ESTUDIO DE CAMPOS ELÉCTRICOS BIDIMENSIONALES OBJETIVOS: a) Estudiar las características (potencial, vector campo, líneas equipotenciales, líneas de fuerza o campo) del campo eléctrico en una lámina conductora plana conectada a los bornes de un generador. b) Establecer una analogía entre los campos creados en la lámina conductora plana y los campos tridimensionales creados por cargas eléctricas en el vacío.
FUNDAMENTO TEÓRICO Al colocar dos electrodos sobre una lámina plana conductora y establecer entre ellos una d.d.p. constante, se producen movimientos de cargas eléctricas entre los electrodos, es decir, se crean corrientes eléctricas estacionarias en la lámina. Por tanto, podemos decir que hemos creado en la lámina un campo eléctrico estacionario que es el responsable del movimiento de las cargas eléctricas. Este movimiento es bidimensional ya que tiene lugar en una lámina plana, de lo que se deduce que también el campo eléctrico debe ser bidimensional.
MATERIAL: Fuente de alimentación de c.c., voltímetro digital, papel conductor "Teledeltos", plataforma con dos electrodos, papel de calco y cables de conexión.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Disponga la fuente de alimentación, el voltímetro y la plataforma con los dos electrodos A y B según se indica en la Fig. 1. Sobre la plataforma hay, por este orden: una hoja de papel sobre la que quedarán marcados los puntos, sobre ella un papel de calco y finalmente el papel conductor Teledeltos. Una vez conectada la fuente de alimentación, haga contacto con la sonda del voltímetro en el electrodo B y modifique la salida de tensión de la fuente hasta que el voltímetro indique una d.d.p. entre A y B de 5 voltios. Esta diferencia de potencial entre electrodos debe mantenerse constante mientras se realiza la práctica por lo que es conveniente comprobar de vez en cuando con el voltímetro, que dicha d.d.p. mantiene su valor. Si fuera necesario, el mando de tensión de la fuente de alimentación permitirá ajustar de nuevo a los 5 voltios iniciales.
I.- Trazado de las líneas equipotenciales Con la sonda libre del voltímetro busque sobre el papel conductor un punto cuya d.d.p. con respecto al electrodo A sea de 0,5 voltios. Para ello sólo se precisa inicialmente hacer un contacto suave entre sonda y papel; una vez encontrado el punto, se presiona con la sonda para marcar la huella en la hoja de resultados. A partir de este primer punto busque, hacia arriba y hacia abajo, otros puntos (ocho o diez) cuya d.d.p. respecto a A sea también 0,5 voltios. Si los puntos están convenientemente distribuidos sobre el papel, serán suficientes para trazar posteriormente su correspondiente línea equipotencial. Repitiendo el mismo procedimiento, obtenga los puntos de las líneas equipotenciales correspondientes a: 1,0; 1,5; 2,0; ... 4,0 y 4,5 voltios respecto del electrodo A. Si tomamos como origen de potencial (V = 0) el correspondiente a la línea equipotencial central así obtenida, los potenciales V de las demás líneas tomarán los valores indicados en la Fig.2:
Vmedido(V) V (V)
0,5 0,5
1,0 1,0
... ...
... ...
2,5 2,5
... ...
... ...
4,0 4,0
4,5 4,5
- 2,0
- 1,5
...
...
0
...
...
1,5
2,0
Este cambio no afecta al fenómeno físico pues la d.d.p. entre A y B es la misma, sin embargo nos será útil cuando estudiemos el apartado IV. 37
Desconecte el circuito y desmonte, solicitando la ayuda del profesor , el dispositivo para extraer la hoja de resultados. Sobre los puntos en ella marcados dibuje con lápiz las citadas líneas, para lo cual, si lo desea, puede utilizar las plantillas que le suministrarán.
II - Trazado de las líneas de campo Las líneas de campo son, en todos sus puntos , perpendiculares a las líneas equipotenciales. Para trazar, de forma aproximada, una línea de campo dibuje la perpendicular a la equipotencial 0 en un punto C ( Fig.2) hasta cortar en N la equipotencial + 0,5; por el punto medio I de CN trace la perpendicular a la ′ ′ trace la equipotencial + 0,5 hasta llegar a N´ en la equipotencial + 1,0; por el punto medio I´ de C N perpendicular a la equipotencial + 1,0 , y así sucesivamente. Si la separación entre las líneas equipotenciales fuera muy 0V 0,5 V -0,5 V (∆V → 0) , pequeña la
-1 V
C
N I
1V
N I
sucesión
de
segmentos
N’
C I, I I′ , I′ I′′ ,... determinarían
C’
C’’
I’’
I’’
la línea de campo buscada. En nuestro caso, se puede dibujar (de forma aproximada) la línea de campo como la curva tangente a los segmentos anteriores, y que une el electrodo A con el B . Aplicando este método, trace varias líneas de campo, sin olvidar indicar su sentido .
N’
I’ C’
C’
I’
N’’
N’’ N’ 1,5 V
-1,5 V -2 V
2V
P
∆n
III - Cálculo del vector campo eléctrico
P’
El valor del vector campo eléctrico en un punto viene
Fig.2
dado por:
E = − grad V .
La dirección de este vector es perpendicular a la línea equipotencial que pasa por el punto considerado y por tanto tangente a la línea de campo que pasa por ese punto. Su sentido es hacia zonas decrecientes del potencial y su módulo viene dado por la expresión:
E=
dV dn
(1)
donde dn es un segmento infinitesimal de la normal a la línea equipotencial que pasa por el punto considerado. La forma práctica de aplicar la expresión (1) es la siguiente: se elige un punto P cualquiera sobre una línea equipotencial, se traza la normal a ella, se toma el segmento de normal PP′ = ∆n comprendido entre dos líneas equipotenciales consecutivas, y aplicando la expresión (1) se obtiene:
E=
38
∆V ∆n
(2)
En realidad, el valor de E así obtenido no representa el módulo del vector E en un punto P, sino el valor
medio del módulo de E en el intervalo PP′ . Si se hubieran dibujado más líneas equipotenciales, el segmento PP ′ sería menor y el error cometido al tomar el resultado de la expresión (2) como el módulo del campo en el punto P sería menor. Para realizar los apartados que vienen a continuación, llamaremos eje OX a la línea que une entre sí los electrodos A y B, y eje OY a la línea perpendicular al eje OX por el punto medio del segmento AB (y que deberá coincidir con la curva equipotencial de 0 voltios):
a) Calcule el valor de E en todos los puntos de corte de las líneas equipotenciales con el eje X.
b) Calcule el valor de E para varios puntos del ejeY, por ejemplo a 1, 2, 3, 4 cm y -1, -2, -3 y -4cm
b) Represente gráficamente las funciones: E = f (x), E = f (y), utilizando los resultados anteriores. Sobre el diagrama obtenido (curvas equipotenciales, líneas de campo) se puede comprobar cualitativamente que el módulo del vector campo eléctrico es mayor en las zonas donde la distancia entre las líneas de campo es menor, o lo que es lo mismo, donde las líneas equipotenciales están más agrupadas.
IV - Analogía entre el campo eléctrico en una lámina plana conductora y los campos tridimensionales creados por distribuciones de cargas eléctricas en el vacío El hecho de que el campo creado en el vacío por distribuciones cilíndricas de carga sea también bidimensional nos permite suponer que el campo de potenciales creado en nuestra lámina conductora por dos electrodos cilíndricos es análogo al creado por distribuciones tridimensionales. En efecto, sabemos que el módulo del campo eléctrico creado por un conductor cilíndrico de radio R y densidad lineal de carga , en un punto cualquiera exterior al mismo, viene dado por:
E=
λ
R
r P
(3)
2π ⋅ ε 0 ⋅ r
Fig. 3 donde r es la distancia del punto P considerado al eje del cilindro. Recordando que
dV
= − E ⋅ d r , e integrando esta expresión teniendo en cuenta la ec.(3), se obtiene:
V = VR -
λ
2π ⋅ ε 0
ln
r R
(4)
donde VR es el potencial del conductor cilíndrico. Como dijimos en el apartado I, cualquier punto sobre la mediatriz de la recta que une a los electrodos tiene potencial nulo, de manera que si llamamos b a la distancia entre los electrodos, V = 0 para r = b/2 y por lo tanto:
VR =
λ
2π ⋅ ε 0
ln
b 2R
con ello la expresión (4) toma la forma:
V=
λ
2π ⋅ ε 0 39
ln
b 2r
(5)
Si en lugar de un conductor cilíndrico tenemos dos ( Fig.4), ambos de igual radio R y densidad lineal de carga λ pero de signo opuesto, el potencial creado en un punto P cualquiera del espacio será la suma algebraica de los potenciales creados por cada uno de los cilindros:
V=
λ
2π ⋅ ε 0
ln (r 2 /r 1 )
(6)
Fig. 4
Haciendo una serie de consideraciones teóricas, puede hallarse que: λ
2,5
=
2π ⋅ ε 0
ln b / R
y la ecuación (6) se expresa finalmente como:
V=
2,5
ln (r 2 /r 1 ) ln b / R
(7)
que indica una relación lineal entre V y ln (r 2 /r 1 ) . Podemos ahora comprobar si el campo de potenciales dado por la expresión (7) es análogo al campo de potenciales creado por los dos electrodos en nuestra V (V) r 2 (m) r 1 (m) ln (r 2/r 1) lámina conductora. Para ello, se toma un punto sobre -2,00 cada línea equipotencial, se anota su potencial V y se -1,50 miden sobre la hoja las distancias r 1 y r 2 (observe que -1,00 r 2 es la distancia desde el punto escogido hasta el -0,50 electrodo negativo y r 1 la distancia al positivo). Con 0,00 los valores obtenidos se forma la tabla siguiente y a 0,50 continuación se representa V frente a ln(r 2/r 1). Si 1,00 ambos campos de potenciales son equivalentes, la 1,50 pendiente obtenida mediante el ajuste por mínimos 2,00 cuadrados de los datos anteriores, debe corresponderse con el cociente:
2,5 ln (b/R)
DATOS: R = 0,588 + 0,003 cm b = 10,0 + 0,1 cm NOTA: TODAS LAS MAGNITUDES DEBEN IR ACOMPAÑADAS DEL CORRESPONDIENTE ERROR ABSOLUTO
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