CONJUNTOS
CONJUNTOS
DEFINICIÓN Agrupación de objetos que poseen una característica común bien definida. A los objetos de un conjunto se los llama llama elementos.
NOTACIÓN Letras del abecedario, en mayúscula
RE#RE$ENTACIÓN Extensión o Tabulación Comprensión Diagramas de VENN
E%emplo A A
= { a, e, i, o, u}
= { x / x es una vocal }
Representación r!"ica
CONJUNTOS
#ERTENENCIA&
a ∈ A CARDINA'IDAD& Número de elementos:
N ( A)
CONJUNTO !"#"$ANT" CONJUNTO FINITO
Cantidad finita de elementos
CONJUNTO INFINITO
Cantidad no finita de elementos
CONJUNTO UNITARIO CONJUNTO VACÍO
No tiene elemento
CONJUNTO REFERENCIAL
Conjunto Universo
Un sólo elemento
A B
= { a, e, i, o, u}
N ( A)
x / x es un número real
C
Φ Re
U
5
N ( B ) N (C )
1
N (Φ )
0
CONJUNTOS
CUANT%&%CA'O!"
TODO
(NIVER$A'
• para
todo
ALGÚN
E)I$TENCIA' •
Existe por lo menos no
∀
∃
CONJUNTOS
U(CONJUNTO "l conjunto A es subconjunto de ( si ) sólo si los elementos de A est*n contenidos en (
A
B
x x
A
x
B
"l conjunto ( es subconjunto de A si ) sólo si los elementos de ( est*n contenidos en A
B
A
x x
B
x
A
CONJUNTOS U(CONJUNTO
$(*CON+(NTO #RO#IO B
B
A
E%emplo&
A
B
A
A
A
a, e, i, o, u
B
i, u
a
e
i
u o
I,#ORTANTE
1.
x x
A
x
A
A
A
2.
x x
Φ
x
A
Φ
A
0
x
A
1
B
CONJUNTOS
CONJUNTO +OT"NC%A Sea A un conjunto. El Conjunto Potencia de A , denotado como P(A), está formado por todos los subconjuntos de A. Es decir:
P ( A)
S
/S
A
E%emplo A
1, ,
= {1} S 2 = {∗} S 3 = { ∇} S 1
P ( A) =
S 4
= {1,∗}
S 5
= {1, ∇}
S 6
= {∗, ∇}
S 7
S 8
= {1,∗, ∇} =
A
=Φ
{{1},{∗},{∇},{1,∗},{1, ∇},{∗, ∇}, A , Φ} N ( P ( A))
N ( A )
2
CONJUNTOS CONJUNTO +OT"NC%A E%ercicios&
,Ω
1,
B S 1
1 ,Ω
S 2
P ( B )
S3
B
S 4
Φ 1 ,
,Ω
, B, Φ
CONJUNTOS
%,UA#'A' A = B sí y solo sí tienen los mismos elementos
( A = B ) ⇔ ∀ x( x ∈ A ↔ x ∈ B ) ( A = B ) ⇔ [ ( A ⊆ B ) ∧ ( B ⊆ A) ]
CONJUNTO '%JUNTO. A y B son DISJUN!S si y sólo si" no tienen elementos en #omún
CONJUNTOS
O+"!AC%ON" %NT"!"CC%-N
$ara tres #onjuntos
{
}
A ∩ B = x / x ∈ A ∧ x ∈ B
A ∩ B ∩ C = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C }
CONJUNTOS
O#ERACIONE$ $ara otros #asos
B
A
B
A B ⊂ A
A ⊂ B → A ∩ B = A
→ A ∩ B = B
A
B
A ∩ B = Φ
CONJUNTOS
UN%-N
O#ERACIONE$ A ∪ B
= { x / x ∈ A ∨ x ∈ B} N ( A ∪ B )
( A) + N ( B ) − N ( A ∩ B)
= N
A ∪ B ∪ C = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C }
N ( A ∪ B ∪ C )
= N ( A) + N ( B) + N (C ) − N ( A ∩ B) − N ( A ∩ C ) − N ( B ∩ C ) + N ( A ∩ B ∩ C )
CONJUNTOS
O#ERACIONE$ '%&"!"NC%A
{
}
A − B = x / x ∈ A ∧ x ∉ B
sólo A
{
}
B − A = x / x ∈ B ∧ x ∉ A
sólo B Anali#e otras situa#iones
CONJUNTOS
O#ERACIONE$ '%&"!"NC%A %/T!%CA A∆ B
E%emplo
A =
= ( A − B ) ∪ ( B − A)
{1, ∗, ⊗, ∇, Ω}
A ∪ B =
B
{1, ∗, ⊗, ∇, Ω, a, ?}
{⊗, ∇} A − B = {1, ∗, Ω} B − A = { a, ?} A ∩ B =
A∆ B =
= { a, ?, ⊗, ∇}
{1,∗, Ω, a, ?}
CONJUNTOS
O#ERACIONE$ CO+#""NTAC%-N '" CONJUNTO C
A
= Re− A
CONJUNTOS A'E*RA DE CON+(NTO$
UNI!N A ∪ B = B ∪ A A ∪ ( B ∪ C )
= ( A ∪ B ) ∪ C
IN%&S%CCI'N
Conmutativa Aso#iativa
A ∩ B = B ∩ A A ∩ ( B ∩ C )
= ( A ∩ B ) ∩ C
A ∪ A = A
Idem(oten#ia
A ∩ A = A
A ∪ Φ = A
Identidad
A ∩ Re = A
A ∪ Re =
A)sor#ión
A ∩ Φ = Φ
Re
CONJUNTOS A'E*RA DE CON+(NTO$ $ro(iedades distri)utivas
A ∪ ( B ∩ C )
(
= ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
A ∩ B ∪ C C
Com(lementa#ión
Φ = Re C
Re = Φ Do)le Com(lementa#ión De *or+an
( A ) C
C
=
( A ∪ B )
C
( A ∩ B )
C
A C
C
C
C
= A ∩ B = A ∪ B
CONJUNTOS A'E*RA DE CON+(NTO$ !tras: A ∪ A
C
A ∩ A A − ( B ∩ C )
A − ( B ∪ C ) A ∪ ( B
C
= Re =Φ
= ( A − B ) ∪ ( A − C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C )
− A) = A ∪ B
A − ( A ∩ B )
= A − B
CONJUNTOS A'E*RA DE CON+(NTO$ Demostrar A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) x ∈ A − ( B ∪ C )
≡ x ∈ A ∧ ¬ ( x ∈ ( B ∪ C ) ) ≡ x ∈ ≡ x ∈
A ∧ ¬ ( x ∈ B ∨ x ∈ C )
(
A∧¬ x∈B
) ∧ ¬ ( x ∈ C )
( ) ( ) ≡ x ∈ A ∧ ¬ ( x ∈ B ) ∧ x ∈ A ∧ ¬ ( x ∈ C ) ≡ x ∈
A ∧ ¬ x ∈ B ∧ x ∈ A ∧ ¬ x ∈ C
≡ [ x ∈ ( A − B ) ] ∧ [ x ∈ ( A − C ) ]
≡ x ∈ [ ( A − B ) ∩ ( A − C ) ]
CONJUNTOS
E % e m p l o
$ean A. * / C con%untos no 0acios tales 1ue& Re A A
1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 B B
1, 2,3, 4 C
C
A
5, 6
1, 2, 7
C N
A
N B
B
C
A
8,9
6
-allar A. * / C $olución&
A = 1
7
2
5 10
6
3 4
8 9
{1,2,3,4,7,10}
B = {1,2,3,4,8,9} C = { 3,4,10}
CONJUNTOS 'a región sombreada
corresponde a: a, A B ), B A #, A C C d, A
B
C
C
C
C
e,
$olución& 234 $e asigna un n5mero a cada región del gr!"ico Re = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
{1,2,3,4,5,6,7,8} B = { 4,5,6,9,10} C = { 2,5,7,11,12,13} A =
634 $e anali7a cada opción
A
C
C
C
B
A
B B
C
C
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD
E J De los 289 pro"esores de una uni0ersidad. 2:; tienen E t de M los doctores 22= son in0estigadores3 P &e:otal de $rofesores /.34, L O Do#tores Investi+adores /.-0, 2. .1
/.10,
..1
-.
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD DETER,INE&
a) El número de profesores no son doctores.
Resp3 10
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD b) El número de profesores que son Investigadores o Doctores
Resp3 .55
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD c) El número de Doctores que no son Investigadores
Resp3 2.
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD d) El número de profesores que NO son Investigadores
Resp3 -0
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD e, %l número de (rofesores 6ue no son investi+adores ni do#tores
Resp3 .1
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Al entre0istar a 122 estudiantes se obtu0ieron los siguientes resultados3 42 practican fútbol5 62 practican b*squet ) 16 no practican fútbol ni b*squet. 'etermine el número de alumnos que practican fútbol ) b*squet.
$olución& &e:.44
F
*
/54, .0
5487
/04,
7
0487
54879790487=30 7=20 Se+undo *todo: N ( F ∪ B ) = N ( F ) + N ( B ) − N ( F ∩ B )
85 = 60 + 50 − x 7=20
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD "n un curso preuni0ersitario5 ocurrió que5 de 1422 estudiantes3 • 721 aprobaron atem*tica • 822 aprobaron "conomía • 96: aprobaron Contabilidad • ;<6 aprobaron atem*tica ) "conomía • <87 aprobaron atem*tica ) Contabilidad • ;1: aprobaron "conomía ) Contabilidad= )5 • <12 aprobaron atem*tica 5 "conomía ) Contabilidad
$olución&
&e: otal de %studiantes /.544, ,at ; 23
Econ3
/34.,
33
.20 -.4 202 Cont3 /02,
/<44,
-5.42
32
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Determinar #u>ntos de estos estudiantes a(ro)aron: a, Sólo una materia
$ólo ,at3
Resp3 3<-
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Determinar #u>ntos de estos estudiantes a(ro)aron: ), %7a#tamente 2 materias
Resp3 -.0
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Determinar #u>ntos de estos estudiantes a(ro)aron: #, Nin+una materia
Resp3 32
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD E%emplo : Determinar #u>ntos de estos estudiantes a(ro)aron: d, Al menos una materia
.0.3
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Determinar #u>ntos de estos estudiantes a(ro)aron: e, Cuando mu#?o 2 materias;
23
.20
33
-5-
.42 202
Resp3 .243
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Una f*brica produce 122 artículos por >ora de los cuales 42 pasan el control de calidad . "l resto de artículos tu0ieron fallas del tipo A5 tipo ( ) tipo C5 ) se repartieron del modo siguiente3 • 7 artículos con fallas del tipo A ) tipo ( • 1: artículos con sólo falla de tipo A • < artículos con fallas de los < tipos • 6 artículos con fallas de tipo A ) C • : artículos con sólo falla de tipo C ) tipo (. • "l número de artículos que tu0ieron una sola falla de tipo C o de tipo ( fue el mismo.
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD $olución&
•
8 art
•
26 art
•
: art
•
; art
•
6 art
•
El n5mero de art
@
.2
0 2
-
7 2
7
12 + 5 + 3 + 2 + 2 + x + x = 40
x = 8
CONJUNTOS
#RO*'E,A$ DE CARDINA'IDAD Determine: a)¿Cuántos artculos tuvieron fallas de tipo !"
0
3
2
Art . B = 5 + 3 + 2 + 8 = 18
