BAB III FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER
Pada bagian ini kita selalu mempertimbangkan fungsi elementer yang dipelajari dalam kalkulus dan mendefinisikan hubungannya dengan fungsi dari suatu variabel kompleks. Khus Khusus usny nya, a, kita kita defin definis isik ikan an fungs fungsii anal analit itik ik dari dari suat suatu u varia variabe bell komp komple leks ks z untu untuk k mere mereduk duksi si kedal kedalam am fung fungsi si kalk kalkulu uluss z = x + i0. i0. Kita Kita mula mulaii mende mendefi finis nisik ikan an fungs fungsii eksponen kompleks dan kita gunakan untuk pengembangan selanjutnya. 23. FUNGSI EKSPONENSIAL
Jika suatu fungsi f dari suatu variabel kompleks z = x + iy adalah direduksi kedalam keluarga fungsi eksponensial dalam kalkulus dimana z adalah real, kita harus mengingat kembali bahwa f(x+i0) = ex
(1)
x
x
untuk setiap bilangan real x. Karena (e )’ = e untuk setiap bilangan real x, juga asalnya fungsi tersebut memenuhi kondisi berikut: (2)
f adalah terdiferens terdiferensialkan ialkan dimana-mana dimana-mana (entire) (entire) dan f’(z) = f(z) untuk setiap setiap z. z.
Perhatikan Perhatikan kembali contoh 1 pada bagian 18, fungsi f(z) = ex(cosy + isiny), Dimana Dimana y dihitu dihitung ng dalam dalam radian radian,, fungsi fungsi tersebut tersebut terdif terdifere erensi nsialk alkan an dimanadimana-man manaa dan f’(z f’(z)) = f(z) f(z).. Juga Juga kondi kondisi si (1) (1) dan (2) (2) jela jelass dipen dipenuh uhii fung fungsi si ini. ini. Fung Fungsi si ini ini dapat dapat ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi (1) dan (2) (lihat soal nomor 15); dan kita tulis z
z
f(z) = e . Kadang-kadang, untuk memudahkan kita gunakan notasi exp z untuk e . Fungsi eksponensial dari analisis kompleks adalah didefinisikan untuk semua z dengan persamaan (3)
z
x
e = e (cos y + i sin y)
dimana z = x + iy. Fungsi ini direduksi dari fungsi eksponensial dalam kalkulus dengan y = 0 adalah entire dan, (4)
d dz
e e ,
82
adalah adalah juga entire dalam bidang z. Dalam kalkulus, nilai
n
e akar pangkat n dari e adalah positif, demikian juga e
x
z
dimana x = 1/n ( n = 2, 3, …). Selanjutnya, nilai fungsi eksponensial kompleks e sama dengan
n
e asalkan z = 1/n ( n = 2, 3, …).
Jika z bagian imajiner murni i, maka dari persamaan (3) e = cos + i sin . i
Rumu Rumuss ini ini diseb isebut ut rumus umus Eul Euler yang telah elah dije dijellaska askan n pada pada BAB BAB I bag bagian ian 5. i
Pendefinisian e
z
yang diberikan digunakan pada persamaan (3) dan e secara umum
dapat dituliskan sebagai berikut z
(5)
x iy
e =ee .
Persamaan (5) dapat ditulis menjadi e ei , dimana = e dan x
(6)
.
Bilangan = ex adalah positif untuk semua x, dan dari persamaan (6), modulus e z x
z
adalah e dan y merupakan suatu argumen dari e ., yakni (7)
Sebagai catatan, e (8)
dan arg(e ) = y + 2n (n = 0, 1, 2, 3, …) z
e ex
selalu positif,
e 0 untuk semua bilangan kompleks z. z
z
Persamaan (5) untuk e dapat digunakan untuk menurunkan sifat fungsi eksponensial kompleks berikut. (9)
(exp z1)( exp z2) = exp (z1+z2).
Untuk membuktikan sifat ini, tulis z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Maka (exp z1)( exp z2) = e x1 eiy1 e x 2 eiy 2 e x1 e x2 eiy1 eiy 2 . Karena x1 dan x2 keduanya bilangan real, dan dari bab 1 bagian 6, eiy1 eiy 2 ei y1 y 2 , maka (exp z1)( exp z2) = e x1 x 2 ei y1 y 2 ; dan juga
83
(x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = z1 + z2. Ini berarti sifat pada persamaan (9) telah ditunjukkan. Dari sifat (9) dapat diturunkan pula sifat exp(z1 – z2) exp z2 = exp z1, atau exp z1
(10)
exp z1 z 2
exp z 2 0
Dari (10) diperoleh e = 1 dan
1 e
-z
= e . Sifat-sif Sifat-sifat at yang lain dari dari fungsi fungsi eksponensial eksponensial
adalah (11)
(exp z)n = exp(nz)
(12)
e
2 i
(n = 0, 1, 2, …), dan
e e 2 i =ez untuk semua z z
Persamaan (12) mempunyai arti bahwa fungsi e adalah adalah fungsi periodik dengan periodik 2i. Carilah Carilah semua nilai z yang memenuhi
Contoh.
z
(13)
e = -1. x iy
Persama Persamaan an (13) (13) dapat dapat ditulis ditulis menjadi menjadi e e
= 1e . Maka Maka dari dari bagi bagian an 5, bahw bahwaa dua dua i
bilangan kompleks adalah sama dalam d alam bentuk eksponensial , jika e = 1 dan y = + 2n (n = 0, 0, 1, 2, …). x
Jadi, x = 0, dan diperoleh (14)
z = (2n + 1)i, (n = 0, 1, 2, …).
LATIHAN
1. Tunjuka Tunjukan n bahwa bahwa (a). exp(2 3i) = - e ; (b). exp 2
2 i
4
2
z
e 2
1 i ; (c). exp(z+i) = -exp(z)
-z
2. Pada Pada saat saat kapan kapan fungsi fungsi 2z 2z – 3 – ze + e entire? 3. Buktika Buktikan n bahwa bahwa fungsi fungsi exp z tidak z tidak analitik dimana-mana. 2
4. Tunj Tunjukk ukkan an dala dalam m dua cara cara bahwa bahwa fung fungsi si exp(z exp(z ) adal adalah ah entir entire, e, Tentu Tentuka kan n pula pula turunannya.
84
i dan expiz 2 dan bentuk x dan y. Tunjukkan 5. Tuli Tuliss exp2 z Tunjukkan pula bahwa exp2 z i expiz 2 e 2 x e 2 xy
2
6. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa exp z 2 exp z . 7. Buktika Buktikan n bahwa bahwa exp 2 z <1 jika dan hanya jika Re z > 0. 8. Carilah Carilah semua semua nialai nialai z sedemikian sedemikian sehingga sehingga z
z
(a). e = -2;
(b). e = 1 +
3 i;
(c).
exp(2z-1) = 1.
9. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa expiz exp i z jika dan hanya jika z = n, (n = 0, 1, 2, …). 10. (a). Tunjukan bahwa jika e real, maka Im(z) = n (n = 0, 1, 2, …) z
z
(b). Jika e imajiner imajiner murni, maka tentukan batasan nilai pada z. 11. Tentukan Tentukan nilai dari exp(x+iy), exp(x+iy), jika (a) x menuju - , (b) y menuju . 1
12. Tulis Re e dalam bentuk x dan y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik pada
setiap domain yang tidak memuat titik asal? 13. Misalkan fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain D. Pada saat kapan fungsi u(x,y)
U(x,y) = e
u(x,y)
cos v(x, v(x,y y),
V(x, V(x,y y) = e
sin v(x,y)
Harmonik di D dan bagaimana harmonik konjugate V(x,y) dari U(x,y)? 14. Buktikan Buktikan kesamaan n
(exp z) = exp( exp(nz) nz) (n = 0, 0, 1, 2, …) 24. FUNGSI TRIGONOMETRI
Dari rumus Euler pada bagian 5, telah diketahui diketahui bahwa ix
-ix
e = cos cos x + isin isin x, x, e
= cos x - isin x
untuk setiap setiap bilangan bilangan real x, dan dari persamaan ini diperoleh ix
e -e
-ix
= 2isin x
ix
-ix
,e +e
85
e
-ix
= 2cos x.
Defini Definisi si di atas atas yang yang mendas mendasari ari pendefi pendefinis nisian ian fungs fungsii kosinu kosinuss dan sinus sinus dari dari suatu suatu variabel kompleks z, yakni: sin z
(1)
eiz e iz 2i
cos z
,
eiz e iz 2
Fungsi ini adalah entire karena mereka adalah kombinasi linier (latihan 3, bagian 22) iz
-iz
dari e dan e . Dari turunan fungsi eksponensial, turunan dari (1) adalah (2)
d dz
d
sin z cos z ,
dz
cos z sin z .
Dari definisi (1) mudah untuk ditunjukkan bahwa : (3)
sin (-z) = -sin z dan cos (-z) = cos z.
Contoh. Tunjukkan
(4)
bahwa
2sin z1 cos z2 = sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2)
Dengan menggunakan definisi (1), diperoleh bahwa
eiz eiz eiz eiz = 2 2 i 2 1
2sin z1 cos z2
ei =
2
1 2
1
e i
1 2
2
2i
ei z 1
2
ei 2i
1 2
= sin (z1 + z2) + sin (z1 - z2). Sifat-sifat yang lain dari fungsi trigonometri adalah sebagai berikut: (5)
sin (z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2
(6)
cos (z1 + z2) = cos z1 cos z2 - sin z1 sin z2
(7)
sin z + cos z = 1
(8)
sin 2z = 2sin z cos z,
(9)
sin z
2
2
2
=cos z,
2
2
cos 2z = cos z – sin z
sin z
2
=-cos z
Jika y suatu bilangan real, maka dari definisi (1) dan definisi fungsi hiperbolik sinh
e y e y 2
,
cosh z
dalam kalkulus, diperoleh hubungan
86
e y e y 2
(10)
sin(iy) = i sinh y,
dan
cos(iy) = cosh y.
Dari persamaan (10) diperoleh bagian real dan bagian imajiner dari fungsi sin z dan cosz, dengan memisalkan z1 = x dan z2 = iy , dan persamaan (5) dan (6), (6), diperoleh diperoleh (11)
sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y
(12)
cos z = cos x cosh y - i sin x sinh y,
dimana z = x + iy. Suat Suatu u sifa sifatt yang ang pali paling ng pent pentin ing g dari dari sinz sinz dan dan cosz cosz yang yang ditu dituru runk nkan an dari dari persamaan (11) dan (12) adalah fungsi periodik pe riodik masing-masing, yakni : (13)
sin (z+2) = sin z,
sin (z + ) = - sin z
(14)
cos (z+2) = cos z,
cos (z + ) = - cos z
Juga (lihat latihan 7) 2
2
2
(15)
sin z sin z = sin x + sinh y,
(16)
cos z cos z = cos x + cosh y.
2
2
2
Persamaan (15) dan (16) memberikan gambaran bahwa sin z dan cos z tidak terbatas dalam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak dari sin x dan cos x kurang dari atau sama dengan satu. Pembuat nol dari fungsi f(z) adalah suatu bilangan z0 sedemikian sehingga f(z0) = 0. Jika sin z merupakan fungsi sinus dalam kalkulus dimana z adalah bilangan real, maka sin z = 0 jika z = n, (n = 0, 1, 2, …). Demikian juga jika sin z = 0, maka dari (15), diperoleh 2
2
sin x + sinh y = 0 jadi, sin x = 0 dan sinh y = 0. Ini berarti x = n (n = 0, 1, 2, …) dan y = 0. Dari sini diperoleh suatu sifat, bahwa (17)
sin z = 0 jika dan hanya jika z = n (n = 0, 1, 2, …).
Karena dari persamaan (9), -sin z
(18)
= cos z, maka
2
cos z = 0 jika dan hanya jika z =
87
2
+ n (n = 0, 1, 2, …)
Jadi, dalam hal ini pembuat nol dari sin z dan cos z adalah bilangan real. Empat fungsi trigonometri lain yang diturunkan dari fungsi sinus dan cosinus adalah sebagai berikut : tan z
sin z
cot z
,
cos z 1 sec z , cos z
(19)
csc z
cos z sin z 1 sin z
Fungsi Fungsi tan z dan sec z adalah fungsi analitik analitik dimana-mana kecuali dititik singularita singularitasnya snya (bagian 20), yaitu z = (/2) + n (n = 0, 1, 2, …), dan ini merupakan pembuat nol dari fungsi cos z. Demikian juga fungsi cot z dan csc z mempunyai titik singularitas di pembuat nol sin z, yakni z = n (n (n = 0, 1, 2, …). …). Sela Selanj njut utny nya, a, deng dengan an mendeferensi mendeferensialkan alkan bahagian kanan dari persamaan persamaan (19), diperoleh rumus diferensial diferensial sebagai berikut : d dz d
(20)
dz
d
tan z sec2 z , sec z sec z tan z ,
cot z csc2 z
dz d
dz
csc z csc z cot z
Untuk Untuk menyeli menyelidik dikii sifat sifat periodi periodik k dari dari fungsi fungsi trigon trigonome ometri tri (19) (19) dapat dapat diseli diselidik dikii dari dari persamaan (13) dan (14). Sebagai contoh, tan(z + ) = tan z.
(21) LATIHAN
1.
(a). (a).
Uraikan Uraikan secara secara rinci rinci persama persamaan an (2) dalam dalam bagian bagian 24 untuk untuk menent menentukan ukan turunan sin z dan cos z.
(b). Misalkan Misalkan fungsi fungsi f(z) adalah adalah analitik analitik dalam dalam domain domain D. Pada saat saat kapan fungsi fungsi sin f(z) dan cos f(z) analitik dalam domain D. Juga dengan menuliskan w = f(z), maka tunjukkan bahwa d dz
sin w cos w
dw dz
, dan
d dz
cos w sin w
88
dw dz
iz
2.
Tunj Tunjuk ukka kan n bahw bahwaa e = cos z + i sin z untuk setiap bilangan kompleks z.
3.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa seti setiap ap rumus rumus trigono trigonome metr trii pada pada persa persama maan an (7), (7), (8), (8), dan (9) bagian 24 diturunkan dari persamaan (5) dan (6) bagian b agian 24.
4.
Gunaka Gunakan n sifat sifat pada persam persamaan aan (7) bagian bagian 24 untuk untuk menunj menunjukka ukkan n 2
2
2
(a). 1 + tan z = sec z
2
(b). 1 + cot z = csc z
5.
Turunka Turunkan n rumus rumus differ differensi ensial al pada pada persam persamaan aan (20) (20) bagian bagian 24.
6.
Dalam Dalam bagia bagian n 24, gunaka gunakan n persama persamaan an (11) (11) dan (12) untuk untuk menur menurukan ukan pers persama amaan an 2
2
(15) dan (16) dari sin z sin z dan cos z cos z . 7.
Tunjukkan Tunjukkan ketaksamaan ketaksamaan berikut berikut ini dengan menggunakan menggunakan persamaan persamaan (15) dan (16) 2
2
dari sin z sin z dan cos z cos z , (a). sin z sin x
(c). sinh y sin z cosh 8.
(b). cos z cos x (c). sinh
cos z cosh
a. Gunak Gunakan an defin definisi isi (1) dalam dalam bagian bagian 24 24 dari dari sin z dan cos cos z untuk untuk menu menunjuk njukkan kan 2sin (z1 + z2) sin (z 1 - z2) = cos 2z2 -cos 2z1 b. Dengan menggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos z1 = cos z2 maka paling sedikit salah satu dari bilangan z1 - z2 dan z1 + z2 merupkan kelipatan dari 2.
9.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa fung fungsi si sin sin z dan cos z tidak tidak analitik dimana-mana untuk z. z dan cos z
10.
Gunakan Gunakan sifat sifat refleksi refleksi bagian 21 untuk menunjukkan menunjukkan bahwa, untuk semua semua z a. sin z sin z
11. 11.
b. cos z cos z
Deng Dengan an mengg mengguna unaka kan n persa persama maan an (11) (11) dan dan (12) (12) bagian bagian 24, 24, tunj tunjuk ukkan kan seca secara ra langsung soal nomor 10.
12. 12.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa (a). cosiz cos i z untuk semua z
(b). sin iz sin i z
jika dan hanya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)
89
13. 13.
Cari Carila lah h semu semuaa nila nilaii z yang yang meme memenu nuhi hi dari dari pers persam amaa aan n sinz sinz = cosh cosh4 4 deng dengan an menyamakan menyamakan bagian real dan bagian imajiner sinz dan cosh4.
14.
Carilah Carilah semua semua nilai yang memenuhi memenuhi persamaan persamaan cos z = 2.
25. FUNGSI HIPERBOLIK
Fungsi Fungsi sinus sinus hiperb hiperboli olik k dan cosinus cosinus hiperb hiperboli olik k dari dari variabe variabell komplek komplekss didefi didefinis nisik ikan an melalui pendefisian mereka pada variabel real, yakni, (1)
sinh z = z
e e 2
,
cosh z =
e e z 2
.
-z
Karena e dan e adalah entire, maka dari persamaan (1) sinh z dan cosh z adalah entire. Lebih dari itu, (2)
d dz
d
sinh z cosh z ,
dz
cosh z sinh z .
Karena (1) didefinisikan melalui fungsi eksponensial dan definisi bagian 24 sin z =
eiz e iz 2i
,
cos z =
eiz e iz 2
dari sin z dan cos z, maka fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik mempunyai hubungan dengan fungsi sinus dan cosinus, yakni: (3)
-i sinh (iz) = sin z,
cosh (iz) = cos z
(4)
-i sin (iz) = sinh z,
cos (iz) = cosh z
Disamping Disamping sifat-sifat sifat-sifat di atas, fungsi sinus hiperbolik hiperbolik dan cosinus cosinus hiperbolik hiperbolik mempunyai sifat sebagai berikut : (5) (6)
sinh (-z) = -sinh z,
cosh (-z) = cosh z 2
2
cosh z – sinh z = 1
(7)
sinh (z1 + z2) = sinh z1 cosh z2 + cosh z1 sinh z2
(8)
cosh (z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + sinh z1 sinh z2
(9)
sinh z = sinh x cos y + icosh x sin y
(10)
cosh z = cosh x cos y + isinh x sin y
90
2
2
2
(11)
sinh z sinh z = sinh x + sin y
(12)
cosh z cosh z = sinh x + cos y
2
2
2
dima dimana na z = x + iy. iy. Untuk Untuk memb membukt uktik ikan an sifa sifatt-si sifa fatt di atas atas dapa dapatt dilak dilakuka ukan n denga dengan n menggunakan menggunakan definisi (1) dan sifat-sif sifat-sifat at lain yang telah dibuktikan. dibuktikan. Sebagai contoh akan dibuktikan persamaan (11), dan selain itu dijadikan sebagai latihan. Contoh. Buktikan
2
2
2
bahwa sinh z sinh z = sinh x + sin y, dengan z = x + iy. 2
2
Dari persamaan (4) sinh z sin iz , yakni (13)
2
sinh z sin
2
ix ,
dimana z = x + iy. Tetapi dari persamaan (15) bagian 24, diketahui bahwa 2
sin iy sin 2 x sinh 2 y , akibatnya sin
2
ix sin 2 sinh 2 x = sinh2x + sin2y,
ini berarti persamaan (11) telah dibuktikan. Dari Dari sifat sifat period periodik ik sin z dan cos z, dan hubunganny hubungannyaa dengan dengan persama persamaan an (4), (4), maka fungsi sinh z dan cosh z adalah fungsi periodik dengan periode 2i. Persamaan (4) memberikan hasil bahwa (14)
sinh z = 0 jika dan hanya nya jika z = ni (n = 0, 1, 2, …)
dan (15)
cosh z = 0 jika dan han hanya jika z =
2
n i (n = 0, 1, 2, …).
Tangen hiperbolik dari z didefinisikan dengan persamaan (16)
tanh z
sinh z cosh z
dan analitik disetiap domain asalkan cosh z 0. Sedangkan fungsi cot h, sec h, dan csc h didefisikan sebagai berikut : coth z
cosh z sinh z
sec hz
91
1 cosh z
csc hz
1 sinh z
.
Selanjutnya, turunan dari fungsi tanhz, cothz, sechz, dan cschz diperoleh dari sifat-sifat turunan seperti pada fungsi hiperbolik yang bernilai real, dan diperoleh : d
(17)
dz d
(18)
dz
d
tanh z sec h z , 2
dz
coth z csc h z 2
d
sec hz sec hz tanh z ,
dz
csc hz csc hz coth z
LATIHAN
1. Buktikan Buktikan turunan turunan dari sinh sinh z dan cosh z pada pada persamaan persamaan (2) bagian bagian 25. 2.
Buktik Buktikan an bahwa bahwa sinh2 sinh2zz = 2sinh 2sinh z cosh cosh z dengan dengan menggu menggunaka nakan n: a. definisi definisi (1), (1), bagian bagian 25, 25, dari sinh z dan cosh cosh z. b. dari sifat sin 2z = 2sin z cos z
3. Tunjukkan Tunjukkan bahwa persamaan persamaan (6) dan (8) (8) bagian 25 diturunkan diturunkan dari persamaan persamaan (7) (7) dan (6) bagian 24. 4. Tulis sinhz sinhz = sinh(x sinh(x + iy) dan coshz = cosh(x+iy), cosh(x+iy), tunjukkan tunjukkan persamaan persamaan (9) (9) dan (10) bagian 25 dengan menggunakan persamaan (7) dan (8) bagian 25. 5. Turunkan Turunkan persama persamaan an (12) (12) bagian bagian 25 untuk untuk cosh z cosh z
2
6. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa sinh x cosh z cosh x dengan menggunakan (a) persamaan (12) bagian 25; (b) persamaan dalam latihan 8b bagian 24. 7. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa (a). sinh(z + i) = -sinhz -sinhz
(b). (b). cosh(z cosh(z + i) = -cos -coshz hz
(c). (c). tanh tanh (z + i) = tanhz.
8. Tunjukkan Tunjukkan secara secara lengkap pembuat pembuat nol dari fungsi fungsi sinhz dan dan coshz yang dinyatakan dinyatakan dalam persamaan persamaan (14) dan (15) bagian 25. 9. Gunakan hasil hasil pada pada soal nomor nomor 8 untuk menuntukan menuntukan pembuat pembuat nol dan dan titik singularitas dari fungsi tangen hiperbolik. 10. Turunkan rumus differensial persamaan (17) bagian 25. 11. Gunakan prinsip prinsip refleksi bagian 22 untuk menunjukkan menunjukkan bahwa, untuk setiap z, (a). sinh z sinh z
(b). cosh z cosh z
92
12. Gunakan hasil hasil pada soal nomor 11 untuk menunjukkan menunjukkan bahwa tanh z tanh z dititik-titik coshz 0. z
13. Kapan fungsi fungsi sinh(e ) entire? Tulis bagian real melalui fungsi dari x dan y, dan keadaan bagaimana fungsi tersebut harus harmonik dimana-mana. 14. Carilah Carilah semua nilai z yang memenuhi memenuhi persamaan (a). cos z =
1 2
(b). sinh z = i
(c). cosh z = -2.
26. FUNGSI FUNGSI LOGARITM LOGARITMA A DAN CABANGCABANG-CAB CABANG ANGNYA NYA
Salah satu motivasi motivasi untuk mendefinisi mendefinisikan kan fungsi fungsi logaritma logaritma adalah mencari mencari penyelesaia penyelesaian n dari persamaan (1)
w
e =z
untuk w, dimana z adalah suatu bilangan kompleks tak nol. Dari sini, kita tulis z rei
dan w = u + iv, sehingga sehingga persamaan persamaan (1) menjadi menjadi eu eiv re i . u
Maka dari kesamaan dari dua bilangan kompleks dalam eksponensial, diperoleh e = r dan v +2n, dimana n suatu bilangan bulat. Karena persamaan e = r mengakibatka mengakibatkan n u
u = ln r, dan persamaan (1) dipenuhi jika dan hanya jika w mempunyai satu dari nilai w = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …). Jadi, jika kita tulis (2)
log z = ln r + i ( + 2n) (n = 0, 1, 2, …),
kita mempunyai hubungan sederhana (3)
elogz = z.
Persamaan (2) memberikan arti bahwa fungsi logaritma dari variabel kompleks z =re tak nol merupakan fungsi bernilai banyak.
93
i
Jika z bilangan kompleks tak nol, dengan bentuk eksponensial z =re , maka i
mempunyai satu nilai dari nilai = + 2n (n = 0, 1, 2, …), dimana = Arg z. Persmaan (2) dapat ditulis menjadi log z = ln r + i,
(4) Jadi,
log z = ln z + i arg arg z (z 0).
(5)
Perlu ditekankan bahwa tidak selalu benar bahwa bagian kiri dari persamaan (3) dengan urutan kebalikan dari fungsi logaritma dan eksponensial adalah sama dengan z. z
Hal ini disebabkan oleh karena log (e ) mempunyai sejumlah tak hingga nilai untuk setiap setiap z yang diberikan. diberikan. Tepatnya, dalam bagian 23, e e x
dan
arg (e ) = y + 2n (n = 0, 1, 2, …) z
dimana z = x + iy, dan dari persamaan (5) diperoleh z
z
log (e ) = ln e z + i arg e = x + i(y + 2n), atau z
z
log (e ) = z + i arg e (n = 0, 1, 2, …)
(6)
Nilai utama dari log z adalah nilai yang termuat dalam d alam persamaan p ersamaan (2) dimana n = 0 dan dinyatakan dengan Log z. Jadi (7)
Log z = ln r + i ,
atau (8)
Log z = ln z + z + i Arg z (z 0).
Sebagai catatan, log z = Log z + i2n (n = 0, 1, 2, …). Fungsi Log z adalah jelas terdefinisi dengan baik dan mempunyai nilai tunggal pada saat z 0. Hal ini diturunkan dari logaitma asli dalam kalkulus dimana z adalah bilangan i0
positif z = r. Dari sini, penulisan z = re Log z = ln r dan akibatnya Log r = ln r. Contoh. Dari
persamaan (2), diperoleh
94
adalah adalah tunggal tunggal,, dalam dalam persam persamaan aan (7)
log 1 = 2ni (n = 0, 1, 2, …) dan log (-1) = (2n + 1)i (n = 0, 1, 2, …). Khususnya, Log 1 = 0 dan Log (-1) = i. Jika kita memisalkan sembarang bilangan real dan nilai pada persamaan (4) dibatasi pada interval < < + 2, maka fungsi log z = ln r + i
(9)
(r>0, < < + 2),
dengan komponen-komponennnya (10)
u(r,) = ln r dan v(r, ) = ,
adalah bernilai tunggal dan kontinu dalam domain yang diberikan (lihat gambar 25). Sebagai catatan, jika fungsi pada persamaan (9) kita definisikan pada sinar = , maka fungs fungsii tersebu tersebutt tidak tidak kontinu kontinu disana disana.. Jika Jika z titik titik pada sinar, maka maka terdapa terdapatt titiktitik-tit titik ik sembarang yang dekat ke z yang memberikan nilai dari v dekat dengan dan juga titiktitik sedemikian sehingga v dekat dengan + 2.
y
x
0 Gambar 25
Fungsi (9) tidak hanya kontinu tetapi juga analitik dalam domain r > 0, < < + 2 dimana turunan parsial orde pertama dari u dan v adalah kontinu dan memenuhi bentuk polar persaamaan C-R dari bagian 19. ur
1 r
v ,
1 r
u vr
95
Juga dari bagian 19, d dz
1 1 i 0 i ; r re
log z e i u r ivr e i
Jadi, d
(11)
dz
log z
1 z
z
0, arg z 2 .
z
0, Argz .
Khususnya, (12)
d
1 Logz dz z
Suatu cabang dari fungsi bernilai banyak f adalah nilai tunggal F yang analitik dalam suatu domain di setiap titik z yang memberikan satu nilai F(z) dari nilai-nilai f(z). Dari sifat keanalitikan keanalitikannya, nya, jelas bahwa kita dapat memilih secara acak dari nilai f. Untuk setiap nilai tetap, fungsi bernilai tunggal pada persamaan (9) adalah suatu cabang dari fungsi bernilai banyak persamaan (4). Fungsi (13)
Log z = ln r + i
z
0,
adalah disebut cabang utama. Suatu potongan cabang adalah bagian dari garis atau kurva yang telah dijelaskan pada pendahuluan pendefisian suatu cabang F dari fungsi bernilai banyak f. Titik pada potongan cabang untuk F adalah titik singular (bagian 20) dari F, dan setiap titik adalah irisan dari semua potongan cabang dari f dan disebut titik cabang. Titik asal dan sinar = dibuat dibuat dari dari potonga potongan n cabang cabang untuk untuk cabang cabang (9) dari dari fungsi fungsi logarit logaritma. ma. Potonga Potongan n cabang cabang untuk cabang cabang utama utama (13) (13) terdir terdirii dari dari titik titik asal asal dan sinar sinar = . Titi Titik k asal asal merupakan titik cabang dari fungsi logaritma yang bernilai banyak. 27. SIFAT-SIFAT SIFAT-SIFAT FUNGSI FUNGSI LOGARITMA LOGARITMA
Hubungan persamaan (3) dan (6) dalam bagian 26, semua sifat logaritma dari bilangan real positif di bawah kedalam sifat analisis kompleks, dengan sedikit modifikasi. Dalam bagian ini akan diturunkan beberapa sifat.
96
Jika z1 dan z2 menyatak menyatakan an dua bilang bilangan an komplek komplekss tak nol, maka maka jelas jelas dapat dapat ditunjukkan bahwa (1)
log (z1z2) = log z1 + log z2.
Pernyataan ini, diartikan sama dengan fungsi bernilai banyak pada pernyataan (2)
arg (z1z2) = arg z1 + arg z2
yang telah dijelaskan pada bagian 6. Jadi, jika dua nilai dari tiga logaritma ditetapkan, maka terdapat suatu nilai dari logaritma keempat sedemikian sehingga pernyataan (1) benar. Untuk menunjukkan menunjukkan persamaan persamaan (1) dapat digunakan persamaan (2) sebagai dasar pembuktian. Karena z 1 z 2 z 1 z 2 dan nilai modulus modulus adalah semua bilangan bilangan real positif, positif, serta dari definisi logaritma dalam kalkulus bahwa ln z 1 z 2 ln z 1 ln z 2 juga dari d ari persamaan p ersamaan (2), diperoleh bahwa (3)
ln z 1 z 2 i arg z 1 z 2 ln z 1 i arg z 1 ln z 2 i arg z 2 .
Persamaan (3) menunjukkan bahwa persamaan (1) telah dibuktikan. Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa (4)
log
z 1 z 2
Contoh. Ilustrikan
= log z1 - log z2
persaman (1) dengan nilai z1 = z2 = -1. Jika nilai log z 1 = i dan log
z2 = -i adalah ditentukan, maka persamaan (1) adalah jelas dipenuhi jika nilai log (z1z2) = 0 adalah dipilih. Juga dapat diselidiki jika nilai z 1 = z2 = -1, bahwa Log z1 + Log z2 = 2i.
Log (z1z2) = 0
Jadi Jadi pernya pernyataa taan n pada persamaa persamaan n (1) tidak selalu selalu benar benar jika jika log diganti diganti dengan dengan Log. Log. Demikian pula untuk persamaan (4). Jika z suatu bilangan kompleks tak nol, maka (5)
n
nlogz
z =e
(n = 0, 1, 2, …)
97
untuk setiap nilai dari log z ditentukan. Jika n = 1, maka telah dijelaskan pada persamaan i
(3) bagian 28. dan persamaan (5) jelas dipenuhi. Jika kita menuliskan z = re pada persamaan (5) maka mak a kedua ruas akan diperoleh r e . n in
Juga benar bahwa, jika z 0, maka 1 1 z n exp log z , (n = 1, 2, …) n
(6)
Bentuk pada bagian kanan persamaan (6) memberikan n nilai yang berbeda, dan nilainilainya adalah merupakan nilai dari akar pangkat n dari z. Untuk membuktikan ini, tulis z = r exp (i ), dimana adalah nilai nilai utama dari arg z. Maka dari persamaan persamaan (2) bagian (26), untuk log z, diperoleh diperoleh i 2k 1 1 exp log z exp ln r , k = = 0, 1, 2, …. Jadi, n n n
1 exp log z n
(7)
n
r exp i
n
2k n
, (k = 0, 1, 2, …).
Karena Karena exp(i2k /n) mempunyai nilai yang berbeda jika k = 0, 1, 2, …, n-1, bagian kanan kanan persam persamaan aan (7) (7) hanya hanya memp mempuny unyai ai n nila nilai. i. Jadi Jadi bagian bagian kanan kanan pers persam amaan aan (7) (7) 1
meru merupa paka kan n akar akar pang pangka katt n dari dari z (bag (bagia ian n 7), 7), dan dan juga juga dapa dapatt ditu dituli liss z n . Untu Untuk k menunjukan persamaan (6) jika bilangan bulat negatif dijadikan sebagai latihan. LATIHAN
1.
Tunj Tunjuk ukk kan bahw bahwaa (a). Log ei 1 i 2
2.
(b). Log 1 i
1 2
ln 2
4
i
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa,, jika jika n = 0, 1, 2, …, maka: 1 1 (a). log e = 1 + 2ni (b). log i = 2n i (c). log 1 3i ln 2 2 n i 2 3
3.
Tunj Tunjuk ukk kan bahw bahwaa 2
(a) Log(1+i) = 2 Log(1+i)
(b). Log (-1 + i) 2 Log(-1 + i). 2
98
4.
Tunj Tunjuk ukk kan bahw bahwaa
3
(a). log (i ) = 2 log i jika log z = ln r + i r 0, 2
(b). log (i ) 2 log i jika log z = ln r + i r 0, 2
5.
4
4
9
;
4
11
4
Tunj Tunjuk ukk kan bahw bahwaa (a). Himpunan Himpunan dari nilai log i adalah n 14 i (0, 1, 2, …) dan 1 2
log i 2 = 1
1 2
log i .
(b). Himpunan Himpunan nilai dari log (i2) tidak sama dengan himpunan dari 2 log i. 6.
Dibe Diberrika ikan cab caban ang g log log z = ln ln r + i (r>0, < < + 2) dari fungsi logaritma adalah analitik disetiap titik z pada domain yang diberikan. Carilah turunannya dengan mendiferensialkan kedua sisi dari persamaan exp(logz) = z bagian 26 dan aturan rantai.
7.
Carila Carilah h semua semua nilai nilai yang yang meme memenuhi nuhi persam persamaan aan log z = (/2)i.
8.
Misa Misalk lkan an bahwa bahwa tit titik ik z terl terlet etak ak dala dalam m stri strip p (bidan (bidang) g) < y< + 2. Tunjukkan bahwa jika cabang log z = ln r + i (r>0, < y< + 2) dari fungsi logaritma, z
maka log (e ) = z. 9.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa,, jika jika Re z1>0 dan Re z2>0, maka Log (z1z2) = Log z1 + Log z2
10.
Tunjukkan Tunjukkan bahwa bahwa untuk setiap setiap bilangan bilangan kompleks kompleks tak tak nol z1 dan z2 Log (z1z2) = Log z1 + Log z2 + 2Ni, dimana N mempunyai satu nilai dari 0, .
11.
Turunka Turunkan n persama persamaan an (4) (4) bagian bagian 27, 27, untuk untuk log (z1/z2) (a). dengan menggunakan kenyataan kenyataan bahwa arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2 (b). pertama tunjukkan bahwa log (1/z) = - log z (z0), selanjutnya log (1/z) dan -log z mempunyai himpunan nilai yang sama, dan terakhir gunakan persmaan (1) bagian 27 untuk log (z1z2).
12.
Dengan Dengan memi memilih lih nila nilai-n i-nila ilaii tak nol nol dari dari z1 dan z2, tunjukkan bahwa persamaan (4) dalam bagian 27 untuk log (z1/z2) tidak selalu benar jika log diganti dengan Log.
99
13. 13.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa (a). fungsi Log (z-i) adalah analitik dimana-mana kecuali pada y = 1 (x0); (b). fungsi
Log z 4 z i 2
adalah analitik dimana-mana kecuali dititik-titik
1 i 2
dan
pada x -4 untuk sumbu sumbu real. real. 14.
2
2
Tunjukk Tunjukkan an dalam dalam dua cara cara bahwa bahwa fungs fungsii ln (x (x + y ) adalah harmon h armonik ik dalam setiap setiap domain yang tidak memuat titik asal.
15. 15.
Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa Relog z 1
1 2
ln x 1 2
2
(z1).
Apakah fungsi ini memenuhi persamaan Laplace jika z 1? 28. EKSPONEN KOMPLEKS
Jika z 0 dan eksponen c adalah suatu bilangan kompleks, maka fungsi z didefinisikan c
dengan persamaan c
(1)
c log z
z =e
dimana dimana log z menyatakan fungsi fungsi logaritma bernilai bernilai banyak. Persamaan Persamaan (1) merupakan definisi dari z dan ini telah dijelaskan dalam bagian 27 ketika c = n (n = 0, 1, 2, …) c
dan c =
1 n
c
(n = 0, 1, 2, …). Jadi pendefinisian z berdasarkan pada pemilihan c
seperti di atas. Contoh. Pangkat
dari z secara umum bernilai banyak, sebagai ilustrasi dapat dituliskan
i 2 i exp 2i log i exp 2i 2n
i exp4n 1 2 1
dimana n = 0, 1, 2, …. Sebagai Sebagai catata catatan n dari dari sifat sifat fungsi fungsi eksponen eksponensia siall adalah adalah 1 e
e z , demikian juga dua himpunan dari bilangan
kita dapat menuliskan
100
1 c
z
dan z c
adalah sama. Juga
1
(2)
c
z
z c
dan khususnya, 1
= exp4n 1 (n = 0, 1, 2, …).
i 2i i
Jika z = re dan suatu bilangan real , cabang log z = ln r + i
(r>0, < < + 2)
dari dari fungsi fungsi logarit logaritma ma adalah adalah fungsi fungsi bernil bernilai ai tunggal tunggal dan analit analitik ik dalam dalam domain domain yang yang c
diberikan. Jika cabang di atas digunakan, maka fungsi z = exp (c log z) adalah fungsi c
bernilai tunggal tun ggal dan analitik dalam d alam domain d omain yang sama. Turunan dari suatu su atu cabang dari z ada dan diperoleh d c expc log z z c expc log z expc log z c c expc 1log z dz dz z explog z d
c-1
bentuk terakhir dari penurunan di atas adalah fungsi bernilai tunggal cz , jika jika didefinisikan pada domain r>0, < < + 2. Jadi d
z 0 ,
c 1
z cz dz
(3)
c
α
arg z α 2π .
c
Nilai utama u tama dari z diperoleh jika log z diganti dengan Log z dalam definisi (1): c
(4)
c Log z
z =e
c
Pers Persam amaa aan n (4) (4) juga juga mend mendef efin inis isik ikan an caba cabang ng utam utamaa dari dari fung fungsi si z pada domain
z 0 ,
Argz π .
Contoh 2. Nilai
i
utama dari (-i) adalah i exp . 2 2
expiLog i exp i 2
Contoh 3. Cabang utama dari
z 3 dapat ditulis
2 2 2 exp Logz exp ln r i 3 3 3
101
3
2 . 3
r 2 exp i
Adalah Adalah analit analitik ik dalam dalam domain domain r 0 , π . Juga Juga dapat dapat ditu ditunj njuk ukka kan n secar secaraa langsung langsung dengan menggunakan teorema dalam bagian 19. Dari definisi (1), fungsi eksponensial dengan basis c, dimana c adalah konstanta kompleks kompleks tak nol, dapat ditulis ditulis z
(5)
zlogc
c =e
. z
Jika nilai dari log z adalah spesifik, c adalah fungsi entire dari z. Kenyataannya, d dz
c
d dz
log c
e
e
log c
log c ;
dan ini menunjukkan menunjukkan bahwa d
(6)
dz
c c log c
29. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK
Invers Invers dari fungsi fungsi trigono trigonomet metri ri dan hiperb hiperbolik olik dapat dapat dijela dijelaska skan n dalam dalam bentuk bentuk logaritma. -1
-1
Untuk mendefinisikan fungsi invers dari sinus sin z, kita tulis w = sin z dimana -1
z = sin w. Jadi w = sin z, jika z
iw iw e e
2i
. iw
Persamaan ini kita rubah dalam bentuk persaman kuadrat e , yakni: iw 2
iw
(e ) – 2iz (e )– 1 = 0. iw
Penyelesaian e dapat dilihat pada latihan 8(a) bagian 7. Dan diperoleh (1)
e
dimana 1 z
2
1 2
iw
iz 1 z
2
1 2
,
adalah adalah fungsi fungsi yang yang mempuny mempunyai ai dua nilai nilai dari dari z. Jika Jika kedua kedua ruas ruas pada -1
persamaan (1) dilogaritmakan dan diketahui bahwa w = sin z, maka diperoleh diperoleh sin 1 z i log iz 1 z 2 2 . 1
(2)
102
-1
Contoh berikut mengilustra mengilustrasika sikan n bahwa sin z adalah fungsi bernilai banyak dengan sejumlah tak berhingga nilai untuk setiap titik z. Contoh. Dari
persamaan (2) diketahui bahwa sin
1
i i log 1
2 .
Tetapi log 1 2 ln 1 2 2n i (n = 0, 1, 2, …) dan
log 1 2 ln
2 1 2n 1 i (n = 0, 1, 2, …)
Karena ln
2 1 ln
1 1 2
ln 1 2 ,
maka bilangan,
1n ln1
2 n i (n = 0, 1, 2, …)
merupakan himpunan nilai dari log 1 2 . Jadi sin
1
i n i 1n 1 ln 1
2
(n = 0, 1, 2, …). -1
Dengan teknik seperti yang digunakan pada persamaan (2) untuk sin z, dapat ditunjukkan bahwa 2 cos z i log z i 1 z 1 2
1
(3) dan juga
tan z 1
(4) -1
i 2
log
i z i z
-1
Fungsi cos z dan tan z adalah juga bernilai banyak. Jika kita amati cabang dari akar kuadrat dan fungsi logaritma yang digunakan, maka semua tiga fungsi invers di atas berasal dari fungsi bernilai tunggal dan analitik sebab mereka adalah komposisi dari fungsi analitik.
103
Turunan dari ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada persamaan di bawah ini. Turunannya tergantung pada dua nilai yang dipilih untuk akar kuadrat: d
(5)
dz d
(6)
dz
sin 1 z
1
cos 1 z
,
1 2
1 z 2
1 1 2
1 z 2
Turu Turuna nan n dari dari yang yang terakh terakhir ir adala adalah h tida tidak k ada, ada, bagai bagaima manap napun un,, terga tergant ntung ung pada pada cara cara bagaiamana membuat fungsi tersebut bernilai tunggal. tung gal. Invers dari fungsi hiperbolik dapat diperoleh dengan cara yang serupa dengan invers fungsi trigonometri, dan diperoleh 2 sinh z log z z 1 , 1 2
1
(8)
2 cosh 1 z log z z 1 2
(9)
1
dan tanh 1 z
(10)
1 2
1 z . 1 z
log
Tera Terakh khir ir,, nota notasi si lain lain untu untuk k fung fungsi si inve invers rs adal adalah ah arc arc sinz sinz,, arc arc cos cos z, dan dan seterusnya. LATIHAN
1. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa jika jika n = 0, 1, 2, …, maka i
a. 1 i exp
i
1
b. 1 e 2 n 1i
2n exp ln 2 , 4 2
2. Carila Carilah h nilai nilai utama utama dari dari i
a. i ,
3 i
e b. 1 3i ; 2
c. 1 i
4i
c
3. Dengan menggunakan menggunakan definisi definisi (1) bagian 28 dari dari z tunjukkan bahwa
104
3
1
3i
2 2
2
4. Tunjukkan Tunjukkan bahwa hasil hasil dalam dalam soal nomor nomor 3 dapat ditulis ditulis dalam dalam bentuk: bentuk: 3
dan yang a. 1 3i 1 3i yang dicari dicari pertama pertama adalah adalah akar kuadrat kuadrat dari dari 3 2
1 2
1 3i
b. 1 3i
3 2
1 3i
3
1 2
dan yang yang dicari dicari pertama pertama adalah adalah pangkat pangkat tiga dari dari
1 3i 5. Tunj Tunjukk ukkan an bahwa bahwa nila nilaii utam utamaa akar akar ke-n ke-n dari dari bilanga bilangan n kompl kompleks eks tak nol zo yang 1
dide didefi fini nisi sik kan pada pada bagi bagian an 7 adal adalah ah sama sama deng dengan an nila nilaii utam utamaa dari dari z 0n yang didefinisikan dalam bagian 28. 6. Tunjukk Tunjukkan an bahwa bahwa jika jika z 0 dan a dan a suatu suatu bilangan real, maka z a expa ln z z . a
7. Misa Misalk lkan an c = a + bi suatu suatu bila bilanga ngan n kompl komplek eks, s, dimana dimana c 0, 1, 2, … dan c
diketahui i adalah fungsi bernilai banyak. Bagaimana cara membatasi konstanta c agar supaya nilai dari i c adalah semua sama? 8. Misalk Misalkan an c, d, dan z adalah adalah bilanganbilangan-bil bilang angan an kompleks, kompleks, dimana dimana z 0. Buktikan bahwa jika semua pangkatnya adalah nilai utama, maka (a).
1 c
z
c
z
c n
cn
(b). (z ) = z (n = 1, 1, 2, 2, …) …)
c d
c+d
(c). (c). z z = z
9. Asumsikan Asumsikan bahwa bahwa f’(z) f’(z) ada, caril carilah ah rumus turunan turunan untuk
d dz
c
(d).
f
z c d
z
z c d
10. Carilah semua nilai dari : -1
(a). tan (2i)
-1
-1
(b). tan (1+i)
(c). cosh (-1)
11. Selesaikan persamaan sin z = 2 untuk z, a. Dengan menyamak menyamakan an bagian real dan imajiner imajiner kedua bagian. bagian. -1
b. Gunakan persamaan (2) bagian 9, untuk sin z.
105
-1
(d). tanh 0.
12. Selesaikan persamaan cos z =
2 untuk z. -1
13. Turunkan Turunkan rumus (5) bagian 29 untuk turunan turunan dari sin z. -1
14. Turunkan rumus (4) bagian 29 untuk tan z -1
15. Turunkan Turunkan rumus (7) bagian 29 untuk turunan turunan dari tan z -1
16. Turunkan rumus (9) bagian 29 untuk cosh z
106
