ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA JULIO GARAVITO COMPORTAMIENTO Y PROPIEDADES DEL SUELO TALLER 2 – FLUJO FLUJO BIDIMENSIONA BI DIMENSIONALL CON DIFERENCIAS DI FERENCIAS FINITAS Lina María Linares Gómez Miguel Alejandro Prada Sánchez
Ing. Catalina Lozada López Bogotá, 2018-1
El flujo del agua a través de un suelo bajo condiciones de flujo permanente, agua incompresible incompresible y permeabilidad permeabilidad isotrópica se puede resolver mediante la ecuación de continuidad de Laplace (Lozada, 2018), dada por la expresión:
ℎ
ℎ ℎ = 0
Donde es la cabeza de energía total del fluido. Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que puede ser resuelta por el método de las diferencias finitas. El método propone discretizar el medio a través de un enmallado basado en cuadrículas de dimensiones y . Haciendo , la cabeza de energía de cada nodo se puede expresar en función de la cabeza de los l os nodos aledaños. De esta forma se puede plantear un sistema de ecuaciones que se puede resolver numéricamente numéricamente a partir de iteraciones. Dependiendo de la disposición geométrica geométrica de cada nodo, su expresión para la cabeza de energía se muestra en la Figura 1.
∆ ∆
∆=∆
ℎ, = 14 (ℎ+, ℎ−, ℎ,+ ℎ,−) ℎ, = 14 (ℎ+, ℎ−, 2ℎ,−) ℎ, = 12 (ℎ+, ℎ,−) ℎ, = 13 ℎ+, ℎ,− 12 ℎ,+ 12 ℎ−, Figura 1 - Algunas Ecuaciones de la Cabeza de Energía para diferentes configuraciones de nodos. Tomado de (Bardet, 1997)
Se presenta el método de las diferencias finitas aplicado a la solución de dos problemas de flujo: una presa y una tablaestaca.
1. Flujo bajo una Presa Se tiene la presa de 18 metros de longitud como la mostrada en la Figura 2. Al costado izquierdo de la presa el nivel freático se encuentra a 6 metros por encima del nivel del suelo, y en el costado izquierdo el nivel freático está al nivel del suelo. La presa está enterrada a una profundidad de 1.5 metros.
Figura 2 - Geometría Presa
-
Modelo
Se modela el suelo hasta 12 metros de profundidad, y a 18 metros de distancia en los costados de la presa. Alrededor del sistema hay una frontera impermeable. El suelo tiene una permeabilidad de 0.0002 cm/s. Para la discretización se crean elementos con dimensiones hasta llegar a un error de 0.001 metros.
∆=∆=0.5 y se itera
Si las dimensiones generales del sistema son de 54x12 metros, el número de nodos creados es:
54 1 12 1 ∆ ∆ Es decir, se crean 109x25 nodos. Se fija como marco de referencia el nivel del suelo, al costado izquierdo, por lo tanto, las condiciones de frontera son:
La parte superior izquierda del modelo tiene como cabeza total 6 metros. La parte superior derecha del modelo tiene como cabeza total 0 metros. La estructura y los bordes restantes son impermeables, por lo tanto aplican las expresiones dadas en la Figura 1.
Bajo estas consideraciones se plantea el modelo mostrado en la Figura 3. También se muestra el detalle de la estructura en el sistema.
Figura 3 - Modelo y Detalles
-
Campo de Cabezas de Energía – Líneas Equipotenciales
Se muestra en la Figura 4 las curvas de contorno que corresponden a las líneas equipotenciales bajo la presa.
Lineas Equipotenciales bajo la Presa
0 2 4 6 8
) m ( Y
10 0
2
4
6
12
8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5
X (m)
0-0.5
0.5-1
1-1.5
1.5-2
2-2.5
2.5-3
3-3.5
3.5-4
Figura 4 - Lineas Equipotenciales bajo la Presa
4-4.5
4.5-5
5-5.5
5.5-6
-
Campo de Cabezas de Presión
Calculadas las cabezas de energía total sobre todos los nodos, las cabezas de presión se calculan restándole la cabeza de posición a la cabeza de energía. La Figura 5 muestra el resultado obtenido.
Cabezas de Presión de Poros bajo la Presa
0 -2 -4
)
m -6 (
-8 -10 -12 0 1.5 3 4.5 6 7.5 910.51213.51516.51819.52122.52425.52728.53031.53334.53637.53940.54243.54546.54849.55152.554
X (m)
0-5
5-10
10-15
15-20
Figura 5 - Cabezas de Presión bajo la Presa
-
Distribución de Presiones bajo la Presa
Se calcula la sobrepresión bajo la presa multiplicando la cabeza de presión de los nodos ubicados en esta zona, por el peso unitario del agua. La distribución de presiones obtenida se muestra en la Figura 6.
Distribución de Presiones bajo la Presa X (m) 18
20
22
24
26
28
30
0 ) 10 a P k ( 20 u s 30 o r o 40 P e d 50 n ó i 60 s e r P 70
80 Figura 6 - Distribución de Presiones bajo la Presa
32
34
36
Y
La fuerza resultante se calcula a partir de la expresión:
= 8 Y la ubicación de esta fuerza se obtiene mediante la ecuación:
= ∫∫ La fuerza resultante obtenida se muestra en la Tabla 1. La ubicación está dada respecto al marco de referencia mencionado, y la fuerza corresponde a un valor por metro lineal de profundidad. Tabla 1 - Fuerza de Sobrepresión bajo la Presa
-
Fuerza (kN)
794.67
Ubicación (m)
25.64863
Caudal total
El tramo ubicado debajo de la presa presenta unas líneas equipotenciales verticales. Esto significa que las líneas de flujo son horizontales en esta zona, por lo tanto, el enmallado realizado sirve para canalizar el agua y calcular el caudal total como la suma de los caudales que transcurren por cada uno de ellos. De esta forma, el caudal total se calcula mediante la expresión:
= ∑ = ∑ ∗ ∗ = ∑ ∗ 0.5 ∗1 El gradiente hidráulico de cada canal se calcula como el promedio de los gradientes calculados con los valores de energía de los nodos ubicados en los extremos del mismo. Se obtiene un caudal de 4.08 cm³/s/m.
2. Flujo alrededor de una Tablaestaca Se modelará el problema mostrado en la Figura 7. Consiste en una tablaestaca enterrada a 6 metros de profundidad, con un nivel freático de 4 metros por encima del suelo a la izquierda y 1 metro a la derecha. A 6 metros por debajo del nivel de desplante de la tablaestaca se encuentra un estrato impermeable. El suelo tiene una permeabilidad de 0.0002 cm/s.
Figura 7 – Geometría Tablaestaca
-
Modelo
Para evitar cualquier efecto de interacción de la tablaestaca con efectos de borde, se decide asignarle un ancho suficiente, de 30 metros a lado y lado. Adicionalmente, por simetría es posible modelar únicamente un costado de la estructura. Por lo tanto, las dimensiones generales del modelo serán de 12x30 metros. De esta forma, se requiere un enmallado de 25x61 nodos con separación . Se asigna como marco de referencia el nivel del suelo. Se modela el costado izquierdo de la tablaestaca, y las condiciones de frontera son:
∆ = ∆ = 0.5
En el costado superior la cabeza de energía es de 4 metros. El nivel de agua a ambos lados de la tablaestaca varía en 3 metros, lo que es equivalente a la pérdida total de energía. Como el suelo es el mismo en todo el medio, al dividir en la mitad el sistema por simetría la condición de borde del costado derecho, debajo de la estructura, es:
4 32 =2.5
Los bordes restantes, incluida la estructura, son impermeables.
La Figura 8 muestra el modelo creado en Excel y un detalle que muestra las fronteras mencionadas anteriormente.
Figura 8 - Modelo y Detalles
-
Campo de Cabezas de Energía – Líneas Equipotenciales
La Figura 9 muestra las líneas equipotenciales obtenidas en el cálculo de las cabezas de energía totales.
Lineas Equipotenciales alrededor de la Tablaestaca 0 1 2 3 4 5 6 7
) m ( Y
8 9 10 11 0
1
2
3
4
5
6
7
8
12
9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
X (m) 0-0.2
0.2-0.4
0.4-0.6
0.6-0.8
0.8-1
1-1.2
1.2-1.4
1.4-1.6
1.6-1.8
1.8-2
2-2.2
2.2-2.4
2.4-2.6
2.6-2.8
2.8-3
3-3.2
3.2-3.4
3.4-3.6
3.6-3.8
3.8-4
Figura 9 - Lineas Equipotenciales alrededor de la Tablaestaca
-
Campo de Cabezas de Presión
La Figura 10 muestra el campo de presión de poros alrededor de la estructura. Esta se calcula a partir de la cabeza total de energía y la cabeza de posición.
Cabezas de Presión de Poros alrededor de la Tablaestaca 0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 0
5 . 1
3
5 . 4
6
5 . 7
9
5 . 0 1
-10--8
2 1
-8--6
5 5 5 . X (m) . 8 3 1 6 1 1 1
-6--4
-4--2
5 . 9 1
1 2
-2-0
5 . 2 2
0-2
4 2
5 . 5 2
7 2
2-4
Figura 10 - Campo de Presión de Poros alrededor de la t ablaestaca
5 . 8 2
12
0 3
) m ( Y
-
Distribución de Presiones bajo la Presa
Conocida la cabeza de presiones, se calcula la presión multiplicándola por el peso unitario del agua. Los valores numéricos del perfil obtenido se muestran en le Tabla 2. Tabla 2 - Distribución de Presiones alrededor de la Tablaestaca
z (m)
Ht (m)
Hp (m)
u (kPa)
u (kPa)
Hp (m)
Ht (m)
4
4
0
0
-
-
-
3.5
4
0.5
4.905
-
-
-
3
4
1
9.81
-
-
-
2.5
4
1.5
14.715
-
-
-
2
4
2
19.62
-
-
-
1.5
4
2.5
24.525
-
-
-
1
4
3
29.43
0
0
1
0.5
4
3.5
34.335
4.905
0.5
1
0
3.9569
3.9569
38.817
10.232986
1.04311784
1.04311784
15.5609721
1.58623569
1.08623569
21.0863211
2.14947209
1.1494721
26.67229
2.71888788
1.2188879
-0.5 -1
3.9138 3.8505
4.4138 4.8505
43.299
t
a
c
a
47.584
a
e
s
T
a
b
l
-1.5
3.7811
5.2811
51.808
-2
3.7083
5.7083
55.999
32.2912355
3.29166521
1.29166523
-2.5
3.6324
6.1324
60.159
37.9414494
3.86762994
1.36762996
-3
3.5526
6.5526
64.281
43.6294214
4.4474436
1.44744363
-3.5
3.4677
6.9677
68.353
49.3665868
5.03227188
1.53227191
-4
3.3761
7.3761
72.36
55.1703187
5.62388573
1.62388577
-4.5
3.2749
7.7749
76.272
61.0681066
6.22508735
1.7250874
-5
3.1592
8.1592
80.042
67.1083565
6.8408111
1.84081114
-5.5
3.0187
8.5187
83.569
73.3914862
7.48129322
1.98129326
-6
2.8272
8.8272
86.595
80.1754113
8.17282483
2.17282486
-6.5
2.5
9
88.29
88.29
9
2.5
-7
2.5
9.5
93.195
93.195
9.5
2.5
-7.5
2.5
10
98.1
98.1
10
2.5
-8
2.5
10.5
103.01
103.005
10.5
2.5
-8.5
2.5
11
107.91
107.91
11
2.5
-9
2.5
11.5
112.82
112.815
11.5
2.5
-9.5
2.5
12
117.72
117.72
12
2.5
-10
2.5
12.5
122.63
122.625
12.5
2.5
-10.5
2.5
13
127.53
127.53
13
2.5
-11
2.5
13.5
132.44
132.435
13.5
2.5
-11.5
2.5
14
137.34
137.34
14
2.5
-12
2.5
14.5
142.25
142.245
14.5
2.5
Estos valores graficados generan el diagrama de presiones mostrados en la Figura 11.
Diagramas de Presiones 6 4 2 )
100
80
60
40
m ( z 0 d a 0 d i d -2 n u f o r -4 P
20
Costado Izquierdo Costado Derecho
-6 -8
Presión de Poros - u(kPa)
Figura 11 - Diagramas de Presiones alrededor de la tablaestaca
De forma análoga al ejercicio anterior, la fuerza resultante y su ubicación se calculan integrando estos diagramas. La Tabla 3 muestra los valores obtenidos. Tabla 3 - Fuerzas Resultantes debidas a la presion de Poros
-
Fuerza (kN)
Ubicación (m)
Izquierda
461.59
-2.586379326
Derecha
-269.26
-3.722736334
Resultante
192.33
-0.995532078
Caudal total
El caudal total se calcula igualmente en la parte inferior de la tablaestaca, donde las líneas equipotenciales son verticales. El procedimiento es similar al descrito en el ejercicio anterior. Se obtiene un caudal total de 2.62 cm³/s/m.
BIBLIOGRAFÍA Bardet, J.-P. (1997). Experimental Soil Mechanics. Lozada, C. (2018). Flujo bidimensional - Presentaciones de Clase. Escuela Colombiana de Ingeniería.
