AMORTIZACIONES
UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICAS FINANCIERAS TEMA:
AMORTIZACIONES 240
AMORTIZACIONES
MEDIOS DE PAGO O AMORTIZACIÓN A MORTIZACIÓN
INTRODUCCION Amortización es el Proceso financiero mediante el cual una deuda u obligación y los intereses que generan se extinguen progresivamente por medio de pagos periódicos o servicios parciales, que pueden iniciarse conjuntamente con la percepción del stock de efectivo recibido (flujos anticipados, al vencimiento de cada periodo de pago); flujos vencidos, o después de cierto plazo pactado originalmente (flujos diferidos). De cada pago, cuota o servicio una parte se aplica a cubrir el interés generado por la deuda y el resto a disminuir el saldo insoluto, se infiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeño que no puede cubrir ni siquiera el interés generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta es capitalizada. A partir del día siguiente al vencimiento de cada cuota, si esta no hubiese sido amortizada completamente, la parte no amortizada de ella, entrará en mora generando diariamente un interés de mora, independientemente del interés compensatorio que genera el saldo insoluto. Cuando un préstamo está en mora, cada pago hasta donde alcance, debe aplicarse para cancelar la deuda en el siguiente orden: Interés de mora Interés compensatorio Principal vencido • • •
Si quedase algún remanente, la diferencia será aplicada para cubrir: Intereses no vencidos pero devengados hasta la fecha de pago. Principal por vencer. • •
Contablemente, amortizar es el proceso que consiste en disminuir el valor de un activo, cargando este importe a gastos. Los Problemas de Amortización involucran: • • • •
El importe de los pagos periódicos que pueden ser uniformes o irregulares El número de pagos cuyos plazos pueden ser uniformes o irregulares. La tasa de interés que puede ser fija, variable o implícita. La formulación de las tablas de amortización conocidas también como cuadros de servicio de la deuda o de reembolsos de préstamos.
En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente, una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.
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Amortizaciones
TABLA DE REEMBOLSO DE PRÉSTAMO O SERVICIO DE LA DEUDA Conjuntamente con el desembolso inicial del préstamo, cuando este se otorga en partes, o con su desembolso total, se emite una tabla referencial de reembolso, llamada así porque su elaboración supone: a. La invariabilidad de la Tasa de interés durante todo el plazo del crédito. b. La cancelación de las cuotas exactamente el día de su vencimiento. c. El desembolso del crédito en única Armada. Las tres suposiciones generalmente no se cumplen en la práctica por algunos de los siguientes motivos: a. En nuestro país las tasas son variables pudiendo incrementarse o disminuir durante el plazo del crédito. b. Los prestatarios pueden pagar sus cuotas con algunos días de atraso o anticiparse en sus pagos. En el primer caso serán penalizados con una tasa de mora. En el segundo, podrá descontarse la cuota con la tasa vigente, tantos días como falten para su vencimiento. c. Un crédito aprobado por una institución financiera puede ser desembolsado en partes iguales por la entidad financiera. Por los motivos expuestos es necesario preparar tablas definitivas que contemplen las variaciones ocurridas durante el plazo de vigencia del préstamo.
Elementos de la Tabla de Reembolso.Una tabla de reembolso puede tener diferentes formatos, de acuerdo con los criterios de la empresa que otorga los préstamos. Sin embargo, estas generalmente adoptan los modelos 1, 2 ó combinación de ambos. Modelo 1 N° o Fecha
Servicio
Cuota Interés
Modelo 2 N° o Fecha
Cuota
Interés
N° ó Fecha Servicio o cuota Cuota Interés Deuda Residual Deuda Extinguida
Cuota Capital
Amortización
Deuda Residual
Saldo Insoluto
Deuda Extinguida
Deuda Extinguida
: Indica el número de los servicios o cuota, o su fecha de vencimiento : Suma de la cuota interés y de la cuota capital. El servicio puede incluir solo cuota interés o solo cuota capital, de acuerdo como haya sido pactado el préstamo. : Importe devengado por la aplicación de la tasa periódica de préstamos sobre la Deuda Residual. : Saldo del préstamo original en cualquier momento. En el momento o la deuda Residual es igual al importe recibido en préstamo. : Importe acumulado de las cuotas capitales vencidas. Al vencimiento de todos los servicios será igual al importe original de préstamos.
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Amortizaciones
TASA DE INTERES INTERNACIONAL: 1. TASA LIBOR La London Interbank Offered Rate, O tasa Interbancaria e Londres es aquella que se pagan o cobran entre si los bancos del mercado de Londres por las operaciones que realizan(Ejemplo).
PLAZO 1 Mes 3 Meses 6 Meses 12 Meses
PASIVA 3.07 3.27 3.46 3.72
ACTIVA 3.11 3.35 3.51 3.80
La tasa Libor constituye una de las referencias más importantes en las finanzas mundiales, pues sirve de base para establecer las tasas en las grandes operaciones de crédito, tanto a nivel corporativo como gubernamental. A partir de ella se suelen aplican los denominados Spread ( por ejemplo Libor + 2, Libor + 0.25), según la naturaleza y plazo de la operación y según la calificación del cliente.
2. PRIMER RATE Es una tasa de interés preferencial que cobran los bancos de Estados Unidos a sus clientes de primera clase, implica, por lo tanto, un menor costo en los créditos. Al resto del público se le aplica un Spread sobre dicha tasa, el mismo que e incrementa a media que crece el nivel de riesgo.
SISTEMA DE REPAGO DE PRÉSTAMOS Para rembolsar un préstamo, formalizado mediante un contrato con una entidad financiera y regulado por las entidades competentes, pueden aplicarse diversos sistemas, limitados solamente por el principio de equivalencia financiera, por medio del cual la suma de las cuotas evaluadas a valor presente con la tasa de interés o combinación de tasas pactadas deben ser iguales al importe del crédito original.
SISTEMA DE REPAGO
MODALIDAD Vencidas Vencidas en períodos variables Anticipadas Diferidas
Cuotas Constantes ( Francés )
Amortización Constante(Alemán) Interés Constante (Inglés ) Aritméticamente Geométricamente Periódicamente Suma de números dígitos
Cuotas Crecientes
Reajuste de deudas Combinados •
Cuota Constante: 243
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Amortizaciones
Calculada con el FRC, se compone de la cuota interés y la cuota capital. La primera es generada por la deuda residual y la segunda constituida por la diferencia de la cuota constante y la cuota Interés. Tiene por objeto disminuir el capital adeudado. A medida que devenga cada servicio, la cuota capital experimenta un incremento Geométrico de razón (1+i) cuyo importe es igual al decremento que experimenta la cuota interés. •
Amortización Constante: Calcula dividiendo el importe del préstamo original entre el número de servicios. Este sistema origina en cada servicio una cuota interés decreciente aritméticamente.
•
Interés Constante: Al vencimiento de cada servicio se paga sólo el interés devengado por la deuda residual y en el último servicio, además del interés, se amortiza el capital original.
•
Cuotas Crecientes: Que crecen de acuerdo con una ley predeterminada: progresión aritmética, geométrica, series escaladas, etc.
•
Reajuste de deudas: Se realiza sobre la base de un factor de indexación
•
Sistemas combinados: Agrupa algunos de los descritos anteriormente o incluso otros sistemas
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Amortizaciones
1. AMORTIZACIONES CONSTANTES: METODO ALEMAN
También llamado “Plan de Amortizaciones Constantes”. Bajo esta modalidad, quien recibe un préstamo debe amortizarlo en parte iguales, a intervalos regulares en el plazo de préstamo. En cada amortización se pagan interés al rebatir o sobre el saldo pendiente. Las cuotas del préstamo(es decir la amortización con los intereses) son más elevadas al inicio y van declinando a través del tiempo. Esto se debe a que el saldo pendiente se ve reducido con cada amortización y los interés por pagar son menores cada vez. Se obtiene la amortización constante dividiendo la deuda original entre el número de cuotas pactadas para su reembolso. La amortización constante origina en cada cuota un interés y cuotas decrecientes en progresión aritmética. Pr éstamos AmortizaciónCons tan te = NúmeroCuotas Intereses + Comisiones Cuota = Amortización + Intereses y Comisiones
INTERESES
AMORTIZACION
Las cuotas, interés, amortizaciones y saldos de la tabla referencial de reembolso pueden referirse al número de cuota a las que pertenecen o a sus fechas de vencimiento.
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2. AMORTIZACIONES CRECIENTES: METODO FRANCES (CUOTAS CONSTANTE VENCIDAS O CUOTAS FIJAS)
•
Mediante este sistema de varían tanto las amortizaciones como los intereses, siendo las amortizaciones crecientes y los intereses a su vez decrecientes, de tal forma que en cada período se paga una cuota adicional Como los pagos o armadas son constantes, forman lo que se llama una anualidad o renta.. En el sistema de repago por medio de cuotas constantes, conocido también como método francés, las cuotas son calculadas con el FRC. Conocida esta armada constante, que contiene los intereses, el saldo es la amortización del período quedando de este modo por diferencia construida la tabla de amortización. Esta forma de pago es más común en los créditos para vivienda, aunque su uso también se ha extendido a otros campos crediticios.
Cuota Corresponde a R de la anualidad vencida calcula sobre P con el FRC. Es igual al interés más la amortización.
•
Interés Denominado también cuota interés, es generado por el saldo insoluto del préstamo. En la fecha del desembolso el saldo insoluto corresponde a la deuda original y va disminuyendo en la medida en que el saldo que lo origina también disminuye. Este Interés sobre los saldos pendientes se conoce como interés al rebatir.
•
Amortización Denominada también cuota capital, es la diferencia entre el importe de la cuota y el interés generado por el saldo insoluto. La suma de las amortizaciones es conocida como deuda extinguida
•
Saldo Insoluto Denominado también deuda residual, después del desembolso inicial es la diferencia entre el saldo anterior y la amortización efectuada. En la fecha del desembolso, el saldo insoluto es el importe de este y representa el valor actual de todas las cuotas por vencer, el cual va extinguiéndose progresivamente hasta llegar a 0 en la fecha del vencimiento del plazo pactado, siempre y cuando se haya cumplido estrictamente el compromiso de pago.
INTERESES
AMORTIZACION
N 0 1 N
Cuo R 1 R 2 R n
Int I1 I2 In
Am
Sald
N Cuo
A1 A2 An
P S1 S2 Sn
0 1 2 N
R 1 R 2 R n
Interes I1 = S o i I2 = S1 i In = S n-1 i
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Amortización A1 = R 1 –I1 A2 = R 2- I2 An = S n-1 -Ii
Saldo So = P S1 = S o –A1 S2 = S1- A2 Sn = S n-1 An = 0
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2.1. CÁLCULO DE LA CUOTA CAPITAL EN CUALQUIER CUOTA CONSTANTE La amortización o cuota capital es la parte de la cuota constante que se aplica a disminuir el importe de la deuda contraída. La cuota capital puede ser calculada en función de: a. La cuota constante b. El préstamo c. El importe de la primera cuota.
2.1.1. CUOTA CAPITAL EN FUNCION DE LA CUOTA CONSTANTE En las siguientes ecuaciones K es siempre un entero positivo que hace referencia al período del que se está calculando la cuota interés, la cuota capital y la Deuda Residual.
2.1.2. CUOTA CAPITAL EN FUNCIÒN DEL PRÈSTAMO 2.1.3. CUOTA CAPITAL EN FUNCION DE LA PRIMERA CUOTA CAPITAL
2.2. CALCULO DE LA CUOTA INTERES EN CUALQUIER CONSTANTE La cuota de interés Ik de una cuota constante puede calcularse en función de: a. La Renta o cuota constante b. El importe del préstamo
2.2.1. CUOTA INTERES EN FUNCION DE LA CUOTA CONSTANTE 2.2.2. CUOTA INTERES EN FUNCION DEL PRESTAMO
METODO FRANCES CALCULO DE LA CUOTA CALCULO DE LA CUOTA CAPITAL EN CUALQUIER INTERES EN CUALQUIER CUOTA CONSTANTE CONSTANTE a. Cuota Capital en Función de a. Cuota de interés en función de la la Cuota Constante cuota constante K −1− n K 1 n AK = R (1 + i ) ] I K = R[1 − (1 + i ) − −
b. Cuota Capital en función del b. Cuota Interés en función del préstamo préstamo n K n i K 1 n AK = P.FRC i (1 + i ) 1 I K = P.FRC n [1 − (1 + i ) ] − −
AK
=
P
i (1 + i ) n
(1 + i )
n
−
(1 + i ) K
− −
I K
1 n
− −
1
c. Cuota Capital en función de la primera cuota
AK
=
A1 (1 + i )
k −1
247
=
P.
i (1 + i ) n
(1 + i )
n
−
1
[1 − (1 + i ) K
1 n
− −
]
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2.3. CÁLCULO DE LA DEUDA EXTINGUIDA EN CUALQUIER CUOTA La deuda extinguida Ek de una deuda que genera intereses y se reembolsa en cuotas uniformes corresponde a la sumatoria de las amortizaciones o cuotas capitales vencidas, independientemente que hayan sido canceladas o no. La deuda extinguida no pagada genera diariamente el interés compensatorio pactado más los intereses moratorios de ley. En cualquier momento, un préstamo que se reembolsa en cuotas es igual a la sumatoria de la deuda extinguida más la deuda residual o saldo insoluto:
Préstamo = Deuda Extinguida + Deuda Residual La deuda extinguida Ek en cualquier cuota, puede hallarse en función de: a. La primera cuota capital A1 b. La renta R c. El préstamo P
2.3.1. LA DEUDA EXTINGUIDA EN FUNCION DE A1 2.3.2. DEUDA EXTINGUIDA EN FUNCION DE R 2.3.3. DEUDA EXTINGUIDA EN FUNCION DE P 2.4. CÁLCULO DE LA DEUDA RESIDUAL EN CUALQUIER FECHA En cualquier fecha la deuda residual Dk o saldo insoluto de un préstamo que se rembolsa con cuotas constantes está constituida por la sumatoria de las cuotas capitales por devengar, excluyendo la que haya vencida en la fecha de la evaluación (este importe no es insoluto sino vencido). Por ejemplo, el saldo insoluto al vencimiento de la quinta cuota de un crédito contratado a ser rembolsado en 8 cuotas constantes, estará compuesto por las 3 cuotas pendientes de vencer descontadas 3 periodos con la tasa de interés del préstamo, lo que es equivalente a la sumatoria de las cuotas capitales por devengar.
2.4.1. DEUDA RESIDUAL EN FUNCIÓN DE R. La deuda residual Dk donde k representa los periodos de tiempos uniformes transcurridos hasta la fecha de evaluación de un préstamo que se amortiza en n cuotas constantes se calcula actualizando el importe de las cuotas por devengar.
2.4.2. DEUDA RESIDUAL EN FUNCION DE P
2.5. CALCULO PARA HALLAR n Cuando se dispone de una determinada renta y se conoce el importe del financiamiento requerido y su respectivo costo, puede calcularse el número de cuotas constantes necesarias para rembolsar completamente el crédito. Si al aplicar la fórmula se obtiene que n es un número entero, n indicará el número de cuotas uniformes para rembolsar un préstamo. En caso contrario, es decir cuando n no es entero, para la obtención del número de cuotas y el momento en el que se cancela la última cuota se utilizan diversas fórmulas matemáticas. La obtención de un n no entero implica los siguientes problemas: Conocer el importe de la última renta r correspondiente al momento n Si se decide cancelar el préstamo en el momento h o en el momento h-1, conocer el importe de la cuota en ese momento. En el primer caso la cuota será mayor a las anteriores y en segundo caso será menor a las anteriores. 248
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Amortizaciones
METODO FRANCES DEUDA EXTINGUIDA EN CUALQUIER CUOTA a. Deuda extinguida en función de A 1
=
E K E K
=
i
A1 FCS K
A1
DK
(1 + i ) K − 1
D K
i
b. Deuda Extinguida en función de R E K
=
i R.[ FSAni FCS K ]
1 (1 + i) K − 1 E K = R n i + ( 1 ) i c. Deuda Extinguida en función de P E K
2.6.
=
P
DEUDA RESIDUAL EN CUALQUIER FECHA a. Deuda Residual en función de R = =
i
R.FAS n
R
(1 + i ) n
−
K
i (1 + i ) n
−
−
−
K
1
K
b. Deuda Residual en función de P i i DK = P.[ FRC n FAS n − K ] DK
=
P
i (1 + i )
(1 + i ) n
n
−
(1 + i ) n
−
K
1 i (1 + i ) n
−
−
1
K
CALCULO PARA HALLAR n Pi ) Log (1 − R n=− Log (1 + i )
(1 + i ) K − 1 (1 + i ) n − 1
IMPORTE DE LA ÚLTIMA RENTA CUANDO n ES NO ENTERO El valor obtenido con la fórmula, puede resultar un número no entero como en el ejemplo anterior, donde n = 8.31038633, ello indica que el plazo del préstamo es de 8.31 trimestres equivalente aproximadamente a dos años con 28 días. En forma general, el diagrama de flujo de caja de una anualidad con h-1 rentas uniformes iguales a R y una renta de menor importe r, a partir en el momento n, es el siguiente: R 0
R
1
R
r
h-1
n
h
Donde: H -1 < n < h n = número no entero de períodos de renta calculado con la fórmula h = mínimo entero mayor que n h-1 = Máximo entero menor que n r = renta que se debería pagar en el momento n r
P = R. FAS i; h-1 + r (1+i)-n -n r(1+i) = P - R FAS r = (1+i)n [ P – R FAS i; h-1 ] 249
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Amortizaciones
i n
i h −1
r = FSC [ P − R.FAS
(1 + i ) h −1 − 1 ) r = (1 + i ) P − R ( h −1 ( 1 ) + i i
]
n
b.- Importe de la última renta r’ en el momento h Si se desea cancelar el préstamo en el momento h,(con un número entero de rentas redondeando n por exceso al entero superior), debemos llevar r del momento n hacia el momento h.
0
R
R
r
1
h-1
h
r'=r(1+i)
h-n
h
n es número no entero Denotando r’ a la renta en el momento h, tenemos: r’ = r(1+i) h-n Pero r = (1+i) n [ P – R FAS i; h-1 ] entonces: r’ = (1+i)n [ P – RFAS i ; h-1 ] r’ = r(1+i) h r’ = (1+i) [ P – RFAS i ; h-1 ]
h −1 + − 1 ( 1 ) i h r ' = (1 + i ) P − R ( h −1 i 1+ i
r ' = FSC h [ P − R.FAS h −1 ] i
h-n
i
c.- Importe de la última renta R’ en el momento h-1 Si se desea cancelar el préstamo en el momento h-1, con un número entero de rentas redondeando n por efecto al enteror inferior, debemos traer r del momento n hacia el momento h-1 y sumarle el pago R.
R’ =
r + R n-(h-1) (1+i) R’ = (1+i)h-1-n) + R
Pero r = (1+i) n [P- R.FAS i; h-1 ] entonces: R’ = (1+i) n [P- R.FASi; h-1 ] (1+i)h-1-n + R h-1 R’ = (1+i) [P- R.FASi; h-1 ] + R
R’ = R + FSCi; h-1 [ P- R.FASi; h-1 ]
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AMORTIZACIONES
EJEMPLOS AUTOR: AVALOS SEPTIEN, Mauricio .Matemáticas Financieras 1.
Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar una deuda de $ 4 051.56 contratada al 42% anual capitalizable bimestralmente, si la deuda ha de quedar saldada después de un año. Haciendo los pagos al final de cada bimestre (Resp. R= $ 850 000)
2.
Una deuda de $ 500 000 se debe amortizar en 5 años con pagos iguales y vencidos a una tasa de interés anual de 8% sobre saldos insolutos. Encontrar el valor de cada pago y elaborar una tabla de amortización (Resp. R = $ 125 228.23)
3.
Para ir de vacaciones, el señor Martínez consigue un crédito de $ 10 090.48 a pagar en 4 mensualidades vencidas. Calcule el valor de cada pago si el cobran un interés de 24% capitalizable mensualmente y elabore la tabla de amortización (Resp. R = $ 2 650)
4.
Una deuda de $ 100 000 se debe amortizar en 2.5 años, con 4 abonos semestrales de $ 25 000 por semestre vencido y un abono al final del quinto semestre que le salde. Si el interés es de 5% semestral, elabore una tabla de amortización para determinar el valor del quinto pago (Resp.R = $ 14 487.38)
5.
En el mes de setiembre un almacén ofrece en venta un refrigerador en $ 12 000 a pagar en 4 abonos mensuales vencidos e iguales con interés de 30% capitalizable mensualmente. El primer pago deberá realizarse el 31 de enero del año siguiente. Si una persona adquiere el refrigerador el 31 de octubre a. ¿Cuál es el importe de cada uno de los pagos? (Resp.R = $ 3 351.30) b. Elabore la tabla de amortización que muestre el comportamiento de la operación
6.
Una deuda de $ 8 000 se debe amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos. Los dos primeros por $ 1 5000 y el tercero y cuarto por $ 2 000. Calcule el importe del quinto pago para saldar la deuda, si la operación se pactó a un interés de 2.33% mensual (Resp. Cuota = $ 1 583.50)
7.
Elabore una tabla de amortización para un crédito que se contrata el 3 de junio por $ 40 000, que habrá de pagarse mediante 4 pagos bimestrales. En los dos primeros pagos se aplica una tasa de 6% bimestral y en los últimos dos de 5% bimestral y además se debe amortizar una cuarta parte de la deuda por cada pago (Rep. Cuota = $ 12 400, $ 11 800, $ 11 000, $ 10 500)
8.
Una deuda de $ 18 000 debe amortizarse mediante 4 pagos vencidos, bimestrales e iguales. Si la tasa de interés es de 2% mensual sobre saldos insolutos a. Calcule el importe de cada uno de los pagos (Resp. TEB= 4.04%; R = $ 4 963.50) b. Elabore la tabla de amortización
9.
Elaborar una tabla de amortización para una deuda de $ 20 000 que se pagará en 3 meses mediante abonos vencidos y que devengará un interés del 15% capitalizable semestralmente, amortizando 50%, 30% y 20% de la deuda en el primero, segundo y tercer pagos, respectivamente (Rep. TEM=1.2126%; Cuota = 20 412.28)
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Amortizaciones
10. Una deuda de $ 8 500 debe saldarse en un año mediante pagos trimestrales iguales y anticipados. Si el interés pactado para la operación es de 22% capitalizable trimestralmente : a. Encontrar el importe del pago (Resp.R =$ 2 298.58) b. Elaborar la tabla de amortización 11. Una deuda de $ 95 000 contratada a una tasa de interés de 9% semestral, que se va a liquidar mediante 6 pagos semestrales de $ 21 177.38, calcular el 5to pago. (Resp.D = $ 19 428.78) Nota: Formula: i i Saldo Deudor = RFDFAn − ( P.FSCn − P)
Saldo Acreedor
= P.FSCni − R.FDFAni
12. La señora López compra un departamento condominal en $ 850 000. Se financia con un préstamo bancario a 15 años, con interés de 12% capitalizable mensualmente y acuerda liquidarlo haciendo pagos mensuales vencidos a. Encontrar el importe mensual de cada pago (Resp. R = 10 201.43) b. ¿Cuáles son los derechos adquiridos por la señora López al haber efectuado el pago 100? (Resp. D = $ 559 937.86) 13. Un matrimonio compra un departamento en $ 400 000, pagando $ 80 000 de enganche y por el resto contraen una hipoteca a 20 años con intereses 1.2% mensual, comprometiéndose a pagarla mediante abonos mensuales vencidos a. Determine el importe del pago mensual (Resp. R = $ 4 072 57 ) b. ¿Cuánto deberá el matrimonio inmediatamente después de efectuar el pago 82? (Resp. = $ 157 612.45) c. Al efectuar el pago 135, cuáles son los derechos adquiridos por el matrimonio (Resp. = $ 157 612.45) 14. La señora González compra un departamento en condominio valuado en $ 500 000 pagando un enganche de $ 200 000. El resto se financia con un préstamo bancario a 15 años con intereses de 15% capitalizable mensualmente y se líquida con pagos mensuales. La señora González comienza a saldar el préstamo al mes que se lo dan a. Determine el importe del pago mensual (Resp. = $ 4 198.76) b. Encuentre el saldo insoluto al final del doceavo año (Resp. = $ 121 123.33) 15. Carlos compra un automóvil a crédito que le cuesta $ 182 000. Si da un enganche de $ 100 000 y conviene en pagar la diferencia con 18 pagos mensuales vencidos de $ 5 469.57 cada uno y la tasa de interés pactada fue de 2% mensual, ¿qué proporción del saldo habrá amortizado al pagar la doceava mensualidad? (Resp. Saldo Deudor = $ 51 362.54) 16. El doctor Martínez tiene una deuda de $ 70 000, con intereses al 21.96% capitalizable mensualmente, que convino en pagar en 18 pagos mensuales vencidos e iguales, ¿Cuántos abonos ha realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda pro $ 45 000 (Resp. n= 12.2229) 17. Una persona adquiere una deuda por $ 16 000, que conviene en saldar con pagos bimestrales vencidos e iguales en un año. Si la tasa de interés es de 18% capitalizable bimestralmente, ¿Cuántos pagos le faltan por realizar si el saldo de su deuda es de $ 8 354.57? (Resp. n= 3.2651605)
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AMORTIZACIONES
EJEMPLOS AUTOR : .Díaz
R
=
Mata Alfredo/Aguilera Gómez Víctor. Matemáticas Financieras i
S .FDFAn
SaldoPr estamo =P(1 + i )
D k P
n
−R
n (1 + i) − 1
i
= R.FAS in − k
= R.FAS ni
1.
Sergio Campos contrae hoy una deuda de $ 95 000 a 18% convertible semestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales, R, el primero de los cuales vence dentro de 6 meses, ¿Cuál es el valor de R? y elabore un cuadro de amortizaciones e intereses. (Resp. R = $ 21 177.38)
2.
Una empresa obtiene un préstamo por $ 700 000 que debe liquidar al cabo de 6 años. El Consejo de administración decide que se hagan reservas anuales iguales con el objeto de pagar la deuda en el momento de su vencimiento. Si el dinero del fondo se puede invertir de manera que produzca 16% de interés, ¿Cuánto se deberá depositar en el fondo para acumular $ 700 000 al cabo de 6 años? (Resp. R = $ 77 972.91)
3.
Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar un adeudo de $ 4 000 000 con un interés de 36% convertible bimestralmente, si la deuda debe ser saldada al cabo de un año, haciendo pagos bimestrales que comienzan dentro de 2 meses. (Resp. R = $ 813 450.51)
4.
Una deuda de $ 1 000 000 se debe amortizar en 12 meses mediante tres pagos de $ 30 000 al final de otros tantos períodos de 3 meses y un pago que salde la deuda al cabo de 12 meses. Si el tipo de interés es de 28% capitalizable trimestralmente, elabore una tabla de amortización de la deuda. (Resp. Amortización =$ 26 057.30; Cuota =$ 27 881.31)
Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor 5.
En el ejemplo 1 se tenía una deuda de $ 95 000 contratada a 18% convertible semestralmente que se iba a liquidar con 6 pagos semestrales de $ 21 177.36. Sin necesidad de elaborar la tabla de amortizaciones calcular estas cantidades.
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Amortizaciones
6.
La señora Guajardo compra un departamento en condominio valuado en $ 2 800 000, por el cual paga un enganche de $ 800 000. El resto se financia con un préstamo bancario a 15 años, con interés a 36% convertible mensualmente. Hallar: a.- El valor de los pagos mensuales (Resp.R =$ 60 294.84) b.- El saldo insoluto al final del décimo año (Resp. SaldoPréstamo=$ 1 668 688.42)
7.
Una persona adquiere un automóvil a crédito. El vehículo cuesta $ 187 500. Si da un enganche de $ 75 000 y comienza a pagar mensualidades vencidas de $ 4 484.89, ¿Qué proporción del saldo habrá amortizado exactamente al pagar la duodécima mensualidad si se pactó un interés de 25.2% convertible mensualmente? (Resp. i = 41.90%)
8.
¿Cuántos pagos mensuales de $ 15 000 son necesarios para saldar una deuda de $ 180 000 contratada hoy a 18% convertible mensualmente? a.- Hacer 12 pagos de $ 15 000 y un pago final mayor o (Resp. = $ 19 887.00) b.- Hacer 13 pagos de $ 15 000 y un pago final menor, a saber (Resp. = $ 4 960.30)
9.
Una persona recibe una herencia de $ 2 500 000 y decide depositarla en una cuenta que paga 0.06% convertible mensualmente con la intención de hacer retiros mensuales de $ 20 000, ¿Cuántos retiros completos de esa cantidad podrá hacer antes de que se agote su herencia? (Resp. n = 196.66)
10. Una máquina de coser cuesta $ 820 al contado. El plan a crédito es de $ 270 de enganche y 10 pagos quincenales de $ 58, ¿Cuál es la tasa de interés que se cobra en operación? (Resp. i = 0.977%; 23.45%) 11. Si Cristina contrae una deuda de $ 6 000 y conviene en liquidarla con 5 pagos bimestrales de $ 1 380, el primero pagadero dentro de dos meses, ¿Cuál es la tasa nominal, capitalización bimestralmente, que se le carga? (Resp. i = 4.847%; 29.08%)
Otros casos de amortización 12. Se difiere (pospone) el inicio de los pagos. En setiembre, un almacén ofrece en venta un aparato de televisión en $ 14 990 a pagar en 6 abonos mensuales iguales con 36% de interés convertible mensualmente. El primer pago se debe realizar el 31 de enero del año siguiente. Si una persona adquiere uno de estos aparatos el 31 de octubre. a.- ¿Cuál es el valor de cada uno de los pagos? (Resp. R = $ 2 935.63) b.- Construya una tabla de amortización que muestre el comportamiento de la operación 13. Pagos desiguales. Una deuda de $ 8 000 se debe amortizar mediante 5 pagos mensuales vencidos; los dos primeros por $ 1500 y el tercero y cuarto por $ 2 000. Calcule el importe del quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operación se pactó con un interés de 28% anual convertible mensualmente (Resp. Amort = $ 1 548.26; Cuota = $ 1 584.38) 14. Cambios en la tasa de interés, Amortización constante. Es necesario elaborar una tabla de amortización para un crédito que se contrata el 3 de junio por $ 20 000 que debe pagarse mediante cuatro pagos bimestrales, si en los dos primeros meses se aplica una tasa de 24% anual y en los últimos dos meses de 20%, ambas con capitalización bimestral, y sí, además, se debe amortizar una cuarta parte de la deu da por cada pago (Resp. Cuota= $ 5 800; $ 5 600; $ 5 333.33; $ 5 166.67) 254
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Amortizaciones
15. Amortización variable. Es necesario elaborar una tabla de amortización de una deuda de $ 10 000 a pagar en 3 meses mediante abonos vencidos, con 15% semestral con capitalización mensual, amortizando 50, 30 y 20% de la deuda en el primero, segundo y tercer pagos, respectivamente. (Resp. Amortiz= $ 5 000; $ 3 000; $ 2 000 Cuota= $ 5 250; $ 3 125; $ 2 050 )
Depósitos a un Fondo de Amortización 16. Una empresa debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $ 4 000 000. Para asegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondo mediante depósitos mensuales a una cuenta que paga 9% convertible mensualmente a.- ¿Dé cuánto deben ser los depósitos? (Resp. R = $ 65 427.56) b.- Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo 17. Si se depositan $ 1 000 mensuales en un fondo de inversión que rinde 0.8% mensual efectivo, ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al cabo de 7 años? (Resp. = $ 119 115.14)
18. Con los datos del ejemplo anterior, a.- ¿En cuánto se incrementa el fondo del mes 83 al 84 por concepto de intereses? (Resp. S = $ 1 937.42) b.- Verificar los intereses del mes 83 y 84 (Resp. I = $ 937.42) 19. Una persona adquiere a crédito un departamento en condominio por el que, aparte de un enganche y abonos mensuales, debe pagar, al final de cada uno de los 3 primeros años, una anualidad de $ 165 000. Para prevenir el pago de estas anualidades decide acumular un fondo mediante depósitos quincenales en una cuenta que paga 12% convertible mensualmente, ¿Cuánto debe depositar cada quincena para acumular lo que necesita para amortizar su deuda cada fin de año? (Resp. R = $ 6 488.84) 20. Obsérvese la tabla de fondo de amortización que se elaboró para el ejemplo Nº 16. En ella se puede ver el total acumulado en el fondo al final de cada uno de los 6 meses que se contemplan. Sin construir la tabla del fondo de amortización, determinar: a.- Saldo al final del cuarto mes (Resp. = $ 264 669.23) b.- Saldo Insoluto al final del 2do. Mes (Resp. = $ 131 345.84) c.- Plantear en forma de ecuación de valores equivalentes (Línea gráfica)
21. ¿Cuántos depósitos mensuales sería necesario realizar en un fondo de amortización que se invierte en un instrumento que paga 9% anual convertible mensualmente si se quiere liquidar una deuda que vale $ 4 800 a su vencimiento y si se realizan depósitos de $ 850? (Resp. n = 5.55; 5 depósitos de $850 más un sexto depósito de $ 453.41) 22. Una persona debe pagar $ 7 500 el 2 de junio y decide formar un fondo de amortización depositando $ 1 216.06 mensuales en una inversión que rinde 14.03% efectivo anual, ¿El día 2 de qué mes debe hacer el primer depósito para acumular con el del 2 de junio la cantidad que adeuda? (Resp. n = 6; primer depósito debe realizarse el 2 de enero) 23. Una deuda que vencía el 25 de setiembre, por un monto de $ 250 000, se liquidó con un fondo acumulado mediante 8 depósitos mensuales vencidos por $ 30 942.386, ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que rendía el fondo? (Resp. i = 0.70% mensual) 255
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Amortizaciones
24. Una deuda de $ 10 000 con vencimiento el 12 de octubre se amortizó mediante un fondo que se constituyó a través de 5 depósitos de $ 1 966.29 realizados los días 12 de los meses de junio a octubre, ¿Cuál fue la tasa efectiva anual que pago el fondo? (Resp. i =0.85%; TEA=10.69%)
Comparación entre amortización y fondo de amortización 25. Si la tasa vigente en el mercado para cierto tipo de inversiones es de 18% anual, convertible mensualmente, determinar la forma en que se podría saldar una deuda de: a.- $ 1 000, contraída el día de hoy y que se debe amortizar mediante 4 pagos mensuales iguales (Resp. R =$ 259.44) b.- Una deuda de $ 1 061.36 que debe pagarse exactamente dentro de 4 meses, con un fondo de amortización constituido mediante 4 depósitos mensuales iguales, el primero de los cuales debe hacerse dentro de un mes (Resp. R =$ 259.44) c.- Hacer una tabla para comparar el comportamiento de las operaciones planteadas en a y b
26. Una persona obtiene un préstamo de $ 100 000 que debe pagar en 6 meses, mediante abonos mensuales iguales y con intereses de 6% anual convertible mensualmente. Si esta persona deposita los $ 100 000 en un fondo de inversión que rinde 1.0% mensual y de allí paga su deuda, ¿Cuánto saldrá ganando al final de los 6 meses? (Resp. R =$ 16 959.55; Utilidad=$ 1 816.65) 27. Salvador Díaz adquiere condominio de interés social (en condiciones especiales), que tiene un valor de $ 300 000. Si paga 20% de enganche y el saldo es a 15 años con abonos mensuales de $ 2 349.33, ¿Qué tasa de interés anual nominal, convertible mensualmente, está pagando? (Resp. i = 0.70%; TNA= 8.40%) 28. Un automóvil que cuesta $ 138 500 se vende con 30% de enganche y el saldo a pagar en 18 mensualidades con 2% de interés ”global mensual”, Calcular: a.- El valor de los 18 pagos mensuales (Resp. R = $ 7 325.11) b.- La tasa efectiva anual que se está cargando (Resp. TEA = 3.4584%) 29. Sandra compra una estufa que cuesta $ 2 000 al contado, paga $ 800 de enganche y conviene en amortizar el resto mediante 6 pagos bimestrales iguales con un interés a razón de 30% convertible bimestralmente. a.- Encontrar el valor de los pagos (Resp. R = $ 236.42) b.- Construir una tabla que muestre la forma en que se va amortizando la deuda c.- Determine el valor de los derechos que el comprador ha adquirido sobre la estufa: Interés causados en 4 meses por la posición de la estufa (Resp = $ 258.61) Valor de los 3 primeros pagos en el momento de realizar el tercero (Resp. = $ 745.31) Valor de los derechos adquiridos por el comprador antes de realizar el cuarto pago el cuarto pago. (Resp. = $ 523.97) • • •
256
AMORTIZACIONES
EJEMPLOS AUTOR : .LINCOYAN PORTUS, Govinden. Matemática Financiera 1.
La desvalorización para el año es del 22% efectivo anual. Elaborar un cuadro con el factor de corrección diaria. (Resp. = 1.000545)
2.
La desvalorización para el año es del 22% efectiva y la tasa de interés efectiva anual es del 8%. a. Un comerciante considera el Interés del 8% como una tasa adicional y la suma a la corrección aplicando a sus ventas a plazo el 30% efectivo anual. Hallar el valor que recibe por una venta de S/. 10 000 a un mes de plazo. (Resp = 1.022104, S/. 10 221.40) b. Otro comerciante para la misma venta de $ 10 000 a un mes, cobra el 22% efectivo anual sobre la deuda corregida (Resp. = 1.016709; $ 10 167.09) c. Sobre esta deuda con corrección ( b ) se aplica el interés del 8% efectivo (Resp. =1.0066434, S/. 10 232.51)
3.
Una deuda de S/. 500 000 se debe amortizar en 5 años con pagos anuales iguales al 8% efectivo sobre saldos insolutos. Hallar el valor de cada cuota y elaborar un cuadro de amortización de la deuda. (Resp. S/. 125 228. 23)
4.
Una deuda de S/. 100 000 debe amortizarse en 8 años, por medio de pagos semestrales a una tasa del 10% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al final del quinto año. (Resp. = S/. 46 833.36)
5.
Una deuda de S/. 100 000 a 5 años de plazo debe pagarse con el siguiente plan de amortización: Cuotas semestrales iguales a la tasa del 10% nominal convertible semestralmente; durante el primer año y medio se pagarán sólo los intereses y, a partir del cuarto semestre, se cancelaran cuotas hasta extinguir la deuda al final de su plazo (Resp. = S/. 17 281.98)
6.
Con el objeto de desarrollar un área industrial se conceden prestamos de fomento con el siguiente plan de amortización: plazo a 5 años; cuotas semestrales a la tasa del 4% efectivo semestral; en los dos primeros años se amortiza el 20% de la deuda y en los tres últimos años, el 80% restante. Aplicar el modelo a un préstamo de $ 500 000 (Resp.=$ 27 549, $ 76 304.76)
7.
Una deuda de S/. 100 000 debe cancelarse con 4 pagos trimestrales vencidos iguales, más intereses del 8% nominal convertible trimestralmente (amortización constante y cuota variable decreciente). (Resp. S/. 25 000)
8.
Desarrollar el problema anterior, si se exige el pago de interés por trimestre anticipado, e indicar la tasa real cobrada.
9.
Una deuda de $. 100 000 debe amortizarse en 2 1/2 años, con 4 abonos semestrales de $. 25 000 por período vencido y un abono al final del quinto semestre que extinga totalmente la deuda. Elaborar un cuadro de amortización de la deuda, a la tasa del 10% capitalizable semestralmente sobre saldos insolutos. Si se espera una tasa de devaluación del 2% anual, Hallar la tasa real de interés (Resp.= $ 14 487.38; 7.84% )
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Amortizaciones
10. Una máquina de tejer se vende en S/. 420 000. Si la venta es al contado, se descuenta el 18% a plazos, se puede comprar con una cuota inicial de S/. 120000 y el saldo en 12 pagos mensuales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de Interés anual cargado. (Resp. = S/. 25 000; 4.7766%) 11. Una aspiradora se vende de contado en S/. 250 000; a plazos se recarga el valor del 10% y se ofrece con el siguiente plan: S/. 50 000 de cuota inicial y el saldo en 8 pagos mensuales iguales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa de Interés nominal cargada (Resp. TEA= 37.58%) 12. Un inversionista presta $ 1 000 000 que deben cancelarse con cuatro pagos semestrales vencidos, iguales, más intereses. Puesto que el momento se presenta un ambiente de devaluación, se pacta un interés del 30% para proteger la inversión. a.- Preparar el cuadro de amortización (Resp. =S/. 25 000, 14.018% semestral) b.- Si la devaluación es ese momento es del 22%, hallar la tasa de interés real que espera recibir el inversionista (Resp. = 6.56%) c.- Si la devaluación al iniciar el tercer semestre es del 25%, hallar la tasa de interés real que recibe el inversionista sobre el saldo de su inversión. (Resp. =(4.00%) 13. Una deuda de S/. 200 000, a la tasa del 24% nominal, se debe amortizar en 3 años mediante el pago de cuotas semestrales iguales. a. Hallar el valor de las cuota (Resp. = S/. 48 645.14) b. Al efectuar el segundo pago, el deudor hace un abono extraordinario de S/. 60 000. Hallar el nuevo valor de las cuotas para cancelar en el plazo previsto el saldo insoluto (Resp. = S/. 28 891.07) c. Preparar el cuadro de amortización de la deuda. 14. Una deuda de S/. 500 000, a la tasa del 18% efectivo, se debe amortizar en 4 años con el siguiente plan: cuotas semestrales iguales más extraordinarias de S/. 50 000 cada final de año. Hallar el valor de los pagos y elaborar el cuadro de amortización. (Resp. = S/. 65 125.22) 15. Una propiedad se vende en S/. 6 000 000; el comprador paga S/. 2 000 000 de contado y se compromete a cancelar el saldo en 8 años, con cuotas anuales al 6% de interés efectivo sobre el saldo. Hallar: a.- El valor de las cuotas (Resp. = S/. 644 143.77) b.- Los derechos del vendedor y del comprador, al pagar la quinta cuota (Resp. = S/. 1721 803.99; S/. 4 278 196.01) 16. Una nevera se vende al contado en S/. 640 000. A plazos se ofrece con el siguiente plan: S/. 160 000 de cuota inicial y el saldo incrementado en el 10% se paga en 12 cuotas mensuales iguales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de recargo. (Resp. =S/. 44 000; 19.529%)
17. Un industrial es deudor de un préstamo de fomento a la tasa efectiva anual del 8%, que paga con 20 cuotas de S/. 608 188 por trimestre vencido. Suspende el pago de las cuotas 7 y 8 y al vencer la número 9, acuerdo con el banco refinanciar su deuda a un nuevo plazo de cinco años con cuotas por trimestre vencido; además se compromete a cancelar de inmediato el 1.5 mensual por concepto de interés de mora y el 2% sobre el monto vencido por concepto de comisiones y gastos bancarios. Hallar el valor de las nuevas cuotas y el monto que debe cancelar de inmediato. (Resp. =
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Amortizaciones
18. Calcular la reserva necesaria para pagar, durante 4 años, una anualidad vencida cuyo valor inicial se pacta en S/. 10 000 y crece a la tasa del 25%, si las reservas se invierten a un interés del 30%. (Resp. = 19. Mediante el sistema de cuotas crecientes con incremento uniforme, hallar el valor de las cuotas mensuales para amortizar un préstamo de S/. 500 000 a 10 años plazo, al 28%. Dibuje el flujo de caja. 20. Un préstamo de S/. 500 000 a 10 años de plazo con la tasa efectiva del 21% anual, se pacta bajo las siguientes condiciones: cuotas mensuales incrementadas cada año en el 18% sobre el valor del año anterior. 21. Un préstamo de S/. 900 000 a 2 años de plazo, el 8% de interés efectivo anual, se cancela mediante cuotas iguales con intereses sobre saldos. Si el inversionista ofrece disminuir las cuotas del primer año en S/. 5 000 mensuales y aumentar las del segundo año en S/. 5000, ¿Cuánto se tiene? 22. Una corporación presta S/. 3 000 000 para compra de vivienda con un plazo de 10 años amortizable en cuotas mensuales, y sea la cotización de la UMVC (unidad monetaria de valor constante) S/. 5 340. 23. Se otorga un préstamo de S/. 4 000 000 a 10 años de plazo a la tasa efectiva del 6% de interés anuales. Si la tasa de devaluación anual se estima en el 14% y el préstamo se pacta para amortizarse con cuotas mensuales iguales, reajustables cada año mediante la tasa de corrección monetaria, hallar el valor de la primera cuota de abono a capital e intereses.
24. Un préstamo de S/. 100 000 a 3 años plazo debe cancelarse mediante cuotas trimestrales vencidas, con interés del 8% nominal anual y corrección monetaria del 20% anual. Se pacta bajo la condición de que las cuotas se incrementarán cada año el 18% y las cuotas de cada interperiodo permanecerán constantes (este sistema se denomina de escalera). Tabular la amortización. 25. Un deudor después de cancelar la cuota K, decide pagar de inmediato el saldo de su deuda. Organizar el cálculo y aplicarlo a los valores del problema anterior para la quinta cuota.
259
AMORTIZACIONES
FORMULAS DEL CALENDARIO SERVICIO DE UNA DEUDA
CALCULO
FORMULAS
= R(1 + i ) k −1− n
Ak
CUOTA CAPITAL EN CUALQUIER CUOTA CONSTANTE
Ak
=
Ak
I k
I k
P.FRC ni (1 + i ) k
Cuota capital en función de la cuota constantes
1 n
Cuota capital en función del préstamo
− −
= A1 (1 + i ) k −1
= R[1 − (1 + i ) k −1−n ]
CUOTA INTERÉS EN CUALQUIER CUOTA CONSTANTES I k
DEFINICION
=
i
P.FRC n [1 − (1 + i)
k −1− n
]
i(1 + i) n 1 = P − 1 n n +1− k (1 + i) −1 (1 + i)
Econ. Máximo Calero Briones
260
Cuota capital en función de la primera cuota capital
Cuota interés en función de la cuota constante
Cuota interés en función del préstamo
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Amortizaciones
CALCULO
FORMULAS
DEFINICION Deuda extinguida función de A1
E k
DEUDA EXTINGUIDA EN CUALQUIER CUOTA
E k
E k
=
A1
en
(1 + i ) k − 1 i
= R[ FSAni FCS k i ]
Deuda extinguida en función de R
(1 + i ) k − 1 1 = R n i (1 + i ) Deuda extinguida en función P
Deuda residual en función de R
DEUDA EXTINGUIDA EN CUALQUIER CUOTA
D k Dk
=
i n
n − k i
P[ FRC FAS
]
i(1 + i) n (1 + i) n− k − 1 = P n n − k (1 + i) − 1 i(1 + i) Cuando se dispone de una determinada renta y e conoce el importe del financiamiento requerido
HALLAR n
r
RENTA r EN EL MOMENTO n
Deuda residual en función de P
=
i
FSC n P
− R.FAS hi −1
h −1 (1 + i) − 1 r = (1 + i ) P − R h −1 i (1 i ) + n
Econ. Máximo Calero Briones
261
Importe de la última renta en el momento n
AMORTIZACIONES
EJEMPLOS Autor: ALIAGA VALDEZ, Carlos. Matemáticas Financieras.01 Con los datos del calendario del servicio de la deuda, compare los resultados del ejemplo 1 al 13:
R
0 1 2 3 4 5 6 7 8
10000.00 8989.64 7918.66 6783.42 5580.06 4304.51 2952.42 1519.20 0.0
1010.36 1070.98 1135.24 1203.35 1275.56 1352.09 1433.21 1519.21 10000.0
= P.FRC ni
600.00 539.38 475.12 407.01 334.80 258.27 177.15 91.15 2883
R
=
P
1610.36 1610.36 1610.36 1610.36 1610.36 1610.36 1610.36 1610.36 12883
i (1 + i )
n
(1 + i ) n − 1
1010.36 2081.34 3216.58 4419.94 5695.49 7047.58 8480.80 10000.0
Cuota Capital en función de la cuota constante 1. Calcule la quinta cuota capital(Amortización) de un préstamo que se reembolsa con 8 cuotas constantes de S/. 1 610.36 cada fin de mes. La TEM es del 6% 2. Calcule la sexta cuota capital(Amortización) de un préstamo que se reembolsará con ocho cuotas constantes mensuales vencidas de $ 1 610.36 y a una TEM del 6% 3. Calcule la cuota constante(Renta) de un préstamo que se reembolsará con ocho cuotas al final de cada mes con una TEM del 6%, cuya sexta cuota capital es de S/. 1 352.09 4. Calcule la quinta cuota capital de un préstamo de S/. 10 000 contratado a una TEM del 6% amortizable en 8 cuotas mensuales constantes vencidas 5. La primera cuota capital de un préstamo a ser reembolsado en 8 cuotas constantes uniformes mensuales vencidas una TEM del 6% es de S/. 1 010.36. Calcule la cuota capital de la séptima cuota 6. Calcule el importe de la cuota interés de la séptima cuota de un préstamo reembolsable en ocho cuotas constante mensuales vencidas de S/. 1610.36 a una TEM del 6%
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Amortizaciones
7. Calcule la cuota interés de la quinta cuota de un préstamo de S/. 10 000 contratado a una TEM del 6% amortizable con 8 cuotas mensuales constantes vencidas 8. Calcule la deuda extinguida al final de la tercera cuota en un préstamo contratado a una TEM del 6% amortizable en 8 cuotas mensuales constantes vencidas, cuyo primera cuota capital fue de S/. 1 010.36 9. Calcule la deuda original al vencimiento de la tercera cuota, de un préstamo de S/. 10 000 amortizable en 8 cuotas constante mensuales vencidas de S/.1 610.36 con una TEM del 6% 10. Calcule la deuda extinguida al final de la tercera cuota en un préstamo de S/. 10 000 contratado a una TEM del 6% amortizable en 8 cuotas trimestrales uniformes vencidas 11. Calcule la deuda original (Préstamo) al vencimiento de la tercera cuota, de un préstamo de S/. 10 000 amortizable en 8 cuotas constante mensuales vencidas de S/. 1 610.36 con una TEM del 6% 12. Calcule el importe a cancelar por una empresa que ha sido autorizada para liquidar un préstamo de S/. 10 000 faltando cinco cuotas para su vencimiento. La deuda fue contraída para ser amortizada en 8 cuotas uniformes mensuales a una TEM del 6% 13. Una empresa requiere un capital de $ 10 000 para ampliar su planta de procesos químicos. El estudio de factibilidad indica que el proyecto puede generar excedentes mensuales de $ 1 610.36 aplicables a reembolsar el préstamo. Si el financiamiento tiene un costo efectivo mensual del 6%, ¿En cuánto tiempo podrá amortizarse?
Importe de la última renta cuando n es no entero 14. Una empresa requiere un capital de $ 10 000 para ampliar su planta de procesos químicos. El estudio de factibilidad indica que el proyecto puede generar excedentes trimestrales de $ 1 500 aplicables a reembolsar el préstamo. Si el financiamiento tiene un costo efectivo mensual del 5%, ¿En cuánto tiempo podrá amortizarse? (Resp. n = 8.311038622) 15. En el ejemplo 14 el capital de $ 10 000 puede financiarse con 8.3104 cuotas constantes mensuales de $ 1 500 c/u a una TET del 5%, ¿Cuál será el importe del noveno pago con vencimiento en el 8.31 Trimestral (Resp. r = S/. 457.77)
263
AMORTIZACIONES
EJERCICIOS Autor: LINCOYAN PORTUS, Govinden. Matemática Financiera 1.
Una deuda de S/. 20 000 con intereses del 8% capitalizable trimestralmente, debe amortizarse con cuotas de S/. 5 000 por trimestre vencido. Elaborar el cuadro de amortizaciones (Resp. = S/. 1 061.41)
2.
Una deuda de S/. 50 000 debe amortizarse con pagos semestrales en 2 ½ años a la tasa del 8%, capitalizable semestralmente. Hallar el pago semestral y elaborar el cuadro de amortizaciones (Resp. = S/. 11231.36)
3.
Una propiedad cuyo valor es S/. 500 000 se vende con una cuota inicial de S/. 150 000 y el saldo en pagos mensuales a 15 años de plazo, a un Interés del 6% capitalizable mensualmente. Hallar: a.- El valor de las cuotas mensuales (Resp. = S/. 2 953.50) b.- El saldo insoluto al finalizar el cuarto año. (Resp. = S/.284 893.42)
4.
Una deuda de S/. 100 000 con intereses del 8% se debe amortizar con pagos anuales de S/. 20 000. Elaborar un cuadro de amortización, hasta la extinción de la deuda (Resp.= S/. 12 936.36)
5.
Una deuda de S/. 10 000 con interés del 6% capitalizable trimestralmente, debe amortizarse con 4 pagos trimestrales iguales consecutivos, debiendo efectuarse el primer pago dentro de 2 años. Hallar el valor de los pagos. (Resp. = S/. 2 712.96)
6.
Una deuda de S/. 20 000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos. Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8% y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros meses. (Resp. = S/. 1 7317.19)
7.
Un préstamo de S/. 45 000 se amortiza en 2 ½ años, con pagos semestrales vencidos de S/. 9 650. Hallar la tasa de interés. (Resp. = 2.37%)
8.
Una deuda de S/. 100 000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18 cuotas, con intereses del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo insoluto, al efectuar el noveno pago. (Resp. = S/. 56 517.31)
9.
Una deuda de S/. 10 000 con interés del 12% convertible mensualmente, se paga con cuotas mensuales de S/. 250. Hallar el número de pagos de S/. 250 y elaborar el cuadro de amortización para los dos primeros pagos y él ultima que extingue la deuda. (Resp. = 51.34 meses)
10. Una propiedad se vende en S/. 300 000, pagaderos así S/. 100 000 al contado y el saldo en 8 cuotas iguales semestrales con Interés del 10%, convertible semestralmente. Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago (Resp. = Derechos del comprador: S/. 215 730.83; derechos del vendedor: S/. 84 269.17)
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Econ. Máximo Calero Briones. UNAC
Amortizaciones
11. Una propiedad se vende en S/. 200 000 que se pagan con S/. 50 000 de contado y el saldo en cuotas semestrales de S/. 10 000 con un interés del 8% efectivo. Hallar el número de pagos necesarios para cancelar el saldo y elaborar el cuadro de amortizaciones, para los dos primeros pagos y para el último que extingue a deuda. (Resp. = 3.923%) 12. Un artículo se vende de contado en S/. 2 000. Para venderlo a plazo se recarga el precio en un 15% y se entrega sin cuota inicial para cancelar en 18 cuotas mensuales iguales. Hallar a.- La tasa nominal j12 cargada (Resp. = 18.18%) b.- La tasa efectiva cargada (Resp. = 19.77%) 13. Resolver el problema anterior, suponiendo el pago en 24 cuotas mensuales (Resp= 13.79%; 14.70%) 14. Un equipo se vende al contado en S/. 650 000. A plazos, se vende con una cuota inicial de S/. 150 000 y el saldo, incrementado en el 15%, se cancela con 12 pagos mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada (Resp. = 30.12%) 15. En el problema anterior, hallar la tasa efectiva, si la cuota inicial es de S/. 25 000(Resp. = 30.12%) 16. Una herramienta se vende en S/. 75 000; si la compra es año contado, se descuenta en 15%; si es a plazos, se vende con una cuota inicial de S/. 15 000 y el saldo en 8 cuotas mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada (Resp. = 76.73%) 17. Resolver el problema anterior, si el saldo se paga en 12 cuotas iguales
(Resp. = 48.48%)
18. Un artículo se vende a plazos, con una cuota inicial del 30% de su precio; el saldo se incrementa en el 15%, para ser cancelarse en 10 cuotas mensuales iguales. Hallar la tasa efectiva cargada. (Resp. = 36.5%) 19. Un artículo se vende a plazos, con una cuota inicial del r% de su precio, el saldo se incrementa en el I% para cancelarse en n cuotas mensuales iguales. Analizar las variaciones de la tasa nominal cargada en función de r, I, n. 20. Demostrar que el saldo insoluto P, n- k períodos, antes de la extinción de una deuda que debe amortizarse en n periodos es dado por: P = A(P/A, i%,n-k) = P (F/P, i%, k) – A(F/A,i%,k).
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