Esfuerzos en Vigas
CONTENIDO 1. Es Esfu fuer erzzo debido a la Flexión 2. Es Esfu fuer erzzo por Cortante 3. Vigas de Distintos Materiales 4. Vigas de Concreto Armado
1. Esfuerzo Debido a la Flexión
1.‐ Esfuerzo Debido a la Flexión I. Introducción Por estática :
P
0
P
A
D C
B
a
b
a
+
2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 ∑ 0 2 = 0
Grafica de Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores:
a) El tramo de una viga se dice que trabaja a flexión pura cuando en cualquier sección de dicho tramo solo exi xisste momento flector
P
P
+ ‐
V
P
P
b) El tram tramo o de una viga viga se dice que que traba trabaja ja a fle fl exi xión ón si simp mple le cu cua and ndo o en cu cual alq qui uier er sección de ese tramo solo existe momento flector y fuerza cortante
+
M Pa
Pa
Estudiaremos Estudiare mos las relaciones entre:
c) Un tr tramo de de una una viga viga se dice dice que tr traba abaja ja a flexión compuesta cuando en cualquier secc se cció ión n de es ese e tr tram amo o ex exis iste te mo mome ment nto o flector, fuerza cortante y fuerza normal
a) El momento momento fle flexiona xionante nte y los los esfuerz esfuerzos os normales normales por flexi flexión ón que se produce producen n b) La fuerza fuerza cortant cortante e vertica verticall y los esfuerz esfuerzos os cortant cortantes es
Plano de Simetría Eje de la Viga
Superficie Neutra
Eje Neutro de la Sección Transversal
II. Hipótesis 1. Las seccione seccioness pla planas nas de las vigas, vigas, inicial inicialmen mente te planas, planas, permane permanecen cen planas planas – hipótesis de navier 2. El materi material al es homog homogéneo éneo y obede obedece ce a la ley de de Hooke Hooke 3. El modulo modulo de elasticid elasticidad ad es igual igual a tracción tracción (ten (tensión) sión) que que a compresi compresión ón 4. la viga viga es inicialm inicialment ente e recta recta y de de sección sección consta constant nte e 5. El plano plano en el que actúa actúan n las fuerza fuerzass contie contienen nen a uno de los ejes princi principal pales es de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella
III. Desarrollo III. Desarrollo de la hipótesis de navier “Las secciones planas y perpendiculares al eje de la viga antes de la deformación, siguen siendo planas y perpendiculares al eje de la viga después de la deformación”
P 1
P 2 D
A C
B
a
P
1
b 2
a
P
Evaluando la sección 1‐1 y 2‐2 (porción deformada)
Fibras que se acortan
1
2 Fibras que ni se acortan ni se alargan a ellas de les denomina fibras neutras FIBRA NEUTRA
1
2
Fibras que se alargan
Tomando un elemento infinitesimal de la viga (dx) (por compatibilidad) Y b
a
y
Eje Neutro
X
Superficie neutra
Antes de la deformación También Por Hooke
′
Del grafico
M
Ɛ
Ɛ
b’
a’
Ɛ=‐
M
y
Luego de la deforma deformación ción
:radio de curvatura)
(Segmento deformado)
Por ley de Hooke obtenemos el esfuerzo normal en la fibra ab
E σ E.E. Ɛ E
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
La fuerza normal actuando en area infinitesimal seccion transversal A es:
Eje Neutro (EN)
σ REEMPLAZANDO
de la
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
E
EN
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
Del equilibrio:
La fuerza axial resultante debe desaparecer La condición para que la fuerza axial sea cero es:
E 0
⁄ 0
Siendo la relación La ecuación se reduce a :
0 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ La Integral estatico o del area diferencial diferencial respecto respeto al EN Es el momento estatic La integral es el momento estático total del área Por lo tanto:
E . .. 0
; de esta relacion solamente puede ser nulo que el Eje Neutro (EN) pasa por el centroide (C)
0 , se concluye
Momento resultante sobre el eje y debe desaparecer La condición para para que el momento momento resultante resultante sobre sobre el eje “y” es :
.. E . 0 La integral
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
. , es el producto de inercia del area
de la sección transversal. de acuerdo a nuestra hipótesis, el eje “y“ es un eje de simetría de la sección transversal en cuyo caso esta integral es cero y la ecuación β se satisface automáticamente
Momento resultante respecto al Eje Neutro debe der igual a M Igualando el momento resultante sobre el eje “z” a “ m” nos da :
E E Recordando que
, es el momento de inercia
Del área de la sección transversal respecto al eje neutro (eje z ), obtenemos la relación MOMENTO ‐
CURVATURA
Ó
IV. Formula de flexión: Modulo de Sección En la relación Momento – Curvatura, reemplazamos :
Por la tanto :
σ E E.E.σ
E.E.σ 1
Tenga en cuenta que un momento de flexión positiva “M” provoca esfuerzo negativo (compresión) por encima del eje neutro y el esfuerzo positivo (tracción) por debajo del Eje Neutro. El valor máximo del esfuerzo por flexión si tener en cuenta su signo esta dado por:
.
Si :
⁄
S = Modulo Resistente
de
sección
ó
c
h
EN
12 s 6 2
s 4 32
EN r d
SECCION CIRCULAR LLENA b SECCION RECTANGULAR
R
EN
r
4
c
EN
h
b SECCION HUECA TUBULAR
SECCION TRIANGULAR
23 24
Ejercicio N⁰ 1 Determ Det ermine ine los es esfue fuerz rzos, os, de defo forma rmacio ciones nes y cur curva vatur tura a ma maxim ximos os pr produ oducid cidos os por fle flexio xion n en la vig viga a de ace acero ro
10
15 cm
W = 300
⁄
A
2cm C
B 6m
25cm
1.5m
I.
2
Calculo de fuerzas internas:
0 + 6 300 7.5 7.25 0 .
0 , = 300(7.5) . .
1.2cm
. . +
+
V
‐
S
56.25 kg . ‐m 2 ‐ +
.
M
6 843.75 956.25 2.8125 + 1186.52 . 33 337.5 7.5 . . ‐
II.. Pr II Prop opie ieda dade dess de la sección 15cm
2cm
25cm
EN
. 15 21526121.22512.5 1.225 1.225 1.22512.519.25 152 15 2 2619.25 12 12 . .
1.2cm
.. .. / ( ,, .. ∀ El momento flector maximo positivo Y
Compresión
. .. Z
M
. . Tracción
En tracción :
POR HOOKE :
En compresión :
65219.25 530.40 118,4306. 25 Ɛ 2.6510 6527.75 213.54 118,4306. 25 Ɛ 1.0710
∀ EL MOMENTO FLECTOR MAXIMO NEGATIVO TRACCION
Y
. . Z
M
. .
337.5. (33,750 750 . . EN TRACCION :
POR HOOKE :
COMPRESION
EN COMPRESION :
75 60.74 337507. 4306.25 Ɛ 3.03710 25 150.87 3375019. 4306.25 Ɛ 7.5410
Ejercicio N⁰ 2 Una sierra de banda de acero de 20mm de ancho y 0.60mm de espesor, corre sobre poleas de diámetro “d”, a) Encuentre el máximo esfuerzo de flexión en la sierra si d=500mm, b) cual es el valor mas pequeño de “d” para que el esfuerzo de flexión en la sierra no exceda de 400 MPa?. Utilice E=200 GPa para el acero. De la relación usamos valores absolutos Sección Transversal de la Sierra
a) Máximo esfuerzo de flexión para d=500mm 0.6mm Y
20mm
. = 240x10^6 N/m2 = 240 MPa .
b) Calculo del valor mas pequeño de “d”
∗ . = 0.15m = 2 * = 2 * 0.15m = 0.30m = 300mm
Ejercicio N⁰ 3 Una sección transversal cuadrada se coloca de modo que el eje neutro coincide con una de las diagonales. El modulo de sección se puede aumentar mediante la eliminación de las esquinas superior e inferior como se muestra. Encontrar la relación a/b relación a/b que que maximiza el modulo resistente. CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA
EN
C
22
4 2 2 4 12 12 3 4 3 4 4 3
MODULO DE SECCION “S”
43 4 4 4 3 4 3 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3 DERIVANDO LA FUNCION “S” RESPECTO A “a”
8 9 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3 3 8 9 0 8 IGUALANDO 0 8 9 RPTA
Ejercicio N⁰ 4 La armadura simplemente apoyada esta sometida a una carga distribuida central. No tome en cuente el efecto de los elementos en diagonal y determine el esfuerzo flexionante máximo absoluto en la armadura. El elemento superior es un tubo con un diámetro exterior de 1 pulgada y grosor de 3/16 de pulgada, el elemento inferior es una barra solida con un diámetro de ½ pulgada. 1.‐ Calculo de reacciones
0 18xRB‐(100x6)x(6+3)=0, RB = 300Lb
RA 3.‐ Calculo de Eje Neutro de la Sección Transversal 5/8”
1”
EN 5.75”
(1/4+5.75+1/2)” =6.5” 1/4”
½”
Y ER
Por simetría RA = 300Lb 2.‐ Calculo de máximo momento flexionante El máximo momento flexionant flexionante e se presenta en el centro de luz, es decir para L= 9 pies RB Mmax = 300Lb x 9Pie 9Pie – – 100Lb/pie x 3pie x 1.5pie = 2,250Lb.Pi Mmax = 2,250Lb.Pie = 27,000Lb.inch
. Y = 4.6091 inch
4.‐ Calculo del Momento de Inercia respecto al EN El máximo momento flexionante se presenta en el centro de luz, es decir para L= 9 pies
5/8”
1”
⁄ 1 1 2 Y=4.6091” 4.6091 ⁄ 4.6091 = 5.9271” EN
5.75”
(1/4+5.75+1/2)” (1/4 +5.75+1/2)” =6.5” 1/4”
½”
5.‐ Calculo del Esfuerzo Máximo de Flexión
,. .. = 22,134.89 Lb/in2 = 22.1 ksi .
= 22.1 ksi
6.5
Ejercicio N⁰ 5 La viga simplemente apoyada consta de seis tubos que están conectados por bandas delgadas. Cada tubo tiene un área de sección transversal de 0.2in2. La viga soporta una carga uniformemente distribuida de w 0 intensidad. Si el esfuerzo de flexión promedio en los tubos no debe exceder de 10ksi, determinar el mayor valor permisible de w 0. Despreciar las áreas de sección transversal de las bandas .
2. Esfuerzos por Cortante
Deducción de la Formula del Esfuerzo Cortante Horizontal Cuando Cuan do un una a vi viga ga se so some mete te a ca carg rgas as tr tran ansv sver ersa sale les, s, és ésta tas s no so sola lame ment nte e generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se deslicen una sobre las otras. Para il Para ilus ustr trar ar me mejo jorr es esto to,, ut util iliz izar arem emos os un una a vi viga ga si simp mple leme ment nte e ap apoy oyad ada, a, conformada por tres tablones no unidos entre sí.
Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento. Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento desliza miento entre secciones longitudinales longitudinales de una viga sometid sometida a a momento flector.
Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito. Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de la misma.
En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento diferencial dentro de la viga.
Se cumple:
Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condición de equilibrio en el elemento diferencial:
Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda:
Recordando que:
Al introducir esto en la expresión anterior, anterior, obtenemos:
Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “t” nos queda:
Luego:
Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante en la viga:
Siendo
∶ Esfuerzo cortante horizontal ⁄ , : Fuerza cortante ,, : momento estatico del area que queda arriba o abajo del corte , : Momento de inercia de toda el area de la seccion Transveral con respecto al EN : ancho de la seccion FLUJO CORTANTE Es la fuerza longitudinal por unidad de longitud transmitida a travez de la seccion de ordenadas
Relación entre los esfuerzos cortantes horizontales y vertical
Y
EN
Z
X
A
.
ESFUERZOS
∑ 0
FUERZAS
0
“Que un esfuerzo cortante que actúa en la cara de un elemento va acompañado siempre de otro numeralmente igual en una cara perpendicular al primero “
Espaciamiento de Remaches en Vigas Compuestas e PLANTA
e
e
b
EN
ELEVACION
SECCION
EL ESFUERZO CORTANTE HORIZONTAL Siendo
Fuerza a resistir en longitud
Por flujo cortante
. .
Despreciando el rozamiento, esta fuerza cortante ha de ser soportada por la resistencia cortante o al aplastamiento, la que sea mas pequeño de los remaches igualando
y
al
Ejercicio N⁰ 1 Trazar una grafica de distribucion de esfuerzos para la viga . Calcular los valores a cada un cortante de V = 20 kn
I.
Y 60 mm 60 mm
Z
EN
180 mm
60 mm 180 mm
30mm
del peralte, para
Calculo del momento de inercia (E.N)
30010 1201018010 1 1 8 0 1 0 12 12 34 346.6.688 10
II.. II
CALLCU CA CULLO DE LOS MOMENTOS ESTATICOS A 30mm POR DEBAJO 180 mm 30mm
150mm 135 mm EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
1180 10301013510 180 10301013510 729 10 72910 2 2 0 1 0 346.68100.18 233.6 10
233.6
A 60mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR 180 mm 60mm 150mm 120 mm EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
0.18 0.06 0.120 1.29610 1.29610 2 2 0 1 0 346.68100.18 415.3710
415.37
A 90mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR
1246.11
180 mm 60mm 30mm
120mm 75mm
1.29610 2 2 0 1 0 346.68100.06 1246.1110
150mm
60mm
EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
0.18 0.06 0.120 0.030.060.075 141431 10 143110 2 2 0 1 0 346.68100.06 1375.910
1246.11 A 120mm POR DEBAJO DEL BORDE SUPERIOR 180 mm 60mm 60mm
120mm 60mm 60mm
EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
150mm
0.06 0.18 0.12 0.060.060.6 1512 10 151210 2 2 0 1 0 346.68100.06 145310
1453.79
0.06 06 0.1 0.188 0.12 12 00.0.09900.0.06600.0.045 45 151539 10 0 10153910 1479.7510 22346.6810 0.06
A 150mm POR DEBAJO (EJE NEUTRO) 180 mm 60mm 150mm 120mm
90mm 45mm
1479.75
EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN 60mm
Y
233.6
|
Z
EN
415.37 1246.11 1375.9 1453.79 1479.75
1246.11 415.37 233.6
CORTANTE HORIZONTAL
Ejercicio N⁰ 2 Determine el espaciami Determine espaciamiento ento necesario de los clavos para asegurar la viga t consis consistent tente e de dos secciones de mader ma dera a de actu ac tue e co como mo un una a un unid idad ad.. la re resis siste tenc ncia ia per permi misi sibl ble e pa para ra esf esfuer uerzo zo co cort rtan ante te horizontal de una clavo 10d es de
2 6 gg
94
6’’ 125lb 2’’
3’’ EN
EN
10’
6’’
5’’
2´´
EL FLUJO CORTANTE PARA CUALQUIER SECCION ES:
.. 6’’ 2’’ 3’’ 2’’ EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
136 125 2 6 2 .. 1125136 . .
Como se debe obtener una resistencia al esfuerzo cortante de espaciamiento de los clavos es :
22. 0694 ..
. por cada pulgada de longitud el
Ejercicio N⁰ 3
′′′′ ´
Se va a fabricar una viga de con seccion seccion de mad madera era como como se muestra muestran n en la figura figura si los clavos clavos de van a espaciar cada ¿cual de los arreglos es el mas deseable con respecto al esfuerzo cortante?, Siendo
1000
2’’
A
2’’
B
8’’
8’’
2’’ 2’’
4’’ 8’’
2’’
2’’ 2’’
4’’ 8’’
2’’
12’’
EVALUACION DELA FUERZA CORTANTE HORIZONTAL SOBRE LOS CLAVOS
∀ CASO A 8’’ 2’’ 6’’ 5’’ EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
8 2 5 11000981. .. 3 81.52 .. (FUERZA TOTAL TOTAL)) 81.52 52 3 244. 244.56 56
DE
FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR CADA CLAVO
.. 2
∀ CASO B 4’’ 2’’ 6’’ 5’’ EN ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ EN
4 2 5 11000981. 3 40.76 40 40.7.766 3 122. 122.28 28 FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR CADA CLAVO
. 2 . CON RELACION A LA FUERZA CORTANTE SOPORTADA POR LOS CLAVOS ES PREFERIBLE EL ARREGLO
B
Ejercicio N⁰ 4 Un let etrrero ele levvad adoo pa parra un unaa gas asol oliine nerra esta soportado por dos postes de aluminio de sección tran tr ansv sver ersa sall ci circ rcul ular ar hu huec ecaa (v (vea ea la fifigu gura ra). ). Lo Loss postes se diseñan para resistir una presión de viento de 75lb/ft2 contra el área total del letrero. Lass di La dim men enssio ione ness de lo loss po posste tess y le lettrer eroo son h1=20ft, h2=5ft y b=10ft. Para impedir el pandeo de las paredes de los postes, el espesor “t” se especifica como un décimo del diámetro exterior “d”. a) Dete Determin rminee el diám diámetro etro mínimo mínimo requerido requerido de los posste po tess con ba base se a la te tennsió iónn ad adm mis isib ible le de flexión de 6000psi en el aluminio. b) El diámetro diámetro mínimo mínimo requeri requerido do con base en una tensión tangencial admisible de 2000psi.
Ejercicio N 06 Tres ta b l o n e s de 100x150mm, dispuestos como se indica en la figura y asegur ase gurado adoss med median iante te per pernos nos pas pasant antes es espaciados a 0.4m forman una viga comp co mpue uest sta, a, si simp mple leme ment ntee ap apoy oyad ada, a, de 6m de claro con una carga concentrada P en su centro. Si P produce un σmax=12MPa, determinar el diámetro de loss per lo erno noss sup upon onie iend ndoo qu quee la fu fueerza cortante entre los tablones se transmite sola so lame ment ntee po porr fr fric icci ción ón.. Lo Loss pe pern rnos os se pueden someter a un esfuerzo de 1400MPa a ten 14 enssión y el coe oeffic icie ient ntee de rozamiento entre las piezas es de 0.40. ˚
Ejercicio N 07 ˚
La viga en voladizo de pared delgada se forma pegando los dos ángulos de 8 pulgadas por 2 pulgadas a la placa de 10 pulgadas de ancho. Supongamos que “t” es mucho menor que las otras dimensiones de la sección transversal. (a) Determinar el espesor más pequeño de “t” si el esfuerzo de flexión de trabajo es de 8000psi. (b) Determinar la resistencia al corte requerido en el pegamento.
Ejercicio N 08 La figura muestra la mitad de la sección transversal de una viga (la sección transversal es simétrica respecto al eje neutro). Todos los remaches (pernos) utilizados en la fabricación de la viga tienen un diámetro de 22mm. El momento de inercia de toda el área de la sección transversal de la viga, alrededor del eje neutro es IZ = 4,770 x 106mm4. Los esfuerzos de trabajo son 100 MPa por corte en los remaches y 280 MPa por aplastamiento en el alma de la viga. Si la fuerza cortante máxima soportada por la viga es de 450kN, determine el espaciamiento máximo permisible de los remaches que unen los ángulos a la placa del alma de la viga ˚
