F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A Y ARQUITECTURA
APUNT AP UNT E 0
AL GEBR GEBRA A I NT-1 NT-11 1
REPASO DE ALGEBRA BASICA
Profesora: Corina Claro Collado
___________________________ _________________________________________ ____________________________ _____________________ _______
GUIA 1: REPASO ALGEBRA BASICA I CONJUNTOS NUMERICOS En primer término se recuerdan los conjuntos numéricos:
a) Conjunto de los números Naturales N = {1, 2 , 3 , 4, ...... } b) Conjunto de los números Enteros Z = {....., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Enteros positivos:
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,....}
Enteros negativos:
Z - = {.... –4, -3, -2, -1}
c) Conjunto de los números Racionales Q
a b
a
Z
b
,
Z
b0
,
Ejemplos 1 4 5 4
1
,
15 5 4
1
, 0 4
7 0,
20
, 16
10,
2 4,
25
5
Los números racionales se pueden expresar como números decimales infinitos periódicos, en que alguna(s) cifra(s) decimal se repite: 1
0,250000...
4 1 7
0,142857142857...
1 15 20 2
0,06666... 10
10,0000...
d) Conjunto de los números Irracionales: Hay números que tienen infinitas cifras decimales, pero, las cifras no se repiten Ejemplos:
ALGEBRA INT-11
21,24781204290865421749...
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
2
___________________________ _________________________________________ ____________________________ _____________________ _______
GUIA 1: REPASO ALGEBRA BASICA I CONJUNTOS NUMERICOS En primer término se recuerdan los conjuntos numéricos:
a) Conjunto de los números Naturales N = {1, 2 , 3 , 4, ...... } b) Conjunto de los números Enteros Z = {....., -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Enteros positivos:
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5,....}
Enteros negativos:
Z - = {.... –4, -3, -2, -1}
c) Conjunto de los números Racionales Q
a b
a
Z
b
,
Z
b0
,
Ejemplos 1 4 5 4
1
,
15 5 4
1
, 0 4
7 0,
20
, 16
10,
2 4,
25
5
Los números racionales se pueden expresar como números decimales infinitos periódicos, en que alguna(s) cifra(s) decimal se repite: 1
0,250000...
4 1 7
0,142857142857...
1 15 20 2
0,06666... 10
10,0000...
d) Conjunto de los números Irracionales: Hay números que tienen infinitas cifras decimales, pero, las cifras no se repiten Ejemplos:
ALGEBRA INT-11
21,24781204290865421749...
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
2
___________________________ _________________________________________ ____________________________ _____________________ _______ 2
1,414213562... 5
2,236067977...
3.141592654.. 20
4 2
4 1,414213562...
5,656854249...
e) Conjunto de los números Reales Este conjunto está formado por los números racionales e irracionales. 4
Ejemplos:
3
,
21 ,
0,
2 11
Los números reales se pueden representar repres entar mediante los infinitos puntos de una recta. A cada número real le corresponde un solo punto de la recta numérica y, recíprocamente, a cada punto de la recta le corresponde un solo número real.
-2
-1
1
0
2
1
2
2
3
Operatoria en el conjunto de los números n úmeros racionales Q Amplificar una fracción: El valor de una fracción no se altera si se multiplican numerador y denominador por un mismo número distinto de cero.
i)
4 7
iii) 123 123 39
4 3
7 3
25a
25 26
12
26a
123 123(a b) 39(a b)
21
con a
ii)
5
12 6
56
72 30
iv)
0
con (a b)
- 12
0
Simplificar una fracción: Cuando tanto el numerador como el denominador se dividen por un mismo número distinto de cero, el valor de la fracción no varía, obteniéndose una fracción equivalente a ella.
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
3
___________________________ _________________________________________ ____________________________ _____________________ _______ i )
50
2 25
2
225
9 25
9
Simplificar una fracción consiste en “cancelar” el mis mo factor en el numerador
y denominador. i i )
- 40
4 ( 10)
10
84
4 (21)
21
i i i )
7
iv) Encontrar una fracción equivalente a
-9
9( 1)
9
-7
7( 1)
7
cuyo denominador sea 60.
12
7
7 5
35
12
12 5
60
Suma de fracciones: a c
Definición: Para todo
,
b d
Q se tiene que: a b
c
d
ad bc bd
Ejemplos: i ) i i )
2
1
2 5
3 1
3 5
5 3
3 5 5 2 4 3
4
2
4 2
10
3
13
15 15 10 12 22 8
11
8
4
O bien empleando mínimo común múltiplo (M.C.M.) 5
3
4
2
5
2 3 4
5
6 4
11 4
M.C.M.
Resta de fracciones: Toda resta de fracciones se transforma en suma, de la siguiente forma: a
c
a
b
d
b
c d
Ejemplo: 1
2
1
2
3
2
ALGEBRA INT-11
2 3
3
4 6
1 6
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
4
___________________________ _________________________________________ ____________________________ _____________________ _______
Multiplicación de fracciones: Definición: Para todo
a c ,
b d
a
Q se tiene que
b
c
d
ac
bd
Ejemplos: i )
i i )
2 3
2 3
6
3
5 4 8 6
5 4 8 6
20 10 48 8
3 14
3 14
42
7
O bien simplificando previamente 8 6
4 2
8
3 14
1 7
7
División de fracciones: Toda división de fracciones se transforma en multiplicación, de la siguiente forma: a
c
a
d
b
d
b
c
i i )
4 3 : 9 2
Ejemplos: i )
3 2 : 5 7
3 7
21
5 2
10
4 2
8
9 3
27
Propiedades de la Operatoria con números reales En el conjunto de los números reales hay dos operaciones definidas: adición y multiplicación. Sean a, b, c números reales, entonces.
ADICION 1) Asociativa
MULTIPLICACION
(a + b) + c = a + (b + c)
a b
c
a
b c
2) Conmutativa a+b=b+a
a b
b a
3) Elemento neutro
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
5
______________________________________________________________ Existe a 1
tal que a + 0=0+a=a
0 R
1
a
Existe
a R .
Para todo
4) Elemento Opuesto a R ,
1 a
1 a
a
a R .
Elemento Inverso
existe (a) R
Para todo
tal que a + (-a) = (-a) + a = 0. a
que
a
Para todo
Para todo
1 R tal
existe
a R ,
siendo
a
0
tal que: 1
a
1.
5) Distributividad de la multiplicación sobre la suma, por la izquierda y por la derecha:
a bc
ab ac
b c a ab ac
II EXPRESIONES ALGEBRAICAS En álgebra es común el uso de letras, números, símbolos y signos. Ejemplos: 2
5 x ;
2a b;
2
3x
2a
b
En 5 x 2 , 5 representa el coeficiente numérico y
x
2
la parte literal del término.
Una expresión algebraica puede tener uno o más términos: 7 ax
Monomio
7 ax – 2a
Binomio
7ax 5a 3b
Polinomios 7ax 2a 3b c Multiplicación de expresiones algebraicas Se recordarán la multiplicación de potencias de igual base y la elevación a potencia de una potencia.
NOTA
ALGEBRA INT-11
a
0
1
a 0
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
6
______________________________________________________________
Multiplicar potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base a la suma de los exponentes. a
n
a
m
a
nm
Ejemplos: a
7
a
8
a
15
m
2
m m
3
x
n 1
x
3
n
x
2n 4
Elevar una potencia a potencia Para elevar a potencia una potencia, se eleva la base al producto de los exponentes.
a
n
m
a
mn
Ejemplos: 2
a 4
3
a
5x
12
2
n
5
n
x
2n
a 3b 2 c
6
a b c
4
2
VER GUIA COMPLEMENTARIA DE POTENCIAS Multiplicación de monomios Se multiplican los coeficientes numéricos entre si y los factores literales entre sí. Ejemplo: 2
4
4a b
2
3a
4 3 a 3
=
4
a b
4
12a b
Multiplicación de monomio por polinomio
Se multiplica cada término del polinomio por el monomio (Propiedad distributiva). Ejemplo: 2
3ab a
2ab
2
b
3
3a b
2
2
6a b
3
3ab
Multiplicación de Polinomios
Se multiplican término a término de los polinomios (Propiedad distributiva). Ejemplo:
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
7
______________________________________________________________ 3 x
2 y y
3 x y
6 x
2
2 x 2
2 y
4 x y
6 x
2
2
2 y
x y
Productos Notables: Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la multiplicación.
1.- Cuadrado de un Binomio a
b
a
b
2
2
2ab
b
2
2ab
b
a
2
a
2
2
Ejemplo: 5 x 3 y 2
2
2
5 x
25 x
2 5 x 3 y 2
2
2
30 xy
2
3 y 2 4
9 y
2.- Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a – b) =
2
a
2
b
Ejemplo: 3
a
4
x
3
2
4
a
x
3
2
4
2
x
a
2
2 2
9
x
2
a
16
4
3.- Producto de dos binomios con un término común x
a x
b
x
2
a
b x
ab
Ejemplo: x
5
x
3
2
5
x
2
x
2 x
3
x
5( 3)
15
Factorización de expresiones algebraicas Es el procedimiento que permite dar forma de producto a una expresión algebraica. En la descomposición en factores de una expresión algebraica, se presentan ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
8
______________________________________________________________ diversos casos, los cuales están relacionados con el desarrollo de los Productos Notables.
Sacar factor común de un polinomio Ejemplos: 1.-
a
2
2a ,
a es el factor común de los dos términos entonces
a 2 2a = a ( a + 2) 2.- x(a + b) + m(a + b), el factor común es (a + b), entonces: x(a + b) + m(a + b) = (a + b) (x + m) 3.- (1 + 3a) (x + 1) – 2a (x +1) + 3(x+1), el factor común es (x + 1) (1 + 3a) (x + 1) – 2a (x +1) + 3(x+1) = (x + 1) (1 + 3a – 2a + 3) = (x + 1) ( a + 4)
Factor común por agrupación de términos Ejemplo: Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen “x” como factor común y los dos últimos tienen “y” como factor común, entonces.
ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y Los dos términos tienen (a + b) como factor común entonces ax + bx + ay + by = (a + b)x + (a+b)y = (a + b) (x + y)
Trinomio que es Cuadrado Perfecto Según el desarrollo del cuadrado de un binomio tenemos que:
a b a b
2
2
a
2
a
2
2ab b
2
2ab b
2
Ejemplos 1. Factorizar
a
2
10a 25 a a
ALGEBRA INT-11
2 2
10a
25a
25 (a 5) 2 52
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
9
______________________________________________________________ 2. Factorizar
9 x
2
24 x 16
9 x 2
-
24x
3
2
16
2 3x 4
x
4
(3x - 4) 2
2
Diferencia de cuadrados 2
2
a
b
a
b a
b
Ejemplo:
Factorizar
9 - b
2
9 b
2
3 b 3 b
Trinomio de la forma x 2 + bx + c El trinomio se descompone en dos factores cuyo primer término es x; el producto algebraico de los segundos términos de ambos factores es igual a c y la suma de estos dos términos es igual a b. Ejemplo: x2
Factorizar
+
9x + (7 + 2)
14 = (x + 7) (x + 2) 7 2
Suma y Diferencia de Cubos x x
3
3
y
3
3
y
x
y
x
x
y
x
2
2
2
x y
y
xy
y
2
Ejemplo: Factorizar
3
8
a
3
8
a
3
2
a
3
a-2
2
2a
a
4
División de Expresiones Algebraicas Potencias de exponentes negativos y división de potencias de igual base: a
1
p
a
p
;
m n
2
2
n ; m
1 a
a
n
n
;
x
n
:
x
t
x
n t
Ejemplos: 1)
x x
5 3
x
2
ALGEBRA INT-11
2)
x x
7
x 2
9
1 x
2
3)
a
17
:a
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
7
a
17 ( 7 )
a
17 7
a
24
10
______________________________________________________________
División de expresiones algebraicas: a) División de monomios: 5
4a b
2
2a 2 b 6
5 2 a b 2a 3 4 4 2 6 b 2 a b
b) División de Polinomio por Monomio 3a
3
6a b 9ab 2
3a
2
3a
3
3a
6a
2
b
3a
a 2ab 3b 2
9ab
2
3a
2
c) División de Polinomios - Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. - Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cuociente. Este se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponde de acuerdo con la ordenación.
- Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, y tendremos el segundo término del cuociente. Se repite el proceso. Ejemplos:
1) Dividir 10a3 31a 2b 51ab2 54b3 por 2a 9b
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
11
______________________________________________________________ Dividendo 10a
3
10a
3
2
31a b
45a b
51ab
2
2
54b
3
54b
3
54b
3
Cuociente
Divisor
2a
:
9b
5a
2
7ab 6b
2
2
14a
2
b
51ab
14a
2
b
63ab
2
12ab
2
12ab
2
2.- Dividir
21 x
3
25 y
2
0resto
34 x
2
y
por 7x + 5y
Se ordena el dividendo con relación a x
21 x
3
21 x
3
2
34 x y
15 x
0 xy
2
0 xy
2
35 xy
25 y
2
25 y
2
25 y
3
:
7 x
5 y
3 x
2
7 xy 5 y
2
y
2
49 x y
49 x y
2
2
35 xy
2
35 xy
2
25 y
3
25 y
2
d) División Sintética: es una regla práctica para hallar el cuociente y el resto de la división de un polinomio en x por (x – a), sin efectuar la división. Ejemplo: Esta regla se puede aplicar en:
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
12
2
______________________________________________________________ 1. 3 x 5 2. 5 x
4
2 x
3
3 x
2
7 : x 2,
5 x 2 : x 5 ,
donde a = 2 donde a = -5 ya que
x
5
5
x
El cuociente es un polinomio en x cuyo grado es uno menos que el grado del dividendo. Se explica la regla de la división sintética, mediante el siguiente ejemplo: 2 3 x x x 7 5 3
2
x-4
dividido por
por lo tanto a 4
Dividendo
Divisor
Se ordenan los coeficientes del dividendo y el término a, según el siguiente diagrama. 2
3
7
3
7
5
4
a
Se baja el primer término 2 2
5
4
2
Se multiplica 4 por 2 y este resultado se ubica bajo el término –3 y se suma. Se multiplica 4 por 5 y este resultado se ubica bajo el 7 y se suma, etc. 2
2
3
7
5
8
20
108
5
27
103
2
5
27
4
El último valor es el resto =
Coeficientes del polinomio cuociente
103 Por lo tanto, el cuociente es 2 x 2
5 x 27 con resto 103.
NOTA: Al ordenar en la tabla los coeficientes del dividendo, se debe anotar todos, si alguna potencia no aparece, significa que su coeficiente es 0. Ejemplo:
6 x
4
ALGEBRA INT-11
2 x
2
5 x
dividido por x + 7
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
13
______________________________________________________________ a = 7, ya que x + 7 = x (7) Ordenación: 6
0
2
5
0
7
42 6
¡Terminar el ejercicio! Operaciones con Fracciones Algebraicas Suma y Resta de fracciones algebraicas:
Antes de sumar o restar las fracciones, se recomienda:
Simplificar las fracciones dadas, si es posible.
Determinar el mínimo común denominador.
Ejemplos: 1)
3 2a
a
6a
2
No se pueden simplificar las fracciones dadas.
2
Determinar el MCM entre 2a y 6a 2 2a 2 a
2 2 6a 2 3a
2 3a
MCM
2
6a 2
9a
a
Se suma 3 2a
a
6a
2
2
3 3a 6a
a
2
2
6a
2
2
10a
6a
2
2
Se simplifica 10a
6a
2) Resolver:
2
2
a 1 a 4 2
2 5a
6a
1
2
5a
a2 a a6 2
3a
1
2
a6 a 5a 6 2
F
Primero hay que encontrar el MCM de los denominadores. Para eso se factoriza cada uno.
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
14
______________________________________________________________ a a a
2
2
2
a
5a
6 6 4
3 3 2
a a a
El MCM es a
2 2
a
a a
2
a
2
2
a
3
Se suma: F
a 1a 3 a 2a 2 a 6a 2 a 2a 2a 3
a
2
4a 3 a 2
4a 4 a 2
8a 12
a 2a 2a 3 3a 2
19
a 2a 2a 3
a
3) Resolver
3a 2 2
19
4 a 3
2
2 x
x 2
2
x
3
6 x
2 x 4
x
3
12 8
R
Hay que encontrar el MCM x x
2
2 x x
3
2 x 2 4 x
2
ALGEBRA INT-11
2 x
8 x
2
el MCM es x
R
2
x
x
2
4
2
2 x 4
2x 4
2 x 2 2 x 4 2 x 3 x 2 6 x 12
x 2 x 2 2 x 4
2 x 2 4 x 8 2 x 2 4 x 3 x 6 6 x 12
x 2 x 2 2 x 4
4 x 2 3 x 14
x 2 x 2 2 x 4
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
15
______________________________________________________________
Multiplicación de fracciones algebraicas Los términos de las fracciones que se van a multiplicar se factorizan previamente y se simplifican. Ejemplos: 1)
2)
2a
2
4b
6b
2
2
x
2
xy
x ( x y )
( x y)
x
2 xy y
x
y ( x 2 y )
y
3ab
simplificando
4a
xy 2 y x
2
2
4
2
Factorizando
2 xy
( x y ) 2 x ( x 2 y )
Simplificando
y( x y)
x
x
2
División de Fracciones algebraicas La división se transforma en multiplicación invirtiendo el divisor. Ejemplos: 1)
4a 2
4a 2 9b3 3 2 2 2ax 15b 9b 15b 2ax
2a 3b
2)
x
1 2 x 2 : 3 6
5 x
ALGEBRA INT-11
x 1
3
6ab
5 x 6
2 x
2
x 1 6 3 2( x 1) 6
Simplificando:
6
Factorizando
Simplificando
1
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
16
______________________________________________________________ 4
a
3)
a
3
1
a a
a
4
3
2
4
3a
1
a
(a 2
a
4a
3
3a
2
a
4
3
2
9a 9a
4a
3
2
1)(a 1)(a 1) a
2
Factorizando
(a 1)
3
3a(a 2
(a
2
2
3)(a
3)
2
1)
Simplificando
3(a 1)
a
x
15 x
4)
2
10
x
x
15 x
2
3 x
10
Factorizando
x
3 x 2
2 3 x 2 x 5(3 x 2) x
x
Simplificando
2
5 x
Raices Toda potencia de exponente fraccionario puede expresarse como raíz: p
an
n
a
p
Ejemplos: 3
1
1) 3 2
2) 2 4
3
1
4
2
3
3)
a
2
1
4)
a 1
x y
3
3
x
y
Raíces semejantes Son aquellas que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. Ejemplo:
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
17
______________________________________________________________ 2 3,
5 3,
3,
- 4 3 son semejantes.
Las raíces semejantes son las únicas que se pueden sumar o restar. Ejemplos: 3 5
1)
4 5
5
6 5
a 23 b 3 b 4 a 5 a 3 b
2) 3)
2 45 9 12
7
48 3 98
2
43
7
95
23
5
9
92
16 3
74
3
6
5
18
3
28
3
6
5
10
3
21
2
3
21
3
49 2
3 7
2
2
Multiplicación de raíces de igual índice Equivale a extraer raíz del producto de las cantidades subradicales. n
a
n
b
n ab
Ejemplos:
1)
3
16 3 4
2)
ab
3
64
ab
4
(a b)(a b)
a
2
b
2
División de raíces de igual índice Equivale a extraer raíz del cuociente de las cantidades subradicales. n
a
a
n
n
p
p
Ejemplos:
1) 2)
18
18
2 ab :
ALGEBRA INT-11
2 a b
9
ab :
3
a b
ab
b
a
b
2
b
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
18
______________________________________________________________
Extraer raíz de un producto o de un cuociente Equivale a extraer raíz a cada uno de los factores: Ejemplos 1) 3) 5)
9 25
3
3
8 x
3
27a 64 x
9
3
8
3
2
x
3
3
25
3
27a
3 5
64 x
2)
15
2 x
3
4)
n
abc
n
a
( a b) 2
n
b
a
n
c
b
3a
3
2
3
4
x
2
NOTA:
Sólo se extrae raíz a los factores de una cantidad subradical, no a sumandos. a
2
a
2
2
No se puede extraer raíz a los sumandos.
b
2ab b 2
(a b) 2
a
b
Racionalizar el denominador de una fracción Es convertir la fracción, cuyo denominador sea irracional, en otra fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
CASO I : cuando el denominador es monomio (raíz cuadrada) Ejemplo: 3
3
5
3 5
4 5
3 5
4 5
5
4
5
2
4 5
3 5
20
CASOII : cuando el denominador es binomio que contiene raíces cuadradas. Ejemplo: 52 3 4
3
52 3 4
4
3
3
20 5 3
3
6
ALGEBRA INT-11
3 4
8 16 3
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
19
______________________________________________________________
26 13 3 13 13 2
3
13
2
3
III ECUACIONES Ecuaciones Irracionales Son ecuaciones en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical. Ejemplos: 9 x
1) Resolver 9 x
9 x
2
2
5
3 x 1
5
3
2
5
2
9 x
2
5 3x 1
/
2
Se aísla la raíz
se eleva a dos para eliminar la raiz
2
x 1
9 x
2
6 x 1
6 x 6 x 1
2) Resolver
x 16
x 8 4
x 16
x 16
x 8
2
x 8
4
4
/
2
x 16 x 8 8 x 8 8 x 8
40
x 8
5
2
16
/ aislar la raiz
/
2
x 8 25 x 17
3) Resolver
ALGEBRA INT-11
x
2
16
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
20
______________________________________________________________ 2
16
2
16
x x
x
/
extrayendo raiz cuadrada
4
4) Despejar “q” en la ecuación
1 3
4
Se eleva a tres para eliminar la
q
raíz. 3
1 3 43 q 1
64
q
1 64q
1 64
q
Teorema de Pitagóras: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: B c
2 2 2 c =a +b
a
C
ALGEBRA INT-11
b
A
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
.
21
______________________________________________________________ Encontrar el valor de x, en cada ejercicio 1)
2
2
2
2
13 5
2
169 25
2
144
5 x 13
B
x
13
x
5
x
C
A
x
2
2
/
x
144
x
12
x
12
2) C
x
2m
x
2
x
2m 2
2
m
4m x
x
2 m +1
A
x x x
3)
x x
2 2 2 2
2
x x
p
p
p
2
4 4
2
p
2
2
2
2
2
2
2 p q
2 p q
p p p 2
q
2
2
q
q
q
2
q 2
2 pq
q
q
2
2 2
B
2
2
4
2
4 p q
m
m
x
1
2
4
2m
4
2m
m
x
2
1
2
1
2
1
m
2
m
2
2
2
/
1
2
1
2
4
/
2 2
2
B x 2pq
C
ALGEBRA INT-11
p2- q2
A
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
22
______________________________________________________________
Ecuaciones de Segundo Grado con una incógnita A. La ecuación de 2º grado completa tiene la forma: ax
2
bx c 0
.
Ejemplos: 3 x
2
5 x
2x 5 0
2
x
x
80
2
3x 10 0
Estas ecuaciones se resuelven mediante la fórmula
x
b
b
2
4ac
2a
.
Las soluciones o raíces de esta ecuación pueden ser: a) reales y distintas si b 2 b) reales e iguales
si b
2
c) imaginarias
si b
2
Ejemplo: Resolver 3 x
2
4ac 0
4ac 0
4ac 0
5x 2 0 . x
x
1
5
25 24 6
5
1
6 5 1 6
1
x
2
2 3
En algunos casos de ecuaciones de 2º grado completas, es fácil factorizar y no es necesario usar la fórmula. Ejemplo: Resolver
x
2
3x 10 0 .
Factorizando se tiene que
ALGEBRA INT-11
x
2
3 x
10 x
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
5
x
0 , de donde
2
23
______________________________________________________________ 50
x
x
1
5
x
20
x
2
2
B. Las ecuaciones incompletas de segundo grado tienen la forma: a)
ax
b) ax
2
2
c
0
No tienen el término x
bx 0
No tiene el término independiente.
No es necesario usar la fórmula para resolver estas ecuaciones: Ejemplos: 1.- Resolver 3 x
2
48 0 .
3 x
2
48 0
3 x x
2
48
2
16
x
16
x
4
x
1
2.- Resolver 5 x
2
3x
4
x
2
4
0.
Factorizando se tiene que 5 x x
0
0 1
x
2
3 x
5 x
x
5
x
0 , de donde
3
30 x
C. Las ecuaciones de grado 4 de la forma
2
3
ax
5 4
bx
2
c
0
se llaman bicuadradas y pueden expresarse como una ecuación de segundo grado, usando variable auxiliar. Ejemplo: Resolver x
4
13x 2 36 0
Sea x u , entonces la ecuación se puede escribir como: 2
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
24
______________________________________________________________ u
u
u
1
x
2
x
2
13u
13
36 0
169 144 2
13
25
2 13 5 2
9
9
u
x
3
2 2
x
4 4 2
Resolución de sistemas de ecuaciones De Primer Grado con dos incógnitas Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como:
ax by c dx ey s Se elimina una de las incógnitas combinando adecuadamente las ecuaciones, de modo que, resulte una ecuación con sólo una incógnita. Se puede proceder de dos maneras.
A. Eliminación por sustitución: Este método consiste en despejar en una de las ecuaciones una de las incógnitas en función de la otra. Se sustituye el valor encontrado en la otra ecuación. Ejemplo:
4 x 6 y 52 5 x 2 y 27
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
25
______________________________________________________________ Se despeja x en la primera ecuación x
52-6 y
4
* , este valor se sustituye en
la segunda ecuación.
52 6 y 2 y 27 4 552 6 y 8 y 108 260 30 y 8 y 108 38 y 108 260 38 y 152 38 y 152
5
y
/ 4
/
1
152
38 y 4
Se sustituye este valor en
*
52 x
x
x
x
6 y
4 52
6 4
4 28 4 7
B. Eliminación por reducción: Este método consiste en igualar en las dos ecuaciones, los coeficientes de la incógnita que se elige eliminar (sin considerar el signo), las ecuaciones se suman si las incógnitas a eliminar tienen signos distintos, en caso contrario se restan. Ejemplo: Resolver 3 x
5 y
28
4 x
3 y
18
Se igualarán los coeficientes de “x”. La primera ecuación se multiplica por 4 y la
segunda por 3.
ALGEBRA INT-11
3 x 5 y 28 / 4 4 x 3 y 18 / 3
1 2
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
26
______________________________________________________________ 12 x
12 x
20 y
112
9 y
29 y
A la primera ecuación se le resta la
54
segunda 58
58
y
29
y2
El valor encontrado se reemplaza en 1 o en 2 , si se elige 2 , se tiene que 4 x
3 2
4 x
24
x
6
18
Caso Especial Es conveniente tratar en forma especial el sistema
x y a x y b
x
ab
y
2
a b 2
“x” es igual a la semisuma de “a” y “b”“y” es igual a la semidiferencia de “a” y “b”
Ejemplos:
1.
2.
x y
19
x y
x
y
9
x y
20
x y
24
ALGEBRA INT-11
19 9 2 19 9 2
14
5
22
x
y
2
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
27
______________________________________________________________
GUIA 2: REPASO ALGEBRA BASICA PRODUCTOS NOTABLES
(a b) 2
EL CUADRADO DE UN BINOMIO a.
a
b
a2
2
2ab b 2
a
b
ab
SUMA POR SU DIFERENCIA:
a
b
a
CUBO DE UN BINOMIO:
b
(a b)(a b) a2 - b2 (a b)3
3
a
3a2b 3ab2 b3
PRODUCTO ENTRE DOS BINOMIO DE LA FORMA:
( x a)( x b) x 2 (a b) x ab 2). Desarrolla las expresiones: 1) (2m – 4n)² = 2) (a + 3b)² =
3) (3n – 2m)² =
4)
2
3 1 x y 4 2
5) ( 7 + a²b)(7 – a²b)= 8) (1,2m + 3,4p)³ =
ALGEBRA INT-11
6)
3 4 3 4 a² a ² = 8 5 8 5
9) (x – 8)(x – 12) =
7) (3xy – 1)³=
10) (y + 9)( Y + 21)=
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
28
______________________________________________________________
FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en expresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 20 en dos de sus divisores: 4 5, es decir 20 = 4 5 ·
¿Y en álgebra, qué será factorizar una expresión algebraica? Cuando realizamos las multiplicaciones: i) ii)
2x(x2 – 3x + 2) = 2x 3 – 6x2 + 4x (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
Entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
1. FACTOR COMUN MONOMIO:
EJERCICIOS. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
Halla el factor común de los siguientes ejercicios:
6x - 12 = 24a - 12ab = 14m2n + 7mn = 8a3 - 6a2 = b4-b3 = 4x - 8y = 10x - 15x2 = 4m2 -20 am = ax + bx + cx = 4a3bx - 4bx = 3ab + 6ac - 9ad = 6x4 - 30x3 + 2x2 = 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 10p2q3 + 14p 3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
2. FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión:
Ejemplo n 1. Factoriza Existe un factor común que es (a + b)
ALGEBRA INT-11
x(a + b) + y(a + b) = = x(a + b) + y(a + b) =
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
29
______________________________________________________________ = (a + b) ( x + y)
EJERCICIOS. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
a(x + 1) + b ( x + 1 ) = 2 2 x (p+q)+y (p+q) = ( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) = (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) = a( a + b ) - b ( a + b ) = m(2a + b ) + p ( 2a + b ) = ( a² + 1 ) - b (a² + 1 ) = a(2 + x ) - ( 2 + x ) = (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r )=
3. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS. Se trata de extraer un doble factor común.
Ejemplo n 1. Factoriza
ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “ p” de los dos primeros términos y “ q” de los dos últimos
p(a + b) + q(a + b) Se saca factor común polinomio (a + b) (p + q)
EJERCICIOS: 1. 2. 3. 4.
a2 + ab + ax + bx = ab - 2a - 5b + 10 = am - bm + an - bn = 3x2 - 3bx + xy - by =
5.
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
6. 7. 8. 9. 10. 11.
ac - a - bc + b + c2 - c = 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd = ax - ay - bx + by - cx + cy = 3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
12.
15 2 21 10 143 x xz xy yz 5x 7z 4 4 3 3 2 3
am
8 3
ALGEBRA INT-11
am
4 5
bm
16 5
bn
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
30
______________________________________________________________ 13. ab + 3a + 2b + 6 = 14. 2ab + 2a - b - 1 = 15. 3x³ - 9ax² - x + 3a = 16. 6ab + 4a - 15b - 10 = 17. a³ + a² + a + 1 =
4. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
EJERCICIOS: Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: 1. x2 + 4x + 3 = 2. a 2 + 7a + 10 = 3. b2 + 8b + 15 = 4. x 2 - x - 2 = 5. r 2 - 12r + 27 = 6. s2 - 14s + 33 = 7. h2 - 27h + 50 = 8. y2 - 3y - 4 = 9. x2 + 14xy + 24y2 = 10. m2 + 19m + 48 = 11. x2 + 5x + 4 = 12. x 2 - 12x + 35 =
5. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX2+ BX + C EJERCICIOS: 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17.
5x2 + 11x + 2 = 4x2 + 7x + 3 = 5 + 7b + 2b2 = 5c2 + 11cd + 2d2 = 6x2 + 7x - 5 = 3m2 - 7m - 20 = 5x2 + 3xy - 2y2 = 6a2 - 5a - 21 = 2a2 - 13a + 15 =
ALGEBRA INT-11
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16.
3a2 + 10ab + 7b2 = 4h2 + 5h + 1 = 7x2 - 15x + 2 = 2x2 + 5x - 12 = 6a2 + 23ab - 4b2 = 8x2 - 14x + 3 = 7p2 + 13p - 2 = 2x2 - 17xy + 15y2 =
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
31
______________________________________________________________
6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJERCICIOS: 1. 3. 5. 7.
9a2 - 25b2 = 4x2 - 1 = 36m2n2 - 25 = 169m2 - 196 n2 = 9
9.
49
2
a
25
2
b
36
11. 3x2 - 12 = 13. 8y2 - 18 = 15. 45m3n - 20mn =
2. 4. 6. 8.
16x2 - 100 = 9p2 - 49q2 = 49x2 - 64t2 = 121 x2 - 144 k 2 =
10.
1 4 x 25
9 4 y 16
12. 5 - 180f 2 = 14. 3x2 - 75y2 = 16. 2a5 - 162 a3 =
7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar
9x2 - 30x + 25 =
1 Halla la raíz cuadrada del primer término 9x2: 3x 3x 2 Halla la raíz cuadrada del tercer término 25 con el signo del segundo término -5 -5 2 luego la factorización de 9x - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2 ·
·
EJERCICIOS: 1.
b2 - 12b + 36 =
2.
25x2 + 70xy + 49y2 =
3.
m2 - 2m + 1 =
4.
x2 + 10x + 25 =
5. 16m2 - 40mn + 25n 2 = 7. 36x2 - 84xy + 49y2 =
6. 49x2 - 14x + 1 = 8. 4a2 + 4a + 1 =
9. 1 + 6ª + 9a2 =
10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
11. 25a2c2 + 20acd + 4d 2 =
12. 289a2 + 68abc + 4b 2c2 =
13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
32
______________________________________________________________
EJERCICIOS DIVERSOS: 1. 2ab + 4a2b - 6ab2 =
2. 2xy2 - 5xy + 10x 2y - 5x2y2 =
3. b2 - 3b - 28 =
4. a2 + 6a + 8 =
5. 5a + 25ab =
6. bx - ab + x2 - ax =
7. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
8. ax + ay + x + y =
9. 8x2 - 128 =
10. 4 - 12y + 9y2 =
11. x4 - y2 =
12. x2 + 2x + 1 - y 2 =
13. (a + b ) 2 - ( c + d) 2 =
14. a2 + 12ab + 36b 2 =
15. 36m2 - 12mn + n 2 =
16. x16 - y16 =
8. OTROS CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. DIFERENCIA DE CUBOS: Ejemplo:
8 – x3 = (2 – x) (4 + 2x + x 2)
a3 + b3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)
2. SUMA DE CUBOS: Ejemplo:
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b 2)
27a3 + 1 = (3a + 1)(9a2 – 3a + 1)
1.
64 – x3 =
2.
8a3b3 + 27 =
3.
27m3 + 6n6 =
4.
x6 – y6 =
6.
x
5.
1 8
3
x
ALGEBRA INT-11
8
27
=
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
1
3
64
=
33
______________________________________________________________
FRACCIONES ALGEBRAICAS Factorice y simplifique: 2
a
7)
b
2 y 2 8) = 4 x 4 y
2
2 x
=
5a 5b
1 = 4 z 5 2
2
z
9) z
2
10)
2
2 x 15 11) = 2 x 50 x
12)
2
2 x
13)
4 x
5
3
8 x
2
32 x
4
4
42 x
24 x
2
a
4
6a
x
17) x
19)
a
4
2 x 3
21)
2 x
2a 2
2
a 1
2
a a
2 2
4
3
=
14)
2
b 9b
16
3 x
a
2
4
2
2
=
16)
=
18)
x3
a
2
2
20)
=
22)
3 xy
9 y
2
18 p
3
2
a
2 x
2 x
48 p
2 3
x
2 x
=
2
x
2 3
x
2
2 x y 3
x
3 2
=
=
2 x
24)
=
2 x
3
x
32 p
2 x
x
3 x
=
64 p
2a b
2
3
3
b
2 3
24
25
36 p
2 x
=
2
20 x 25
4 x
2a
2
9a 8 5a
4 x
a 15 23) = 4a 25a 2a
2
4 x
2 x
=
x
2 x y
a
5a b 15a b
15)
2
x
2
3 xy
y y
y
y
2
3
=
3 2
=
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS - x2 4 x 5 x 15 . 25) 2 = 3 2 x - 9 x - 4 x
27)
x
2
2
x
( x 2)2
ALGEBRA INT-11
4
:
x x
3
2
-8 -4
26)
x-2 x
2
-4
x2 x
2
-x -6
=
=
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
34
______________________________________________________________
29)
30)
3
a
28)
a²
2a 15
a²
2a 35
a² a
x ² 3 x 10 x 8
x ² 5 x 24 x 2
6
2
x
a
6
25
5
a 1
a²
3a 2
=
=
31)
=
33)
c²
3c 18
c²
2c 15
c²
25
c ² 12c
36
=
64
x ²
a ² 10a
3
a
7a 10
x
32)
a²
5
a
7
a
x ²
2 x 4
2
2r ² 7r 3
2r
r ² 13r 30
13r 7 2
r
100
=
x
a
34) a
125
10a
2
z
35)
36)
2
3
4
a
25
a
z 1
2
5a
a 5
a
6
c
37)
2
16c
3c
2
8
38)
w
2
5 3 z
2
a
4
ab ab
64
c
6
a
c
2
3
16
16 w
2
2
a
c
4ab
=
a
3w
4w
ab
z z
12a 36
3c 18
a b
25
36
3w
2
25
10a
4 2 z
a
40)
2
b
2
2
c
=
6
2
3
2 z
3 3
=
216
216
11c
6
c
2
= 24
c 14 3
39)
=
2 z 6 z
2
7 z 2
3 z 1 3 z
2
10 z 8
=
=
Resuelva las siguientes ecuaciones lineales: 1)
1
w 2
1
ALGEBRA INT-11
w2
8
w
2
4
2)
6 x
9
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
2
3 x
5 x
6 4
2x
3
35
______________________________________________________________ 3)
w
2
8w 3
w 1
x
5)
w
3
3
3 5w
w
2
27
2w 3
5
6
z
6)
2
x
4 x 9 1
z 1
4)
z 1
z
z
z 1
16
z z 1
3
a
2a 6
a
2
9
6a 9
a
2
3a 9
x x 1
Problemas: Plantee y resuelva. 1. Un padre reparte $10.000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2.000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
2. La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5, se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo, ¿Cuáles son los números?
3. Encuentra dos números tales que se suma sea 42 y su diferencia 6. 4. Una persona tiene $8.000 en 200 monedas de $10 y de $50. ¿Cuántas monedas de $10 y de $50 tiene?
5. Uno de los lados de un triángulo mide
5 4
del lado menor, mientras que el lado
mayor mide 3 centímetros más que el último. Si el perímetro del triángulo es de 45 centímetros, encuentra la magnitud de cada lado del triángulo.
6. En un colegio, hay 300 alumnos de ambos sexos. Salen de excursión 155 de ellos. Se sabe que la excursión fueron el 60% de los alumnos y el 40% de las alumnas. ¿Cuántos son los alumnos y cuántas las alumnas en el colegio?
Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) 2z (z – 6)+5(z – 6)= 0 3)
x 11 x
ALGEBRA INT-11
7
9 4 x
x ²
2) (2x + 3)(x – 2) + 5(x – 3) = ( x – 3)(x + 3) 4)
m x m x
m
2 x
4
0
m x
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
36
______________________________________________________________
Problemas: Plantee y resuelva. 1) Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, ¿cuántos hijos y nietos tiene? R: 7 y 49 2) Encuentra dos números pares consecutivos cuyo producto sea 4.224. R: 64 y 66 3) El numerador de una fracción es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fracción disminuye en 1. ¿Cuál es la fracción original? 4) Durante la liquidación de utensilios médicos, una persona gastó $231.000 en inyectables para su clínica. Si cada inyectable hubiera costado $1.250 menos, habría podido comprar 5 inyectables más por la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos inyectables compró originalmente? ¿Cuál fue el precio original de cada inyectable?
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
37
______________________________________________________________
GUIA 3 REPASO ALGEBRA BASICA Unidad: “Ecuaciones de primer grado y segundo grado”
I
II
Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes enteros: a)
4 x 2 3x 8
b)
2
c)
3 x 2
d)
e)
2 x 5
f)
3 2
x 1
x
=2x²
2
3
7
x
2
x 1
6
x 2 x
5 x 1 1 2
h)
2 x
7x
i)
5 x 8 x
j)
2
64
x
2
x
7
x
4
31 2
g)
x 1
x 1
2 3 x 6
x 1
90 5
x x 7 x
x 3
3
x4
3 x5 3 x 26 2 x7 2 x
2
x
2
2
x
8
2
Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes fraccionarios; a)
b)
x 3
8 x 1
c)
3
d)
2
e)
x
8
1
2
x 1
4 x
3
4
6 2 x 3
6
2 x 1
1 3
5 x
2
9
5
x
3
5x 3
x 10
4
7 x
x
2
1
x 3
1
6
4 x
1
f)
g)
h)
i)
j)
16 x 3 10 x 1 4 x 7 4 6 x
2
9
5
3
2 x 5
3
x 1
4
x 1
3 x 11 20
x
2x 2 3
5 2 x 3
2 x 3 4 5 x 1 14
3
15
6
x
2
4 x 1 3
7
10
3 5 x 2
1 x
12
5x 6 21
III Resuelve las siguientes ecuaciones con una incógnita en el denominador: a)
5 x
7 3
ALGEBRA INT-11
2x 3
f)
1 2 3 2 x 1 x 1 x 1
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
38
______________________________________________________________
b)
c)
d)
e)
x 3 x
5
x
2
3 x 1
5 x
2
10 x
3 x 2
5 x 8
3
1
1
i)
2 3
j)
x 1
x 1
2
x x
x
h)
0
1
5 x
2
4 4
4 2 x 2
x
x
27 x
5 x 3 2 x 4
2x 2
24 x
2
1 x
16
6
x
3 x 6
x 2
4 4
4
2 x 3
x
2 x
2
2
78 x 6
Resuelve las siguientes ecuaciones con coeficientes literales: a) c) e) g) i)
V
x 3
9 x 19
g)
2 x 1
2 x 1 x
IV
2
2 x 4
x a b
x b a
4 x 2a b
3
a x b ax bc
2
a
bx
b)
ax
2
d)
x 1 x 1 2 a 2a 2a
3
f)
2a
ax
ac
2
cx
ab
b
2
x a
h)
b
ax b
2
bx
b x b
6 x 6
a
4
a
m x m
1
Problemas con enunciado.
1. ¿De qué número hay que restar
5
1 4
para obtener la sexta parte de ese número? R: 63/10
2. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los de su capacidad. Reponiendo 38 litros, la parafina sólo llega a las es su capacidad?
ALGEBRA INT-11
3 5
7 8
partes. ¿Cuál
R: 80 litros
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
39
______________________________________________________________ 3. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 2 horas y por otra en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez? R: 1 hr. , 30 min. 4. La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cuocientes es 6. ¿cuáles son los números? R:160 y 40 5. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los con los
5 6
3 5
del menor
del mayor exceda en 31 al número del medio.
R: 70,71 y 72 6. Dividir 260 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da 2 como cuociente y 40 de resto. May: 200; men. 60 7. Jorge tiene
2 3
de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene
3 5
de lo que tiene Jorge. Si
juntos tienen $ 24.800. ¿Cuánto tiene cada uno? J: 8.000; A: 12.000; M: 4.800 8. Marcela tiene 18 años más que Karla. Hace 18 años, la edad de Marcela equivalía a los
5 2
de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.
9. Se ha comprado un par de zapatillas, una polera y medias deportivas por $ 25.900. Las zapatillas costaron 8 veces lo que las medias y la polera $ 3.000 menos que las zapatillas. Encuentra los precios de cada prenda. 10. Si me adivinas cuántas nueces tengo, dijo Lucho a Juanito, te regalo la cuarta parte menos 2 nueces o, lo que es lo mismo, la sexta parte más una nuez. ¿Cuántas nueces tenía Lucho? 11. En un ataque del enemigo, la mitad de los soldados de una patrulla cayó prisionera, la sexta parte quedo herida, la octava parte murió y se salvaron 25 soldados. ¿De cuántos soldados se componía la patrulla?
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
40
______________________________________________________________ 12. Si a un número se suma 5, se multiplica la suma por 3, se resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número dado. ¿Cuál es el número? 13. Cierto número de personas deben pagar una cuenta en partes iguales. Si cada uno paga $ 435. faltan $ 20 y si cada uno paga $ 440 sobran $ 20. ¿A cuánto ascendía la cuenta y cuántas personas eran? 14. Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días y otro en 15 días. ¿En cuánto tiempo hacen el trabajo los dos juntos? 15. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en 3 horas y por otra en 4 horas, pero una tercera puede vaciarlo en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el depósito abriendo las tres llaves a la vez? 16. Calcula la edad de dos personas, sabiendo que hace 8 años, la edad de la primera era el doble de la edad de la segunda y que 12 años después de la edad actual, la edad de la segunda será
3 4
de la edad de la primera.
17. Se debe repartir $ 1.020 entre Luis, Enrique y Luciano, de modo que Enrique reciba $ 120.
3 4
5
de la parte de Luciano más $ 180. y Luis de la parte de Enrique más 6
¿Cuánto recibe cada uno?
18. En una reunión hay el doble de mujeres que de hombres, y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si en total hay 156 personas?
19. Uno de los lados de un triángulo mide
5 4
del lado menor, mientras que el lado
mayor mide 3 centímetros más que el último. Si el perímetro del triángulo es de 45 centímetros, encuentra la magnitud de cada lado del triángulo. 20. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades. En total, viajan 65 personas. Colocando en orden decreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es ¿Cuántos viajeros de cada
ALGEBRA INT-11
2 3
del anterior.
nacionalidad hay?
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
41
______________________________________________________________ 21. La suma de dos números es 240. Si se divide el número mayor por el menor, el cuociente es 3 y el resto es 8. ¿Cuáles son los números?
Despeja la letra indicada en cada ejercicio 22.
a,
si 1
S
a
1
1
n ar
r
1
24.
f,
26.
v i , vf 2 – vi2 = 2ad
f
28. vf ,
a
f 1
v f
f 2
23.
f,
25.
a ,
27.
F ,
M
si
25 1 F f L
1
d v i t
C
5
9
F
2
2
a t
32
v i
t
Ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable Ejercicios: Resuelva utilizando cualquier método de resolución para las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. (2x + 3)(x – 2) + 5(x – 3) = ( x – 3)(x + 3)
R: x 1 = 2 ; x 2 = -6
2. 9x2 = 1
R: x1 =
3.
x
2
4
3 x 3 3 x
2
R: x1 =
x
1
1 3
, x2 = -
3 ; x 2
R: x 1 = 3; x 2 = -3
5. 4x² + 4x – 15 =
R: x1 =
2
3
= 1
4. 4x² - 36 = 0
3
1
, x2 = -
3
5 2
Problemas de planteo: 1. Un matrimonio tiene de cada hijo tantos nietos como hijos ha tenido. Si la suma de hijos y nietos es 56, ¿cuántos hijos y nietos tiene? R. R: 7 y 49 2. Encuentra dos números pares consecutivos cuyo producto sea 4.224.
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
42
______________________________________________________________ R: 64 y 66 3. El numerador de una fracción es 3. Si se suman 4 unidades al denominador, el valor de la fracción disminuye en 1. ¿Cuál es la fracción original? 4. La superficie de un terreno rectangular es 360m² y el largo excede al ancho en dos unidades. Calcule el perímetro del terreno. R. 75m 5. Dos números están en la razón 5:4 y su producto es 980. Calcule los números. R: 28 y 35 6. Una caja rectangular mide 5cm de altura y su largo tiene 5cm más que su ancho. Si el volumen de la caja es 500cm³, calcule el largo y el ancho de la caja. R. 20 y 15 cm 7. Se desea construir una caja de base cuadrada, y sin tapa, a partir de una pieza cuadrada de cartón. En cada esquina de esta pieza se cortarán cuadrados de 3 cm de lado, y luego se doblarán hacia arriba los rectángulos resultantes. Si se desea que la caja tenga un volumen de 432m³ ¿Cuántos cm² de cartón se tenían al principio? R. 324cm² 8. Dos barcos abandonan el puerto al mismo tiempo y se dirig en uno hacia el Sur y el otro hacia el este. Horas mas tarde, se encuentran a 170 millas uno de otro. Si el barco que viaja hacia el Sur ha recorrido 70 millas más que el otro ¿Cuántas millas han viajado cada uno? (considere un triángulo rectángulo en el plano)
R. Barco al Sur 150 millas; Barco al Este 80 millas 9. Un negocio, al producir y vender x artículos, obtiene una utilidad U (en dólares) dada por la fórmula: U=300x - x² +5.520 ; para x ≥ 20¿Cuántos artículos hay que producir y vender para obtener una utilidad de US$ 9.795? R. 285 artículos
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
43
______________________________________________________________
GUIA 4 REPASO ALGEBRA BASICA Unidad: “Ecuaciones de todos los tipos ” Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con coeficientes fraccionarios
I)
1.
1
1
x
2
2.
1
3
x
x
5
3
x
x
4x
8.
x
9.
3x
3x
5
8
5
II)
1.
7
11
5 x
4.
3
9
2x
1
x
3
2
1
3
1
4
3 x
2 2x
4
3 5x
x3
3
R. -20/29
2
1
4
7x
3
3
x
R. 5
2
x
9
10
1
5 3x
4
2
12
1
6
8
x
3.
3
R: 1/8
4
R. -5
1
9 5x
4x 3
R. 5
1
8 8x
5
R. 17/23
10
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de primer grado
2x
2.
x
5
x
2
10.
4
R. 20
3 7
x
4
8x
R. 12
5
3
R. 3
3
2x
4
1
4
5
3
x
x
18
8
6
2
x
6
x
8
7.
6
6
6.
5
2
2
5.
5
2
4
4.
3
R. 6
5
1
x
3
3.
x
3x
2
2
1 8x
4x
3
R. 5/2
31 7 x 6x
R. 4
x
R. 4/3
3
x
1
1
3
3
9
9x
1
12x
ALGEBRA INT-11
1
24x
13
72
0
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
R. 2
44
______________________________________________________________ 5.
3
5
4x
6.
14
3 5 0,6x
8. 9.
10.
1
13.
x x
III)
R. -5 6x
6x
1
3
4
3
x
3
2x
5
2x
R. 2/15
0
0
0
R. 8 R. -5/3
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias x 1
2.
1
1
4.
x 2
4
3/2
x
1 x 3
0
2
3x
5
x 2
2 x
x
3 x
x
-5/2 y 2
1
1
x 1
5.
R. -16/5
0
11
x 10
3.
R. 1
x 1
13 2x
R. 1/2
1,25
1,5x
2
3x
12.
14x
3
1
3x
4
R. -1
R.13/2
2
2 x
11.
2
x
11
16
5
1
2
3
3
3 x
1.
7
7 x
1,6x
1
7x
5
0,8x
7.
8
1 x
3/2
1
3 x 4
12
0
2, -2 y 3
x
6.
1 y -1 1
1
x 1
x
2 x
7.
3/2 x 1 x 1
5
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
45
______________________________________________________________ 8.
x
2
x
9.
x
2
3 x
2
5
2 x 1
9
0
73 2
No hay sol. en R
1
x
10.
x
2
6
x
2
30
10
x
11.
10 x 1
2( x 1) 12.
x
3
x
4
13.
x
2 x
8 x 2
4( x 1) 2
x
4
x
5
2
x
6
x
7
-1 /8
3
x
6
7
x 8
No hay sol. en R
5
8
6 x 8
x 8
3 x x
2
8
49
2
16
14. 1 x
15.
3
x
x
2
4 x 1
3
x 1
3 x
x
x
x
6 2
2
x
2 x
4
2
4 x
1
x
3
2
x
2
21
No hay sol. en R
0
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales
1.
1 x
2x 3
0
2.
1 x
2x 3
0
2 No tiene solución 4
2
x
4.
x
x
5.
2 x 3
x
6.
3 x 3
2x 8 1
7.
x
1
2
1 1 x
8.
2 x 2
9.
x 2
10
x x
4
7
65
x 1
IV)
3.
9
114
4
10 + 4√ 6
1 x
x
4
9/16
x
x
2
25
x 1
2 x
ALGEBRA INT-11
4
25/4
x 5
x 2
4
x7
5
2 12
4
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
46
______________________________________________________________ 11.
1 x
4
6 x
12.
x
13.
2
6 x
x
x
4 x 20
14. 15.
4
x
1
x
8 x 7
4
2
4
2
4
x
2
2x 1
4
x x
4
x
2
2 x 2
0 y 5/4
x 1
2x 3
2 x 3
16. 4
5 x
18.
2
mx
3 x 11
x
19.
3
1
x
2
21.
x
x
x
x
2
2
x
2
1
x
5
3
2
4 9
x
1/16
1
x
x
x
x
x
6m
1
x
1
4x 7
2
20.
2
2
1
4 y -4
62
1
9
13 x
22.
4a y 3a 5a x
23.
11 4m
3m 24m 18m
17.
3 y 5/7
5
5a x
x
12a
5a x
4
1 2 x
24.
2601 1
1
ALGEBRA INT-11
13
x
2
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
47
______________________________________________________________
GUIA 5 REPASO ALGEBRA BASICA Calcular el valor de las expresiones siguientes usando propiedades de las raíces y de las potencias. (Suponer todas las cantidades sub-radicales positivas)
1)
b ab
a
2
2
a
2
2ab b a b
2
:
3
6
3)
3
2
6)
3
1
·
3
3 3
9
:
3
3
4)
5 3
2)
a b
5
12
5
27
4 xy
7)
·
·
2
5
12
1
x 2 xy y 2
1
2
x 2 xy y 2 2
5) 2
3
1
a
8)
2
x
9)
3 4
6
·
3
x
x
·
x
10)
50
242
6
a
a
11)
5
4
3
z
6
·
z
3 z
6
2
4
6
1
:
60
z
1
12)
6 x
14)
2
2
siendo x =
11
3
3
13)
2
15)
2 2 2 2 2
n 1 9 4
n n 2 9 ·3 n 3 1
3 9 81 6561
16) Resolver la ecuación exponencial. 15 a
17)
2 x
3
:
20 a
4 x 9
=
30
8 x
a
27
·
24
81 6 x
a
:
4
a9
( x 1) ( x 1) ( x 1)
ALGEBRA INT-11
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
48
______________________________________________________________
5
4
17
4
a x y
18)
4
13
9
x y a
3 a 20) 2 3 b
1,5
·
4
:
4
b xy
x a b x 19) b b ab x
9
2
b 4 x5 y 5
a
0, 5 6
b
3
2 1
a c
2
x y
21)
ab
2
a b
3
c
24) 6
c
ac
5
23)
2
b
bc
b
a
c
:
a b
3
2
25)
bc
4
b
4
=
n
9
n
26
n
4
4
3
4
1
6
a c
2
1
4
x 2 3 x3 x 6 y 6 2 x3 x 6 y 6 2
3 a b1 / 2 2 a1 / 3 22) 4 1 1 / 3 1 / 2 b a b
2a 2
b
12 2 5 x y 3 x y 12 2 y 1 x y x
2
a3
26)
b
b
6
a
1
a
:
b
a
4
2
b
4
1
27)
28)
1 a 2
a
n
1 : x 3 : 2
1
ax
n
n
1
n
ALGEBRA INT-11
1 3
a
3 3 x 4
4
2n
a
=
INGENIERIA EJECUCION INDUSTRIAL
49
