TRABAJO APLICATIVO DE INFORMATICA MATRIZ DE RIGIDEZ
INTRODUCCION El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación: Las ecuaciones fundamentales se derivan utilizando el principio de superposición y las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura. Por lo tanto en el método de la rigidez el número de incógnitas que debe calcularse es igual al grado de indeterminación cinemática. La operación en este método es obtener una estructura cinemáticamente determinada alterando la estructura real de modo tal que los desplazamientos desconocidos sea cero.
OBJETIVO -
Determinar las matrices de rigidez locales de cada elemento. Determinar la matriz de rigidez global a partir de las matrices de rigidez locales
MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ
El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan de forma elástica y lineal. En inglés se le denomina direct stiffness method (DSM, método directo de la rigidez), aunque también se le denomina el método de los desplazamientos. Este método está diseñado para realizar análisis computarizado de cualquier estructura incluyendo a estructuras estáticamente indeterminadas. El método matricial se basa en estimar los componentes de las relaciones de rigidez para resolver las fuerzas o los desplazamientos mediante un ordenador. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de los elementos finitos. Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras (tanto comerciales como de fuente libre). El método directo de la rigidez se originó en el campo de la aeronáutica. Los investigadores consiguieron aproximar el comportamiento estructura de las partes de un avión mediante ecuaciones simples pero que requerían grandes tiempos de cálculo. Con la llegada de los ordenadores estas ecuaciones se empezaron a resolver de forma rápida y sencilla.
MATRIZ RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA K Un término cualquiera de la matriz de rigidez de una estructura Kij, es el q valor de la carga generalizada Qi, correspondiente a la deformada elemental j =1 y demás nulas. Por consiguiente si se desea calcular, por ejemplo, los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de una estructura se deberá calcular el vector de cargas generalizadas que corresponde al estado q q de desplazamiento elemental j=1 y j=0, i 1 . De igual forma se procederá con las demás columnas de K.
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
1. Construir de la forma elemental cuya columna se desea calcular. 2. Encontrar las deformaciones p en cada uno de los elementos asociados a la deformada elemental. Es un problema de geometría. 3. Transformar las deformaciones p de cada elemento de carga en cargas internas p por medio de la matriz rigidez del elemento k. La ecuación matricial que se utiliza es: P k p . 4. Usando la estática se realiza el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la estructura. 5. Encontrar el equilibrio de cada una de las juntas de la estructura. 6. En el paso anterior se obtienen las cargas que actúan sobre la estructura y el vector de cargas generalizadas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.
MATRIZ DE RIGIDEZ
1. Estableciendo convenciones
-
Inicialmente se opta por la orientación global de los ejes
-
Dividimos la estructura en elementos: nudos y barras y las enumeramos
-
Dependiendo de la numeración de los nudos los grados de libertad del sistema son:
2. Ordenando argumentos 2.1 De la estructura 2.1.1 Nudos NODOS
1
2
Cada fila representa un nodo
1
10
10
2
0
10
3
0
0
4
10
0
Col 1: abscisa X Col 2: ordenada Y
2.1.2 Propiedades Cada fila representa una propiedad PROP
1
2
1·10-3
1
2·1011
Col 1: área de la sección trasversal (m2) Col 2: módulo de elasticidad
2.1.3 Elementos MIEMBROS
1
2
3
1
3
2
1
2
2
1
1
3
4
1
1
4
3
1
1
5
2
4
1
Cada fila representa un elemento Col 1: nudo inicial Col 2: nudo final Col 3: propiedad
2.1.4 Apoyos Las convenciones para cada grado de libertad son: "0" desplazamiento libre, "1" desplazamiento restringido SUPP
1
2
Cada fila representa un soporte
3
1
3
1
1
2
4
1
1
Col 1: número de nudo donde existe el soporte Col 2:
Desplazamiento en x "ux" Col 3: Desplazamiento en y "uy" 2.2 Cargas 2.2.1 Carga puntual en nudos NLF
1
2
3
1
1
0
"-5*10^3"
2
2
"8*10^3"
0
Col 1: indica el número de nudo Col 2: fuerza en la dirección X Col 3: fuerza en la dirección Y 3. Proceso de cálculo 3.1 El vector de fuerzas equivalentes en los nudos
1x
0
5000
1y
8000 0
0
0
F
2x
2y
3y
0
0
3x 4x
4y
3.2 Matriz de rigidez global de cada miembro
3.2.1 Matriz de rigidez global del miembro 1 ELEM 1 L1
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS
ELEM 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS yi NODOS
nf 1
ni 2
yf NODOS L
nf 2 2
( xi xf ) ( yi yf )
2
L1 10
Coseno del menor Angulo que forma el elemento con el eje X x1
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS xi NODOS
ni 1
xf NODOS x1
ELEM 2
nf 1
xf xi L1
x1 0
Coseno del menor Angulo que forma el elemento con el eje Y y1
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS yi NODOS
ni 2
yf NODOS y1
y1 1
nf 2
yf yi L1
ELEM 2
Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local Área de la sección transversal del elemento elasticidad del elemento At1
prop MIEMBROS
E1
ELEM 3
At PROP
Módulo de
prop MIEMBROS
ELEM 3
E PROP
prop 1
prop 2
3
At1 1 10
11
E1 2 10
La expresicon matematica para calcular la matriz de rigidez en coordenadas globales k de un elemento i , la cual tiene propiedad de ser simetrica es:
x1
Ke1
x1 y1
x1 y1
At1 E1 L1
2
x1
2
0
0
y1
2
0
0 2 10
0 2 10
0
0
Ke1
7
0
2
( x1 y1 )
( x1 y1 )
0
y1
7
0
0 2 107 0 2 107
x1
2
( x1 y1 ) x1
2
x1 y1
( x1 y1 ) y1
2
x1 y1
y1
2
3.2.2 Matriz de rigidez global del miembro 2
ELEM 2 L2
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS
ELEM 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS yi NODOS
nf 1
ni 2
yf NODOS L
nf 2 2
( xi xf ) ( yi yf )
2
L2 10
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X x2
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS xi NODOS
ni 1
xf NODOS x2
ELEM 2
nf 1
xf xi L1
x2 1
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y
y2
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS yi NODOS
ni 2
yf NODOS y2
ELEM 2
nf 2
yf yi L2
y2 0
Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local Área de la sección transversal del elemento elasticidad del elemento At2
prop MIEMBROS
E2
ELEM 3
At PROP
prop MIEMBROS E PROP
prop 1
prop 2
3
At2 1 10
11
E2 2 10
La matriz de rigidez local del elemento es: k2
At2 E2 1 1
k2
1 1
L2
2 107 2 107
7 7 2 10 2 10
Matriz de trasformación de desplazamientos La matriz de rigidez local del elemento es:
x2
Ke2
L2
2
x2 y2
x2 y2
At2 E2
x2
2
y2
2
( x2 y2 )
( x2 y2 )
y2
2
2 107 0 2 107 0
0
Ke2
0
0
0
2 107 0 2 107 0
Modulo de
0
0
0
0
x2
2
( x2 y2 ) x2
2
x2 y2
( x2 y2 ) y2
2
x2 y2
y2
2
ELEM 3
3.2.3 Matriz de rigidez global del miembro 3
ELEM 3 L3
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS
ELEM 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS yi NODOS
nf 1
ni 2
yf NODOS L
nf 2 2
( xi xf ) ( yi yf )
2
L3 10
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X x3
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS xi NODOS
ni 1
xf NODOS x3
ELEM 2
nf 1
xf xi L3
x3 0
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y
y3
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS yi NODOS
ni 2
yf NODOS y3
ELEM 2
nf 2
yf yi L3
y3 1
Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local Área de la sección transversal del elemento del elemento At3
prop MIEMBROS
Modulo de elasticidad E3
ELEM 3
prop MIEMBROS
At PROP
E PROP
prop 1
prop 2
3
At3 1 10
11
E3 2 10
La matriz de rigidez local del elemento es:
x3
Ke3
x3 y3
x3 y3
At3 E3 L3
2
x3
2
0
0
y3
2
0
0 2 10
0 2 10
0
0
Ke3
7
0
2
( x3 y3 )
( x3 y3 )
0
y3
7
0
0 2 107 0 2 107
x3
2
( x3 y3 ) x3
2
x3 y3
( x3 y3 ) y3
2
x3 y3
y3
2
ELEM 3
3.2.4 Matriz de rigidez global del miembro 4
ELEM 4 L4
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS
ELEM 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS yi NODOS
nf 1
ni 2
yf NODOS L
nf 2 2
( xi xf ) ( yi yf )
2
L4 14.142
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X x4
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS xi NODOS
ni 1
xf NODOS x4
ELEM 2
nf 1
xf xi L4
x4 0.707
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y
y4
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS yi NODOS
ni 2
yf NODOS y4
ELEM 2
nf 2
yf yi L4
y4 0.707
Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local Área de la sección transversal del elemento elasticidad del elemento At4
prop MIEMBROS
Módulo de
E4
ELEM 3
At PROP
prop MIEMBROS
ELEM 3
E PROP
prop 1
prop 2
3
At4 1 10
11
E4 2 10
La matriz de rigidez local del elemento es:
x4
Ke4
x4 y4
x4 y4
At4 E4 L4
2
x4
y4
2
6
7.071 10
Ke4
6
y4
( x4 y4 )
2
( x4 y4 )
( x4 y4 )
( x4 y4 ) 7.071 106
2
x4
2
6
7.071 10
6
7.071 10
6
7.071 10 7.071 10
x4
2
y4
2
x4 y4
x4 y4
y4
6
2
6
7.071 10
7.071 10
7.071 10
6
6
6
7.071 10
6
7.071 10
7.071 106 7.071 106 7.071 106
6
7.071 10 7.071 10
3.2.5 Matriz de rigidez global del miembro 5 ELEM 5 L5
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS
ELEM 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS yi NODOS
nf 1
ni 2
yf NODOS L
nf 2 2
( xi xf ) ( yi yf )
2
L5 14.142
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje X x5
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS xi NODOS
ni 1
xf NODOS x5
x5 0.707
nf 1
xf xi L5
ELEM 2
Coseno del menor ángulo que forma el elemento con el eje Y y5
ni MIEMBROS
ELEM 1
nf MIEMBROS yi NODOS
ni 2
yf NODOS y5
ELEM 2
nf 2
yf yi L5
y5 0.707
Matriz de rigidez de un miembro de armadura en sistema local Área de la sección transversal del elemento elasticidad del elemento At5
prop MIEMBROS
Módulo de E5
ELEM 3
At PROP
E PROP
prop 1
prop 2
3
At5 1 10
11
E5 2 10
La matriz de rigidez local del elemento es: k5
At5 E5 1 1 L5
prop MIEMBROS
1 1
1.414 107 1.414 107
k5
7 7 1.414 10 1.414 10
Matriz de trasformación de desplazamientos 2 x5 2 x5 y56 x5 6 6 7.071 7.071 10 10 7.071 10 2 y5 ( x5 y56) At5 E5 x5 y5 6 6 Ke5 7.071 10 7.071 10 7.071 10 2 Ke5 L5 x5 2 ( x5 y5 ) x5 6 6 6 10 7.071 10 7.071 10 7.071 ( x5 y5 ) y5 2 x5 y5 6 7.071 106 7.071 106 7.071 10
( x5 y5 )6 7.071 10 2 y5 6 7.071 10 x5 y5 6 7.071 10 2 y5 6 7.071 10
ELEM 3
DIGRAMAS DE FLUJO PARA ELEMENTOS 1,2,3,4,5 A) LONGITUD DEL ELEMENTO
INICIO
Elem, MEMB[ ], NODE[ ]
¿=MEMB Elem.1 nf =MEMB Elem.2 x i=NODE ¿.1 Le x FIN y
x f =NODE nf .1 y i=NODE ¿.2 y f =NODE nf .2
B) COSENO DEL MENOR ANGULO QUE FORMA EL ELEMENTO CON EL EJEJ X GLOBAL
INICIO
Elem, MEMB[ ], NODE[ ]
¿=MEMB Elem.1 nf =MEMB Elem.2
ℷxxf −x i ℷ x =FIN ¿
x i=NODE ¿.1 x f =NODE nf .1
C) COSENO DEL MENOR ANGULO QUE FORMA EL ELEMENTO CON EL EJE Y GLOBAL
INICIO
Elem, MEMB[ ] , NODE[ ]
¿=MEMB Elem.1 nf =MEMB Elem.2 ℷyyf − y i ℷ y =FIN ¿
y i=NODE¿.2 y f =NODE nf .2
4. Ensamblando la matriz de rigidez de la estructura
Longitudes para cada elemento
L
for i 1 rows ( MIEMBROS) ni MIEMBROS
i 1
nf MIEMBROS xi NODOS
yi NODOS
i 2
10 10
14.142
14.142
ni 2 nf 2 2
( xf xi) ( yf yi)
i
L
nf 1
yf NODOS L
10
ni 1
xf NODOS
2
L
Hallamos el cuadrado de los cosenos directores para cada elemento x22
for i 1 rows ( MIEMBROS) ni MIEMBROS
i 1
0
nf MIEMBROS
1
i 2
xi NODOS
ni 1
xf NODOS
i
nf 1
0.5
2
0.5
xf xi
x2
L
i
0
x22
x2
INICIO
MEMB[ ],NODE[ ]
i:1...#filas(MEMB),1
ℷx2
¿=MEMB i .1 nf =MEMB i .2
FIN
x i=NODE ¿.1
x f =NODE nf .1
x f −x i 2 ℷ x 2i=( ) Li i=i+1
y22
for i 1 rows ( MIEMBROS) ni MIEMBROS
i 1
1 0
nf MIEMBROS
i 2
yi NODOS
yf NODOS
i
L
i
0.5
nf 2
0.5
2
yf yi
y2
y22 1
ni 2
y2
INICIO
MEMB[ ], NODE[ ]
i:1..#filas(MEMB),1
ℷ y2
¿=MEMB i .1 nf =MEMB i .2 FIN
y i=NODE ¿.2 y f =NODE nf .2
ℷ y2 i=(
y f− yi 2 ) Li i=i+1
Propiedades para cada elemento P
for i 1 rows ( MIEMBROS) p MIEMBROS
i 3
P
PROP
P
PROP
i 1 i 2
P
p 1 p 2
1 10 3 2 1011
3 11 2 10 1 10
P 1 10 3 2 1011
1 10 3 2 1011 1 10 3 2 1011
INICIO
MIEMBROS[ ], PROP[ ]
i:1..#filas(MEMBS) P
p=MEMB i ,3 FIN
Pi ,1=MEMB p ,1
Pi ,2=MEMB p ,2
i=i+1
Multiplicando los cosenos directores
xy
for i 1 rows ( MIEMBROS) ni MIEMBROS
i 1
nf MIEMBROS
0
i 2
xi NODOS
xf NODOS yi NODOS
i
xy
0
0.5
nf 1
0.5
ni 2
yf NODOS xy
0
ni 1
nf 2
xf xi yf yi L
i
L
i
xy
INICIO
NODE[ ], MEMB[ ]
i:1..#filas(MEMB),1
¿=MEMB i .1
ℷ xy
nf =MEMB i .2 x i=NODE ¿.1 x f =NODE nf .1 y i=NODE ¿.2 y f =NODE nf .2 x f −x i ∗y f − y i Li ℷ xyi = Li Obteniendo los productos finales i=i+1
FIN
P1 P2
x2P
x2P
x22
L
y2P
1 2 P P
L
y22
2 10
0
0
7
2 10
0
7
7.071 106
2 10
xyP
L
xy
0 0
0
xyP
6
6 7.071 10
6
7.071 10
7.071 10
7.071 106
7
y2P
P1 P2
6 7.071 10
Finalmente ensamblando la matriz de rigidez total Formando la matriz de ceros Kt
for i 1 rows ( NODOS ) 2 Kt
i i
0
Kt
INICIO
NODE[ ]
i:1..#filas[NODE].2,1
Kt i ,i=0
i=i+1
Kt
FIN
Programa que ensambla la matriz de rigidez de la estructura total, respecto al sistema global, a partir de los argumentos establecidos
Kt
for i 1 rows ( MIEMBROS) ni MIEMBROS
i 1
nf MIEMBROS
i 2
Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt Kt
2ni 1 2ni 1 2ni 2ni 1
Kt
Kt
Kt
2nf 2ni 1 2ni 1 2ni 2ni 2ni
Kt
Kt
2nf 1 2ni 2nf 2ni
2ni 2nf 1
Kt
Kt
2nf 1 2nf 1 2nf 2nf 1
2ni 2nf
Kt
Kt
2nf 1 2nf 2nf 2nf
Kt
Kt
xyP
2nf 1 2nf
2nf 2nf
i
xyP
y2P
2ni 2nf
i
x2P
2nf 1 2nf 1
2ni 1 2nf
Kt
x2P
xyP
2nf 2nf 1
i
i
2ni 1 2nf 1
2ni 2nf 1
i
i
y2P
2nf 2ni
i
i
xyP
2nf 1 2ni
Kt
2ni 1 2nf 1
x2P
xyP
y2P
i
i
xyP
2nf 2ni 1
2ni 1 2ni
Kt
xyP
2nf 1 2ni 1
2ni 2ni
Kt
2ni 1 2nf
2ni 2ni 1
Kt
2nf 1 2ni 1
x2P
2ni 1 2ni 1
i
i
i
i
xyP
y2P
i
i
Kt
2.707 107 7.071 106
6
7.071 10
7
2.707 10
7
2 10 0
2 10
0
2.707 10
0
0
7.071 10
7.071 106 7.071 106 6 6 7.071 10 7.071 10
Kt
7
0 0
2 10
7.071 10
7.071 10
2 10
0
0
7.071 10
0
2 10
7
6
7.071 10
6
7.071 10
6
7.071 10
INICIO
7
7.071 10
6
7.071 10
0
0
0
7.071 10
6
2.707 10
0
0
0
7.071 10
0
6
7.071 10
7.071 10
0
2 10
0
6
7
7
6
6
0
7.071 10
0
7
0
6
2.707 10
6
7
6
6
0
7.071 10
0
7.071 10
6
7.071 10
0
6
6
0
7
6
7.071 10
0
6 6
7.071 10
6
7.071 10
7
2.707 10
MEMB[ ]
i:1..#filas(MEMB)
Kt
FIN
i=i+1
5. Imposicion de las condiciones de soporte
Ks
for i 1 rows ( NODOS ) 2 Ks
Ks
for i 1 rows ( SUPP)
0
i i
n SUPP
i 1
Ks
Ks Ks
2n 1 2n 1 2n 2n
if 1
if 1
SUPP
i 2
SUPP
i 3
Ks
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ks 0 0 0 0 1 10307
307
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
0
0 0 0 0
0
0
1 10
307
1 10
0
307
1 10
0
Km Kt Ks
2.707 107 7.071 106
6
7.071 10
7
7
2 10
2.707 10
0
6
7.071 10
0
6
0
2 10
0
2.707 10
0
0
7.071 10
2.707 10
7.071 106 7.071 106
0
0
6 6 7.071 10 7.071 10
0
2 10
7
Km
7 6
0 0
6
7
2 10
7
6
7.071 10
0
0
7.071 10
0
2 10
6
7.071 10 6 6
7.071 10
0 0
6
6
307
1 10 0 0
2 10 6
7.071 10
7
0
7
0
7.071 10
307
7.071 10
6
0
7.071 10
1 10 7
7.071 10
0
6
7.071 10
6
7.071 10
6
7.071 10
6
7.071 10
7.071 10
0
0
0
0
307
1 10
6
7.071 10
6
7.071 10
307
1 10
INICIO
SUPP[ ]
i:1..#filas[SUPP] Ks
n=SUPP i ,1 FIN
α
1=SUPPi ,2 1=SUPPi ,3 Ks2 n−1,2n−1 α i=i+1
Ks2 n ,2 n
5.1 Obteniendo los desplazamientos en los nudos de la estructura, en el sistema local Ya que Km y F no son mas que los coeficientes y los terminos independientes del sistema de ecuaciones formados en cada nudo, tomando en cuenta los desplazamientos para cada grado de libertad, hay muchas formas de resolver el sistema de ecuaciones lineales Formando la matriz aumentada Ma augment ( KmF)
2.707 107 7.071 106
7
2 10
7.071 106 2.707 107
0
6
7.071 10
0
2 10
0
2.707 10
0
0
7
7.071 10
7.071 10
6
2.707 10
7.071 106 7.071 106
0
0
6 6 7.071 10 7.071 10
0
2 10
7
6
7.071 10
0
Ma
0
0
6
7
2 10
7
6
7.071 10
0
2 10
7
6
7.071 10 6 6
7.071 10
7.071 10 0
307
7.071 10
6
0
1 10 7
7.071 10
0
6
6
7.071 10
0 0
6
7.071 10
307
1 10 0 0
0
0 2 10
7.071 10
0
0
0
0
0
0
0
7.071 10
7.071 10
6
307
0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
Donde la solución es la última columna, vector de desplazamientos D rref ( Ma)
cols( M a )
6
7.071 10 6
7.071 10
0 0 1 0 0 0 0 0 9.647 10 4
6
6
1 10
0 1 0 0 0 0 0 0 3.98 10 4 rref ( Ma) 0 0 0 1 0 0 0 0 2.52 10 4
8 10
7.071 10
1 0 0 0 0 0 0 0 8.167 10 4
5 10
6
La matriz aumentada en su forma escalonada reducida
3
7
0
0
307
1 10
3
0
0
8.167 10 4 3.98 10 4
4
9.647 10
D 2.52 10 4
0 0
0
0
6. Obteniendo las reacciones en los apoyos Conociendo los desplazamientos y la matriz de rigidez de la estructura Kt, de la ecuacion fundamental del metodo de la rigidez F=KD Multiplicando FF Kt D
3.638 10 12
3
3
5 10
8 10
1.819 10 12
FF
3
2.96 10
8 10
5.04 10
4
3
3
1.3 10
Ordenando las reacciones REACC
for i 1 rows ( SUPP) n SUPP
i 1
Rx FF
2n 1
3 2.96 103 8 103
REACC
2n
REACC
n
REACC
Rx
REACC
Ry
i 1 i 2 i 3
3 4 4 5.04 10 1.3 10
Ry FF
REACC
INICIO SUPP[ ] i:1..#filas[SUPP],1
REAC FIN
n=SUPP 1,i
Rx=FF 2 n−1
Ry=FF 2 n REAC i, 1=n
REAC i, 2=Rx
REAC i, 3=Ry
i=i+1
7. Obteniendo las fuerzas actuantes en cada elemento 7.1 ELEMENTO 1
elm 1
Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos De1
ni MIEMBROS
elm 1
nf MIEMBROS
De D
De1
2ni 1
1
De D 2
0
elm 2
0
4
9.647 10
2.52 10 4
2ni
De D
2nf 1
3
De D 4
2nf
Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local L1 10
0
3
At1 1 10
0
0
0
0
0
0 2 107 0 2 107
11
E1 2 10
0 1 0 0
0 0 0 1 La fuerza de la barra está dada por:
q Te1 Ke1 De1
5.04 103
q
3 5.04 10
7.2 ELEMENTO 2 elm 2
0
0 2 107 0 2 107
Ke1
Te1
0
Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos De2
ni MIEMBROS
elm 1
nf MIEMBROS
9.647 10 4
elm 2
2ni 1
1
De D 2
2ni
De D
2nf 1
3
4 2.52 10 De2 4 8.167 10 3.98 10 4
De D
De D 4
2nf
Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local L2 10 3
At2 1 10
2 107 0 2 107 0
0
0
0
2 107 0 2 107 0
11
E2 2 10
1 0 0 0
Te2
0
Ke2
0
0
0
0
0 0 1 0
La fuerza de la barra está dada por: q2 Te2 Ke2 De2
2.96 103 q2 3 2.96 10
7.3 ELEMENTO 3 elm 3
Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos
De3
ni MIEMBROS
elm 1
nf MIEMBROS
elm 2
De D
2ni 1
1
De3
De D 2
2ni
0
4 8.167 10
3.98 10 4
De D
2nf 1
3
0
De D 4
2nf
Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local L3 10 3
0
At3 1 10
0
0
0
0 2 107 0 2 107
Ke3
0
11
E3 2 10
0
0
0 2 107 0 2 107
0 1 0 0
Te3
0
0 0 0 1
La fuerza de la barra está dada por: q3 Te3 Ke3 De3
7.96 103
q3
3 7.96 10
7.4 ELEMENTO 4 elm 4
Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos
De4
ni MIEMBROS
elm 1
nf MIEMBROS
elm 2
De D
De4
De D 2
4
8.167 10
2ni
3.98 10 4
De D
2nf 1
3
0
2ni 1
1
0
De D 4
2nf
Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local L4 14.142
7.071 106
3
At4 1 10
11
E4 2 10
0.707 0.707
Te4
0
0
0
6
7.071 10
La fuerza de la barra esta dada por: q4 Te4 Ke4 De4 q4
4.187 103
6
7.071 10
6 6 6 6 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 10 Ke4 6 6 6 6 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 106 7.071 106 7.071 106 7.071 106
0.707 0.707
0
6
7.071 10
3 4.187 10
7.5 ELEMENTO 5 elm 5
Obteniendo los desplazamientos en los extremos de los nudos
De5
ni MIEMBROS
elm 1
nf MIEMBROS
elm 2
9.647 10 4
De D
2ni 1
1 2
2ni
4 2.52 10
0
0
De D
2nf 1
3
De5
De D
De D 4
2nf
Matriz de rigidez del elemento respecto al sistema local L5 14.142 3
At5 1 10
7.071 106 7.071 106 7.071 106 7.071 106
11
E5 2 10 Te5
0.707 0.707 0
0
0
0.707 0.707
0
La fuerza de la barra está dada por: q5 Te5 Ke5 De5 q5
7.127 103
6 6 6 6 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 10 Ke5 6 6 6 6 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 10 7.071 106 7.071 106 7.071 106 7.071 106
3 7.127 10
DIAGRAMA DE FLUJO DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN OS EXTREMOS DE LOS NUDOS (ELEMENTOS 1,2,3,4,5)
INICIO
MEMB[ ]
¿=MEMB Elm,1 nf =MEMB Elm,2
De1=D2∋−1 2∋¿ De2=D¿ De3=D2 nf −1
De 4=D 2 nf De
FIN
DIAGRAMA DE MATRIZ DE TRANSFORMACION DESPLAZAMIENTOS (ELEMENTOS 1, 2, 3, 4, 5) INICIO
xi ,
x ,
¿
¿=MEMB Elem.1 ℷ xxxf −x¿.1i x i=NODE ℷ = xx FIN x =NODE ¿ f
nf .1
INICIO
yi ,
yf ,
y i=NODE ¿.2 ¿=MEMB Elem.1 ℷyyyf − y i y =FIN¿ y ℷf =NODE nf .2
R
Elemento 1 2 3 4 5
Nudo 3 2 2 1 4 1 3 1 2 4
Fuerza axial (N) -5039.63 5039.63 2960.36 -2960.36 7960.36 -7960.36 -4186.58 4186.58 7127.12 -7127.12
Tension compresion compresion tension compresion
CONCLUSIONES
-
Este método es aplicable a ejemplos similares, y la programación realizada sirve como patrón para futuros ejercicios. Este trabajo solo está diseñado para esta estructura, si queremos aplicarla a otra estructura tenemos que cambiar los datos de las tablas de nodos, en miembros y propiedades generales de los elementos. Se determinó la matriz de rigidez global en base a las matrices de rigidez locales de cada elemento. Para hallar la matriz de rigidez existen diferentes métodos, de los cuales trabajamos con los cosenos directores de cada elemento por ser este el método más simple.
BIBLIOGRAFIA -
Timoshenko, Stephen; Godier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed. Theory of elasticity.
-
Ortiz Berrocal, Luis (1991). McGraw-Hill, ed. Resistencia de Materiales. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7651-512-3.
-
Monleón Cremades, S., Análisis de vigas, arcos, placas y láminas, Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.
-
Apuntes de Analisis estructural II, Jorge Chavez.
-
Armaduras en 2D con el método de la matriz de rigidez, David Ortiz Soto.