ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS MATRIZ DE RIGIDEZ
JOHAN FELIPE ARBOLEDA CAROLINA GARCIA MONTOYA JHONATAN MARIN TABORDA
GRUPO 003-2
PROFESOR ANDRES FELIPE GUZMAN
POLITECNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID MEDELLIN 2016-2
1. Introducción A continuación se presentan los cálculos y resultados del análisis estructural de un puente peatonal ubicado en la ciudad de Cartagena, con el fin de determinar la mayor fuerza a tracción y a compresión de las barras. Para el análisis de la estructura se utilizó el método matricial de rigidez, donde se relacionan de manera lineal las cargas que actúan en las barras y los desplazamientos en los nudos. El uso del método matricial de rigidez presenta dos ventajas en el análisis estructural: permiten utilizar procesos matemáticos generales que parten desde el estudio individual de las barras de la estructura hasta llegar a los efectos totales en ella. Es un método práctico que se puede desarrollar por medio de programas computacionales. 1. Objetivos Objetivo general El objetivo general de este trabajo es aplicar el método matricial de rigidez para el cálculo de un elemento estructural sometido a carga, con el fin de conocer las fuerzas internas de las barras que lo conforman y determinar la mayor fuerza a tracción y compresión.
Objetivos específicos
El objetivo específico principal consiste en el cálculo de un elemento estructural (cercha), conformado por 26 barras y dos apoyos, utilizando el método matricial de rigidez. Además del objetivo principal se pueden mencionar
los siguientes objetivos
específicos: Aplicar el método matricial de rigidez para el cálculo de una estructura. Calcular los desplazamientos y reacciones de las barras de la estructura. Determinar la mayor fuerza a tracción y compresión de las barras. 2. Marco teórico
“Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto.”i Por esta razón se ha buscado tratar de simplificar los métodos o modelos de análisis; el método matricial de rigidez se basa en ecuaciones lineales para encontrar las fuerzas internas de la estructura, éste modelo parte desde unas hipótesis generales:
Estructura lineal Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las
cargas Pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no
distorsionada). Las barras son rectas y de sección constante.
Para estudiar una estructura por el método de la rigidez, al igual que en cualquier otro problema elástico, se requieren de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse.
Ecuaciones de compatibilidad Ecuaciones constitutivas Ecuaciones de equilibrio
Para llevar a cabo la aplicación de éste método, se deben tener claras las nociones de
equilibrio, grados de libertad, deformaciones, desplazamientos,
fuerzas internas; pues estos componentes son fundamentales para el análisis, diseño y calculo estructural. http://ing.unne.edu.ar/pub/e3_cap4.pdf. 19/09/16
3. Análisis de cargas A continuación se presenta el cálculo para determinar las cargas puntuales en los nudos inferiores de la estructura. VALORES DE CARGA Carga viva (kN/m2) 5.00 Carga muerta (kN/m2) Iluminación 0.05 Ductos 0.05 Losa 2.05 Total (kN/m2) 2.15 Viento (kN/m2) 1.00
losa=1.6 ( W D ) +1.2 ( W L ) + 0.5 ( W W )
losa=1.6
(
2.15 kN 5 kN 1 kN +1.2 +0.5 2 2 2 m m m
losa=11.08
) ( ) ( )
kN 2 m
Carga distribuida en 4 metros de ancho. kN qlosa =( 2 m ) 11.08 2 m
(
)
qlosa =22.16 kN /m
Carga puntual en luces de 4 metros. kN P1=( 2 m ) 22.16 m
(
)
P1=44.32 kN
Carga puntual en luces de 5 metros. kN P2=( 2.5 m ) 22.16 m
(
)
P2=55.4 kN 4. Aplicación del método matricial de rigidez
Grados de libertad totales: 28 Grados de libertad libres: 25 Grados de libertad restringidos: 3 Datos de cada elemento.
DATOS DE CADA ELEMENTO ELEMENT NUDO X X Y Y L O S i f i f (m) cosθ senθ A (m2) 1.0000 0.01590 1 14-2 0 4 0 0 4.00 0 0.00000 0 0.6247 0.00494 2 14-1 0 4 0 5 6.40 0 0.78087 0 3 1-2 4 4 5 0 5.00 0.0000 0.00494
E 21000000 0 21000000 0 21000000
4
2-4
4 8 0 0 4.00
5
1-3
4 8 5 5 4.00
6
1-4
4 8 5 0 6.40
7
3-4
8
4-6
9
3-5
10
4-5
11
5-6
12
6-8
13
5-7
14
6-7
15
5-8
16
7-8
17
8-10
18
7-9
19
7-10
20
9-10
21
10-12
22
9-11
23
10-11
24
11-12
25
12-13
8 8 1 8 2 1 8 2 1 8 2 1 1 2 2 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 7 7 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 7 1 2 2 1 1 2 2 1 5 2 2 1 5 2 2 1 5 2 2 5 5 2 2 5 9
5 0 5.00 0 0 4.00 5 5 4.00 0 5 6.40 5 0 5.00 0 0 5.00 5 5 5.00 0 5 7.07 5 0 7.07 5 0 5.00 0 0 4.00 5 5 4.00 5 0 6.40 5 0 5.00 0 0 4.00 5 5 4.00 0 5 6.40 5 0 5.00 0 0 4.00
0 1.0000 0 1.0000 0 0.6247 0 0.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0.6247 0 0.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0.7071 1 0.7071 1 0.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0.6247 0 0.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0.6247 0 0.0000 0 1.0000 0
1.00000 0.00000 0.00000 0.78087 1.00000 0.00000 0.00000 0.78087 1.00000 0.00000 0.00000 0.70711 0.70711 1.00000 0.00000 0.00000 0.78087 1.00000 0.00000 0.00000 0.78087 1.00000 0.00000
0 0.01590 0 0.01590 0 0.00494 0 0.00494 0 0.01590 0 0.01590 0 0.00494 0 0.00494 0 0.01590 0 0.01590 0 0.00494 0 0.00494 0 0.00494 0 0.01590 0 0.01590 0 0.00494 0 0.00494 0 0.01590 0 0.01590 0 0.00494 0 0.00494 0 0.01590 0
0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0 21000000 0
26
11-13
2 2 0.6247 0.00494 5 9 5 0 6.40 0 0.78087 0
21000000 0
Matriz de cada elemento 27 834750
28 0
3 -834750
4 0
27
0
0
0
0
28
-834750
0
834750
0
3
0
0
0
0
4
27
28
1
|K1|=
63225.2334
|K3|=
|K4|=
27
98789.4271 8
79031.5417 5
98789.4271 8
28
-63225.2334 79031.5417 5
63225.2334
79031.5417 5
1
79031.5417 5
98789.4271 8
79031.5417 5
98789.4271 8
2
1 0
2 0
3 0
4 0
1
0
207480
0
-207480
2
0
0
0
0
3
0
-207480
0
207480
4
3 834750
4 0
7 -834750
8 0
3
0
0
0
0
4
-834750
0
834750
0
7
79031.5417 5 |K2|=
2 79031.5417 -63225.2334 79031.5417 5 5
0
0
0
0
8
|K5|=
1 834750
2 0
5 -834750
6 0
1
0
0
0
0
2
-834750
0
834750
0
5
0
0
0
0
6
1 63225.2334
2 -79031.54175
7 -63225.2334
8 79031.54175
1
79031.54175 -98789.42718
2
-79031.54175 98789.42718 |K6|=
|K7|=
-63225.2334
79031.54175
63225.2334
-79031.54175
7
79031.54175 -98789.42718 -79031.54175 98789.42718
8
5 0
6 0
7 0
8 0
5
0
207480
0
-207480
6
0
0
0
0
7
0
-207480
0
207480
8
7 834750
8 0
11 -834750
12 0
7
0
0
0
0
8
-834750
0
834750
0
11
0
0
0
0
12
|K8|=
|K9|=
|K10|=
5 834750
6 0
9 -834750
10 0
5
0
0
0
0
6
-834750
0
834750
0
9
0
0
0
0
10
7 63225.2334
8 79031.54175
9 -63225.2334
10 -79031.54175
7
79031.54175
98789.42718 -79031.54175 -98789.42718
8
-63225.2334
-79031.54175
79031.54175
9
98789.42718
10
63225.2334
-79031.54175 -98789.42718 79031.54175
|K11|=
9 0
10 0
11 0
12 0
9
0
207480
0
-207480
10
0
0
0
0
11
0
-207480
0
207480
12
11 667800
12 0
15 -667800
16 0
11
0
0
0
0
12
-667800
0
667800
0
15
0
0
0
0
16
|K12|=
|K13|=
|K14|=
9 667800
10 0
13 -667800
14 0
9
0
0
0
0
10
-667800
0
667800
0
13
0
0
0
0
14
11 73355.25748
12 13 14 73355.25748 -73355.25748 -73355.25748
11
73355.25748
73355.25748 -73355.25748 -73355.25748
12
-73355.25748 -73355.25748 73355.25748
73355.25748
13
-73355.25748 -73355.25748 73355.25748
73355.25748
14
9 10 15 16 73355.25748 -73355.25748 -73355.25748 73355.25748
|K15|=
9
-73355.25748 73355.25748
73355.25748 -73355.25748
10
-73355.25748 73355.25748
73355.25748 -73355.25748
15
73355.25748 -73355.25748 -73355.25748 73355.25748
16
13 0
14 0
15 0
16 0
13
0
207480
0
-207480
14
0
0
0
0
15
0
-207480
0
207480
16
|K16|=
15 834750
16 0
19 -834750
20 0
15
0
0
0
0
16
-834750
0
834750
0
19
0
0
0
0
20
13 834750
14 0
17 -834750
18 0
13
0
0
0
0
14
-834750
0
834750
0
17
0
0
0
0
18
13 63225.2334
14 -79031.54175
19 -63225.2334
20 79031.54175
13
79031.54175 -98789.42718
14
|K17|=
|K18|=
-79031.54175 98789.42718 |K19|=
-63225.2334
79031.54175
63225.2334
-79031.54175
19
79031.54175 -98789.42718 -79031.54175 98789.42718
20
17 0
18 0
19 0
20 0
17
0
207480
0
-207480
18
0
0
0
0
19
0
-207480
0
207480
20
|K20|=
|K21|=
|K22|=
|K23|=
19 834750
20 0
23 -834750
24 0
19
0
0
0
0
20
-834750
0
834750
0
23
0
0
0
0
24
17 834750
18 0
21 -834750
22 0
17
0
0
0
0
18
-834750
0
834750
0
21
0
0
0
0
22
19 63225.2334
20 79031.54175
21 -63225.2334
22 -79031.54175
19
79031.54175
98789.42718 -79031.54175 -98789.42718
20
-63225.2334
-79031.54175
79031.54175
21
98789.42718
22
63225.2334
-79031.54175 -98789.42718 79031.54175 21 0
22 0
23 0
24 0
21
0
207480
0
-207480
22
0
0
0
0
23
0
-207480
0
207480
24
|K24|=
|K25|=
23 834750
24 0
25 -834750
26 0
23
0
0
0
0
24
-834750
0
834750
0
25
0
0
0
0
26
21 63225.2334
22 -79031.54175
25 -63225.2334
26 79031.54175
21
79031.54175 -98789.42718
22
-79031.54175 98789.42718 |K26|=
-63225.2334
79031.54175
63225.2334
-79031.54175
25
79031.54175 -98789.42718 -79031.54175 98789.42718
26
Matriz de fuerzas
|F0|=
|F1|=
0 0 0 -88.64 0 0 0 -88.64 0 0 0 -99.72 0 0 0 -99.72 0 0 0 -88.64 0 0 0 -88.64 0 F26 F27 F28
Matriz de desplazamientos
|U0|=
|U1|=
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 u19 u20 u21 u22 u23 u24 u25 0 0 0
5. Calculo de desplazamientos y reacciones
Considerando que ningún apoyo presenta asentamiento, se tiene:
|F 0| |U 0|= (1) | K 0|
|U0|=
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16
=
0.0026414 1 0.0049170 7 0.0002654 7 -0.0053443 0.0021954 3 0.0085121 4 0.0005309 4 0.0085121 4 0.0017494 4 0.0104963 6 0.0010724 9 0.0108608 7 0.0010364 2 0.0104963 6 0.0017133 6 -
0.0108608 7 0.0005904 3 0.0085121 4 0.0022549 2 0.0085121 4 0.0001444 4 0.0049170 7 0.0025203 9 -0.0053443 0.0027858 6
u17 u18 u19 u20 u21 u22 u23 u24 u25 0 0 0
|U1|=
|F 1|=|K 2||U 0|(2) |F0|=
0 0 0 -88.64 0 0 0 -88.64 0 0 0
-99.72 0 0 0 -99.72 0 0 0 -88.64 0 0 0 -88.64 0 F26 F27
|F1|=
277 =
3.41061E-13
F28
277
( cos θ ( U xf −U xi ) +sin θ ( U yf −U yi ) )
(3)
6. Fuerzas en las barras Fi=
( A i . Ei ) Li
FUERZAS INTERNAS (kN) F1 221.600 F2 -354.733 F3 88.640 F4 221.600 F5 -372.288 F6 241.218 F7 0.000 F8 452.064 F9 -372.288 F10 -127.704
F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20 F21 F22 F23 F24 F25 F26
75.628 427.972 -476.156 34.071 34.071 75.628 452.064 -372.288 -127.704 0.000 221.600 -372.288 241.218 88.640 221.600 -354.733
Mayor fuerza a compresión: 476.156 kN Mayor fuerza a tracción: 452.064 kN
7. Conclusiones
Toda estructura sometida a carga presenta pequeñas deformaciones, el método matricial de rigidez consiste en encontrar los esfuerzos internos
que actúan en ella, en función de los desplazamientos nodales. Las fuerzas internas de las barras no dependen de su área transversal, más bien de su ubicación en la estructura y las deformaciones que se
presenten. La estructura sufre un desplazamiento horizontal positivo (hacia la derecha), permitido por el grado de libertad en x que presenta el apoyo
de rodillo. Para el diseño (real) de la cercha se requiere que las fuerzas internas sean mayores o iguales a las fuerzas máximas (tracción y compresión)
determinadas. El método matricial de rigidez es aplicable a estructuras conformadas
por barras rectas que no presenten pandeo. Las reacciones en x son despreciables, ya que no se encuentran cargas horizontales actuando sobre la estructura.
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