Universidad Cat´olica de la Sant´ısima Concepci´on
Facultad de Ingenier´ıa
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MODELACION Y RESOLUCION DE PROBLEMAS LINEALES Semestre Primavera 2013
1) Un nutricionista planea un men´ u que consta de dos principales alimentos A y B. Cada onza de A. Contiene 2 unidades de grasa, 1 unidad de hidratos de carbono, y 4 unidades de prote´ına Cada onza de B contiene 3 unidades de grasa, 3 unidades de hidratos de carbono, y 3 unidades de prote´ına. la nutricionista quiere que la comida proporcione al menos 18 unidades de grasa, por lo menos 12 unidades de hidratos de carbono, y al menos 24 unidades de prote´ına. Si una onza de A cuesta 20 centavos y una onza de B cuesta 25 centavos, ¿cu´antos gramos de cada alimento se debe servir para minimizar el costo de la comida que se satisfagan los requisitos de la nutricionista? Resuelva el problema mediante el m´etodo gr´afico. 2) Un fabricante de hojas de polietileno tiene dos plantas, una ubicada en Salt Lake City y la otra ubicada en Denver. Hay tres almacenes de distribuci´on, uno en Los Angeles, otro en Chicago, y la tercera en la ciudad de Nueva York. La planta de Salt Lake City puede suministrar 120 toneladas de producto por semana, mientras que la planta de Denver puede suministrar 140 toneladas por semana. El almac´en de Los Angeles necesita 100 toneladas semanales para satisfacer su demanda, el almac´en de Chicago necesita 60 toneladas por semana, y el New York City almac´en necesita 80 toneladas por semana. La tabla siguiente da el costo de env´ıo (en d´olares) por tonelada del producto:
Salt Lake City Denver
Los Angeles 5 6
Chicago 7 7
New York 9 10
¿Cu´ antas toneladas de polietileno deben ser enviados desde cada planta a cada almac´en para minimizar el costo total del env´ıo, cumpliendo con la demanda? 3) Un fabricante de edulcorante artificial mezcla 14 kg de sacarina y 18 kg de dextrosa para preparar dos nuevos productos: Dulce y Low. Cada kilogramo de Dulce contiene 0,4 kg de dextrosa y 0,2 kg de sacarina, mientras que cada kilogramo de Low contiene 0,3 kg de dextrosa y 0,4 kg de sacarina. La ganancia por cada kilogramo de Dulce es de 20 centavos de d´olar y el beneficio de cada kilogramo de Low es de 30 centavos de d´olar. Plantee un modelo de P.L. para maximizar el beneficio. Resuelva el problema mediante el m´etodo gr´afico. 4) Supongamos que el asesor financiero de un fondo de pensiones debe invertir exactamente $ 100.000 en dos tipos de t´ıtulos: bonos AAA, pagando un dividendo del 7%, y acciones BB, pagando un dividendo del 9%. El consejero ha dicho que no m´as de $ 30.000 pueden ser invertidos en acciones BB, mientras que la cantidad invertida en bonos AAA debe ser al menos el doble de la cantidad invertida en acciones BB. ¿Cu´ anto se debe invertir en cada t´ıtulo para maximizar el retorno del fondo de pensiones? Plantear y resolver el problema de P.L. 5) Una nuevo polvo qu´ımico se prepara mediante el uso de dos productos disponibles: Pest y Bug. Cada kilogramo de Pest contiene 30 g de carbaril y 40 g de malati´on, mientras que cada kilogramo de Bug contiene 40 g de carbaril y 20 g de malati´on. La mezcla final debe contener al menos 120 g de carbaril y como m´aximo 80 g de malati´on. Si cada kilogramo de Pest cuesta $ 3,00 y cada kilogramo de Bug cuesta $ 2.50, ¿cu´antos kilogramos de cada plaguicida debe ser utilizado para minimizar el costo? Resuelva el problema mediante el m´etodo gr´afico. 6) Se mezclan dos tipos de caf´e: brasile˜ no y colombiano para preparar dos productos: Super y Deluxe. Cada kilogramo de caf´e Super contiene 0,5 kg de caf´e brasile˜ no y 0,5 kg de Colombia, mientras que cada kilo de caf´e Deluxe contiene 0,25 kg de caf´e brasile˜ no y 0,75 kg de caf´e colombiano. Se dispone de 120 kg de caf´e
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de Brasil y 160 kg de caf´e de Colombia. Si la ganancia por cada kilogramo de caf´e Super es de 20 centavos de d´olar y el beneficio de cada kilogramo de caf´e Deluxe es 30 centavos, ¿cu´antos kilogramos de cada tipo de caf´e debe ser mezclado con maximizar el beneficio? Resolver el problema de P.L. 7) Considere el problema lineal: (P) max z = 5x1 + 4x2 s/a 3x1 + 3x2 ≤ 10 12x1 + 6x2 ≤ 24 x1 , x2 ≥ 0 a) Determine la regi´on factible. b) Determine todos los v´ertices c) Encuentre la soluci´on ´optima del problema indicando claramente el punto ´optimo y su valor ´optimo 8) Para el siguiente problema de programaci´on lineal (P) min z = −x1 − x2 s/a x1 + x2 ≤ 9 3x1 + 2x2 ≤ 24 4x1 + 6x2 ≤ 48 x1 , x2 ≥ 0 a) Determine la regi´on factible. b) Determine todos los v´ertices c) Determine la direcci´on de m´aximo decrecimiento d) Muestre algunas curvas de nivel c) Encuentre la soluci´on ´optima del problema indicando claramente el punto ´optimo y su valor ´optimo 9) Considere el conjunto Ω = {(x1 , x2 ) ∈ IR2 | 3x1 + x1 ≥ 6, 2x1 + x2 ≥ 4, x1 + x2 = 3, 2x1 − x2 ≤ 6} con funci´on objetivo z = 3x1 + x2 . Muestre la regi´on factible y determine los puntos de m´aximo y m´ınimo de existir. 10) Para el siguiente problema de P.L. (P) max z = s/a
4x1 + 3x2 x1 + 2x2 ≤ 2 x1 − 2x2 ≤ 3 2x1 + 3x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 2 3x1 + x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0
a) Determine la regi´on factible b) Encuentre la direcci´on de m´aximo crecimiento c) Muestre algunas curvas de nivel d) Encuentre la soluci´on ´optima del problema
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11) Leary Chemical produce tres productos qu´ımicos: A, B y C. Estos productos qu´ımicos se obtienen mediante dos procesos: 1 y 2. El funcionamiento del proceso 1 durante una hora, cuesta 4 d´olares y produce 3 unidades del producto A, 1 unidad del producto B y 1 unidad del producto C. El funcionamiento del proceso 2 durante una hora, cuesta 1 d´olar y produce 1 unidad del producto A, y 1 unidad del producto B. Para satisfacer la demanda de los clientes, hay que producir diariamente por lo menos 10 unidades del producto A, 5 unidades del producto B y 3 unidades del producto C. Determine un plan de producci´on diaria para Leary Chemical, que minimice el costo de satisfacer las demandas diarias. 12) Una compa˜ n´ıa fabrica impresoras matriciales y l´aser. La demanda de ambos tipos de impresoras supera la capacidad de producci´on. La compa˜ n´ıa est´a interesada en desarrollar una pol´ıtica de producci´on ´optima. Cada impresora matricial necesita 1 hora para su fabricaci´on y 2 horas para su control de calidad, mientras que una l´aser necesita 1,5 y 1 horas, respectivamente. El n´ umero de horas de fabricaci´on disponible por semana es de 200 y de control de calidad de 175. Los beneficios netos de venta de las impresoras son de $ 2.000 por unidad para las matriciales y de $ 3.000 por unidad para las l´aser. Supongamos que la compa˜ n´ıa desea minimizar el n´ umero total de impresoras producidas, con beneficio semanal de, al menos, $ 400.000. Determine el n´ umero ´optimo de impresoras mediante el m´etodo gr´afico.
