Ejemplos de Campos Eléctricos Estáticos Nota: Ejemplo del capítulo 3 Campos Eléctricos Estáticos, autor: David Cheng 1.- Determinar la intensidad de campo eléctrico en P(-0.2, 0, -2.3) debida a una carga puntal de +5 (nC) en Q(0.2, 0.1, 2.5) en el aire. Todas las direcciones esta en metros. Solución: Ep =
Ep
El vector de posición del punto campo P es: R = El vector de posición del punto campo Q es: La diferencia es R |R-
=
0.4 -
0.1 -
=
=
=
0.2 +
= 0.428 (m)
)
Ep = 214.5 ( Donde
0.2 -
0.2
Al sustituir en la ecuación Ep = Ep = (9 x
=
=(
( 0.873 0.873
0.4
obtenemos 0.1 +
0.218 + 0.218 +
Y la magnitud del campo es 214.5 (V/m)
0.2) 0.437) (V/m)
0.437)
2.3 0.1 -
2.5
2.- Determine la intensidad de campo eléctrico de una carga recta, infinitamente larga, con densidad uniforme aire
, en el
Solución: Supongamos que la línea de carga se encuentra sobre el eje , como se ilustra en la figura. Podemos efectuar esta suposición porque el campo no depende de cómo designe la línea. Se utilizara con prima ( ) para los puntos fuertes y sin para los puntos campo. Trabajaremos con coordenadas cilimdricas
Usando la ecuación E = lineal dl = d
(V/m), en este ejemplo
de manera que este a una distancia arbitraria
hasta el punto campo. R =
r-
es dE = Donde d
=
E=
=
del origen. R es el vector distancia que va desde la fuente
. El campo eléctrico dE producido por el elemento diferencial de carga donde dE =
yd
es constante, y se elige un elemento
=
=
d
+
d
la componente
(V/m)
se cancela en el proceso de integración
=
3.- Utilizar la Ley de Gauss para Determinar la intensidad de campo eléctrico de una línea carga recta, infinitamente larga, con densidad uniforme , en el aire. Aprovechemos la simetría radial, construimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r longitud arbitraria L, con la línea de carga como eje, como se muestra en la figura, es constante en esta superficie y ds = rd dz
=
=
rL
No hay contribución de las caras superior e inferior del cilindro ds = tiene componente en z, de manera que E · ds = 0
Lo mismo sucede con la cara inferior. La carga encerada en el cilindro es Q =
= rL dE =
= (V/m)
L
rd d , pero E no
4.- Determinar la intensidad de campo eléctrico de un plano de carga infinito con densidad superficial de carga uniforme
. Solución: Usando el teorema de gauss, seleccionemos como superficie gaussiana una caja rectangular, con cara superior e inferior de áreas arbitraria A equidistantes del plano de carga, como se muestra en la figura. Los lados de la caja son perpendiculares a la lámina cargada. Si la lamina cargada coincide con el plano xy, tenemos entonces en la cara superior E · ds = (
)·
)=
En la cara inferior E · ds = (
)·
)=
Puesto que no hay contribución de las caras laterales, tenemos
=
2
=2
A
La carga total encerada por la caja es Q = 2
A por lo tanto
A=
De donde obtenemos E=
=
Z
0
Y E=
=
Z
0
La lamina cargada no siempre coincide con el plano xy (así que no siempre se usa los términos arriba y abajo del plano), pero el campo E siempre apunta alejándose de la lámina si
es positiva.
5.- Determinar el campo E producido por una nube esférica de electrones con densidad volumétrica de carga para 0
R
b (tanto
como b son positivos) y
= 0 para R
b
Primero identifiquemos que la condición dada por la fuente tiene simetría esférica. Por lo tanto, las superficies gaussiana apropiada deben ser superficies esféricas concéntricas. Se tiene que hallar E en dos regiones como se muestra en la figura. Región 1: 0
R
b
Se construye una superficie gaussiana esférica hipotética con R b dentro de la nube de electrones. Sobre esta superficie, E es radial y tiene magnitud constante.
E=
, ds =
=
Donde el flujo total de salida E es
=
4
La carga total encerrada por la superficie gaussiana es Q = Al sustituir en la ecuación
=
y resolviendo nos queda
=
=
=
E=-
0
R
b
Vemos que este resultado demuestra que dentro de la nube de electrones uniforme, el campo E, esta dirigido hacia el centro y tiene una magnitud proporcional a la distancia al centro
Región 2: R
b
Para este caso construiremos una superficie gaussiana esférica Obtenemos la misma expresión de
=
=
4
con R
b fuera de la nueve de electrones .
que en el caso de la región 1. La carga total es
Q= Por consiguiente E=-
para
R
b
Observe que esta relación sigue la ley del inverso del cuadrado y pudo haberse obtenido de la ecuación de intensidad de campo eléctrico de una carga puntual aislada situada en el origen. Este resultado generalmente es válido para cualquier región cargada esféricamente simétrica, incluso si
es función de R.
6.- En la figura se muestra un dipolo eléctrico que consiste en dos cargas puntuales iguales y opuestas +q y –q, separadas una pequeña distancia d. Determine el potencial V y la intensidad eléctrica E en un punto arbitrario P a una distancia R d del dipolo
Sea R+ y R- las distancias de las cargas +q y –q al punto campo P, respectivamente. El en P puede obtenerse directamente de la ecuación
V= V=
(
Si d
R
R+
(R-
(v) -
)
)
y
R-
(R+
)
se sustituye en la ecuación
V=
-
(
) =
(
)
Con ello podemos determinar el potencial electrostático a partir del momento dipolar eléctrico Donde p = qd V= El campo E puede obtenerse de E=-
=-
--
=
. En coordenadas esféricas
(
+
7.- Obtenga una fórmula para la intensidad del campo eléctrico en el eje de un disco circular de radio b que tiene una densidad superficial de carga uniforme Solución: Aunque el disco tiene simetría circular, no podemos visualizar una superficie a su alrededor en la cual la componente normal de E tenga magnitud constante, por consiguiente, la ley de Gauss no sirve para resolver este problema. En su lugar usaremos la ecuación y trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Ver figura V =
recuerde que es una integral doble ´=
yR=
El potencial eléctrico en el punto P(0,0,z) con un respecto al potencial en un punto en el infinito es
d d
V =
=
(
-
) donde el
signo absoluto alrededor de z describe el hecho de que V es lo mismo si z es positivo (un punto por encima del disco o negativo (un punto debajo del disco).Por consiguiente. E=-
E= E=
=-
1-z [1+z
donde
] para z ] para z
0 0
8.- Una carga puntual positiva Q esta en el punto de una caga conductora esférica con radio interior . Determine E y V como funciones de la distancia radial R.
y radio exterior
La geometría del problema se muestra en la figura. Puesto que hay simetría esférica, lo más sencillo es usar la ley de gauss para determinar E y luego hallar V por integración. Hay tres regiones distintas a) R , b) , c) R . Construiremos superficies Gaussianas esféricas apropiadas en estas regiones. Por simetría se requiere que E = en las tres regiones.
Solución: a) R >
, superficie Gaussiana
=
4
=
=
El campo E es el mismo que el de una carga puntual Q sin la presencia de la capa. El potencial con respecto al infinito es =
dr =
b) R (superficie gaussiana ): A partir de que el campo eléctrico dentro de un conductor en condiciones estáticas es igual a cero = 0, puesto que = 0 en la capa conductora y dado que la carga total encerrada por la superficie debe ser cero, se habrá inducido una cantidad de carga negativa igual a – Q en la superficie interior de la
capa, en R = carga, en R = =
(Esto significa que se induce una cantidad de carga positiva igual a + Q en la superficie exterior de la ). La capa conductora de un cuerpo equipotencial. Por lo tanto, =
c) R
(superficie gaussiana
); Al aplicar la ley de Gauss se obtiene la misma fórmula para
que la de
= El potencial en la región es en R =
(
K= Y
, sea igual que
=
=-
dR + K =
+ k , donde la constante de integración K se determina que
. Tenemos que
- ) (
- )
Las variaciones de
y V con respecto a R en las tres regiones están representada gráficamente en la figura. Observe que la intensidad eléctrica tiene saltos discontinuos, pero el potencial no pierde continuidad. Podemos concluir que el potencial es continuo a través de las fronteras y un salto discontinuo del potencial indicaría que el campo magnético es infinito
9.- Se introduce perpendicularmente una lámina de Lucita ( espacio libre. Determinar , , y dentro de la Lucita
= 3,2 ) en un campo eléctrico uniforme
=
en el
Solución: Supongamos que la introducción de la lámina de Lucita no perturba el Campo Eléctrico uniforme original , como se muestra en la figura. Puesto que las superficies de separación son perpendiculares al campo eléctrico, solo tenemos que considerar las componentes de campo normal . No hay libre. La condición de frontera para la superficie de separación izquierda nos indica =
=
=
,
No hay cambio en la densidad de flujo eléctrico a través de la superficie de separación
La intensidad de campo eléctrico en la lámina de Lucita
=
=
=
Por consiguiente, el efecto de la lámina de Lucita es reducir la intensidad eléctrica. El vector de polarización es cero fuera de la lámina de Lucita
= 0, dentro de la lámina es
=
-
=
( 1-
)
=
( 0,687)
(C/
)
10.- Dos medios dieléctricos con permitividades y están separado por una frontera libre de cargas, como se muestra en la figura. La intensidad de campo eléctrico en el punto del medio 1 tiene magnitud y forma un ángulo con la normal. Determine la magnitud y la dirección de la intensidad de campo eléctrico en el punto en el medio 2 Solución: Se requiere de dos ecuaciones para resolver las dos incógnitas =
se obtiene la ecuación
De la teoría y la figura
Y
= =
Al dividir (1) entre (2) se obtiene
La magnitud de = =
es =
y (1) (2)
=
