1641_Dasar-Dasar Getaran Mekanis

C

DASAN-DASAR

GEMMEITANIS Tunggo Bhimodi Koryoso

Penerbit ANDI Yogyokorto

Dosor-dosor Geloron Mekonis Oleh: Tunggo BK Hok Cipto O 201

I

podo

KATA PENGANTAR

q[3 '470 lnrc /r/zorz

Penulis

Editor : Fl. Sigit Suyontoro Setting : Sri Mulonto Desoin Cover : Bowo Korektor : Suci Nurosih f Aktor Sodewo Hok Cipto dilindungi undong-undong. Dilorong memperbonyok otou memindohkon sebogion otou seluruh isi buku ini dolom bentuk opopun, boik secoro elektronis moupun mekonis, termosuk memfotocopy, merekom otou dengon sistem penyimponon loinnyo, tonpo izin tertulis dori Penulis. Penerbir: C.V ANDI OFFSET (Penerbit ANDI) Jl. Beo 38-40,Telp. (O2741 56188.l (Hunting), Fax. (O274\ 588282 Yogyokorro

5528

r

Percetokon: ANDI OFFSET Jl. Beo 38-40,Ielp.(O27a) 56.l88.l (Hunting), Fax.(O274lr 588282 Yogyokorro

5528

r

Puji syukur kepada Tuhan Pencipta Alam saya panjatkan dengan terbihrya Bul
Buku Dasar Dasar Getaran Mekanis merupakan dasar yang perlu Perpuslokoon Nosionol: Kotolog dolom Terbilon (KDT) Tunggo

BK

Dosor-dosor Getoron Mekonis/Tunggo BK;

- Ed. l. - Yogyokorro:ANDI, 20 19 l8 17 16 15 t4 13 t2 lt I 2BB l6x23Cm. to 98 654 ISBN: 978

l.

Ju<

-

979

- 29 -

dikuasasi bagi yang akan mengembangkan teknik getaran dari awal dengan pemahaman fenomena getaran menjadi persamaan model. Sampai saat ini, model getaran dilakukan untuk dua kelompok yaitu kondisi Lantp Mass dan Conlinous Mass. Buku ini membahas pemodelan untuk Lamp mass, dengan benda dimodelkan sebagai satu atau lebih massa masif yang ditumpu atau

saling dihubungkan dengan idealisasi sebagai pegas clan danryer. Ftiil lain dapat berupa klem, pegas daun dan atau shock, kontak punggung orang dengan jok, atau fondasi mesin. Dalam buku ini akan disampaikan analisa dari model getaran single Degree of Freedon atau SDOF, untuk dua benda dengan DDOF, dan Multy DOF. Eksitasi untuk model antara lain dapat berupa idealisasi gaya harmonik, figoneometri, dan sambungan antara

fungsi step.

lul

l. Mr., lrrrrrir rrl Vil;rcrlion DDC'21 :620.3

Buku inijuga meralkan bagaimana membuat model Lamp Mass dari berbagai benda sesuai kepentingan analisa yang diinginkan, misalnya elastisitas ban yang dipentingkan maka model getaran dibuat berlainan dengan jika chasisnya yang dipentingkan. Ibarat pepatah mengatakan Bersakit-sakit Dahulu Bersenung Kernudian bagi pecinta teknik getaran, kesabaran yang

IV

Dasar-Dasar Getaran Mekanis

dilakukan dengan tekun dan teliti antara lain dari membaca buku ini, dapat menghasilkan pemahaman utuh getaran dan dapat melakukan penerapan model dari jawab permasalahan fenomena riil.

Ucapan terima kasih yang sebesar-besamya saya sampaikan kepada semua fihak yang membantu dan ikut mengoreksi dalam proses pembuatan buku ini yaitu, staf dan karyawan ANDY OFFSET. Bapak Indra Herlamba, Bapak Mansyur, dan Bapak Ali Khomsah. Kritik, saran, dan masukan yang berguna untuk penerbitan selajutnya. sangat ditunggu. Semoga buku ini bermanfaat.

Surabaya, Nopember 20 10

Tungga Bhimadi Karyasa

DAFTAR

ISI

........... .......iii DAFTAR ISI............. ..................... v DATAR GAMBAR. ......................ix DAFTAR TABEL..... ..................xiii BAB 1 PENDAHULUAN ..........1 l. I Sejarah Perkembangan Getaran Mekanis.......................... I 1.2 Konsep Dasar Getaran Mekanis .....................5 1.3 Pembebanan dan Klasifikasi Getaran ..........13 1.4 Prosedur Analisis Getaran .........16 1.5 Model Cetaran Sesuai Kebutuhan. ...............20 1.6 Elemen Pegas .........22 1.7 Elemen Massa atau Inersia ........28 1.8 Elemen Peredam .......................31 1.9 Ringkasan.. .............37 1.10 Pertanyaan untuk Pemahaman .....................38 1.ll Soal... ......................39 KATA PENGANTAR

BAB

2

GETARAN BEBAS SISTEM SATU Df,RAJAT

KEBEBASAN.............

..................... 45

2.2 Getaran Bebas Tak Teredam SDOF .............52 2.3 Getaran Bebas SDOF dengan Viscous Damping............ 60 2.4 Getaran Bebas SDOF Coulomb Damping.... ....................7 9 2.5 Ringkasan ................85 2.6 Pertanyaan untuk Pemahaman ......................85 2.7 Soa1............ ..............86 BAB

\

3

EKSITASI SISTEM SATU DERAJAT KEBEBASAN......93

3.1 3.2 3.3 3.4

Pendahuluan

................

...............93 Eksitasi Harmonik SDOF dengan Beda Phase.................96 Eksitasi Harmonik SDOI.- Tanpa Beda Phase................104 Respons SDOF dengan Eksitasi Harmonik Base........... I i0


3.5 SDOF Teredam Eksitasi dari Mesin Tidak Balance.......118 3.6 SDOF Teredam oleh Coulonrb Damping. ..............,....... 123 3.7 SDOF dengan Eksitasi Ileban Impuls .........126 3.8 SDOF dengan Eksitasi Deret Fourier................ ............. 129 3.9 Ringkasan ..............134 3.10 Perlanyaan untuk

3.1I BAB

4

Soal....

Pemahaman

GAYA EKSITASI PADA SISTEM SATU DERAJAT KEBEBASAN.............

.....................135 ....................136

5

BAB

6

.................... r43

Sistem Getaran Dua Derajat Kebebasan ..........................173 Persamaan Getaran Dengan Metode Newton ................173 Solusi Transien DDOF Sistem Tak teredam..................179 DDOF untuk Getaran Torsi .... 189 Getaran Paksa DDOF dengan Solusi Impedansi dan lnvers ...............;... ...........192 5.5 Getaran Paksa DDOF dengan Solusi Metode Raylegh ... 196 5.6 Ringkasan .............203 5.7 Pertanyaan untuk Pemahaman ...................203 5.8 Soal ........... ...........204

5.1 5.2 5.3 5.4

SISTEM GETARAN

MDOF.......

BAB 7

7.4 7.5

7.6

4.1 Eksitasi Berupa Impuls........ .....143 4.2 Eksitasi Gaya Berganti-ganti SeIang..............................149 4.3 Getaran Akibat Eksitasi Landasan .............158 4.4 Solusi dengan Transformasi Laplace ......... 162 4.5 Ringkasan .............166 4.6 Pertanyaan untuk Pemahaman ....................166 1.7 Soa1............ ............167

BAB

vil

Daftar Isi

.....................211

6.1 MDOF pada Sistem Pegas-Massa ................ .................21 6.2 Persamaan Lagrange untuk Persamaan Getaran ...........213 6.3 Getaran Bebas pada Sistem MDOF ............221 6.4 Getaran Paksa pada Sistem MDOF....... ......221 6.5 Ringkasan .............230 6.6 Pertanyaan untuk Pemahaman ....................230 6.7 Soa1....,.,.,., ............231 1

7.7 7.8 7.9 7.10

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3 Gambar 1.4 Gambar 1.5 Gambar 1.6 Gambar 1.7 Cambar 1.8 Gambar 1.9 Gambar 1.10 Gambar l.1 l Gambar 1.12 Gambar 1.13 Gambar 1.14 Gambar 1.15 Gambar 1.16 Gambar l.l7 Gambar 1.18 Gambar 1.19 Gambar 1.20 Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 2.4 Gambar 2.5 Gambar 2.6a Gambar 2.6b Gambar 2.6c

Getaran sederhana dari ayunan pendulum ............... -.........7 ...........'......' 10 Contoh idealisasi getaran SDOF Contoh sistem dengan 2-derajat kebebasan ...........'......... I 0 Contoh sistem dengan 3 -derajat kebebasan ............'......'. 1 l Contoh batang SDOF tak berhingga ................' ........... -... 12 Contoh eksitasi determi nistik dan random ..................'...' 1 6 Model Forging Hammer '........... 18 Idealisasi model sistem suspensi mobil ........' ..................20 Ideali sasi model si stem kenyamanan sopir-2D .'..' ........... 2l Ideal i sasi si stem pegas-damper mobil-3D ....................... 21 ..........'......22 Konrbinasi pegas seri dan paralel ...................24 IJosting Drum.......... ................-.-.-.26 Crane pengangkut beban......... .........'......28 Cantilever dengan massa di ujung Idealisasi gedung bertingkat sistem MDOF....... ............ -. 29 .....'..'..... 30 Massa translasi dengan rigid body.. Massa berlranslasi dan

berotasi

...........'.....'...31

Hysterisi s loop untuk material elastik................'.'........ ". 3 3 Plat paralel dengan fluida viscous.................................... 34 ....'............' 35 Dashpot .......... 47 Sistem pegas-massa posisi horizontal

.......'." 48 Idealisasi rangka gedung Gaya4!an momen ekstemal pada body ekuivalen ..'....'.' 50 ..... 50 Free Body Diagram Contoh 2.1.............. .'....51 ............. 2.2 Free Body Diagram Contoh 52 ...'..........'.... Diagram Benda Bebas getaran massa-pegas ........ 53 Sistem pegas-n-lassa tanpa peredaman .............'.........57 Respons getaran bebas SDOF


Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar Gambar

2.7a Beban pada bentang Hoist .........59 2.7b Sistem Pegas - Massa redaman viscouns .......................61 2.8 Getaran teredam (<1.0 ........ ......65 2.9a Getaran dengan redaman kritis (:1.0 ............... ...............67 2.9b Redaman kritis (:l.0 dengan variasi kecepatan ..............67 2.9c Simpangan aperiodik dengan (> 1.0 ................................. 6g 2. I 0a Respon getaran bebas

SDOF

.

2.10b Laju pengurangan osilasi 2.10c Penurunan logaritmik sebagai fungsi- e .

.. . .. ..

.. 2.10d Penurunan logaritmik dengan d = iln (5; 1-

t'l

xil

.....

.

.

.. .. .. .. .. .

Daftar Gambar

Gambar Gambar Gambar Gambar

4.1

4.2 4.3

4.4

dengan unit

.........71

.... . . ......73

Gambar 2.10e Laju pengurangan osilasi redaman kecil ........... ..............74 Gambar 2.11 Sket respon getaran SDOF......... ..................75 Gambar 2.12 Sket dan respon getaran soal2.2...... ............7g Gambar 2.13 Free body diagram Coulomb damping............................ 82 Gambar 2.14 Plotpersamaan2.60 dan2.6l ......................83 Gambar 3.1 Sistem redaman pegas-masa SDOF .............95

Gambar 3.2 Simpangan sistem redaman pegas-massa ................ .......96 Gambar 3.3 Kurva amplitudo rasio SDOF tanpa redaman "...............98 Gambar 3.4 Displacement dari beda fase eksitasi harmonik 0< rolat,,)l .......................98 Gambar 3.5 Displacement dari beda fase eksitasi hamronik crllro,,)l .........99 Gambar 3.6 Kurva SDOF tanpa redaman kondisi resonansi............l00 Gambar 3.7 Respon total frekuensi natural eksitasi hamronik SDOF........ ....................101 Gambar 3.8 Rasio eksitasi massa SDOF ....103 Gambar 3.9 Skema sistem pompa torak.......... ..............104 Gambar 3.10 Variasi 'x dan O' dengan r ................ ........106 Gambar 3.1I SDOF eksitasi dari displacement Base.........................1I I Gambar 3.12 Kurva respon frekuensi getaran SDOF Base .......... ......114 Gambar 3.13 Yariasi-zly terhadapfiekuensirasio.............................1l5 Gambar 3.14 Gerakan vertikal mobil eksitasi displacement jalan...... I l6 Gambar 3.15 Penyanggah massa putar tidak balance .... I 19 Gambar 3.16 Rotating unbalaced masses ....l}l Gambar 3.17 SDOF dengan Coulomb damping dan eksitasi gaya.--l23 Gambar 3.18 Asumsi beban Impack sebagai eksitasi.........................127 Gambar 3.19 Asumsi delta waktu impact sebesar ,+.....................128

step

......................152

Gambar 4.5a Respon dinamik tak teredam eksitasi impuls dan step

69

..........70

Diskritisasi interval 0 sampai t durasi A:t/n.................144 ..... 148 Eksitasi gaya untuk contoh 4.2 ............. Variasi fungsi step eksitasi gaya untuk contoh 4.3 ....... 150 Breakdown eksitasi dari gambar 4.3 menjadi fungsi

delay..........

...............153

Gambar 4.5b Respon dinamik tak teredam eksitasi Sinus" delay, ................. 154 ramp-eksponensial Gambar 4.6 Pulsa segitiga serta breakdown dari contoh 4.5 ............ 155 Gambar 4.7 Plot solusi respon dinamik untuk soal 4.5.............. ....... I 57 Gambar 4.8 Pulsa kecepatan untuk contoh 4.6 ................................. I 59 Gambar 5.1 Tiga contoh sistem dua derajat kebebasan ..............'....174

Gambar 5.2 Gambar 5.3 Gambar 5.4 Gambar 5.5 Gambar 5.6 Gambar 5.7 Gambar 5.8 Gambar 6.1 Gambar 6.2 Gambar 6.3 Gambar 6.4 Gambar 6.5 Gambar 6.6 Gambar 7.1 Gambar 7.2 Gambar 7.3 Gambar 7.4 Gambar 7.5 Ganhar 7.6 Gambar 7.7 Gambar 7.8 Gambar 7.9 Gambar 7.10 Gambar 7.11 Gambar 7.12 Gambar 7.13

Sistem pegas-redaman dua deraj at kebebasan .............. 17 7 ...................185 Sket untuk contoh 5.1 ............ Perpindahan pada massa m I dan Ir12 .............................. 1 87 ..... 190 Sistem torsional dua derajat kebebasan 19 1 ................... 5.3 untuk contoh DDOF Getaran torsional 1,94 ....... Sistem torsional DDOF untuk contoh 5.4........... ".. Sistem getaran DDOF tanpa redaman........................... I 96 ....212 Sistem pegas-massa MDOF ............215 Sistem pegas-massa untuk soal6.1 Sistem pegas-massa-redaman untuk soal 6.2 ..............' 217 ...........222 Sistem pegas-massa untuk soal 6.3 Model suspensi otomotif untuk soal 6.4 ...................'...225 ............'.........229 Sket dari contoh 6.5 ............ .............239 Starl awal MATLAB..

MATLAB

.................239

Jawaban permasalahan

MATLAB contoh 7.1 .............241

Window

.......245 Vektor kolom MATLAB ................246 8................ Hasil input untuk matriks A dan Perkalian dan penjumlahan A dan B........................'.... 250 .......250 Hasil operasi aritmatika fungsi invers Hasil )lot fungsi y= I -cos 2x dany:e* .......... ........'......253 ................254 Notepad dan menyimpan m-file 25 5 .............................. getaran 7 .6 contoh problem Skema .............257 Hasil plot dari contoh 7 .6a............ .............257 Hasil plot dari contoh 7.6b............ Hasil plot respons dari contoh 7 .7 ................'..............'. 25 8

xii

Gambar 7.tr4 Gambar 7.15 Gambar 7.16 Gambar 7.17 Gambar 7.18 Gambar 7.19 Gambar 7.20 Gambar 7.21 Gambar 7.22 Gambar 7.23


Hasil plot respons dari contoh7.8 ............... ..................259 Model suspensi otomotif..... ....260 I{asil plot respons contoh 7.9........"..... .......262 Skema sistem contoh 7.10............ ..............263 Free body diagram sistem contoh 7. I 0 ........... ..............263 Respons sistenr getaran dari contoh 7.10............ ..........271 Model suspensi otomotif dari contoh 7.11 ........... ........271 Skenra si stem getaran contoh 7 . 12 ................................ 27 3 Respons getaran problem 7.12............ .......275 Sistem 3 derajat kebebasan contoh 7.13 ......................276

DAFTAR TABEL

Tabel Tabel

1.1 7.1

Tabel7.2 Tabell.3 Tabel7.4 Tabel 7.5 Tabel7 .6 Tabel7 .7 Tabel 7.8 Tabel7.9 Tabel 7.10

............ 14 Jumlah beban sesuai analisis kekuatan ...................240 Perintah dasar MATLAB............. ..........241 Simbol operator aritmatika MATLAB ...........242 Fungsi matematika standar MATLAB Fungsi operasi bilangan kompleks MATLAB .. ................. 243 ......................243 Operasi relasi MATLAB .......... ...........244 Operasi logika MATLAB ..........249 Operasi aritmatika matriks Fungsi bawaan MATLAB untuk plot data x-y ..................251 ...............252 Style option dari fungsi plot ........... Fungsi bawaan MATLAB untuk plot datax-y-z ..............253

BIIB 1 PENDAHULUAN

Kompetensi yang ingin dicapai dengan memelajari bab ini adalah:

l.

Mampu membedakan model dengan sistem satu, dua, atau lebih, dari derajat kebebasan.

2.

Mampu memodelkan getaran Lump Mass satu sistem, berbasis derajat kebebasan.

3.

Mampu memahami elemen dasar dari model sistem getaran yang terdiri dari elemen pegas, elemen inersia, dan elemen redaman.

4.

Mampu melakukan analisis getaran

riil

sederhana menjadi model

elemen dasar sistem getaran.

l.l

Sejoroh Perkembongon Getoron Mekonis

Mechanical Vibration atau Getaran Mekanis merupakan suatu istilah yang kemunculannya telah melalui proses panjang. Untuk memahami getaran mekanis, orang terlebih dahulu harus memahami makna mekanika sebagai cabang ilmu pengetahuan, karena getaran merupakan salah satu fenomena dari mekanika. Tinjauan sejarah perkembangan mekanika dan getaran tidak lepas dari dua aspek, yaitu hukum alam dan rekayasa. Yang menarik dalam sejarah hukum alam dan rekayasa, apabila kita fokus pada runtuhnya peradaban Islam abad ke-3, hampir semua pakar mekanika terlebih dahulu membahas interpretasi hukum alam, aksioma, uraian, bahkan rumus matematika. Dan hal ini dilakukan terlebih dahulu sebelum membahas rekayasa, aplikasi, serta hubungan dari masing-masing hukum alam tersebut. Bahkan, tinjauan terhadap hukum alam pada abad ke-3 dilakukan sampai pada esensi yang paling dalam, yaitu filosofi Perkembangan ilmu getaran mekanis diawali dari penemuan Galileo mengenai hubungan antara paryang pendulum dan frekuensi ayunan


pendulum. Pengamatannya dilakukan terhadap resonansi, dengan identitas pada bua benda yung- dit uurrgkan oleh tali sebagai energi yang ditransfer

frekuensi yang sama. Galileo menemukan hubungan anlara densitas,

tegangan. panjang, dan frekuensi ayunan sebagai getaran kawat' Setelah Newton menyampaikan empat hukum mekanika, belum muncul

penrbagian teknik getaran sebagai bagian ilmu fisika ini. Sekarang, fisika 'sebagal basic atau dasar getaran sudah menyatakan pembagian fisika menjadi statika dan dinamika. ttut
oleh D'Alembert yang memberikan inspirasi penyusunan

persamaan

yang keseimbangan kondisi staiik dan dinamik statih misalnya struktur rangka tertenfir disebut sebagai struktur statik tertentu. Penyelesaian struktur statik -niengandalkan persamaan keseimbangan dan tidak melibatkan yang hanya tambahan, seperti metode kekakuan dan metode superposisi, hukum dasar yang memberikan kontribusi sangat besar dalam

*"tod.

merupakan

perkembangan penerapan getaran mekanis.

Faktor lain yang juga menjadi peletak arah evaluasi mekanika getaran digunaadalah asumsi p.gr.-du-per (kondisi riil ini tidak ada). Asumsi ini

yaihr kan untuk memodclkan senlua fenomena getaran sesuai kondisi benda,

asumsi bahwa benda mempunyai hanya dua parameter yaitu: konstanta untuk pegas, dan konstanta untuk damper.

Sejumlahpakarselainfokusunfukpersoalangetaran.yaitupakar

matematika, seperli Taylor, Bernoulli, D'Alembert, Euler, Langrange dan tr'ourier juga memb".ikun konstribusi berharga bagi pengembangan teori getaran. Bemoulli sebagai yang pertama kali mengajukan teoi linier super"posisi dari getaran harmonik sederhana balok, dan balok tersebut ditr-rmpu p"gur. Perumusan matematika untuk model getaran dengan pegas ini diawali

puAu tahun 1751. Kemudian, Bemoulli mengembangkan persamaan

diferensial untuk getaran arah lateral dari batang primatik dan menggunakan yang kecil. persamaan itu untuk mendapatkan solusi pada kasus defleksi maupun irada tahun 1798 Coulumb melakukan penelitian baik secara teoretik oleh yang digantung logam sebuah dari torsional eksperimen untuk osilasi sebuah kawat.

Pendahuluan

Ada hal yang menarik dari cerita perkembangan teori getaran dari sebuah plat. Pada tahun 1802 Chladni mengembangkan sebuah metode dengan meletakkan pasir pada permukaan plate yang bergetar. Dia menemukan suatu pola yang menarik dan indah pada pasir yang diletakkan pada plat yang sedang bergetar itu. Penelitian getaran pada plate dilanjutkan oleh ilmuwan Jerman, Sophie, dengan mengembangkan persamaan matematika getaran pada plat tersebut tahun 1816. Kemudian persamaan getaran disempurnakan oleh Kirchhoff pada tahun 1850. Meskipun kita belum tahu siapa yang memulai, hukum getaran Rudolf Herz tentang fenomena getaran sebagai proyeksi gerak melingkar pada bidang datar. Persepsi Herz tentang rambatan getaran ini pada media udara merupakan sumbangan yang tidak kalah penting untuk gelombang. Nama Newton dan Herz layak diabadikan untuk safuan turunan dalam mekanika, yain gaya atau beban dengan simbol 'N' dan frekuensi dengan simbol 'Hz'. Definisi getaran mengikuti istilah fisika, yaitu wujud dari proyeksi gerak melingkar dalam bidang datar yang menghasilkan gerakan bolak-balik atau osilasi pada garis diameter yang selalu melalui pusat gerak lingkaran sebelumnya. Garis dari gerak bolak-balik hanya memiliki dua kemungkinan. yaih: dua garis saling menyilang dengan sudut 90 derajat. Apabila salah satu garis yang verlikal disebut osilasi getaran transversal, maka osilasi dalam garis horizontal disebut osilasi getaran longitudinal. Setelah itu penelitian mengcnai getaran berfokus pada mekanikal praktis dan struktur. Pada tahun 1877 Rayleigh mempublikasikan bukunya yang membahas teori suara. Buku ini mempertimbangkan teori klasik dari getaran. Kontribusi dari Rayleigh yang perlu dicatat adalah metode yang diternukannya untuk menentukan secara fundamental frekuensi getaran dari sebuah sistem konservatif dengan menerapkan prinsip konservasi energi. Metode ini sekarang dikenal dengan metode Rayleigh. Pada tahun 1902 Frahm menyelidiki pentingnya getaran torsional dalam perancangan poros propeller kapal uap. Peredam getaran dinamik yang melibatkan tambahan sistem spring-mass untuk menghilangkan getaran sistem utama dikemukakan oleh Frahm pada tahun 1909. Sejumlah kontributor pada abad modern, seperti Stodola, Timoshenko.dan Midlin juga perlu dicatat. Metode Stodola digunakan untuk menganalisis getaran batang pejal yang juga dapat diaplikasikan pada bilah turbin. Timoshenko dan Midlin memperbaiki teori getaran pada batang pejal dan plat. Para pakar kembali menyadari bahwa fenomena resonansi antara perhrtungan teori dan yang terjadi secara riil pada benda harus diperhitungkan. Pemyataan ini muncul dari penelitian Dankerley pada


tahun 1915 yang menyampaikan bahwa formulasi frekuensi pribadi batang yang ditumpu jepit dapat diperoleh sampai orde reformasi tak terbatas. Penentuan frekuensi ini disebut dengan Metoda Dankerley. Persoalan getaran berkembang tidak hanya pada masalah idealisasi dan kepraktisan, tetapijuga pada akurasi perhitungan. Misalnya, akurasi pertama fokus pada solusi getaran sederhana sebagai pendekatan linear. Beberapa contoh lainnya menggunakan model getaran non-linear. Pembeda linear dan nonJinear ditenfukan dari fenomena elastisitas dan plastisitas dalam uji tarik material. Getaran mendekati kondisi non-linear manakala teaadi plastisitas

bahan. Sudah lama ditemukan bahwa banyak permasalahan dasar dari mekanika, termasuk getaran, adalah non-linier. Meskipun pendekatan secara linier masih dapat diadopsi dalam kebanyakan kasus, namun bagaimanapun tetap tidak mampu untuk mencakup semua kasus. Pada kasus nonJinier ada beberapa fenomena yang secam teoretis tidak mungkin terjadi pada kasus linier. Pengembangan model matematika non-linier pada teon getaran pertama sekali dikernbangkan oleh Poincare dan Lyapunov pada akhir abad ke-19, namun baru pada tahun 1920 Dulfing dan Van der Pol mampu mendefinisikan solusi matematika untuk teori getaran nonJinier. Dalam kurun 20 tahun terakhir penulis buku yang membahas soal getaran, seperti Monorsky dan Stoker, menuangkan hasil perhitungan getaran non-linier dalam sebuah monograf.

Karakteristik getaran random terjadi pada fenomena gempa bumi, angin, dan kebisingan yang berasal dari mesin. Fenomena tersebut merupakan suatu hal yang menarik untuk diteliti. Penelitian di bidang ini mulai tampak setelah Wiener dan Khinchin pada awal tahun 1930 mengaplikasikan deret Taylor pada spectral density. Paper yang dipublikasikan Lin dan Rice antara tahun 1943 dan 1945 menentukan arah ilmu getaran random pada tataran praktis

guna memecahkan permasalahan dalam ilmu rekayasa. Monograf yang dibuat oleh Crandall, Mark dan Robson secara sistematis menunjukkan eksistensi dari teori getaran random. Sampai akhir Perang Dunia II, perkembangan ilmu getaran masih pada kasus beberapa derajat kebebasan. Namun setelah ditemukannnya komputer

pada tahun 1950, yang memungkinkan untuk membuat sistem kompleks yang lebih moderat, hal itu membangkitkan solusi untuk pendekatan masalah dalam bentuk perhitungan numerik dengan program looping. Pengembangan secara simultan dari metode elemen hingga membuat rekayasawan mampu menggunakan komputer untuk mendapatkan solusi secara numerik dan

Pendahuluan

analisis getaran kompleks sistem mekanis, struktur, ataupun kendaraan. Sebut saja, perkembangan kapasitas CPIJ dan pengecilan dimensi PC. Kapasitas CPU untuk PC dari 120 MB tahun 1985 sebagai komputer mini, sampai l0 GB pada tahun 1988 yang diagungkan saat itu dengan istilah cray-2. Kedua komputer ini menempati ruang CPU sebesar lemari besi. Bandingkan dengan PC kapasitas 250 GB tahun 2009 yang hanya sebesar notebook, kotak kecil berukuran 44 dengan ketebalan 2 cm. Dengan kondisi CPU terakhir, jawaban atas permasalahan model getaran dalam skala besar seperti pada gedung bertingkat, stadion, pesawat terbang, kapal, dapat diperoleh hanya dengan menggunakan notebook tersebut. Tentu saja solusi model getaran dengan idealisasi elemen yang sangat banyak membutuhkan piranti lunak sebagai aplikasi ilmu pengetahuan. Peranti lunak tersebut antara lain SAP dan MATLAB. Pada bab terakhir buku ini disampaikan aplikasi idealisasi getaran dengan

MATLAB.

1.2 Konsep Dosor Getoron Mekonis Getaran adalah gerakan berisolasi dari sistem mekanis serta kondisi-kondisi dinamisnya. Gerakan dapat berupa benturan yang berulang secara kontinyu atau dengan kata lain dapat juga berupa gerakan tidak beraturan atau acak.

Getaran sebagai fenomena alam merupakan kecenderungan respons alam atau respons yang teq'adi, baik langsung maupun tidak langsung, akibat te4'adinya peristiwa alam. Peritiwa alam ini menampakkan sesuatu yang dapat kita pelajari rentetannya. Penampakan ini dapat merupakan sesuatu yang dirasakan maupun yang tidak dirasakan oleh panca indera. Ranah pengetahuan tertarik terhadap lingkup fenomena yang tidak dapat dirasakan panca indera, sepefti panas dan getaran. Getaran merupakan salah satu fenomena alam. Itu berarti kita buat kelompok kejadian dari respons penampakan dalam domain yang kita sebut getaran. Gempa merupakan anggota kelompok getaran dan gerakan pegas daun sebagai penghubung roda dengan sasis mobil merupakan getaran.

Contoh penjelasan teknis untuk fenomena getaran mesin terhadap fondasi adalah sebagai' berikut: Getaran mesin disebabkan oleh adanya variasi oleh sistem penggerak menjadi gaya yang memiliki resultan tidak sama dengan nol atau resultan gaya dengan harga berubah-ubah. Kalau semua gaya tersebut mempunyai harga dan arah yang dapat dihitung secara tepat dan akurat maka keseimbangan mesin tersebut akan terjadi sehingga mesin tidak menimbulkan getaran. Kenyataannya, gaya di dalam sebuah


Pendahuluan

mesin selalu berubah, baik harga maupun arahnya, belum lagi ditambah gaya

luar sebagai gangguan misalnya dari efek inersia. Keseimbangan tidak mungkin dicapai meskipun sudah dilakukan perhitungan mendetail. Masalah penyeimbang gaya yang berubah-ubah ini, ditambah gerakan bolak-halik dari elemen-elemen mesin pada bagian tertentu, menyebabkan setiap gerakan mesin selalu menimbulkan getaran. Rekayasa getaran sebagai jawaban atas permasalahan sampai saat ini, bertujuan untuk meminimasi efek kerusakan akibat adanya getaran tersebut. Getaran mesin juga dapat terjadi antara lain oleh gaya putar atau torsi yang tidak seimbang, dalam artian gaya tersebut tidak mempunyai harga tetap; perubahan tekanan gas dalam torak, dan perubahan gaya kelembaman atau momen lentur dalam setiap gerakan benda. Kalau gaya yang berubah-ubah dalam mesin ini terjadi pada kecepatan yang sama dengan getaran frekuensi pribadi dari struktur atau konstruksi keseluruhan mesin maka resonansi akan terjadi. Resonansi akan menyebabkan amplitudo getaran menjadi naik secara teoritis dengan ideal frekuensi hingga mencapai tak berhingga. Secara riil, apabila mesin tidak didukung sistem peredaman yang cukup maka shuktur pendukung mesin yang bergetar tersebut akan rusak.

Gerakan yang menyebabkan getaran ini merupakan fenomena alam tidak langsung. Fenomena alam tidak langsung ini tidak dapat dihilangkan sebagaimana halnya noise dan gangguan. Namun demikian getaran ini dapat dikurangi dari pengaturan dampak pada penampakan frekuensi dan amplitudo. Frekuensi getaran secara fisik apabila tidak terkendali dapat menirnbulkan kondisi bising pada saat pengoperasian mesin, sedangkan amplitudo getaran tak terkendali tampak lewat goyangan mesin yang tak beraturan. I-Intuk mengurangi akibat merugikan dari dua parameter ini, agar tidak merusak struktur yang bergetar, selain dilakukan dengan analisis, data percobaan, dan tinjauan teori. Analisis dibantu dengan komputasi PC sebagai pendukung'

Umumnya getaran timbul akibat adanya gaya yang bervariasi dengan waktu. contohnya, ayunan sebuah pendulum yang dikaitkan dengan sebuah kawat seperti pada Gambar 1.1. Secara umum sebuah sistem bergetar, menyimpan energi potensial (pegas dan bahan elastis), dan energi kinetik (oleh massa atau inersia sebagai idealisasi sifat pegas), ataupun penyerap energl dan melepaskannya secara perlahan (seperti idealisasi sebagai damper).

I

v

Datum

{(l -

-

cos

g)

m8 Gombar 1.1 Getaron sederhana dari ayunan pendulurn

l.l. Jika ' pada nol. Namun pada posisi ini energi

Sebagai contoh adalah getaran dari pendulum pada Gambar m dilepas setelah disimpangkan membentuk sudut 0

suatu massa

'

posisi-I, energi krnetiknya adalah potensialnya sebesar 'nryl(l-cos 0)', karena gaya graitasi 'mg' akan memberikan torsi sebesar nrgl sin, di titik o. Benda tersebut akan mulai berayun ke kiri dari posisi-I. Hal ini akan memberikan percepatan angular searah jarum jam. Ketika mencapai posisi-2, semua eneryi potensial benda dikonversi menjadi energi kinetik. Ayunan benda kemudian berlanjut ke posisi-3, namun torsi yang berlawanan dengan arah jarum mulai bereaksi akibat gaya resultan sebagai gaya radial. Hal ini menyebabkan terjadinya perlambatan pada benda. Kecepatan benda berkurang hingga menjadi nol pada posisi-3. Pada posisi ini semua energi kinetik benda dikonversi menjadi energi potensial. Akibat adanya torsi dari resultan grafitasi dan tegangan tali, dan meskipun pada posisi2 tidak ada gaya resultan radial, benda melanjutkan ayunannya dengan arah berlawanan jarum jam, dengan percepatan secara angular dan melewatititlk-Z. Proses ini terus berulang dan pendulum akan memiliki gerakan osilisasi. Namun secal? praktis besar sudut osilasi '0' secara perlahan berkurang dan pendulum akhimya berhenti akibat adanya redaman yang dihasilkan oleh udara. Arlinya ada sebagian energl yang hilang setiap siklus yang disebabkan oleh adanya redaman udara. Konsep dasar perpindahan energi adalah energl itu tidak dapat hilang, melainkan berpindah. Jika bumi dan atmosfir menjadi


andalan tempat perpindahan energi akhirkarcnapenyerapan dari benda, maka wajarbila 'Bumi Makin Panas'.

Frekuensi dan simpangan merupakan contoh parameter getar untuk perancangan mesin dan struktur rekayasa perlu mempertimbangkan sifat getaran yang terjadi dan sejauh mana dapat merusak bagian yang lain. Bagian ini disebut sistem. Getaran secara sistem atau bagian dari sistem yang berosilasi dapat terjadi sebagai geraknn linear rniring atau gerakan nonlinear (bedakan dengan istilah getaran non-linear yang sudah dibahas sebelumnya). Untuk sistem gerakan linear berlaku prinsip superposisi dengan penggunaan model matematika yang sesuai atau mengikuti asumsi teoretiknya. Hal ini dapat menjadi dasar analisis dari perhitungan teori sistem yang lebih rumit. Sebaliknya, apabila teknik untuk menganalisis sistem gerakan kurang dikenal atau tidak sesuai kondisi riil saat digunakan, maka hasil analisis perlu dipertimbangkan. Analisis gerakan linear dalam getaran hanya populer dalam upaya mendapatkan prediksi teori seperti dibahas dalam buku ini. Hal

merupakan salah satu alasan mengapa Engrneering vibration menjadi kurang populer. Semua sistem riil dari fenomena getaran derung mempunyai gerakan non-linear, yang berarti amplitr.rdo osilasi cenderung berubah tidak

ini

beraturan. Parameter getaran, misalnya frekuensi, dijelaskan sebagai jumlah getaran

yang terjadi dalam kurun waktu 1 detik. Rumus frekuensi tentu saja merupakan'n-getaran per-l detik' atau dengan satuan 'Hz'. Frekuensi dapat juga dinyatakan dengan satuan radian per detik (radls) dan disimbolkan dengan omega (ro). Hubungan antara omega dan frekuensi adalah 'a : 2n f . Parameter lainnya adalah periode. Periode dinyatakan sebagai waktu yang diperlukan untuk melakukan satu kali getaran. Dengan demikian rumus periode adalah satu dibagi frekuensi, atau 'T : llr. Periode umum dihubungkan dengan harmonik, karena harmonik merupakan suatu gerakan dengan periode yang tetap selamanya. Harmonik berarti keselarasan, seperti perputaran siang dan malam secara teratur dalam periode 24 jam. Harmonik juga terjadi pada ayunanjam dan detakjantung.

Getaran dapat pula terjadi akibat perubahan suhu atau temperatur. Perubahan temperatur berhubungan dengan perubahan panjang atau pendek material konduklor. Analogi getaran (perhitungan dengan cara getaran yang dapat diaplikasikan pada kejadian selain getaran), adalah perubahan sudut tekan pertemuan roda gigi, dan perubahan kecepatan yang menyebabkan gerakan membran pada telinga atau pada alat kedokteran. Idealisasi getaran

Pendahuluan

mekanik dengan gerakan atau simpangan sebagai fungsi sinusoidal atau dengan 'y :A sin rot' dapat dianalogikan dengan rangkaian elektronika

sebagai'V: RI sinrot'dengan (V:voltage, R:Tahanan,

dan

I:arus).

Secara umum, gerak getaran merupakan suatu fungsi periodik di mana fungsi periodik tersebut dapat dinyatakan dengan persamaan 1.1. Waktu t dan periode T dengan percepatan sudut dalam rpm (rotasi per menit) memberikan hubungan Fungsi Harmonik, persamaan 1.2. hka fungsi harmonik

dinyatakan dengan simpangan atau x(t) maka Fungsi Kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi simpangan sebagai fungsi waktu, sesuai persamaan L3. Fungsi

Periodil! x(t): x (t + T )

x(t): A sin o: t v(t): dx / dt: A co cos or t

(1.1)

Fungsi Harmonik Sederhana,

(r.2)

Fungsi Kecepatan,

(1.3)

Jumlah minimum koordinat bebas yang dibutuhkan untuk menentukan gerakan semua benda dan berhubungan sebagai bagian dari sistem pada waktu tertentu, didefinisikan sebagai Derajat Kebebasan Sistem atau Degree of Freedom. Sistem sederhana pada pendulum Gambar 1.1, dan untuk contoh pada Gambar 1.2, mewakili Single Degr"ee of Freedom. disingkat SDOF, atau sistem satu derajat kebebasan. Pada sistem pendulum sederhana Gambar

1.1, koordinat dapat ditentukan baik menggunakan koordinat kartesian y' maupun koordinat polar dengan ' 0 ' .

dengan 'x dan

Jika koordinat kartesian 'x dan y' dipergunakan untuk menggambarkan gerakan pendulum, maka koordinat-koordinat itu (x dan y) tidak saling bebas (sesuai kemampuan gerakan dengan DOF:l). Koordinat 'x dan y' tersebut dihubungkan dengan persamaan *' + yt : 12, dengan' I ' adalah panjang pendulum yang tetap. Ada satu lagi koordinatyang dapat menggambarkan gerakan pendulum, yang dalam contoh ini kita temukan bahwa penggunaan koordinat polar sebagai koordinat bebls sistem pendulum sederhana lebih tepat daripada koordinat karlesian. Untuk kasus slider Gambar 1.2 (a), baik koordinat polar '0' maupun koordinat kartesian 'x' dapat digunakan untuk menggambarkan gerakan slider. Pemyataan penggunaan koordinat kartesian 'x'berhubungan dengan harga'0' sebagai 'x: R sin 0 ', dengan'R'panjang penyangga screw. Untuk Gambar 1.2 b), koordinat kartesian sebagai hanya arah sumbu 'x' dapat digunakan unfuk menggambarkan gerakan benda. Sedangkan untuk sistem torsional Gambar 1.2 (c), koordinat polar '0' lebih tepat digunakan unhrk menggambarkan gerakan benda.


10

Pegas-masa

Berayun

Pegas-masa

Linear

Pendahuluan

11

Sistem Torsi

Gambar 1.2 Contoh ldealisasi getaran SDOF

Contoh untlk douhle degree offreedon (disingkat MDOF), dapat dilihat pada Gambar 1.3. Uraian tiga gambar ini sebagai berikut, Gambar 1.3 (a) diperlihatkan sistem dua massa dengan dua pegas yang menggambarkan dua koordinat linier x1 dan x2, Gambar 1.3 (b) manunjukkan dua sistem rotor di mana gerakan dapat ditentukan dalam koordinat polar'01 dan 02' . Sedangkan gerakan dalam Gambar 1.3 (c) dapat diwakili baik dangan koordinat '(x,y), atau X(x,y,0) '. Huruf kecil 'x dan y' dibatasi oleh persamaan'x2 + y2 : 11 ', di mana ' I ' adalah panJang yang tetap.

(b)

(a)

Gambur 1.3 Contoh sistem dengan 2 deraiat kebebasan

Contoh untuk tiga derajat kebebasan dapat dilihat pada Gambar 1.4, di mana pada Gambar 1.4(a), 1.4(b), dan 1.4(c), tiga koordinat tersebut adalah

koordinat

linier'x;

(i:

1,2,3)'dan'0i

$:

1,2,3)'dapat digunakan untuk

menggambarkan gerakan sistem. Sedangkan Gambar 1.5(b), dengan '01(i= I ,2,3)' menunjukkan posisi dari massa 'rn; (i: 1,2,3)' . Khusus untuk Gambar 1.4(b) penggunakan koordinat kartesian '(xi,y) dengan (i= 1,2,3) ', dibatasi

olehpersamaan'fi + y?

=(

aan(i:1,2,3)'

.

rl (b)

Gambar 1.4 Contoh sistetn dengan 3 derajat kebebasan Secara praktis banyak sistem dapat digambarkan oleh derajat kebebasan tertentu seperti yang terlihat pada Gambar 1.2 sampai Gambar 1.4. Namun ada beberapa kasus, seperti batang canfilever, lihat Gambar 1.5, yang memiliki derajat kebebasan tak terhingga. Jumlah koordinat dapat didefinisikan menjadi tak hingga atau banyak sekali agar kurva defleksi lebih halus, sebagai kurva defleksi. Pemahaman mekanika menyebutkan bahwa sistem dengan derajat kebebasan tertentu disebut sebagai sistem diskrit dan sistem dengan derajat kebebasan tak terhingga disebut sebagai sistem kontinu. Sistem kontinu benda riil dapat didekati sebagai sistem diskrit dan solusi yang diperoleh dalam bentuk paling sederhana, atau dengan jumlah asumsi nodal yang proporsional.

Persamaan getaran dibuat sebagai persamaan diferensial dalam bentuk

matriks untuk model lebih dari satu DOF. Hal ini memungkinkan diskritisasi

model dari sistem dungan DOF dibuat menjadi tak berhingga

agar

pendekatan solusi dapat diperoleh. Persamaan getaran dalam bentuk umum atau bentuk matriks dinyatakan sebagai berikut:

[mJ i(t) +

(c)

i(t) + [k] x(t): /(t)

t2


Matriks bujur sangkar '[m], [c] dan [k]' adalah matriks massa, matriks damping, dan matriks kekakuan. Contoh koefisien matriks untuk 2-DOF masing-masing sebagai berikut:

l*. 01 [m]:I' nt:_) I

lU

-]

[., +.. -c. [cl:l' -", c)+ct) L lr.+r- -k. I I

tkI:l'_0,'r,it,)

Pendahuluan

13

Sebuah sistem yang mengalami getaran dengan kondisi batang kontinu ditumpu secara sederhana pada satu sisi sebagai tumpuan jepit. Derajat kebebasan batang tersebut dapat kita idealisasikan sama dengan 2 ata:u 3 sampai dengan derajat kebebasan tak berhingga. Dalam hal ini sistem

kontinu diberlakukan sebagai sistem diskrit, sehingga untuk solusi model diasumsikan dengan DOF tertentu. Ketelitian jawab permasalahan riil dari kontinu menjadi diskrit ditentukan sesuai asumsi derajat kebebasan. Sistem ini disebut tinjauan getaran dari benda continuous rnass. Sistem derajat kebebasan yang kita bahas sebelumnya dari sistem derajat kebebasan satu sampai tiga, sesuai Gambar 1.4, menunjukkan bahwa benda dinyatakan sebagai satu masa (tidak tergantung dari seberapa besar atau kecil benda tersebut). Asumsi benda yang terkoneksi sebagai sambungan jenis ini disebut latnp mass.

Detail pembahasan yang menghasilkan koefi sien-koefi sien dalam matriks persamaan diatas untuk }-DOF, dicantumkan dalam Bab V pada persamaan 5.3(a) sampai 5.3(c).

Gomber 1.5 Contoh Batang DOF tak terhingga

Sebuah sistem sebagai sistem kontinu memberikan solusi eksak, metode analisis yang tersedia untuk sistem kontinu ini terbatas pada permasalahan sempit dan terpilih, seperti batang yang uniform, silinder rod, dan plat tipis, sehingga praktis sistem kontinu ini diperlakukan sebagai sistem dislait. Secara umum keakuratan solusi diperoleh dengan menarnbah asumsi parameter

getaran dengan, junrlah massa, pegas, dan peredam. Dengan kata lain, dilakukan dengan menambah jumlah derajat kebebasan. Setiap penarnbahan jumlah elenten dalam model getaran atau model pada umum-nya, akan memberikan hasil perhitungan (misalnya harga simpangan atat harga gayamomen batang) menjadi lebih akurat, dalam artian lebih mendekati harga eksak. Hal ini didukung dengan trentl atau kecenderungan akurasi hasil yang bersifat konvergen yaitu, makin banyak jumlah elemen model ditambahkan, model makin akurat. Tetapi penambahan jumlah elemen selanjutnya dapat sia-sia atau mubasir karena memberikan tambahan akurasi menjadi tidak signifiknn.

I.3

Pembebonon don Klosifikosi Getoron

Hasil dari proses manufaktur maupun analisis teoritik engineering menyatakan bahwa, produk prototipe mengalami pembebanan riil setiap waktu pada berbagai kondisi lingkungan produk tersebut. Atau dapat dikatakan bahwa setiap produk mempunyai sejarah pernbebanan riil yang diterima dari awal produk dioperasikan sampai rusak atau jangka waktu tertentu. Semakin bervariasi yang dialami dari pengoperasian produk, semakin acak beban yang diterima produk dan semakin banyak jumlah tinjauan analisis produk yang digunakan, maka semakin kompleks bentuk penggunaan beban riil produk di lapangan, juga pembebanan terutama untuk kepentingan desain dapat diperoleh dengan menggunakan asumsi. Asumsi ini umumnya diperlukan untuk desain produk baru dan jarang untuk modifikasi. Modifikasi produk umunmya berdasarkan beban baru riil yang diperoleh dari uji produk di

lapangan dengan menggunakan produk baru atau prototip tersebut. Pendataan jenis beban dari analisis produk dalam kelompok Sejarah Pembebanarz mulai dilakukan tahun 1980. Hal ini sejalan dengan berapa banyak analisis disyaratkan (sesuai kesepakatan dalam regulasi) pada produk. Untuk menyatakan perbedaan syarat analisis, kurva harga beban terhadap frekuensi yang disebut sejarah pembebanan dibuat. Setidak-tidaknya pada tahun 1980, sudah dibuat aktuator yang dapat mencatat gaya dan frekuensi pada lokasi tertentu dari monitoring harga strain pada strain gauge yang dipasang di elemen di mana beban dicatat. Kondisi lapangan diupayakan pada kondisi riil beban dan pada kondisi pengoperasian laboratorium.

t4


Sejarah pembebanan merupakan gabungan dari beberapa rujukan jenis beban, dan jenis beban ini umumnya muncul dari perkembangan analisis penerapan beban pada produk yang bersangkutan. Kita tahu bahwa penerapan beban paling sederhana dan paling awal muncul adalah jenis beban statik, demikian selanjutnya berkembang, kemudian ada beban getaran, beban fatik. Regulasi terakhir adalah analisis beban sebagai regulasi yang muncul setelah tahun 1995, yaitu beban kejut (impact). Analisis kekuatan terhadap beban kejut aklrir-akhir ini populer dilakukan terutama untuk pertimbangan keamanan dan kerryamanan, misalnya keamanan pengendara mobil terhadap kecelakaan yang berupa benturan. Aspek kekuatan, sebagai analisis produk terhadap beban stati( dinyatakan dengan rasio dari satuan turunan, yaitu tegangan. Sementara tegangan merupakan satuan gaya per luasan (misalnya, N/mm2). produk dikatakan layak atau kuat apabila mempunyaifolctor keanrunan yangbemilai positif. Faktor keamanan merupakan rasio atau perbandingan antara tegangan akibat beban yang diterima oleh produk dibandingkan dengan tegangan dari kemampuan material yang identik dengan kemampuan produk menerima beban. Dalam banyak aplikasi, umumnya harga tegangan dari bahan, masih harus dikalikan dengan Faktor Koreksi (yang umumnya berharga lebih besar dari satu). Faktor koreksi tersebut antara lain pertimbangan dari beban, antara lain getaran, fatik, impack.

1

2

3 4 5 o 7 B

I

Jenis Beban Statik Korosi Fatik Flutter Sistem getaran Trans. Getaran Dinamik lmpack Gempa

Sampai saat ini beban getaran memberi efek pada produk dengan 2 analisis kekuatan sesuai jenis beban getaran tersebut, yaitu beban dari sistem getaran akibat efek getaran dari luar, dan beban dari transien getaran akibat elek geuaran beban dari gangguan. Getaran dibagi menjadi beberapa klasifikasi, antara lain:

1.

2.

Frekuensi Keiadian SekaI seumur hidup

Periode Beban

2-3x seumur hidup Sering Sering Sering Sering Sering <10x seumur hidup Min. 1x seumur hidup

b

tr

Getaran bebas didefinisikan sebagai getaran yang terjadi pada suatu sistem (mekanisme) tanpa adanya pengaruh gaya luar (eksitasi) yang memengaruhinya. Dengan kata lain, eksitasi diberikan pada awal saja, setelah itu benda akan berosilasi. Contohnya adalah gerakan pendulum

to/<5000 Hz

$

3.

Getaran paksa dapat didefinisikan sebagai getaran yang te{adi pada suatu sistem karena adanya ftmgsangan gaya luar (eksitasi). Sebagai contoh

Getaran tak teredam adalah getaran di mana tidak ada kehilangan energi yang disebabkan tahanan selama osilasi.

f,q

Tabel 1.1 menyatakan jaris beban dengan karakteristik analisis kekuatan dari pembagian frekuensi dan perioda kejadian beban. Beban korosi sebagai contoh, merupakan beban yang menyebabkan daerah tertentu dari produk dalam kondisi plastis pada pembebanan periode tefientu, kemudian kembali menerima beban normal. Analisis kekuatan produk yang dimaksud di sini adalah akibat pembebanan, bukan yang lain. Material dalam kondisi plastis

.

sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rimgsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem maka akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi besar dapat menimbulkan balnya. Kerusakan struktur yang tedadi pada gedung, jembatan, turbin, dan sayap pesawat berhubungan dangan fenomena resonansi ini.

tq /<500 Hz / 5000sd.50000 Hz

ts

l.l

adalah getaran pada motor diesel. Jika rangsangan tersebut ber-osilasi maka

h/0.1 sd. 1000 Hz ts

15

berarti sudah mempunyai retak rambut atau muncul pori-pori dan jika produk bekerja dengan gaya garis hubung momen luar atau dalam suasana diselimuti fluida korosif, maka akan menirnbulkan korosi. Percepatan korosi yang te{adi pada produk dapat diprediksi dari pertambahan volume daerah plastis yang notabene merupakan daerah korosi. Kondisi ini disebut beban mencapai kondisi plastis material. Kondisi statik produk berarti kondisi di mana produk menerima beban paling maksimal dan paling besar baik keadaan tarik atau Tension maupun keadaan tekan atau Compression, dan minimal hanya sekali dikenakan atau terjadi pada produk dalam sejarah pembebanan.

pada Gambar

Tabel 1.1 Jumlah heban sesucri analisis kekuotan No,

Pendahuluan

4.

Getaran teredam adalah getaran di mana terjadi kehilangan energl yang disebabkan tahanan selama osilasi.

5.

Getaran linier af,alah semua komponen sistem yang bergetar, baik itu pegas, massa, dan peredam berperilaku linier. Pada kondisi ini prinsip superposisi dipegang dan analisis teoritis menggunakan model matematika sangat baik untuk dikembangkan. Buku ini melakukan an'alisis getaran secara linear.

16


6.

Getaran non-linier adalah semua komponen sistem yang bergetar baik itu pegas, massa, dan peredam berperilaku non linier. Pada kondisi ini penerapan prinsip superposisi tidak valid dan analisis menggunakan model matematika kurang baik untuk dikembangkan. Perhitungan numerik dengan pendekatan metode nonlinear dari hasil regresi kelakuan material suatu percobaan dilakukan. Contoh pendekatan ini

7.

8.

Pendahuluan

17

Langkah 1: Membuat Model Matematika

Model matematika merupakan representasi dari kondisi

riil

realisasi

operasional sebuat sistem dan tujuarr pernbuatan model matematikan ini adalah untuk mencari solusi dari analisis perilaku sistem. Model matematika

haruslah mampu menggambarkan sistem cukup detail, namun tidak

umum dilakukan untuk getaran impak.

menrbuatnya terlalu kompleks. Model matematika bisa linier maupun nonlinier, tergantung perilaku komponen sistem getaran. Kadang-kadang model

Getaran deterministik adalah getaran di mana harga eksitasi yang bekerja pada sistem diketahui setiap saat. Eksitasi diplot kemudian

Pada pendekatan

perhitungan numerik ekuivalen eksitasi pada model dilakukan.

matematika dibuat secara perlahan untuk memperoleh hasil yang akurat. ini model dasar yang digunakan secara tepat dapat menggambarkan perilaku sistem secara keseluruhan. Selanjutnya model mate-

Getaran random atau getaran acak adalah getaran di mana harga

matikan diperbaiki dengan mengamati komponen atau perilaku sistem secara lebih detail.

eksitasi yang bekerja pada sistem tidak dapat diperkirakan. Untuk jenis getaran ini diperlukan rekaman data eksitasi dari pendekatan atau simulasi yang benar untuk dibuatkan polanya secara statistik sehingga rata-rata eksitasinya dapat diperkirakan. Contoh getaran ini adalah gempa bumi, kekasaran permukaan ja7an, kecepatan angin.

a.Deterministik

o,^',:f;';)i)i,,ou^,0,,,,,,,,,o;,:;':;;ranrtom 1.4 Prosedur Anolisis Getoron Salah satu contoh suatu sistem bergetar adalah sistem dinamika, dan variabel seperti eksitasi (input) akan memberikan respons (output) sebagai fungsi dari waktu. Respons suatu sistem getaran dinyatakan dengan kondisi awal, yaitu suatu pasangan harga antara respons (misalnya simpangan) pada jumlah derajat kebebasan sesuai idealisasi dari model getaran yang dibuat, Analisis

dari sistem getaran biasanya melibatkan model matematika, turunan dari persamaan yang dibangun, solusi dari persamaan, dan interpretasi hasil, yang dij abarkan sebagai berikut :

untuk mengilustrasikan prosedur perbaikan yang digunakan

daram

membangun model matematika, perhatikan forging hammer pada Gambar 1.7. Forging hammer terdiri dari rangka, pemberat yang dikenar sebagai tup,

anvil, dan fondasi. Anvil adalah komponen yang terbuat dari baja pejal tempat di mana material yang hendak diforging ke bentuk sesuai keinginan dengan ditumbuk oleh tup secara berulang. umumnya anvil dipasang pada dudukan elastis untuk mengurangi transmisi getaran ke rangka dan fondasi. Pada pendekatan pertama, rangka, anvil, dudukan elastis, fondasi, dan tanah dimodelkan sebagai satu derajat kebebasan seperli diperlihatkan Gambar 1.7(b). Untuk perbaikan pendekatan, berat dari rangka, anvil, dan fondasi dipisah menjadi model dua derajat kebebasan seperti diperlihatkan Gambar 1.7(c). Model getaran ini dapat dikembangkan dengan memperhatikan dan mempertimbangkan tumbukan dari tup. Ilustrasi untuk prosedur perbaikan yang digunakan dalam membuat model matematika, dapat diperhatikan dari mesin forging hammer Gambar 1.7. Forging hammer terdiri dari rangka, pemberat yang dikenal sebagai tup, benda kerja atau anvil, dan dudukan ataufondasi. Anvil merupakan komponen yang terbuat dari baja pejal tempat material hendak diforging menjadi bentuk sesuai keinginan dengan ditumbuk (impact) oleh pemberat atau tup secara berulang-ulang. umumnya anvil dipasang pada dudukan atau fondasi elastis untuk mengurangi transrhisi getaran ke rangka dan fondasi. pada pendekatan peftama, rangka, anvil, dudukan elastis, fondasi, dan lanah atau bantalan lunak, pada lokasi dibawah fondasi, dimodelkan dengan satu derajat


18

19

kebebasan atau SDOF, seperti diperlihatkan Gambar 1.7(b). Untuk perbaikan pendekatan, berat dari rangka, anvil, dan fondasi dipisah menjadi model dua derajat kebebasan seperti diperlihatkan Gambar 1.7(c). Model getaran ini

pemberat

rangka Penyangga

dapat dikembangkan dengan memperhatikan dan mempertimbangkan tumbukan dari tup. Beban model matematika SDOF dibuat dan dievaluasi untuk pilihan terbaik.

benda kerja landasan elastis

fondasi bantalan lunak

(a)

Pendahuluan

BENDA RllL pemberat

.T

Langkah 2: Menurunkan Persamaan Matematika Getaran Sekali model matematika tersedia, kita gunakan prinsip dinamika untuk persamaan turunan yang menggambarkan sistem getaran. Umumnya persamaan matematika ini dalam bentuk ordinary differenlial equatictn (ODE) untuk sistem diskrit dan purtial dilJbrential ecluatiort (PDE) untuk sistem kontinu. Persamaan matematika dapat dalam bentuk linier atapun nonlinier, tergantung perilaku komponen sistem getaran. Beberapa pendekatan umun'r digunakan untuk menurunkan persamaan matematika. Pembahasan dalam buku ini, di antaranya adalah Hukum ke-2 Newton tentang gerakan, prinsip d'Alembert, dan pnnsip konservasi energi, dinyatakan pada Bab lll.

l1

idealisasi

damPer

H

'*

idealisasi pegas

Langkah 3: Membuat Prosedur Persamaan Matematika Getaran Persamaan gelakan hams dicarikan solusi untuk mendapatkan respons dari

(b) MODEL GETARAN SDOF Pemberat

rybenda

-

sifat damPer dari

:l

Iandasan elastis

t

-

sifat Pegas dari landasan elastis

fondasi Ia

sifat damPer dari bantalan lunak

:l

sifat pegas dari banl alan lunak

\ (c) MODEL GETARAN DDOF

Gambar 1.7 Model Forging Hammer

sistem getaran. Prosedur solusi ini dinyatakan dalam metode yang dipilih tergantung kondisi getaran riil. Kita dapat menggunakan salah satu teknik berikut untuk menemukan solusi, yaitu metode standar untuk mendapatkan persamaan turunan, misalnya dengan memilih, metode transformasi Laplace, atau metode matriks, atau metode numerik. Jika persamaan matematika yang terbentuk adalah non-lininer, umumnya solusi menggunakan bentuk tertutup. Lebihjauh, umumnya solusi unfuk pemecahan persamaan matematika PDE perlu lebrh rinci didiskripsikan daripada ODE sehingga metode numerik dengan bantuan komputer digunakan untuk solusi persamaan matematika PDE. Namun demikian sangatlah sulit menarik kesimpulan umum dari perilaku sistem dengan menggunakan hasil komputer. Salah satu alasan dengan penggunaan komputer adalah jaminan fungsi respon yang diperoleh dapat dican dai hurga rwpott sebttgai fungsl terhadap waktu dengan regresi. Kelemahan penggloruatt komputer yang sampai sekarang menjadi kajuan menank adalah: a. kurang tepat dalam memilih asumsi fungsi untuk regresi dari harga 'respon fungsi waktu', b. pemilihan selang waktu perhihrngan, dan c. kondisi awal.


20

Langkah

4: Interpretasi Hasil.

Tiga kelemahan dari solusi penerapan persamaan matematika dengan bantun komputer ini memjadi menarik bagi peneliti karena ketiganya berhubungan dengan ketepatan pemberian harga atau persamaan matematik yang mempertirnbangkan kondisi riil getaran. Interpretasi kondisi riil getaran harus dilakukan dengan dengan baik, misalnya interpretasi terhadap displacement, kecepatan, dan akselerasi dari berbagai sistem riil. Hasil ini harus diinterpretasikan dengan jelas untuk keperluan analisis dan kemungkinan implikasi

Pendahuluan

21

Untuk kasus dengan mempertimbangkan kenyamanan sopir maka idealisasi yang tepat adalah model massa-pegas-redaman dengan banyak derajat kebebasan seperti Garnbar 1.9. Untuk kasus ini orang sebagai massa dihubungkan seri sebagai spring-damper dengan jok. Kemudian keduanya dihubungkan seri dengan bodi (mobil atau chasis) sebagai massa. Keduanya dihubungkan seri dengan suspensi sebagai idealisasi dari pegas-redaman.

terhadap hasil rancangan. Hasil prosedur Langkah-4 digunakan untuk mengurangi kelemahan penggunaan komputer pada Langknlz-3, untuk kebutuhan desain, dan pembuatan produk selanjutnya.

^.t

1.5 Model Geloron Sesuoi Kebutuhon Idealisasi suatu permasalahan getaran adalah langkah awal untuk menganalisis permasalahan tersebut. Idealisasi tergantung dari kepentingan yang dianalisis, apakah satu, dua, atau banyak derajat kebebasan. Sebagai contoh adalah mobil. Jika kita ingin melihat karelleristik suspensi mobil terhadap permukaan jalan maka tinjauan teoretik pegas-damper diidealisasikan sebagai sebuah konsentrasi masa (untuk body), yang ditumpu dengan pasangan pegas dan damper (sebagai lokasi pegas dan shock atau hidrolik kendaraan), dan diteruskan sebagai hubungan seri dengan ban. Idealisasi yang tepat untuk kasus ini adalah model satu derajat kebebasan, seperti yang terlihat pada Gambar 1.8(a). Sedangkan jika ingin melihat pengaruh goyangan arah anggukan dari body maka idealisasi yang tepat adalah sistem dengan dua derajat kebebasan seperti Gambar l8(b).

Gsmbar 1.9 ldealisasi model sistem kenyaman sopir 2D !o./6 ,/*"-'*-'7-"--"7

fl

/

n

J-....-A7--./

Gombar 1.8 ldeulisasi model sistem suspensi mobil

/o

/

Gambar 1.10 ldealisasi sistem pegas-darnper mobil 3D

22


Hasil akhir

iri

Pendahuluan

dihubungkan seri dengan idealisasi untuk model peleg

sebagai massa tersendiri sebelum beban sampai ban sebagai pegas-redaman.

Analisis kasus ini berupa analisis separuh mobil atau analisis dalam dua dimensi, dapat diamati Gambar 1.9. Analisis keseluruhan mobil (3D) dapat dilakukan dari idealisasi model sesuai Gambar 1.10.

23

W=k,6,,+kr6",

(

mana 6,, defleksi statik. Jika 'ho' mempakan simbol konstanta pegas ekuivalen dari kombinasi dua pegas, pada kasus ini, dan pegas mengalami defleksi statik yang sama, maka persamaannya menjadi:

di

(1.5b)

W = k"r6.,,

I

.6 Elemen Pegos

Dari persamaan l.5a dan 1.5b diperoleh:

Elemen pegas merupakan idealisasi dari asumsi untuk koneksi antar benda lantp mass. Elemen pegas dapat juga sebagai idealisasi elemen mesin yang berkelakuan seperli pegas, yaitu mempunyai elastisitas atau idealisasi seperli benda riil pegas, misalnya pegas daun penyangga bak truk, dan pegas spiral penyangga body mobil bagian depan. Apabila sifat elastisitas dikatakan linier maka hubungan untuk pegas tersebut disebut pegas linier. Pegas linier adalah

salah satu jenis penghubung mekanik yang secara umum diasumsikan

dengan massa dan efek redamanannya diabaikan. Gaya pegas berbanding lurus dengan deformasinya, sepefti terlihat pada persamaan berikut:

F:k

x

(1.4)

di mana F adalah gaya pegas dengan deformasi sebesar 'x' dan konstanta pegas k. Dalam banyak kasus, beberapa pegas linier digunakan secara kombinasi. Pegas-pegas ini dapat dikombinasikan menjadi satu pegas yang ekuivalen. Kasus

l. Hubungan

1.sa)

Pegas Paralel

Pegas dalam susunan pararel, seperti dinyatakan pada Gambar 1.11(a), jika

W adalah berat dari suatu massa m, maka kita dapat mencari persamaan keseimbangan benda yaitu:

knr=kr+k,

(1.6)

jika kita memiliki n-pegas dengan konstanta pegas dari 'k7 , kz , ...., sampai k,, dalam susunan pararel maka konstanta pegas ekuivalen fr", Secara umum

diperoleh:

k", = k, + k2 +...*

(r.7)

k,,

Kasus 2. Hubungan Pegas Seri Pembahasan kasus

dinyatakan Gambar

2 adalah untuk pegas dalam susunan seri, sepefti l.ll (b). Karena benda mendapat gaya W yang sama

maka kita dapati keseimbangannya sebagai berikut:

w =k,6, W = kr6,

(1.8)

61 dan 52 defleksi pegas I dan pegas 2.Total defleksi dari ke-2 pegas tersebut sama dengan defleksi statik yang terjadi, yaitu:.

6",

=6, +5,

(1.e)

Jika kq mempakan simbol konstanta pegas ekuivalen, untuk

defleksi

statik yang sama maka persamaannya menjadi:

(1.10)

W = k"r6", Dari persamaan 1.9 danpersamaan 1.8 diperoleh:

k,6,=k16r=k"n6,, hubungan

paralel

hubungan seri sr

Gambar 1.11 Kombinosi pegas seri don parolel

E/

k6 k,

(1.11)

dan

6, =

k6 t,

(r.12)

24

Substitusikan persamaan

tit* kt

k,16,

kt

l.l2ke

k,, kt

Secara umum persamaan

k

4llltI

k, k.

l.l0

Pendahuluan

sehingga diperoleh:

Jawab contoh 1.1:

J-=l-*J'' arau

:6.,

1111T-T...T-

persamaan


1 .1

(r.13)

kt

3 untuk kasus dengan n pegas disusun seri

(r.14)

k

Penggunaan hubungan seri dan paralel dinyatakan dalam kasus tertentu sebagai pegas yang dihubungkan dengan komponen rigid sepefii pulley, lever, dan roda gigi. Untuk kasus dengan konstanta ekuivalen pegas ditemukan dengan menggunakan energi ekuivalen seperti pada Contoh Ll berikut

ini.

25

Diketahui : Dimensi batang cantilever, panjang: b, lebar: a ketebalan: t, Modulus young batang : E, panjang kawat baja : l, diameter: d, dan modulus young kawat baja : E. Tentukan : Konstanta pegas ekuivalen dengan susunan pegas seri

Jawab

:

Konstanta pegas dari batang cantilever diperoleh dari ekuivalen lendutan cantilever sederhana sesuai hubungan dalam mekanika teknilq yaitu:

. 3Et 3E( L) ..h il U,\t2". ) l-

I

-

l-

-tt

Eat3

4br

Kekakuan dari kawat baja akibat beban aksial dicari dari asumsi hubungan pegas dan defleksi, sebagai berikut:

eohtohl.l Sebuah Hoistirtg Drum dipasang pada ujung dari sistem cantilever seperti terlihat pada Gambar 1.9(a). Tentukan konstanta ekuivalen dari pegas sistem dengan kawat baja yang menjulur panjang I dari hoisting drum. Asumsikan: diarnater kawat baja 'd' dan nTodulus young batang dan kawat baja bahan sama, yaitu dengan'E'.

AE n d'E k'l4l-=Batang cantilever dan kawat baja dapat ditinjau sebagai pegas yang disusun seri sehingga konstanta pegas ekuivalennya adalah:

11t4b34t k",, ko k, -

Eals

'n

c{t

E

atau:

E( atj a't t \ =7[ N d2hr iir. k,' ) 1t

Sebuah penyangga umumnya terdiri dari susunan /rzss (asunsi rangka batang

(b)

(c)

Gsmbar 1.12 Hoisting drunt

hanya mengalami gay4 tarik-tekan) atau boom (penyangga beban, asumsi batang frame berupa cantilever hollow atau tengah berlubang) yang terbuat dari material baja. Sebut saja penyangga tersebut sebagai batang AB dengan pargontrol ketinggian dari tali baja di atasnya. Peralatan ini disebut crane (salah satu jenis Pesawat Pengangkat Beban), lihat Gambar 1.13(a). Truss juga dapat idealisasi dari tali baja, termasuk tali baja di mana digantungkan

26


Pendahuluan

27

2500 mm2. Beban dengan massa 1000 kg menggantung pada ciane ketika

pegas k1 (kabel FB) terdeformasi sejauh Xr : X cos (900-0). Panjang kabel FB diasumsikan dengan satu satuan panjang,

crane dalam keadaan diam. Kabel CDEBF terbuat dari baja yang memiliki

sehingga persamaannya menjadi

beban. Balang baja yang uniform dengan pan:ang

l0 m dan luas penampang

luas penampang 100 mm'. Abaikan pengaruh dari kabel CDEB, tentukan

konstanta pegas ekuivalen

dari sistem dalam arah vertikal.

Idealisasi

rangkaian pegas dinyatakan pada Gambar 1.13(b), dan rangkaian ekuivalen dapat diamati dari Gambar 1.13(c).

tl =3'+to')-z(s)(to)cos

:

=151,426, lr:12,3055

1350

nt

Sudut 0 sebagai kemiringan tali baja digunakan untuk mempertahankan kondisi seimbang beban menjadi:

ll

+3')

-Z(t,)(S)cos

0=102, cos\=0,8184,

0=35,02360

Total energi potensial yang disimpan dalam pegas k; dan dalam pegas diberikan oleh persamaan berikut ini:

u

.r., =lo,(* Z.

tsn)'

+lo,l-

cos (eo"

k2

-e)]

Persamaan ini merupakan rumus persamaan energi pegas sebagailJ: t/rkx2, di mana defleksi x mengikuti posisi tali baja dan boom yang sudah miring, sehingga:

H

fr

(b)

(.)

Gombar 1.13 Crane pengangkat beban

Diketahui : Batang AB Panjang: l0 m, A1 :2500 mm2, Materialbaja Kabel FB, & : 100 mm', Materialbaja Jarak base

AF

:

3m

Tentukan : Konstanta pegas ekuivalen sistem Pendekatan ekuivalen energi potensial pegas seri-pararel

Jawab

: Verlical displacement x pada titik B akan menyebabkan pegas k2 (batang AB) terdeformasi sejauh Xz : X cos 450, kemudian

,Ar ---

'-

A,E,

(too

"

tt

ro ^)(zoz

x

to")

12,3055

= 1,6822

x

106

Nf nt

Dan untuk konstanta pegas ke-2 dengan carayangsama menjadi:

A.E. (zsoo x l', -":-t.

to-n)(zoz t0

x

too\

=5,1750

x l0',\if nt

Harga U dapat diketahui dan dapat dihitung dari harga ky dan k2 yang diper-oleh di atas. Harga U ini sama dengan harga dengan menggunakan k o sebagai asumsi dari pegas ekuivalen. Dalam arah vertikal lgo mengalami deformasi sejauh asumsi 'x'. Oleh sebab itu energl potensial ekuivalen pada pegas (U.o) dengan persamaan berikut:

u cq ....=!k..r' r 2"'

Dengan melakukan setting kondisi pegas ekuivalen sistem menjadi:

k"n=26,4304

x

l06Nfnt

, :

Ueo maka

kita peroleh konstanta

28

I.7


Elemen Mosso

otou

Pendahuluan

29

m\

lnersio

Inertia atau kelembaman merupakan sifat kecenderungan suatu benda untuk melawan beban aksi yang diterimanya. Umumnya benda memiliki kapasitas berlahan terhadap benda lain, dan apabila benda tidak dapat bertahan dari beban yang diterima maka benda tersebut akan hancur. Ketahanan benda dinyatakan dengan gerakan sebagai bentuk tambahan energi dalam yang diterima dari beban. Gerakan ini merupakan ciri dari kelembamam benda. Keadaan dapat berbeda bila elemen massa atau inersia diasumsikan sebuah benda rigid, di mana benda ini dapat menerima atau kehilangan energi kinetik ketika kecepatan benda tersebut berubah. Dari hukum ke-2 untuk gerakan Newton, hasil kali massa dan percepatanrrya adalah gaya yang dikenai pada benda. Keqa'ga1,o, dikaliknn perpindahan'benda dengan harga kerja positif bila perpindahan searah gaya yang bekerja. Atau usaha merupakan kerja yang berlangsung disimpan oleh massa dalam bentuk

MJ

***.(r

k{ lllt

...-| rr

tnI

---...l' Jr fll

t

-.'r..}.{t I

energi kenetik dari massa.

(u)

Dalam kebanyakan kasus kita harus menggunakan model matematika untuk merepresentasikan sistem getaran dengan beberapa kemungkinan model matematika. Tujuan dari analisis seringkali untuk menentukan model matematika mana yang tepat. Sahr model matmatika yang dipilih, maka elemen massa atau inersia dari sistem dapat dengan mudah diidentifikasi. Sebagai contoh, perhatikan batang cantilever lihat Gambar Ll4(a). Terhadap gambar ini dapat dilakukan analisis cepat dan logis, bahwa massa dan peredam dari batang yang menghubungkan tumpuan dengan benda dapat diabaikan. Sistem dapat dimodelkan sebagai sistem pegas-massa sDoF seperti terlihat pada Gambar l.l4(b). Persoalannya adalah seberapa akurat koefisien pegas k kita asumsikan agar idealisasi Gambar 1.14O) mendekati kenyataan.

T-*

E-A"T

T,u a. Sistem sebenarnya

Hr,, b. ldealisasi untuk getaran

Gtmbar 1.14 Cantilever dengan massa di ujung

(b)

Gsmbur 1.15 ldealisasi gedung bertingkat sistem MDOF Massa m yang ada di ujung cantilever merepresentasikan elemen massa, dan elastisitas batang sebagai kekakuan pegas. Berikuhrya, perhatikan sebuah

gedung bertingkat yang mengalami gempa bumi. Asumsikan bahwa massa dari kerangka dinding diabaikan karena relatif kecil dibandingkan dengan

massa lantai. Atau, ada perhitungan asumsi efektif dari sejauh mana kekakuan lantai dapat ditambahkan akibat pengaruh massa dinding. Bangunan dapat dimodelkan sebagai sebuah multi derajat kebebasan seperti terlihat pada Gambar 1.15. Massa lantai dari berbagai tingkat merepresentasikan elemen massa dan elastisitas rangka arah vertical sebagai elemen pegas.

Dua contoh berikut ini merupakan praktek idealisasi model beberapa massa yang ada dikombinasikan menjadi satu massa ekuivalen untuk mempermudah analisis, seperti pembahasan berikut: Kasus

l.

Massa yang [ertranslasi dengan sebuah benda rigid.

Seperti pada Gambar 1.13 (a), ada beberapa massa yang menempel pada batang dengan salah satu ujungnya diengsel. Sebuah massa ekuivalen dapat diasumsikan ada di sepanjang batang. Agar lebih spesifik, kita asumsikan lokasi dari massa ekuivalen dengan 'm1' . Kecepatan dari massa m2 (dx2/dt)

30


dan

(.t,

m3 adalah

).

(x: ),

dapat diekspresikan dalam terminologi kecepatan

my

Dengan mengasumsikan displacement angular batang kecil maka:

l. l,

t. xi = j-Tr

x::!xtl

31

1.17(b). Dua massa tersebut dapat berkombinasi untuk memperoleh sebuah massa ekuivalen yang bertranslasi, n6o, atau sebuah massa ekuivalen yang berotasi, ../"r, seperti dij elaskan berikut ini.

(1.1s)

t.

tt

Pendahuluan

dan

xrq = xl

(

1.16)

Ruck, rnass rz

Dengan menerapkan persamaan energi kinetik dari ketiga massa sistem unfuk mendapatkan massa ekuivalen, diperoleh persamaan:

l2121212 j*, *, * j rr, x 2 + jm3 x 3 = rtll(,t x ",t

(r.17)

ir

il

Gsmbar 1.17 Massa bertranslasi dan berotasi Massa ekuivalen yang bertranslasi, yang untuk kasus ini energi kenetik dari kedua massa tersebut diberikan sebagai berikut:

T

I Iokasi

engscl

=!,,,*'*!-,r..g' 2 2"

Energi kinetik ekuivalen dapat diekspresikan sebagai berikut:

t'

/-;\

j--F-

f*_r_i

I

1t,t =-lll,.(t

(1.20)

x(,t

c'

Karena

x"q=x

persamaan berikut

dan

e=*/R,

|,n",

Dengan mensubstitusikan persamaan 1.15 dan 1.16 diperoleh:

(r, )' (1,)' t,tt.[lJ n,,*lT ,r, )

(1.1 8)

Kasus 2. Massa yang bertranslasi dan berotasi bergerak bersamaan. Sebuah massa

'm' memiliki

kecepatan translasi ' dvJdt' dikopel dengan ' J0 ' ) yang memiliki kecepatan pada susunan rack dan pinion seperti pada Gambar

massa yang lain (massa dari momen inersia

rotasional 'de/dt'

*' :

maka elarivalensi

Z

dan Tn, membentuk

ini:

Gambsr 1.16 Massa tr.onslasi dengan rigid body

t,t,,t =

(1.1e)

ln,

*' *

:

t,l;)'

(

1.21)

sehingga:

,tr(t=rn*J" n

(1..22)

32


1.8 Elemen Peredom umumnya energi getaran yang timbul dari proses gerakan benda diserap oleh udara sebagai panas atau bunyr. Idealisasi benda dengan kemampuan dapat ntengalirkan panas atau suara ke udara disebut dengan pereclaman, dengan simbul redaman pada model. Jadi idealisasi model untuk peredaman tidak selalu sama dengan redaman dari defleksi yang terjadi dari operasional

aktuator. Meskipun demikian jumlah energl yang dikonversikan ke panas atau suara relatif kecil. Pertimbangan adanya idealisasi redaman menjadi hal yang sangat penting untuk sebuah prediksi yang akurat terhadap respons getaran sebuah idealisasi model sistem. Hal ini antara lain disebabkan oleh asumsi dari benda yang dianggap tak bermasa dan tidak memiliki elastisitas, tetapi dapat berkelakuan sebagai peredam. Gaya peredaman hanya ada jika kecepatan relatif terjadi antara dua ujung lokasi peredam. Sangatlah sulit menentukan penyebab dari redaman dalam sistem secara praktis. oleh karena itu redaman dimodelkan sebagai satu atau lebih jenis redaman berikut ini.

1.

Pendahuluan

3.

33

Redaman Hysteretic

Apabila sebuah benda terdeformasi maka energinya akan diserap oleh material sehingga pada akhimya berpindah pada atau ditiup udara. Hal itu disebabkan oleh adanya gesekan di interal material. Dalam hal ini slip or slide adalah bentuk deformasi yang sering terjadi. Ketika sebuah benda memiliki material redaman terhadap getaran, diagram teganganregangan memperlihatkan lrysterisis loop yang ditunjukkan pada Garnbar 1.18. Luasan loop menyatakan bahwa kehilangan energi per siklus disebabkan oleh redaman. Stress

(forcc)

Redaman Viscous Jenis redaman ini paling banyak digunakan pada aplikasi model sistem

getaran. Ketika sistem mekanis bergetar dalam sebuah media fluida, misalnya udara, air, atau minyak, maka akan timbul resistensi dari fluida yang menyebabkan energi sistem berkurang. Dalam kasus ini jumlah energi yang berkurang tergantung pada ukuran dan bentuk dari benda yang bergetar, viskositas fluida, frekuensi getaran, dan kecepatan getar benda. Dalam peredam viscous, gaya redaman proporsional

REGANGAN

(PERPINDAHAN)

dengan kecepatan dari benda yang bergetar. Contoh dari redamanjenis ini adalah lapisan tipis fluida di antara dua permukaan sliding, dengan

contoh yaitu: aliran fluida dipermukaan piston dalam silinder, aliran fluida yang melintasi orifice dan lapisan fluida pada bantalan jumal. Redaman Coulumb

Gaya pada jenis redaman ini konstan besarannya tetapi arahnya berlawanan dengan gerakan benda yang bergetar. Ha1 ini disebabkan friksi yang te{adi akibat lubrikasi yang tidak sempurna terjadi atau pelumas yang tersedia tidak mencukupi.

Gombar 1.18 Hysterisis loop untukmaterial elastik

Konstruksi peredam viscous dapat dibuat menggunakan dua plat pararel yang dipisahkan sejauh h oleh fluida dengan viskositas p. Lihat Gambar 1.19. Salah satu plat diam sedangkan yang lain bergerak dengan kecepatan v. Lapisan fluida yang kontak dengan plat bergerak dengan kecepatan v

sedangkan yang kontak dengan

plat yang diam dan tidak

bergerak. Kecepatan antara keduanya diasumsikan bervariasi secara linier antara 0 dan v seperti pada Gambar 1.19. Merujuk hukum Newton, pada aliran viscous, persamaan tegangan geser (r) yang dikembangkan dalam lapisan fluida pada jarak y dari plat diam adalah sebagai berikut:

34


,=rr du

0.23)

rry

adalah gradien kecepatan. Gaya geser bagian bawah permukaan plat yang bergerak menjadi:

A

Tentukan

35

:

Konstanta redaman dashpot .c'.

Pendekatan : Persamaan tegangan geser unfuk aliran viscous. persamaan

duldy=v/h F

Pendahuluan

Solusi:

=rA-M' - ", h

(1.24)

adalah luas pemukaan plat yang bergerak dan c = l84adalah konstanta h

redaman.

Permukaan atas plat

:

laju aliran fluida.

F yang terjadi pada

A

Seperli terlihal pada Gambar 1.20(a).

Dashpot terdiri dari piston dengan diameter

D,

panjang

dengan:

P

dx

V= dt

P

I

I

( beban damping)

Gambqr 1.19 Plat pararel dengan.fluida viscous

Apabila model peredam diasumsikan dari susunan kombinasi plat dan fluida bertumpuk, langkah penyelesaian model mengikuti pernbahasan pada Sub Bab 1.6 dan Sub Bab 1.7 (pegas dan inersia).

Pislon

d

l-D-l

I

l--D

-+l

d

fluida viscus b.Keseimbangan Gaya_Momen

Gamb&r 1.20 Dashpot

konstanta redaman c dalam diameter 'D dan d'

Dapatkan hubungan antara untuk alat penekan (drop forging) pembuatan tabung cetak dari produk alat dashpot seperti diperlihatkan pada Gambar 1.20(a).

Diketahui:

Diameter silinder : D + 2d, diameter piston = D, Kecepatan piston : v0, panjang aksial piston : /, viskositas fluida :1r.

/

dengan

kecepatan ua dengan silinder yang diisi fluida dengan ui.t osiia, p. larak antara piston dan dinding silinder didefinisikan sebagai d. padaposisi y dari permukaan yang bergerak didefinisikan memiliki kecepatan v dan tegangan q:semya r, dan pada jarak (v+dy) dari permukaan yang bergerak yang didefinisikan memiliki kecepatan (v-rtv) dengan tegangan gesemya (r+rti, Gambar 1.1 (b). Tanda negatif pada dv menunjukfanL.ftutu, yang ber\urang ketika piston bergerak maju. Gaya visctus pada ring annular sama

F=il lr =ool4!a,/ ldy

Tetapi tegangan geser diberikan sebagai berikut:

dv

'dv

36


Tanda negatif konsisten dengan penurunan gradien kecepatan. Dengan menggunakan dua persamaan sebelumnya, maka:

F = -rDldy

r#

37

piston. Dengan demikian kecepatan piston akan sama dengan laju aliran dibagi luas piston yang diekspresikan dengan persamaan berikut:

"

Gaya pada piston akan menyebabkan perbedaan tekanan di bagian akhir elemen. Persamaan tekanan tersebut adalah sebagai berikut:

,

Pendahuluan

-

a ,rD'14

Substitusikan dua persamaan sebelumnya sehingga diperoleh:

4P ND,

Sehingga gaya tekan pada bagian ujung elemen menjadi:

n(xD (Al

Dengan menyatakan gaya sebagai P

di=#(nD dy)=So,

ay) menunjukkan luasan annular antaray

atau

cvo, maka konstanta redaman

menjadi sebagai berikut: dan (y+dy).

Jika diasumsikan kecepatanrata-rata uniform dalam arah gerakan fluida maka gaya yang diberikan dalam tiga persamaan sebelumnya harus sama sehingga diperoleh persamaan berikut:

$r, =-nolaypff

:

d2v 4P ..........:=-dy' rD'lp

Dengan melakuan integrasi dua kali dan menggunakan kondisi batas

untuk y = -v6 diy: d,lotaperoleh:

,=-hQa-r)-,,(,-*) Laju aliran yang melintasi ruang sisa antara ring dan dinding silinder diperoleh dengan mengintegrasikan laju aliran yang melintas antara elemen dengan batasy : 0 dany: d, sehingga diperoleh:

u

g = I vnDdy = nr)l zPa,' -!r^01 ,, y6nD, t1, 2 ) Volume dari cairan yang melintasi ruang sisa pembakaran per detik harus sama dengan besar volume persamaan detik yang dipindahkan oleh

lt*o',(,.;)l

'=l---7-

L]

1v

1.9 Ringkoson Sejarah ilmu getaran mekanis dimulai dari penemuan Galileo mengenai hubungan antara panjang pendulum dan frekuensinya serta pengamatannya terhadap resonansi dua benda yang dihubungkan oleh energi sebagai transfer getaran pada frekuensi yang sama.

Model matematika getaran dikembangkan untuk membantu analisis di mana perilaku getaran dapat berupa model linier maupun nonlinier. Dengan ditemukannya komputer maka metode numerik kemudian getaran

menjadi salah satu solusi rurtuk memecahkan permasalahan getNan yang bersifat non-linier. Koordinat bebas yang dibutuhkan untuk menentukan jumlah gerakan pada posisi semua bagian dari sistem untuk waktu tertentu, didefinisikan sebagai derajat kebebasan sistem. Sistem getaran memiliki derajat kebebasan satu sampai multi. Semakin tepat dalam menetukan junilah derajat kebebasan, analisisnya akan menjadi semakin akurat.

3B


Dalam bab ini juga diuraikan prinsip elemen dasar dari sistem getaran yang meliputi elemen pegas, inersia, dan peredam. Dalam buku ini untuk selanjutnya, khusus lungkup materi getaran Lamp Mass dibahas, dengan damper linear dan asumsi eksitasi teoritik diberlakukan untuk SDOF, DDOF, dan MDOF.

.10 Perlonyoon untuk Pemohomon 1. Apa yang dimaksud dengan getaran ditinjau dari gerak melingkar?

Pendahuluan

I .I

1.

2.

Gambarkan teq'adinya getaran longitudinal dan transfersal dan gerak melingkar tersebut!

Getaran merupakan salah satu contoh fenomena alam. Jelaskan

4. 5. 6.

Gambarkan model getaran dari idealisasi gedung bertingkat dan tuliskan persamaannya!

3.

Sebutkan delapan macam getaran sesuai klasifikasinya!

Apa maksud pemyataan: "Pembuatan model getaran mengikuti tujuan bagian mana yang dianalisis?" Buat dua contoh idealisasi model mobil yang mendukung pemyataan ini! Getaran merupakan salah satu analisis kekuatan. Sebutkan analisis

kekuatan yang

lain dan klasifikasikan sesuai urutan

frekuensi

Jelaskan perbedaan idealisasi model getaran

Kecepatan maksimum benda

b.

Percepatan maksimum benda

Kecepatan maksimum benda yang bergetar dengan getaran harmonik sederhana adalah 3 cm/det dengan periode getaran tetap yang diukur adalah 0.15 detik. Tentukan:

Amplitudo maksimum benda Percepatan maksimum benda

Sebuah patikel mengalami getaran underdamped dengan persamaan sebagai benkut: = 0.75e-t)' sin(2.st +

4.

lamp mass dengan

Jelaskan pemyataaan berikut: "Resultan tahanan listrik (R) mem-punyai aturan berlawanan dengan resultan rangkaian seri-paralel pegas." Nyatakan pemyataan ini dengan rumus!

9.

Sebutkan tiga macam redaman yang digunakan sebagai idealisasi dalam getaran!

nt

partikel, keduanya untuk

Konfur suafu gudukan jalan disumsikan memenuhi persamaan berikut:

y(r) = o.o5 sin

8.

o.2B)

Berapakah besar kecepatan dan percepatan (t): 3 detik'!

(o,t

zs x)

nt

Berapakah amplitudo dan akselerasi vertikal dari ban mobil ketika melintasi gundukan tersebut pada kecepatan konstan 40 m/s, pada F 5

continuous mass dalam hal jumlah DOF (Degree of Freedon),bagian produk yang dianalisis, dan persamaan umum getaran yang digunakan!

10. Apa yang Anda ketahui tentang redaman histerisis?

a.

,(r)

pembebanan dan frekuensi kejadian!

7.

Sebuah benda bergetar dengan getaran harmonik sederhana (tanpa meninjau bentuk persamaan getaran) dengan amplitudo l0 mm pada

a. b.

pemyataan ini!

3.

I Sool frekuensi 50 Hz. Tentukan:

I

2.

39

detik

5.

?

Sebuah mobil melintasi jalan yang kasar. Buatlah model getaran dengan mempertimbangkan:

(a)

Berat body mobil, penumpang, tempat duduh roda depan dan roda belakang;

(b) (c)

elastisitas roda (suspensi), pegas, tempat duduk; Redaman dari tempat duduk, shock absorber, dan roda.

Buat idealisasi model ketiga (semua) mobil (a, b, dan c) dengan pendekatan gambar lantp nruss menggunakan proses sistem perbaikan secara gradual mengikuti Gambar 1.8.

40


6.

Tentukan konstanta pegas ekuivalen gambar (a) pada halaman berikutnya!

Pendahuluan

4T

Tentukan:

a.

Nilai konstanta pegas yang diperlukan untuk mang.nangi defleksi batang menjadi

b.

ll3

dai, defleksi awal tanpa pegas.

Konstanta pegas untuk pengurangan defleksi

'/r, 3h, dan

516,

asumsikan massa batang diabaikan.

c. d.

Plot hasil defleksi terhadap rasio kekakuan tersebut.

Beri komentar anda tentang grafik ini.

Gombor (o) 7.

Tentukan konstanta pegas ekuivalen gambar (b) di bawah ini dalam arah perpindahan koordinatpolar'

0'! Gambar (d)

Gambar (c) 10.

Tentukan massa ekuivalen dari roker ann pada gambar (e) dengan mengacu pada koordinat kartesian ' x '!

Gear

l.

ar

Gambar (b) 8.

9.

Tentukan konstanta pegas ekuivalen torsional mengikuti gambar (c)! Sebuah mesin dengan massa m: 1000 kg ditopang oleh sebuah batang baja dengan panjang 1 : 3m yang memiliki dimensi penampang segi-4 yaitu, tinggi : 5 cm, dan lebar = 10 m, dan modulus elastisitas young E = 2,05 x 10" N/m2. Untuk mengurangi defleksi vertikal dari batang, sebuah pegas dipasang di tengah seperti terlihat pada Gambar (d).

Oear2,

Gtmbar

(e)

n1

Gambar$

42


memiliki momen inersia ' J1 dan Jz' dlletal
11. Dua massa yang

'

n2',

2'

tenfukan massa ekuivalen dari momen inersia yang berhubungan dengan' 01'! dan

12. Tentukan konstanta ekuivalen redaman gambar (g)! 13. Tentukan konstanta ekuivalen

jika 3 peredam disusun pararel,

Pendahuluan

43

di bawah ini dalam posisi keseimbangan. Displacement horizontal dari collar pada posisi ini adalah:

16. Mekanisme

,(r)

= o,o5

sin

2ot

(m)

Tentukan kecepatan dan percepatan angular dari batang

AB

sebagai

fungsi dari waktu!

redamanjika 3 peredam disusun seri dan

diletakkan pada ujung batang! 14. Tentukan konstanta ekuivalen redaman jika 3 peredam dihubungkan oleh sebuah rigid body seperti tampak pada gambar di bawah ini, Gambar (g)!

}*

dr)

17. Berapakah kecepatan angular maksimum yang dihasilkan oleh piringan dengan masa 10 kg seperti gambar di bawah ini jika massa balok masing 13 kg ditarik sejauh

f',

l0 mm kemudian dilepaskan, mengikuti gambar di

bawah inr?

Gambar (g) 15.

Gambar menunjukkan skematik satu silinder resiprokating dengan kecepatan' v' dan percepatan' a'. Tentukanpercepatan angular dari' v, a ', sebagai fungsi dari radius crank ' r ', connecting rod ' 1 ', dan sudut

crank'0'!

18. Sebuah/ory u houuirnrdengan massa 500 kg dipasang pada 4pegas yang

identik, dengan masing-masing stiffness k: 4500 N/m. Selama proses forging, pemberat 110 kg dari komponen dijatuhkan pada ketinggian 1,4 m ke anvil. Berapakah displacement maksimum pada mesin setelah impack te4adi?


44

19.

Berapa derajat kebebasan yang dibutuhkan model dari gambar di bawah

BAB 2

ini? Identifikasi sejumlah koordinat umum yang digunakan untuk menganalisis sistem getaran!

GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERA"'AT KEBERASAN

20.

Berapaderajat kebebasan yang dibutuhkan model dari gambar di bawah

Kompetensi yang ingin dicapai setelah memelajari bab ini adalah:

ini? Identifikasi sejumlah koordinat umum yang digunakan untuk

1. 2.

menganalisis sistem getaran!

Memahami solusi dari idealisasi fenomena getaran bebas.

Memahami parameter dan konstanta sistem getaran bebas, seperti frekuensi natural, periode getaran, dan amplitudo.

3.

Mampu melakukan analisis terhadap permasalahan getaran bebas tak teredam yang ada atau yang diberikan untuk sistem satu derajat kebebasan.

4.

Memahami hasil analisis getaran dan konsekuensinya, antara lain terhadap frekuensi natural teredam dan rasio redaman.

5.

Mampu melakukan pemodelan dan analisis permasalahan getaran bebas teredam untuk sistem satu derajat kebebasan.

2.1 Pendohuluon Getaran bebas adalah osilasi suatu sistem ke posisi keseimbangan yang terjadi tanpa adanya eksitasi gaya dai luar. Getaran bebas merupakan hasil per-

pindahan atau intpart energi kinetik, atau sebuah perpindahan dari titik keseimbangan yang menghasilkan perbedaan energi potensial dari posisi keseimbangan sistem kondisi sebelumnya. Getaran bebas umumnya te{adi mengikuti awal tinjauan yang dilakukan, misalnya saat ditinjau benda yang bergetar tersebut sudah tidak menerima beban dari luar (bergetar bebas), padahal kejadian benda ini sebelumnya dapat bergetar dangan beban luar. Beban luar tersebut umumnya adalah beban impack, beban gangguan, dan beban sentuhan pada defleksi tertentu kemudian sentuhan tersebut terlepas. Dengan demikian getaran bebas dapat dikelompokkan menjadi dua, yaitu

r"**: li

.r

46


47

Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan

getaran bebas tak teredam undamped syslem dan getaran bebas teredam

l€

(darnped systent).

I

Itx

Kejadian getaran suatu benda selalu dikaitkan dengan osilasi mekanis sehingga osilasi mekanis dapat dijadikan solusi yang identik dengan kejadian lain dalam bidang yang lain. Misalnya, gelombang elektromagnetilg akustik, dan arus listrik bolak-balik. Dapat te4adi pula suatu kondisi interaksi antara masalah yang disebutkan tersebut meskipun dalam kejadian yang berbeda, misalnya getaran mekanis yang menyebabkan perubahan tahanan material sehingga terjadi osilasi arus listrik atau kejadian dapat sebaliknya. Tetapi prinsip dasar unfuk analisis, perumusan persamaan matematilg sefia persamaan gelombang sebagai fenomena getaran adalah identik pada setiap bidang yang disebutkan tersebut. Dilihat dari derajat kebebasan, getaran dibagi menjadi satu derajat kebebasan (single Degree of Freedom - sDoF), clua derajat

kebebasan (DDOF) atau banyak dera.jat kebebasan (Mutti Degree of Freetlom - MDOF). Derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diinginkan pada benda untuk bergetar. Selain getaran bebas terdapat juga kelompok kedua, yaitu getaran paksa. Getaran bebas adarah getaran yang tidak mendapatkan atau tidak mengalami gangguan dari luar, sedangkan getaran paksa adalah getaran yang mendapat gangguan dan luar atau mendapatkan beban luar. Beban ini disebut ekitasi. Pada Gambar 2.7, getaran bebas sistem satu derajat kebebasan dinyatakan dengan dua bagian benda, yaitu pegas (k) dan massa (m). Suatu sistem pegas-massa merupakan representasi sistem getaran yang paling sederhana. Sistem ini dikenal sebagai sistem satu derEat kebebasan, karena satu koordinat

(x) sudah mencukupi untuk menspesifikasikan posisi tertentu dan

massa

setiap waktu. Tidak ada eksitasi gaya eksternal pada massa sehingga gerakan merupakan hasil dari sebuah gangguan awal yang bergetar secara bebas. Karena tidak ada elemen yang menyebabkan energi hilang selama gerakan,

amplitudo dari gerakan adalah konstan terhadap waktu. Sistem ini dikenal sebagai getaran bebas tak teredam (unclamped system).

Kenyataannya, kecuali dalam kondisi vakum, amplitudo dari getaran bebas berkurang secara gradual yang disebabkan oleh resistensi udara sekitar.

Sistem ini dikenal sebagai sistem getaran teredam (damped system). Pengenalan atas getaran bebas teredam dan tak teredam pada satu derajat kebebasan sangat fundamental untuk memahami topik-topik getaran lebih lanjut.

.-i m sr(kd*ls I

a.model getaran

f-

nanjane

total I

b.modcl pegas

c.keseimbangan gaya

Gsmbar 2.1 Sislem pegas-massa posisi horizontal

Beberapa sistem mekanik dan struktur dapat diidealisasikan menjadi sistem satu derajat kebebasan. Dalam praktiknya massa terdistribusi, tetapi untuk memudahkan analisis, hal ini dapat didekati sebagai satu titik massa. Demikian pula dengan elastisitas sistem terdistribusi di sepanjang sistem juga dapat diidealisasikan sebagai pegas tunggal. Contohnya adalah rangka gedung seperti yang terlihat pada Garnbar 2.2(a) yang dapat diidealisasikan menjadi sistem pegas-massa seperti yang terlihat pada Gambar 2.2b).Dalam kasus ini konstanta pegas ' k' adalah perbandingan gaya terhadap defleksi yang dapat ditentukan dari geometris dan sifat material kolom. Hal yang sama dilakukan dengan mengidealisasikan massa di mana massa sistem adalah massa lantai sedangkan massa kolom diabaikan. Penyusunan idealisasi model getaran menjadi persamaan getaran dari pendekatan konversi energi dengan dua pendekatan, yaitu (l) menggunakan sistem konservatif dengan asumsi dari energi total sistem yang selamanya tidak berubah dan sistem konservatif ini merupakan awal mula getaran diberlakukan, dan(2) pendekatan dari sistem kekekalan energr dengan asumsi berlaku tmtuk energi total sistem yang dinyatakan dengan energi potensial dan energl kinetik sesuai rumus berikut ini:

K.E.+ P.E.: tetap utu,

!x.8.+ dt

P.E.:

0

(2.r)

Singkatan untuk usaha, yaitu K.E, adalah energi kinetis dan PE sebagai energi potensial. Persamaan yang dihasilkan adalah persamaan gerakan sistem. Selanjutnya metode ini disebut metode energi. Semua penurunan persamaan getaran. Dalam bab ini, pembuatan persamaan getaran dilakukan

dengan menggunakan Ynetode ini. Persamaan 2.1 merupakan dffirential equation atau persamaan diferensial. Jika persamaan diferensial setelah dilakukan penyederhanaan menjadi linear, yaitu bentuk diferensial pangkat satu, maka getaran yang terjadi disebut getaran linear, sedangkan jika persamaan diferensialnya nonJinier, getaran itu disebut getaran nonlinear.

48


,

lantai masif (massa:m)

x(t)

l-*

GeQran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan

49

di mana [m] adalah matriks massa, [c] merupakan matriks redaman, [k] matriks kekakuan, dan [F] matriks eksitasi gaya.

, r(r)

F

solusi atau jawaban dari persamaan getaran merupakan gabungan atau superposisi dari hasil analisis terhadap dua kelompok atau dua bagian, yaitu transien solution atau solusi transien, dan stearly state solulior atau solusi khusus atau solusi tetap. solusi transien diturunkan dari asumsi sistem getaran tanpa gaya eksitasi. Solusi transien ditujukan untuk mendapatkan karakteristik respons getaran tanpa beban, misalnya, frekuensi pribadi, seberapa redaman diperlukan agar sistem berhenti dan pada waktu berapa lama. Disebut steady

tiang elastis (massa diabaikan)

state atau solusi khusus karena persamaan getaran yang diturunkan hanya berlaku pada kondisi dan harga parameter getaran teftentu mengikuti jenis persamaan eksitasi getaran. untuk harga parameter getaran, dan bentuk eksitasi berupa gaya teftentu, solusi persamaan steatly statetertentu juga.

(a) Rangka Gedung

(b) Ekivalen sistem massa-pegas

Gambar 2.2 ldealisasi rangka gedung

Analisis teori ini sangat penting dipahami untuk dapat meramalkan dan memahami fenomena getaran. contoh pembagian kelompok getaran dij elaskan secara singkat. Free vibration atau getaran bebas didefinisikan sebagai getaran yang terjadi pada suatu sistem. Misalnya, untuk bahasan dalam buku ini adalah sistem mekanisme tanpa pengaruh exitation atau eksitasi dan gaya luar sebagai firngsi waktu, kecuali impuls sesaat. Dengan kata lain, eksitasi diberikan pada waktu mesin start saja. Forced vibration atau getaran paksa dapat didefinisikan sebagai getaran yang te{adi pada suatu sistem karena adanya rangsangan eksitasi yang dapat sebagai gaya. Jika rangsangan tersebut berosilasi maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem maka akan dalam keadaan resonansi, dan osilasi menjadi besar

Suatu rigid body yang mengalami gerakan planar adalah ketika pusat nlassanya bergerak pada sebuah bidang dan body yang berputar pada sumbu tetap, nraka hukum kedua Newton dapat diterapkan untuk mendapatkan persamaan geraknya. yaitu :

LF=ma dan 2M.o =

'I'

111

adalah momen inersia sedangkan

cG

adalah pusat gravitasi massa.

Penerapan hukum kedua Newton rrgid body nrembutuhkan metode free body

diagram untuk mendapatkan solusinya. Ada dua free body diagram, yang pertama adalah free body diagram menggambarkan keseruruhan gaya dan momen eksternal yang dianalisis pada benda, dan yang kedua adalah free body diagram memperlihatkan gaya dan momen efektif. Konsep ini dinyatakanpada Gambar2.3.

dan berbahaya.

Konsep ini dapat diekspresikan dalam persamaan berikut:

Persamaan getaran sistem secara umum dinyatakan dalam bentuk matriks. Persamaan ini merupakan kumpulan persamaan diferensial simultan dari turunan kekekalan energi yang tidak hanya melibatkan asumsi pegas,

ttr -rF u'E-rt "-

juga termasuk asumsi inersia benda, dan asumsi redaman Persamaan

viscous.

ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

[m]{x} + [cJ {x} +

[kJ

{x}:

{F}

(2.2)

(2.3)

rrr,

dan

\

ZMoo,,, =LMoo,, Penentuan resultan diambil dari sembarang

dari rigid body.

(2.4)

titik ' G '

sebagai pusat resultan


50


51

Analisis posisi keseimbangan statik diperoleh:

^ffiS ,\I

k

Sehingga persamaan getaran bebas SDOF menjadi: aa

mx+cx+kx=0 Gaya-gayaEkstemal Gayagayalnternal Gambar 2.3 Gaya dan tnomen el,*temal pada body ekuivalen

Contott.2r2 Turunkan persamaan gerak dari osilasi angular compound pendulum seperti yang dinyatakan pada Gambar 2.5(a)l

Jawab: Turunkan persamaan gerak dari sistem yang terlihat pada Gambar 2.4(a)l SoIusi:

Misalkan x adalah displacement dari balok. Sudah kita tetapkan bahwa arah x positif adalah ke arah bawah. Free body diagram eksternal dan efektif diperlihatkan pada Gambar 2.4. Dari gambar tersebut terlihat bahwa gaya statik tercipta dikarenakan displacement dari pegas yang memiliki konstanta

k. Jika x diukur dari keseimbangan statik maka gaya statik dapat diekspresikan dengan persamaan berikut:

F, = k(x+

Misalkan 0Q) adalaharah perpindahan batang ccw yang diukur dari posisi keseimbangan. Penjumlahan momen menggunakan free body diagram dari Gambar 2.5(b) diperoleh:

LMou,, =ZMon,,

L

12.. 1,^L

ful)

-lt' T"f"

ll" fr',r

Gumbur 2.4 Free body diagr"am Contoh 2.1

Dengan menerapkan hukum kedua Newton diperoleh:

ZFr,, =LFur

mg-k(x*A,)-")=*',

L:L

t2

2

2

r

m 0+ my:sin9:0 "2 3

&(x + a.r)

l,

t:

^- ilt-O+ nt-g-ntg-stn9 "2

b lni

1[ (a)

) *-'" (b) Gombor 2.5 Free body diagram, Contoh 2.2

(c)

52

Dasar-Dasar Getaran Mekanis 53

Dengan deret Taylor diperoleh untuk

sehingga persamaan di atas menjadi:

0 yang kecil maka sinO :

0 @=

,11

ii*8e=o 2L

@,=2

2.2 Getoron Bebos Tok Teredom SDOF sistem getaran sDoF paring sederhana hanya terdiri dari satu massa dan satu peg1s, seperli dinyatakan daram Gambar 2.6a. Getaran ueuu.-ioor, tut teredam ini hanya mempunyai safu konsentrasi massa dan massa tersebut bergantung pada sebuah pegas. pegas merupakan penopang massa dengan asumsi kekakuan massa yang diabaikan. Hukum-Newton"kedua sebagai dasar gerakan pegas-massa ini dijabarkan daram benfuk persamaan 2.5, yaittt:

k.x: w:

k

m.g

(2.s)

tt 1'=4 T

,,=*rF, Di mana a,, sebagai frekuensi pribadi (Hz:l/s), dan T adalah periode getaran.

posisi lcsctirnbangan slatis

posisi tanpa

f,

frekuensi pribadi

Bila benda diberi simpangan dan kemudian direpas maka benda tersebut akan bergetar pada fieku-ensi pnuuJinru sehingga dapat diketahui dari persamaan yang lerah dituris di atas. Bila massanya kecir dan kekakuan_ nya besar n.raka frekuensi pribadinvu Demikian juga sebariknya, besar

,l;[m:'va k.A

(radldet),

ou'

ryru1, t'tut'ua#iui."l -rk; ri"il;ii,

Hukum kekekalar potensiar

adatahn",.,l,'liffi

il}lI',:i:ffiX ilfti

,nuuamru

kinetik dan energi

pcrcgggg

*

.L

lol

A

l;

Gambor 2.6s Diogrant benda bebas getaran masso-pegas

Simpangan awal diperoreh sesuai dengan 'x =F&: dan gaya yang bekerJ'a .F. sama dengan rumus statika, yaitu massa ilJu dikalikan gravitasi. Efek defleksi 'x' menyebabkan massa berosilasi. Jika diasumsikan tidak te{adi gesekan benda ter:hadap udara maka gerakan sebuah benda 9Tgg hanya dirumpu pegas tanpa beban ruar. Hal ini disebut getaran bebas SDOF.

Beberapa persamaan berikut digunakan untuk menurunkan persamaan getaran dengan metode energi, yaitu:

_i___ I I

Go m

d ,_

jV

b

u

2. 6 b S i s t e m

p e g o s.,,, r,.r

\ \ +u)=oZ

i

r ;;, ;;: :; r;:,, r:r,, rr'

Pada Gambar 2'6(b),pegas dan massa mengarami simpangan sejauh .x..

Energi kinetik yang teqadi p"O"

rrrr"lrrg

m.rguluri

simpangan adalah:

T Dasar-Dasar Getaran Mekanis

54

Lz l: -rrtxJadi

T

+IJ-

I

ntxta

22

$tr*u)=o=m* Sehingga,

U:

sedangkanenergipotensialpegas

!P*:.

Konstanta' c dan

lW'

T+U:C,

menjadi:

Karena ' C

0

(persamaan Newton-2)

I

F dalam bentuk 'usaha')

:w-k.A-k.x w maka diperoleh persamaan m.x : -k.x. Model matematika persamaan getaran bebas tak teredam pada sistem sahr derajat kebebasan karena k.A

:

dengan cara Newon juga diperoleh:

nl x+k x =0

(2.6)

m dan k merupakan koefisien tertentu sistem yang menyatakan masa dari

k'

adalah idealisasi dari kekakuan asumsi lamp mass dan kekakuan pegas. ' pegas yang menopang idealisasi massa ' m ' dengan koefisien kekakuan tertentu dari sistem persamaan diferensial orde-2.

Solusi persamaan 2.6 dapat diperoleh dengan menyatakan solusi simpangan getaran sebagai fungsi transien yang umurmya diasumsikan sebagaifungsi eksponensial. Solusi asumsi ini diikuti sesuai tahapan, misal-nya dengan membuat turunan pertama dan kedua persamaan solusi diferensial, meskipun dengan konstanta. Turunan kedua ftrngsi yang masih mengandung konstanta tidak dalam bentuk angka, dimasukkan dalam persamaan 2.6- Jikz

tn:

'k:

k"d' . m",,' dan metode sistem ekuivalen yang digunakan maka ' Asumsi solusi dari persamaan 2.5 merupakan pemisalan sederhana dengan fi;ngsi eksponensial adalah sebagai berikut:

x(t)

=

9""

(2.7)

Hingga

'

tidak boleh nol, maka persamaan 2.7 menjadi:

+k=0

msz

(pernyataan

+k) =o

C(nts'

Penurunan untuk mendapatkan persamaan getaran bebas tak teredam sederhana ini dapat dilakukan dengan penerapan hukum Newton kedua untuk gerakpada massa m, yaitu dengan persamaan berikut:

m.x: I F m.x: w - k.(A+x)

adalah konstanta yang akan dicari dari persyaratan

Substitusikan persamaan 2.7 ke persamaan 2.6, sehingga persamaan 2.6

atau

i+k *

mi + kr =

s'

kondisi batas yang diberikan.

.

( k \'/' -+ -\ n,)

.s=*l

I

io),

(2.8)

Harga 's' pada persamaan 2.8 harus merupakan bilangan riil sebagai syarat getaran terjadi. Syarat lain berhubungan dengan parameter frekuensi pribadi atau frekuensi natural dalam satuan radian/det dan frekuensi ini diperoleh dari persamaan berikut:

,,,=

fk

l;

(2.e)

Syarat terjadinya getaran yang lain adalah harga frekuensi natural atau frekuensi pribadi harus positif dan hal ini mudah dipenuhi. Harga ,s. agar merupakan bilangan riil, agar kombinasi harga 'm dan k' harus sesuai. Parameter lain dapat diturunkan dari frekuensi natural adalah:

T =2n =2n

0,

nl

k

(2.10)

Sehingga frekuensi natural dalam satuan sesuai pakar yang diberi kehormatan, yaitu Hz, menj adi:

1l t'-i - 2n

(2.11)

Dua nilai ' s ' diperoleh dari persamaan2.S dan ' s ' merupakan akar dari persamaan kuadrat. Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Eigenvalue.

Bentuk solusi umum dari persamaan eigenvalue tersebut memperhatikan kemungkinan berlaku dan tidak, yang merupakan bilangan imajiner adalah:

t Getaran Bebas Sistem Satu Deraiat Kebebasan


56

,(l)=

C,ei'u'r

i

57

(2.12)

C,e*i"'t

Danbeda phase

Asumsi solusi persamaan 2.12 dinyatakan hanya dengan tujuan bahwa ekuivalensi persamaan ini (bentuk eksponensial) dapat disetarakan atau diganti dengan ekspresi lain, sebagai persanmau trigoneomelri. Persamaan trigoneometri dengan sifat khas osilasi umum yang menyatakan simpangan getaran. Identitas kesamaan dengan trigonometri dengan menggunakan

Q=,*

(2.1e)

[?)

Respons getaran untuk sistem satu derajat kebebasan yang diwakili oleh persamaaan 2.17 diplotkan seperti terlihat pada Garnbar 2.6c.

identitas sebagai berikut:

elioilt

=

cos coilt +

(2.t3)

i sin al,,t

Maka persamaan 2.13 dapat ditulis kembali menjadi:

,(r)

= A, cos

{rJ,,t

+

A.

sintui

(2.14)

,,t

di mana A1 dan A:adalah konstanta baru. Konstanta C dan C atau A dan A dapat ditentukan dari kondisi awal sistem. Jika nilai dari displacement x(t) dan kecepatr, t

-

,(l) =(A*1atft)

dispesifikasikan menjadi xorian

x. pada

0,makapersamaan 2.10 dengan kondisi awal adalah:

x(t=o)=Ar

=x,,

x(t =0)=0),,A,

=

Gambar 2.6c Respons getaran bebas SDOF

Q'15)

xo

Namun biasanya persamaan diferensial getaran bebas tak teredam satu derajat kebebasan ini ditulis dengan mensubtitusikan persamaan 2.10 ke

dengan mensubstitusikan persamaan 2.15 ke dalam persamaan 2.14, diperoleh:

persamaan 2.5 sehingga bentuk sederhana menjadi:

x+afx=0 '(r)

= x,,cosLt),,t

+!!-sinc't,,t

0,

Persamaan 2.16 juga dikenal sebagai persamaan getaran harmonik fungsi waku yang dapat disederhanakan menjadi:

,(l)=

memiliki konstanta pegas 7

tersebut. I

Dengan amplitudo ,4

=

,;.I

kg diinstalasi di atas fondasi elastis yang 10s N/m. Tentukan frekuensi natural sistem

Sebuah mesin dengan berat 500

(2.r7)

A(sinat,,t+Q)

(2.20)

(2.16)

x

\

t

i (2.18)

Solusi: Sistem dimodelkan sebagai pegas-massa satu derajat kebebasan SDOF, dan frekuensi natural SDOF dihitr"rng dengan persamaan 2.8, yaitu:

t :l


5B

,. 0,, I fkl tn 2n 2r t_ \r,-


59

Maka frekuensi natural sistem dengan ' o),, atau f,, ' adalah: -2x

W=5'e6 Hz

(D=

o,o, ,.l"' .ur.". ^tr:l \ m l4m\k, l +

k,)

atau

Tentukan frekuensi natural dari gambar dibawah ini. Asumsikan pulley diabaikan dan getaran terjadi dengan tidak ada friksi!

k,k, ,f"' ,, f' =0,, = 'I J"=i;= 4"14r,(k,.t )) "' Cohtoh

Jawab:

Getaran pulley diasumsikan dengan tanpa gesekan dan massa pulley diabaikan. Tegangan tali menjadi konstan dan sama dengan berat W dari massa nt. Gaya yang bekerja pada pulley-l ke atas sebesar 2 I4 dan gaya yang bekerja pada pulley-2 ke bawah sebesar 2 W. Asumsikan jika titik pusat pulleyI bergerak sejauh 2Wk1 maka titik pusat pulley-2 bergerak sejauh 2Wk2 Sehingga total perpindahan massa m adalah:

BENTANGAN

BENTANGAN KABEL

I ,, _2w) -[ r, k, )'

g * 2O(} >< Id lrl/rrr2 f :3-S >< !fi-+rrra .E * IlO(} >< !07 l{y'rrr? r: I (} crrr (*)

{tt}

hka k", menyatakan konstanta pegas ekuivalen sistem, maka:

L=r*( l-* 'l: k., I k, k, ) , t't

4w(kt+k:) k,k ,

k,k.

a(k,+ k,)

Persamaan getaran dengan kekakuan ekuivalen menjadi sebagai berikut:

-

m x+k",, x =0

Gambsr 2.7u Bebou patln bctrrang lrcist Sebuah pabrik menggunakan mesin pengangkat dan pemindah barang tipe sebuah batang sebagai bentangan yang dapat

ioisl. Hoist digantungkan pada

bergerak sepanjang lintasan. Beban diikatkan pada kabel. Idealisasi sifat pegas pada hoist diberlakukan untuk beam dan kabel yang dihubung seri. Model hoist seperti pada Gambar 2.7(a).

Tentukan:

\

Frekuensi natural sistem ketika hoist digunakan untuk mengangkat benda sebesar 800 kg dengan panjang tali 9 m.

f Dasar-Dasar Getaran Mekanis

60

c

Jawab: Langkah pertama yang dilakukan adalah membuat asumsi agar persoalan ini dapat dijawab dengan menempatkan hoist di tengah bentangan batang. Konstanta kekakuan dapat ditentukan menjadi:

.

l-

Getaran Bebas Sistem Satu Der

_

48EI

4r(2oox to' Nf m'\(:,s* to-'m'\

"n- t

(s,t,r)'

C(ms' + cs + k) =o

(2.22)

Karena ' C ' tidakboleh berharga nol maka persamaan 2.22menjadi:

=1,13*10'L m

ms'+cs+k:0

(2.23)

Persamaan 2.23 dlkenal sebagai persamaan karakteristik dan persamaan ini mempunyai dua akar dai runrus ABC, yaihs:

Konstanta kekakuan kabel menjadi:

k =AE _r(o,t "L9nt

Dalam hal ini, dan s adalah konstanta yang akan dicari. Substitusikan persamaan 2.7 ke dalam persamaan 2.21 sehingga persamaannya menjadi:

*)'(zo.o"to'wf

*')

=6,98*t0,L

c

c - --

2m

-L f,

_l

cl t-'

(2.24)

2*)

Dengan kondisi kekakuan bentangan dan kabel dipasang seri maka:

k- 11 I k,,'k, l,l3xtTsN/m

=9,73r

cq

10'

L m

6,98x108N/m

Jadi frekuensi natural sistem adalah:

rE-

'r=l;=

9,73x107N/m

=3,49 xl02

rad/detik

I

2.3 Getoron Bebos SDOF dengon Viscous Domping

a. Sistem getaran

b. DBB

Gombar 2.7b Sistern pegas-massa redamqn viscous

Sebuah sistem getaran bebas dengan redaman viscous SDOF dinyatakan pada Gambar 2.7(b). Jika ' x ' diukur dari posisi kesimbangan terhadap gerakan naik-turun massa ' m ', maka dengan menggunakan hukum

Dua akar dari persamaan karekteristlk2.Z4 adalah akar dari persamaan 2.21 yang dikenal sebagai eigenvalue. Bentuk solusi umum dari persamaan

Newton-2 diperoleh persamaan umum getaran bebas teredam dengan

tersebut adalah:

redaman viscous untuk satu derajat kebebasan, yaitu:

md2x/dt2+cdx/dt

+k x

(2.2r)

Seperti untuk solusi defleksi SDOF tanpa redaman, solusi persamaan getaran SDPF dengan peredam dapat diperoleh dengan asumsikan bentuk eksponensial yaitu:

x(t\:9""

(2.7)

x(r)=

C,e"" +C,e"'

Substitusikan persamaan2 .24 padapersamaan 2.25 menghasilkan:

x(t)

=

C,.n-;.'[{i"1'

-' * *

r,.n-*-@

(2.26)

t 62


C1 dan C2 adalah konstanta yang dihitung dari kondisi awal x (0) dan dx/dt untuk t : 0. Solusi defleksi dengan mengasumsikan eksitasi berupa gaya sama dengan nol disebut sebagai solusi transien atau x,(t). Solusi defleksi dengan mempertimbangkan hubungan atau pengaruh F(t), yaitu eksitasi dari variasi bentuk asumsi gaya akan dibahas pada Bab III. Solusi defleksi ini disebut solusi Sready State dengan notasi x.(t). Defleksi total merupakan penjumlahan dari x,(t) dengan x.(t).

(Cr coS 1116 (t)

e

Cz sin

roa

(t)

)

Parameter evaluasi dari persamaan getaran berikut Persamaan

1.

4.

Rasio Frekuensi Rasio frekuensi adalah perbandingan antara frekuensi redaman terhadap frekuensi pribadi, sesuai persamaan berikut:

p:

coo

Akar

I

cDn

(2.31)

persamaan

(2.24) sekarang dinyatakan dalam

ini

s,, =(-(

diperoleh dari

Redaman kritis dengan notasi, 'c"' Selain frekuensi pribadi dengan notasi rll,,, parameter baru yaitu redaman kritis c" sebagai redaman maksimum yang memungkinkan sistem getaran masih dapat meredam gerakan, sehingga:

!"@-)r,

Solusi defleksi dengan asumsi .fungsi ekponensial sederhona untlk solusi transien (asumsi tanpa eksitasi gaya) dapat dinyatakan dalam tiga

tipe. Ketiga solusi ini semuanya dapat diaplikasilan. Masing-masing

(2.33a) (2.33b)

l2m)

2.

(2.33c)

k nt

(2.28)

= 2ma

Rasio Redaman

Rasio redaman dengan notasi

(

didefinisikan sebagai perbandingan antara konstanta redaman terhadap konstanta redaman lcritis, sehingga rasio redaman sama dengan:

rc

(2.2e)

5-

cr,

Substitr.rsikan persamaan 2.28 ke persamaan 2.27 sehingga:

C /ilt --L 3.

-C", Znt

-

dapatdibuat

-L(D

(2)

05

Konstanta C1 dan C2 diperoleh dari pengamatan atau asumsl pengamatan untuk dua kondisi di mana getaran terjadi. Asumsi utuk kedua konstanta ini tidak hanya untr-rk defleksi pada wakh-r tertentu, tetapi juga dapat dilakukan untuk percepatan dan kecepatan pada waktu yang ditentukan. Tentu saja asumsi untuk kecepatan dan percepatan berhubungan dengan kondisi turunan pertama atau turunan kedua dari salah satu persamaan 2.33(a) sampai persamaan 2.33(c) yang dipilih. Setelah kedua konstanta ini dapat ditentukan dari kondisi batas yang diberikan (asumsi atau memang pengamatan), maka plot Respons Dinamik SDOF ( tampilan kurva percepatan, kecepatan, defleksi, Edyz, atau a(t), v(t), x(Q,

Damping Frekuensi dengan notasi ro6 Damping frekuensi merupakan parameter sesuai hubungan berikut ini: cD,i:{.0,-(1

sehingga

(2.32)

(c )' k | ' I ---0 m = 2nt

(

(2127)

2.27,yaitu:

atau c

63

persamaan (2.24) menl adi:

Solusi persamaan transien dalam bentuk lain dapat diberikan, yaitu: -{o,,(t) +

x,(t):


Q30)

fO,

sebagai fungsi dari waktu) dari getaran bebas

s

Evaluasi kinerja getaran lamp mass terdiri dari dua bagian, yaitu evaluasi dari kurva respons dinamik, dan evaluasi dari kurva respons frekuensi (F(t) / x(t) sebagai fungsi dari roa r o,.). Respons frekuensi dibahas pada kondisi getaran dengan penerapan eksitasi. Eksitasi berupa gaya dan perpindahan

ini

dapat bekerja pada setiap asumsi pemodelan

H

rr

64


lamp mass. Akar karakteristik 's1 dan s2' adalah akar alami dari dari solusi persamaan 2.30 ter-

persamaan 2.30, sehingga perilaku


Persamaan ini menunjukkan bahwa frekuensi getaran teredam adalah sama dengan:

gantung pada besaran redaman.

1_

Tiga kasus kondisi respons getaran benda terhadap beban luar yang diberikan sebagai beban kejut dari tiga harga ' ( '. Kasus ini dinyatakan dalam nomor '5' , '6' , dan nomor '7', berikut ini:

5.

65

Under Danrped

Utder dtunping atau kondisi teredam Getaran adalah kondisi osilasi

a,,

=!=a,,J1-e'

Solusi altematif dari persamaan 2.34 adalah:

*(t)=

71u-{''lo"'t

t'n(a4t + Qn)

atau gerakan getaran benda dengan sistem getaran yang ada mampu meredam getaran tersebut sampai berhenti. Ideal waktu berhenti adalah tak berhingga. Kondisi ini dicapai dengan syarat ( < 1.0 . Untuk kasus ini, '( (2-l )' menjadi negatif dan akar persamaan karakteristik menjadi

(2.36)

L

dengan,

(2.37)

, Ir, q ,,, *

A

t

'l' ,n

,r,t

(2.38)

)

sebagai berikut:

s,=(-( +i,,[r()r,,

(2.34)

=

(2.3e)

l*n+(a,*,, )

Jika akar persamaan ini dimasukkan ke persamaan2.30 maka menjadi:

x(r)

dan. g., = tatt-t[---a"l-l

Getaran yang digambarkan oleh persamaan 2.35 adalah gerakan harmonik dari frekuensi getaran teredam a6tetapi dengan adanya faktor

c,."(-c.''[4)'"' * r..nl'-t'[4)'"'

n-(.o" Persamaan ini sama dengan persamaan 2.33(a). Persamaan di atasjuga dapat ditulis seperti salah satu dari kedua bentuk

t . Amplitudo

gerakan harmonik menjadi semakin mengecil

secara eksponensial terhadap waktu, sesuai Gambar 2.8.

berikut: * (t) = A."-c",,' si = s-(,"" Persamaan

t

u(r[1

.r,., * O)

(c,.sin"[4.r,.t + C,cosr[1

.r,,.r)

ini sama dengan persamaan 2.33(b).

Konstanta 'C1 dan C2' ditentukan dari Initial Condition atau kondisi awal misalnya, t : 0, x(0) dan dr/dt= xa . Persamaan 2.33(b) menjadi:

x(t)

=s

-r,,,,( x(0)+( t

a,,

xo

n. r,-(n r,,

a,,rll -e' -------r,,,,,[]

t+

[ -r,,, ) x,,cosr[q

I

) (2.3s)

Gfrmbar 2.8 Getaran teredam

C

< I,0

Untuk kasus gerak berosilasi under damped, amplitudo osilasi mengalami penurunan secara logaritmik 6. Dan ' 5 ' didefenisikan sebagai perbandingan amplitudo getaran satu dengan gelaran berikutnya secara berurutan yang dapat diekspresikan menjadi sebagai berikut:

E


66

Kondisi awal,

I

t:

0 dengan xu dan ,r o, maka persamaan 2.38 menjadi:

r xo+o),,xoll \l

*(r)=lr,*l (2.40)

iil penurunan

logaritmik 'rf ini diperoleh dari hasil pengukuran dengan alat ukur osiloskop, dan damping rasio riil dapat dihitung Secara

L

\

))

(2.46)

"-'',

Terlihat jelas bahwa persamaan 2.43 adalahtidak periodik, karena untuk e-""'t )0 pada t -+@. Getaran kondisi dengan gerakan menuju nol dapat diamati pada Gambar 2.9(a).

x(r)

dengan persamaan berikut:

(2.41)

Redaman Kritis

Data riil kecepatan x(t) durgan 'x dot ataudx/dt ' dan data percepatan dari x(t) dengan 'x clubble dot atilr df ld( Juga dapat digrrnakan r.ntuk menghitung parurunan logaritmik 6, yaitu dengan persamaan berikut: Gambar 2.9a Getaran dengan redaman

(

D=/rlouo, )

(2.42)

I

Ix(r + {, ).J

dx'ldt' \

b:/rl r(r + I

I

(2.43)

I

4,

x = e'o"' {[ *(0 ) + a,x( 0 )t + x(0

Gambar 2.9(b) menunjukkan tiga kemungkinan jenis respons dengan

).,1

simpangan awal x(0).

o ;

*(o>>

harga sama, sehingga karakterisitik menjadi sebagai berikut:

*(o\
c

*(o)-o

(2.44)

= -66--I:ztn

Karena akar persamaan karakteristik getaran

1,9

)]

Critical Damped atau Redaman Kritis adalah kondisi getaran bebas dengan harga (: 1,0. Untuk kasus ini, dua akar persamaan memiliki

,S" =

(:

Lebih jauh, dengan memperhatikan pola variasi kecepatan dari solusi untuk mendapatkan persamaan respons dengan mengambil harga ( : 1 dan dengan memasukkan kondisi awal;;(0) dan i (0), maka didapatkan:

Critical Damped

S, =

hitis

ini

dengan harga sama,

maka persamaan umum getaran disederhanakan menjadi:

,(t\

=(C, + C,t).e'"'t

(2.45) Gsmbar 2.9b Redaman b'itis

(:

1,0 dengan vcu"iasi kecepaton

F 68


Gsmbar 2.9c Simpangan apetiodikdengan 7.

(>


69

1,0

Over Damped

Over damped atau redaman berlebih merupakan kondisi benda masif atoru hj bergerak atau tak berosilasi karena ( > 1,0. Untuk kasus ini

dengan

(('-1), Sr dan Sz berharga positif dan akar

-i(o)-(e - 'l(-)a,*101 zr,rlq, _ t

.

persamaan

karakteristik kondisi over damped adalah:

s,

Gerak ini merupakan fungsi yang menurun secara eksponensial terhadap waktu seperti terlihat pada Gambar 2.9(c). dan disebut aperiodik

=(-(.G' J)r,........ dan

t, =(-q

-ffi),,,

(2.47)

Persamaan 2.51(a) dan 2.51(b) menjelaskan persamaan aperiodik, yang berarti tidak mengalami siklus walaupun hanya untuk satu periode. Contoh

pada Gambar 2.10(a) merupakan kondisi overdamped untuk

Jika akar persamaan ini digunakan pada persamaan 2.26 maka hasilnya

x(0)

:

1 mm, damping ratio

adalah:

r(r)

=

oa

c,.nl'.J"

-')'n'

Dengan kondisi awal

* r r."(-'-G')"'

x (0)

:

xo dan

x(0)

(

:

1,2 dan

-1rud/t,

cDn

:

kasus

3 radldetik.

t - 1.2, x(O\- Imm,

(2.48)

-

,ro, mak? C1 dan C2 pada

persamaan 2.48 menjadi:

I

E

I

c,=

cr=

x,o,((,+"[C - t)+ x,

z.i,rl( -xo'n(e

l

-G=)-+

2^,;r1(-

t

(2.4e) *l

(2.s0)

,#,;: ;::;.,, ;:;::,;,; ;;:,

Amplitudo maksimum terjadi di t : 0 dan itu dapat dilakukan dengan memasukkannya pada persamaan di bawah ini sehingga untuk amplitudonya diperoleh:

70


1:----!trt _ 2a,,rlq,

c,-(c,.

I

Je

t)#. .,,(r,. Je t)

Dengan mensubtitusikan periode redaman berikut ini:

(q

. Jc-])*, * ",(r,-,t4 -)

bentuk lain, yaitu:

-

l-\ xs-e'u,' sin(.r/t

/*,,,[1

6-

sebagai persamaan eksak. Bila harga

(

kecil,

ttl

= /, diperoleh:

Gambar 2.10(c) menunjukkan diagram

(

yang eksak maupun

= 'e E

u c-,,,i,,(,[-ftr,,1, *0)

.r;.*)

nilai

pendekatannya sebagai fungsi (.

berurutan. Rumusnya adalah sebagai berikut:

x)

R 2nC

6=2nC

- ('a,,t + Q)

Persamaan ini dapat dijabarkan menggunakan grafik seperti pada Gambar 2.10(b). Dari gambar, istilah pengurangan logaritmik atau logarithinic decrement didefinisikan sebagai logaritma natural dari rasio dua amplitudo

6=lnL=ln

'

maka pengurangan logaritmik di atas menjadi:

Cara sederhana untuk menentukan jumlah redaman yang ada dalam suafu sistem adalah dengan mengukur laju perubahan osilasi bebas. Makin besar redaman, semakin besar pula laju peluruhannya (pengurangannya). Perhatikan getaran teredam yang dinyatakan oleh persamaan umum 2.35 dalam

x

-''-2x/

(2.51b)

q.

7t


o

=tL

(2.52a)

e

E uS

3

€a

dan karena nilai sinusnya adalah sama bila waktu ditambah periode redaman 16, fl1ok? hubungan persamaan 2.52(a) menjadi: -(Lo t,

6=h-:--::-t+tt

I

lnelo','u

=(a),,.c,u

e.52b)

Gamhor 2.10c Pentutrnun Logaritmik Sebagai Fungsi-

(

"-4a"lt

ini diberikan untuk sistem getaran dengan redaman karena kekentalan: fluida w : l0 lb, k : 30 lb/in, dan c : 0,12 lb/in per sekon. Tentukan

Data

pengurangan logaritmik dan rasio pengurangan dua amplitudo yang berurutan!

Gombsr 2.10b Laju Pengurangan Osilasi

r Dasar-Dasar Getaran Mekanis

72


Dari sini persamaan yang dibutuhkan diperoleh, yaitu:

Jawab: Frekuensi natural sistem tanpa redaman ini adalah:

E= 30 x 386

: 34,0 rad /

Koefisien redaman kritis c" dan faklor redaman

c"=

2m.6n=

sec

(

adalah:

2*J!-*34,0= 1,76 lb/in.persec. dan

",

6=L=W=0,429 ,lt_q, "ll-o,06yt

Rasio amplitr"rdo untuk tiap dua siklus yang berurutan adalah:

xt =

!-1,rx" 11 xu

Untuk menentukan jumlah siklus yang harus berlangsung agar amplitudo berkurang sampai dengan nol persen, hubungan berikut dituliskan dari persamaan sebelumnya yaitu:

t nn

6=2n6 =i-ln2

186

(=9-0'12 ' I,76=o.o6lt

x2

73

0,693

4=9!2=o,tto -2x Persamaan terakhir merupakan persamaan hiperbola

ei = e''0" = 1,54

digambarkan seperli Gambar

2.

siku-siku

10(d).

H

T Pengurangan logaritma diberikan oleh persamaan berikut:

o I , Xn @=-lnr N X,, dengan x, menyatakan amplitudo

E

setelah n siklus berlangsung. Gambarlah jumlah siklus yang telah berJangsung suatu kurva yang menunjukkan

terhadap

(

E

agar amplitudonya berkurang 50 persen!

Jawab: Rasio amplitudo untuk tiap dua amplitudo yang berurutan adalah: Xn-l x, -lL-xz "6 x xr x2 x3

r

f

E s !r # -

E llt

C-A*

fr}Et*ril

Rasio x6/ x,, dapat ditulis sebagai: Gumbar 2.10d Penwunan Logaritmik dengan b =

t=(;) tt)

t;) t;)={")

=e

n6

! 7rr*' t't xn

dan

74



75

Canfih2;1 ::',. untuk redaman kecil, tunjukkan bahwa penurunan logaritmik dinyatakan dalam energi getaran per sikJus

/U.

'

dapat

(J ' dan energl yang didisipasi (disebar)

Jawab: Gambar 2.10(e). menunjukkan getaran teredam dengan ampritudo ber-urutan

x1, x2,

xj, ..... Dari definisi

penurunan logaritmik

6=lnxr/x*

rasio

amplitudo dapat ditulis dalam bentuk eksponensial dari deret sebagai berikut:

x, -6 5' =/-o+-=e xt 2! -....

Sebuah Underclamped Shock Absorber didesain untuk sebuah sepeda motor dengan massa 200 kg seperti dinyatakan pada Gambar 2.11(a). Ketika shock

absober mendapatkan kecepatan awal akibat adanya gundukan di jalan, grafik hasil displacement sebagai plot fungsi terhadap waktu dicantumkan pada Gambar 2.11(b).

Tentukan besar konstanta pegas dan redaman dari shock absorber jika periode redaman getaran adalah 2 detik dan amplitudo x7 tereduksi menjadi t/+-n!a pada kondisi untuk lz peiode berikutya. Dengan pemyataan 1ain, xt.s : x1/4. Tentukan juga kecepatan awal minimum yang menyebabkan displacement maksimum atau kondisi amplitudo maksimum sebesar 250 mm.

Diketahui: Massa

:

200 kg, kurva displacement terlihat pada Gambar 2.8 (b), periode redaman (Tt :2 detik , amplitudo maksimum (A) : 250 mm, model matematika x1.5: x1/4.

Tentukan: Gumbar 2.10e Laju pengurangan osilasi redaman kecil

Energi getaran sistem merupakan energi yang tersimpan dalam pegas

Konstanta pegas (k), konstantan redaman (c), dan kecepatan awal yang menghasilkan amplitudo maksimum 250 mm.

pada simpangan maksimum, atau:

u.=!w1 '2 Pengurangan energi dinyatakan sebagai energi sesudahnya dibagi dengan energi mula-mula menjadi:

u,;r,

ut

=t

y)' - t -e-26=26_ (za)' *...... -L=, -( ut [r,,i 2!

Untuk d kecil diperoleh hubungan sebagai berikut:

AU-," U --zo

(.)

(b)

Gambur 2.11 Sket respons getaran SDOF


76

Jawab:

Persamaan perpindahan yang melintasi titik tengah atau posisi

Penurunan logaritmik sistem adalah: u

:,,,hfh) =,,[f) : tn(t a) = 2,7726 =ffi

Dari persamaaan di atas diperoleh damping rasio

( :0,4037.

Jika periode redaman getaran diketahui dengan persamaaan 2.32 maka

diperoleh: r

,,n= --! Trrll q'

= 3,4338 rad/s

=

t -(o,tosz)'

:mal, =(zoo)(s,t33B)2 = 2358,2652 k m

= 2ma,, =

2 (zoo )(s,usa

Displacement maksimumnya sesuai persyaratan adalah 250 mm. Persamaan getaran dengan menyertakan semua parameter dan konstanta yang sudah dihitung sebelumnya untuk waktu 't', menjadi: 0,2

5

[email protected],rzt(t.4::*Xo,toztt

rl, _ p,lOSZ),

Amplitudo maksimum dari identitas diatas adalah:

0,455

*(t) = ln-(

N/m

)= 1373,s4

=

nt

Persamaan kecepatan diperoleh dengan menurunkan persamaaan berikut ini:

Konstantan redaman kritis (c") diperoleh dari persamaaan 2.23, yaittt:

c"=2m

getaran, yaitu:

*(t)= l"-('to"'t 5'nao: fs-i a 'J;7

A=

Konstanta pegas sistem diperoleh dari persama aan 2.6, y aitu:

k

netal

N.s / nt

o"

t

1- (a4, sin ad t + a(t cos cDd t )

: ro saat amplitudo maksimumn ya adalah: x(t = 0) = x0 = A{Du = ,ltu ,rlt j , atau dengan numerik menjadi,

Kecepatan awal xQ

-

:1.4294

0)

m/detik

Konstanta redaman sistem (c) diperoleh dari persamaaan2.24,yaitu:

c=e c,=(0,4037 \(tszs,sl )=

554,49a1 N.s/m

Jika diketahui displacement dari massa maksimum terjadi pada t1. Hal ini diperoleh dari persamaan berikut:

sina4t,=[-( sinaut,x

sinrEtt=[

-p,r04

sin-t (0.9149\

l,=Lx0,3678

s

:0,9]49

Sebuah batang slender memiliki massa 3l kg dan panjang 2.6 m Gambar 2.12(a). Gaya statik sebesar 50 N dikenakan pada ujung kanan batang di P sampai batang bergerak. Osilasi pada ujung kanan dimonitor dengan sebuah osiloscope dan alat ini menyediakan data percepatan seperti terlihat pada Gambar 2.12(b). Skala data 'waktu' kondisi sudah dikalibrasi, tetapi data percepatan tidak dikalibrasi. Gunakan data yang ada untuk menentukan konstanta pegas dan redaman! Juga tentukan kalibrasi skala untuk percepatan!


7B


79

Rasio redaman dihitung dengan persamaaan 2.41.

0,405 , q::=0,0643

ln'+(o,los\' |*-o.os

6 i, G ;4 !

m-.|*---1.9s

m--*{

Damping Frekuensi dan Frekuensi Natural menjadi:

(a)

(r,

2x

2r

= 62.83 rad/S " = -T, =.:.---------(0,/ s)

2?

=-%. " :Jt-(' ,lt-0,0643

-l

,,r..

vo

l-a

o.o5

=

0.t Tim

o.l5

(b)

Gambar 2.12 Sket dan respons getaran Soal 2.2

Jawab: Solusi persamaan getaran dari permasalahan di atas adalah:

x+ 3cx+27k x-0 7m 7nt Frekuensi natural dan sistem adalah:

W3cOan L=-

=.1-

'

" \7m

l4ma,,

dari getaran bebas diperoleh 0.1 detik. Nilai penguragan logaritmik ditentukan dari data osiloskop dan dengan persamaan 2.40,menjadi berikut:

I

..

\ =0,405 l=n,[*) \z /

.,1+ x(o, r s)J

dan konstanta redaman

!

k

=7ry?: _z(st)(dz.go\

^

_ t4ma,,( _ 14Q t)(62,e6)(0,0643)

27

27

=

3,te*

to,

33m

'c' diperoleh berikut ini:

nl

.o.

,

N.,

Kalibrasi percepatan diperoleh dari analisis keseimbangan statik posisi awal pada ujung kanan untuk F0, maka posisi tersebut menjadi sebagai berikut:

5o ..(o)=F= ! =l,d rrrm \ '' k 3,l9xlooN/m Percepatan awal dihitung dari persamaaan diferensial yang terbentuk, juga

Dengan menggunakan data yang diketahui dari osiloskup, periode redaman

/ u=rl

'k'

(s)

Waktu (detik)

CD

Nilai konstanta pegas

= 62.96 rails

untuk F0 yaitu:

*(o)=-f*.O-ff-to)= 27F.tgxlo4N/,n),^

\

. ..ffi

t o m) = -6'j5 ---7OTid-@'oo^^,. -

\

Sehingga skala kalibrasi menjadi sama dengan:

6,35 m/s2__t t.tnt It -..-:t unlt ='"'

J

,'

I 80


2.4 Geloron

Bebos SDOF Coulomb Domping

Coulomb damping adalah asumsi sifat redaman dari kelakuan dari koneksi atau hubungan benda lamp mass yang terjadi akibat benda itu bergesekan dengan permukaan kering atau permukaan yang bersifat dry friction dari dua permukaan yang memiliki sifat sliding, yaitu meluncur satu dengan yang lain.

Contoh permukaan asumsi Coulomb damping adalah axle friction atau Landasan Luncur dengan tumpuan joumal bearing, dan belt f iction dengan Landasan Rolling. Apapun kondisi riil Landasan Luncur atau Landasan Rolling, kedua landasan ini dimodelkan sama, yaitu model 'redaman'. Di sini kita akan membahas massa sliding pada permukaan kering sebagai bahan analisis. Namun hasilnya secara kualitatif dapat digunakan pada semua bentuk coulomb damping. Dengan mengikuti asumsi massa slide pada permukaan kering, seperti tercantum pada Gambar 2.13, gaya gesek

Getaran Bebas Sistem Satu

Persamaaan 2.53(a) digunakan untuk persamaaan gerak pada kondisi sampai tanda arah kecepatan berubah atau kecepatan menjadi iama dengan

nol' Solusi dari

kecepatan sama dengan

menghentikan gerakan.

Aplikasikan hukum Nemon untuk diagram free body pada Gambar 2. I

3

(b) men ghasi lkan persamaaan diferensi al sebagai berikut

nii* t* = -pn1g mx+ Ax =pmg

*, o x <0

:

(2.53a) (2.s3b)

Asumsikan sistem satu derajat kebebasan dengan getaranbebas seperti pada Gambar 2.13 dengan kondisi awal massa berpindah sejauh '6' ke kanan. Gaya pegas mendorong massa ke titik keseirnbangan dangan arah kecepatan negatif. Persamaaan 2.53(b) diterapkan pada setangah siklus pertama dari gerakan sampai kecepatannya menjadi nol, kemudian persamian 2.53(a) diberlakukan untuk siklus selanjutrrya. Pembahasan beriklrt ini diawali dari persamaan 2.53(a).

nol atau

;[Ol:0 [.,,

2.55 dan

digunakan sebagai kondisi

.,/

awal, sehingga diperoleh:

x(r)=[t-++] co.s,..t-Pms l-=, (r)"k*,,@, Kecepatan kembali berubah tanda pada tery'adi sesuai dengan hubungan berikut

,(z)=

yang menahan gerakan antara massa dan permukaan dapat ditentukan.

Coulomb menyatakan bahwa gaya gesek yang timbul, mempunyai harga sebanding dengan gaya normal yang timbul antara massa dan permukaan dari bidang gesek. Konstanta yang berfungsi sebagai penyeimbang tersebut adalah koefisien gesekan kinetik dengan notasi 'p.' Karena gaya gesek selalu menahan gerakan yang teq'adi, maka arahnya berlawanan arah kecepatan pergerakan benda. Penerapan prinsip Coulomb penting untuk mengetahui jumlah siklus tertentu dari getaran bebas SDOF dengan kondisi massa dan parameter pegas-damper teftentu. Tujuan pembuatan model getaran ini dibuat sejalan dengan asumsi gesekan pada permukaan getaran sebagai yang

persamaaan 2.53(a) menggunakan persamaaan

\r,,

)

5

t =2nf

=4

(2.s4)

at,, sehingga defleksi yang

ini:

-4to's k

(2.ss)

Solusi dari persamaaan 2.53(b) berhubungan dengan parameter awal

x(0)

=6 dan *(0) = 0

*Q)=(t

adalahsebagai berikut:

-ry)cost.,,t.ry

(2.s6)

Perhatikan tanda '+' pada persamaan2.56 dan tanda'-'pada persamaan sebelumnya. Persamaaan 2.54 menggambarkan gerakan sampai kecepatan berubah tanda atau dengan kata lain terjadi kecepatan sama dengan nol, yaitu pada

t = E/o,,. Kondisi

(^) ^ l=-d+ - / [,o,,

xl

tersebut terjadi dengan defleksi sama dengan:

2urtts

k

(2.s7)

Gerakan satu siklus sempuma digambarkan dengan persamaaan 2.54 dan persamaaan 2.56. Amplitudo berubah dari kondisi awal ke kondisi berikutnya dengan hubungan persamaan sebagai berikut:

*(o)-,,[f) =Ioff

(2.s8)

il Dasar-Dasar Getaran Mekanis

82

Periode masing-masing siklus adalah:

2n

(2.se)

,(,)

(D

=

lu-ro,- 4ff),o,,,:,,t ,( ,, -!\t\ 2)a il

fr*--.r- f

/\ rl z,,J-l=5_

[ ,,,)

-v&

r < t < 2,,

(2.61)

tr) --tt

4,,vns k

(2.62)

Dari persamaaan 2.62 dapat dinyatakan bahwa displacement pada akhir siklus adalah dengan harga sebesar ' 4pmgft ' rebih kecil dari siklus sebelumnya. Amplitudo selanjutnya dari getaran bebas ini akan berkurang secara periodik dan linier sesuai hasil perhitungan menggunakan persamaan 2.60 dan persamaan 2.61. Kurva sDoF getaran bebas diasumsrkan diredam oleh gaya friksi coulomb menjadi sebagai Gambar 2.14.

m-** (D)

[J** (c) Gaya efektif

Gaya eksternal

Gamber 2.13 Free body diagt'rutt coulomb damping

Coulomb damping tidak mengubah harga frekuensi nahral. Metode matematika induksi digunakan untuk mendapatkan persamaaan defleksi terhadap dua kondisi waktu yang dibahas sebelumnya. Berikut ini per-

t

pindahan dari massa pada setengah siklus dengan persamaan sebagai berikut:

x(t) =[u -,r,, -

rry)"os

2U-\t
a,,t

.

);

ry

perpindahan 0.001 m

Gombsr 2.14 Plot persamuaan 2.60 dan 2.61

Asumsi pengurangan secara konstan untr:k harga amplitudo te{adi (2.60)

sebagai akibat upaya mengatasi gaya gesek. Namun demikian gaya gisek penyebab mengecilnya arnplitudo (disebut gaya gesek tersimpan) lebih kecil daripada gaya gesek coulomb, sehingga:

rl,(

l(

,,t)l=u,nr ,,,)l

(2.63)


84

Simpangan dari gerakan ceases selama integer, terjadi pada kondisi sebagai berikut:

k6

'n'

siklus, di mana

'n'

1

4pmg 4

Getaran Bebas Sistem Satu Deralat Kebebasan

adalah

titik keseimbangan. Diamati bahwa periode gerakan terjadi sebesar 0.5 detik dan amplitudo dapat mengecil sebesar l0 mm pada siklus berikutnya.

(2.@)

Tentukan: Koefisien gesek kinetik dan berapa banyak siklus dari gerakan sebelum

Gerakan ceases sebagai simpangan konstan dari titik keseimbangan sama dengan prns lk akan dipertahankan. Alasan utamanya adalah secara

gerakan ceases.

Jawab:

fisik gerakan semua sistem ceases dengan coulomb damping selalu terjadi Coulomb damping dalam beberapa bentuk, seperti gesekan axle dalam bantalan jurnal, dan gesekan pada belt. Respons sistem dengan redaman ini atau bentuk lain dari coulomb damping, dapat diperoleh dengan cara yang

Frekuensi natural dihitung dan diperoleh sebagai berikut:

2x 2n 12,57 rad/s = '' =rT =----0,5 s

0)-

sama seperti respons pada massa yang sliding.

Pengurangan amplitudo diekspresikan sebagai berikut:

Bentuk umum dari persamaaan diferensial untuk getaran bebas sistem linier dengan hanya coulomb damping sebagai sumber redaman adalah:

lp" | '

tnt x+o.x:i ,IF, |- ' |.,,

LA=4Fng =41'g

k0,

x<0

I

.r>0

4F,

LA p r- =---oi,

sesungguhnya termasuk getaran bebas teredam.

Hal utama yang menyebabkan SDOF teredam adalah gangguan

gesekan

coulomb. Gangguan lain atau gayaluar dan sengaia diberikan, yang selanjutnya disebut eluitasi gaya atau beban ini, diberikan pada sistem getaran bebas dan dibahas pada bab benkutnya, sebagai getaran SDOF tak bebas.

C-ontohr2.7

I

.

Semua percobaan dilakukan untuk menentukan koefisien gesek kinetik antarbalok dan permukaan. Balok dipasangi pegas dan bergerak 150 mm dari

di

rad / s)

atas maka akan didapatkan

=0,04

l(o,at nt/ s')

Banyak siklus dari gerakan sebelum gerakan ceases yang terjadi menjadi.

rrl'6 I 4ttq 4

m@;,

ini

(o,ot m)(tz,sz

4g--'

(2.66)

A,A=------

: lo mm

Dengan menyusun kembali persamaaan koefisien gesek sebagai berikut:

Q.65)

Dalam hal ini Fr adalah besaran da"i gaya redaman coulomb. Penurunan amplitudo 'AA' persamaaan siklus gerakan diperoleh dengan persamaan berikut:

Pembahasan SDOF

85

(t

z,sz

rad / s)(0,

t

5

nt)

t(o,ot)(o.at n/ s')

ts -!= 4

I

2.5 Ringkoson Getaran bebas pada satu derajat kebebasan terdiri dari getaran bebas tak teredam dan getarant bebas teredam. Getaran bebas teredam dibagi menjadi

tiga kondisi yang diirrdikasikan oleh besarnya rasio redaman l, yaiht underdamped di mana (< l, critical damped (:1 dan overdamped C, t.

Untuk underdamped, respons getarannya berosilasi. Sebaliknya, pada critical damped dan overdamped, respons getarannya tidak berosilasi.

r Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan


B6

2.7 Sool 1. Sebuah sistem massa-pegas

2.6 Pertonyoon unluk Pemohomon l.

Jelaskan perbedaan dari:

a. b. c.

(a)

Getaran bebas dan getaran tak bebas dari model terhadap :SDOF ciri eksitasi berupa gaya, persamaan getaran, dan penerapan sistem riil.

Getaran bebas teredam dan getaran bebas tak teredam dari model SDOF(gambar idealisasi masing-masing dan jelaskan perbedaannya).

kurva getaran bebas tidak teredam. Lengkapi kurva ini dengan pammeter getaran (seperti amplitudo, frekuensi), dan jelaskan pula kedua kondisi kurva tersebut!

4.

Tiga persamaan getaran bebas SDOF, seperti persamaan 2.33(a) sampai persamaan 2.33(c), sebenarnya memiliki kesamaan dan perbedaan hanya akrbat parameter yang sudah diketahui. Sebutkan minimal dua persamaan dan minimal tiga perbedaan untuk masing-masing persamaan tersebut!

5.

Menentukan jumlah siklus getaran bebas SDOF teredam menjadi terhenti adalah penting untuk memastikan efek kerusakan getaran pada benda. Sebutkan atau buat resume, minimal lima tahapan perhitungan bagaimana menentukan jumlah siklus agar dipastikan getaran terhenti!

6.

Sebutkan minimal tiga perbedaan antara: getaran bebas teredam dengan, getaran paksa atau dengan istilah lain untuk getaran tak beban!

7.

Jelaskan apa yang disebut penurunan algoritmik, dan nyatakan dalam lima tahapan bagaimana mendapatkan harga tersebut!

dinaikkan 40o/o, dan (b)diturunkan25%o.

2.

Sebuah sistem massa-pegas memiliki frekuensi natural 15 Hz. Apabila konstanta pegas dikurangi 1000 N/m, frekuensi naturalnya tinggal40o/o. Tentukan massa dan konstanta pegas di awal sistem!

3.

Kecepatan maksimum dari massa yang berosilasi secara harmonis adalah 72 cnt/s, periode osilasinya 3 detik. Jika massa dilepas dengan displacement awal 1.5 cm, tentukan (a) amplitudo (b) kecepatan awal (c)

Plot hasil dua kurva model getaran bebas, model getaran teredam, dan

Penyebab getaran bebas teredam adalah viscous damping sehingga efek redaman yang timbul dibedakan menjadi tiga kondisi. Sebutkan tiga kondisi tersebut dan nyatakan 4(empat) perbedaan ditinjau dari bentuk kurva, dan harga parameter, untuk masing-masing kondisi!

memiliki periode natural 0.25 detik.

Berapakah nilai periodenya jika konstanta pegas:

SDOF dan MDOF ditinjau terhadap idealisasi benda lamp mass.

3.

87

percepatan maksimum, dan (d) sudut phase 4.

!

Tiga buah pegas tersusun seperli gambar

di

bawah ini. Tentukan

frekuensi alami getaran dari sistem!

5.

Tentukan rumus frekuensi alami getaran dari sistem pegas-massa yang terlihat pada gambar di bawah ini!

-J

6. i I T

Sebuah mobil dengan massa 1500 kg mendefleksikan pegas sejauh 0.015 m dalam kondisi statik. Tentukan frekuensi alami mobil dalam arah vertikal dengan asumsi redaman diabaikan!

r ?


B8

Getaran Bebas Sistem Satu Derajat Kebebasan 7.

Sebuah sistem pegas-massa-redaman dengan m

: 70 kg dan k:

5500 N/m.

Tentukan kondisi berikut (a) konstanta redaman kritis (b) frekuensi redaman natural apabllac = r"12, dan (c) Pengurangan logaritmik yang teqadi! 8.

B9

Turunkan persamaan diferensial dari persamaan getaran bebas sistem satu derajat kebebasan dengan menerapkan koordinat yang tepat dari gambar di bawah ini!

11. Pusat dari piringan

tipis seperti gambar soal no. 8 dipindahkan sejauh 6. Piringan tersebut kemudian dilepas. Jika koefisien gesek piringan

dengan permukaan adalah p, displacement awal cukup dengan membuat piringan tersebut menggelinding dan slip.

a. b.

Buatlah persamaan diferensial dari gerakan untuk kasus ini!

Buatlah persamaan diferensial dari gerakan ketika piringan menggelinding tapa slip!

l-......>r

c. Berapakah perubahan amplitudo persamaan siklus? l-------->-.r

9.

Turunkan persamaan diferensial getaran dari sistem satu derajat kebebasan dengan menerapkan koordinat yang tepat dari gambar di bawah ini!

k

LL

7,.

4t1 Gqmbur So0l No.8

:;

api dengan massa 2000 kg berjalan dengan keceptan 10 m/s dihentikan di ujung lintasan oleh sistem pegas-redaman seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

12. Kepala gerbong kereta

Iokasi getaran

10.

Turunkan persamaan diferensial getaran dari sistem satu derajat kebebasan dengan menerapkan koordinat yang tepat dari gambar di bawah ini!

*--*--r---------{

-t

_
a.

k:

40 N/mm dan konstanta redaman

c:20

N.s/m,

Displacement maksimum dari kepala gerbong setelah menabrak sistem pegas-redaman tersebut.

r 90


b. Waktu yang diperlukan untuk mencapai displacement

maksimum

tersebut. 13.

Untuk sistem yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini, tentukan:

a. Rasio redaman

b. Apakah kondisi sistem underdamped, critical,

c. x(r)atau d(r) 4

x l(F*rm x

tdNtm

Asumsikan penekan diam ketika impuls dilakukan.

r(0) = 3 sm

t4. Untuk sistem yang diperlihatkan pada gambar di bawah ini, tentukan: Apakah kondisi sistem underdantped, critical atat overdantpecl. suatu

nilai kondisi awal.

0.3

tg ' m2

6(01 = 0

f{t1*

3.2

17. Sebuah underdamped shock absorber didesain untuk sebuah sepeda motor dengan massa 250 kg seperli terlihat pada gambar soal No.l7a. Ketika shock absober mendapatkan kecepatan awal dikarenakan adanya gundukan di jalan, grafik hasil displacementnya terhadap waktu terlihat pada gambar soal No.17b. Tentukan besar konstanta pegas dan redaman dari shock absorber jika periode redaman getaran adalah 4 detik dan amplitudo ;r7 tereduksi menjadi t,/a.nya pada t,/z periode berikutnya (x t. s x1/4). Tentukan juga kecepatan awal minimum yang menyebabkan displacement maksimum (amplitudo maksimum) sebesar 50 mm!

:

Rasio redaman.

x(r)atau d(r) untuk

16. Selanra beroperasi sebuah mesin press dengan massa 600 kg mendapatkan beban impuls sebesar 7500 N.s. Mesin dipasang pada fondasi

yang dipararel dengan redaman viscous 9000 N.s/n-r. Berapakah displacement maksimum dari penekan setelah impuls dilakukan/

i(0) =g

a. b. c.

kg ditempatkan pada sebuah fondasi getaran mengalami elastis bebas yang hilang secara eksponensial dengan frekuensi 91.7 rad/s. Namun ketika sebuah mesin dengan massa 60 kg ditempatkan pada sebuah fondasi yang sama dan mengalami getaran bebas yang hilang secara eksponensial dengan frekuensi 75.5 Sebuah mesin dengan massa 50

elastis yang dapat dimodelkan sebagai pegas stiffness 1000000 N/m

:(4 3

15.

91

rad/s, tentukan harga ekuivalen stiffness dan ekuivalen damptngnya! atau overdamped.

untuk suatu nilai kondisi awal.

F'*


2.5

o3rt

x l0{ N,/m Gambar Soal

No.l7

'n

92


18. Turunkan persamaan getaran dari model di bawah ini!

BAB 3

fi

EKSITASI SISTEM

SATU DERA"'AT KEBERASAN

+,

o

19. Sebuah benda bergetar dengan redaman viscous 5 x persamaan detik dan 70 siklus. Amplitudonya berkurang 20%. Tentukan pengurangan logaritmik dan rasio redaman!

20. sistem

dengan redaman viscous memiliki konstanta stiffness 5000 N/m,

konstanta redaman

adalah

3. Jika

lritis

0.15 N.det/mm, dan pengurangan logaritrnik sistem diberi kecepatan awal 0.5 m/s, tentukan

displacement maksimum sistem!

Kompetensi yang ingin dicapai setelah mempelajaribab ini adalah:

l. 2.

Memahami jenis-jenis eksitasi pada sistem satu derajat kebebasan.

J.

Memahami fenomena beatin g.

4.

Dapat menganalisis sistem getaran SDOF dengan eksitasi harmonis,

Memahami fenomena resonansi dan pengaruhnya terhadap sistem getaran.

baik pada sistem tak teredam maupun teredam.

5.

Dapat menganalisis sistem getaran dengan eksitasi harmonik pada base.

6.

Dapat menganalisis sistem getaran dengan eksitasi harmonik pada rotut itrg

7.

un

bala nced rilasses.

Dapat menganalisis sistem getaran dengan eksitasi harmonik pada sistem redaman Coulomb.

3.1 Pendohuluon Suatu sistem dinamis seringkali mendapatkan rangsangan gaya luar atau eksitasi, atau dapat disebut sebagai fungsi eksitasi. Eksitasi umumnya timedependent, misalnya harmonik, periodih impack, ataupun random. Solusi dari persamaan getaran tanpa melihatkan eksitasi disebut solusi dengan persamaan transien, dan solusi persamaan getaran dengan mempertimbangkan eksitasi disebut stlusi dengan persa,naan stealy state. Solusi total desplacentenl dari permasalahan getaran merupakan penjumlahan persamaan transien dan steady state. Eksitasi riil sesunggutmya merupakan bentuk random atau tak teratur, misalnya mobil melaju dengan eksitasi dari kontur

$ 94


jalan, dan pesawat terbang menerima eksitasi dari kontur perbedaan tekanan udara akibat cuaca, sehingga kajian eksitasi harmonik atau periodik digunakan untuk analisis sederhana pemahaman fenomena getaran. pembahasan kinerja idealisasi model getaran fokus pada dua hal, yaitu evaluasi terhadap kurva respons frekuensi dan kuva respons dinamik. Dalam bab ini kita akan membahas kinerja getaran sDoF terhadap beberapa eksitasi dalam bentuk: gaya eksponensial dengan F(t)=Fe e(ot+q)), periodik trigoneometri F(t): F6 sin (ort+@), atau F(t):Fq cos (ot+O), beban impack sebagai impuls, getaran

Eksitasi Sistem Satu Derajat Kebebasan

persamaan 3.1 adalah persamaan diferensial jenis non-homogen maka solusi umumnya adalah:

x(r)= *,,Q)+ *,Q)

(3.2)

benda apung, dan pendekatan eksitasi sebagai gaya dengan deret Fourier. Parameter eksitasi yaitu berupa gaya asumsi trigonometri, dengan ,F6,

I

sebagai amplitudo eksitasi gaya maksimum yang dapat dicapai, ,ot, yang

disebut dengan frekuensi eksitasi. dan

'$'

adalah sudut phase eksitasi

harmonik. Harga 'S' tidak dapat ditentukan secara bebas tetapi harga ini tergantung nilat'F(t) 'pada t : 0 yang umumnya diperoleh dari hasil: pengamatan dari percobaan, data riil, atau asumsi awal. Kajian sederhana umum-

nya '0' berharga nol. Selama mengalami eksitasi harmonik, respons sistenr juga harmonik. Jika frekuensi eksitasi sama dengan frekuensi natural sistem, maka akan nrenyebabkan secara teori kana respons frekuensi untuk rasio .frekuensi sanru clengan sotu atau 'q:1', menjadi tak hingga. Kondisi ini disebut resonansi yang harus dihindari untuk mencegah kerusakan pada sistenr. Dalam kondisi ini desain redanrun menjadi penting, dan umumnya hasil perhitungan teori dengan asumsi redaman untuk sistem getaran dinamik diperoleh lebih konservatif (estimasi harga redaman lebih besar). Jawaban model getaran dengan eksitasi asumsi gaya dalam bentuk qpapun antara lain dapat mengikuti gaya dengan pendekatan aturan deret Fourier. Hal ini merupakan sumbangan solusi getaran yang mengarah pada perhitungan dengan komputer. Koefisien dalam deret dapat diasumsikan sebanyak yang

dibutuhkan untuk mencapai eksitasi gaya ekuivalen dengan persentase kesalahan yann g dapat ditoleransi.

Jika suatu eksitasi dikenakan pada sistem redaman pegas-massa SDOF seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1, maka persamaan gerak dapat diturun-

kan dengan prinsip hukum kedua Nemon. Hal ini disebut

perolehan persamaan getaran dengan Metotle Nevtcttt,menjadi sebagai benkut ini:

tn x+r.x+k x

:f(r)

(3.1)

Metode Newton akan dibahas detail sehubungan dengan pen),usunan persamaan getaran benda Lamp Mass MDOF pada bab selanjutnya. Karena

95

a.

ldealisasiSDOF

-l b. Diagram Benda Bebas

Gombur 3.1 Sislem redaman pegas-massa SDOF

Solusi total displacement ini terdiri dari persamaan transien x1,(t) ditambah dengan persamaan steady state xp(t). Persamaan transien SDOF ditentukan dari asumsi eksitasi dari gaya luar diabaikan, dan solusi transien menggunakan persamaan homogen berikut ini:

,i**"**kx=O

(3.3)

Persamaan getaran tanpa eksitasi atau disebut persomaan homogen merupakan representasi getaran bebas yang akan hilang dengan tiga kondisi seperti yang sudah dibahas sebelumnya mengikuti persamaan 2.34 sampai persamaan 2.50, yaittt kondisi underdampetl, critical, dan overclantped, sesuai syarat kondisi awal. Dalam bab ini pembahasan fokus pada aspek komponen solusi parsial dan xr(t) sesuai dalam persamaan 3.1. Solusi ini merupakan kondisi sistem tunak atau Incompressible System. Persamaan gerak dalam kondisi tunak muncul selama fungsi eksitasi untuk gaya diberlakukan atau selama sistem menerima eksitasi. Jika tidak (setelah sebelumnya menerima eksitasi gaya), kembali solusi persamaan transien dinyatakan dengan tiga kemungkinan terhadap waktu sesuai Gambar 3.2. Dari gambar tersebut terlihat bahwa x1,(t) akan sampai pada kondisi dengan simpangan sangat kecil atau hilang dan x(t) menjadi xr(t) setelah beberapa saat atau setelah t detik. r merupakan waktu yang dibutuhkan dari kondisi getaran

96


mulai tidak diberlakukan eksitasi sampai pengaruh gaya tersebut tidak ada. Bagian dari persamaan urrum yang hilang ini disebabkan oleh redaman sistem. Efek redaman sistem ini disebut bagian transien. Laju penurunan gerakan transien tergantung pada harga parameter sistem getaran seperti k, c, dan m.

merupakan amplitudo maksimum dari gaya eksitasi solusi parsial xo(t). Secara teon, amplitudo ini dapat dicari dengan menggunakan prinsip formula

X

matematik identitas persamaan getaran, atau dilakukan dari subsitusi persamaan 3.6 pada persamaan 3.4, sehingga diperoleh: Fo

(3.7)

A ---'-'------k ntrul'

-

xn(t)

Solusi total dari persamaan getaran dengan asumsi sederhana eksitasi gaya harmonik fun gsi tri goneometri cosinus adalah :

()

x

97

Eksitasi Sistem Satu Deraiat Kebebasan

,(r)=

o(t)

tr

xnQ)+

*nk)= A, cos..D,,t + A. sinlont +;l;cosat K - nto-

(3.8)

0) = xo dan ,(l = 0) - ,r0 , secara kebetulan keduanya menggunakan angka sama, maka dua konstanta dari Dengan asumsi kondisi awal

x(l

-

persamaan 3.8 diperoleh, yaitu:

F

A,=xn-;"",dun

Selama eksitasi berupa gaya diterapkan, dan dipilih unhrk kondisi SDOF tanpa peredarz sistem atau sebagai sistem getaran tak teredarn, persamaan getaran mempunyai eksitasi berupa gaya yang dibahas dalam sub bab ini dengan asumsi sederhana yaitu F(t): Fo cos (ot+O). Sehingga persamaan getaran berbentuk:

x(l) \ '/= ( *n" -

t

Amplitudo maksimum

XI d,,

(3.4)

Solusi transien atau homogen dari persamaan3.4 adalah: co.s

X

pada persamaan

3.7 dapat diperoleh

(3.10) dalam

a,,t +

A,

t_tl,_ro \\

sinco,,t

(3.5)

Sedangkan solusi partisial atau persamaan steady state diasumsikan dengan

bentuk sebagai berikut:

X cosafi

/1 I l\

Io

(3.6)

:

|

n/

1

\

/ k menunjukkan defleksi dari massa yang mengalami gaya 'F6' dan seringkali disebut dengan defleksi pada kondisi bebas statis. Hal ini disebabkan oleh karena 'Fe' merupakan gaya statik yang konstan sebesar )VD,t. Fo/k disebut sebagai Rario Amplitudo atau merupakan faktor penguatan. Kurva rasio amplitudo sebagai fungsi dari frekuensi pada lokasi frekuensi pribadi 6,,

*r(t)=

*- ltt . rrr.clv ,k-ntoc') '" ,)"rrr,,,' +!!-sina,,t (0, " k-ma'

bentuk persamaan berikut:

nt x+k x =F,cos(rutt+$)

= A,

(3.e)

(D

Sehingga solusi umum dari persamaan getaran dengan asumsi eksitasi harmonik sesuai kondisi awal yang ditentukan adalah:

3.2 Eksitosi Hormonik SDOF dengon Bedo Phose

,,,(t)

A,=!t)

R-nlr.lJ-

Gombar 3.2 Sintpangatt Sislem redantan pegas4nassa

Fo

r Eksitasi Sistem Satu Derajat Kebebasan


98

rasio dinyatakan pada Gambar 3.3. Solusi

ini berlaku untuk SDOF

*oQ)=

tanpa

redaman.

-X

cosat

Getaran dengan amplitudo

99

(3.12)

X

solusi steady state dapat dinyatakan dengan

hubungan sebagai berikut: 6,, v ^=;-___lr__ lnl'l l- | -1 lro l \

(3. l 3)

4./

Kurva pada Gambar 3.5 menunjukkan F(t) dan xr(t) sebagai fungsi dari waktu mempunyai tanda yang berlawanan, dengan lokasi puncak dan lembah keduanya pada waktu yang sama. F(t) dan xr(t) selaht dengan tanda berlawanan, dan hal ini dikatakan bahwa keduanya dalam kondisi beda phase 1B00. Perhitungan teoretis lebih jauh kondisi atf ot,,-+co,X->0.

Gambor 3.3 Kwta amplittulo retsio SDOF tanpa redanrun

Respons sistem terhadap eksitasi harmonik mendekati nol.

Dari Gambar 3.3 dapat kita identifikasi respons sistem menjadi 3 tipe, yaitu:

F(t): 4<,or ot

Kasus 1 dengan 0 < to / rrrn <1 Konsekuensi dari kondisi ini, penyebut pada persamaan 3.11 bemilai positif dan respons yang diberikan oleh persamaan 3.6 tidak berubah. Respons harmonik dari sistem xp(t) dikatakan dalam satu phase dengan gaya eksitasi seperti terlihat pada Gambar 3.4. F(t) -

Fo

cG tr

FO

o

:t(t) : -X t'os att

rp(r): .rcG(,t,

Gambar 3.5 Displacement dori Beda phase eksitasi Har.monik ro / or, >1 Gambar 3.4 Displocement dari beda phase elcitasi harrnonik 0 < co / rrrn <1

Kasus 3 dengan ro /
Kasus 2 dengan rrr / ro, >1 Dengan persyaratan frekuensi rasio lebih besar dari satu, tnaka penyebut

pada persamaan

3.ll

menjadi negatif sehingga asumsi displacement

dicantumkan dengan tanda negatif. Solusi kondisi tunak ini dapat diasumsikan dengan persamaan berikut:

I

i I

rl

hingga untuk kondisi frekuensi dari eksitasi harmonik sama dengan frekuensi natural. Fenomena ini dikenal dengan resonansi. Untuk menentukan respons kondisi ini maka persamaan 3.10 ditulis ulang menjadi persamaan 3.14.


100


,(r)= (3.14)

Acos( ,,,/ - O)*

101

jl-cosol --

;

dilakukan dengan membuat analisis harga suku terakhir pada kondisi waktu tak ber-hingga. Aturan hospital digunakan untuk menentukan limit dari suku terakhir ini sehingga persamaan 3.14 menjadi:

*n /\ x(l)=xocosa,,t+,in* ,/ + 6"'l 2 "ir,

n

/

(3.1

s)

x(4

il

/

(3.16)

;,7

(3.17)

<

@,

'-lfr] x(t)=Acos(a,,t-0)- ,6" a, cosat;

Suku terakhir dari persamaan 3.14 menjadi dapat tak terdefinisikan untuk kondisi resonansi dengan o): o)n. Kontrol terhadap resonansi

untuk

1-[el Ir,

untuk

Jt

''

J

Penyelesaian untuk mendapatkan harga amplitudo diperoleh dari persamaan 238 dan harga '$' dihitung dari persamaan 2.39. persamaan gerak yang sempuma dapat diekspresikan sebagai jumlah antara dua kurva cosinus dengan frekuensi yang berbeda. Pada persamaan 3.16, frekuensi eksitasi lebih kecil dari frekuensi natural sistem sehingga respons total dari persamaan ini dapat dilihat pada Gambar 3.7(a\. Sedangkan pada persamaan 3.17 frekuensi eksitasi lebih besar dari frekuensi natural sistem. Respons total dari persamaan ini dapat dilihat pada Gambar 3.7(b).

(r)f.
Gombar 3.6 Kurua SDOF tanpa redaman kandisi resonansi

Kurva pada Gambar 3.6 dari persirffaan 3.15 menuqjukkan pertambahan displacement yang menanjak terus-menenrs atau fenomena resonansi dinyatakan sebagai x(t) yang naik secara tajam sampai tak terhingga. Suku terakhir tersebut juga bertambah secara linier seiring terjadrnya perubahan waktu.

Persamaan umum dari eksitasi harmonik pada satu derajat kebebasan seperti pada persamaan 3.8 atau 3.10 dapat diekspresikan dalam bentuk lain seperti berikut:

(r)l>r Gqmbar 3.7 Respons totalfi'ekuensi natural el
Selain fenomena resonansi, ada juga Fenomena Beating. Pada fenomena

ini, frekuensi eksitasi ntendeknti (bukan sama dengan) frekuensi natural


r02

sistem. Pada kondisi ini juga amplitudo sistem pada frekuensi tersebut memiliki pola naik dan turun. Fenomena ini dapat dijelaskan dengan persamaan 3.10, untuk asumsi kondisi awal xo = *o : 0 Sehingga

ar-@ F^f

n (-

cos@,,t)

cD+t,l..

=-----!r--l 2sin-t

o;-or-t

2

r,l-t,l,, )

sinal

2

I

(3. 1 8)

)

Kita asumsikan kondisi ra sedikit lebih kecil dari at, sehingga 0),,-|l,D=2e

F^

(3.1e)

Tinjauan Parameter Epsilon 'e' sebagai 'nilai atau kuantitas' yang sangat kecil dan positif. Kemudian kondisi frekuensi operasional dari eksitasi harmonik ntentlekatifr"ekuensi pribadi atau ' ,, o,'. Penjumlahan frekuensi (3.20)

Gabungan selisih kuadrat dari kedua frekuensi dengan harga yang berdekatan ini diperlukan untuk disubsitusikan dengan besaran yang sama. Dari manipulasi perkalian persamaan 3 . 1 9 dengan persamaan 3.20 diperoleh:

',-''

=4to

.

sin (et) menyebabkan amplitudo membesar dan mengecil secara berkesinambungan. Eksitasi harmonik pada sistem getar diaplikasikan selamanya dan gaya harmonik ini dapat memberikan pola getaran sesuai fungsi trigonometri eksitasi gayayang diasumsikan. waktu antara amplitudo bernilai nol dengan amplitudo bernilai maksimum disebut dengan periode Beating (t). Peiode beating ini dapat diekspresikan dengan persamaan berikut: 2n 2x rr,=-l]=l.(l) ^

ZE

diasumsikan seperti berikut:

a),,+0)N2a

lm

x(t):--::L-tir",

Kurva penggambaran defleksi kondisi sistem getar akibat tbnomena beating ini, dapat diamati bahwa kurva 'sin (cot)' berkembang dalam beberapa siklus namun 'sin (et)' hanya terjadi dari kondisi bersesuaian dengan satu siklus. Interferensi kedua modus getar ini yaitu, modus transien dengan steady state, dapat diamati pada Gambar 3.8. lnterferensi kurva sin (rot) dan

persamaan 3.10 itu berubah menjadi:

,(/)= {rnl* ul"osz.;:t -

Eksitasi Sistem Satu Der

-

Fre ku e n s i B e a t f n g a;aefrni sikan sebaga i berikut

0/,

=0,

(3.23)

(r)

:

-(UD=2e

r{,)

(3.21)

Dengan menggunakan persamaan 3.19 sampai 3.21ke persamaan 3.18 diperoleh persamaan berikut:

,(r)= (*,,,,,t)sin,,t

(3.22)

Level nominal harga epsilon atau 't' umurnnya sangat kecil. Hal ini mernberi efek fungsi 'sin (et) ' bervariasi secara perlahan dengan periode ' 2nf e ' dan membesar. Peningkatan ini seiring dengan waktu yang semakin besar tetapi meningkat bertahap sesuai harga periode yang sama dengan ' 2xf a '. Getaran baru pada fenomena beating mempunyai periode ' 2xf tco'. Variasi amplitudo dinyatakan dengan persamaan berikut ini:

Gambar 3.8 Rosio eksikrsi rnosstt SDOF

COhtOh,3ll't'

'.i.:,liftri"r,.rl

Sebuah pompa torak dengan berat 150 lb dipasang di pertengahan plat baja dengan ketebalan 0,5 in, lebar 20 in, dan panjang 100 in. plat baja dicramp

pada kedua ujungnya seperti Gambar 3.9. Selama pompa beroperasi, plat mengalami eksitasi harmonik sebesar F(t) : 50 cos (62,832 x t) lb.


105


104

percepatan) sebagai fungsi dari waktu yang disebut kurva dinamik respons. Persamaan umum getaran SDOF dengan eksitasi harmonik denga redaman

Tentukan amplitudo getaran dari plat.

'c' dan F(U)= Fncosatt

adalah sebagai berikut:

nl x++cx+k x =Focosl)t

(3.2s\

Solusi persailruail steady stute dart persamaan getaran SDOF ini diasumsikan harmonik sederhana dengan:

*u(t)=xcos(cor-Q) Gombar 3.9 Skema sistem pornpa torak

Jawab: Plat dapat dimodelkan sebagai batang tetap dengan:

Modulus Young (E)

:

30

x

106

"l' -

Konstanta kekakuan dari batans k

kecuali pada waktu awal penerapan eksitasi gaya cosinus tersebut. Inersia pegas dan redaman membuat perbedaan antara skala harga displacement xr(t)

ina.

dengan skala harga

192'EI

Data harga E dan I digunakan untuk memperoleh k : 1200 lblin. Amplitudo respons getaran harmonik mengikuti yang disampaikan pada p"rru-uun 3.7 dengan harga parameter Fs: 50 lb, m : 1501386,4lbszlin (dengan asumsi massa plat diabaikan), k = 1200lb/in, dan at: 62,832 rad/s. Semua data ini memberikan harga amplitudo sebagai berikut: F to

k-ma'

2oo

-

(t so t saa,t)(oz,as

Tanda negatif menunjukkan bahwa respons

z)'

= -0 ,1504 in

x(t) dai plot out of phase F(t) sesuai arah positif

bersesuaian dengan arah eksitasi harmonik dengan dari yang didefinisikan.

3.3

ekitasi, untuk waktu yang sama. Perbedaan skala harga

ini jika diasumsikan satu periode dengan 2n atau kondisi 360 derajat, maka beda phase sebesar ' Q'. Hal ini berarti bahwa harga displacement ketinggalan sebesar '$' radian terhadap harga eksita.si dari gaya tersebut. Artinya, apabila siklus dbplacentent maju sebesar 'Q' radian, maka periode dari sikius keduanya berharga nol atau maksimum pada waktu yang sama. Substitusi persamaaan 3.26 kedalam persamaan 3.25 memberikan harga maksimum untuk solusi steady state xp(t). Dengan mensubtitusikan persamaan 3.6 ke dalam persam aan 3.4, maka harga konstanta'

50 t

Solusi persamaan ini sesungguhnya merupakan asumsi dan asumsi diberikan mengikuti tipe eksitasi fungsi harmonilg yang dalam hal ini adalah cosinus. Konstanta Xsebagai amplitudo displacement dan Q disebut sebagai beda phase. Dalam literatur lain disebutkan, beda phase disebut juga sudut phase. Umumnya periode displacement hantpir sarna denganperiode eksitasi,

psi dan kemudian,

Momen inersia (I) = I ll2 (20) (0.5f :0.2083

(3.26)

Eksitosi Hormonik SDOF Tonpo Bedo Phose

Respons sistem getaran dinyatakan dalam dua kurva, yaitu kurva rasio eksitasi harmonik terhadap displacement sebagai fungsi dari rasio frekuensi

gaya redaman terhadap frekuensi pribadi yang disebut kmta frekuensi respons, dan kurva parameter dinamik (displacement, kecepatan, dan

*l(o -,,a')co,s(ar - g)- crrr

X

dan

/'

sin(at - O)] =

diperoleh: Fo cos

at

(3.27)

Dengan menggunakan hubungan trigonometri untuk cos-sin, yaitu:

- cos(at -

-

O)

=

cos at cos Q + sin at sin Q

sin(at - 0) = sintgt

Persamaan cos-sin

cos $

ini

-

cos

at

sin$

diterapkan pada persamaan 3.27 dan hasil

gabungan persamaan disederhanakan menj adi seperti berikut:


106

*l(o -

ma')cos g+ cro s,r4] =

xl(t - r,.o')stuS - ca

cos

4 (3.28)

6f= o

Jawaban untuk harga koefisien

X

dan Q dari persamaan 3.28 diperoleh

sebagai berikut:

X-


disertakan sebagai fungsi dari rasio frekuensi dengan notasi r. yaiasi x/6,, dan $ dengan rasio frekuensi dan rasio redaman dengan notasi ( diperlihatkan pada Gambar 3.10. Gambar tersebut menunjukkan salah satu prestasi kinerja dalam evaluasi getaran, yaitr-r Kurva Frekuensi Respons. Secara lengkap persamaan MF dinyatakan dengan dua tahapan berikut:

Pertama, Rumus dasar empat parameter getaran ditentukan, yaitu unfuk:

F^

(3.29)

*,'^ ')% lu,-n,')'

k

(,J =

tn

tr

dan

.

Q=tart

107

5., = *: ,,k

ca )

,(

dan

e

=!c"

defleksi akibat gaya statik F6 dan

(3.30)

lr_;A)

"

=

JL (D

:

rasio frekuensi

n

Kedua, Dengan memasukkan parameter di atas pada persamaan 3.29 dan persamaan 3.30, maka persamaan lengkap MF atau Rasio Amplitudo dengan $ diper-

c

s

oleh:

,

o

,c

MF:{

s

rl! a:

;

(3.31)

6_,

il c

1

1 rasio frekuensi

t - r

4

00

s0

1.[

(a) Gambar 3.10 Variasi ' X dan Q' dengan

2a

1['

3

rasio frekuensi - r (b)

dan

I ,r'-

r

Harga 'X' dan 'Q' dari persamaan 3.29 dan persamaan 3.30 digunakan pada persamaan3.26. Persamaan ini memberikan kurva sebagai solusi steady state persamaan getaran SDOF dengan asumsi eksitasi gaya dengan fungsi cosinus sederhana sesuai persamaan 3.25. Unfuk menyatakan pertambahan faktor defleksi sebagai rasio antara defleksi getaran terhadap defleksi statik maka didefinisikan X/6,, sebagai Magnification factor atau diterjemahkan sebagai faktor aplikasi sebagai rasio amplitudo dengan notasi.l7d,,. Rasio ini

(;)']'.[',nl]'

d

=

tan

I

]

')::-9'-f

[' [,r,J Persamaan 3.31

= ,un

'(#3)

(3.32)

''-''

dan persamaan 3.32 dengan dilengkapi tampilan

Gambar 3.10 memberi penjelasan sebagai berikut:


108

1.

Kurva dari sistem tak teredam, atau kurva dengan rasio redaman sama dengan nol, atau '(:0', dapat menunjukkan dua keandaan yaitu, bahwa sudut beda phase 'Q

:0'

derajat dengan rasio frekuensi untuk r

kondisi 0 :1 80 derajat dicapai dengan r >

J.

4.

<


5.

l.

6.

Harga pengurangan rasio amplitudo pada atau dekat resonansi ini penting untuk menentukan harga c benda dengan cara hasil perhitungan teori ini dibandingkan dengan hasil plot MF dari percobaan. Suatu perangkat lunak evaluasi harga c dilakukan dengan bantuan statistik.

7.

co

= ro n

t-2e'

(3.33)

'X'

-(

dapat diperoleh untuk

,.: [*),,,,.,

=

I ;e

r=

x\ ta I t_l \

rr / O=O,,

t

-2c

satu sama lain perlu diteliti untuk memastikan pilihan

Akibatnya, amplitudo getaran akan satu phase dengan gaya eksitasi. Jika

kondisi dengan sudut beda phase untuk r ))1, maka sudut phase resonansi mendekati 900 untuk semua nilai redaman.

(3.34) 9.

(

ini

Apabila satu kondisi dengan harga 'r' tertenhr memberikan sudut beda phase '$' tertenfu, memberikan ampitudo dinantik'X' dari fungsi eksitasi gaya F(t) tertentujuga. Satu kondisi ini bersesuaian dengan satu kurva prestasi kinerja evaluasi getaran yaitu, Kurva Respons Dinamik yaihr x(t) untuk gaya eksitasi F(t) tertentu. Jika harga Fe diasumsikan relatif kecil, maka harga r dianggap kecil. Untuk harga r yang sangat besar, maka sudut beda phase mendekati harga 180 derajat, sehingga Kurva Respons Frekuensi pada frekuensi resonansi naik secara asymtot.

Harga rasio amplitudo atau MF pada kondisi maksimum displacement atau

(idealisasi model getaran tanpa damper),

Harga sudut beda phase tergantung pada parameter sistem getaran yaitu, harga m, c, k, dan frekuensi gaya eksitasi ol. Pengaruh empat karak-

teristik

Harga 'co' dari persamaan 3.33 menjadi lebih rendah daripada frekuensi ini disebut Frekuensi

=',,r1-l

'e ,lJr'

parameter terbaik untuk produk dengan syarat tanpa terjadi getaran. Sebagai contoh, getaran SDOF te4'adi dan proporsional kasat mata dari displacement yang timbul. Terlihat jika nilai rasio frekuensi positif antara 0.1 sampai 0.9, maka rasio redaman dapat menyebabkan rasio frekuensi menjadi bilangan imajiner yaitu,2l2 < 0.99 sampai 2e'.0.19.

natural tak teredam, atau harga '{rJ,,'. Frekuensi Natural Teredam dengan notasi ' rD4 ', dan:

'r,

Untuk kondisi

grafik' X ' tidak memiliki puncak. Kondisi kedua dengan '(:0' (yang berarti kondisi benda diam), terjadi diskontinu pada r: l. Kedua kondisi ini merupakan penjelasan dari hasil perhitungan teori.

Getaran SDOF dengan redaman mempunyai amplitudo maksimum untuk harga 'r dan ro' yaitu: dan

Persamaan 3.34 dapat digunakan untuk menentukan redaman sistem secara eksperimental. Dalam pengujian getaran, jika respons amplitudo

maksimum dengan notasi ' X,,* ' dapat diukur dan tercatat dari alat percobaan, rasio redaman sistem dapat ditentukan dengan persamaan 3.34. Sebaliknya, jika redaman diketahui maka getaran amplitudo maksimum dapat diestimasikan.

1, atau

SDOF dengan redaman merupakan idealisasi damper dengan 'harga c'. Redaman ini dapat mengurangi MF sehingga MF tidak mencapai berhingga untuk r : I secara teoretik. Redaman memperkecil harga rasio amplitudo atau harga 'X/6,1 ' untuk semua harga frekuensi dai gaya eksitasi yang diterapkan.

f=

109

(3.3s)

Kurva Respons Frekuensi merupakan kurva kinerja getaran dengan harga resonansi pada kondisi ( co < o,,). Sudut beda phase '$' bertambah berbanding lurus dengan nilai redaman. Pertambahan redaman ini dalam kondisi riil, berarti pergantian sistem damper pada sistem SDOF dalam kondisi resonansi untuk ( (D o)n ). Hal ini menyebabkan sudut beda phase berkurang.

)

111

Eksitasi Sistem Satu Deraiat Kebebasan Dasar-Dasar Getaran Mekanis

110

Jadi displacement total SDOF dengan gaya eksitasi fungsi cosinus sederhana merupakan penjumlahan displacement dari persamaan transien ditambah displacement dari persamaan steady state. Persamaan displacement dari persamaan getaran satu derajat kebebasan untuk sistem dengan redaman yang dikenai eksitasi harmonik menjadi:

,(r)= xre-1'"' cot(a,,t -0r)* xco.s(ror-S)

r ,, -q' . , =- , dan persamaan 3.32. ' X6 dan Q6 ' dengan. o,/ = 0, tl I

'X

dan

/'

Gambar 3.11 dinyatakan terbalik, sebagai base seharusnya dibawah. Perpindahan arah y(t) memberi efek untuk kondisi turunan pertama dart y(t) tetapi tidak demikian halnya y(t) diberlakukan untuk turunan kedua. .v(t)

I

t(r -.v)

(3.36)

dari gerakan base yang diasumsikan sebagai simpangan harmonik sederhana. Pakar Fourier memberi solusi dengan menyatakan bahwa, bentuk eksitasi

serumit apapun dapat dijabarkan sebagai sejumlah

'n'

deret dalam bentuk

dua kelompok fungsi harmonik, yaitu bentuk sinus dan cosinus. Sistem pegas-massa SDOF mengalami gerakan harmonik seperti dinyatakan sesuai Gambar 3.11. Jika y(t) dinotasikan sebagai displacemnet dari base (yang nantinya dapat dikonversi menjadi gaya) dan x(t) displacement dari massa dari posisi keseimbangan getaran SDOF pada waktu tertentu, yaitu 't' dalam detik, maka perpanjangan relatif pegas-damper 'x-y' dengan kecepatan antara dua redaman adalah

;'; , dan dengan mengikuti

aturan

diagram benda bebas (DBB). Dari Gambar 3.11, kita dapatkan persamaan getaran SDOF sebagai berikut:

(3.37)

v)

+*

(a)

(b)

Gtmbor 3.11 SDOF eksilasi dari displacement bose

3.4 Respons SDOF dengon Eksitosi Hormonik Bose Berikut ini adalah SDOF getaran dengan input eksitasi dari pergerakan base, landasan, atau fondasi. Dua contoh sistem ini yaitu: gempa, dan mobil yang melaju pada gelombang jalan yang lumayan keriting. Untuk evaluasi sederhana dan bentuk kriting jalan atau bentuk goyangan landasan yang tidak menentu, analisis getaran ini diawali dari asumsi bentuk fungsi eksitasi

r(r -

H,

mengikuti persamaan 3.31

dapat ditentukan dari kondisi awal. Penentuan kondisi awal yang baik berasal dari data realisasi getaran atau dari data percobaan.

relatif

* Y$n0ra

Sebagai langkah awal, asumsikan bentuk gangguan getaran base sebagai 'y(t): Y sin rot'. Persamaan 3.37 menjadi:

displacement harmonik dengan

m x+cx+k x =Asinat+Bsinat Dalanrhal

ini, A= kY(t )

dan B = caY (t

(3.38)

)

.

Asumsi persamaan getaran 3.38 ini, lebih baik dibanding pendekatan c' diasumsigerakan base base, atau kan mempunyai korelasi dengan displacement dipengaruhi harga konstanta pegas dan damper benda di atasnya. Hal ini generalisasi fungsi base menurut deret Fourier. Parameter 'k dan

memperlihatkan bahwa displacement base atau landasan dapat diasumsikan

ekuivalen terhadap displacement harmonik, seperti dinyatakan sesuai persantaan 3.38, yaitu gerakan base diasumsikan menjadi eksitasi gayayang

'kY sin rot * c ro Y

cos rot' terhadap massa. ini diberlakukan untuk tinjauan gerakan benda, sehingga harga xo(t) menyertakan beda phase hanya untuk '$1 '. Persamaan displacement dengan penurunan yang sama seperti

berkerja dengan besaran

Persamaan displacement steady state berikut

yang dilakukan sebelurunya, diperoleh sebagai berikut: kY

nt,\'l--'

l(o

-

sin(at - $,\

,,r' )' * ("r)'_]"

c,lcl cos(r,lr -

l,:'-

Q,

)

**')' *QQ,f%

(3.3e)

tt2


Sudut beda phase terganhmg pada harga parameter sistem seperti 'm,

co

k',

dan frekuensi eksitasi 'cD'. Persamaan 3.39 dengan susunan yang identik persamaan stedy state dengan gaya eksitasi sederhana. Asumsi utama percamaan ini adalah bahwa getaran riil tidak menyebabkan te{adinya separasi displacement antara benda '$1' sebagai phase dan base 'Q2'. Asumsi

ini

dapat memunculkan analisis beda phase dari base dan dari benda.

Persamaan tersebut menjadi

x,,(t) * X cos(rr


113

Jika eksitasi harmonik sebagai perpindahan akibat landasan dinyatakan sebagai asumsi dalam bentuk base kompleks y(t)

:

Re (

Y"''t),

maka respons

displacement sistem SDOF menjadi:

(i=nn{( t*.iz r.' x/'\/ [(l-"+i2(r)

)rn'"'l )

:

Kemampuan mentrasmisi displacemen base asumsi harmonik sebagai:

-0, -0r)

o'*(?)' ' l"'

=rl l(* - n,r')' *(*)'_l

cos(or-9, -$r)

(3.40)

f =1, *

1z

q,1'

)"'

I

a (i,)l

(3.43)

Dengan,

Rasio dari amplitudo respons persamaan steady state atau 'xn(t)' 'y(t)' diberikan oleh persamaan berikut ini:

lu(i,\=lffl=

terhadap gerakan landasan

X v

I

=[10

H(iro) dikenal sebagai frekuensi respons kompleks dari sistem.

o'+(c<,r)' l"' =i

-,,-'y 4*rr

I

Sehingga persamaan untuk ' Q, dan

o=ta,t(*)

r

L(

Qr'

+(zE t_

1- ,')' *( 2(r \, )

(3.4r)

dtperoleh sebagai berikut:

Eksitasi sebagai gaya yang timbul dapat dihitung dari SDOF sistem pegas yang berhubungan dengan base, seperti ditunjukkan Gambar 3.1 1(b). Gaya tersebut merupakan gaya inersia yang bersesuaian sebagai eksitasi gaya pada sistem. Gaya tersebut dipefoleh dari modifikasi persamaan dasar getaran, sebagai berikut:

:tu,, (+#)

F = k(x-l)+,(;-;)

=

(3.42)

) 1:=ratrtfa'l: (.r/ ,or-,( \z e' ,) dt-

Rasio X/I dalam pengertian hasil dari perhitungan teoretik adalah kemampuan benda mentransmisi perpindahan dari base. Dua kondisi ekstrem dapat terjadi, yaitu rasio sama dengan nol atau sama dengan satu sebagai berikut.

:

0 berarti sebesar apapun contour base maka tidak ada gangguan contour base terhadap displacement benda. Kondisi ini (x/y = 0) berarli sistem getaran benda dapat menyerap gangguan dari gerakan base, atau

X/Y

sistem tidak dapat mentransmisikan displacement base untuk benda.

-n,' *

(3.44)

Gabungan dari persamaan 3.40 dan persamaan 3.44 menghasilkan persamaan getaran SDOF yang ditulis sebagai berikut:

F =mazxcos(ror-0, - b,)=Frcos(ort-0,

-0r)

(3.45)

Gaya inersia sama dengan eksitasi, sehingga gaya ini dapat dinyatakan dalam bentuk harmonik sederhana cosinus. 'F7' adalah identik sebagai amplitudo dari harga maksimum eksitasi yang dihasilkan oleh persamaan

berikut: F. KY

\

t+(z

c,

,)'

(,-r')' +(z c, ,)' )

(3.46)


t14

.F/kY,

menyatakan kemampuan benda memindahkan atau mentransmisikan eksitasi gaya dari displacement base ke benda. Istilah

Rasio

transmisi ini menyebabkan gaya dari displacement base disebut sebagai gaya transmisi, selain juga disebut sebagai gaya inersia dan eksitasi gaya. Perlu dicatat bahwa gaya transmisi ini satu phase dengan gerakan massa x(t), gaya sesuai syarat koneksi benda dengan landasan, dan sesuai syarat gerakan inersia. Variasi dari gaya yang ditransmisikan ke landasan dengan frekuensi dan rasio dinyatakan seperti dalam Gambar 3.12. Beberapa nilai

'('

'z=x

- y'

m


z+

menyatakan gerakan relatif massa-landasan, sehingga:

c

z+ kz = -m y + = nta2Y sinat

(3.47)

,(t)

*tl'Y

=

lu, -

_

7

=o.l

ll

f=0(ll

n s

/l

[: Ir I

---* , = ?o, Gsmbsr 3.12 Kruva tesportsJi'ekuensi getaran SDOF base Persamaan steady state dinyatakan dalam z(t) menjadi:

rrr,l'f sil (ol/ -

[(r

(, -r')'

**'Y *("Q'f%

(3.48)

+(zqr)'

Y, atau dinyatakan sebagai y(t), merupakan displacement dari base dan umuflmya y(t) dapat diketahui dari percobaan atau pemberian syarat batas yang diasumsikan. Sudut beda phase benda '0,, ditentukan dengan persamaan 3.42, dan rasio ZY dapat ditunjukkan dengan kurva pada Gambar 3.13. Besar pergerakan displacement z(t) menjadi ukuran terhadap gangguan eksitasi dari displacement base, yaitu y(t). Hal ini dinyatakan dengan rasio z(t) I y(t). ' ( ' merupakan parameter rasio frekuensi, yaitu perbandingan antara frekuensi dari displacement eksitasi terhadap harga

<:o.1

,(t)=

r2

1./

frekuensi pribadi sistem SDOF.

<=0

E

115

O,

)

-,,')' *QQ,)%

=

*:

{

I

I

I

\

)

l/

L

=

ll-ltl

=

ll.lJ

I I

I = tl.l5

\

I

\<[:'lt stt

=li

I

I=ltll

tr tr5 to li:t):.5 l0.ls * r=g*

Jtt

Gumhor 3.13 Variasi VY terhtulopfi'ekuensi rasio

Zin(at -0,)

Konstanta baru muncul dari persamaan 3.47, yaitu 2i,,. Konstanta ini merupakan fungsi dari m, c, 19 dan y(t), serta frekuensi base' Dalam bentuk lain, untuk meirunculkan displacement base sebagai y(t), maka z adalah amplitudo z(t) yangdapat diekspresikan sebagai:

Idealisasi SDOF dapat berasal dari sebuah mobil. Sesuai tujuan analisis, kita akan mengamati respons getaran terhadap gerakan vertikal mobil. Gambar 3Ja@) menunjukkan model SDOF kendaraan bermotor yang bergetar dalam arah veftikal ketika melintasi jalan bergelombang.

I


116


Rasio amplitudo ditentukan dengan persamaan 3.41, diperoleh:

t +(zc,r)'

X

r=lilj.aer =

4##

0,8493

sehingga amplitudo kendaraan adalah:

x

v(t)=Yin,,

-- o,B4s3 Y = 0,8493(o,os )=0,0425m

(b)

(d)

Gambar 3.14 Gererkan vertikal nobil el
Sebuah mesin dengan beban berat 3000

Diketahui: Massa mobil 1200 kg dengan sistem suspensi pegas dan damper dari empat lokasi roda diekuivalenkan memiliki konstanta pegas 400 kN/m dan rasio redaman ( : 0.5. Kecepatan mobil 100 km/jam. Permukaan jalan sinusoidal dengan amplitudo maksimum

Y:

N ditumpu oleh fondasi resilient.

Fondasi resilient berarti antara fondasi dan mesin terdapat sekat berupa peredam dan disambung dengan baut. Displacement akibat beban berat mesin ini seharga 7,5 cm. Operasional mesin menyebabkan amplitudo mesin bergetar sebesar I cm saat landasan dari fondasi mesin mendapat eksitasi asumsi dengan gaya harmonik dan menimbulkan frekuensi natural untuk

0.05 m dengan panjang gelombang 6 m.

Tentukan: Amplitdo dari kendaraan.

idealisasi SDOF tak teredam dari base dengan amplitudo 0,25 cm.

Solusi:

Tentukan: Konstanta redaman dari fondasi,

Frekuensi ro dari eksitasi landasan dapat ditemukan dengan membagi kecepatan kendaraan dengan panjang satu siklus kekasaran permukaan.

a = 2ttf " = zn(

100," 1.?00)!-

3600 )6

\

=

,,,0,

Jawab: rad/detik

dan

z Solusi:

Ditanya

Frekuensi natural kendaraan ditenfukan dengan persamaan berikut:

tr

',,=

i;=

400 x 103

Amplitudo eksitasi gaya maksimum akibat base, Amplitudo displacement dari mesin relatif terhadap landasan. Dengan yang diketahui, W : 3000 N, 5.s: 7,5 cm, X: I cm,

y(r)

= 0.25 sina,,l cm (kondisi resonansi)

c,F,danZ Kekakuan fondasi ditentukan oleh persamaan berikut:

k =wf 6,, = 3oool7,5 = 4o.ooo N / m

\ = 18,26 radldetik

12oo )

Kondisi resonansi

Sehingga rasio frekuensi adalah: -t

20.09 o =:-:-:-::L593 o), 18,26 =

X

0,01

Y

0,0025

y = -Jl-

e =0,1291

hl

a:

o,,atau r = 1 sehingga persamaan 3.41 menjadi:

_,'\_l t *er,)')'t' Qq\' ]

I

118

dinyatakan dengan rumus 'm e o)2 I 2', daTam hal ini 'e' adalah bilangan epsilon. Akibat putaran kedua massa tersebut, eksitasi gaya pada massa total dengan notasi M tersebut timbul. Dua massa yang sama saling berputar berlawanan arah satu sama lain itu menimbulkan kompensasi gaya arah horizontal yang dapat saling meniadakan. Namun demikian jumlah komponen vertikalnya menyebabkan gaya eksitasi yang bekerja di sepanjang sumbu A-A, sesuai Gambar 3.15. Jika posisi angular massa diukur dari posisi horizontal, total komponen vertikal dari eksitasi biasa diberikan dengan rumus gaya sentrifugal yaitu, F(t) : m e co2 sinrot. Persamaan getaran SDOF mesin penyanggah beban

Konstanta redaman diperoleh dengan persamaan:

c=q2Jkm=2x0,1291x

.ooo

x(roo%,r,) =

eo3,o5

t Nstm

Amplitudo eksitasi gaya base atau gaya dinamik pada landasan di mana ' r = l' diperoleh dari persamaan 3.46:

Fr = kY = l{X = 40.000 x0,01 = 400 N Perpindahan amplitudo relatif dari mesin pada percamaan 3.48 menjadi:

z=L2(

0'0025 2

x0,l

291

'r: I'

119



gaya eksitasi dari putaran tidak balance menjadi:

dapat diperoleh dari

u'i*r)*i.x=meo2

(3.4e)

sinat

=o.oo968 m

A

Dengan harga X-Y sama dengan 0.75 dan amplitudo relatif tidak sama dengan Z, atal Z * X-Y. Hal ini menunjukkan adanya perbedaan phase

I

antarax,y danz.

3.5

SDOF Teredom

dengon EKilosi dori Mesin

Tidok Bolonce Setiap benda berputar akan menimbulkan gaya inersia yang juga berputar. Apabila putaran tersebut adalah torak-engkol mesin dan torak-engkol merupakan benda tidak simetri, maka akan menimbulkan kondisi tidak balance, atau kondisi di mana terjadi putaran dengan disertai gerakan ter-

lrrl

A

'{c

sentak-sentak. Akibatnya, putaran menjadi tak dapat menunjukkan kecepatan putar kontinu. Yang terjadi pada kondisi riil, putaran tak seimbang ini tidak

dapat dihilangkan. Kondisi tidak balance merupakan jenis eksitasi berupa gayapada bagian penyanggah mesin (frame atau rumah mesin), seperti pada model sederhana yang dapat dilihat pada Gambar 3.15.

Masa panyanggah

ini

{c

,',:'\ln rrrl

{

r,,rt: crx r,rl

r

r(t)

{e t"

Gsmbsr 3,15 Penyangguh nrusso putar tidak balance

Hasil dari persamaan SDOF sebagai persamaan steady state persamaan

3.49 ini adalah sebagai berikut:

dapat merupakan atau berasal dari mesin lain,

semisal dengan total massa dari mesin yang sama dan dangan notasi M. Dua massa eksentrik diasumsikan dengan harga 'm I 2'. Alasan setiap massa putar

*,,1,1=

bermassa m/2 untuk penye-derhanaan persamaan getaran. Jika kelompok massa putar ada tiga maka massa masing-masing adalah n/3 dan seterusnya. y(t) merupakan displacement dari fiame dan berputar dengan arah berlawanan ' jarum jam dengan 'ro'. Eksitasi gaya sebagai resultante gaya senfifugal

Dengan ' a,,

x

sin(at-o)=,-l+El'lo{,,);""--'']

: {W

', 'X',

dan

'$'

menunjukkan amplitudo dan sudut

phase dari getaran dengan persamaan sebagai berikut:

;i

(3.s0)

t20


mea'

"=[ (t,_ rrr')'+("ro)' )

=

*"( ,\'

rlc) lrr(iro)l


Maka jawab daripersamaan 3.55 menunjukkan harga (3.s 1)

,=_Lrt zr.'

Q.52)

)

Mengacu pada persamaan di atas. puncak resonansi terjadi pada posisi di sebelah kanan dari nilai resonansi 'r :1',.

Sudut beda phase, '$1'. dapat didefinisikan dalam parameter lain, yaitu 'dan'c"=2Ma,,'. Dengan demikianpersamaan 3.5 I dan

",

contoh 3.4

persamaan 3.52 dapatditulis ulang menjadi:

MX

= r'1ru

nle

lU

-,')'

(ia)l

Sebuah skema dari turbin Francis seperli tercantum dalam Gambar 3.16 dengan aliran air masuk turbin dari A ke B menuju tail race yang berlokasi di c. Rotor turbin memiliki massa 250 kg dan efek putaran turbin menyebabkan torsi tak seimbang sebesar 5 kg.n-rm. Jarak sisa radial antara rotor dan stator 5 mm. Turbin beroperasi dengan kecepatan 600 rpm sampai 6000 rpm. Poros baja rotor dapat diasumsikan terletak pada bearing.

(3.s3)

*12c,,1'f"'

Sehingga diperoleh:

r

. ,(zq 'l .-' r\,l \t -r' )

Q,=tan

Tentukan: Diameter poros hingga rotor tidak menyentuh stator pada rentang putaran operasi turbin. Asumsikan redaman diabaikan.

Variasi harga numerik dari 'MX/me' dengan variasi 'r 'unfuk harga,(, yang berbeda ditunjukkan identik seperti pada Gambar 3.13. Harga fungsi M)Vme dinyatakan sebelah kanan kurva. Dengan kata lain, kurva dari ,Q1,

Jawab: Ditanya:

terhadap ' r ' seperti tampak pada Gambar 3.19(b). Berikut ini pengamatan yang dibuat dari persamaan 3.53, yaitu:

1.

sama dengan:

,lt -

'1, ) $,=to,'[, Yt lr-u't dengan'C="/

'r'

Semua kurva dimulai dari arnplitudo nol. Resonansi ditandai oreh pengaruh redaman. Jika mesin bekeqja pada daerah resonansi ini, redaman berperan untuk menghindari terjadinya amplitudo sangat besar

Diketahui mm

M:250 kg, me:5 kg.mm, n:600-6000

diameter poros rotor Amplitudo maksimum dari rotor akibat gaya eksitasi tak balance diperoleh dari persamaan 3.51 dengan c:0 sebagai berikut:

yang dapat menjadi berbahaya.

2.

Pada kecepatan dengan harga ro yang sangat tinggi, MX/me umurrutya menjadi berharga sama dengan satu, dan pengaruh dari seberapapun besar harga redaman sudah dapat diabaikan.

3.

Maksimum MX/nte terjadi dalam kondisi seperti berikut:

!(!!L\=o dr\

me

)

(3.ss)

t

l( Kcluaran air

Gambor 3.16 Rolating wtbulanced nmsses

ri

rpm, dan

6,:5

122


mea!

tl (t,

t<(t

- r')

Harga 'cD' dalam rentang 600

rpm=600x!= ZOn 60

kemudian

sampai 6000 rpnt = '60

Frekuensi natural

yaitu:

cD,,

=

6000

fk

t_

r

2I

r;

tlM- t r*

rad/detik,

= 200n rad/det1k. =0,0625Jk

sebagai berikut:

dinyatakan dalam satuan N/m dan untuk ro :20 rad/detik maka k dapat ditentukan sebagai berikut:

(s *

ro') "(zox)

k = 10,04 x I0n x2

k-

. 3Et 3E(rct'\ I' t'\64 )

Maka harga diameter batang poros rotor dapat dihitung dari harga sudah diketahui sebelumnya, yaitu:

d

(oq)(t o,ot

t o' x' )(z)' = 2,6005 xl}a " snx(z,oz x to'2)

=0,127 m=127

(r) = Fr sinat

(3.s6)

Gumbar 3.17 SDOF dengan Coulomb Damping dan Elaitasi Gaya

Nlm

n=-----:-=-----:-l-l

3nE

:f

nT

berikut:

64H3

mx+ kx+ pN

2n2

Amplitudo getaran dari poros penyangga turbin yang berputar dapat diminimalkan dengan membuat harga r sangat besar. Sebagai konsekuensinya, cD,, harus dibuat kecil dan lebih kecil daripada harga ro. poros turbin merupakan batang cantilever dengan tumpuan jepit sederhana sehingga konstanta kekakuan cantilever dinyatakan lewat persamaan displacement

,4

Setiap gesekan dari getaran benda selalu menimbulkan sifat redaman dari gaya gesek tersebut. Sifat redaman ini secara umum disebut sebagai redaman oleh Coulomb Damping. Contoh dalam sub bab ini adalah eksitasi gaya SDOF dengan pendekatan harmonik sederhana berbentuk sinus. Sifat redaman getaran dinyatakan sebagai gaya gesek yang sama dengan perkalian koefisien gesek dengan gaya normal yang terjadi. SDOF dengan coulomb damping diasumsikan sebagai gaya harmonik f (/) = { sin arl seperti yang

terlihat pada Gambar 3.17. Sehingga persamaan getaran SDOF dinyatakan

rad/delik

'k'

0,005 =

123

3.6 SDOF Teredom oleh Coulomb Domping

me()J2

- tl'')'


mm

ma

k

yang

Tanda pada gaya gesek, apakah positif atau negatif tergantung arah gerakan dari massa, apakah ke kiri atau ke kanan. Jawab persoalan ini secara teori atau eksak dari persamaan 3.56 dapat diperoleh dengan syaratjika gaya geseklebih kecil danpada gaya eksitasi (Fa). Sehingga jawaban menjadi dalam kondisi displacement mendekati getaran harmonik. Dalam kasus ini kita dapat meng-hitung persamaan getaran sebagai persamaan diferensial dari persamaan 3.56 dengan menemukan rasio ekuivalen viscous damping, dengan lrukunt kekekalan energi, yaitu energi yang hilang akibat gaya gesek sama dengan energr yang diserap pada redaman viscous untuk satu siklus sempuma. Asumsi satu siklus motor bakar sempuma dan sebagai contoh adalah motor siklus4 langkah. Peran gesekan teqadi pada seperempat bagian dari satu siklus tersebut. Jika amplitudo gerakan adalahX, maka energi yang hilang oleh gaya gesek adalah seperempat siklgs dari gerakan torak sistem4langkah dari kondisi ideal

pll

yaifi P'IX. Dalam satu siklus penuh, energl yang hilang akibat gaya

gesek

adalah:

LW = 4NVX

(3.s7)

{ 124


Jika konstanta ekuivalen viscous damping dinyatakan dengan

c

, maka

", energi yang terdisipasi akibat gesekan selama satu siklus penuh adalah:

LW =ncc4 osX2

(3.58)

Dengan mensubstitusikan persamaan 3.58 ke persamaan 3.57 diperoleh konstonta ekuivalen viscous damping dan konstanta anrylitudo displacement

Operasional persamaan 3.64 daPat memberikan harga gaya gesek kecil sekali dibanding F6 dari eksitasi gaya. Batasan harga dari gaya gesek PN dapat ditentukan untuk menghindari nilai imajiner dari X. Kita Perlu memiliki batasan, yaitu: 4vN t -( \' , o '[nkN)

atau

steady state,yaifit:

4uN '

(3.se)

TL(UJI

,u(,)=Xsin(at-$) L. A-

-t/

*'')' + (".,,0r)'.]" l,:'-

l ,--\') *(\.,,"'',s)'

(3.61)

I

, -c", - cr, 'ctt c 2nta -

-

4PN 2PN 2ma n aX xm aa X

') I

(3.66)

I

[r_],J

Atau sudut beda phase dinyatakan dalam gaya gesek dari coulomb

,oi,

damping dengan mensubstitusikan persamaan 3.65 kedalam persamaan 3.66 sehingga diperoleh:

Rasio redaman ekuivalen menjadi persamaan berikut: q..,

,u,

'(|;:;cl', ) -,1 "kx l=,o,,-' I.,t \r(-rtIo,

%

l(

(3.6s)

Tc

(,

At:turit

(F, I k\

W

,4

Sudut beda phase 'Qr' diperoleh seperti halnya kondisi eksitasi asumsi gaya harmonik sederhana dengan persamaan berikut ini:

(3.60)

Fo

F"

\J,vL)

*, =,,"

'I

-

4rN (3.61)

nF,,

Konrtontu u,rptifrao ai.ptu..,r"nt steady state dinyatakan dalam rasio frekuensi dan gaya viscous damping yang dilakukan dengan mensubstitusikan persamaan3.62 kedalam persamaan 3.61. Hasilnya adalah: (3.63)

geselq Sebuah sistem pegas-massa SDOF tanpa damper dengan permukaan damping. coulomb tahanan mendapat sehingga SDOf ini dapat diasumsikan SOOF Oiiaealisasikan dengan massa l0 kg dan konstanta pegas 4000 N/m, gaya bergetar horizontal. Jika koefisien gesek 0,12 dan frekuensi dari eksitasi Hr, maka dengan amplitudo 40 mm, tentukan yan-g timbul adalah

atau

t

amplitudo maksimum eksitasi

X (3.64)

dai' Fs'.

rl t26


t27


Jawab: Jika

m:

10 kg,

k:4000 N/m,

Frekuensi pribadi dengan:

Frekuensirasiodiperoleh:

cr),,

p

:0,12,

IT

t_ = \,1*

dan

o = 2Hzmaka,

=W=20 rad/det.

(= a -2x2n 0, 20

=0.6283

t1

t - 0

Amplitudo getaran dan eksitasi gaya maksimum dihitung mengikuti persamaan 3.64 danpersamaan 3.65, sehingga:

t2

Gombsr 3.18 Astutrsi Beban lmpack Sebagai Eksitasi Gambaran beban impuls menjadi eksitasi gaya dari getaran sebagai berikut:

kx+pN=F'(r) untuk tr
mx+

mx+ kxttW

,,,.=--l'::#:!1' ",,-- 4o,nl-1;rre6l-l Diperoleh Fo = 97,9874 N

3.7

SDOF Eksitosi Bebon lmpuls

Beban impuls atau beban kejut dapat terjadi pada benda menimbulkan getaran benda meskipun beban sudah tidak bekerja. Kondisi krusial atau kritis getaran ini adalah efek displacement maksimum yang timbul akibat benturan benda. Efek ini harus ditentukan tetap dalam kondisi aman dari kemungkinan kerusakan benda. Asumsi beban impack menjadi eksitasi dapat dilakukan dengan asumsi bahwa beban impack bekerja dalam waktu tertentu, misalnya antara t1 sampai t2 dengan range waktu ini maksimal 0.1 detik. .Puncak gaya impack dinotasikan dengan Fo, dan Fo dapat diamati dari Gambar 3.18 berikut ini.

tz < t

sDoF dengan persamaan

=0,

(3.68)

untuk t6
I I tak htngea

Data percobaan atau asumsi untuk harga awal, misalnya

kondisi

t:

nol.

Umumnya kondisi awal ini tidak diberikan dengan harga kecepatan atau percepatan diberi harga sama dengan nol karena riil harga sangat kecil sekali. Selang waktu untuk to sampai 11 dan phase wakhr antara 12 sampai I tertentu, berlaku SDOF phase dengan solusi displacement transien. Salah satu dari tiga solusi transien itu kita ambil, misalnya sebagai berikut:

x,(t):e-(a',,(t) (Cr coS o6(t) +C2 sin

ro6(t))

(2.33b)

Berikut ini contoh kondisi awal dengan diberikan harga simpangan awal dengan Jo dankecepatan pada t:6 mernberikan tiga kondisi berikut:

1.

Pada

kondisitolt
Dengan memasukkan syarat awal

ini dalam persamaan 2.33b dan

mendefinisikan frq|
x,(t):

e-(o,,(t) (

Cr cos

co6

(t)

+r (

sin

rrlo

(t))

r,

maka persamaan

(3.6e)

*l

128


t29


yang mengarah ke bawah. Melokalisir kerusakan merupakan pengembangan penerapan getarun dengan eksitasi impack. Displacement akibat ledakan atau beban impack diatur untuk tidak terlalu besar dan dalam arahyang terkontrol.

3.8 SDOF Eksitosi Derel Fourier Beban riil getaran mempunyai amplitudo, frekuensi, Gombar 3.19 Aswnsi delto y,aktu impack sebesar dt

2.

Pada kondisitl lt 1t,, Pada kondisi ini selisih dat', t2 dan tl dianggap dengan waktu sangat pendek, sehingga diasumsikan sebagai 5t, atau slrcrt tluration tinrc dari F(t). Data 6t dalam pendekatan sederhana tidak diperlukan, tetapi untuk ketelitian dan kondisi waktu ini, yang dapat teramati cukup lama dari simulasi pembebanan atau asumsi, maka diperlukan prosedur perhitungan tersendiri. Berikut ini contoh sederhana dengan pengabaian waktu tumbukan atau waktu tumbukan diasumsikan sangat singkat, sehingga kondisi persamaan getarannya menjadi :

m tl2x(t)/ttt2:

I:

Fo

Pada

di

I

(3.70)

(impuls)

Kondisi batas mengikuti pernyataan sebelumnya, cf x(t) / df : I/m dan x(t) : 0. Pada posisi t-; pasca impack, gerakan benda mengubah arah sehingga kecepatan dan percepatannya sama dengan nol. Persamaan getaran phase ke-3 ini mengikuti persamaan SDOF tanpa gaya eksitasi

x(t)::e-(,,r(rtr)

'

selama

0t

r0

:

(ttd

Eksitasi harmonik sederhana dapat dijadikan sebagai deret dan masingmasing bilangan pada deret dengan rumus harmonik sin atau cos mempunyai koefisien. Penentuan koefisien ini dapat dilakukan dengan iterasi sesuai urutan numerik sedemikian rupa sehingga hasil komputasi total F(t) mendekati pendekatanrlll F(t) dari asumsi, atau dari pencatatan riil, atau dari hasil percobaan. Seberapa besar harga 'n' yang dipilih tergantung pada seberapa teliti hasil prestasi getaran yang kita inginkan. Persamaan asumsi F(t) adalah sebagai berikut:

= fip

* fil {oseddf

-

s, (0s

*

&, sinll,.rof

le,ra

l*

*

{13

c*s

3

Hd

ir, sin 3c*rf

i:"

i" .. t&, +... $o sin nr,rof *... . " mu

ccs n{dd

f

sin r*n

f

(3.72)

+

x =o

F{rJ = fta * ) l-t

est

Jawab persamaan steady state menjadi:

dengan

Eksitasi gaya harmonik sederhana

Persamaan 3.72 dapatditulis dalam bentuk lain seperti berikut:

seperti berikut:

*'**r)*k

l.

f{i}

kondisit,
serla periode acak.

Beban riil tersebut dapat dijabarkan dalam bentuk pertambahan deret. Pakar yang menyampaikan hal ini adalah Fourier. Berikut ini empat contoh variasi deret Fourier yang disampaikan sebagai altematif pemberian gaya eksitasi dari turunan atau ekuivalensi terhadap eksitasi gaya riil, yaitu:

sin

(ro6

t - cf)

tr - n 7L n merupakan jumlah

sampai

(3.71) periode yang te4'adi

t1 .

Contoh aplikasi beban impack adalah desain ledakan gedung bertingkat dalam upaya untuk menciptakan ledakan dengan efek peluruhan bangunan

(.rr* c*s }tr{rdf

r

bo,

sin ne*rf} (3.73)

Harga koefisien a,, a,,, dan b,,, dapat ditenfukan dengan masih melibatkan asumqi fungsi periode dalam integrasi waktu tertentu. Ciri fungsi periodik ini harus kontinu. Ketiga koefisien ini dinyatakan sebagai berikut:

il

lr

T

) rF b--:-ljt ? l t" ^

r" i-F

IT &^ =- TJ| r'{r}*fr &_:-

" Tj

I

sinnro*f r{t :

tJt

_& (3.76c)

0

(3.74a)

Jawab SDOF dengan eksitasi asumsi ini memberikan persamaan steady

, 4I ,, "1

'1 6l r

131



130

state sebagai y(t), yaitu sebagai berikut:

F(r)

cnsmr*rnr

dr

F*- \-)

r- sin tt.r"t 1 ,nnkyt - r;1

.,(t-i''\r/ l}

(3.74b)

f"

(3.77a)

r, +'r

tr ^ rl;"

r--l rlt

2.

fl{r}

sir:

nu*r

Atau apabila

rJt (3.74c)

]'(rJ

Eksitasi dari gaya asumsi fungsi step periodik

1a* ?r, f + e;{1- l';J si* lrco*f t'(r] =; *; T I_-

(t t-l \

- dl'"

J.

k-t

Lt

*.

) ------=:;

(3.7s)

F(t) : (Fo/T)t di mana I 'merupakan step waktu yang sama. Bentuk kurva gaya eksitasi sebagai fungsi dari waktu sebagai contoh ini, adalah linear dengan' f(t)' sama dengan nol untuk setiap waktu T atau periode fungsi. Hatga ao, a,, dan Sebagai contoh adalah bentuk step fungsi dengan laxva

.

b,,

dinyatakan sebagai berikut:

1

r

r-

)

{dt: :

ts* -,

r.osnrorrf

n*

df =

.dfiil

1!,&f9

*r -

cu.,,

:

Eksitasi gaya dari fungsi step acak

(3.76a)

s

2 r. a* =F f ,'

fd*

t!

!*

fFo . 0* ; - I *f f{f = 2 " TJT

(3.77b)

Kurva fungsi step acak dinyatakan dengan eksitasi gaya sebagai fungsi dari waktu, dan asumsi gaya linear digunakan untuk pemilihan antarwakhr atau selang waktu step tersebut. Dengan pemyataan lain, fungsi step acak dapat dinyatakan dalam tabel dari sejumlah pasangan harga dai gaya eksitasi F(t) dengan waktu l. Linearitas selang dapat diberlakukan dengan syarat bahwa selang waktu sebagai (tur) sangat kecil dibanding total pengamatan atau waktu total getaran yang dianalisis. Fungsi eksitasi dapat mengikuti persamaan3.72, tetapi persamaan untuk koefisien a, a,, dan b,, sedikit mengalami perubahan dibanding persamaan 3.7 3, menladi sebagai berikut:

{}ir*{):

- S.2r; { ,*rr) tr {r-t * r;J' + {3r,,{} ;c0s

(a)dijabarkan secara deret menjadi:

r*af f* sin f*iof S sin 3<*rf : f$ -:il.fi _ rt)-... _{ilr _.r., 3}rk(t ]I( *t,

:

fl

fl*1

K'T

7 .77

Fn sin

dengan harga parameter getaran sebagai berikut:

ini

dinyatakan untuk bentuk asumsi fungsi hamonik sin-cos seperti sebelumnya, tetapi fungsi asumsi ao, a,,, dan b,,, menggunakan fungsi slep. Bentuk fungsi gaya eksitasi total ini menjadi berbeda, yaitu:

Eksitasi gaya total berikut

r"r.rr."un

*

iI

I {{r}dr

r=l i"_"

1(a

$

"*=l) fr

(3.76b)

-l

4t tut

,,

(3.78a)

li f

lrtOcosnrnr*tdt (3.78b)

f,

132


f"

B.

o. =

f r- i

12, j

: \lr(1-i*?iq{} J^ --:t'r,4-r.\

Fi t] sin x*** { ds

"I'{LJ (3.78c)

(3.81b)

Konstanta n adalah jumlah segment atau selang di mana asumsi linear diberlakukan. Fungsi linear F(t) untuk persamaan 7.78(a) sampai 7.78(c) diturunkan dengan persamaan linear berikut:

Harga'k' adalah konstanta redaman SDOF, dengan 'r,,' merupakan rasio frekuensi unfuk eksitasi gaya ke-n. 'p' merupakan rasio redaman SDOF, yaitu perbandingan harga redaman sistem terhadap redaman

kritisatau'p=c/c.r'. (3.7e) 4.

Eksitasi gaya eksponensial disarankan untuk diubah menjadi fungsi eksitasi trigonornetri, seperli dinyatakan benkut ini:

e'i''t = cos ft),| + isin o,,l

(2.t3)

Persamaan ini merupakan masukan untuk mendapatkan parameter C,, sesuai persamaan 3.81. Fungsi deret Fourier mi'ip persamaan 3.73 tetapi dengan koefisien tanpa konstanta'ao', dinyatakan sebagai berikut: (nn, ros rl.+.r"f

Eksitasi gaya asumsi dalam bentuk Fast Fourier Transform Semua pemyataan yang disampaikan Fourier saat itu belum memper-

Eksitasi gaya dari fungsi eksponensial

r{r} - .l \) L'."

5.

* b- :,in rr..r"t) (3.80)

timbangkan kesulitan dan pekerjaan perhitungan yang melelahkan. Hal ini disebabkan oleh perken,bangan komputer yang belum memadai. Kita perlu mengingat bagaimana perjuangan perhitungan manual yang dikomando Gauss untuk mensukseskan menara Eifel. Eifel adalah guru Gauss dan Eifel menantang setiap muridnya unfuk membuat solusi dari

serangkaian persamaan simultan untuk rancangan menara. Gauss nremimpin pemyataan persamaan simultan Gauss atau Elirninasi Gaus itu yang konon difulis sampai dengan kertas seluas setengah lapangan sepak bola. Suatu fungsi gabungan eksitasi gaya untuk setiap periode didefi nisikan sebagai F (j), y aifr-r: '1i-'l (*r

Fdr)

Harga koefisien untuk c,, dan b,, sebagai berikut: .\j* t

I f,-o* = i ) f(r,Jcosrrr,.r.t. 5t lIr

fu*

,i

F(t.)sinrrcr,f"Ar.

(3.80a)

n

:

(3.80b)

Solusi persamaan steady state bentuk deret dengan koefisien Ol dinyatakan sebagai berikut: I

* : *I F{t,.}e-:*'in;"'v'}" ,'-U

Yl,_V: e*""."

(3.83)

Parameter M didefinisikan sebagai jumlah koefisien eksponensial yang berhubungan dengan jumlah selang atau jumlah penode eksitasi gaya N

*, I-"f -..,

=t

;t -

(3.82)

r)-u

*t

t\=- ) I /;1

u/\t.\

Bentuk persamaan eksponen untuk setiap periode dinyatakan sebagai:

.l;0 Jf

* ) F'c'f n] w'.:"

dari data eksitasi gaya asumsi eksponensial. Jumlah koefisien M dinyatakan sebagai berikut:

rtrr -- ir^H M,.j,

r: = 0,L,2,...

danl/

(3'84)

rn.*p)tun

bilangan integer, dapat dinyatakan dalam bentuk

binari. (3.81a)

Untuk penerapan awal, kita asumsikan periode eksitasi gaya sama M = 3, dan tiga koefisien untuk ' j dan n ' menjadi:

dengan 8, maka harga

*r

t34


i=jo*3jr**y=

r*)=

3.82

(3.8sb)

dapat ditulis

I I I

untukN:

8 adalah sebagai berikut:

t,u,{*)i4"r*+t;r+*r'}{no+Inxr\}

n.=* -t" =S B.=0

Faktor eksponensial $SrJ-*

=

$',*fi

(3.86)

untukN:

iJ'Nr +:i?n*

*J:'t:)

8 menjadi: g1";**rro

tyj"

i;,'r

-r*,

[f*n

oi

+l: i"r. * r*,

1r.rry

Harga F(j) pada persamaan 3.86 merupakan gaya eksitasi dari 8-periode dengan setiap periode mempunyai koefisien fungsi eksponensial masing-

masing. Prosedur

ini efektif untuk

displacement getaran steady state untuk digabungkan (ditambahkan) dengan persamaan transien (persamaan transien sudah dibahas dalam bab-2, pada bab sebelumnya) sebagai solusi total getaran. Persamaan eksitasi gaya yang dibahas dalam bab ini terdiri dari: l. Eksitasi gaya harmonik dengan sudut beda phase, 2. Eksitasi gaya tanpa sudut beda phase, 3. Eksitasi gaya dai putaran mesin tak balance. 4. Eksitasi perpindahan atau defleksi dari gerakan base, 5.Eksitasi gaya akibat coulomb damping, 6. Eksitasi gaya dari coulomb damping dengan gaya harmonik, 7. Eksitasi gaya dari beban impack, dan 8.Eksitasi dari asumsi gaya menjadi deret fourier.

3.10 Perlonyoon untuk pemohomon 1. Jelaskan beberapa pengerlian berikut dan seftakan contoh serta rumus jika perlu: time dependent, phase transien respons, plat out of

phase, sudut phase, displacement transmition capability, rotating balance mass,

dinyatakan sebagai algoritrna

coulomb damping.

komputasi FFT. Pembahasan eksitasi gaya untuk model getaran kembali akan disampaikan pada bab selanjutnya yaitu bab IV. Bab IV mencantumkan sekali lagi

tmtuk bentuk umum eksitasi gaya dengan solusi umum juga, antara lain eksitasi gaya asumsi impuls dengan penyelesaian integral konvulasi, eksitasi gaya berupa diskrit dalam berbagai bentuk, eksitasi gaya berpola transien dari landasan atau base, dan solusi persamaan getaran dengan transfomasi

2.

Pada sistem getaran satu derajat kebebasan dengan eksitasi gaya pada kasus sistem tak teredam akan ditemukan fenontena resonansi di mana frekuensi eksitasi gaya sama dengan frekuensi natural sistem. Fenomena ini menyebabkan amplitudo getaran menuju tak terhingga pada frekuensi mendekati frekuensi pribadi. Akibatnya, fenomena ini akan menimbulkan kerusakan pada sistem getaran. Selain itu juga akan ditemul
'Tiga kondisi respons SDOF terhadap eksitasi gaya dapat terjadi seperti pada respons redaman SDOF tanpa eksitasi gaya'. Jelaskan arti kalimat ini dari kurva tiga respons tersebut, dan jelaskan juga kondisi masingmasing koefi sien eksitasi gaya yang diberikan.

J.

Kembangkan persamaan 3.4 untuk eksitasi gaya harmonik asumsi dengan bentuk sinus guna mendapatkan harga koefisien X, ,{1, dan A2, dan tulis kembali solusi total x(t).

Laplace.

3.9 Ringkoson

135

Eksitasi gaya pada SDOF, memberikan respons sebagai persamaan

(3.85a)

m.:fil**3no*4n= Persamaan


4.

Karakteristik SDOF dengan eksitasi harmonik mernberikan tiga phase respons harmonik mengikuti harga rasio frekuensi. Sebutkan ketiganya dan gambarkan kurva posisi respons harmonik terhadap eksitasi gaya dalam bentuk harmonik tersebut.

5.

Jelaskan fenontena resonansi dan fenomena beating dengan kurva,

ditinjau dari pertambahan frekuensi dari frekuensi eksitasi gaya yang diberikan. 6.

El$itasi gaya harmenik pada SDOF dengan pegas-damper memberikan dua keadaan akhir getaran, yaitu teredam dan tidak teredam. Kedua kondisi ini menggunakan persamaan yang sama, yaifu persamaan 3.4 dan percamaan 3.5. Dengan memberi komentar terhadap persamaan 3.5, persamaan 3.6, dan beberapa persamaan berikuf,rya sebagai pembeda, sebutkan 5 (lima) perbedaan kondisi 'teredam dan tidak teredam' tersebut.

136


3.1I L


dan frekuensi 15 Hz dikenakan pada sistem. Jika inisial displacement dan kecepatan dari massa berturut-turut adalah 15 mm dan 5 m/detik pada waktu 1 detik, tentukan solusi komplit dari persamaan gerak massa

Soo!

Sebuah benda dengan berat 50 N digantung pada pegas dengan konstanta stiffness 4000 N/m. Jika benda tersebut diberi eksitasi harmonik sebesar 60 N dan frekuensinya 6 Hz, tentukan (a) molomya pegas akibat dibebani benda seberat 50 N tadi. (b) Statik displacement pegas disebabkan dibebani gaya maksimum dari eksitas. (c) Amplitudo

tersebut! 7.

Sistem massa-pegas mendapat eksitasi harmonik yang frekuensinya hampir mendekati frekuensi natural sistem. Jika frekuensi eksitasi 39,8

dan 5.75 siklus! 8.

Hz sedangkan frekuensi natural 40H2, tentukan periode beating!

3.

Tentukan amplitudo dari gaya osilasi 30 kg balok ini!

Ip

*

0.68 kg'

*'

Berapakah harga 'Mo' untuk memaksa amplitudo dari displacement angular dari batang seperti gambar di bawah ini menjadi lebih kecil dari 30, lika a : 25 radldetik ?

5.

Lihat sistem di bawah ini. Diketahui x dan y representasi displacement absolut dari massa m dantitik akhir Q dat'. dashpot c/, sehingga:

6.

Turunkan persamaan gerak dari massa

Dari gambar berikut ini diperlihatkan model kendaraan bermotor yang bergetar dalam arah vertikal ketika melintasi jalan bergelombang. Massanya 2100 kg. Sistem suspensi memiliki konstanta pegas 1000 kN/m dan rasio redaman (: 1,5. Jika kecepatan kendaraan 100 km/hr. Tentukan amplitudo dari kendaraan! Permukaan jalan sinusoidal dengan amplitudo

4.

a. b. c.

Sistem massa-pegas terdiri dari benda dengan berat 100 N dan konstanta

stiffness 2000 N/m. Massa beresonansi dengan gaya harmonik p (r) = 25 cosiul,t. Tentukan amplitudo pada (a) 1/4 siklus (b) 2.5 siklus

dari gaya gerak oleh berat benda!

2.

137

9.

I:

0,05 m dengan panjang gelombang 3 m.

Dua buah motor elektrik seperti Gambar 3,3 dengan massa 150 kg, masing-masing memiliki rotating unbalanced sebesar 0,5 kg, 0,2 m dai, pusat rotasi. Motor dipasang di ujung batang cantilever dengan panjang 1 m, terbuat dari baja (E:210 x lOe N/m2). Jika operasi kedua motor itu dari 500 sampai 1200 rpm, berapakah inersia yang diperlukan dari penampang batang agar getaran tak lebih dari I mm asumsikan damping rasio 0,2?

rrT.

Tentukan displacement dalam kondisi tunak dari massa ,r,.

10.

Sebuah pompa sentrifugal dengan berat 600

N dan beroperasi pada 1000

Tentukan berapa gayayang ditransmisikan ke penyangga P ketika

rpm, dipasangi 6 buah pegas dengan konstanta stiffness masing-masing 4000 N/m. Tentukan berapa maksimum unbalanced agar batasan

Qmendapatkan gerakan harmonik y(v)= Y cosott

defleksi puncak ke puncak 5 mm!

m:

.

l0 kg, k:2500 Suatu sistem getaran SDOF Gambar 3.1 dengan N/m dan c 45 N.s/m. Sebuah gaya harmonik dengan amplitudo 180 N

:

I

t. Tentukan amplitudo dari blok dengan massa geseknya 0,12!

5 kg, jika koefisien


138

-**'

y{}}

* I.? x l0-{ sinx$r

m


13. Tentukan amplitudo dari blok dengan massa 15 kg, jika koefisien geseknya 0,052!

4

2x td

139

x

106

2000sin

N/m

l00l

N

H,1m

/p-3k8'm2

Gumbsr sool No. 11

2ZD N.r,rm

t{l(} Lm/ft

14. Sistem pegas-massa dikenakan pada redaman coulomb.

Ketika gaya harmonik dengan amplitudo 120 N dan frekuensi 2,5173268 Hz diaplikasikan pada sistem, sistem berosilasi dengan amplitudo 75 m. Tentukan koefisien gesek jika massa benda 2 kg dan ft: 2100 N/m!

15. Tentukan amplitudo maksimum dari sistem di bawah

Satu siklus 12. Tentukan amplitudo geseknya 0,025!

......{-

y.(r}

o 3.2

Ix

105

tOON.*/m

N/m

dari blok dengan massa 15 kg, jika koetisren

x l$-*,rin 21$

I x lS N/tn

inil

T-

m

1.5

x

to'll/m

0.O2rin 10Or m Gambar Soal No.l5


140


17. Sebuah

. Ix

105

400

N/rr

pompa sentrifugal dengan berat 600

141

N

beroperasi pada

kecepatan 1200 rpm disokong oleh 6 pegas dengan konstanta stiffness masing-masing pegas 6000 N/m. Tentukan amplitudo maksimum yang diijinkan pada kondisi unbalance agar defleksi kondisi tunak tidak melebihi 5 mm peak to peak!

-5*g

=(II,

N.r/m 18.

Suatu sistem pegas-massa-redaman mendapatkan gaya harmonik sebesar

(r): 5 cos 3n t N akan menghasilkan displacement sebesar ,(r)=0,5 ccts(in t-x/3) mm. Tentukan ke{a yang diberikan e

selama satu detik pertama dan 4 detik pertama!

0.0t sin250t m

Gsmbar Sosl No. 16

l15kg

l-

I E-2loxloeN/on2 tr r-4-6xlo-tm'

1"5

Gambar Soal No. 17 16.

Sebuah batang dengan panjang 5 meter, lebar 0.5 meter, dan ketebalan 0.1 m, membawa motor listrik dengan massa 75 kg dan kecepatan 1200 rpm di tengah-tengah batang seperti pada gambar di bawah ini. Sebuah

gaya putar besamya Fo =

5000 N menyebabkan

unbalace pada rotor

dari motor. Tentukan amplitudo getaran dalam kondisi tunak dg mengabaikan massa dari batang!

BAB 4 EKSITASI GAYA SISTEM

SATU DERA"'AT KEBERASAN


l.

Mampu menerapkan metode pemecahan masalah eksitasi periodik nonharmonik serta eksitasi non-periodik.

2.

Mampu menggunakan metode superposisi untuk memecahkan masalah eksitasi periodik non-harmonik.

J.

Mampu menggunakan metode integral convulasi untuk memecahkan masalah eksitasi non-periodik.

4.1 Eksitosi Berupo lmpuls Eksitasi gaya pada sistem getaran merupakan beban atau gaya luar dari

ini sebagai idealisasi dari gaya riil, merupakan persoalan tersendiri dalam mencari solusi permasalahan getaran. Asumsi beban impuls dengan salah satu contoh sebagai beban sistem. Permasalahan idealisasi eksitasi gaya

impack seperti pada pembahasan bab sebelumnya dapat diberlakukan untuk contoh yang lain dan berlaku umum. Contoh eksitasi gaya adalah asumsi bentuk trigonometri, pulsatif, atau fungsi umum seperli Gambar 4.1. Eksitasi gaya tipe impuls dapat merupakan superposisi beberapa gaya dan hasilnya merupakan kurva gaya sebagai fungsi dari waktu yang tidak beraturan, misalnya seperti Gamhar 4.1. Setiap eksitasi gaya untuk selang tertentu memberikan respons displacement harmonik. Jawab persoalan dapat dilakukan dengan memberi asumsi misalnya, kurva impuls dapat dibagi menjadi interval sama, dan respons displacement merupakan superposisi sejumlah segmen atau jumlah delta waktu yang te{adi.

L44


t45

Eksitasi Gaya Sistem Satu Derajat Kebebasan

pendekatan rumus impuls. lnterval mulai dari

dipecah menjadi

'0'

sampai waktu tertentu

'n' dengan jarak interval yang sama, masing-masing

A,t = t /rz.

ini dikatakan dengan implus, antara lain karena pemahaman eksitasi gaya dari impuls total per segment atau interval yang sama. Sejumlah ' ft 'eksitasi gaya sebagai impuls sebesar

Pendekatan untuk solusi masalah

yang diderita SDOF selama interval antara

kLr

dan (t<

+t)nr,

adalah:

(I+/)Ar

I'; SAt (a-2)Ar (, * l)Ar I = rA?

4Ar (o)

=' rL, r(r)at

(4.r)

Nilai rata-rata dari integral kalkulus kAr < r; < (k +l)nc dinyatakan dengan:

persamaan

4.1 untuk ci

ti = F({*)tr

,

(4.2)

Apabila nilai rata-rata digunakan sebagai referensi dengan kemungkinan akan mendapatkan kelebihan nilai atas yang positif, dan nilai bawah yang negatif, maka hasil rata-rata impuls akan mendekati nol. Pendekatan impuls

F(t) xo

"l

ri

?i

ri

f".-

I

(,)

Gumbor 4.1 Diskritisasi intental 0 sampai

Pada bab

?i*r

ini akan diuraikan sistem

t durasi A,r

=

tln

r*k:

dikenakanpada

1,.., n.

SDOF menerinra gaya eksitasi impuls dalam selang sejumlah 'k'. Jlka diasumsikan selang sangat kecil maka pendekatan kurva patah-patah impuls dapat dianggap sebagai kurva hamonik. Berikut ini rumus integral convulasi dari persamaan 4.2 sebagai solusi steady state:

getaran satu derajat kebebasan

dengan bentuk eksitasi umum. Jika berbentuk el
periodik tetapi ticlak

harmonik, maka eksitasi itu dapat diganti dalam bentuk jumlah dari fungsi harmonik. Dengan prinsip superposisi, respons sistem dapat ditentukan dengan melakukan superposisi terhadap hasil respons dinamik, misalnya untuk displacement dari fungsi harmonik, yang dianggap secara individual. Jika sistem mendapatkan eksitasi non-periodik maka respons dinamik menjadi berupa transien. Respons fransien dari suatu sistem ini dapat ditentukan dengan menggunakan integral conwlas i.

Fungsi umum untuk eksitasi gaya bersifat kontinu dari superposisi lain atau dari objek berbeda. Suatu sistem sDoF dapat menerima eksitasi berubah-ubah seperti diilustrasikan pada

beberapa harga eksitasi gaya

Gambar 4.1. Apapun bentuk eksitasi, solusi linearisasi diperoleh dari interval pernbagian eksitasi dan hasil pembagian eksitasi ini diberlakukan dengan

*Q)= IeGl,Q -r)a,

(4.3)

0

Getaran menjadi berguna untuk analisis, umumnya apabila berada pada kondisi under dampirg. Oleh sebab itu persamaan 4.3 menjadi:

1 ,(r)=|fr,,r@d

lrQ)n-;',,t'-')

sin a4Q

- r)ar

(4.4)

d

Persan-nan 4.4 ini digunakan untuk menentukan respons dinamik satu derajat kebebasan, yang dari awalnya diam kemudian diberi eksitasi dalam bentuk apapun. lit
unit dari impuls pada t

:

0 sampai waktu , dan h(t) diberlakukan

khusus

t46



untuk kondisi selain under damping, maka bentuk umum yang tepat dari solusi steady state untuk i(f) kondisi getaran bebas dengan redaman kritis

*(r)= x(o)s-;..,cos

overdamped dan underclamped adalah:

hQ)

I = ln a, cqo

h(t) =

u-"u'/ sin atrt untuk

+ -|

(4.s)

lll

untuk

(

=I

x(o)+ Sot,,x(o) e-E.,, si, rtt,,r a il

'"

[n(r)e-;'"t'-')

sin

,,,Q -

(4.8)

r\t,

o

eontoh4;t

n-(to"t

/

,-

\

mrqa,,l(t -l

unruk

( >I

(4.7)

Respons sistem kondisi kecepatan awal tidak sama dengan nol, diperoleh dengan superposisi integral convulasi dat'r respons dinamik sistetn untuk satu unit impuls pada t = 0. Respons dinamik sistem yang tidak sama dalam

posisi keseimbangan pada kondisi awal t : 0, diperoleh dengan mendefinisikan satu variabel displacement independen baru, yaitu y. Hubungan y(t) denganx(t) adalah sebagai berikut:

y=x-x(o)

Tentukan respons dinamik displacement sebagai fungsi waktu 't' sebagai solusi persamaan steady state terhadap gaya eksitasi SDOF untuk pegasmassa-dashpot keadaan diam dengan eksitasi p

(r) = Fo€-''

.

Jalvab:

Solusi masalah ini dilakukan dengan memasukkan fungsi gaya eksitasi eksporlensial pada persamaan integral konvulasi sesuai persamaan 4.3. Penyelesaian integral memperhatikan selang integrasi dari nol sampai t. Rumus dasar penjumlahan atau penguangan sinus-cosinus menjadi: L

*(r)

Persamaan diferensial dan y@, bentuk baru integral solusi dari identik persamaan getaran, sesuai hubungan pada persamaan sebelumnya, yaitu:

2(a, y* ril, = -

*

(4.6)

eq

h(t)=----------sinh[a.,,,J(= -1,)

'y+

"qa,t

,

Persoalan integrasi ini dapat diatasi dengan memberlakukan solusi numerik.

,n-*ol l?1

(

a),/

L47

o'' n,

cq

*(o)*

= ffirral -l-

t Foe-ot "-(o',,(t-'l sinr,o,, "

(t - r)ar

F" Q) ill ",,

Jika digunakan integral convulasi sesuai persamaan 4.3,maka diperoleh contoh salah satu parameter respons dinamih yaitu displacement. Jawaban persamaan steady state dalam bentuk persamaan integral menjadi berikut ini:

*Q) ='11-t",* (o) + r",

'

(t)f

h(t - r) dr

Solusi umum untuk sistem getaran dengan eksitasi gaya asumsi impuls underdamped masih menyertakan integrasi

Sebuah penekan sebagai bagian dari mesin press dengan massa

di

'rl'dipasang

atas fondasi elastis'dengan konstanta kekakuan 'ft'. Selama operasi, Eksitasi getaran mesin ditimbulkan dan gaya penekan pada mesin tersebut dengan kondisi awal 't : nol dengan F(0) = nol'. Kemudian eksitasi gaya secara linear menjadi bemilai 'Fspada saat ts', seperti diilustrasikan Gambar 4.2. Tentukan rumus respons x(t)i penekan pada t < t0 dan t > t0.


148

Untuk t > tn makaintegral konvulasinya menghasilkan:

T'I

*(r):

Ll'i mq)il

t6

-

Gambsr 4.2 Eksilasi gaya untuk Contoh 4.2

Fuasina,,(r t,,

ltt

F.. ,, [._cosro,,

I nl(UJ,,t0l(U),,

Jawab:

ldr+ '!,,F,,, in *,,(, - r) rr]

(t _ r\+{.,i,,,,,(t

t

Pernyataan matematik, agar dapat dinyatakan dengan rumus, perlu definisi sebagai: dua fungsi kontinu (sesuai syarat keberlakukan range waktu dari kurva gambar 4.2), dan kondisi non-diferensiabel pada t". Eksitasi gaya asumsi step impuls dari gambar 4.2, dapatdiekspresikan sebagai berikut:

o(,)

F^t ,,

{ F, t2tn Persamaan integral konvulasi untuk sistem underdamped menjadi:

| ,(r)=Incqail tr

[r'(r)sin ,,,Q i

Tahap pertama, integral untuk t <

,(r)=

I

1l

111",,0,

[F, i

ltln

L(D,,

=

t

- r),1t Integral konvulasinya menghasilkan:

co,Q

In

Fo - til(o,,to [-.o.

t,,

- l,rcos,uc,,(t1,, =;-',i,1*J__Lro,

)+

J-

rina,,(t

-

,,

,r- rrl,=:

t,,

I

I ,,,

0),

a,,(t

-tr)

4.2 Eksitosi Goyo Bergonti-gonti Selong

t
t,

=

t49


- r)ttr

Aplikasi rekayasa untuk kasus riil dapat merupakan eksitasi gaya suatu getaran dengan asumsi getaran terjadi pada kondisi waku diskrit dan bentuk eksitasi gaya tak beraturan. Rumus respon dinamik untuk displacement kondisi ini dinyatakan dalam rumus matematika, dan rumus ini kontinyu secara sepotong-sepotong mengikuti setiap selang nilai waktu diskrit. Kondisi eksitasi gaya seperti pada kasus mesin press atau penekan pada contoh 4.2, tetapi gaya pada konsidi aal sama dengan nol. Rumus sebagai eksitasi ini umunmya linier.Dalamrange atau selang waktu tersebut, eksitasi gaya dapat mencapai titik maksimum misalnya pada'ts' . Bentuk matematika persamaan dari respons penekan menjadi berbeda untuk t
fungsi step, yailu: to,,(t

-r)+ {rin a;

F^( I r o,,l ) ----i-l rt), nto;tu( - -sl.n )

I

,,,Q

- )1

l.=o

,O={",

t<0 t>0

(4.e)

Respons dinamik displacement dari fungsi step persamaan 4.9, dapat dinyatakan dengan gaya konstan Fa untuk waktu lebih besar dai,' tg' . Hal ini direpresentasikan Inenggunakan keterlambatan unit fungsi step, sebagai

berikut: =

"(,) {

ttn

(4.l0)

150


Gunakan fungsi step untuk menyatakan gabungan persamaan matematika eksitasi gaya pada Gambar 4.3(a) sampai gambar a.3(c).

Jawab:

Untuk Gambar 4.3(a), fungsi merupakan harga konstan Fo. Apapun waktu yang terjadi, nilai fungsi tetap Fo, atau F(t) : Fnsesuai yang dinyatakan untuk to,

151

Fungsi step eksitasi gaya Gambar 4.3(c) merupakan gabungan fungsi linear dengan fungsi eksponensial. Fungsi gaya untuk waktu tertentu,

Contoh 4.3

waktu


sehingga dapat ditulis:

r(,)= r,luQ)-u(t -t,)l

dinyatakan dalam harga respon dinamik displacement menjadi:

r(,)={l"ftl-r(t -h)f+ Foe-"Q-"') uQ _ to) Banyak fungsi eksitasi gaya kondisi

riil yang

ditemui dalam rekayasa

merupakan, kombinasi antara lain dari impuls, fungsi step, fungsi ramp. fungsi penurunan eksponensial, dan bentuk pulsa sinusoidal. Ada juga fungsi eksitasi gaya yang tidak dapat didefinisikan secara matematis sehingga umurnnya fungsi riil ini diestimasikan denganfungsi pendekatan. Tabel4.l

menyediakan respons dinamik dari eksitasi untuk sistem satu derajat kebebasan atau SDOF dengan eksitasi yang umum dalam terminologi delay waktu to. Solusi respons dinamik dari eksitasi gaya sesuai Tabel 4.1 ini, diturunkan dengan persamaan integral konvulasi sebagai berikut:

lr(r)"(r - to)dr = ,Q - to)[r(,)a,

0

(4.11)

to

I

penu runan eksponensial

Gunakan integral konwlasi untuk menurunkan respons dari sistem tak teredam SDOF dengan massa m dan frekuensi naturan q, dan benda mendapatkan eksitasi delay eksponensial yang tertera pada Gambar 4.4 dan Gambar 4.5

Jawab: Gombar 4.3 Variasi fungsi step eksitctsi gaya untuk Conloh 4.3

Fungsi step Gambar a3@) terdiri dari 3(tiga) sesuai berlaku untuk tiga selang yaitu, 0 < t < L, L S t ( 3to , dan 3t < t < 4L . Persamaan eksitasi

menjadi:

Fungsi eksitasi gaya F(t) menjadi: F(t)

:

F" e-o(t-to) u(t-L)

Persamaan integral konvulasi untuk masalah

FQ)={ua>"a -r,)]*

F,["Q

-/o)-

.*(o -:,)k,n-3ro)- u(r -u)l

"Q

-tt,))

*@=

ini adalah:

n,,i ,lu1t -to)sinco,,Q -r\tt -!9-'1o tn,\(ot

i

t52


r(t)= u(t -,");h'1n 'u-'"'sin

Eksitasi gaya sering merupakan superposisi atau kombinasi linier dari beberapa fungsi eksitasi gayayang memiliki respons dinamik, seperti pada Tabel 4.1. Bentuk umum dari eksitasi gaya ini, berubah bentuk pada kondisi

- r),tr

ar,,(r


diskrit dengan

FQ)=f

t1, t2,

r,QbQ

i=l

"1---_.

...tn, yaittt'. (4.12)

-,,) Respon h-npuls

f6 tidli.*

{sl

.l_1_ to

lo

-"lfl,{{

(rl

.'t

tsnr.4Gsu

El

-

Fo{(l *. ld6i

$id4

* r.'hl

p(,

-

F;r/'r&P{r

-

Dela-v Fungsi Step

f(l) = nrr (t - to) (gaya cksitasi) tnainr{r}i A = [l - colar" (f - fu,,1 (t

IT

?.0

0,8

1J

tttt r.0 rl

.lt

0.6

rol

-**r

16

IiF"{tf

-.a!&(t-,al

Gsmbar 4.4 Breaklonu eksilasi dari Gambru" 4.3 menjadifungsi dengan unit step

l1i

!.s

0.d

0,$

0.t

\

-

Eksitasi Stcp Dclay

4&,

I

* fol^ |

-oJ

-t

,&i

**-- --l*:- "1*:* };t46u(r,!

0J

^fl-o

-+ ''\*

-rJ

- r,.rb}!tr* }ro}

I I

al

t,.

F$r'r$

qr{r

I

Eksitasi lmpuls

[0

00Jlt5

12,5

0,0

t Gambar 4.5(a) Respous dinamik tak teredam eksitasi lmpuls dan Step Delay

t54


Delav Fungsi Rartp

f (r).:

(

+ ,)( (, - ,o) U + A/A -

A,

,ta@:\
{ro

* D/d) cu a, (t *

Eksitasi Delal'Rarnp :l

?l

{lri

I

o

o.,1 I

r-s 2

,t nqait[)/,q

Respun

1\

Persamaan 4.13 sebagai persamaan steady state ini, menunjukkan bahwa harga total respons dinamik displacement merupakan penjumlahan dari respons masing-masing suku individu sesuai selang waktu dislait. Kondisi awal dapat diberikan tidak nol dan kondisi ini tercakup padaresponfl (t).

. i

r::r:

Contoh 4.5

I

= [d-('-*, + d/@d siec,' {r * ro} *- cor4& {, * ro)l/ (f .+ ar Sa}\ u 1t *

tn1

Rcspons untuk l)clav llkslmncrr

c*O.5

Gunakan rujukan dari Gambar 4.5(a) dan Gambar 4.5(b) untuk membangun respons dari sistem satu derajat kebebasan linier dengan massa ' ill ', dan frekuensi natural ' a,,' kellka benda mendapatkan eksitasi berbentuk pulsa sesuai Gambar 4.6.

?_5 2.O

l.s

fr, E1

o"4

il

o.? 0.o

t

t.5

1.(,

o..l 0.o

*oJ - t.o

lr

l)ela.y lrungsi Sirrus

f(r) : , rln

@

t, -

!4) s

t, -- ,o)

^'*'4't!) I lf --l = 3[\alo,-tl' A

.

Iiilrplr\

)1,i,,-t, *16) -sinqJ

(t;a:)

r.J

155

l

0

I

:>,r (i

tn

,

Eksitasi Delav Eksponeu ,-2

_ siqo, (, _,al l@"lult _

Respols turtuk l)elay Ramp

tl EIx r

o

ro}

Eksitasi Gaya Sistem Satu Deraiat Kebebasan

[cind(' -'{) + ct*^t},(r

-

-

t)

*o}

+

Respons Dclay Sinosuidal

Eksitasi Dcla1, Sinosuidal o*{.O

Fot/tru(t

f,[

l.o OJ

3l- ou

Yl =rl O --.lrq ' -l

;l

-o-J

-

1.0

* t.5

rr}

?}fi(r* {{dr, --?}n(I*rl} 4{drr

"t

-4 {r/tt -lJa{r

*bl

Gsmbar 4.6 Pulsa segi-3 serta breakdownnya dari Contoh 4.5 Gombar 4.5(b) Respons

)ir*ri*

tak teredcun eksitasisinus

o"r;

ramp-ekponensial

Bentuk umum persamaan steatly state dai jawab penerapan integral konrulasi untuk eksitasi gaya sesuai persamaan 4.12, menghasilkan:

Jawab: Pulsa segitiga sepefti Eambar 4.6 dapat ditulis atau dirumuskan sebagai penjumlahan dan fungsi ramp yang berbeda. Respons dinamik eksitasi gaya

akibat dari pulsa segitiga

,(r)= Zu(,-t,)[f,(rltQ - r),t,

(4.13)

ini

diperoleh dengan menambahkan dan

mengurangkan beberapa kemungkinan eksitasi dari asumsi gaya sederhana

.


Respons dinamik berupa displacement persamaan steady state dari masingmasing fungsi ramp mengacu pada rumus di bawah ini:

Penyederhanaan hasil persamaan dalam interval waktu menghasilkan:

t

*Q)= *.Q)- *uQ)* *"Q)- *,Q)

I

Dalam hal ini respons individual dipilih dari yang tercantum dalam Gambar a.5. x,Q) ditentukan menggunakan fungsi ramp dari Gambar 4.5 dengan rumus serta koefisien. yaitu:

l.

Dengan A = Fof t, , B

*,Q) =

2.

Dengan

3.

uk)=

Untuk

=

t6:0,

dan

nta),t

I

=

-A=l : mttl,,'lt,

x"(l)

B

:

cosa,, (r

-

Fo

lt,

,

- !- +

{rtrt "

r,,Q

"

r,,Q

-1,)-

-1,)-

sin o),,t

sin

a;,,r]

3

nt i E

t7, sehingga diperoleh:

T!

sinat,,(t - t )fu(t - r,) - _1" 0,t, )

I

diperoleh:

-,,)*L,,n,,(, -,,)],{,-,,)

2

,,." I i}"0 t tt *l

-, -t

I

Untuk x, (r) Aitentukan menggunakan fungsi ramp masuk dari Tabel

- - Fo/ tr, B = 2 Fo, dan t6: 2t 1 dengan: I x.(r)=-5-l( -; 2t'))'(t - zt,1 nr,r,,). qrtin.,"(t [\

(t)

4.1 dengan A

, r) t

tt < t < 2tl

- sin r,,Q - zt,)) t > ztl

lr i] 4t

!L

A- - Folt, , B = 2F,,,dants:17, cos..,,(,

z

l _l

altentukan menggunakan fungsi ramp masuk dari Tabel

#l? )

2

o
I

filrt

sehingga diperoleh:

0, dan t6=

r, )

lnail

I

| - a),,t ,inr,,t

Respons masing-masing komponen diperlihatkan pada garnbar di bawah ini.

r1n r,,,

Ltt

Fo

x(r) =

*uQ) yung ditentukan menggunakan fungsi ramp masuk dari

4.1 dengan

*, (r)

0,

l-l t- -1@,lt

Tabel 4.1 untuk

*

:

t57


a

ll B

lo

.I It

bt t

Gumbur 4.7 Plot Solusi Resprtns Dinamik untuk Soal 4.5

158



4.3 Getoron Akibot Eksitosi Londoson Sistem mekanis dan struktur banyak ditemukan bertumpu pada landasan. Shuktur ini mendapatkan eksitasi gaya dari getaran landasan. Getaran landasan dalam bab sebelumnya diasumsikan, tetapi dalam bab ini Getaran landasan umumnya bersifat tidak mempunyai periode tetap atau nonperiodik. contoh getaran dari landasan adalah sebuah ban rigid yang berjalan di sepanjang kontur permukaan jalan. Dalam hal ini tekanan ban pada kontur jalan yang tidak beraturan. diteruskan ke sistem suspensi mo-bil sebagai getaran dari jalan. Gempa merupakan contoh lain eksitasi gaya dari landasan (gerakan bumi) dan eksitasi gaya dari gempa bumi. Getaran gempa diteruskan pada sfiuktur gedung.

Gerakan

sDoF berasal dari displacement

landasan

'y(t)'

159

( l, .z\

rl {t-6 X = tan-'l ---;-

dan.

\e

;

|

)

Jika displacement diketahui, maka persamaan ini dapat diturunkan untuk

menghitung kecepatan. Sementara itu, persamaan 4.16 dapat digunakan untuk memperoleh solusi sebagai berikut: 'x+

2(o,r* r,,', ='2Co

,

y

(4.18)

-*,,'y

Apabila diaplikasikan pada integral konrulasi dari persamaan 4.18, diperoleh:

,(r)

dan displa-

= -nr",,'1,2qlo,,r1.1* ,,,'

y(r)

h(t - r)rtt

(4.1e)

cement relatif antara massa dan landasannya terhadap massa dengan notasi 'z(t)'. Persamaan getaran ditentukan terhadap massa dengan landasan, melalui pegas dan redaman viscous secara pararel, yaifu:

z+ 2(a,, z+

tD,,2

z=

-y

(4.14)

y(t) merupakan gerakan dari landasan.

Ifta z(0) = 0 , maka ,(o) = 0 . Sorusi

atau jawab dari persamaan getaran

4.14 nrerupakan persamaan integral konvulasi. Displacement relatif z(t) dengan persamaan steady state solusi persamaan getaran ini adalah:

,Q): *",'fi{)iQ - dtt,

Tentukan respons displacement relatif persamaan steady state dari balok dengan massa-r, yang dihubungkan melalui pegas kekakuan ft dengan gerak getaran dari landasannya. SDOF mendapatkan gaya eksitasi dari landasan, berupa pulsa kecepatan seperti terlihat pada Gambar 4.8. Gunakan persamaan 4.16 dan 4.15. Jawab: Persamaan matematika untuk gaya eksitasi dengan pulsa kecepatan sesuai Gambar 4.8 adalah:

(4.1s)

,O=r["@-"Q -q)]

Persamaan 4.15 dapat ditulis dalam bentuk lain. Hal itu dilakukan untuk pembahasan tidak melibatkan percepatan, melainkan pembahasan dengan pendekatan kecepatan sebagai yang diketahui. Integrasi persamaan 4.15 dilakukan untuk mendapatkan solusi dalam bentuk kecepatan landasan, yaitu:

,p) =,,

",,1t(ol,(,)

dengan. i,1,1=

-' 1 r@i,Q - 4,, rf

--!!sin(at,,t rtt..,,{l (-

o(r) a

(4.16)

Gambar 4.8 Pulsa kecepatan untuk Contoh 4.6 a.

- x)

(4.17)

Syarat awal sebagai asumsi untuk konstanta persamaan getaran dilakukan dari definisi syarat awal dengan

u(0)=0

,

dan

,(O)=O

160


Eksitasi Gaya Sistem Satu Deraiat Kebebasan

161

Kita gunakan persamaan 4.14 dai, sistem tak teredam untuk memperoleh persamaan respons displacement z(t), dengan catatan berlaku untuk

X=

0

dengan sin(a,,t

penerapan catatan

ini

pada

4.16 akan menghasilkan:

persamaan

,Q)=

- "l 2) = cos iuotlt .

-, fu(r)-u(r - 6)fcos0,,Q - rV, 0

Mobil dengan idealisasi SDOF sebagai suatu roda kendaraan dengan m : 900 kg, k : 80,000 N/m dan (: 0.2 , Mobil tersebut melintasi gundukan seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Tentukan persamaan kecepatan respons dinamik sebagai persamaan displacement relatif mobil dengan landasan steacly state . Kecepatan mobil melintasi gundukan konstan sama dengan 20 m/detik dan panjang gundukan (d) adalah 80 cm.

,Q)= - ,l

,Oi

1r",

Ld._l

=

f

,,,Q

- r\t r - uQ - 6)'!cosc,),,Q - in ,1

[.t" ,,,Q - h)uQ -ro)-

sin(a;,

,t\,@]

Percepatan landasan diperoleh dengan menurunkan kecepatan landasan terhadap waktu. sehubungan dengan fungsi kecepatan yang merupakan fungsi step, maka percepatan sebagai turunan fungsi step adalah fungsi impuls. Penurunan tersebut dinyatakan sebagai berikut:

'i(,)=,[a(r)-a(,-+)]

Jawab:

Harga kecepatan mengalami perubahan pada t : ta sampai t : t. Perubahan sesaat dari kecepatan ini menghasilkan simpangan sebagai persamaan steady state relatif antara balok dengan landasan dan eksitasi gaya diterapkan sebagai impuls. Substitusi percepatan landasan aryn/ ke dalam persamaan 4.15 menghasilkan persamaan sebagai berikut:

,

(t)

=;i[uf'l

- 5(,

-

to))sna,, (t - r) ar

Model matematika dari gundukan sebagai input gaya eksitasi landasan dinyatakan dalam koordinat horizontal permukaan jalan, '\'. Harga 'u' dihitung dari persamaan 4.9 dan persamaan 4.10, sehingga:

I

y(\)= hlr_co,,

/-r\l-

[f.j]t,

_,(e _a\)

Dengan harga d : 0.8 m maka diperoleh h : 0.01 m. Jika kendaraan melintasi gundukan pada t : 0 dan setelah melewati gundukan dengan kecepatan yang dipertahankan konstan sama dengan v, maka

C.

Integral ini dievaluasi dengan menyatakan sebagai fungsi gaya eksitasi berikut ini:

ju(,- 4)f (r)ar= "f (t,),(t -t,) Perpindahan relatif ditentukan dengan persamaan sebagai berikut:

,(r)= J-[sin 0,

ar,,Q

* h\rQ -

4)-

sin(at,,t)uQ)]

€ = rt

.

Displacement vertikal dari roda adalah:

,-!)) -,(-('" v )) t d' ))l'

y(r)= nl r-,o,'[s,)-l[,

L

Maka integral konvulasi dari bentuk persamaan 4.19 digunakan untuk menentukan respons dinamik persamaan steady state sistem. Kecepatan roda dinyatakan sebagai berikut:

162


, (,) =,(+),,,(+,)1, - "(, -

g1

Asumsi syarat batas kondisi tni adalahy(0):0 dan y(d/v) :0, maka tidak diperlukan tutunan yang mengikuti prosedur dari pengerjaan fungsi unit step.

4.4

Solusi

dengon Tronsformosi Loploce


dapat dilakukan mundur atau dibalik dengan menggunakan properti dari trasnformasi sebelumnya berupa 'tabel fungsi-s'. Pasangan bentuk trasnformasi sesuai yang diberikan. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk memecahkan persamaan linier dari ODE dengan menggunakan konstanta atau koefisien polinomial. Contohnya adalah eksitasi gayayangditulis dalam

rumus matematika yang dipadukan dengan menggunakan fungsi step. Teorema shifting membantu mendapatkan bentuk transformasi dan meng-

Transformasi Laplace skala linear digunakan, sehingga bentuk fransformasi Laplace adalah:

,

{';l++2('t,,, {;}+

cukup. Misalkan

i(s)

adalah koordinat umum transformasi Laplace untuk

sistem satu derajat kebebasan, atau:

i(,)=

!*QP-" at

0

at}i(s)=X

(4.21)

Propefii untuk fasformasi dinyatakan sebagai penurunan dari persamaan untuk:r(/, kemudian properli diganti dengan dinyatakan ke dalam lrrsamaan

aljabaruntuk

x(s). Hasil fansformasi

diaplikasikan pada persamaan 4.21

menjadi:

.,'x(s) - sx(a)- -(r)

+

2(a,,['*(r)- -(r)l+ L

I

r,r,'x(s)

: F(') frt",

Persamaan di atas disusun ulang menjadi:

evaluasi inversi dari transformasi tersebut.

Transformasi Laplace tidak mudah digunakan seperti halnya integral konwlasi. Untuk dapat menggunakannya maka diperlukan pengalaman yang

P",(')

x+ 2(a,,x+ cojx =

Metode transformasi Laplace adalah suatu metode yang tepat untuk menemukan respons dinamik dari sistem akibat eksitasi berupa gaya. Metode ini didasarkan pada properti atau s{ot getaran yang sudah diketahui dari transformasi persamaan ordinary diferensial (ODE) menjadi persamaan aljabar dengan menggunakan kondisi awal. Persamaan aljabar ini diharapkan dapat menjadi jawaban atas permasalahan dari transformasi. Trasnformasi ini

163

.-/.-\

--

\-

t

#.

(.s

+

2(a,)*(o)+,10;

r4

s2 +

2(a,,s +

(4.22) tD,,'

Definisi dan linieritas dari transformasi balik digunakan untuk mendapatkan persanman steady state respons dinamik displacement x(t) sehingga

menjadi:

x(r)= t

L'

,l I

tfr,,

.s'

l1 l) +(0 ,Tl*r

+ 2ea

s

'

(s + 2(ro,, )x ( o) + x(o s2 +

(4.23)

2(a,s +a,2

1

Didefinisikan F(s) sebagai transformasi Laplace dari fungsi eksitasi gaya yang diketahui. Bentuk spesifik dari gaya eksitasi F(t) dlhitung dari definisi transformasi yang digunakan. Hal ini dilakukan dengan mengacu pada tabel pasangan Laplace dan menggunakan properti dasar yang berkonjungsi pada tabel tersebut. Misal, untukpersamaan gerak sebagai berikut:

ini

Transformasi balik dilakukan terhadap masing-masing suku persamaan 4.23.Hal initergantung tipe akar persamaan Laplace dalam-s dan pembilang dari persamaan yang mengandung parameter '\'. Harga'(' yang sudah diketahui bentuk transformasi baliknya dapat ditentukan secara langsung. Transformasi balik dari suku pertama persamaan 4.23 ditentukan setelah nilai spesifik dat', F"r(t) diketahui. i iI ,rf

if ..i.

Sti:;lotr:

I

v

i! l!rf

i.

1i:;tif ,t L:t$O

t64


Untuk sistem SDOF getaran bebas yang berarli tanpa eksitasi gaya, tetapi kondisi under dantped. Bentukan persamaan Laplace dengan pembilang akan memilll
(

Dari yang diketahui, yaitu

F6:

2000 N, ,t

165

:

200.000 N/m, dan

m:200 kg,

dapat ditentukan:

Tranformasi Laplace F(t), menggunakan teorema second shifting diperoleh:

-q')

Transformasi Laplace pada suku terakhir dari persamaan 4.23 dapat ditentukan dengan mengaplikasikan teori shifiing sampai pasangan

n{o,I"(,) -,(, - -,)l} = *(, - n'' )

transformasi dapat diketahui, yaitu:

Kemudian dengan menggunakan persamaan 4.23, jika asumsi kondisi awal

r,

displacementpada

(, ]

[

*,rt,,r,(r).,,(rl ,,*2(a,,s+a,,2

l:

]

(o) "-r",., [* "

L

",,

0r,,,

"

*

...9,,i, r,,1 "] @l4) o,r

.(o):0,

t:0

maka

,

danx(0):O, maka:

;G):

L r'{##}

Transformasi balik dari suku pertama persamaan 4.23 diperoleh dengan menyatakan fungsi Laplace

f(s)

untuk bentuk eksitasi gaya dai F(t) yaitu,

L

dengan bentuk

F(ry(s'+2la,s*r,').

Inversi fungsi atau persamaan

Laplace dapat dicari menggunakan manipulasi aljabar, dengan properti transformasi, serta bantuan tabel pasangan fungsi Laplace dengan asal transformasi yang sudah diketahui.

Dengan fraksional dekomposisi diperoleh:

r (t x(s)= Ill 1--j-.

,r?\s s +oil)l(, -n'")

Teorema second shifting digunakan untuk membantu inversi dari transformasi Laplace, sehingga diperoleh:

x(t)

=

ffif,

- cosa,,t - u(t -3X1 - cos

:

Sebuah mesin dengan m 200 kg dipasang pada fondasi dengan asumsi tanpa redaman, yaitu pada permukaan elastis dengan kekakuan 200.000 N/m.Mesinyang bekerja mendapatkan gaya eksitasi yang merupakan impuls tetap dengan harga 2000 N selama 3 detik dan kemudian eksitasi gaya tersebut tidak beke{a lagi. Dapatkah kondisi respons dinamik dari getaran SDOF tanpa damping dieliminasi tanpa penambahan redaman, dan berapakah defleksi maskimum dari mesin? Asumsikang: 10 m/def

k:

Jawab: Persamaan getaran atau diferensial pada kasus

'i+

r',* = Frlu(t)-"(t - s))

\

ini adalah:

Solusi untuk I > 3 detik

adalah: *Q)=

o)

n(, -

:))]

J5f"orr,Q -Z)- cosa4tf ffi0,

Fungsi cosinus selanjutrya berlaku untuk I > 3 detik sebagai gerakan transien menjadi: cos ont

-

cos a)tt

(,

- :)

Kondisi setelah 3 ietik dinyatakan dengan 3o)n =2nx, danberlaku untuk semua nilai integer positif n sehingga getaran SDOF dalam kondisi hrnak ini dieliminasi dengan menentukan frekuensi pribadi menjadi:

166


a

2

= "7t = 2.09 J

rt


4.7 Sool

rad/s

1.

Kondisi redaman terjadi untuk n : 15, yang berhubungan dengan a,, =31,35 rad./s dan m: 203.5 kg sehingga getaran kondisi tunak dapat dieliminasi jika 3.5 kg ditambahkan pada massa mesin. Sebelumnya massa

FQ):

Fote-'|2.

Gunakan integral konlulasi untuk menentukan respons dari sistem!

2.

Maksimum displacement selama mesin berkerja adalah:

2F^ ".

Sebuah sistem satu derajat kebebasan tak teredam dalam keadaan diam

kemudian dikenai eksitasi gaya eksponensial sebes*

mesin 200 kg. Mesin mengalami 15 siklus selama dikenai gaya eksitasi dan gerakan ceases terjadi ketika gaya dihilangkan.

,(r)=

L67

2F^

= ---:!- = 0.02 m nta,,t k

3.

Massa pada gambar untuk soal nomor 2 memiliki kecepatan v ketika menumbuk mekanisme sistem pegas-dashpot. Jika x(t) adalah displacement dari massa dan posisi di mana mekanisme tertekan, maka gunakan integral konlulasi unfuk menentukan respons displacement sistem! Asumsikan sistem underdamped.

Gunakan integral konlulasi untuk menentukan rumus matematik respons dari sistem pada gambar dibawah ini.

4.5 Ringkoson Bab ini membahas pengaruh eksitasi, baik dalam bentuk periodik maupun non-periodik pada sistem satu derajat kebebasan atau SDOF-. Bentuk gaya eksitasi yang dibahas adalah impuls, gaya eksitasi sebagai fungsi terhadap waktu diskrit, dan eksitasi gaya pada base sistem. Beberapa metode pemecahan persamaan respons digunakan dalam masalah

ini, yaitu superposisi, integal konvulasi, maupun transformasi Laplace. Ketiga

L,

metode ini masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan.

3

Beberapa contoh diberikan untuk memudahkan dalam memahami maksud dan tujuan dari pemecahan masalah percamaan gerak dari sistem satu deralat kebebasan dengan bentuk eksitasi umum ini.

6,

Gambar soal No. 3

Gambar soal No. 2

4.6 Perlonyoon untuk Pemohomon

Gunakan integral konlulasi untuk menentukan rumus matematik respons dari sistem satu derajat kebebasan underdamped dengan frekuensi natural ' o),,' dan rasio redaman' ( < 1' dan dikenakan

Jelaskan pengeftian berikut ini, dan certakan contoh dari:

eksitasi harmonik

4.

a. Integral convulasi

b. c. d. e. f. g.

5.

Fungsistep

FQ): Fosinat

.

Sistem SDOF dengan frekuensi natural a)n dan rasio redaman dikenakan gaya eksitasi sebagai pulsa rectangular

Eksitasi gaya impuls

.d

(
dengan durasi /0.

Setelah gaya eks(asi dihilangkan, nyatakan rumus respons dinamik

Persamaan steady state displacement relatif

displacement sebagai persamaan steady state maksimum yang terjadi.

Persamaan ordinary diferensial 6.

TransformasiLaplace Transformasi balik Laplace.

i

"l

il

Sebuah mesin perkakas, massa 30 kg dipasangkan pada fondasi undamped kekakuan 1500 N/m. Selama operasi mesin dikenai salah satu gaya eksitasi sesuai gambar dibawah ini. Gunakan prinsip super-


168

respons

F {r{)

displacement! Gambar soal nomor 8 sama dengan untuk soal nomor 7, tetapi dengan fungsi linear satu gunung di puncak l: 0.5 detik dan satu lembah di dasar I : 1.5 detik.

lm0

posisi dan integral konvulasi untuk menentukan berupa

7.


169

Gunakan integral conlulasi untuk menentukan respons dari sistem satu derajat kebebasan tak teredam yang mendapat eksitasi seperti gambar di bawah ini!

rtil) 3{1ffi

8.

Sebuah mesin pengepres dimodelkan sebagai sistem SDOF seperli

terlihat pada gambar (a) di bawah ini. Eksitasi gaya merupakan massa, 'm' yang mencakup massa piston, platform, dan material yang akan dikompaksikan, dan diidealisasikan sebagai gaya step (gambar b). Tentukan respons dinamik sebagai displacement dengan persamaan displacement total sistem!


170


t7L

10. Gunakan integral convulasi

untuk menentukan respons dari sistem satu derajat kebebasan tak teredam yang mendapat eksitasi gaya seperti gambar di bawah ini untuk t > t o !

;. 16;

,e

ll.

Gunakan integral convulasi unfuk menentukan respons dari sistem safu derajat kebebasan tak teredam yang mendapat eksitasi seperti gambar di bawah ini! ,F!

9.

Rangka, anvil, dan base dari forging hammer seperti dinyatakan pada gambar (a) di bawah ini memiliki massa totaT m, dengan support elastis konstanta stiffness k. Jrka gaya eksitasi diaplikasikan pada mesin ini, tentukan rumus persamaan displacement total sebagai respons dinamik dari anvil!

12. Gunakan integral convulasi untuk menentukan respons dari sistem satu derajat kebebasan tak teredam yang mendapat eksitasi seperti gambar di bawah ini!

rt

I t i

i -"

Eladir pad.

(r)

t

t I

t72


13.

Gunakan integral convulasi untuk menentukan respons dari sistem satu derajat kebebasan tak teredam yang mendapat eksitasi seperti gambar di

BAB 5

bawah ini!

SISTEM GETARAN DUA DERA'AT KEBEBASAN

,rrirt

M{rl

a I

.tf"

l_'I I

ii!

Kompetensi yang ingin dicapai setelah memelajari bab ini adalah: il

(sl:
i{o nl

m***lS

l+

x

1.

${} f{-s6

kebebasan.

* 0'f* I

Mampu melakukan analisis terhadap kasus sistem getaran bebas tak

r*5*ttt I

+. I

.{,

teredam dengan dua derajat kebebasan.

f*{}}*S-tr} **

S{Xx}

3.

N"s

--m

4.

5.1 Persomoon Getoron dengon Metode Newlon Bab ini akan khusus membahas sistem asumsi dari idealisasi kondisi riil

s.

benda lamp mass menjadi Double Degree of Fredorn (DDOF), atau sistem getaran dengan dua derajat kebebasan. Sistem ini membutuhkan dua buah koordinat bebas, disebut sistem dua derajat kebebasan. Sistem dua derajat kebebasan ini diasumsikan selalu terjadi dalam dua dimensi dan dibagi atas tiga kondisi sistem, yaitu:

kg ditempatkan pada sebuah vibration isolator dengan rasio redaman 0,05 dan konstanta stiffness 3 x lOs N/mm.

15. Mesin dengan massa 500

Selama start- up mesin mendapatkan eksitasi

s dan Fo = 5000 N, dengan

p(r)= l000e" dengan

integral conr'ulasi berapakah

1.

displacement mesin? 16.

Gunakan integral conlulasi unfuk sistem pegas-massa-redaman yang mendapatkan eksitasi sebesar

e(r):1000e" !

dengan rasio redaman 0,05 dan isolator stiffness 2

Massa mesin 200 kg

x

106N/m.

Mampu melakukan analisis terhadap kasus sistem getaran paksa tak teredam dengan dua derajat kebebasan.

rasio redaman 0,1. Berapakah harga konstanta stiffness agar displacement maksimum lebih kecil da1r 2 mm ketika mesin mendapatkan gaya berupa pulsa sinusoidal dengan besar 1000 N dan durasi waktu

lo = 0,1

Mampu melakukan analisis terhadap kasus sistem getaran dua derajat kebebasan dengan beban torsional.

14. Mesin dengan massa 200 kg ditempatkan pada vibration isolator dengan

0,04

Memahami dan mengetahui definisi sistem getaran dengan dua derajat

,]

Kondisi sistem pertama: sistem massa pegas seperti terlihat dalam Gambar 5.Ia, dengan gerakan massa mt dan ffi2 stucarr& vertikal. Jumlah DOF sama dengan jumlah massa. DOF masing-masing massa dibatasi oleh pegas atau pasangan pegas-damper sehingga dibutuhkan dua koordinat, yaitu x(t) dan x2(t). Hal ini guna menentukan kedudukan massa pada kondisi waktu berapapun. Hal itu berarti sistem membutuhkan dua buah koordinat yang mernberi informasi lokasi serentak

! t74


atau secara bersama-sama dengan menentukan kedudukan atau posisi dua massa tersebut. Kedua koordinat ini bergerak linear dan pada umunmya gerakan itu vertikal semua atau horizontal semua. Contoh pada Gambar 5.la menunjukkan gerakan vertikal.

.''.*_'T---l-" i

L, \i\r

I I

jr,

\l

/ht

I

Sistem Getaran Dua Derajat Kebebasan

t75

sehingga sistem ini juga dikatakan sistem dua derajat kebebasan. Dua gerakan tersebut adalah

0,(t) dan 0r(t).

Persamaan getaran Multy Degree Of Fredom (MDOF), termasuk DDOF,

untuk benda lamp mass pada umunmya dapat dinyatakan mengikuti prosedur metode Newton. Sebagai contoh, persamaan getaran DDOF diuraikan dari Gambar 5.2. Dengan prosedur tersebut dinyatakan sebagai berikut:

I I I

1.

Menentukan indeks awal dan indeks akhir untuk sederet benda lamp mass bersusun, dan dalam penentuan indeks awal tersebut, langkah pertama dimulai dari lokasi di mana tumpuan ditempatkan.

2.

ini harus dibuat sama serta mengikuti arah pertambahan indeks massa seperti pada nomor l.

i I

i

lu,

I I

Mendefinisikan arah dan

F(t)

dan x;(t), dan kedua arah

I

l_

I

Penerapan dua prosedur tersebut dinyatakan pada Gambar 5.2a untuk

kondisi pilihan indeks awal-akhir dari kiri ke kanan, dan kemungkinan dapat juga dilakukan untuk pemberian indeks dari kanan ke kiri.

L (b)

(r)

5.

Gombar 5.1 Tiga contoh sistern dua derajut kebebasan

Kondisi sistern kedua, terjadi bila sebuah balok lamp massa rz ditumpu dengan dua buah pegas dengan koefisien kekakuan yang sama pada jarak paling tidak mendekati panjang balok, atau dapat juga pada tumpuan. DDOF adalah dua pasangan pegas damper dengan sifat kekakuan dan redaman yang sama, seperti terlihat dalam Gambar 5.1b. Gerakan balok dibatasi sesuai kemampuan sistem tumpuan balok, yaitu secara vertikal oleh x(t) dan gerakan rotasi oleh O(t). x(t) aan 0Q) merupakan dua buah koordinat yang identik sebagai kemampuan gerakan

benda untuk menentukan konfigurasi sistem. Konfigurasi sistem ini merupakan perpindahan lurus seperli perpindahan massa x(t), dan koordinat yang lain adalah perpindahan sudut atau d(r) sebagai rotasi

ini satu sama lain independen atau bebas. Oleh karena itu sistem ini juga merupakan sistem dua derajat kebebasan. massa. Kedua koordinat

3.

Kondisi sistem ketiga merupakan sistem dengan gerakan untuk dua pendulum, atau pendulum ganda, seperti terlihat pada Gambar 5.1c. Dalam kondisi ini jelas bahwa untuk menentukan posisi massa m1 dan m2 pada setiap waktu dibutuhkan dua buah koordinat dalam sistem

4.

Menyatakan untuk fokus metode ini adalah melakukan prosedur pemberian gaya aksi-reaksi dengan menguraikan kondisi beberapa benda lamp mass yang berhubungan, sesuai prinsip Free Body Diagrant (FBB), yang disebut juga Diagram Benda Bebas (DBB). Membuat uraian DBB disertai pemyataan beban yang berupa gaya, momen, atau torsi. Kasus pada Gambar 5.2, beban yang berupa gaya digambarkan dengan arah sebagai aksi-reaksi.

Gambar 5.2b merupakan penerapan dari kedua prosedur di atas. Penetapan gaya aksi-reaksi mengikuti dua aturan dalam Hukum Newton III, yaitu gaya ata:u beban harus memilitJ besar yang sama dan dengan arah yang berlawanan. Perhatikan bagaimana arah gaya pegas dan gaya redam untuk koefisien ca dan ft.i. Kedua gaya tersebut mempunyai arah ke kiri. Kedua arah gaya ini mengikuti logrka kejadian riil di mana operasional dua benda lamp mass selalu menyebablan gaya kompresi yang diderita pegaldan damper ke-3. Arah sebaliknya, yaitu ke kanan, merupakan dua gaya sebagai gaya aksi-reaksi yang bekerja pada dinding kanan, yang mana terlihat bahwa kedua gaya aksi-reaksi yang bekerja pada dinding tersebut memberi kondisi gaya kompresi pada dinding kanan.

J r1

t76

5.


Menyatakan arah inersia sejalan dengan arah dx/dfQ sebagai arah gaya yang mewakili persamaan getaran bebasnya.

setiap benda sehingga untuk mendapatkan jawaban riil displacement dengan notasi x;(t), dilakukan transformasi dari matriks orlogonal notasi [Q]. Solusi

Getaran muncul akibat respons benda terhadap gaya eksitasi luar sebagai gaya inersia yang terjadi secara terus-menerus. Gerakan benda bergetar mengikuti arah yang berlawanan dengan gerakan benda

xi(t) kembali dapat diperlakukan dengan menganggap hasil transformasi sebagai kelompok SDOF. Contoh dua cara numerik untuk menjawab persamaan getaran MDOF yang dilakukan dengan cara numerik adalah dengan Finite Dffirence Method atau Metode Beda Hingga, dan Metode

ini karena gerak getaran sesungguhnya merupakan respons dari arah gaya yang diberikan. Dalam Gambar 5.2@), gaya inersia digambarkan dengan arah ke kiri. sesungguhnya. Hal

6.

t77


Runge-Kutta.

Membuat persamaan getaran: Persamaan ini diberlakukan untuk setiap benda lamp mass. Persamaan ini ditulis mengikuti keharusan di mana arah gaya selaras dengan posisi gaya eksitasi yang ditempatkan pada ruas kanan dari tanda sama dengan atau:. Persamaan 5.1 merupakan penyetlerhanaan persamaan keseimbangan

yang terjadi dan hanya diberlakukan untuk benda lamp mass ke-l. Sebagai arah positif pada ruas kiri mengikuti arah gaya inersia dengan m,fix/cfi(fl positif ke kiri. Hal yang sama terjadi pada benda ke-Z pada persamaan 5.2. 7.

r:'r: fa pF:

rr,Ir

.,., c.rr

Koefisien pada matriks [C] identik dengan koefisien pada matriks [k],

r- .t-f

r!(r:

H___---j+

cr{ir

matriks [C] dan [k] pada persamaan 5.3(c) dan percamaan 5.3(d). Persamaan Couple adalah persamaan yang masih memiliki harga koefisien pegas maupun koefisien redaman dengan indeks (untuk kedua koefisien tersebut), tidak bersesuaian dengan indeks dari benda atau indeks-i pada ' m;'. Sifat matriks [C] dan [k] yang identik dan simetri ini dapat digunakan untuk mengecek kebenaran pengerjaan persamaan getaran yang dilakukan. Pada pembahasan subbab berikutnya, solusi MDOF dilakukan dengan dua cara, yaitu cara analitik dan cara numerik. Salah satu cara analitik yang akan dibahas dalam bab ini merupakan solusi dengan penerapan prosedur metode Raylegh. Prosedur ini menggunakan asumsi koordinat transformasi, menunjukkan jumlah DOF. Persamaan y;(t) sudah dengan y;(t), dan'

i'

merupakan persamaan Decouple,

yaitu seperti persamaan SDOF untuk

tlt}-

-=:crx;

(b)

dan kedua matriks tersebut merupakan matriks simetri. Persamaan getaran yang terjadi pada setiap benda tersebut apabila digabung merupakan persamaan Couple. Persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sesuai persamaan 5.3(a) dengan koefisien pada

- rr, I--, - ir} tu{

pegas k1 tarik

untuk

x1

pegas k2 tarik untuk (x2-x1)

pegas k3 tekan

untuk x.

Gfimbur 5.2 Sistem pegas-redaman dua derajat kebebasan

Pembahasan DDOF adalah sebagai berikut: Terdapat dua persamaan gerak untuk sistem dua derajat kebebasan, safu untuk masing-masing massa yang biasanya dalam bentuk persamaan dffirential coupled atau persamaan couple yang mana masing-masing melibatkan semua koordinat. Jika solusi harmonik diasumsikan pada masing-masing koordinat maka persamaan gerak untuk DDOF memberikan dua harga frekuensi natural. Jika sistem diberi eksitasi gaya awal yang cukup maka sistem akan bergetar pada salah satu frekuensi naturalnya. Selama getaran bebas terjadi dan bergetar pada salah satu frekuensi na!,ralnya, konfigurasi amplitudo dua derajat kebebasan tersebut disebut sebagai nonnal ntode, principal mode, dan natural mode dari getaran. Sistem dua derajat kebebasan memiliki dua normal mode dari getaran yang berhubungan dengan dua frekuensi natural. Jika kita berikan eksitasi awal ke sistem maka getaran bebas akan menghasilkan superposisi dari getaran dua normal mode. Namun demikian jika sistem bergetar karena


t78

adanya eksitasi berupa eksitasi harmonik maka resonansi terjadi. Hal ini secara teori menyebabkan amplitudo dua koordinat akan maksimum apabila frekuensi eksitasi sama dengan salah satu frekuensi sistem natural.

Perhatikan Gambar 5.2 untuk sistem pegas-massa-redaman dua derajat kebebasan. Gerakan dari sistem sempuma diuraikan dengan koordinat 'r,(r) dan xr(r) ' vane mendefinisikan posisi massa tnt dan m, pada setiap waktu

t dari posisi

bekerja pada massa

'rn,

keseimbangan. Gaya ekstemal dan

mr'.

f,(t)dan fr(t\

Free body diagram dari massa

,txr

diperllhatkan pada Gambar 5.2(b). Penerapan metode Newton mengenai gerakan pada masing-masing massa memberikan persamaan gerak sebagai

berikut:

nt, x 2- c)

x:+ (c, + cr)x, - k.x,

k,)x, - krx, = P, +

(k, + kr)x, = F,

Persamaan 5.1 masih terdapat atau mengandung suku

1r1

+

[t],(r) = r (,)

(s.2)

'x, '. Begitu juga

(5.3a)

Matriks parameter getaran '[m], [c], dan [k]' masing-masing disebut sebagai matriks massa, matriks damping, dan matriks stiffness. Koefisien untuk ketiga matriks tersebut, setelah dicari dengan metode Ne'*ton, diperoleh sebagai berikut:

tul=l;

o*,)

vl=l':)," ,,'i",)

kr+k,

(s.3d)

l

sebagai berikut:

.(r)=[;:[l]]

r(,)=t;g]

dan

(5.3e)

Dalam hal ini matriks dari [m], [c], dan [k] merupakan matriks 2 x 2 dan harga masing-masing koefisien ketiga matriks tersebut dapat diketahui langsung dari riil sistem. Ketiga matriks ini adalah matriks simetri, sehingga hubungan' transpose' berlaku sebagai berikut:

l*)'

ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 1"1,

-k2

Dari persamaan 5.3 , x(t) dan F(t) pada masing-masing menyatakan displacement untuk solusi total dan eksitasi gaya dalam bentuk matriks

(5.1)

dengan persamaan 5.2 selain dengan 'x2' juga masih mengandung suku 'J' '' Kedua persamaan di atas adalah persamaan two coupled dffirential. Getaran yang terjadi dari massa m| berpengaruh terhadap getaran yang timbul dari massa m2. Begitu pula sebaliknya. Persamaan 5.1 dan persamaan 5.2 dapat

lfl'x1t!*

vl:l\;'

dan

nt,

*|i,+(r,* r,)*,- r,ir+(k,+

t79


=1,,1

,

["]'

=

[']

(5.3c)

[t]' : [r]

Dalam contoh 5.1 pada sub bab berikut ini, pencarian persamaan getaran untuk beberapa contoh lamp mass tidak disertakan, tetapi persamaan getaran yang diperoleh langsung digunakan untuk pembahasan atau jawaban atas permasalahan.

5.2

Solusi Tronsien DDOF Sistem Tok Teredqm

DDOF getaran bebas merujuk pada sistem getaran pada Gambar 5.2(a), dengan kita asumsikan kondisi untuk set gaya eksitasi, yaitu f ,(t): fr(t): 0. Sistem DDOF menjadi tanpa eksitasi gaya dan juga agar efek redaman

tidak terjadi maka c, = c2: c: :0. Kondisi ini memenuhi syarat DDOF dengan Getaran Bebas Tak Teredam. Persamaan 5.1 dan persamaan 5.2 menjadi sebagai berikut:

,,, x, (t) + (k, + k,) x, Q) (s.3b)

aan

*,'*, Massa

1,1

- k,x, (,) = o

- k,x (t) + (k, + k,) x, (t)

=o

m, dan mrdalam kondisi DDOF bebas dan tak teredam,

(s.4)

(s.s) rnaka

kedua masa itu dapat saling berosilasi secara harmonik dengan frekuensi dan

180


sudut phase yang sama tetapi berbeda amplihrdonya. Dari kondisi gerakan ini maka asumsikan displacement kedua massa yang mungkin adalah dengan memperoleh gerakan harmonik, untuk frekuensi ro dan sudut phase 0 yang sama. Akurasi persamaan transien dari persamaan 5.4 dan persamaan 5.5 menjadi sebagai berikut:

*,(t)=X,cos(.r,t+$) (s.6)

,,(t)= X,cos(at+g)

t

dan

X,

merupakan konstanta yang menunjukkan amplitudo maksimum dari x,(r) dan xr(r). Kedua massa ini mempunyai beda phase X

atau:

(m,m,)ao +

+ (k , +

k,)\ x , - k,x,fcos(cor

l-0,*, + {-,n,a'

+

(k,

+

+ g) = o

(s.7)

t,)} x,fror(r,rr

+ g) = o

Persamaan 5.7 dapat dari DDOF ini dapat disederhanakan. DDOF mempunyai dua frekuensi pribadi atau dalam kondisi tidak bergerak, jika harga cosinus sama dengan satu, sehingga:

l{-*,*' + (k,+ k,)l x, - r,x,l: o l-0,*,+{-*,a' +(k, + tr,)lx,)=o

(s.8)

l-t

,

-k

{-*,r'

(r.

Il=0" +

tr,)

1,.,

)} l

(s.e)

- t;} = o

tu,/

,u-, =;)

f -r

nttnt2

zl

)

(s.10)

: Persamaan 5.10 menunjukkan kemungkinan sistem memiliki solusi non-trivial, yaitu solusi pada kondisi keduanya mengalami getaran, jika a sama dengan a.,, atau az sesuai akar persamaan pada persamaan 5.10.

Kita sebut al, dan

X1

at2 adalahfrekuensi

dan

natural sistem.

X2 yang berhubungan (D/ adalah Xl')

sedangkan yang berhubungan or, adalah

menjadi homogen dan rasio rt= XU) /

2 +

k,)(k, +

tantus abc adalah sebagai berikut:

Harga

Persamaan 5.8 ini merupakan dua persamaan aljabar simultan dengan harga X1 dan X2 yang tidak diketahui. Persamaan 5.8 ini bersifat trivial solution jika Xt : Xz:0, yang artinya kondisi tidak ada getaran. Dengan demikian solusi perlu dengan kondisi non-trivial. Kondisi non-trivial dicapai jika determinan dari X1 dan X2 sama dengan nol. Dalam penyelesaian analisis numerik, penentuan determinan merupakan salah satu cara untuk mendapatkan parameter pada persamaan simultan, sehingga:

, [{-,,,r' + (r, + t, )} detl'

{(r,

+

-{(0, * k,)*, +(k, + k,)m,}a'

Persamaan 5.9 ini disebut dengan persamaan karakteristik dalam domain atau artian dari frekuensi, karena solusi dari persamaan menghasilkan nilai frekuensi sebagai karakteristik. Akar dari persamaan 5.9 dengan penerapan

yang sama, yaitu $. Substitusikan persamaan 5.6 ke persamaan 5.4 dan 5.5 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut:

l{-nr,r'

181

Sistem Getaran Dua Deraiat Kebebasan

diperoleh. Untuk

't, :x(r4 x1,,, 't

x\4 x,,rt

ro

= ori dan

X\,') dunxf') .

XU)

Persamaan 5.8

dan r, = Xt') /

Xl2)

dapat

= (rlj, persamaan 5.8 menghasilkan:

-m,a,'+(k,+kr)

k"

k2

-,n,rr),'+(t
-m,ci r'+(k,+kr) _

nr'

dan X(')

k. -*r@r' +(tc, +

(5. I 1)

rr)

(s.12)

Dua rasio ini adalah identik. Sebagai nonnal mode dideftnisikan sebagai vektor yang mewakili kumpulan getaran yang memenuhi syarat untuk tedadi dari getaran yang berhubungan dengan harga kuadrat frekuensi al aa" Sehingga vektor normal mode dan dapat diekspresikan sebagai berikut:

al

.

H LB2


x(

)

-l*i"1=l

*:''

Penjabaran persamaan sebelumnya adalah:

I

) lr,xl'' )

lx',''

183


*,Q)= *l') (,)+r,(')(r)

,,

dan

=

xl')

"o,(,/

(r) =rr(') (r)+rr(') (l) = r,x(')

+0,)+ xl') cos(a/ +0,)

ros(a,t* 0,) *

r,x!'\

cos(ar'

*o,)

(t'")

-l

x('t =["i''l L*\"

Asumsi untuk initial condition diberikan seperti berikut:

=l*u''

) l,,xl" l

vektor

xu) durx?)

adalah normal mode dari getaran atau yangdikenal

dengan istilah modal vektor dari sistem.

solusi getaran bebas dari gerakan dalam domain wakhr dapat diekspresikan sebagai berikut:

1,1" (,\)=1,,*1')

Konstanta

= o) =

*,(t

= o\

*,(o), r, (, = o) =),

@)

: x,(o), ), Q : o): ;, (r) Xl'\

Diasumsikan juga dengan konstanta

(s.1 6)

dun

X(? , d,dan Qr. Persamaan

menjadi berikut ini.

' (r/=['i"(')l x,(,)(r) =[*i"

*,', Q)=

x,(t

cos(o,t+ o,

"o),(,t*

)I

first

mode

xl'\

*,(o) = xl'\

(s,4,

(O) = -r,Xl') sitt$, - a.Xl4 sin$, ", + cos cos *, (o) = ',xl') $ , "Xl') $ '

*,l-J

[l;1,,,,]=lir',,;:ffIJ,,f,n,.,,,,.0u

$, +

(s' 13)

X!t) au, Xt'), d,dan

Q, ditentukan oleh kondisi awal. Dua persamaan gerak dari persamaan 5.1 dan persamaan 5.2 merupakan persamaan diferensial dengan turunan kedua dari waktu. Misalnya, kondisi awal berlaku untuk masing-masing massa sebagai berikut:

*,

101

cos

cos

$,

= -r,.,,, X|l sitt $, - a,r,X\,4

(s. l 7)

sinQ,

Persamaan 5.17 terdiri dari empat persamaan aljabar dengan parameter

yang tidak diketahui, yaitu: Xl') cos$,

Xl') sin$r. Solusi persamaan

, Xl4 cos$2 ,

Xl') sin$, dan

5.17 dapat dicari dari penyelesaian persamaan

simultan 5.17. seperti dinyatakan sebagai berikut:

*, (t = 0) = Y(') = kons tan, *, 1, = 0) = 0

,r(t

= 0) =

r,xt')

= kons

tereksitasi. Solusi persamaan gerak yang diberikan oleh persamaan 5.4 dan 5.5 dapat disuperposisikan dari dua normal mode sesuai persamaan 5.13 dan persamaan 5. 14 menjadi:

r"x,(o)- x,(o)

,

=-

xt,,t t sing,t'

, --' .'lq*)'-U) ,, lr,-r,)

tan, *, (t = 0) = 0

Namun demikian untuk kondisi awal umum, kedua mode akan

*(t) = *(') (,) + *(') (t)

tr\

X\," cos$,

Kita peroleh

rr _

r,

x:,,co.s$_, =

xf) ,rr+,'

,otr.i yJng diinginkan untuk

x,,'\ =J("1" .r.r 4, n (xl''.ri,, )'

Q,

-r,x,(o)+x,(0) fz - rr

=dg4 o)2lrr-r,)

ke-4 parameter, yaitu:

)'

?{

184

Dengan mengasumsikan solusi persamaan transien dari getaran bebas

,], =

o-Lt

hamonik, maka:

sebagai

x, ( o) + *,(O) r'x'(o)-'' ('))' . -r, cD1 {

*, (t) = X, cos(at + $) ; i = 1,2

l*

,1,

=aa[t

-r'x'(o)'

"(')]'

.{

,,*,1 o)* ., (o)

xr(t)

co2

-1-

j 6,:tart-t( tutl,[ -n',t').'r(,) t - tu't t;F,,"0 )- L;, {t/4:r; (r)}-] xt,'t riu,,,)=rr,,

v

Q:=tqn-t##f)=ro"'[ffi]

185



xr(r)

Gambor 5.3 Sket untuk Contoh 5.l

(s. l 8)

persamaan karakteristik domain frekuensi dapat diperoleh dengan mensubstifusikan persamaan di atas dengan persamaan sebelumnya, sehingga

diperoleh:

I

Tentukan frekuensi natural dan mode shapes-nya.

I I

(-r,or-' + 2k)l

t-ol

=U

atau dinyatakan dalam persamaan kuadrat menjadi:

Jawab:

m'a' -4knta2 + 3k2 =0

Dengan prosedur Newton dan asumsi penomoran benda untuk parameter DDOF adalah: x1 dau2, InoSSo m1 dan m2. Untuk n:l maka mt:m2:tn, dan k, = k, = fr . Persamaan keseimbangan adalah sebagai berikut:

mxt+

(-k)

l(-,ro' + 2k)

DDOF tanpa damper dengan frekwensi natural dan mode shape dari sistem pegas-massa, diperlihatkan pada Gambar 5.3. Ambil untuk harga n : 1. Diketahui sistem getaran dua derajat kebebasan seperti Gambar 5.3.

2b,*b,

ni* ,+zf*, -

bt

Solusi persamaan ini diperoleh dari penerapan rumus 'ABC" adalah persamaan untuk mendapatkan frekuensi natural yang diperoleh, yaitu sebagai

berikut:

,l

=0

l

**-

6,=j-

=0

il

s

l6k2m2

/nl

- t2k'm'f

186


'r

*

=1I

or,,

seperti persamaan 5.15. Kita dapat melakukan evaluasi terhadap dua kondisi syarat awal yang sudah dibahas.

l6k2m2

^) /m'

Dari persamaan 5.11 dan 5.12,

gerakan ke-2 masa

tersebut diperoleh: rt

=x:'\

_-nt,a,2 +2k k

x:')

X(,t) -m,a,:

' xl,'l

_

k

ln,a,2

+ 2k

k

tB7


+ 2k

k -mra12 + 2k

A

-1 -

T

,T

-t

f

Mode natural diperoleh dengan mengikuti rumus sesuai persamaan 5.13 dan persamaan 5.14, sehingga:

/=f*t''

,(,, (,) \

9

""(,[i . r ) a.

1","-'[r[#.*,) 1n,,,-*"

Kedua

Mode Pertama

Gambar 5.4 Perpindahan pada massa ttxt dan t?1,

Solusi umum dari persamaan getaran DDOF bebas tanpa redaman adalah sebagai berikut:

/=f*t""'(ff'.r' )

,,,,(,) \

l-"'" "'([#'.r

second mode

,)

Hal ini dapat dinyatakan dari kedua persamaan ini, apabila sistem bergetar padafirst ntode, amplitudo dari kedua massa sama. Hal ini berimplikasi bahwa displacement antarpegas adalah tetap sehingga gerakan dari massa mrdan m, dapat dalam kondisi satu phase, sesuai Gambar 5.4a. Ketika sistem bergetar pada second mode, perpindahan dari dua massa memperlihatkan harga yang sama namun arahnya berlawanan sehingga gerakan massa mrdan m, berada pada kondisi 1800 atau kondisi out of phase sesuai Gambar 5.4b. Dalam kasus ini mode pbint dari pertengahan pegas tetap diam untuk semua kondisi. Titik ini disebut nocle.Dengan menggunakan bentukan

*, (t)

= rl'' *,([*'*

*,

*,(t)

=

*,([*:.

o,

.y,

*f'

*,(ff,.

- xl',

"",(ff,

). )

o,)

* a,)

Initial condition diperlukan dan diaplikasikan pada sistem seperti pada Gambar 5.3 agar sistem mulai bergetar dalam (a) first ntode dan @) second

mode. Pada sistem pegas-massa dua derajat kebebasan, tentukan initial condition yang diperlukan agar sistem bergetar dalam salah satu mode.

fi 188



Seperti pada kasus seberumnya, untuk initiar condition yang berubah, per-

*r,*,(ff;.a,)

189

Jawab:

dari massa mengikuti hubungan sesuai peisaniaan 5.15 dan persamaan ini nremberikan jawab unfuk r,:1 dan r,: _ l. persamaan 5.15 gerakan

,(/) (r)=

first ntode

*:'' rrr(E:.r,)

menjadi:

'J

*,t\/ (t): x,,',,-",o.rf ,p,* o, * x,,,,

[\/;'tVr )t^r

,., (1)

:

M ) t"'l{;,*0r,1 ,or(

16_ \

ini dengan persamaan pertama. Gerakan dari sistem identik dengan first nornrul mode hanya jika X',":0. Hal ini

Bandingkan persamaan

(m

-.,Ii*, * r, )- x,,,,.",U#,. *..1) "1',

dibutuhkan dengan kondisi batas sebagai berikut:

Asumsikan initial condition pada persamaan 5. r6 memberikan konstanta x(i') du, xl') , d,dan Q,. Semua konstanta ini ditentukan oreh persamaan 5.18 ditentukan dengan menggunakan Persamaan yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

tr =1 dan h =_7

*, (o) =x, (o) aan

(b)

- rl\r, (o) - x.(o)l' .f{;10;*,,(r)} L

x:4

,f = -iLt-,

(o)+x.(o))' *

I-

6. =

.

,

#{'

.

,(') (l; =

-,(r)}

Jo{-,(o)+x,(o)l

I L_l

]

I

LI

(a) First nonnal rnotle

sistem menjadi berimpit dengan second nonnal ntocle hanya

Hal ini perlu untuk kondisi *, (0) = -*,

5.3

l-c{;,(o)-.,(r)}l J_* {-., (o)+ r. (o)}

Bandingkan persamaan terakhrr ini dengan persamaan pertama yang dinyatakan setelah Contoh 5.2, untuk x1(t) dan xr(t). Terlihat bahwa gerakan

I

6:=lott'l+l I

second nntle

-*l',,",(ff,.r,)

]

r-l

-(. (') . (')l -t '' 1-' tatt,l

r, (o)

*1,,,,,(8,.r,)

'

@)-

10) =

Second normal mode dari sistem seperti yang diberikan pada persamaan di bawah ini sesuai dengan Contoh 5.1, yaitu:

,f

x(,'t =

*,

|

atau 'Modus Getar perlam a' padasistem seperti yang diberikan pada persamaan berikut ini, identik clengan contoh 5.1:

(0)

dan

jika Xjl)=

0.

batas lain seperli berikut:

",

(O) =

-*,

(O)

DDOF unluk Getoron Torsi

Gerakan torsi timbul dari putaran poros pada lokasi dekat tumpuan atau bantalan pada posisi {ua roda gigi akibat kondisi tak balance dari gemkan poros-roda gigi yang bersangkutan. Torsi dekat dua tumpuan ini cenderung pada dua arah yang berbeda satu sama lain. Perhatikan sistem torsional untuk dua DOF yang terdiri dari dua piringan yang menempel pada sebuah poros seperti yang terlihat pada Gan-rbar 5.5. Sistem torsi ini merupakan penyederhanaan dari gerakan dua roda gigi yang berputar dalam satu poros.

{ 190



Persamaan 5.19 disusun ulang menjadi:

Tiga segmen dai poros yang berputar memilikj konstanta k,t,k,zdan k,r. k,1 mewakili sifat pegas torsi antara tumpuan kiri sampai piringan pertama kiri, kr2 mewakili sifat kekakuan poros bagian tengah, dan rq3 mewakili kekakuan poros sebagai pegas torsi bagian kanan. parameter lain untuk pemyataan persamaan getaran torsi adalah momen inersia massa

Torsi masing-masing piringan dinotasikan sebagai

J rdan J, . M,,dan M,r, dan sudut

putar dari poros pada sisi kiri dan kanan piringan dengan notasi 0, dan 0r. Getaran dengan displa-cement untuk gerakan lurus dinyatakan sebagai sudut putar 0, dan 0, untuk getaran torsi ini.

J,0t+(k,,+ k,r)0,-k,,0,

= M,,

J r6,- k,ro,* (k,, * k,r)0,

= M,,

(s.20)

Tentukanfrekuensi natural dari sistem torsional DDOF seperti diperlihatkan pada Gambar 5.6. Asumsi parameter dinyatakan untuk: JlJo, J2:21o, dan

k,r:kp-k.

iTi ",rr(

ffil t

d.

Gambor 5.6 Getaran torsional DDOF untuk Contoh 5.3

Jawab:

*rr{fr* 0,)

Diketahui sistem pegas-massa dua derajat kebebasan seperli pada Gambar

(b)

5.6. Persamaan diferensial sebagai persamaan getaran torsi untuk contoh 5.2 memberikan asumsi dengan parameter sebagai berikut : Mtr Mp = k6: 0, Jr Jo. J 2 2J o.dan lq1 kz : h. Persamaan getaran torsi menjadi:

Gambur 5.5 Sistem torsional dua derajat kebebasan

:

Persamaan getaran torsiDDOF sebagai persamaan diferensial dari gerak -/r. Persamaan ini dapat diturunkan dengan prosedur metode Newton, dan hasilnya adalah sebagai berikut:

Jn0t+2k,et-k,0r=0

berputar untuk piringan Jrdan

J, 0 t = -k,,0, + k,r(0, -0,) + M,,

:

:

:

2JrOr-

k,O, + k,0, = 0

Persamaan ini disusun ulang dengan asumsi solusi hannonikberikut:

(s.1e)

o,(r)=@,cos(ro

Jr6, =-k,,(0,-e,)- k,ro, + M,, i

,l

/*0);

i=1,2

t92



Memberikan persamaan karakteristik frekuensi sebagai berikut: zao l'}o

-

5t.r2

+ i,,c,,

Jok, + kl =g

Akar dari persamaan di atas merupakan frekuensi natural dengan dua

k,,)

(-u,n,,, + iu,c,,*o,r)-l (-a'ntr,

[*,\=!o,r\ rr.ro,

+l,c,"**"r)J lx,) lrrr)

Didefinisikan Matriky hnpedansi mekanis dengan notasi Z^(iro) dan

mode shape, yaitu:

L(t-Ji\ / 4Jn'

+

l(-*t*,, [(-r'r,., +l,c,, + k,,)

193

asumsi percamaan dinyatakan sebagai berikut:

2,"(ia)= -a'm,.., + ir-c c,." + k,.",

*t',.t-u)

5.4 Getoron PoKo dengon

r,s = l,

(s.2s)

2

Persamaan 5.24 dinyatakan dengan impedansi sebagai berikut:

Solusi lmpedonsi don

12,.,(i,)lx

lnvers

(s.26)

= Fo

.={x,,}

lz.ri,ll :lx:,,**::,\

Analisis getaran berikut ini menggunakan prosedur dengan penggunaan asumsi kelompok persamaan karakteristik frekuensi untuk solusi impedansi dan metode numerik persamaan simultan untuk solusi inversi, digunakan dalam mengatasi penyelesaian persamaan getaran ini. Persamaan umum

dan

F,,={l}

Solusi persamaan 5.26 dilakukan dengan metode inversi persamaan berikut:

*

gerak untuk sistem dua derajat kebebasan dengan eksitasi berupa gaya dalam matriks kolom, dapat ditulis sebagai berikut:

"::l:11

=lr,,1iro)l '4,

(s.27)

Inversi matriks impedansi diberikan sesuai persamaan di bawah ini:

,,,.1

1n,,, ['; i_[.,, ",,j I*,[_[0,, 1,,,,, ,,',J l;,J*1.,, n,J [;. l*10,,

0,,1

*"] I-,1=tr] t.,i=1r,1

tr.r,l lz,,

Persamaan 5.1 merupakan kasus khusus dari persamaan 5.21. Harga iltr=ffit, tfr22 =m, dan n1,, =0. c11 sampai c22 danjuga unfuk

' ki;', dapat terdiri dari rangkaian koefisien. Asumsikan eksitasi asumsi gaya eksponensial ' q(0 ' sebagai fungsi harmonik dengan:

'

-'r:

ffil?

;',';),

x,(ia)=

zr,(iro)Fto -ztr(irui.)Fn z t t (i@) 2.,(;r) - 2,,' (ioo)

x,(ia) =

-2,,

(s.22)

o: 'adalah frekuensi dari penerapan gaya eksitasi. Kita dapat menyatakan

persamaan displacement solusi steady state dalam kondisi tunak dengan:

*,(t)=X,"'''", i=l,2

a1l-' =

:

|^]) "

r,

Persamaan 5.28 dan 5.27 memberikan:

parameter

F,(r\=F,,,e'"', i=l,2

(i

(s.2e)

(iro) r,o + 2,, (ilui.) F,o

z t t (i@)

2,,(;r) - 2,,'

(ir,i')

Dengan melakukan substitusi persamaan 5.29 ke dalam persamaan 5.23, maka kita peroleh soluqi displacement total (persamaan transien dan steady

(s.23)

state)dari

'X1 dan X2' adalah displacement maksimum masing-masing benda dalam bilangan kompleks sebagai fungsi dan 'al dan parameter sistem lain. Substitusikan persamaan 5 .22, dan 5 .23 ke persamaan 5.2 1 , diperoleh:

I

r,(r) aur rrQ).

I Dasar-Dasar Getaran Mekanis

194


195

F,(t)= F,rcosrtl,t, F, =0 Kita asumsikan solusi persamaan transien dengan bentuk Tentukan respons sistem pegas-massa dua derajat kebebaan tak teredam yang diperlihatkan pada Gambar 5.7 dalam kondisi tunak. 'mr' diberi eksitasi asumsi gaya Fr(r)= f,, cosa)t. Sistem pegas-massa dua derajat kebebasan tak teredam. Eksitasi gaya diberikan seperti pada Gambar 5.7. Tentukan persamaan respons dinamik solusi displacement dari dua benda.

harmonis

cosinus sebagai berikut;

*,(,)=X,cosat; i=t,2 Koefisien matriks dari Persamaan Impedansi 5.25 menjadi:

2,,(r)= 2,,(r)=

-a2m + 2k,

2,,(a)= *k

Jawab: Persamaan gerak sistem getaran DDOF tanpa redaman dapat diekspresi-kan sebagai berikut:

l* lo

il {i,;,,1.Y:r ;t){::,}

=

{''

";''

Sehingga persamaan displacement solusi total (transien dan steady state) dalam koefisien impedansi seperti persamaan 5.29 menjadi:

x, (r)=

}

(-''*+

(-^'*+ zk)r,n (-r'*+ ztc\' - tc' (-'' *+ 3k)(-a'm+ k) zk)r,o

Dan untuk X2(o:) menjadi:

(-ro',r+

,d,}r

[o,r

-

F!o66{r,,

KF

kF,o

X,(r)=

ztr)'

-

t' (-''*

Dengan mendefinisikan a',

=kl*

+ 3k)(-a'm+ k) dan

rrl/

=3klm

,

maka

persamaan di atas dapat disederhanakan dalam bentuk lain, yaitu:

,"(Of

F,o

{'-[;)'

x, (r)= k

[fiI-[;)'

Gsmbur 5.7 Sistem torsional DDOF untuk Contoh 5.4 Persamaan di atas dapat dibandingkan dengan persamaan 5.24,tetapi dengan parameter getaran berikut ini:

ffi,

=ffizz

=nt,

lTlD =

k,, = kr, = 2k, kr,

0, ct = ctz = 0

- -k,

x,(r\=

r

/-[iL "2 I

Ir,,i

F,n

-[(ff)'

[;)'][,[;)']

d



196

digabung maka persamaan karakteristik frekuensi akan diperoleh sebagai

5.5 Getoron Pokso DDOF Solusi Metode Roylegh

berikut:

Tinjauan untuk mendapatkan jawaban persamaan displacement total dalam bentuk persamaan transien dan steacly state dai getaran antara lain, dapat

(2k*ro2m)Ar

lr

z*

-r'*

)

(s.3 rb)

-k

l:o

Ay

dan A2

jika

(s.32)

(2k-2a:m))

-k

|

:

Dengan mengambil asumsi harga 'rrl2 )",', Determinan persamaan 5.32 menghasilkan persamaan karakteristik frekuensi sebagai berikut:

persamaan

7-!-J s\L=o.urrL

x, =( '

2mi, = k(r, - rr)'k*, mi = -k(*,- *r)- kr,

[2 2 )n \ fit)

/

(5.33a)

nt

r,,-[-;t]r, *l1Ll

Solusi total didefinisikan sebagai fungsi eksponensial harmonik sebagai berikut: osilasi ragam notmal didefinisikan sebagai osilasi, dan setiap massa melakukan gerak harmonik dengan frekuensi sama. Hal ini terjadi karena diasumsikan kedua massa melewati posisi kesetirnbangan pada waktu yang

m

(s.33b)

=o

Diperoleh dua frekuensi natural, yaitu:

sama, yattu:

a,

xr : Arei't , dan x2: A2ei'r

(5.31a)

Persamaan 5.1 mempunyai jawab untuk setiap harga Detenninan Persamaan sama dengan nol, atau kondisi:

penyelesaian selanjutnya. Berawal dari persamaan ini, prosedur metode Raylegh diberlakukan dengan menjadikan Persamaan Couple yang dalam bentuk matriks menjadi Persanruan Decouple dalam bentuk Displacement Koordinat Transforntasi. Sebagai langkah awal, dibahas dahulu analisis getaran sistem tanpa redaman DDOF sesuai contoh kasus pada Gambar 5.8. Koordinat dalam notasi x1 dan x2 ditentukan dari acuan gerakan inersia benda.

DDOF dari

-kAr:9

-kA,+ (2k-}ot2m)Ar:Q

dilakukan dangan menggunakan Metode Raylegh Metode Raylegh fokus pada persamaan karakteristik frekuensi, kemudian metode ini memberikan prosedur

Penerapan metode Raylegh dilakukan untuk diferensial getaran untuk sistem, sebagai berikut:

t97

(5.34a)

=?''!l'5 =

(5.30)

kxr

k(xr-xz)

ql)l () =A 22 =

kxu

-tr--4-

(s.34b)

Substitusikan persamaan frekuensi nafural 5.34 ke dalam persamaan (5.31), dan memungkinkan untuk mendapatkan rasio amplitudo. Bila or / : 0,634Wm diperoleh, maka rasio amplitudo menjadi:

Gambsr 5.8 Sistem getaran DDOF tanpa redaman

t =--J:= 2k-ajm 2-0.634

(l-\" \A,)

Pernyataan lain untuk modus getar atau mode shape agar trebih mudah dipahami dinyatakan sebagai cara suatu sistem untuk bergetar. Untuk sistem

DDOF, terdapat dua modus getar yaitu, modus getar peftama berkaitan dengan frekuensi pribadi benda pertama, dan modus getar kedua berkaitan dengan frekuensi pribadi benda kedua. Jumlah modus getar sama dengan jumlah degree offreedorn. Bila persamaan 5.30 dan persamaan sebelumnya

2)

e) rl

t-, h1

2k-
=11,7j1dan

= _) 72

a)=o.63lk/n.



198

b.

Prosedur metode Raylegh dengan urutan dinyatakan berikut ini: a. menyusun matriks persamaan getaran, b. menentukan eigenvalue, c. Menentukan eigenvector, ' d '. menentukan ortogonal eigenvetor, e. menentukan raylegh damping, dan f. mernbuat persamaan getaran bentuk tidak gendeng atau decoupled. Berikut ini contoh perhitungan dengan data untuk getaran dan langsung disampaikan sebagai persamaan getaran DDOF dengan koefisien matriks [m], [c], [k], dan {F} sudah ditentukan sebelumnya.

1.

Menentukan harga Eigenvalue

u_lo,oozo

l0

ot,utl ts,fizl

oll rstos,st 2*03,5ssl_l

1

0.0s32)12803.5se 40e7,st4) Lt4e,t413 2t7,e76t)

lA . )r,

Menyusun Matriks Persamaan Getaran Penyusunan matriks getaran dapat dilakukan dengan metode Newton. Misalkan diperoleh dalam bentuk matriks sebagai berikut:

199

-ll:;;:1":-

\

eii' lio,l=

o

Harga eigarvalue diperoleh sebagai berikut:

),"t:71,9828

l*llql *|")la\+ [r]{q} = {r}

c.

Dengan koefisien matriks massa, matriks damping, dan kekakuan, merujuk persamaan getaran pada awal pembahasan sub bab matriks

^e:237,9343

Menentukan frekuensi pribadi:

atl = 1, maka, crll :8,4843 radldet

1.5, sebagai berikut:

m=t I

ut.s o)I ) (=t | tzsa.sa t8,7e8)

l0

l-72,5e

-zs.sol, o__ltstos.s4 634.74 | l2803,sse

ul,z: 15,4251 radldet

2803,sse

Menentukan Eigenvector

40e7.st4

Eigenvector dinyatakan dengan mengasumsikan salah satu komponor vektor sama dengan satu, dan notasi untuk komponan vektor dinyatakan sebagai
Menentukan Eigenvalue Eigen value adalah harga karakteristik dengan notasi ' la'. Prosedur ini untuk mencari akar-akar persamaan karakteristik frekuensi dari harga eigenvalue yang diperoleh, dengan tahapan sebagai berikut: a. Membuat persamaan determinan persamaan karakteristik frekuensi sama dengan nol, sebagai berikut:

lA-xrl:

o

a.

_l ro,ostz rv,szzol!xl Jr) "'' '" lto,uts t4s,e%)loJ lo rA

(s.3s)

merupakan matriks identitas. Untuk menyederhanakan, [m] ditulis sebagai M dan [k] dinyatakan sebagai K, sehingga pada

tr-t

,

t

b. Untukh

(5.36)

) + t e,s3zo(t) = o 9zr =

|

(diasumsikan)

=237,9343

x) lt4e,t4t3 -te,es\2 )le) |

I

I

o,oozo oll rus,ss ol _11 ,' -lo o,oss2)lo tB,7sB.l-1, I) I

t

L lA-l"Il: I -tqs.ssst

ta,zsa o)l=l lo,oozo 01 26e7,slilo 1$,s ) lo o,os32) _l

_

)",

I rt = -0 '9789

penurunan selanjutnya, matriks identitas dinyatakan sebagai :

1Ul

_

= t e,ess2 (o

'I'

I:M-I'M; sehinggaA:M-'K

Untuk )'t:71,9828

= 1 4e,

01
&l

14 1

=o,l33B

3

te.s27ofl

l{ l=i

lol

I

l0)

(0,, ) * I e,95s2 (1) = o

9r,

=l

(diasumsikan)


200

Sehingga eigenvector untuk setiap DOF menjadi:

dan ideal untuk mendapatkan dua koefisien Raylegh Damping. Itulah

sebabnya metode

-o.sztg) -o.qzsq)aan e,=t e,=1 t t |

t

Menentukan Orthonormal Eigenvektor Orgonalitas eigenvector dinyatakan dengan persamaan berikut ini: ) on-

(s.37)

Sesuai contoh kasus, dan

'

u1

dan

02

.l-o,was)'I

' rpr'

dideftnisikan sebagai bilangan faktorial

tqs,s

oll-o,stas)

ts,7s.

u',\l sz ,soa + lB,79Bl

=

Diperoleh harga o (

-o o/:0,081

o,,

', dengan persamaan:

"'1 t j l,

1

I

)\ t

I

lo.tsst) r.=o'2t63\ r

-o,ozas)

I

berikut:

Orthonormal eigenvector disebut rnodal nrutriks, dan matriks ini merupakan gabungan eigenvector setiap DOF, atau {Q,Qr}, sehingga

[{0,

} {0, \)=l-onoor'ut ::i::)

[a] "lMl*

BlKl

o)*ulrsrus,st o1 lolrus,s ' 40e7 tB,7eB 634,74

I tzso,so

l0

143,5a

o

.l L0

) l0

+ 13193,549

20853,92 + 4097

:

,s 1 4

)

17 56,36

$149:

634,74

Dengan cara eliminasi didapat:

Menentukan Raylegh DamPing Raylegh Danping merupakan konstanta yang memenuhi persamaan berikut ini: =

Konstanta mendekati, yaihr harga sekitar harga' o dan p '. generalisasi untuk mendapatkan harga sekitar Konstanta tersebut, dilakukan dengan

Untuk DDOF kasus ini, Raylegh Damping diperoleh dengan persamaan

lotzaq)

J=\n.r,orl

o=

terbentuk hanya dua sebagai solusi ideal, sesuai dari hanya dua Konstanta Raylegh Damping (ct dan B), sesuai persyaratan yang diinginkan. Umumnya, kondisi persamaan simultan dengan solusi riil yang ideal, mempunyai persamaan kombinasi linear dengan harga

Idealnya persamaan simultan satu sama lain mendekati identik atau dengan nilai setara. Sebagai contoh, satu pers4maan independen, 2 persamaan lain identik yaitu xa + xb : 3 dan persamaan berikutnya 2 xa+ 2 xb:6. Tetapi persamaan ke4, dengan 2.01xa + 1.98 xb:5.89 6 masih dikatakan identik dengan epsilon dapat ditoleransi, dan MDOF dengan epsilon sesuai persyaratan merupakan kondisi getaran lamp mass atau bongkah massa yang mendekati ideal.

J=

Jika diterapkan rumus ABC, maka:

,l=to.o8

DDOF.

Metode Weighted Residual.

t

: 0,08 dan o 1: 0,2163, sehingga:

,szss)

ini efektif untuk diterapkan pada

Pengembangan analisis lebih jauh, penggunaan metode ini untuk persamaan getaran yang >2 DOF dapat dilakukan dengan syarat beberapa persamaan lainnya dapat mempunyai nilai epsilon terhadap salah satu percamaan getaran yang dipilih. Persamaan simultan yang

I

I

20t


(s.38)

Harga ' o dan p ' merupakan satu harga untuk orde persamaan getaran berapapun, padahal dua persamaan getaran atau DDOF sudah cukup

a=

-3,39 dan B :0,17

Cek perhitungan berikut ini tidak begitu bermanfaat karena penerapan

untuk DDOF, tetapi tidak demikian halnya untuk aplikasi MDOF dengan metode Raylegh. Persamaan selanjutnya dikatakan dengan harga epsilon relatif kecil. Persamaan tersebut adalah:

O'[c]$=cul+FI

(s.3e)



Persamaan yang didapatkan untuk

Dengan memasukkan semua parameter yang diperoleh maka:

v:40

km/jam adalah:

y + I 2,2 I 5 y, + 91,81 y, = -4,55 sin46,472t - 2 1,38 sin( 46,472t + 25,22

0,l2sslrltzsat 476,6f1 -0,0783 0.028s )_la,aut 01 lo,orus 10,0s 0,2t63) 1476,6 632,e )L0,08 0,2t63) l0 370s88) 6. Membuat Persamaan Getaran tidak Gandeng atau Decoupled

y,

+ 0,0266

jt,

+ 0,I68

y,

= -257 ,7 sin 46,472t

-

0,378 sin( 46 ,472t + 25,22

) )

5.6 Ringkoson

Koordinat y(t) diasumdikan, hasil transformasi sesuai persamaan di bawah ini. Persamaan ini sebenamya tidak perlu lagi dinyatakan sebagai rnatriks, karena sudah merupakan persamaan dua SDOF sebagai berikut:

Pada analisis persamaan gerak untuk sistem dua derajat kebebasan ditemui konfigurasi amplitudo dua derajat kebebasan yang disebut dengan nonnal mode, yait't fenomena sistem belgetar pada salah satu frekuensi naturalnya.

(s40, l'o i){;,}.17 !,H;,}.[]' ^',){i,}={!,} It lfly,)|a,atzr o)ly,lIzr,oaza olly,l _Irl lo rllrl"Lo sz,osaa)\t,,1*lo zsz,ous)\r,l-\r,l

Analisis pada sistem getaran dua derajat kebebasan dilakukan pada getaran bebas tak teredam, torsional, dan getaran dengan eksitasi. Jawaban permasalahan getaran dua derajat kebebasan melibatkan metode perhitungan matriks untuk mendapatkan solusi persamaan respons-nya. Salah satu solusi yang ideal untuk DDOF adalah prosedur metode Raylegh.

{i:,}. {,

i:fi,','l,}. {li iiiii ;,}

=

5.7 Perlonyoon untuk Pemohomon

{!,}

1.

di mana:

fl}{il rlL:J ,.1:1;,,.p) ,,.F].: o{:,oun

{!,}.1''"''r',-

,. l[ ,] ,, .{: ]'{ x;,}

{'lf,) :).l'L0,08320,aw22 :YI: IY)') {'l-223t.07s)' I! :'!-}(o {'r'rt;ulr

r\

(t'

t

ds

cosz 3'

2

s)

os s i n z s z s,)

. {i{l llt}

getaran DDOF-nya! Sebutkan 3 (tiga) kegunaan prosedur metode Newton!

,l , .{7:,1

Sebutkan prosedur metode Newton dengan menyertakan contoh dari gambarberikut, yaitu Gambar 1.8b, 1.9, 1.15, gambarpada Soal 4Bab 6, dan gambar Soal 8 Bab 6!

22

zst) . y::,' .':) @,ossinzs \

3.

1s034,634)

(t,

t Az

S co.s

Sebutkan 4(empat) contoh DDOF dan diskripsikan masing-masing dengan contoh, ditinjau dari: variasi koordinat, macam benda, beban yang bergetar atau berayun, persamaan getaran DDOF, dan persamaan

23,25t + z,Szz)

4.

Selain dengan metode Raylegh, jelaskan 4(empat) cara lain untuk penyelesaian DDOF mengikuti asumsi eksitasi gaya yang berbeda ! Tulis 4(empat) persamaan getaran DDOF masing-masing! Sebutkan 6(enam) prosedur penyelesaian Metode Raylegh!

ini ideal untuk DDOF dan tidak untuk DOF>2, dan dalam'kondisi persamaan getaran MDOF simultan kondisi Jelaskan mengapa metode

seperti apa metode lni masih relevan untuk digunakan? Bagaimana solusinya?

_[-zt,sso.tirzl,25r-19,079sin(23.25+2.522)-124.08tcu;23,25r-42,631catt23,25t+2.522)\ | -to.Ssotinzs.25t+68.923sin(23,25t+2,522)-ll-t,505cos23.25t+l54ccx(23,25t+2'522 )

I

:

204

5.



Terangkan pasangan pengertian atau istilah berikut perbedaannya:

a.

ini,

sehingga jelas

amplitudo, dan lokasi node untuk dua mode getaran ffit = ffi2 =

l,= l, - |

Persamaan getaran couple dan decouple.

b. Modus perpindahan d.

mass.

5.8 1.

4.

Tentukan mode shape dan natural frekuensi dari gambar soal nomor 2, untuk tn, =fr2= m dan l, : l, = 1t

5.

Tenfukan persamaan natural ruorle ataumodus perpindahan dari gambar soal nomor 5 unfuk k r=k r=/s

Sool 6.

Tentukan rumus dari frekuensi natural sistem pada gambar soal No. I

dengan tfl, =1ndan mr=2m, kr=k dan kr=2k. Tentukan juga persamaan respons displacement dari sistem ketika k= 1000 Nlm, m=

t'

Tentukan mode shape atau modus getar dan natural frekuensi dari gambar soal nomor 1, untuk tn t=tn 2= m dan k ,:k ,: /s t

Solusi transien dan solusi steady state.

e. Eigenvalue dan Eigenvector.

-l

r-

ls

t

Sebuah overhead traveling crane dimodelkan seperti gambar soal nomor 6. Batang memiliki momen inersia (I) 0,02 mt dan modulus elastisitas (E) 2,06 x 10rr N/m2, tmk dengan massa (rz,)tooo kg, mengangkat

beban dengan massa (rr, ) SOOO kg, dengan kabel yang memiliki konstanta stiffness 3 x lOs N/m. Tentukanfrekuensi natural dan mocle shape atau modus getar dari sistem untuk kedua kondisi massa truk!

20 kg, dan initial value dari displacement dari massa m, dan

mradalah 1(satuan) dan

m, dan

3.

dan modus getar.

c. Lamp mass (bongkah massa) dan Continous

205

(satuan)!

Asumsikan panjang lintasan 40 m. Base

-l,,,, Ganhx sodt\ltt

-l,,to *

li

7.

Ganbxsodllkt-E

Tentukan persamaan frekuensi natural dan normal mode dari sistem torsional seperti gambar soal nomor 7, untuk J , = 2J , dan k,, - 2k,t t.

Gnubtrsoal !\rt.l 2.

(]*xtbat

ltronl

No.)

Turunkan persamaan diferensial getaran dari double pendulum seperti terlihat pada gambar soal nomor 2! Gunakan koordinat x1 dan x2 dan asumsikan amplitudo kecil. Temukan persamaan frekuensi natural, rasio

&l

206


207


F- r,-|*-

r"-------!

untuk soal No.l0 11.

Gambar soal No.7

Gambar soal No.8

8.

Tentukan persamaan getaran DDOF dan frekuensi natural, dari sistem seperti gambar soal nomor 8! Asumsikan tali yang melintasi silinder tidak slip (parameter lain diasumsikan sendiri alphabetnya).

9.

Sebuah mesin bubut dengan massa 1000 kg dan massa momen inersia

-f0:

300 kg

*',

Sebuah batang rigid yang diabaikan massanya diengsel di tengah tengahnya dan akan bergerak ke atas oleh pegas dan massa seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Tentukan rumus frekuensi natural dan mode shape dari sistem gambar di bawah ini!

disokong dengan elastic support seperti gambar di

Jika stiffness dari penyokonl kt = 3000 N/mm kz =2000 N/mm, dan lokasi penyokong pada l,:0,5 m dan lr:0,8 m, tentukan bawah ini.

frekuensi natural dan mode shape dari mesin bubut! Gambar untuk soal No.l

I

*cq-dxlojN/m

Gumbar untuk soal No.9

DDOF, mode shape (modus getar), dan natural frekuensi dan gambar di bawah ini untuk tnl: m dan l, = 21,r.

10. Tentukan persamaan getaran

Gambar untuk sool No.l2

208


12. Kompresor dengan massa 1500 kg pada pegas dengan stiffness 4 x 105 N/m, ditempatkan di tengah lantai dalam pabrik. Kompresor dengan pegas dimodelkan sebagai batang fixed-fixed dengan fanjang l0 m, modulus elastisitas 200 x lOe N/m2, luas penampang momen inersia 2,3 x l0 'mo, da, massa (m6) 7500 kg. Batang ditananipad atanahyang memiliki stiffness 6 x 106 N/m. Gunakan model 2 derajat kebebasan seperti gambar di samping ini untuk mendapatkan persamaan getaran

(r,

)k:

1

kg,

Q"):

2 kg, k,

- k, = 10.000 N/m, c, = 2.000 N.s/m,

dan initial condition ( ,, (O) = 0,I 5 < x,(o)=0,1 mdan xt(0)=xr(O):O

dan rumus frekuensi natural dari sistem!

Jb\4*

n,

I

r,,

13-17 Tentukan persamaan getaran dengan metode Newton, persamaan mode shape, dan rumus natural frekuensi dari gambar Soal 13,14,15,

16, dan l7r.

T

HIr

H'1

{xz

Hrr

-r

r!(r,

zk

Gambar soal sool No.l8 No.l8

F-

Gambar soal No.l3 r.s m

_iF_*

l3 m __-l

t*L__-_*_*l

19. Tentukan displacement untuk solusi total masing-masing massa dengan ,, (r)Oun x, (l) seperti pada gambar Soal 13 dergun aata:(m,)Z: I kg,

m,l

m=l.5kg

/ I Gambor soal No.l5

(nr):2

=0.6kg,rn2

=2(Ex ldNZm

*f=*-t*

mbur soal No.l9

Gombar soal No.l4

kg,

k,-kr:fr:=

10.000 N/m, c,

2.000

N.s/m, dengan menggunakan initial condition x,(O)=9,2 Gombor soal No.l6

*, (0)

= 0,1

m

dan

r,

(O) =

*,

101

:O

t

Gambar soal No.l7 18.

=c2=ct=

Tentukan displacement untuk solusi total masing-masing x, (r)oun x, (r) seperti pada gambar Soal 13, dengan data:

l

Gambar untuk soal No.20

m,

2t0


(r) t"p..ti pada gambar Soal 13, (,n,)= | kg, Qnr): Z irrr, k, = k, - k, =10.000 N/m dan c r = c2 = c j = 2.000 N.s/m, dengan menggunakan initial condition

20. Tentukan displacement untuk ,, (r) aut

*, (0) = 0,2 nt, *,(0) -

0,

Im

dan

*, (o)

=

x.,

*,

101

:O

BAB 6 SISTEM GETARAN MDOF

t

Kompetensi yang ingin dicapai setelah mempelajari bab ini adalah:

L

Mampu menurunkan persamaan diferensial untuk sistem dengan n-derajat kebebasan (MDOF) menggunakan persamaan Lagrange.

2.

Mampu mentransformasi persamaan getaran hasil analisis dengan ke bentuk matriks untuk kasus sistem getaran

persamaan Lagrange

bebas tak teredam dengan n-derajat kebebasan (MDOF).

3.


persamaan Lagrange

bebas teredam dengan n-derajat kebebasan (MDOF).

4.


persamaan Lagrange

paksa tak teredam atau teredam untuk n-derajat kebebasan (MDOF).

6.1

MDOF

podo Sistem Pegos-Mosso

Multy Degree of Fredon (MDOF) merupakan idealisasi sistem getaran lamp mass atau sistem bongkahan massa. Contoh sistem pegas-massa MDOF dinyatakan pada Gambar 6.1 sebagai idealisasi rangkaian gerbong kereta. Prinsip free body diagram dan hukum Newton-3 digunakan untuk rr;. Persamaan getaran untuk rz7 dapat diturunkan sebagai berikut:

tfi, xi-k,x,_, +(k,

+k,*,)x, -k,*,x,*, = F,

) i= 2, 3,..n- I

Persamaan diferensial getaran 6.1 dari massa m1

(6.1)

ini dapat diberlakukan

identik dan seterusnya sampai berlaku untuk m,,. Hal ini dilakukan dengan asumsi setting parameter sebagai: i=1, xo=0 dan i= n,dan xn*,=0,

2t2


diperoleh: tnt x

Sistem Getaran MDOF

*,

t+(k,+ kr)x, - krx,

*,,'),, * (k, + k,,*,)

xu

(6.2)

= F,

- k,x

u-,

;

F

dan

adalah vektor untuk displacement, percepatan, eksitasi gaya. dan veklor tersebut, dinyatakan sebagai matriks kolom dengan orde baris sesuai jumlah DOF-nya, berikut:

*,(t) *,(t)

(6.3)

= F,

Persamaan 6.1 sampai persamaan 6.3 dinyatakan bentuk matriks, yaitu:

l*l'i*[r)x

=

*(t\

r

213

(6.4)

x,

0

0

0m,0...00 0 0 tfrs .. 0

0

l*1=

0

0

(6.s)

'

i(,)

(k, + k,)

*, (t\

sebagai berikut:

- k,

lrl=

(*,

0

+

te

,)

k, - K.l

0

(tt, + tcr)

-k,

-k 1H,l

(

r,(r)

m.

(6.6)

0

0

"t{II

tt

ff1D 111

fflts

frlt,

2'

ffl

ZS

nl

z,

t't'l

t,t

ffi ,,

2n

(6.8)

In,)=

0

(6.7)

Sistem getaran pegas-massa tanpa damper di atas adalah kasus khusus untuk DOF sampai ke-n, sehingga merupakan sistem dengan n derajat kebebasan. Dalam bentuk umum, matriks massa dan stiffness dinyatakan

frtt

0

I

[, ,,,J

:.

l11

-t',

r(,)=l ", t'l

=

'*,,(t)

ffl

000...0

[r, (,) I

r, (t)

=

Koefisien dalam matriks [m] dan [k] (tidak ada matriks [c] karena sistem memang tanpa damper) adalah matriks massa dan matriks stiffness dengan koefi sien sebagai berikut:

tlt

(t)

ill

k,,

k + k,,-,)

k,, fir)-

--i

lrl=

(6.e) 'k,,,

pornrrlj! ro,.rzrfjl.

ro,,,,rf3

f*

,**rf* roi'r"f5

k. k.

k

(r)

t-+

F-.r rtr)

+r. + i:

(b)

Gombur 6.1 Sistem pegas-massa MDOF

6.2 Persomoon togronge unfuk Persomoon Getoron Pembuatan persamaan diferensial getaran, selain menggunakan prosedur Newton seperti yang dibahas dalam Bab 5, prosedur lain dapat digunakan, yaitu dengan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange ini dihrrunkan dari selisih energr antara energi potensial dikurangi energi kinetik yang terjadi

2t4


selama proses getaran. Pemahaman terhadap metode

ini

Sistem Getaran MDOF

sangat dibutuhkan

dengan

'T'

k

k

2k 2m

m

3k

dari sistem, adalah sebagai berikut:

L=T -V

juga mempunyai turunan fungsi. Fungsi turunan ini dapat disamakan dengan fungsi asalnya, yaitu sanru dengan nol. Dengan istilah lain, dari koordinat umum persamaan 6.10 dan fungsi turunannya terhadap waktu adalah sama.

Setiap DOF memberikan fungsi Lagrange dengan 2(dua) variabel independen, yaitl displacenrcnt dan waktu. Jika terdapat n-DOF MDOF, maka terdapat 2n-vaiabel. Turunan terhadap waktu dari koordinat umum, dipandang sebagai variabel independen dari sejumlah koordinat umum. Sistem operasional dilakukan secara koservatif, yaitl operasi dot produk dat'r vektor sesuai Lagrange. Metode Lagrange merupakan metode dasar dan diambil sebagai clisplacentent virtual vector, dan metode ini didefinisikan oleh satu koordinat umum, yaitu:

( . . .\ r-,, .....x,, xt, x:, ...x,, [xl )

sebagai berikut:

il-l--=o \ox, ) ox,

,rt

(6.12)

Persamaan 6.12 diaplikasikan untuk menurunkan n persamaan diferential getaran untuk sistem dengan n-derajat kebebasan. Persamaan Lagrange digunakan unfuk menurunkan persamaan diferential getaran dari sistem getaran linier maupun untuk sistem getaran nonlinier.

I

=

-

fit x t +

- /nt x :+ -

tll x t

Energi potensial sistem menjadi seperti berikut:

,

=l*i *!zr(*,-*,)' *!-r$,-r.,)' *.!-sui

Furgsi Lagrange dinyatakan dari dua persamaan sebelumnya, diperoleh:

L=T -V ,f

=

.2

ll2l *i,

+

.2 .2 2mi: + *i, - tol - 2 k(x, -

*,)' -o(*,-*,)'-t*:)

Aplikasikan persamaan Lagrange untuk membuat persamaan diferensial getaran adalah sebagai berikut: Untuk massa pertama:

/\

al

uI

ar .._l .......- t__:n

dtl ^' I ox, \ox,) ^'

d( . \ f mxt l-l -kx.t - 2k(x, - *,)(-t)): -ldr\ ) L *'x,+ 3bt - 2kx,

-0

Untuk massa kedua: Gunakan persamaan Lagrange unfuk menurunkan persamaan gerak dari sistem Gambar 6.2. ' xr, x2, dan x3 ' digunakan sebagai koordinat umum.

I

Energi kinetik sistem yang sesuai dengan Gambar 6.2 adalah:

L

i:t,2.

6.

Jawab:

(6.1l)

Hasil dari persamaan energi dapat dimanipulasi untuk membenkan furunan dari persamaan 6.11. Turunan persamaan Lagrange dinyatakan

a( aL) ,.

Gsmbsr 6.2 Sistem pegas-massa untuk Soal

(6.10)

Fungsi transformasi seperti halnya dengan Laplace, Fungsi Lagrange

L=f

It

l-+

untuk meng-analisis kasus sistem MDOF. Lagrange dari sistem dinamik dengan notasi ' I ', definisi untuk energi kinetik ' V ', dan energi potensial

215

4 Pl-)- oL =o ''Iur, ) u-,

o

2t6


*(,,i,)- l-zr(*, zri*,-

3.

zto,

_,,)_t(r, -,, )(-r)]

Kerja semu dirumuskan sebagai berikut:

=o

(6.13)

6w = Lo,6x, i=l

+3kxr-br=0 ' Q;'

disebut dengan gaya umum. Persamaan Lagrange untuk sistem nonkonservatif ini menj adi :

Untukmassa ketiga:

r\

/\

dI AL -- -n -- Il- AL ::-r dtl ^' | oxt \ox, ) ^'

*(*;')

2t7

Sistem Getaran MDOF

al arl

irdtl . tI

aL

.=Q, i: l, 2. ....n

(6.14)

^ ) oxi ^ \ox,

- [-o(,, - *,) - s rcx,)=

o

nTxr- kx, + 4kxt = 0 Jadi persamaan gerak dari sistem yang sesuai dengan Gambar 6.2 adalah:

mxt* 3kx, * 2kx, =9

zni*,- 2kx, + 3kx, - kx, = I

Yang pernting untuk pembuatan persamaan getaran dengan persamaaan Lagrange adalah deskripsi atau pemyatakan energi kinetik (untuk massakecepatan dan redaman-kecepatan) dan energi potensial (untuk kekakuandisplacement). Pernyataan energi ini harus dilakukan dengan runtut, lengkap, dan benar. Contoh 6.1 masih menggunakan koneksi antar semua massa dengan pegas. Contoh berikut ini masih dengan jumlah DOF yang sama, tetapi menyertakan kombinasi pegas dan damper pada posisi tertentu, seperti pada Gambar 6.3. Perbedaan dan persamaan dari persamaan getaran contoh 6.1, contoh 6.2, dan contoh 6.3 dapat menjadi perhatian kita, berikut ini.

o;;,- kx. + 4kx, = g Hasil persamaan getaran pada contoh di atas masih belum menggunakan eksitasi sebagai gaya luar. Kontribusi eksitasi gaya dinyatakan sebagai berikut:

1.

Sistem terdiri dari n-DOF atau derajat kebebasan, dan sistem didefinisikan dengan koordinat umum bernotasi ' xt,xr, X3, .......Xn '.

2.

Gaya eksternal non-konservatif atau gaya berbentuk umum. Gaya umum ini adalah eksitasi gaya perlawanan terhadap gerakan DOF yang timbul akibat pemasangan sistem damper.

Gunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan gerak sistem di bawah ini dengan x1, x2, dafl x3, sebagai koordinat umum.

l-.-+rl

F*rt

f*rl

Sistem mengalami displacement kecil dengan posisi baru, yaitu

xt+6x, xr+6x,, ....,x,,*6x,,.

Perubahan displacement

ini

disebut

dengan virtual di splacement.

Ke{a semu karena kita asumsikan akibat aksi gaya eksitasi pada kondisi ini disebut virtual work.

Gambar 6.i sirrnm pngns-massa-redaman untuk Soal 6.2

.Iawab: Prinsip persamaan Lagrange adalah metode virtual work atau metode kerja

semu. Displacement semu sesuai Gambar 6.3, didefinisikan sebagai


218

&t,6x2dan dx.,. Penyertaan konstanta damper menimbulkan kerja kinetik, tetapi arah kerja ini berlawanan dengan arah kerja gaya yang dibangun dalam viscous damper. Gaya damper tersebut adalah cx, .Ke4asemu dari damping

perlama dari

kiri pada sistem menjadi -"*,6*,. Damping

(. . \ adalah 2c! x,-r-,

\i(i l.

r. r.4, semu menjadi 2cl xt_ x)

.\

selanjutnya

l6x,. Karena

di', maka kerya

titik ini

semu pada

-2r(;,-*rlarr. \/

adalah

Keqa senru

totalnya menjadi:

(.

.

. \

/.

=!! i k,,.r, a .-, -, Z t=t l=t

(6.

tl t l

lu

' j,\,I,"',,r'* '=

t5)

(6,16)

'

linier ini menjadi:

lf t,,(i1,,,,, xt.-x i-k,, x, x, \-l

Gaya umum yang berkeqa akibat pemasangan koefisien damping

^

v

L= -l 3

['=r

'=r1

tt

'1

ll

)J

Persamaan 6.14 dinyatakan kembali sebagai berikut:


.

gerak benda dengan t/:nnt) sebagai berikut:

Persamaan Lagrange untuk sistem

. \

6w =-cxt 6x, +2cIx;-"..Jsx- -2c[.r:-x-'J6x,

Qr =_.cxr

' k ' yang tidak konstan. Harga ini merupakan fungsi durt besar defleksi yang diterima. Getaran memiliki domain waktu skultt relativitas atau kondisi tertentu yang menyebabkan terjadinya peluntluut massa sehingga sistem tersebut tidak linear. Persamaan 6'15 menyatakull bentuk kuadratik untuk perpindahan atau displacement, sesuai rumus encrgl 2, potensial pegas sebagai %itx' dan persamaan 6.16 menyatakan energl kinclik mendapat harga

gaya

yang berkerja dan damping kanan berlawanan arah dengan arah perpindahan

219

Sistem Getaran MDOF

/.

= 2cl Q,-\)\/

. \

-r,-,r:

I dan

/.

.\

Q,=-2clx;-.r-,

I

r\

aL I aL "dl| ", l_ ":. =e, i: dtl ^' I ox, \ox,.) ^'

1,2, ....rr

(6. r4)

Langkah selanjutnya dilakukan dengan mengikuti langkah contoh Soal 6.1. Persamaan getaran dengan penyeftaan damping sesuai Gambar 6.3

Eksitasi gaya dalam bentuk umum untuk setiap benda dari peramaan MDolr,

diperoleh sebagai berikut:


mi,+

3lcr,

-2fu, =-r*,

(. .\ 2m x t- 2kr, + Jft\'_, - kx, : 2cl x.r 'x., \/ nii,-

Ax,

+ 4kx, =

., n : i : f ,1,,,, :,1*rr;, )] . *,, *(., )I (6.

I

-2r(;,-;,) \/

Formulasi matriks umum sistem dengan n-DOF mempunyai koordinat sebagai gerakan bebas sebanyak-n. Sistem linier ini dinyatakan dalam bentuk energi kinetik dan potensial dengan kedua persamaan energi ini menjadi kuadratik. Sistem linear yang dimaksud adalah harga V dan 7 dari persamaan dengan konstanta ' k dan m ' yang konstan. Dalam hukum Flooke, perilaku material dari kurva ufi tarik (terutama material non-logam dan non-kayu)

n =:i.,,{,,,, *1,

t7)

T.t,*]*,,[,, **,,"t)]

Persamaan pertahra dari persamaan 6.17 merupakan rumus umunl penerapan persamaan 6.14. Persamaan ke-Z dari persamaan 6.ll merupakatt penjabaran lain untuk menyatakan eksitasi gaya dengan pendekatan numerik. Pendekatan numerik dilakukan untuk solusi eksak tidak memungkinkan atatt lama pengerj aannya. Hal ini akibat pendekatan sebagai berikut:

220


i*l i:l

*=u,={0, untuk'

Persamaan

o,

=

Q1

Untuk getaran bebas sistem linier n derajat kebebasan, maka persamaan umum getaran adalah sebagai berikut:

'menjadi:

! i. t { * 6,, * i, a,,f+ r,,,(,, u, *,, u,, )i=r i=r| " *,1;,

r/ =;l,a,nt,, xi+ t,nt,, x i +,1,k,, xt+

Indeks penjumlahan persamaan

)}

\ Ltkti x i

M x+C x+ Kx=0

(6.21)

Kita ulang kembali sebagai introduksi, yaitu kondisi getaran

bebas

dengan asumsi tanpa eksitasi gaya dan tanpa redaman. Dengan memasukkan harga 0 dan tanpa eksitasi gaya, persamaan 6.21 diasumsikan sebagai solusi displacement dengan sederet fungsi eksponensial, yaitu:

C:

x=

)

di

atas berubah sehingga kombinasi penjumlahannya akan menghasilkan seperti berikut ini:

t(,, t ffir,)x'+ i,(k,,+ k,,)x'J \ ^ =11,t,@,t

to'tsl

Q,

v

Ae

i(Dl

Setelah persamaan Lagrange dibuat maka perlu dicek komposisi ini, apakah masih mengikuti pola persamaan getaran pada umumnya. Perlu dicermati, atau sebagai catatan pada persamaan 6.15 dengan k,,dan (, , keduanya adalah perkalian vektor dot dai produk ' xix j persamaan

Persamaan 6. 1 8 berlaku untuk kondi

si m,,

:

m,, . P ersamaan 6. 1 8 menj adi:

nttn

xi l=1, 2,...n Q,=Znt,,xi*2k,, ' i=l i=l

(6.1e)

'

Persamaan 6.19 merepresentasikan sistem n persamaan diferensial linear tanpa redaman, atau dengan sederhana sebagai:

M x+Kx=F

(6.20)

adalah matriks massa dengan orde n x n, dan 'K' adalah matriks striffness dengan orde n x n. ' F' adalah matriks kolom vektor eksitasi gaya dengan orde n x l,dan 'x' adaTahmatriks kolom vektor displacementorde n

'M'

x

l. ' x

n

x l.

=0)2

X

(6.23)

Frekuensi natural diperoleh dari akar kuadrat dari eigenvalue dengan setting persamaan M-t

K

sebagai berikut:

detlu-tx *l.i'tl=o

(6.24)

atau,

detlx

-a'ul=o

(6.2s)

Matriks I pada persamaan 6.24 merupakan matriks identitas orde n x n. Jika matriks K bersifat non-singular, maka invers matriks tersebut menggunakan matriks fleksibilitas A, dengan A = K-t . Persamaan 6.25 berubah menjadi:

aetla',tu

-

rl=o

(6.26)

riil untuk sistem getaran normal menunjukkan bahwa harga eigenvalue dari hubungan M-'K yang berhubungan dengan bentuk

Kondisi semua

' adalah matriks kolom vektor percepatan dengan orde

(6.22)

Dengan harga C : 0 dan F : 0, solusi modus getar ata:u mode shape vektor X dan frekuensi natural ar sebagai matriks eigenvalue dan eigenvektornya dinyatakan dengan persamaan karakteristik frekuensi sebagai berikut:

M-t KX

'.

221

6.3 Getoron Bebos Sistem MDOF

Ruas sebelah kanan tanda ':' dinyatakan dalam 4 (empat) suku sesuai keberlakuan indeks i dan l, sehingga persamaan di atas menjadi: Q,

Sistem Getaran MDOF

simetri dari matriks massa dan matriks stiffness tidak negatif. Dengan kata

lain, frekuensi pribadi harus diperoleh positif, sehingga kemudian ada n

222


dengan harga masing-masing eigenvalue ,,oi, eigenvektor non-trivial

M-tKX =of lll

X,

.

Sistem Getaran MDOF

drmana

i=1,2,...n dan memiliki

Persamaan tersebut adalah sebagai berikut:

x

(6.27)

Contoh 63

k

0=-. nt

Matriks determinan memberikan persamaan simultan dengan pangkat tertinggi dari polinomial sesuai jumlah baris atau kolom matriks. Dalam uraian ini kita nyatakan polinumial dalam karakter yang tidak diketahui sebagai p. Ekspansi dari determinan menghasilkan persamaan karekteristik dalam karakter B sebagai: p3

Cari persamaan untuk frekuensi natural dan modus getaran atau mode shapes untuk sistem tiga derajat kebebasan seperti yang terlihat pada Gambar 6.4.

223

+1282

*39$ +24=0

dengan $=XIO

Akar dari persamaan karakteristik dalam parameter ' p 'menjadi: Ft =0,798, 9: = 4,455, dan B, = 6'747 Sehingga dari tiga frekuensi natural kasus ini diperoleh:

@r=0,893 Gumbar 6.4 Sistem pegas-mosso Soal 6.3

t..

1.

0

-o

60-x

t/2Av atas memberikan

t/

l,

ll

60-L, _llx,,_l Lol

yang sama dengan satu sehingga vektor modus getar untuk yang lain diperoleh. Persamaan pertama untuk X;; menjadi:

^t ^ 5Q_ L,

l:

Persamaan ketiga diperoleh:

[rO-^ -2+ detl -20 Jo -20 l0 I

-24

lo

ll

persamaan berikut:

(awab)

t?t

[ro-^.

X

L

di

k

Persamaan matriks ini diuraikan menjadi tiga persamaan simultan umum tanpa bentuk matriks. Umumnya dipilih salah satu vektor koefisien matriks

:i iltll [j]

Penerapan persamaan 6.24 pada persamaan

= 2,597

-2+ o 11r,1 lol r0-1, -O x,, l=lrl l-zo lilrrr

Solusi persamaan diferensial getaran dapat diperoleh dengan cara Newton ataupun dengan cara menyatakan persamaan Lagrange yang unfuk getaran bebas akan menghasilkan persamaan yang sama. Dalam bentuk matriks, persamaan getaran tiga-DOF dinyatakan sebagai berikut:

.lir

!;

tl;

cD,

Mode shape atau modus getar diperoleh dengan mencari solusi nontrivial dari persamaan berikut ini:

Jawab:

oll:.' ln,o lo nt o llx, lo o ,, )l':.

F , 02 = 2,110 F , dan

A

2q

''t --A 60-L,

t/

t2t


224

Dengan memilih harga

X,, :

1 maka diperoleh vektor mode shape:

lo,ooal I t-0,s341 x,=l ,1.*,=ll-t,szs,1,*,=l /| | t,2e4)

lo,3\4)

fiawab)

225

Sistem Getaran MDOF

,(o)= _L,x,A,tinq,

(6.31)

,(r)=

(6.32)

L,x,a,A,cosg,

l-2,677)

Solusi persamaan untuk problem homogen MDOF umumnya dinyatakan dalam bentuk eksponensial, misalnya sebagi berikut:

*(r)

=z

x i (c Pi"" + c,re-'," )

(6.28)

i

Solusi persamaan 6.28 ini mengandung bilangan kompleks. Pendekatan deret dari identitas Euler digunakan untuk mengganti bilangan kompleks dengan funsi trigonometri, sehingga jawab getaran bebas MDOF dapat dinyatakan sebagaiberikut:

x(r) = ZX,(C,tcoslrr,,t

+

C,, sina,t)

(6.2e)

Persamaan 6.29 dapat dinyatakan dengan cara lain, yaitu dengan manipulasi matematik dari identitas trigonometri, sehingga diperoleh:

*Q) = i,*,o,sir

(r,r,r

-

g,

Tentukan persamaan getaran MDOF tanpa redaman dari Gambar 6.5, pegas dengan sebuah model 6 (enam) DOF. 'frl' sebagai idealisasi kekakuan pegas dari sifJroda dari jalan ke axle. ' ft, ' merupakan idealisasi kekakuan axle ke chasis-body kendaraan. 'frs' adalah idealisasi stiffness dan tempat duduk dengan penumpang (diasumsikan mereka menggunakan sabuk pengaman).

Jawab:

Koordinat umum mengikuti Gambar 6.5 sebagai displacernent vector, didefinisikan dengan x: I xr x2 xj x4 xs 0].

(6.30)

)

Untuk mendapatkan sejumlah harga koefisien C diperlukan sejumlah initial contlition yang harus spesifik sebagai variabel independen. Qmurnnya initial kondition atau kondisi awal diperoleh dari pengamatan percobaan atau dari data uji riil. Berikut ini contoh dua matriks kolom initial condition:

*,(o)

x,(o)

*,(o)

dan ,(r)=

*(0) =

*,(0) Penyertaan kondisi awal persamaan simultan berikut:

xt

l0).

*, (0) 2n dalam persamaan 6.30

Gambar 6.5 Model suspensi otomotif untuk Soal 6'4

menghasllkan 2n Persamaan getaran bentuk matriks ditulis:

MDOF tanpa redaman dan gaya eksitasi dalam

-I

226


tMl {(fx/dtl} + tkl {x} :

o

6.4 Getoron Pokso Sistem

ini untuk menyatakan persamaan getaran dapat dilakukan dengan metode Newton atau persamaan Lagrange, diperoleh matriks M menjadi: Penyelesaian persamaan

0 0 0 lr,0 l0 m,, A 0 0 0l o *,,0 o ,l M- lo 0 0 ffi,,0 0l

I

-&1 -tr *k, -tr

*e, &r*& o o o [ o k1*t, o o -*1 K=[ l*e,00k,0trcl l-k,000t,_k,dl * a) + *,td c) ktb k,c Ltr(b

-

-ha

-k,d

kr(a

-

b\ + t, (c

-t'a krb

- d)

h@2 + b2) + k,(cz +

I I I

dt))

Persamaan diferensial untuk getaran bebas MDOF dengan redaman viscous seperti persamaan sebelumnya adalah:

(6.3s)

,(t)=U sinat

(6.36)

' fJ ' adalah n-dimensional veklor dari koefisien under estimate atau koefisien yang harus diperoleh, dan U mempunyai dimensi kecepatan. Substitusikan persamaan 6.46ke persamaan 6.35 sehingga diperoleh: (6.31)

ini adalah representasi sejumlah n persamaan aljabar komponen vektor U, yaitu dengan rumus untuk mendapatkan simultan Persamaan 6.37

Jika matriks redaman C adalah kombinasi linier dari matriks massa notasi M dan matriks stiffness K, maka sistem adalah redaman proporsional. Pada kasus ini prinsip koordinat dari sistem tak teredam digunakan untuk uncouple persamaan diferensial. Jika matriks redaman berubah-ubah, maka prinsip koordinat dari sistem tak teredam tidak boleh uncouple atau decouple seperti persamaan ini. Prosedur umum harus digunakan untuk persamaan di atas dengan 2n-persamaan diferensial dalam bentuky'rsl order uncouple atat

SDOF uncouple dengan koordinat setelah mengalami transformasi sebagai berikut:

y}+ K{ y} =6

(6.34)

vektor dari setiap konstanta amplitudo gaya eksitasi. Pilihan eksitasi gaya antara lain adalah dengan fungsi sinus, maka solusi total untuk setiap DOF diasumsikan dengan bentuk sebagai berikut:

(-^'r+x)u=r

M'*+C )+Kx=0

M{

dengan redaman viscous dan eksitasi adalah:

M x+ Kx = F .sinat ' F ' adalah n-dimensional

Koefisien yang digunakan untuk menentukan matriks stiffness adalah:

Z*'

Persamaan diferensial umum untuk getaran paksa unhrk sistem MDOF

Persamaan getaran ini mempunyai koefisien sesuai kasus idealisasi model. Metode Newton atau persamaan Lagrangian, yang berdasar metode energi, keduanya dapat digunakan untuk mendapatkan persamaan getaran diferensial ini. Untuk permasalahan eksitasi harmonik pada sistem getamn paksa MDOF tak teredam, persamaan 6.34 berubah menjadi:

o o o *,,01 lo L0 0 0 0 0 t) z*, +

MDOF

M x+C x+Kx=F(t)

01

l0

227

Sistem Getaran MDOF

(6.33)

sebagai berikut:

l-r'* - ul=o

(6.38)

Persamaan 6.38 memungkinkan untuk terjadi ketika frekuensi eksitasi gaya menjadi coincide atau bersesuaian dengan salah satu dari frekuensi natural sistem. Akibatrya, penggunaan persamaan 6.36 tidak tepat, karena respons displacement meningkat secara linier tajam seiring pertambahan waktu. Kondisi ini menghasilkan resonansi.

Apabila solusi dari persamaan 6.37 ada maka persamaan untuk perpindahan ' U ' dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut:

228


(J =

F-t

(-^'ttt + r)

229

Sistem Getaran MDOF

(6.3e)

Persamaan diferensial sistem z-DOF dengan viscous damping yang mendapat eksitasi harmonik dinyatakan dalam bentuk umum menjadi:

u

'*+C

,+ K* = I*(Fu''')

(6.40)

,F merupakan z-vektor eksitasi gaya sebagai konstanta. Konstanta dapat berupa bilangan kompleks jika masing-masing gaya eksitasi umum tidak satu phase. Persamaan eksitasi gaya tak sephase adalah sebagai berikut:

Solusi 6.40 diasumsikan sebagai berikut:

x(t)=

' IJ '

(4)

(6.41)

F, = f,eiq

t*(ue''')

Gumbur 6.6 sket dari

(6.42)

Persamaan getzrandari cara Newton atau persamaanLagrange adalah:

adalah r-dimensional vektor konstanta kompleks. Substitusikan

+iac

+

t<)u

=

r

W (6.43)

Persamaan 6.43 menghasilkan:

,l{,

Ali,t

u = F(-a'M +i.i,c * K\-'

,,t -

"

Model 2 derajatkebebasan dari sistem suspensi otomotif. Kendaraan berjalan di permukaan jalan mendekati kontur sinusoidal Gambar 6.6b. Kecepatan kendaraan adalah U. Tentukan persamaan getaran dan respons kendaraan

.'l[;:].[l;,

;:r-,1[;,] =U,,f""'

Kecepatan kendaraan berhubungan dengan DOF otomotof, dengan koordinat-y. Solusi penyelesaian harga kecepatan dari persamaan 6.39 untuk persamaan getaran ini

dalam term parameter sistem.

ill

Jawab:

persamaan 6.42ke persamaan 6.49 sehingga menghasilkan:

(-r',

corron

(rn rr r,r,

-

,

dinyatakan sebagai:

at' m,k,

Ur ini

a2 m rk,

-

krY(!',*i'C\, , a' k r,n, + k rk r) + i\-

att m rc

-

a'

tn

'

rc + axk, )

merupakan DoF untuk otomotif. Kecepatan Harga kecepatan tersebut adalah Ur dan kecepatan diletakkan pada tempat yang tepat dengan menyatakan sebagai bilangan kompleks coniugate dari pembilang persamaan

di atas, yaitu:

Ut: Re (U)

+ i hn (U)

Bentuk polar dari Ur adalah:

tt , =l{},le'o'

lu,l:@


230

231

Sistem Getaran MDOF

Dengan persamaan beda fase diperoleh:

6.7 Sool

, -t( t,r1Y7-\ bt =_tatt_,ln4q

Untuksooalnomor-lsampainomor-2dapatdilakukanpenunrnanterhadap persamaan MDOF dengan metode Newton'

)

Manipulasi aljabar memberikan persamaan lain untuk mutlak U| sebagai:

1.

persamaan getaran Gunakan persamaan Lagrange untuk nrenurunkan dari gambar berikut:

l,,l w lu,l:l@o*

batang massa-m

. -t( -*,tnt(D)+ocR"(D)) Q=-tanlwl

J,,

,J

sehingga diperoleh: Re( D

)-

Im( D ) = Solusi dari

o)4

nt,ttt

-tti'3

x,(r)

:-

m,c

-

a2 m,

k,

- ti'

m,

k.

-

t,tt

k,rn, + k,k, r1

a' ntrc + ack,

2.

sebagai respons keadaan menjadi:

*, (/) = Im(u ,e"*) =

I*(lu

,lei(or-or)) =ltt ,lstn(atr

-

0, )

6.5 Ringkoson derajatkebebasan atau MDOF diawali dengan analisis p"rurunun persamaan diferensial dengan mengggnakan p".i-uun Lagrange. Persamaan aljabar linier simultan hasil dari penurunan d"r,gu, p.r.u**.rlagrange ditransformasikan dalam bentuk matriks dengan tooiainat transformasi untuk diselesaikan solusinya. Untuk kasus sistem bebas dengan n derajat kebebasan, solusinya menggunakan mode Pembahasan sistem getaran dengan

n

getaran normal dan atau mode shaPe.

6.6 Pernyotoon untuk Pemohomon Nyatakan pengertian berikut ini sehingga jelas bedanya'

a.

Solusi linear dan non-linear

b.

Solusi integral konvolusi integral harmonik

c. Virtual work

dan virtual displacement

persamaan getaran Gunakan Persamaan Lagrange untuk menurunkan dari gambar berikut:

rl

232

3.


Gunakan persamaan Lagrange unfuk menurunkan persamaan getaran dari gambar berikut:

233

Sistem Getaran MDOF

ini

6.

Turunkan persamaan getaran dari gambar di bawah dan x sebagai koordinat DOF!

7.

Buatlah matriks persamaan getaran torsi dari gambar di samping ini!

dengan

d7,

e2

\iIo /r'

I

or

Turunkan persamaan getaran dari gambar di bawah ini dengan x7, danxa sebagai koordinat umum!

8.

e-B 4.

ftr) Gunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan getaran dari gambar berikut:

|""***+JZ

l-*rr

T.ri 5.

Gunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan getaran dari garnbar berikut:

g.

Buat persamaan getaran dalam bentuk rnatriks dari gambar Soal 2!

10. Buat persamaan getaran dalam bentuk matriks dari gambar Soal 3! 1

1.

Buat persamaan getaran dalam bentuk matriks dari gambar soal 4!

12. Buat persamaangetaran dalam bentuk matriks dari garnbar Soal 5 ! 13. Buat persamaan getaran dalam bentuk matriks dari gambar Soal 6!

14. Buat persamaan getaran dalam bentuk matriks dari gambar Soal

8!

x2, Xj

234

15.


Tentukan persamaan frekuensi natural dan persamaan untuk mode shapes, sistem getaran bebas 3 (tiga) derajat kebebasan berikut ini:

F* rr

235

Sistem Getaran MDOF

o--*--+-l

fi...'...*r--i{<--

l-* rt

l*+ q

16. Tentukan rumus unfuk frekuensi natural dan mode shapes untuk sistem getaran bebas 3 derajat kebebasan berikut ini:

t7. Tentukan rumus untuk amplitudo masing-masing massa dalam kondisi tunak (normal) dari sistem berikut ini:

20. Pada model suspensi kendaraan dan penumpang di bawah ini, tempat duduk dimodelkan sebagai pegas dan damper secara pararel. Untuk sistem suspensi di bawah ini, tentukan plot akselerasi amplitudo dari penumpang, fungsi dari kecepatan kendaraan!

l....+rz

massa penumpang

dan bak ll0tr0N/m

18. Tentukan

4000 N . r/m

massa chasis, mesin,

rumus unhrk amplitudo masing-masing massa dalam kondisi

dll

steady (normal) dari sistem di bawah ini! f[,tr0N1m

lE00 N .

r/m

fo rir ot

19.

Tentukan respons persamaan getaran bebas dari sistem

I:

*',

4

derajat

kebebasan. Jika diketahui m:800 kg, 175 kg /rr= 1.5x105 N/m, kz: 7.5xl0a N/m, 150 kg, dan (a+b) 2.4 m, dari gambar berikut

zn:

ini.

:

(r)

BAB 7

JAWAB PERMASALAHAN MOD EL GETARAN DENGAN MATLA B@


1.

Mampu melakukan operasi aritmatika dasar dan operasi matriks dengan

MATLAB.

2.

Mampu membuat kurva atau grafik hasil presentasi getaran untuk idealisasi dua dimensi dari persamaan getaran dengan menggunakan MATLAB.

3.

Mampu menggunakan MATLAB sebagai peranti lunak untuk memecahkan permasalahan model getaran mekanis.

7.1 Pendohuluon Bab terakhir ini memberikan informasi bagaimana mendapatkan jawaban dari permasalahan model getaran lwnp nruss yang dilakukan dengan bantuan peranti lunak untuk engineering atau teknik, yaitu MATLAB. MATLAB singkatan dai MATrix LABoratory, dibuat oleh Math Works Inc. Peranti lunak ini sangat luas digunakan oleh ilmuwan dan rekayasawan. MATLAB adalah sebuah peranti lunak interaktif dengan jawab permasalahan secara numerik yang dapat menyajikan data secara visual, misalnya dalam bentuk grafik. MATLAB mengintegrasikan komputasi matematik, visualisasi, dan bahasa pemrograman untuk keperluan komputasi teknik. Komposisi dan petunjuk operasional program MATLAB atau arsitektur merupakan contoh yang terbuka dan da:pat dipelajari dengan mudah, misalnya pada sub bab 7.1 sampai sub bab 7.5. Program tarnbahan pada piranti lunak MATLAB banyak digunakan sehingga pengernbangan peranti lunak ini dengan versi yang lebih up to date terus berlangsung. Bentuk peranti lunak yang dibuat oleh pemrogram lain pun dapat diintegrasikan dengan MATLAB.

238


MATLAB menyediakan bahasa untuk berkomunikasi dengan personal komputer (PC) secara intuitif sehingga pengguna dapat mengekspresikan permasalahannya dan mencari jawab atas permasalahan itu baik secara matematis maupun visual. Lingkup kegunaan piranti lunak MATLAB mencakup jawab permasalahan dengan berbagai cara, antara lain: melakukan perhitungan, penerapan konsep numerik, menyisipkan logika perhitungan, dan

lawab Permasalahan Model Getaran

Windowinformasirectoryatauhidden.Ttampilaninisebagaialtematif workspace untuk variabel window-file lain

4.

Ikon peranti lunak yang akan dioperasikan

5.

\lf 6N

*

p,

mengembangkan algoritma yang diinginkan. MATLAB antara lain menyediakan: simbol, rujukan fungsi, dan operasi matematik yang built in sebagai fungsi matematika. Program ini dapat melakuknn pengerjaan antara lain unhrk: modeling-simulasi-prototype, melakukan analisis data untuk diubah sesuai yang diinginkan, melakukan pernrosesan data berupa signal, membuat grafik, dan menampilkan visualisasi ilmiah untuk animasi. Jawab permasalahan model getaran merupakan salah satu lingkup MATLAB. Dalam setiap eksekusi program, proses berikut ini selalu dilakukan

Ead.tr!.dr,ii

l,f

-,",

ffi

"on^"

q€|.""'.

Suo+

ei FoFr itr lirddlth fB wsAR X Ad&4a4,8 ?) ho6dtdrr. t$ tu-" f,) b.wad

motemotika rujukan termasuk persamaan getaran yang berhubungan dengan lingkup permasalahan dalam MATLAB misalnya adalah: transformasi Laplace, ordinant dffirential ecluation (ODE), partial dffirential equation

Gumbur 7.1 Stil;,t awal MATLAB

(PDE), dan bagaimana menvisualisasikan jawaban atas permasalahan

*

persamaan getaran dari idealisasi model.

dai tantpilan ikon MATLAB. Tampilan ikon ini

ia ouc b-Lrm sb

Eb

dr' i ee "j ,i:S rf : f

aJ oe,.tlJ0

Langkah awal untuk melakukan operasional piranti lunak MATLAB

dilakukan

Mia Pbva

&, wtu,tu.il6b i9 ldelFRo*t wtr Bs I) M,E ror,., 13 G'6FqeB r(& i:) R.i!r sa.d Hme., fjj htivtr krmEdt$ alot*

m*"**

MATLAB yaitu: bagaimana membuat file, mengedit, menyimpan, dan mendebug sejumlah 'm-file', atau menelusuri logika program dari file berformat ASCII yang ditampilkan sebagai bahasa pernrograman MATLAB. Fungsi

whdows

I *.aryt3,1.,-c..1'111i91.qy1

To 9.t

!t!rt.d,

!.rect

lt'LlB

ErD

mengikuti

prosedur dari window PC, yaitu:

Start -+ All Program -+ MATLAB 7.0.1 (versi)-+ ikon MATLAB 7.0.1 Tampilannya terlihat pada Gambar 7.1 Setelah dilakukan klik kiri (dapat dengan mouse), maka tampilan monitor sebagai interface dari MATLAB terlihat seperti Gambar 7.2

Tampilan monitor menunjukkan sedikitnya ada 7(tujuh) kemampuan utama untuk prosedur operasional selanjutnya, yaitu:

l. 2. 3.

Window tempat menuliskan perintah langsung MATLAB

Gambar 7'2 Window MATLAB

Command-historywindow Window untuk menampakkan file yang aktif atau pemah dieksekusi

6.

Shortcut peranti lunak yang dipilih'

7.

Tombol mulai.

or !@1

troi

th'

g'lP

240

Jawab Permasalahan ModelGetaran dengan


MATLAB

24L

7.2 Perintoh Dosor Operosi MAILAB

7.3 Operotor Aritmotiko don Motemotiko

Perintah dan tanda dasar yang perlu diketahui dari operasional keybord pada peranti lunak MATLAB akan diuraikan dalam sub bab ini. setiap penulisan perintah pada window, misalnya perintah untuk No. l, bersesuaian dengan tampilan Garnbar 7.1. Agar operasional dapat dilakukan, jangan lupa untuk selalu mengakhirinya dengan menekan tombol Enter. Berikut ini adalah contoh perintah dasar dalam Tabel 7.1

Untuk operasi aritmatika seperti penambahan, pengumngan, dan sebagainya, simbol yang dikenal MATLAB dinyatakan seperti padaTabel7.2. Tabel 7.2 Simbol Operator Aritmatika MATLAB

Ooerator Arimatika Peniumlahan

Ctrl+c

Perkalian

Perintah Dasar

Pembasianbalik

Membatalkan perintah.

Eksnonensial

Ditulis diakhir perintah, menyebabkan output dariperintah tidak ditampilkan pada monitor diwindow. o/ /o

6/3:2

6 x 3: 18

6\3:3/6:t/2

6"3:216

Membersihkan window perintah

Contoh operasional perintah pada monitor:

MATLAB adalah statement pada MATLAB dengan

Tentukan volume silinder dengan operasional keyboard MATLAB dan volume silinder memiliki persamaan V = r rzh. Jika diketahui finggi silinder 15 m dan radiusnya 8 m, maka jawabnya adalah 3015,7 m3. Jawab ini ditampilkan monitor sesuai Gambar 7.1

x:6.45

Perintah dasar ini menyatakan bahwa variabel '

x'

berharga6.45

Contoh lain, adalah penulisan bentuk matriks, misalkan matriks

berukuran 2x2 MATLAB adalah >>

*

Contoh

6+3:9 6- 3:3

Bila ditulis didepan baris maka baris itu akan dianqqap sebaoai komentai.

clc+Enter

>>

Simbol +

Pengurangan Pernbasian

Tubel7.l Perintah Daslr MATLAB Tanda

MATIAB

A: : |

Pernyataan

-Lr

yang terdiri

dari

O=l'

2l

l. 4l

.4

Perintah dasar pada

sebagai berikut:

2;3 4l

ini

dijalankan dengan mengoperasikan keyboard. Setelah

tombol Enter ditekan dan hasil yang diperoleh pada monitor adalah:

A:

t2 34 Gqmbar

i

7.3

Jawaban pennasolahan MATLAB Contoh 7.1


242

Jawab: Penjelasan statement monitor tampilan

MATLAB untuk memperoleh jawab Ketik dari keyboard, dan lihat

atas petmasalahan Contoh 7.1 dengan, tampilan monitor sebagai berikut:

V:

perhitungan volume silinder tidak diakhiri oleh

tanda ; agar hasil perhitungannya ditampilkan)

Selain operator aritmatika, pada MATLAB juga tersedia beberapa

Deskripsi

abs(x)

Menohituno nilai absolut darivariabel x

sqrt(x)

Menqhitunq akar dari variabel x

exp(x)

Menqhitunq

loq (x)

Menqhitunq ln x, natural loqaritmik

loo 10(x)

e'

di mana e adalah bilanoan natural2.71B2B2,

Jika real(x)

imaq(x)

x = a + ib

makakoniuqasinvaadalah

x = a - ib

Menohituno bilanoan nvata dari bilanoan komoleks Menqhitunq bilanqan imaiiner dari bilanqan kompleks Menohituno nilai absolut dari besarnva bilanoan komoleks x Menqhituno sudut bilanqan kompleks menoqunakan'2(imao(x).real(x))'

7.4 Operotor Relosi don Logiko

suatu keputusan yang mengontrol aliran program komputer. Operator relasi dalam MATLAB diperlihatkan pada Tabel 7.5

Menqhituno loo10 x

sin(x)

Menohituno sinus x dalam radian

cos(x)

Menqhitunq cosinus x dalam radian

tan(x)

Menohituno tanoen x dalam radian

Tabel7.5 Operasi relasi MATLAB

Lebih kecil

asin(x)

Menohituno invers sinus x Menohituno invers cosinus x

atan(x)

Menohituno invers tanoen x

sinh(x)

Menghitung sinus hipebolis x yang sama dengan

<=

e' -

e +e 2

tanh(x)

Menohituno tan hioebolis x

asinh(x)

Menohitunq invers sinus hioebolis x

acosh(x)

Menohituno invers cosinus hioebolis x

atanh(x)

Menqhituno invers tanqen hioebolis x

Lebih kecilatau sama denoan Lebih besar

2

Menghitung cos hipebolis x yang sama dengan

lnterpretasi

Operator Relasi

acos(x)

cosh(x)

Deskripsi Menghitung konjugasi bilangan kompleks.

Operator relasi adalah operator yang berfungsi untuk membandingkan dua nilai yang hasilnya berupa benar atau salah. Operator logika menguji sebuah statemen benar atau salah yang produknya juga merupakan pemyataan benar atau salah. Operator relasi dan logika digunakan dalam persamaan matematika dan juga merupakan kombinasi dengan perintah lain, untuk menrbuat

Tqbel 7.3 Fungsi matemotika standar MATLAB Funqsi

conj(x)

anqle(x)

fungsi standar matematikayang ditabulasikan pada Tabel 7.3.

243

Tabel 7.4 Fungsi Operasi Bilangan Komplel
abs(x)

3.0157e+003 (hasil komputasi MATLAB)

MATLAB

Selain fungsi standar matematika dari MATLAB, fungsi operasi bilangan kompleks terdapat dan ditabulasikan pada Tabel7.4.

Funqsi

>> phi:3.1414; (pendefinisian variabel phi, 'phi' berharga 3,1414) >> t= 8 ; (pendefinisian variabel radius (r), 'r' berharga 8) >> h:15; (pendefinisian variabel tinggi (h), 'h'berharga 15)

>>V:phi*r^2*h (Hasil

Jawab Permasalahan Model Getaran dengan

e

-'

>=

Lebih besar atau sama denqan Sama denqan Tidak sama denoan

Selain operator logika di atas, ada juga fungsi bawaan dari MATLAB untuk operator logika, seperti operator logika AND yang fungsi MATLABnya adalah and(A, B), untuk logika OR fungsi MATLAB-nya adalah or(A, B), sedangkan untuk operator NOT maka fungsi MATLAB-nya adalah not(A). Operator logiki diperlihatkan pada Tabel 7.6.


244

Jawab Permasalahan ModelGetaran dengan

Tubel7.6 Operasi logika MATLAB Operator Loqika

245

Penulisan array sahr dimensi dinyatakan padaGambarT.4.

Deskripsi

Nama

FE E4 hbq

Jika kedua operand bernilai benar,

& Contoh A&B

MATLAB

maka hasilnva adalah 1, se/arn ttu bemilai 0.

AND

D6Uop

Dd

; *Jd5'

Shd.d.

J Howtokd

Whtu H.b.....

." ill J'?ic--to"a.v'wriiiibzoiw** !l et'.

Hry

- . --"

-,r.ltf,

E

Jika salah satu operand bernilai benar,

I

Contoh AIB

makahasilnyaadalah 1.

OR

To q.r s.arr-ed, sel.ct

Selain itu, jika kedua operand bernilai salah,

!AILLL!q!B

d. Dehos rroh i

>>x-[1234]

makahasilnvaadalah 0. Operator memberikan nilai yang berlawanan. NOT

contln

Jika operand bernilai benar, maka hasilnya adalah 0, dan bih sebaliknya

-n

maka hasilnva 1.

7.5 Arroy Anay

adalah susulan angka dalam

baris dan atau kolom. MATLAB dapat

menyatakan array dalam satu dimensi. Satu dimensi sebagai vektor baris atau vektor kolom.

Diberikan suatu vektor baris keyboard pada

r

=

ini

Gsmbur 7.4 Vektor koloru MATLAB

dapat dinyatakan

[/ 2 3 4f dengan input statement

Array dua dimensi adalah susunan angka dalam baris dan kolom. Array dua dimensi juga dikenal sebagai matriks. Elemen matriks bisa berupa bilangan real maupun bilangan kompleks. Dalam MATLAB, indikasi baris baru adalah penambahan tanda ; pada akhir bilangan, Gambar 7.5.

dari

MATLAB. Bagaimana penulisan pada monitor?

Jawab:

x:u

23 4l

Diberikan matriks o

[s tn2l oun B=l =l' s' 6) 'l lt LJ, s-2i)

Nyatakan input statemen pada MATLAB.

Untuk vektor kolom

x:

.[;]

maka input statemen pada MATLAB adalah:

Jawab:

A:[1 23;456] B: [5 loe?);3i 5-2i].

11;2;3;41.

t

I

246


curd *.dorv: t c:uatlm7ol

r,lJ

rwork

rb


1

=la"

a" ,,,_l

lu', a" art )

>>l-[123:4561

, dan B

+ arrb, lo^b,, + arrb,

c =lo"b"

12 455 >> D-ts ros(z) r3i s-2il

:l

I

MATLAB

b,' b,,

Lb,, b,,

= Ax Bmemberikan'

?,',f,'

apbp + arrb, arrbr, + orrb., arrbr, + a,rb,

247

1

arrbrr* nrrbrr|]

Matriks itlentitas adalah matriks bujur sangkar atau matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolom, di mana elemen diagonalnya bemilai I sedangkan yang lain bernilai 0. Sebagai contoh, matriks identitas 3 x 3 yaitu:

It tt o

t:lotl I l0 0

Gombar 7.5 Hasil input untuk matriks A dan B

7.6 Operosi Motriks Penjumlahan dan pengurangan matriks adalah penjumlahan dan pengurangan masing-masing elemen yang memiliki posisi yang sama. Jika, '

A=lo,,arz

lo, a,

a, ar,

' c :lo"*b" +b"

maka.

la"

Loun u =l!',b.,,

)

b.,rl,op.ru,o,.

lb2t b2, bB )'

ar, + b, aB +bB

c =A+ 8,

ol 1)

Matril
lt It 2 3f . sehingga untuk A' :12 A=l 5 6)

I

14

1

5 |

Dalam MATLAB, statemen transpose adalah A.

penjumlahan seluruh perkalian pada masing-masing posisi yang sama:

Pernbagian matriks dalam MATLAB ada dua jenis, yaitu pembagian kiri dan pembagian kanan. Pernbagian fun digunakan untuk mendapatkan jawab permasalahan matriks dari persamaan maffiks Ax = B, di mana matriks x

;

dan B

b,

Fungsi bawaan dari perkalian skalar ini adalah dot(A,B).

Perkalian matriks adalah hasil perkalian dua matriks dot produk dari baris ke-i dari matriks pertama dengan kolom ke7 dari matriks kedua yang dapat diekspresikan sebagai berikut dengan,

4l

LJ 6)

arr+b, a2J+b23)

Perknlian matriks dalam operasi matriks berupa perkalian skalar (dot product), yaitu perkalian dua matriks yang ukurannya sama. Hasilnya berupa

A.B=ta, i=l '

01

",.,

=f

ai.* b,,.i. Contoh adalah:

adalah mafiks kolom sehingga penyelesaiannya adalah x = A-' B

.

Dalam MATLAB statemen, pembagian kiri ditulis dangan x = A\ B Pembagian kanan digonakan untuk mendapatkan jawab atas permasalahan matriksx dari persamaan matriks xA=.B, di mana matriks.r dan,B adalah

matriks baris sehinfta penyelesaiannya adalah x o AA-t = B . A-t ata;u x = B. A-t yang dalam bagian MATLAB statemen ditulis dengan

x=B/A

248


Detenninan matriks adalah perhihrngan skalar dari elemen matriks bujur sangkar. Contoh pada matriks A uleran 2 x 2:

,l

a,,

=l'" ,., lo,,

Tubel 7.7 Operasi aritmatika matriks Ooerator Aritmatika Operator Anay

Ooerator Matriks

1

)

Maka determinan matriks A adalah: lAl=

n MATLAB

lawab Permasalahan Model Getaran

o,,

atz

+ oeniumlahan

+ oeniumlahan

- Denouranoan *

- nenoUranoan

o * oerkalian

oerkalian

- ozr a,

.

n nanokat

Eigenvalue dan eigenvektor matriks merupakan fungsi bawaan MATLAB untuk determinan adalah det(A). Untuk Eigenvalue dan

^ Danqkat o / oembaoian kiri o \ oembaqian kanan

/ oembaoian kiri \ oembaqian kanan

eigenvektor, mengikuti persamaan matriks berikut ini:

AX:),X '

(7.1)

A ' adalahmatriks

mi=1ilF;ig=1ffi r|[1w=ffiri,

bujur sangkar n x n, dan ' X 'merupakan matriks kolom

' n ' baris, dan' ). ' adalah sebuah skalar. Nilai dari ' 2 'unfuk kondisi ' X ' tak sama dengan nol, disebut dengan eigenvalue dari matriks l, dan yang berhubungan dengan harga 'X 'dengan pemisalan salah satu orde dengan

Lakukan tiga operasi matriks berikut ini dengan MATLAB, dua diantaranya adalah operasi penjumlahan dan perkalian berikut ini:

Iro

persamaan berikut:

l"t)x = o Dalam hal ini, ' I ' (,1-

.l

:

xr- 3xr=-5 2x,+3xr-x3:7 4x,+5xr-2xr=19 Jawab: Hasil operasi aritmatika setelah penekanan dari tombol keyboard untuk hasil akhir penjumlahan dan perkalian dari matriks A dan B, dapat dilihat dalam

(7.3)

monitor pad a Gambar

7

.6.

Kemudian untuk operasional dari penekanan keyboard persamaan simultan menghasilkan monitor pada Gambar 7.7. Gambar 7.7 berikut ini merupakan hasil dari tahapan untuk mencari nilai ' xt, x2, x3', dari persalnaan aljabar linier simultan'

l.

Persamaan 7.3 dikenal dengan persatnaan karekteristik dari matriks Jawab permasalahan yang diberikan dari persamaan 7.3 adalah eigenvalue dari matriks MATLAB dapat menentukan baik eigenvalue maupun eigenvektor dari matriks A. Statement MATLAB untuk eigenvalue adalah

l.

'eig(A)'. tQ,dl

-i

Kemudian operasi ke-3 adalah solusi persamaan simultan dari

(7.2)

adalah matriks identitas dari operasi ' [n] x [x] '. 7.2 berhubungan dengan kumpulan dari persamaan homogen Persamaan jawab dengan atas pennasalahan non-tr"ivialhanya jika determinannya yang berharga nol atau:

lt-ul=o

g sl l"untukA+BdanAxB l-t2 t4 l

la-21 I - l danB=l A=1" '

kolom' )"'sama dengan l(satu), disebut dengan eigenvektor dari, matriks A. Persamaan 7.1 dapat juga digunakan untuk mendapatkan matriks

:

eig(A) adalah fungsi untuk menghitung matriks bujur sangkar Q yang berisikan eigenvalue matriks A pada diagonalnya. Harya Q dan d seperti Q*Q adalah identitas matriks dan A*X sama dengan )" x X. Statemen operator matriks dalam MATLAB ditabulasikan pada tabel7 .7 i l

l

,i

250


lawab Permasalahan Model Getaran dengan

MATLAB

251

7.7 Visuolisosi Grofik . uarLAaTor\wd

" t-t

.

c_J

MATLAB memiliki perintah bawaan yang dapat digunakan untuk visualisasi grafik 2-dimensi (2D), overlay, visualisasi grafik 3-dimensi (3D), mesh, dan

>> l-16 -?rt9 3]: >> ar[9 6j:1? 1{] .

surface plot. Penjelasan masing-masing aplikasi grafik sebagai berikut:

1. 7a

Perintah dasar untuk memvisualisasikan dalam '2-D' dair penggunaan Fungsi Bawaan MATLAB sesuai Tabel 7.8, dengan contoh 'plot(r, y,

ax

A. iB

\-/B l.\B dir (ll

Visualisasi Grafik 2D

6

style option)', r

54 -lao

atau 'fplot(function,limits)'. ' x

dan

y'

adalah titik

koordinat grafik.

-16 qz

Tqbel 7.8 Fungsi bawaan MATLAB untak plot data r-y

Gombor 7.6 Per-kalian dan penjumlahan A tlan B

filkilrn

Fil. Eil D+uC Oarkop Wnd;

D r=

r

r+* CE

'

, E{

?l <*,.^o,"noy

-[]

:(uArLAazor,wdr

Gqmbar 7.7 Hasil oper.esi aritfirutikafungsi invers Jawab permasalahan untuk persamaan simultan secera mantrur adalah:

^=l: :

11

x=|;] '=l),,1

*

Creete: a lilled aren piot.

bar

Creeter & bar grflph

barh

Crcrter a horizoutal bilr grflph.

comet

llakee en anrnicted ?-n flot.

compess

Crusies orruv grrrph lor ctmplet nunrberr,

cont0u-r

tr{oker mutour plotr.

contou'f errolbnr

Plat:

feather

NokEt a featirer plol

fiI

Dratt's filled

fl:lot

Plcl:

hist

Mokee hirtogrnnre-

loglng p&ret0

Cmlp:

pcolor

l\'hkes psedo olor plot of Dio(rili

l\Ioket lilied mntour plots. graph md puts errcr bffs.

a

plgpus of :pmified color. r single tariable

a fturctum of

plot sith }og srale mr boih

r

rutd

t

axes

]Utlker p|rcto plots.

pie

Crcstes n pie rhrrt.

Il,rt\.]. plohnnirix polor quiver

llnker

I{alier a smtter plot af o t:lstrir. Plots cunes in polrr cmrdinntes. Ilots tector fields.

fO3+

Ilaliec argled histograru.

seotter

Crqates e ststter p}ot.

a double -.--ors plot.

$en1ilogx

[Inlies semrlog plot rrrth log seole on t]e r"axis.

semilogy*

Itloker senrilog ploi with log scale an tle .r-oxis. Plots o stair grsph. Plots n stem groph

stoir'5

st&[l

AX=B, A-rN{:4-tU, D(:A-rB, dan X:A-IB

Drrrnplion

argo

Style option merupakan argumen yang bersifat opsional dan bensikan properti dari grafik, baik warna, jenis garis, atau penanda titik. Style option dapat dilihat pada Tabel 7.9. Selain itu ada beberapa fungsi penting bawaan MATLAB untuk memvisualisasikan ' style option ' dalam 2-D.

Jawab permasalahan

MATLAB dari operasi matriks ini dinyatakan pada monitorGambar 7.7yaitu. Xr: -1, Xz:4,danXr:3.

rl

2s2


Tabel 7.9 Style Option dari Fungsi Plot

CoIor sfr,trc-sption

y nr

Lr'nr s*Je-opfirrn

)€llsxt'

solid

magetrta

deslxe.e

f r

8lin[}

dattd

led

dnsh-dot

s

grtrr

S u.r .ft

blue rvhite

+ O * .r " " $ d

blnek

^nl rr i\ l\ l\/\/\1 \i" \i l/

:lfsr& cr stj'tre - opf io n

plus oign eirele

/\

usterisk

x-*rcrk pcint

l\lil

\i

up trinngle

!

I

\/ U

squerP

k3..rr1Ltl#i

diamund. atc.

Gambar 7.8 Hasil plotfungsi y

:l - cos2x

dan

!=e*

Beberapa fungsi yang menggambarkan visualisasi grafik dalam bentuk tiga dimensi dapat dilihat pada Tabel 7.10. Tabel 7.10 Fungsi bawaan MATLAB untukplot data x-y-z

Buatlah grafik dari persamaan berikut: plot3

-Pl"t grafft 3D

meshgrid

*Jikai

Jawab:

a. >> x=0 : .1:2*pi

menggunakan'plo8(x,Y,z)' dan y merupakan dua vektor dengan sebuah selang dari fungsi yaitu 'lx,Yl = meshgrid(x,y)', maka hasilnya adalah grid (x,y) dalam

Hasil kurva kedua fungsi ini dinyatakan pada Gambar

*Jika X dan Y merupakan koordinat kartesian dengan masing-masing harga (x,y), perimtah 'mesh(X,Y,z)' akan menghasilkan gambar

perspettif:O dar titik-titik kurva. Hasil sama dapat dilakukan dengan

;

ncrintah' mesh(x.v"z)'.

>> Y-1-cos (2*x) ; >> plot(x,y,'*') >> x1abe1 ( 'x') >> y1abe1 ( ,y') b. >>fp1ot ( 'x. *cos (x) ' , [0 10"pi]

3.

File Script Sebuah script terdiri dari statemen sekuensial

7.8

MATLAB menyediakan beberapa option untuk

mendisplay

tiga dimensi antara lain: line, wire,

surface, dan

MATLAB dan fungsi yang

digunakan pada Command Prompt Script file sangat berguna untuk prises pengulangan jika ada perintah yang ke1iru atau tidak dikenali oleh MAtLAg, terutama untuk program yang memiliki sekuensial panjang. Jika pengulangan file script ditulis langsung pada command window akan iulii untuk melacak dan memperbaikinya. Penulisan script dilakukan dengan menggunakan editor Windows atau program editor berbasis ASCII, ieperti Notepaa bawaan Windows. Setelah n fungsi MATLAB ditulis maka file itu disimpan dengan ekstensi ,r (M-file), Gambar 7.9.

Visualisasi Grafik 3D data dalam betuk meshplot.

dengan tiga set persamaan x(t), y(t), danz(t),

dua dimensi.

mesh(X,Y,z)

Ketikan pada keyboard dilakukan dengan tampilan monitor sebagai berikut:

2.

Uraian

Perintah

y:l -cos2x dai 0
Selain script, jenis file lain yang menggunakan NotePad ataupun editor berbasis ASCi idalahfunctionfile. Beda function file dari file script adalah 1

*l

254


b.

awal file dimulai dengan statemen standar untuk menyatakan dirinya sebagai fungsi. Formatnya adalah sebagai berikut:

function

(nama

MATLAB

lawab Permasalahan Model Getaran dengan

255

Sudut phase respons untuk sistem base bergerak secara harmonik.

x(\

hasil atau hasil-) = name (argument list)

r;_l tt

Function file merupakan salah satu upaya MATLAB untuk mengakomodasi fungsi matematis yang fasilitasnya belum disediakan oleh MATLAB.

k<

L_r-.rc

,r*L*o..Ltt I^y(t)

N:+:.:-:it,ffiffiffiNi lWffi$Nffiffi##,ffi#ffiN,ffi

Gambor 7.10 Skenru problem getot'an Contoh 7.6 !de.

i

f

"

,:]-

Jawab:

ri)

ririlieoaJiTr'i

( \z€taj.o.05', \z r, Fhi) I ( \oi,eqa/\mEqi_n ) 1 a \phi (\meq;) )

J@r

Persamaan respons frekuensi sesuai masalah getaran Gambar 7.9 diberikan oleh persamaan berikut:

y'

€ (?)

;),l

t'

ekstension

,'r1.1 , [0:p]/l:plll )rj.l label , ltl;'pi/? ; '\?Eri 1-0-05 . \2Eta :.

t,

\9/ Mr.oE6

... fJ

.

(7.4)

lc(i,)l=

nama file coba,m

t//

v/

FLaB .";d MrNi;o{:sn.ew. r*io-,a,i.mi €@d4 :ruSt

_, " *

{[(,

Tb tk6.-

;)']'.(,,;)']"

Persamaan respon dinamik displacemen

t

X(i;ao) diberikan dengan:

Gambar 7.9 NotePad dan menyimpan m-file

lx(io,)l=

7.8 Jowob Getoron dengon MATLAB MATLAB memiliki koleksi perintah dan fungsi yang ekselen untuk analisis

,ms

di mana,

getaran. Permasalahan yang akan dibahas pada subbab ini adalah sistem getaran linier yang umum disajikan pada awal kuliah mengenai getaran. Aplikasi untuk mencari jawab permasalahan getaran pada bab ini diawali dengan ilustrasi. Untuk kasus getaran transien juga akan diberikan contoh aplikasinya dengan MATLAB.

t(t)Re

't'''

;

,(r) = x(ia \ni'"'

Sudut phase dinya takan dengan pe rsamaan:

L,( , I l\,

I

0(a)

= 1ou'

zlrl

.t I

t0) ) --J

l-;--------.)

Besaran non-dimensional, respons displacement dari sistem dengan base bergerak secara harmonik seperti Gambar 7.10.

,r') l[,=lLl a.) *[(

Rasio frekuensi dinyatakan dengan,

ri

(7.6)

,

L(

Tulislah script MATLAB untuk menggambarkan:

a.

(7.s)

lc((,,))l,r

(,,-r,)

I

a a)il

2s6



MATLAB

257

Besaran respons non-dimensional sebagai kemampuan mentransmisikan getaran dengan persamaan berikut:

lx1i,;l t

r=L

(7.7)

Berdasarkan persamaan-persamaan di atas, file script dari

MATLAB ditulis:

zeta = [0.05; 0.1; 0.],5; 0.25; 0.5; 1,.25; 1.51; I faktorfaktor damping r = [0:0.01:3]; % rasio frekuensi fork=1:fength(zeta) G(k, : ) =sqrt ( (1+ (2*zeLa (k) *r) .^21 . / ( (1-r. ^2) . ^2+ (2*zeLa (k) *r) .^21 \ ; phi (k, : ) =atan2 (2*zeLa (k) *r. ^3,Lr.^2+ (2*zeLa (k) *r) . ^2 ) ;

t$r1

l,E15:

Gsmbqr 7.11 Hasil plot

dlri

Contoh

end

figure (r,

p1ot.

(1) G)

x1abe1 ( ' \omega,/ \omega-n' ) y1abe1 (' lx (i\omesa) l/A,)

grid

legend

('\zeta_1=0.05' , '\zeta_2=0.1' , '\zeta_3=0.15' , '\zeta_4 =0.25',' \zeta_5=0.5',' \zeCa_6=t- .25,,' \zet.a_T=1.5' fiqure (2 ) plot (r, phi) x1abe1 ( ' \omega,/ \omeqa_n' ) y1abe1 ('\phi (\omega),) grid

)

Gumbar 7.12 Hasil plot dari Contoh 7.6b

ha-gca;

set (ha,'ytick', [0:pi/2:pi] ) set(ha,'ytick1abe1,, { il ;,pi/2, ;'p, } ) legend(' \zeta_1=o.05' .' \zeta_2=0.1',, \zeta_3=o. , '\zeta_4=0.25' , '

\zeta_5=0.5'.' \zeta_5=1-.25',' \zeta_7=1.5'

i/r;.;::::

Diberikan persamaan respons displacement getaran untuk sistem teredam

15,

)

satu derajat kebebasan dengan displacement adalah sebagai berikut: I

Kurva non-dimensional, respons displacement dari sistem dengan base yang bergerak secara harmonik dan Sudut phase, dinyatakan sebagai output program MATLAB pada Gambar 7.1 1 dan Ganbar 7 .12.

,(/)=

Ce-{o"t cos(aot

-

Q)

Gambar sistem getaran seperti Gambar 7.10, tetapi knpa melibatkan y(t). 'C' adalah amplitudo dan '0 ' adalah sudut phase dari respons dengan persamaan i

il

sebagai berikut:



2s8

r, -[(r,,*,,* ,, .(

)-'

(=0,05, 0,1, 0,2,dengan

'O.1 =

kondisi awal

r(0)

a,

=O ,*101=v0

:Srad/s,

=60

Kasusnya sama dengan permasalahan sebelunnya namlm inisial kondisinya berbeda. Dtanyakan plot respons sistem murggunakan MATLAB untuk : o],: 5, dan (: 1.3, 1.5, dan 2 (overdamped), dengan kondisi awal x(0):0, dan

dan

crn/detik.

,(0)

Jawab:

= vt, = 60

ct'tt/s

Jawab:

clear cl- f

HErqdn$6 toinhial

wn=5; % Frekuensi Natural zeLa=[0.05;0.1;0.2] ; Z Rasio Damping x0=0; ? Harga awal displacement. v0=60; I Harga awal kecepaLan t0=0; % Harga awal waktu deltat=0.01; ? Step waktu untuk plot

end

title ( 'Response to inj-tial x1abeI ( 't tsl ')

excitations'

atitaions , ,:::

itl':;;:l::

'{,

"\a2ezl.J"':

I'i

.\<::Lr

\\i-r-,, l\Yri:

...:

'

ir,

e2

tf=6; * Waktu plot akhir 5=[t0:deltat:tf]; f or i-=l- : length (zeta ) , wd=sqrt(1-zeta(i) ^2) *wn; I Frekuensi Damping x=exp ( zeta(i) *wn*t) . * ( ( (zeta(i) *wn*xO+v0) /wd) *sin(wd*t) + xO*cos (wd*t) ) ; plot ( t, x) hold on

grid

259

.,J

Ditanyakan, plot respons sistem dengan MATLAB untuk,

y1abe1

MATLAB

.=:r::

I

|

r\r i\i

.--.---.-i-------.\::---...-..

,|

i

i

ii

i :

i

I

'k--t=i'' i i \\":|:,,_-'__: :\

LrrilLt,'t

i

i

i

:

I

::: :::

.:'----------;-----------:---

----

i\:}\,:i:

-

,ao{ :

,ili 'b

o

0.6

1

r5

2

2.5

3

!tsl

Gombar 7.14 Hasil plot respons dari Contoh 7.8

)

('x(t) ')

Sebuah model penyederhanaan dari sistem suspensi otomotif seperti terlihat

pada Gambar 7.15

di mana kendaraan berjalan di

permukaan jalan yang

kasar dengan kecepatan konstan ketika melintasi gundukan. Jika kecepatan tentukan mobil 20 nrldetih massa = 1500 kg, k 150000N/m dan respons displacement dari mobil dengan bantuan MATLAB.

:

(:0.1,

Jawab: Persamaan displacemeni vertikal jalan adalah sebagai berikut:

y llrl

Gombur 7.13 Hasil plot respons dari Contoh 7.7

*i

(\) = nlt -,o,,(*)]f , -,(\ -,t)f

(7.8)

Jawab Permasalahan Model Getaran dengan MATLAB


h:

tinLegral konvulusi digunakan untuk evaluasi respon

tl: I m, untuk konstanta

kecepatanmobil( = v7 , maka persamaaan displacement vertikal dat', roda y(t) adalah: Dengan

0,012 m, dan

y,l)=r[,

- .",, ( #

))l'

j'

h

__l

'.i1.

<:.- -J

/

c

i'

k

i - cos ij,-i r0rj ",..-T -.,

;t\ /t\

1

ilr

F----1"'-

\

)

kondisi redaman s1=pi /d; ? displacement and kecepatan roda ? MATLAB menyebut 'Heaviside' untuk sebuah step unit fungsi y=hb* (1-cos (c1*v*t) ^2 ) * (1-sym( 'Heaviside (t-0.04) ') ) ; ydot=hb*c 1 * s in ( 2 * c1 *v* tau ) * ( 1 -sym (' Heavj-s ide ( tau0.04)')) Sevaluasj- i-ntegral konvulusi h=exp(-zeta*omega-n* (t-tau) ) . *sin(omega-d* (t-

i

Eksitasi Asumsi Sinus gundukan

SDOF Sederhana

10

zeta=0. 10,' hb=0.012; d=1 . 0; v=20; I parametel=p4rameter sistem dan batasan atau konstrain omega-n=sqrt (k/m) ; I frekuensi natural omega-d=omega-n*sqrt (L-zeta^2) ; I frekuensi natural

----------.--+l I

I",

(

m=1500;

l,-:''1

I 'l

i:\

|

disirs format short e

k=150000;

l--*;-l__,"

t, .rl k ."

sistem % parameter-parameter inpuL

(7.e)

- "(, - +))

2.0.-----"----..,.

3.0

tau))/(m*omega_d);

its_..-

261

l:2m

g1= -2 * zet a*m* omega-n"ydot *h

I

92

=-omega_n^2 *m*y*h;

91a=vpa (91,5) Gambar 7.15 Model suspensi otomotif

I1=int(91a, t.au,0, t) I1a=vpa(11,5); 12=int (92a, tau,0, t) I2a-wpa (12 ,5) ;

Respons sistem dengan integral konwlasi dirumuskan sebagai berikut:

*(t)=*m"r'!2qto,r(t)* r,,'v(r) h(t-r)&

(7.10)

; ;

x1,=ILa+a2a;

x=vpa(x1,5) vel=diff (x)

Sehingga, kecepataan roda menjadi:

,(,)=,(T)',,(+)1,-,(,-+))

;

92a=wpa (92,5) ;

; ;

acc=diff (ve1 ) ; time=linspace (0, 0. 3, 50) ; for i=1:50 x1=subs (x. t, time ( i) ) ; xa(i)=wpa(x1); .\

(7,)

end

File script MATLAB-nya adalah sebagai berikut:

xp=double(xa); plot (time,xp, '-')

* model sdof sistem suspensi kendaraan I kendaraan meluncur pada jalan dengan model jalan pulsa sinusoidal ? y(t)=h(1-(cos(pi*v*t/ L0) )^2) * (u(t)-u(t-dlv) )

;

grid; x1abe1('time(sec)') y1abe1 ( 'x (t) tml

ei

'

)

;

262



MATLAB r"'- --'-".

2-x10i fu{1

u"

1

r0 tl

li lr

: :

: :

i :

a :2 .-.1..f.i .....i.--------.i---.-----t.-. .

: :

h,f^{ii

tt,

sr,

G,, I I

263

l

I

i

{

:...--.---i--------

01ir) \...-......_., {):it}

4

Ilr lt |

I:

\J |

:,6

-o

:

:

:

.....V...)..........i... : o,o[

I . I:

I

::*-11 015

i

i

Gambar 7.17 Skenm sistem Contoh 7.10

:

..i.........i...... ...i.

.

h{,{ti

trme(s€c)

k.rl.{t

Gambsr 7.16 Hasil plot respotls Contoh 7.9

l

t1

I

i,;\

ii I i

Dengan mengabaikan massa poros, maka:

Tentukan persamaan diferensial dari gerakan untuk perpidahan angular dari piringan! Tentukan frekuensi natural dan mode natural sistem jika : GL,: GJ, lt :l):l

It : Iz: I , GLt

l.

3.

Tentukan respons sistem terhadap

u,(t)

4. 5.

i

1 I: i 1.\ \\ /I I

1

"*t::--{

torsi

M ,Q)=

o

dan

torsi

M,Q)=

o

dan

s:{tl

Gambar 7.18 Free body diogram sistem Contoh 7.10

Jawab: Penentuan dengan perhitungan manual sebagai berikut, Persamaan gerak cara NeMon atau Lagrange dari gambar 7.18 adalah:

I,0t = M t- kpt+

fr, (e?

-e/)

sistem terhadap

dengan harga kekakuan menjadi. O,

:

T,

i =1,2

Persamaan di atas disusun ulang menjadi:

Tentukan dalam waktu dislait respons sistem terhadap torsi

M,Q) = M r"-"'

(7.r2)

1,6, =M,_ kr(e, -e,)

= M 2€-o' dalam waktu diskrit!

Tentukan respons u,(t)= M,e-"'l

dan

,r/\

/iJtt rl

ur (r)

Gambar 7.17 memperlihatkan dua piringan dengan massa momen lnersla I dan 12 dipasangkan pada poros yang memiliki kekakuan torsional

2.

i

"-.---.j{

polar

l.

k-[rirti-r'.(r)J D, \ I (.; c:.., ..(:i:

ii\.\ l, i i

Contoh 7.10

G11 dan G72.

}-->\. /1

tvl,it)

O'2] :O;!5.: :0i3

menggunakan

MATLAB!

M,(/)=

O

*,%)r, _Gr, o. = ,, r,e,+(ot, t [t,

L,)'

L,

t,o,-GJtg,*GJ'e.=14, .L,L,

i

iL

,I

tI tf


llTr

a]rzi:tr,l Ir :

Iz

:

I

, GL'

:

Gz

:

,,,,

Gr, lr :12:l

dengan,,

=,1'o

,

s

* = yll;i],

o Q)

@:

[@,@r]tadalah konstanta vektor, sehingga kita dapat mendefinisikan paramemeter karakteristik sebagai berikut:

-rl[o' l =

l-, ,llr,] ^[',-l. Lo,l

),=a,

,

,lLr,l=

,,=ll-l ,.;5

IL Gr

t-t

Modal vektor dinyatakan pada gambar di bawah ini. u]t

: 0.$180t(GJllt-)

J

1

: a

----

,t*'

i'''l'

&r.

':'

l x

Dari persamaan gerak SDOF, jawaban permasal a}urn 0Q) menjadi:

s_Jj =-a)" 2'2 ^,

= 1.{3'lsE''l{GJllLJ

-ri

4

= o,u,

{j1:

--3

l'-^ t-t l=i"'-3?t+t=o -x) [-r

Dua frekuensi natural menjadi:

Lr,,_l

' oan:

l ,dan o,=l ,-Jrt I z -l Lz)

Flr 1,

Persamaan karekteristiknya ditulis sebagai berikut:

Eigenvaluenya adalah:

I-

rI =@"1,0,'o)

t rl

I tl

o,Q)=@,ei^,i =1,2

I z

@'

Diperoleh modal vektor dari persamaan matriks ini menjadi:

vektor. Jawaban permasalahan persamaan gerak dapat diasumsikan sebagai:

adalah frekuensi osilasi, dan

memberikan

@,=@,,[ : 'I:u6lBo) '-l

=li,:'l;

Matriks massa ' M ' , dan matriks kekakuan ' K ', dan 0(r/ konfigurasi

'a'

lr,

Dengan carayangsamauntulg @, = [@,r@ rr]' ,komemperoleh:

f-r

o

o,f

I z -r-l[o,, I [o,,-l - Ji [o,,-l L-.,lLr;;l:^'1r,,]=-Lr,;l' I z -r-l[o,,-ln'1r,..]= [o,,'l ;+JJ[o,,.1

Maka persamaan matriks getaran menjadi:

op1* rreQ)=

265

O = [@,@r]'. Modul vektor dari persamaan matriks adalah:

Dengan kondisi yang diketahui yaitu,

tr

MATLAB

Perlu diperhatikan, modal vektor berhubungan dengan

Dalam bentuk matrils, persamaan di atas menjadi:

t',;t[;


oQ)= rylgp, u

r%,,a

z = 1,6 I

8

rm

+i,(up,

Q:4)

r11(t) dan r12(t) adalah koordinat modal. @1 dan @z adalah modal vektor.


Persamaan getaran modal dapat ditulis sebagai berikut:

,n',, ftt zz

r7,Q)

Jawaban permasalahan ry,Q) au, rTrQ) bentuk integral konvulasi :

*,rt,rc,f,ry,(r) = lr, trl

U zQ) +

ni.rc,irt

1r

(7.15) ,1,

r(g)

=

N

=*!N, In|at

1y1s,

m,t =@,, M@,

'L 2 )

r,\1, =1, ]*]'[r

=+

-'*)=+

'L 2 )

I z -l '

Eksitasi persamaan getaran menjadi sebagai berikut:

N, (r) =

@

; M,,,

,v.,(,) =@:

=[+]' l r,o,,,)=+ M,€-o, I z _l ' /

Mt,,=[+)' ,0,",)=+M,n.' z |

I

I'

- r)sinog d r

l_.6 '?': F-,"trl[\"'-";) *I""'(cosqr)

=[,.lol' [r r rrl[,.;l

I z I'

persamaan modal ditulis dalam

(s+.,6)("'+r3) *1""'(cos,,,r)

Koefisien modal menjadi:

=s,r

a""

t+.6

Frekuensi natural diberikan oleh persamaan berikut:

rti,,

(r

o

r(t )

s+Ji ct

267


Dua frekuensi natiral dengan

'

a), dan

-t"*r'f 't^""t)

ar'

dibeikan pada persamaan

sebelumnya, sehingga respons getaran dapat ditulis sebagai berikut:

o,

(/)

= n,

o,(,)=

(r)+ n, (r)

Lfr,g*fn,U)

Persamaan getaran torsi dinyatakan sebagai berikut:

u

e1t)+ re(r) =

u (t)

(7.16)

Harga parameter persamaan 7.16 sebagai berikut:

M

- l,

n,)

*=+11,-',),,nr=lZ;,li\. u(,)=l ,,0".)

Asumsi bentuk jawab permasalahandan 0Q) dibenkan sebagai berikut:

eQ)=,t,(u)p,+T,(vD, ,t,Q) au" rTrQ) adalahkoordinat

I tl

,, =l

\

,.f l.

12 )

modal. @, dan @, adalah modal vektor.

l- t1 @,

=l

,-r

12

I

)


r7,Q) +

m'r,

;

m',,d T,(r)

:

ar,

269

,T' adalah periode sampling. Respons waktu diskrit adalah

Persamaan modal menjadi sebagai berikut:

*,,

MATLAB


0(t)

Ol

sebagai berikut:

. [ {'(o) sin(n - t 1,,r]o, } =rtV;llrtttto', {[l(4 sin(t - k)a4rl, ) lt't22az ) )

riu) + m,,o:ry rQ): N, (l)

_ -

r,, *

J ct

e

l. Dalam hal ini,

Gayamodalmenjadi: ru,(r)=

'*r*-o',

N,(4:Lf

,l I

o^, sin(tr- r)r,o r

Jd77i=1, M)/I=1,

sou

fffrl;,?il1]rtl)

=1

a.

dan

respons yang diberikan adalah:

M,"

I e(r)

= o,ot

(7.17)

sino.6 t so34

]

*i.,,e-nn'-

sin

(, - k\rlo'7236s07)

'

mana

ry,(n)

=Il-0 ar, (r)g,

ry,(n)

(

, - k)

ror, ll

=Ii=0 n, igr)s,fu - k),, = 1,2,.

lo1 [o

]

|

' lo'zzsoc07f *.rino.otu,uorrol-o'zzzsosl\ e(t) =o.otlsin],006t80trl,,,ror,

Waktu dislrit dari koordinat modal diberikan dalam bentuk penjumlahan komulasi. Respons wahu diskrit adalah:

/\

diskril diperoleh:

Resports sekuensial waktu

e(o) =

I

'';'-'r'jrlrrrrlr l o)rlo,i

t,6t Bo3a(n _

l+ di

T:0,01 s, maka

o'

Respons diberikan dengan:

e(n)= ry,(rp, +,7r(np,n :7,2,..

tosaffr[],'r'#"]

rM. *{n-'*"in0'-l)o,ot

I

]l

10.t70s2

:ttIt,azzstxto') lo.oooo" to' )

T

g,Qr)= , sinna,T,i=1,2 ffiii@i

e

(2)

llr,, {0,

oo o t B0

=o,ot1 +

[ri,

(

A ol

f

I =l

t,stttz x lo-'f

lz,ooo"to-'

I

l

3

4

6 t 803

-t -

* 2) + e - "" x 2\ + e-n'n'

s in

si

n

0,0

0 6 t B0r

0,0 t 6

t

r{ o'" t uo'))

-rl;::r::r, -n-,,

80,1S

o

ui

r-r)J

270


Script MATLAB semua persamaan di atas dengan respons 0,("YV


MATLAB

271

Resppnse by the, cnnJoluti$n surfi

=1,2)

menjadi: MATLAB program.

* respon sist.em dua DOF clear c1f I--L; * initial massa k=1;%=cJlL kekakuan torsi 14=1* [1 0;0 1] ;t mat.riks massa K=k* [2 -1; -1 1] ; B matriks kekakuan Iu,W] =eig (K,M) ; I masalah eigenvalue I w= eigenvalues u( :,1)=s( :.1) /max(u( :,1) ) ; ? normalisasi eigenvector u( :,2) =u( :, 2\ /max(u( :,2) ) ; tw ( 1) , I1l =pir. (max (W) ) ,' % parameter eigenvalue diberi

u.5

g d@

0m:t

1mO

l2m- 14m 160O 1ffi0.::::2ffi0

Gombar 7.19 Respons sistem getot"an

dai

Contoh 7.10

1abe1 baru

tw(2\, 12I=661 1*.x(W) ); w(1)=sqrt(w(1) ) ; t frekuensi natural terendah w(2)=sqrt(w(2) ) ; I frekuensi natural tertj-nggi U(:,1) =u(:, 11) ,' I parameter eigenvector diberi 1abe1 baru

U(:,2)=u(:,12); .1) '*M*U(: ,1) ; ? perhitungan massa m2=U(:,2)'*M*U(:,2].; T=0.01; I asumsikan untuk periode waktu tertentu N=2000; ? asumsi waktu Lotal komputasi M2--1"; I hargra torsi pada piringan ke-2 m1=U(:

alPha=1

Sebuah model suspensi otomotif sederhana diperlihatkan dalam Gambar 7.20 sebagai dua derajat kebebasan. Tulislah script MATLAB untuk menentukan frekuensi natural model dengan

l+-;,--rl{- l:--t

;

n=[1:Nl;

N1=U(: ,1) '* [zeros (1,N) ;M2*exp(-alpha*n*T) ] ; ts gaya-gaya N2=U( : ,2) ,* [zeros (1,N) ;M2*exp(-a1pha*n*T) ] ;

g1=T*sin( (n-1) *w(1) *T) / (m1*w(1) ) ; %respon impuls waktu

diskrit

92=T*sin((n-1) *w(2)*T) / (m2*wl2l ) ; c1=conv(N1,91) ; thasil integral konvulusi c2=conv (N2,92)

;

theta=U( :, 1) *c1 (1:N)+U(2,2)*c2(1:N) ; I N jumlah sampling untuk plot n= [0:N-1] ; axes('position', t0.1 0.2 0.8 0.71)

plot(n,theta(L, : ),'.',r, theta(2,:l ,' -'l h=title('Response by the convolution sum'),' set (h, 'FontName' , 'Times' , 'FontSize' ,1,2\ h=xlabe1 ('n') set.(h,'FontName','Times','FontSize',L2l l=y1abe1 ( '\theta_1 (n) , \theta-2 (n) ') ; seL(h, 'FontName', 'Times', 'Fontsize' ,L2l grid

Gambar 7.20 Model suspensi otomotif dari Contoh

7.1

I

Persamaan diferensral gerakan dua derajat kebebasan adalah sebagai berikut: t-..1

I lzt Q, - r,)r-l[x.] [o.l ,ll; l.l r,, - t,)k Q: - r; )r.l[a] - [o] L]

fnt o-llx

lo

(7.18)

Jawab permasalahan dari perhitungan MAT'LAB diperoleh:

'x'

adalah displacement dari pusat massa dan 0 adalah rotasi angular dari body pada posisi horizontal. Diketahui parametemya adalah sebagai berikut: Berat mobil,

lT:5000lb

Centroidal moment of inertia, I Spring stiffness, k : 2500 lbl ft l1 :3.4 ft

:

Berat Mobil 0b): 5000 lnersia Momen (slugs-ft^2): 400 Stiffness (b/ft):2500 3.4000 Jarak dari pegas rear terhadap cg (ft) Jarak dari pegas from terhadap cg (ft): 4.6000

:

400 slug-ft2

12: 4.6 ft

Mass-matrix:

155.2795

Jawab: Program

273



272

MATLAB diberikan sebagai berikut: %sistem dua dof W=input('Berat mobil (lb)' ) ; f=input('Momen Inersia Massa (s1ugs-ft^2)' ) k=input ( 'Stiffness (1blft) ' ) a=input('.Iarak dari rear springs terhadap cS (ft)') b=input( ''Tarak dari front springs terhadap cg (ft)')

t matriks

--)a 9-JZ.Zl

0 400.00

0

Stiffness-matrix l.0e+004

0.5000 0.3000

0.3000 8.1800

Frekuensi Natural (rad/detik): 5.6003 14.3296

massa

a -

m=W/g;

14=[m,0;0,r]; I mat.riks kekakuan K=[2*k, (b-a) *k; (b-a) *k, (b^2+a^21*111 ' I perhitunqan eigenvalue dan eigenvector C=inv

(M)

Vektor Modus Getar -0.9991 0.0433 -0.1109 -0.9938

*K;

lv, n1 =g1n 1s1 ' om_1=sqrt(D(1,1)); om_2=sqrt (o(2,2) ) ;

Contoh 7.12

xt=[v(1,1);v(2,1)l; x2= lv (1 ,2\ ;v (2 ,21 ) ; I Output disp('Berat Mobil (1b)=' ) ; disp(W) disp(' Inersia Momen (sIugs-ft^21 =' I ;disp(I) disp ( 'Stif fness (lb/ tL) =' ) ; dj-sp (k) dari pegar rear Lerhadap cg ( ft) =' ) ; disp ( "farak disp (a) disp('Jarak darj- pegas front terhadap cg (ft)=');disp(b) dj-sp('Matriks Massa' ) ;disp(M) disp ( 'Matriks Kekakuan ' ) ; disp (x ) disp ( 'Frekuensi Natural (rad/detik) =' ) ;

Tentukan respons sistem dua derajat kebebasan yang diperlihatkan pada Gambar 7.21 dengan initial conditiort x,(0)=0, *,(0):0,005 m ,

xt(0)=0,

20000 N/n, dan

)

c:

=0!

Parameter yang lainnya adalah

m:30

150 N.s/m

F*,

Wffi

disp ( om_1 ) dlsp ( om_2 ) disp ( 'Vektor Modus cetar' ) ; disp (x1 ) di-sp (x2

.xr(p)

Gambar 7.21 Skema sistem getatan Contoh 7.12

l

I

kg,

k:

274


r[i,l ro o l* o ',-11:,,,1.[',:]t;].1:,r',rr)l::,)=li) l0 atauMy+ky=O di mana

,

=lt*

o

Y),r=l-Y *),'=[l

Jawab: Permasalahan solusi displacement getaran diasumsikan sebagai berikut:


MATLAB

275

disp ('Konstanta Integrasi' ),' S=inv (V) *x0

tk=linspace (0,2, 101) ; B evaluasi respon waktu B kembali dinyatakan bahwa x1=Y3 and x2=y4

for k=1:101 t=tk (k) ; for i=3 :4 x (k, i-2 ) =0; for j=1t4 x(k, i-2)=x(k, i-2) +(real (S(j ) ) *real (V(i, j) ) imas(S(j) ) *imas(v(i,j) ) ) *cos (imag(D(j, j ) ) *t) ; x(k,i-2) =x(k, i-2)+ (imas(s( j) )*rea1 (v(i, j) )-rea1 *imag(V(i, j ) ) ) "sin(imag(V(i, j ) ) *t); x(k, i-2)=x(k, i-2) *exp(-rea1 (D(j, j ) ) *t) ;

(S(

j)

)

end end

y = k-v'

end

Di mana y adalah eigenvalue dai. M-tK dan Qadalah eigenvector. Jawab permasalahan umum adalah kombinasi liner semua jawab permasalahan

plot(tk,x( :.1).'-',tk,x(:,2),' :' ) tit.1e ( 'Solution of problem 83.12') x1abe1 ( 't Isec] ' ) y1abe1 ( 'x (m) ' ) legend('x1 (t) ' , 'x2

sebagai berikut:

(t) ')

4

, =\c,Q,e-'''

galuti;n

or

trli:len iegilz

.i=t

Aplikasi dari kondisi awal memberikan persamaan sebagai berikut: 4

y=Zc,Q,=vc Jawab permasalahan script

dan

C

=V-'lo

MATLAB menjadi:

m=30; ? harga massa k=20000; I harga kekakuan c=150; I harga damping ? orde matriks 4 x 4 disp('4 x 4 Matrix Massa'); mt.= [0, 0,m, 0 ; 0, 0, 0, 2*m;m, 0, 0, 0 ; 0, 2*m, 0, c1 ; disp('4 x 4 Matriks Kekakuan') ; kt= [ -m, 0, 0, 0 ; 0, -2*m, 0, 0 ; 0, 0, 3*k, -2*k; 0, 0, -2*k, 2*k] Z=inv(mt) *kt; lv,o1=sin171'

disp('Eigenvalues'); disp('Kondisi Awal'); x0=[0;0;0.005;0]

Gambur 7.22 Respons getaran problem 7.12 ;

Sistem dengan 3 derajat kebebasan seperti yang diperlihatkan Gambar 7.23.

Tulis program MATLAB jika diasumsikan ft

: tn: l, untuk mencari tiga

frekuensi natural masing-masing benda bersesuaian dengan modus getar.


276


dj-sp

(w (3 )

--r1-nr1 rrLf.rrl

MATLAB

277

)

-

,

disp('Modus getar sesuai ortogonalitas massa yaitu') for j =1 ,5, U(: , j )=v(: , r ( j ) ) ;

u(:, j)=u(:.J)/(u (:, j)'*M*u(:, j));

Gambar 7.23 Sistem 3-derajat kebebasan Contoh 7.13

disp ( 'mode-' )

disp(j) disp(u(:,j))

Jawab: Persamaan getaran dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

M Dengan

end

x(t)+ Kr(t)=o ,(/) = l*,Q), *r(r) r, (r)]

Matriks massa

l*o M =10

maka vektor displacenrent dengan:

0f

,l

2nt

I

100 l,o

Matriks sriffness O =l_O

l0

2n)

-k

01

3k -2k -2k 4k:]

Jawaban permasalahan dengan input program

I

[1 0 0;0 2 0;0 0 2); Z pengrisi-an matriks massa 11=[*[2 _1 0;_1 3 _2,0 _2 4]; g marriks kekakuan M=m*

R=chol (M)

Cholesky L=R'

Seiring semakin berkembang kapasitas CPU dan bahasa pemrograman maka peranti lunak yang berfungsi untuk membantu para scientis untuk mengembangkan dan mendapatkan hasil hitungan, termasuk analisis, juga menjadi semakin cepat dan akurat. MATLAB adalah salah satu peranti lunak yang sangat powerfull untuk memecahkan masalah getaran. IIal ini karena MATLAB memiliki koleksi perintah dan fungsi yang mudah dipahami. Di

samping itu, MATLAB juga mampu memplot grafik parameter sistem getaran dengan baik, sehingga memperrnudah ilmuwan ataupun mahasiswa yang berkecimpung dalam bidang getaran mekanis untuk menganalisis suatu sistem getar.

MATLAB:

k=1; % harga kekakuan m=1; I harga asumsi massa N=3;

7.9 Ringkoson

; ? teknik penyusunan matriks dengan cara

7

.1O Sool

1,

Sebuah kereta dengan massa

l0 kg bergerak25 cm ke kanan dari posisi

t:

0 seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gunakan MATLAB untuk memplot displacement sebagai fungsi waktu untuk 4 kasus c: 10, 40, 50 dan 60 N.s/m, k = 40 N/m! keseimbangannya dan dilepas pada

;

A=inv(L)*K*inv(L,); Ix, W] =elg (A) ; v=inv(L') *x; for i=1:N, w1 ( j-)=5q13(w(i,i));

"r4

{.t

:,-1

.'

11

.i.

end

lw,Il=5e53 1,1 ;' disp('Tiga frekuensi natural modus getar pertama') 1) ) disp disp(w(2) ) (w

(

4

l***

t:

1i

k

I

nfi

;l

278

2.



279

Tulislah slaip MATLAB untuk menghitung respons dari sistem satu derajat kebebasan underdantped seperti gambar di samping ini! Gunakan program tersebut unfuk menentukan respons dari data berikut ini! Initial condition e

=0,1

,(0):

, 0,4 ,

O

, ,101

:30

cm/ s , o,,

:6

radls

0,5 5.

Buatlah skrip MATLAB untuk mencari frekuensi natural dan modal matriks dari sistem di bawah ini.

m= mo

IOOOkg

= l5o kg

mo=60k9 a -l-

Tentukan dan plot respons dari sistem seperli yang terlihat pada gambar

di bawah ini! Gunakan MATLAB.

,o(r) t"tltu

Responsnya adalah

)U"rupu unit step displacement input! Parameter sistem 15 N/m, kr:25 N/m, c,:7 N.s/m dan cr: 15 N.s/m

input x,

(f

t,:

-V,

f=

36O

kg . m2

\= l.2x ld N/m t,=2x tdNzm tr*8x

ttl4Nzm

a= l.Em D=2.Om

x, (t)

c-6Oclr d= 4Ocm

k, xo{t)

v{t}

4.

Sistem dua derajat kebebasan torsional seperti gambar dikenai eksitasi

e,(0)= 0,

di bawah

e,(0)=2,0,(q:r$dun

6,

rnr

(o)=0.

Tulislah program MATLAB untuk memplot respons sistem. Asumsikan

I:ldanGJ:I:1.

Doftor Pustoko

Bhimadi, T., (2000). "Beda Hingga Eksitasi Solusi Persamaan Getaran Pegas Damper Toyota Kijang LSX dan Optimasi Harga Pegas Damper Menggunakan Gradien Projection Constraint Linear", Proceeding Experimental and Theoretical Mechanics, ITB-Bandung, ISBN 9798294-04-1,20-21 Juni.

Bhimadi,

T.,

(2003), "Kontrol Jumlah Produk dengan

Rangkaian

Milaokontroler AT89C51 dan Prinsip Demokrasi", Prosiding Word Automation Seminar, Universitas Katolik Parahyangan - Bandung, ISBN 979-98176-0-9, I 8-19 Desenrber.

Bhimadi, T., (2004), "Penyimpangan Uji Fatigue 14 Spesimen Plat Berlubang Lebar 50 mm dan Tebal Sampai 8 mm SS-304 Beban Uniaksial", Prosiding Perencanaan dan Aplikasi Teknologi dalam Pembangunan, Universitas Muhammadiyah - Surakarla, ISSN 1412-9612,

1

1 Desember.

Bhimadi, T., (2006), "Respons Heave Anjungan Empat Tiang Terhadap Eksitasi Gelornbang Laut Persamaan Eksponensial", Makalah Progress Disertasi, Fakultas Teknologi Kelautan, ITS-Surabaya.

Bhimadi, T., (2009), "Respons Transien Gradien Dua DOF Engine Kapal KM-PAX-500 dengan Metode Beda Hingga", Prosiding Rekayasa dan Aplikasi Teknik Mesin di lndustri, ITENAS-Bandung, ISSN 1693-3 168, 24-25 Nopember.

Dukkipati, Rao V., (2007), Solving Vibratiott Analysis Problenrs Using MATLAB,NeTv Delhi., New Age lntemational (P) Ltd', Publishers. Hatch, Michael R., (2002), Vibration Simulation With MA'ILAB and ANSYS, Boca Raton., Chapman

& Hall/CRC.


Kelly, S.Graham., (2000), Fundantental of Mechanical Vibrations.,

2"d

edition, Boston. McGraw-Hi ll.

Rao, Singiresu S., (2000), Mechanical Vibrations., 2"d edition, Singapore, Addison-Wesley Publishin g Company.

Thorby, Douglas., (2008), Structural Dnatnics and Vibration in Practice, Amsterdam, Elsevier Ltd.

CATATAN

1641_Dasar-Dasar Getaran Mekanis

Recommend Documents