11 Flexão composta e desviada v Nov07 cor

fct - UNL ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I 11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

BETÃO ARMADO I – Mest. Mest. Eng. Eng. Civil

11 – ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA PROGRAMA 1.Introdução ao betão armado 2.Bases de Projecto e Acções 3.Propriedades dos materiais: betão e aço 4.Durabilidade 5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6.Estado limite último de resistência à flexão simples 7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8.Disposições construtivas relativas a vigas 9.Estados limite de fendilhação 10.Estados limite de deformação

11.Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada 12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14.Estado limite último de resistência à torção VLúcio Nov07

Ponte sobre o Rio Sabor

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ÍNDICE 1. Flexão composta com compressão A. Hipóteses base B. Ábacos C. Método simplificado 2. Flexão desviada A. Ábacos B. Método simplificado 3. Paredes resistentes

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA 1. FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO A. HIPÓTESES BASE : i. As secções planas mantêm-se planas após a deformação por flexão, isto é, desprezam-se as deformações por corte da viga; ii. Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão, ou seja, a armadura é aderente ao betão, não existindo escorregamento entre a armadura e o betão que a envolve;

iii. Betão • • •

A resistência do betão em tracção é desprezada. A relação tensão-deformação em compressão é parabólica até εc2 = 2x10-3 e é constante até à extensão máxima εcu2 = 3.5x10-3 Quando a secção se encontra totalmente comprimida, a extensão média deve ser limitada a εc2

iv. Aço

Para cálculo, pode admitir-se uma das seguintes relações tensão-deformação: 1- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo inclinado com extensão limite de εud=0.9εuk; 2- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo horizontal sem extensão limite. VLúcio Nov07

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA 2. MODELO - Para a relação tensão-deformação 2 do aço (elásto-plástico). CASO 1 - Flexão composta com tracção elevada – toda a secção está traccionada εc≥ 0

a A’s h d

a

Considere-se εs≥εyd

ε

σ

F’s = A’s σ’s

Fs = As fyd

σ’s

N

As b

ε’s

M

σs = fyd

β = A’s/As= 1.0

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO NRd = Fs + F’s MRd + NRd (0.5h-a)= Fs · (h-2a)

MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a) Seja ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd

μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd

μ = (ωtotal - ν ) λ VLúcio Nov07

ou

λ = (0.5h-a)/h

ωtotal = μ / λ + ν 4

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA CASO 2 - Flexão composta com compressão reduzida −εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3

a A’s h d

M

x

σ’s

0.8 x

Fc = -0.8x b fcd

Fc

Fs = As fyd

F’s

a b

F’s = A’s σ’s

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

N

As

da 1ª eq.:

ε’s

σc = fcd

NRd = Fc + F’s + Fs εs≥εyd

ε

σ

σs = fyd

MRd + NRd (0.5h-a) = Fs · (h-2a) - Fc · (a-0.4x)

Fs

MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a) + 0.8x b fcd · (a-0.4x)

com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd


λ = (0.5h-a)/h

μ = ωtotal λ - ν λ + 0.8 (x/h) (0.5 - λ – 0.4 x/h) da 2ª eq.:

NRd = -0.8x b fcd + A’s σ’s + As fyd

EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE Para o caso particular de σ’s = - fyd: Considere-se como limite: εs = εyd , resultando da 1ª eq. de compatibilidade: VLúcio Nov07

ou

εs ε = c d− x x ν = -0.8 (x/h)

ou

ν = -0.8 (x/h) + ω (1 + σ’s/fyd)

ε's ε = c x−a x

μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν) ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ

x/h ≤ (1-a/h) · 3.5 / (3.5 + εydx103)

Para a/h = 0.1: ν ≤ -0.48 para A400 e ν ≤ -0.44 para A500

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA CASO 3 - Flexão composta com compressão elevada σc = fcd

-εc = -εcu2 = 3.5x10-3

A’s h d

M

-ε’s≥ εsd

σ’s = fyd

x

N

As

σs < fyd

εs < εsd

a

ε

b


F’s 0.8x

a

Fc

Fc = - 0.8xb fcd F’s = - A’s fyd Fs = As σs

Fs

σ NRd = Fc + F’s + Fs MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (h - 0.4x - a)

MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + 0.8xb fcd · (h - 0.4x - a) com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd


λ = (0.5h-a)/h

μ = ωtotal λ + ν λ + 0.8 x/h (0.5 + λ - 0.4x/h) Para o caso particular de εs = 0: ν = - 0.8x/h - 0.5 ωtotal logo: VLúcio Nov07

NRd = Fc + F’s

NRd = -0.8xb fcd - A’s fyd

0.8x/h = - ν - 0.5 ωtotal

μ = 0.5 ωtotal (λ – 0.5 - ν - 0.25 ωtotal) – 0.5 ν (1 + ν) 6

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA CASO 4 - Flexão composta com compressão elevada e pequena excentricidade 2x10-3 = -εc2 ≤-εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3

a A’s h d

-ε’s≥ 2x10

M

σc = fcd

εc

σ’s = fyd

-ε’s≥ εyd

-3

F’s Fc

N

As

εs< 0

a b

εc2 = -2x10-3


ε

Fs

εs σs

ε σ A deformação média no betão não pode exceder εc2= 2x10-3

NRd = Fc + F’s + Fs

Fc = - 0.8x b fcd ≥ - bh fcd

MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (max{h-0.4x;0.5h} – a)

F’s= - A’s fyd ≥ - A’s· 400MPa

Para x ≥ 1.25 h e A400NR:

Fs = As σs ≥ - As · 400MPa

MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + bh fcd · (0.5h-a)

com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd μ = ωtotal λ + ν λ + λ ou seja

μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd μ = ωtotalλ + (1 + ν) λ ou

λ = (0.5h-a)/h ωtotal = μ/λ - (1 + ν)

Para o caso particular de compressão simples → MEd = 0, i.e., μ = 0 : Para o A400NR ωtotal = - (1 + ν) Para o A500NR ωtotal = - (1 + ν) · fyd/(εc2Es) com εc2Es = 400MPa ou – ν = 1 + ωtotal Isto é, ωtotal = - (1 + ν) · fyd/400 ou - ν = 1 + ωtotal· 400 / fyd VLúcio Nov07 7

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BETÃO ARMADO I – Mest. Mest. Eng. Eng. Civil -2.0

11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA ν

-1.8

ε s ≤ ε yd

-0.8

0.0

0.1

0.2

cd

ν = NRd/ bhfcd ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd β = A’s/As= 1.0 VLúcio Nov07

0.4

1.0

ω=

0.6

ε s > ε yd

0.5

0.6

μ TRACÇÃO

μ = MRd/

0.3

CASO 2

0.0

a = 0.1 h bh2f

0.5

ω=

-0.3

A400NR

0.4

0.0

ω=

b

0.9

ε s = ε yd

-0.5

0.8

a

CASO 3

0.3

As

-1.0

0.2

N

-1.3

0.1

hd

a M

COMPRESSÃO

A’s

CASO 4 - secção toda comprimida

-1.5

FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO

0.7

B. ÁBACOS

0.3

0.5

CASO 1 - secção toda traccionada

0.8

1.0

8

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA B. MÉTODO APROXIMADO

-2.0

ν

ν≥0 ωtotal = μ / λ + ν

COMPRESSÃO MODERADA 0 ≥ ν ≥ - 0.45 μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)

-1.3

β = 1.5 ν2 + 2.4 ν + 1.8

0.0

0.1

0.2

0.3

1.0

0.9

0.8

0.6

0.5

0.7

ω =

-0.3

ω =

0.4

0.3

-0.5 0.0

ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λβ COMPRESSÃO ELEVADA

-0.8

0.2

- 0.45 ≥ ν ≥ - 0.7

μ = β ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)

0.4

0.5

0.6

0.0

μ

- 0.7 ≥ ν

μ = 0.9 ωtotal λ + 0.35 (1 + ν) ωtotal = [μ - 0.35 (1 + ν)] /0.9 λ Para A500NR: - ν ≤ 1 + ωtotal· 400 / fyd VLúcio Nov07

-1.5

-1.0

ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ TRANSIÇÃO

a = 0.1 h

0.1

μ = (ωtotal – ν ) λ

A400NR

-1.8

ω =

TRACÇÃO

0.3

μ = MRd/ bh2fcd 0.5

ν = NRd/ bhfcd 0.8

1.0

ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd β = A’s/As= 1.0 9

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA 2. FLEXÃO DESVIADA A resultante do vector momento não se encontra segundo uma das direcções principais de inércia da secção. É necessário decompor o vector momento segundo essas direcções principais para efectuar a análise. B. ÁBACOS

μx = MRd,x/ bh2fcd

A500NR

y

MRd,x

h MRd,y

μy = MRd,y/ b2h fcd ν = NRd/ bhfcd

MRd

μ y/μ x = 1,0

b

a = 0.1 h 0.15 0.10

μx

0.05 0.00 -1.50

-1.00

-0.50

0.00 -0.05 -0.10 -0.15

ω = As,total fyd / bhfcd VLúcio Nov07

ν

x

0.50

1.00

ω=0,1 ω=0,2 ω=0,3 ω=0,4 ω=0,5 ω=0,6 ω=0,7 ω=0,8 ω=0,9 ω=1,0

a a As/4

As/4

As/4

As/4

h

b

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA

μ y/μ x = 0

A500NR

μ y/μ x = 1,0

ν = NRd/ bhfcd

a = 0.1 h

ω = As,total fyd / bhfcd

0.15

0.30

ω=0,1

ω=0,1 0.20

0.10

ω=0,2 ω=0,3

0.10

ω=0,2 ω=0,3

0.05

ω=0,4

μx

0.00 -1.5

-1.0

-0.5

ω=0,5 0.0

0.5

1.0

-0.10

μx

ω=0,4 0.00 -1.50

ω=0,6

-1.00

-0.50

ω=0,7 ω=0,9

-0.30

ω=1,0

ν

-0.15

ω=0,9

0.30

0.04

ω=0,3

0.02

ω=0,4

μx

0.00

-0.06 -0.08 -0.10

VLúcio Nov07

ν

0.5

1.0

ω=0,5 ω=0,6 ω=0,7 ω=0,8 ω=0,9 ω=1,0

0.20

ω=0,2 ω=0,3

0.10

ω=0,4 μy

ω=0,2

-0.04

ω=1,0

ω=0,1

ω=0,1

0.06

-0.02 0.0

μx = MRd,x/ bh2fcd

μ y/μ x = ∞

0.08

-0.5

ω=0,5 ω=0,6 ω=0,8

0.10

-1.0

1.00

-0.10

ν

μy = MRd,y/ b2h fcd

μ y/μ x = 2,0

-1.5

0.50

ω=0,7

ω=0,8

-0.20

0.00 -0.05

0.00 -1.50

-1.00

-0.50

0.00 -0.10

0.50

1.00

ω=0,5 ω=0,6 ω=0,7

-0.20

ω=0,8

-0.30

ω=0,9

ν

ω=1,0

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA B. MÉTODO APROXIMADO

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA 2. PAREDES RESISTENTES As paredes resistentes para as acções horizontais (vento, sismos, etc.) têm, em geral, esforços axiais pequenos (valores baixos de ν) e elevados momentos flectores e esforços transversos.

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA As paredes resistentes devem ser posicionadas de forma a que o seu centro de rigidez se aproxime do centro de massas do edifício. Geralmente são posicionadas em torno dos núcleos de acesso vertical do edifício ou nas empenas, aproveitando a existência de um número reduzido de vãos nestas zonas.

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA As paredes caracterizam-se por, ao contrário dos pilares, possuírem uma das dimensões da sua secção transversal superior a 4 vezes a outra dimensão. Por condicionalismos arquitectónicos, podem surgir paredes com formas em U, em C ou ainda mais complexas, o que dificulta o dimensionamento das armaduras em flexão composta com as ferramentas normalmente usadas para os pilares.

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA SECÇÃO RECTANGULAR Se ν ≤ 0.45 então εs ≥ εyd e σs = fyd Fs = As fyd z = (h-a) - 0.4x

0.5h-a

-

(0.5h-a)

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO NRd = Fc + Fs Compressão: NRd ≤ 0

MRd - NRd (0.5h-a) = - Fc · z Fc = NRd - Fs Seja

[MRd - NRd (0.5h-a)] / z = Fs - NRd

(0.5 h – a) ≈ z / 2

então:

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE x = d εc / (εc + εs) para εs ≥ εyd donde VLúcio Nov07

x ≤ 0.55h

logo

Fs = [MRd - NRd (0.5h-a)] / z + NRd

Fs ≈ MRd / z + NRd / 2 εc / x = εs / (d-x)

temos x ≤ d 3.5 / (3.5 + 2.17)

z ≥ (h - 0.1h) – 0.4x0.55h ≈ 0.7 h 16


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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA Secção em U com banzo traccionado

Secção equivalente a secção rectangular mas com ys ≈ h2/(2h+c) - e/2 Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ 0.7 h Secção em U com banzo comprimido

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Secção equivalente a secção em T com ys ≈ d-h2/(2h+c) Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ d - e/2

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11 – EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA Secção em C

Secção equivalente a secção rectangular (com ys = h/2 - e/2) com z≈h-e Fs ≈ MRd / z + NRd/2

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PROGRAMA 1. Introdução ao betão armado 2. Bases de Projecto e Acções 3. Propriedades dos materiais: betão e aço 4. Durabilidade 5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão 6. Estado limite último de resistência à flexão simples 7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso 8. Disposições construtivas relativas a vigas 9. Estados limite de fendilhação 10. Estados limite de deformação 11. Estados limites últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviada

12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural 13. Disposições construtivas relativas a pilares e paredes 14. Estado limite último de resistência à torção

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