les conoce como moléculas no polares. En este caso, un campo eléctrico externo produce cierta separación separación de carga y un momento de dipolo dipolo inducido. Dichos momentos momentos de dipolo inducidos tienden a alinearse con el campo externo, lo que produce una reducción en el campo eléctrico interno. A partir de estas ideas, considere una placa de materi material al dieléc dieléctric tricoo en un campo campo eléctr eléctrico ico uniform uniformee Eo como se ve en la figura siguiente:
Eo -
+
-
- + + +
-
a)
Eo
- σi +
-
Ei
-
+ + + +
σi
b)
a) Cuando se polariza un dieléctrico, los momentos de dipolo moleculares en el se alinean parcialmente con el campo externo Eo. b) Esta polarización produce una carga superficial negativa inducida en un lado del dieléctrico y una carga superficial positiva igual en el lado opuesto. Esto origina una reducción en el campo eléctrico dentro del dieléctrico.
El campo eléctrico externo en el capacitor está dirigido hacia la derecha y ejerce fuerzas sobre las moléculas del material dieléctrico. Bajo la influencia de estas fuerzas, los electrones en el dieléctrico se mueven desde sus posiciones de equilibrio hacia la izquierda. Por lo tanto, el campo eléctrico aplicado polariza el dieléctrico. El efecto neto en el dieléctrico es la formación de una densidad de carga superficial positiva “inducida” σ i sobre la cara derecha y una densidad de carga superficial negativa igual sobre la cara izquierda, como en el inciso b de la figura anterior. Estas cargas superficiales inducidas en el dieléctrico producen el aumento hasta un campo eléctrico interno inducido Ei que se opone al campo externo Eo. Por consiguiente, el campo eléctrico neto E en el dieléctrico tiene una magnitud dada por: E = Eo-Ei .
En un capacitor de placas paralelas, el campo eléctrico externo Eo, se relaciona con la densidad de carga libre σ sobre las placas por medio de la relación: Eo = σ/εo. El
campo eléctrico inducido en el dieléctrico se relaciona con la densidad de
carga inducida σ i, por m medio de la relación Ei = σ i/ εo.
ENERGÍA ASOCIADA A UN CAPACITOR
Considere un capacitor que estaba descargado inicialmente. Cuando una fuente de diferencia de potencial se conecta al capacitor, la diferencia de potencial entre las placas se incrementa en la medida que se transfiere carga. A medida que se acumula más y más carga en el capacitor, se vuelve cada vez más difícil transferir carga adicional. Supongamos ahora que se representa como Q la carga total transferida y la diferencia de potencial final como V. La diferencia de potencial promedio a través de la cual se mueve la carga se expresa de este modo:
V promedio = V final + V inicial = V + 0 = ½ V 2
2
Puesto que la carga total transferida es Q, el trabajo total realizado en contra de las fuerzas eléctricas es igual al producto de Q por la diferencia de potencial promedio (V promedio). Por lo tanto: Trabajo = Q (1/2 V) = 1/2QV. Este trabajo es equivalente a la energía potencial electrostática de un capacitor cargado. Si partimos de la definición de la capacitancia (Q = CV), esta energía potencial se puede expresar con las siguientes ecuaciones: EP = 1/2QV. EP = 1/2CV2. EP = Q2. 2C
Cuando la capacitancia se expresa en farads, el voltaje en volts y la carga Q en coulombs, la energía potencial estará expresada en joules. Las ecuaciones anteriores se aplican por igual a todos los capacitores, independientemente de cómo estén construidos. CALCULO DE LA ENERGIA ASOCIADA A UN CAPACITOR. 1.- ¿Cuánta energía potencial se encuentra almacenada en el campo eléctrico de un capacitor de 200 μF cuando éste se carga con un voltaje de 2400 V? Datos Fórmula EP = 1/2QV. EP = ? -6 C = 200 x 10 F. V = 2400 V. Sustitución y resultado: EP = 0.5 x 200 x 10 -6 F. x 2400 V = 576 Joules.
2.- ¿Cuánto trabajo se requiere para cargar un capacitor hasta una diferencia de potencial de 30000 Volts si hay 800 μF en cada placa? Datos Fórmula EP = 1/2CV2. EP = ? V = 30000 V C = 800 x 10-6 F. Sustitución y resultado: EP = 0.5 x 800 x 10 -6 F. x (30000 V)2. = 12 Joules. 3.- ¿Cuál es la energía almacenada en un capacitor de 25 μF, cuando la carga en cada una de sus placas es de 2400 μC? ¿Cuál es el voltaje a través de cada capacitor? Datos Fórmula EP = ? EP = Q2. C = 25 x 10 -6 F. 2C -6 Q = 2400 x 10 C. V=? Sustitución y resultado: EP = (2400 x 10-6 C.) 2. = 0.1152 Joules 2 x 25 x 10-6 F. V = Q/C = 2400 x 10 -6 C = 96 volts. 25 x 10-6 F.
