Modul 1\\Matematika Lanjut \\ \ \Semester Ge Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
BAB 1 BILANGAN KOMPLEKS Indikator Setelah mengikuti mengikuti materi materi ini, mahasiswa mahasiswa dapat: 1. Mende Mendefin finisi isika kan n bilanga bilangan n komplek kompleks. s. 2. Melakukan Melakukan perhitu perhitungan ngan pada pada operasi operasi dasar dasar bilanga bilangan n kompleks. kompleks. 3. Merubah Merubah bentuk bentuk dasar dasar menjadi menjadi bentu bentuk k ekspone eksponesial. sial. 4. Merubah Merubah berbaga berbagaii bentuk bilanga bilangan n kompleks kompleks menjadi menjadi bentuk bentuk dasar. dasar. 5. Mengga Menggamba mbarr bilanga bilangan n komplek komplekss pada pada diagram diagram Argand Argand.. 6. Mencari Mencari akar-a akar-akar kar bilangan bilangan kompleks kompleks dengan dengan Teorema Teorema De De Moivre. Moivre. 7. Mengguna Menggunakan kan bilangan bilangan komplek komplekss pada bebera beberapa pa aplikasi aplikasi teknik. teknik. 8. Menyelesa Menyelesaikan ikan soal-so soal-soal al latihan latihan yang diberika diberikan n pada setiap setiap sub materi. materi.
Sub Materi 1.1 Pendahul Pendahuluan uan 1.2 Konyugat bilangan kompleks 1.3 Operasi bilangan kompleks 1.3.1 Penjum jumlahan 1.3.2 Penguran rangan 1.3.3 Perkalian 1.3.4 Pembagian 1.3. 1.3.5 5 Pers Persam amaa aan n Bilan Bilanga gan n Kompl Komplek ekss 1.4 Bentuk eksponensial eksponensial bilangan bilangan kompleks kompleks 1.5 Diagram argand argand dan dan koordinat polar 1.6 Teorem Teoremaa de moivre moivre 1.7 Akar bilangan bilangan komplek komplekss 1.8 Aplikasi Aplikasi bilangan bilangan kompleks kompleks
Jika grafik y ax 2
bx c tidak
pernah menyentuh garis x, maka solusi dari
ax 2 bx c 0 pastilah melibatkan bilangan imaginer (hayal). Jika seseorang berjalan tidak pernah menyentuh tanah maka orang tersebut adalah orang imaginer (hayal).
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-1
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
1.1 PENDAHULUAN Jika persamaan x 2 2x 2 0 diselesaikan diperoleh: x1,2
22
2
4 x1x 2
2 x1
2
48 2
2 4 x1 2
2
4x
1
2
2 2 1 2
1 1
Nilai 1 tidak mungkin dihitung nilainya dalam bentuk bilangan real. Untuk mengatasi permasalahan ini maka diperkenalkan sebuah defenisi akar negatif sebagai berikut: i = 1 dengan demikian penyelesaian persamaan kuadrat di atas menjadi x1,2 1 i Bilangan 1 + i dan 1 − i disebut bilangan kompleks. Bilangan kompleks adalah bilangan yang mengandung unsur i = 1 . Bila suatu bilangan kompleks z yang dinyatakan sebagai z = a + bi maka: a = bagian nyata (real part) dari z atau sering disingkat Re(z) b = bagian khayal (imaginary part) dari z atau sering disingkat Im(z) Jika Re(z) = 0 dan Im(z) ≠ 0 maka z disebut khayal murni (pure imaginary). Jika Re(z) = 0 dan Im(z) = 1 maka z disebut satuan khayal (imaginary unit). Pada beberapa buku teks, simbol i selalu diletakkan di depan bilangan real. Misalnya z = a + ib z = a + bi z = 5 − i7 z = 5 − 7i Bilangan kompleks i dapat pula dituliskan dalam bentuk pasangan berurutan (ordered pair). Bilangan kompleks z = a + bi dapat ditulis sebagai z = (a,b). Dalam matematika murni, simbol i dipakai untuk menyatakan nilai 1 . Namun dalam dunia rekayasa, khususnya bidang elektronika, simbol i juga dipakai oleh arus listrik. Karena itu untuk menghindari kebingungan maka dipakailah j sebagai pengganti i. Untuk membiasakan diri dalam menggunakan kedua simbol tersebut maka dalam pembahasan ini simbol i dan j dipakai keduanya , artinya i = j = 1 Dengan demikian bilangan kompleks z dapat dinyatakan sebagai
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-2
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
z = a + bj Dari hal tersebut di atas maka berlaku:
2
i = 1 = −1 3 2 i = i. i = i.(−1) = −i 4 2 2 i = i . i = (−1). (−1) = 1 5 4 i = i . i = (1). (i) = i 2
Contoh 1.1.1
Sederhanakan bentuk berikut i 203
a.
i 210
Penyelesaian a. i
203
200 3
=i
b. i 210
4 50 3
50
.i = (i ) .i = (1) .(−i) = −i
i 4 50 i 4 2 i 2 (1)50 (1) 2 (1) 1
1.2 KONYUGAT BILANGAN KOMPLEKS Bila suatu bilangan kompleks z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2 Maka sekawan atau konyugat-nya adalah: z1 x1 iy1 z 2 x 2 iy 2 Suatu bilangan kompleks yang dikalikan dengan konyugatnya akan menghasilkan bilangan real saja (bagian imaginernya nol). Pengetahuan tentang konyugat ini sangat diperlukan pada operasi pembagian bilangan kompleks. Contoh 1.2.1
Tentukan sekawan (konyugat) dari a) Z 1 = 5 + 2i b) Z2 = 4i − 7 19 c) Z3 = i Penyelesaian a) Z1 5 2i b) Z2 4i 7 c) Uraikan dulu Z3 dalam bentuk sederhana 19 4 4 3 4 Z3 = i = (i ) (i ) = (1) (−i) = −i Diperoleh Z3 i
1.3 OPERASI BILANGAN KOMPLEKS Rumus-rumus dasar yang akan dipakai pada operasi bilangan kompleks akan menggunakan nilai z1 dan z2 berikut z1 x1 y1i z2
x 2 y 2i
1.3.1 Penjumlahan Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-3
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) Pada operasi penjumlahan, bagian real dijumlahkan dengan bagian real sedangkan bagian imaginer dijumlahkan dengan bagian imaginernya. Contoh 1.3.1
Jika z1 2 5i dan z 2 3 4i maka z1 + z2 = (2 + 3) + i(−5 + 4) =5−i
1.3.2 Pengurangan z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2) Operasinya sangat identik dengan operasi penjumlahan yaitu dengan mengurangkan bagian real dengan real dan bagian imaginer dengan imaginer. Contoh 1.3.2
Jika z1 2 5i dan z 2 3 4i maka z1 − z2 = (2 − 3) + i(−5 − 4) = −1 − 9i
1.3.3 Perkalian Perkalian bilangan kompleks dilakukan seperti perkalian bilangan real pada umumnya. Semua elemennya diperkalikan. z1 . z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = x1 (x2 + iy2) + iy1 (x2 + iy2) 2 = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i y1y2 = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 − y1y2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) Contoh 1.3.3.a
Jika z1 2 5i dan z 2 3 4i maka z1 . z2 = (2 – 5i) + (3+4i) = (2.3 − (−5).4) + i(2.4+3.(−5).) = (6 + 20) + i(8 − 15) = 26 − 7i Ada hal yang menarik pada perkalian bilangan kompleks yaitu bahwa perkalian sebuah bilangan kompleks dengan konyugatnya akan menghasilkan sebuah bilangan real. Kenyataan ini akan diterapkan pada operasi pembagian bilangan kompleks. Andaikan terdapat bilangan kompleks z = a + bi maka z.z (a bi)(a bi) 2 2 =a +b Contoh 1.3.3.b
Jika z 2 5i maka konyugatnya z 2 5i akan diperoleh z.z ( 2 5i)(2 5i) 2 2 = 2 + 5 = 29
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-4
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
Hasilnya adalah sebuah bilangan real, tak ada bagian imaginernya.
1.3.4 Pembagian Pembagian bilangan kompleks dilakukan dengan cara mengalikan konyugat penyebut terhadap pembilang dan penyebutnya. Contoh 1.3.4.a
2 5i
Misalnya akan dihitung nilai dari
. Konyugat pembilangnya adalah 3 4i 3 − 4i. Selanjutnya kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 3 − 4i. 2 5i 3 4i 2(3 4i) 5i(3 4i) x 3 4i 3 4i 32 42 = = = =
6 8i 15i 20i 2 25 6 23i 20(1) 25 14 23i
25 14 23i 25
25
Contoh 1.3.4.b
Hitung nilai dari
1 i 3 1 i 3
Penyelesaian Konyugat pembilangnya adalah 1 i 3 . Selanjutnya kalikan pembilang dan penyebutnya dengan 1 i 3 . 1 i 3 1 i 3 x 1 i 3 1 i 3 = = =
2
1 i2 3 i 3 1 3
1 i 2 3 3(1) 4
2 i2
3
4
2 i2
3
4
1.3.5 Persamaan Bilangan Kompleks Persamaan x1 iy1 x 2 iy 2 akan bernilai benar jika dan hanya jika x 1 = x2 dan y1 = y2. Atau dengan kata lain bagian real di sebelah kiri = bagian real di sebelah kanan, dan bagian imaginer di sebelah kiri = bagian imaginer di sebelah kanan.
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-5
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
Contoh 1.3.5.a
Cari nilai x dan y dari perssamaan 2(x + iy) = 6 − 3i Penyelesaian 2x + i(2y) = 6 − 3i Diperoleh dua persamaan x=3 2x = 6 y = −3/2 2y = −3 Contoh 1.3.5.b
Cari nilai x dan y dari perssamaan 2 3i x yi Penyelesaian Kuadratkan kedua ruas
2 3i 2
x yi
2
2 2 12i 9i 2 x yi 4 12i 9 x yi 5 12i x yi Diperoleh dua persamaan x = −5 y = −12
1.4
BENTUK EKSPONENSIAL KOMPLEKS ei
BILANGAN
(1.4.5.b)
cos i sin
Persamaan ini dikenal dengan nama rumus Euler.
1.5 DIAGRAM ARGAND DAN KOORDINAT POLAR Bilangan kompleks z dapat digambarkan sebagai pasangan titik-titik di sebuah bidang. Sumbu vertikal menyatakan bagian imaginer (sumbu imaginer) sedangkan sumbu horisontal menyatakan bagian real (sumbu real). Pada kedua sumbunya mempunyai panjang satuan yang sama. Bidang xy dimana bilangan kompleks digambarkan disebut sebagai bidang kompleks atau dikenal juga dengan nama diagram Argand (Jean Robert Argand: 1768 – 1822). Misalkan diketahui sebuah bilangan kompleks z a bi Modulus atau harga absolut z : z
r
a 2 b2
Argumen atau amplitudo atau phase dari z
b a
: Arg(z) = θ = tan 1
Dari gambar dapat kita lihat bahwa dalam bentuk polar:
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-6
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
a = |z| cosθ = r cosθ b = |z| sinθ = r sinθ y Im(z) b
z(a,b) r = |z| θ
a
x Re(z)
Gambar 1.1 Diagram Argand bilangan kompleks Sehingga bilangan kompleks z = a + bi dapat pula ditulis dalam bentuk: z = a + ib = (r cosθ) + i(r sinθ) = r ( cosθ + isinθ) = rei
(1.5.1)
(1.5.2) = r cisθ (1.5.3) Bentuk z r (cos i sin ) inilah yang disebut bentuk polar dari bilangan kompleks z a bi . Contoh 1.5.1
Nyatakan dalam bentuk polar dari z 3 i Penyelesaian Agar tidak keliru menentukan besar sudutnya maka gambarkan z dalam diagram Argand. Di sini terlihat bahwa bagian real ( 3 ) bernilai positif (berada di sebelah kanan sumbu real atau sumbu x) sedangkan bagian imaginernya bernilai negatif (−1) yang berarti posisinya berada pada bagian bawah sumbu imaginern(sumbu y). Dengan demikian bilangan kompleks z 3 i berada pada kuadran IV. Ini berarti 270 < θ < 360 y Im(z)
Kuadran II
Kuadran I
θ
3 x Re(z)
0 r = |z|
z 3i
−1 Kuadran III
Kuadran IV
Gambar 1.2 Posisi titik z 3 i dalam diagram Argand Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-7
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Modulus atau harga absolut z
Bab 1 : Bilangan Kompleks
z
r
Argumen atau amplitudo atau phase dari z
3 2 (1)2 = 2
1 = 330o 3
θ = tan 1
Bentuk polar dari z 3 i adalah z 2(cos 330 i sin 330)
1.6 TEOREMA DE MOIVRE Jika terdapat sebuah bilangan kompleks z = a + ib atau dapat ditulis dalam bentuk z = r ( cosθ + isinθ) = rei maka: 2 z = rei rei 2 = r eii 2 = r ei 2 2 = r ( cos2θ + isin2θ) Demikian pula untuk hal berikut: -2 -1 -1 z =z .z 1 i 1 = rei re = r 1ei r 1e i
= r eii -2 = r e i 2 -2
= r 2 cos 2 i sin 2 Dari kedua contoh di atas, maka untuk pangkat bilangan kompleks berlaku: z
n
r n (cos n i sin n)
(1.6.1)
Contoh 1.6.1
Nyatakan
3 i
5
dalam bentuk polar dan bentuk Kartesian
Penyelesaian Dari contoh 1.5.1 telah diperoleh bahwa untuk 3 i o 330 atau ditulis 2(cos 330 i sin 330) Dari persamaan (1.6.1)
3 i
r = 2 dan θ =
5 2(cos 330 i sin 330)5 = 25 cos(5.330) i sin(5.330) = 32cos(1650) i sin(1650)
= 32cos(210) i sin( 210) Dalam bentuk eksponensial
bentuk polar
5
3 i 32ei 210 Dalam bentuk Kartesian
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-8
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
5
3 i = 32 =
16
1 2
3 i
Bab 1 : Bilangan Kompleks
1
2
3i
Catatan: Mungkin ada yang bertanya kenapa θ = 1650 = 210? Dalam diagram Kartesian kita hanya mempunyai empat kuadran karena itu semua sudut harus berada pada salah satu kuadran tersebut. Caranya adalah bagi 1650 o dengan 360 (satu lingkaran penuh = 360 ) 1650 4,58 360 Selanjutnya kita hanya mengambil integernya saja yaitu 4 (0,58 dibabaikan). 1650 4x 360 = 210 (Berada pada kuadran III) Atau dengan cara ini 1650 4,5833 4 x 360 360 = 210 (Berada pada kuadran III) Contoh lain, misalnya akan dihitung besarnya cos 3720o . 3720 10,333 360 Ambil integernya saja yaitu 10 (0,333 dibabaikan). 3720 10 x360 = 120 (Berada pada kuadran II) 1 Jadi cos 3720o cos120o 2 Atau dengan cara ini 3720 10,3333 10 x360 360 = 120 (Berada pada kuadran II)
1.7 AKAR BILANGAN KOMPLEKS n
Jika z = w , dimana z adalah bilangan kompleks dan n = 1,2,3,4..... maka setiap nilai w akan bersesuaian dengan satu nilai z. Jika z ≠ 0 maka akan terdapat tepat n nilai w yang berbeda. Masing-masing nilai tersebut disebut akar ke-n dari z dan ditulis w n z Jika dalam bentuk polar z r (cos i sin ) w R (cos i sin ) n Dari z = w
(1.7.1)
n
w n R (cos i sin ) z r (cos i sin ) n Gunakan teorema De Moivre untuk w , diperoleh R n (cos n i sin n) r (cos i sin )
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-9
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
Samakan kedua bagian absolut atau modulusnya Rn
r
R n r Samakan kedua bagian argumen atau amplitudonya diperoleh yang cukup dipakai salah satunya saja. cos n cos atau sin n sin Misalkan diambil persamaan pertama saja; cos n cos Mengingat sifat fungsi trigonometri cos n cos( 2k ) Dimana k = 0,1,2,3,4...... Dengan demikian n 2k
dua
persamaan
2k
n Dalam hal ini k = 0,1,2,3,.....(n − 1). Nilai k setelah k = n − 1 akan memberikan 2n nilai yang telah diperoleh sebelumnya. Misalnya untuk k = n memberikan = n 2π dimana nilai ini sama untuk k = 0. Dengan demikian n z untuk z ≠ 0 mempunyai n nilai yang berbeda
n
z
2k 2k n r cos i sin n n
(1.7.2)
Dimana k = 0,1,2,3,....,(n − 1) Contoh 1.7.1
Selesaikan persamaan w 4
1
Penyelesaian Dalam hal ini bilangan kompleks kita adalah z 1 0i Harga mutlak z r = 1 Argumen θ = 0 n=4 Nilai k = 0,1,2,3 Dari persamaan (1.7.2) w
0 2k 0 2k n r 4 1 cos i sin 4 4 k k cos i sin 2 2
Untuk k = 0
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-10
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
0 i sin 0 2 2
w1 cos
Bab 1 : Bilangan Kompleks
=1
Untuk k = 1 w2
cos i sin 2 2
=i Untuk k = 2 w3
2 2 cos i sin 2 2 cos i sin
= −1 Untuk k = 3 w4
3 3 cos i sin 2 2
= −i Bila keempat akar tersebut digambarkan dalam diagram Argand Im(w) w2
w3
Re(w)
w1
w4
Gambar 1.3 Posisi akar-akar w 4
1 dalam diagram Argand 4
Perhatikan kembali contoh 1.7.1 di atas. Persamaan w = 1 berarti terdapat empat akar yang berbeda dan apabila digambarkan dalam diagram Argand maka o keempat akar tersebut akan membagi sudut 360 secara merata. Ini berarti 360 90o ke arah positif (berlawanan keempat akar tersebut akan diputar sebesar 4 jarum jam). Pencarian akar-akar w menjadi lebih mudah, yaitu cukup mengetahui satu sudut θ saja (yaitu untuk k = 0) maka yang lainnya dapat diperoleh. Pada contoh di atas: Untuk k = 0 w1 cos 0 i sin 0 = 1 Akar w selanjutnya cukup dengan menambahkan 90º terhadap sudut sebelumnya; dengan demikian:
=i w 3 cos180o i sin 180o = −1 w2
cos 90o i sin 90o
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
Halaman
1-11
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
w4
Bab 1 : Bilangan Kompleks
cos 270o i sin 270o
= −i
Catatan: Nilai k yang dipersyaratkan adalah 3 yang berasal dari n − 1. Andai kita lanjutkan untuk nilai k yang lebih besar lagi misalkan k = 4; Untuk k = 4 4 i sin 4 w k 4 cos 2 2
cos 2 i sin 2 = 1 nilai ini sama pada k = 0. Untuk k = 5 5 i sin 5 w k 5 cos 2 2 = i nilai ini sama pada k = 1. Jadi k > (n − 1) hanya merupakan pengulangan dari hasil yang telah diperoleh sebelumnya Contoh 1.7.2
Carilah semua akar dari w dan gambarkan semua akar-akar tersebut dalam bidang kompleks (diagram Argand) jika diketahui w3
1 i
Penyelesaian Dalam hal ini bilangan kompleks kita adalah z 1 i Harga mutlak z
r 1 2 (1) 2 1 o tan 1 = 45 1
Argumen θ =
z
2
Dari soal terdapat n = 3 dan nilai k = 0,1,2 Akar-akar dari w adalah w
n
r
3
45o 2k 45o 2k i sin 2 cos 3 3
Untuk k = 0
45o 0 45o 0 i sin w1 2 cos 3 3 6
i sin 15o
w1 1,122 cos 15o
= 1,08 + 0,29i
Untuk k = 1
45o 2 45o 2 i sin w 2 2 cos 3 3 6
w2
1,122 cos 135o i sin 135o
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
= −0,79 + 0,79i
Halaman
1-12
Modul 1\\Matematika Lanjut \\Semester Genap 2017-2018
Bab 1 : Bilangan Kompleks
Untuk k = 2
45o 4 45o 4 i sin w 3 2 cos 3 3 6
w3
1,122 cos 255o i sin 255o
= −0,29 − 1,08i
Ketiga akar tersebut bila digambarkan dalam diagram Argand diperoleh Im(w) w2
w1 Re(w)
w3 Gambar 1.4 Posisi akar-akar w 3
1 i
dalam diagram Argand
Cara lain yaitu dengan melihat bahwa w 3 1 i mempunyai tiga akar yang berbeda sehingga ketiga akar tersebut akan diputar sebesar 360 120o ke arah positif (berlawanan jarum jam). 3 Untuk k = 0
45o 0 45o 0 i sin w1 2 cos 3 3 6
o i sin 15o
w1 1,122 cos 15
= 1,08 + 0,29i
Akar w selanjutnya cukup dengan menambahkan 120º terhadap sudut sebelumnya; dengan demikian:
w 3 1,122 cos 255o i sin 255o w2
1,122 cos 135o i sin 135o
Yesung Allo Padang \\Teknik Mesin UNRAM
= −0,79 + 0,79i = −0,29 − 1,08i
Halaman
1-13
