Dielectricos

DIELETRICOS 1. La fgura muest muestra ra un capacitor capacitor que esta esta hecho hecho de dos cilindros cilindros conductores coaxiales de radios a  c  longitud L! siendo a"c""L. La regi#n entre los radios a  $ esta ocupada por un diel%ctrico de constante & 1 mientras que la regi#n entre los radios $  c la ocupa otro de constante & '. Suponga que en el conductor cil(ndrico interno se coloca una carga uni)ormemente uni)ormemente distri$uida con una densidad longitudinal de carga *.

a+ Determin Determine e los campos campos el%ctricos el%ctricos E1  E' esta$le esta$lecidos cidos en cada cada uno de los dos diel%ctricos! en )unci#n de la distancia radial , al e-e de simetr(a. $+ Determin Determine e la di)erencia di)erencia de potencial potencial entre entre los dos cilindros cilindros conductores. c+ all alle e la capa capaci cita tanc ncia ia.. d+ alle la energ energ(a (a almacenada almacenada en en el condensa condensador dor.. Solución:

& 1

a+ Calculo a"r"$ ! r/, 0or le de gauss para diel%ctricos  D ( 2πρL ) = λ L

ur

 D =

λ  2 r  2π ρ

de D para tenemos

 E 1 =

 D

κε 0

Sa$emos que Reempla3ando el 4ector D o$tenemos 2 2 uu r uur λ r  λ r   E 1 =  E 2 = 2πρ K 1ε 0 2π  pε 0 k 2 5n6logamente hallamos vab = − Ed r 

∫ 

$+ vab

=

−λ 

a

dr 

−λ 

π k ε  ∫  r 

2

ln ( r )

2π k 1ε 0

1 0 b

b a

/ vab =

λ  ln ( b 7  a ) 2π k 1ε 0

vbc

−λ 

b

dr 

−λ 

π k ε  ∫  r 

=

2

2π k 2ε 0

2 0 c

ln ( r )

c b

 /



vbc

λ  2π k 2ε 0

=

λ  2π k 1ε 0

ln ( c 7 

λ 

ln ( b 7  a )

8a 9 8c /

b)

ln ( c 7  b )

2π k 2ε 0

 : ln ( b 7  a )

λ  2πε 0

8a 9 8c /

k1

( )

ln C  b + k 2

;

+ λ  L C  =

c+ La capacitancia se defne 2πε 0 L c= ln ( b 7  a ) + ln ( c / b ) k1

k 2

d+ La energ(a almacenada es U=

1 2

C × ∆V 2

Reempla3ando

λ   ln ( b 7 a )  k  2πε 0  1

Q

∆V 

 /

+

ln ( c 7 

κ 2

b ) 

÷  

U  =

λ 2 L  ln ( b 7 a )  k 4πε 0  1

+

ln ( c 7 

k 2

b ) 

÷  

'. La fgura muestra un corte de un sistema )ormado por dos diel%ctricos  una carga puntual q.los diel%ctricos de constantes < 1  <' poseen cada uno una carga neta nula  tienen )orma de coronas es)%ricas conc%ntricas.la carga puntual se encuentra en el centro de los diel%ctricos.

a+ alle el campo el%ctrico del sistema. $+ 0ara cada diel%ctrico determine su carga depositada en sus superfcies interna  externa. Solución:

a+

allando el campo del sistema 0ara diel%ctrico.

=R"r"R> no ha

Q

∫  E

d S 

ε 0

/ Q

( 4π r  ) = ε  2

0

E

2 qr  2

4π r  ε 0

E/ 0ara R"r"'R

∮ DdS = Q  s

 D =

ur

2 qr 

 E  =

4π r 2

 D  K 1ε 0

 0ero

Reempla3ando  E  =

q 4π r 2 k 1ε 0

0ara 'R"r"=R 2 qr   D =

ur

 E  =

4π r 2  D  K 1ε 0

 Reempla3ando  E  =

q 2

4π r 

k 2ε 0

$+ 0ara el diel%ctrico <1! ?R @ ?'RA son sus cargas de superfcie interna  externas r/R  r/'R.para el diel%ctrico < ' llamaremos q'R: @ ?=R a sus cargas de superfcies. ?'R / A?R / q;1A1B<1+ ?=R/ A?'R:/ q;1A1B<'+ =. La fgura muestra un capacitor )ormado por una es)era conductora de radio R1/R  un cascon es)%rico! conductor! conc%ntrico  de radio interno R=/=R. la regi#n! en el interior del capacitor! comprendida entre los radios R1  R'/'R se encuentra ocupada por un material de constante diel%ctrica <.la placa conductora de radio R posee una carga ? mientras que la carga neta del diel%ctrico es nula.

a+ alle el campo el%ctrico E;r+ para R1" r"R=. $+ Calcule la di)erencia de potencial entre las placas del condensador. c+ Tome
a)

0ara

R"r"'R

∮ DdS = Q  s

 D =

2 Qr  4π r 2

ur

 E  =

 D k ε 0

Reempla3ando ur Q  E ( r ) =

2 4π r 2 k ε 0 r 

0ara 'R"r"=R

∫  E S 

Q

d

ε 0

/ Q

( 4π r  ) = ε  2

0

E ur

 E ( r ) =

Q

2 4π r 2ε 0 r 

b)

v R − 2 R

= −∫ Ed r 

v R − 2 R

v R − 2 R

v R − 2 R

=

= =

−Q 4π kε 0

 R

dr 

∫ r 

2

2 R

Q 2 R

4π k ε 0 r 

 R

Q 4π k ε 0 2 R

v2 R −3 R

=

−Q 4πε 0

2 R

dr 

∫ r 

2

3 R

•

v2 R −3 R

V( R)

=

Q 4πε 0 6 R

– V ( 3R )

=

 1 + 1   2k  6÷   

Q 4πε 0 R

c) La capacitancia es

C  =

Q ∆V  1 1

1 + ) 4πε 0 R 2k  6 (

1

Reempla3ando C/ 0ara
a+ Se cierra el interruptor S para que los condensadores se carguen  luego se 4uel4e a$rir el interruptor. alle la carga de cada condensador.

$+ 5 continuaci#n se introduce un diel%ctrico de constante < que llena completamente el interior del condensador C 1! esto se hace cuidando de no agregar o quitar cargas al circuito. Determine la nue4a carga de cada condensador ;el interruptor se mantienen a$ierto+ c+ Tome
los condensadores. Sa$emos que C / ?BK Despe-ando tenemos que ?/CF ?1 / ?' /CFB' ?=/ CF $+