UNIJORGE, DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS
Fenômenos de Transporte II Exercícios – Condução
Marcos Fábio de Jesus 15 de março de 2015
N ÁLISE DE P ROBLEMAS DE T RANSFERÊNCIA DE C AL OR : 1 A NÁLISE M ETODOLOGIA – – I NCROPERA ET AL . [2011] O prin princi cipa pall obje objetiv tivo o dess dessee testo testo é prep prepar arar ar o alun aluno( o(a) a) para para reso resolv lver er prob problem lemas as de enge engenh nhar aria ia que envolvam transferência de calor. Ao resolver problemas, sugeri-se o uso de um procedimento sistemático, caracterizado por um formato predeterminado. Ele é constituído pelas seguintes etapas: 1. DADOS: Após uma leitura cuidadosa do problema, escreva escreva sucinta e objetivamente o que se conhece a respeito do problema. Não repita o enunciado do problema; 2. ACHAR: Escreva Escreva sucinta e objetivamente objetivamente o que deve ser determinado; determinado; 3. ESQ ESQUEMA: UEMA: Dese Desenh nhee um esquem esquemaa do siste sistema ma físic físico o. Se é prev previs isto to que que as leis leis da cons conser er-vação serão aplicadas, represente no esquema a superfície ou superfícies de controle necessá necessária riass atravé atravéss de linhas linhas tracej tracejada adas. s. Identi Identifiqu fiquee no esquem esquemaa os proces processos sos de transtransferência de calor relevantes por meio de setas apropriadamente identificadas; 4. CONSIDERAÇÕES: CONSIDERAÇÕES: Liste todas as considerações simplificadoras simplificadoras pertinentes; 5. PROPRIEDADES: PROPRIEDADES: Compile valores de de propriedades físicas necessárias para a execução dos cálculos subsequentes, identificando a fonte na qual foram obtidas;
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6. ANÁLISE: Comece sua análise aplicando as leis da conservação apropriadas e introduza as equações de taxa na medida em que elas sejam necessárias. Desenvolva a análise da forma mais completa possível antes de substituir os valores numéricos. Execute os cálculos necessários para obter os resultados desejados; 7. COMENTÁRIOS: Discuta os seus resultados. Tal discussão pode incluir um resumo das principais conclusões, uma crítica das considerações originais e uma estimativa de tendências obtidas através de cálculos adicionais do tipo qual seria o comportamento se a análise de sensibilidade paramétrica . A importância de realizar as etapas 1 e 4 não deve ser subestimada. Elas fornecem um guia útil para pensar a respeito de um problema antes de resolvê-lo. Na etapa 7, espera-se que o aluno(a) tenha a INICIATIVA de chegar a conclusões adicionais através da execução de cálculos que podem ser eventualmente efetuados em computador.
2 E X E MPLO 1.5 – ÇENGEL AND G HAJAR [2012] O telhado de uma casa com aquecimento elétrico tem 6m de comprimento, 8m de largura e 0,25m de espessura e é feito de uma camada de concreto cuja condutividade térmica é κ = 0,8W /(m .K ). As temperaturas das faces interna e externa do telhado, medidas em uma noite, são 15o C e 4o C , respectivamente, durante um período de 10 horas. Determine (a) a taxa de perda de calor através do telhado naquela noite e (b) o custo dessa perda de calor para o proprietário, considerando que o custo da eletricidade é de R$ 0,20/ kW h . Resp.: (a) 1690W , (b) R$ 3,38
3 E X E MPLO 1.8 – ÇENGEL AND G HAJAR [2012] Um fio elétrico de 2,0m de comprimento e 0,3cm de diâmetro se estende por uma sala a 15o C . Calor é gerado no fio como resultado do aquecimento da resistência. A medida da temperatura na superfície do fio é 152o C , em funcionamento estável. Além disso, as medidas da queda de tensão e da corrente elétrica através do fio são 60V e 1,5 A , respectivamente. Ignorando qualquer transferência de calor por radiação, determine o coeficiente de transferência de calor por convecção para transferência de calor entre a superfície externa do fio e o ar na sala. Resp.: 34,9W /(m 2 .K )
4 E X E MPLO 1.2 – I NCROPERA ET AL . [2011] Uma tubulação de vapor d’água sem isolamento térmico atravessa uma sala na qual o ar e as paredes se encontram a 25o C . O diâmetro externo do tubo é de 70mm , a temperatura de sua superfície é de 200o C e esta superfície tem emissividade igual a 0, 8. Quais são o poder emissivo da superfície e a sua irradiação? Sendo o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural na superfície para o ar de 15W /(m 2 .K ), qual é a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo? Resp.: E = 2270W /m 2 ; G = 447W /m 2 ; q’=998W/m
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5 E X E MPLO 2.2 – I NCROPERA ET AL . [2011] A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessu ra de 1m , em um certo instante de tempo, é dada por: T (x ) = a + bx + cx 2
na qual T está em graus Celcius e x em metros. euquanto a = 900 o C , b = −300o C /m e ˙ = 1000W /m 3 , está presente na parede, c = −50o C /m 2 . Uma geração de calor uniforme, q cuja área é 10m 2 . O seu material possui as seguintes propriedades: ρ = 1600kg /m 3 , k = 40W /(mK ) e C p = 4k J /(kg K ). 1. Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede (x = 0) e que deixa a parede (x = 1m ). Resp.: x = 0 → q = 120kW ; x = 1m → q = 160kW . 2. Determine a taxa de variação da energia acumulada na parede. Resp.: E ˙ac u = −30kW . 3. Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x = 4 °C 0;0,25;0,5 m . Resp.: ∂T ∂t = −4,69 × 10 −
6 E XERCÍ CI O 2.20 – I NCROPERA ET AL . [2011] Em um dado instante de tempo, a distribuição de temperatura no interior de um corpo homogêneo infinito é dada pela função T (x , y , z ) = x 2 − 2 y 2 + z 2 − x y + 2 y z
considerando propriedades constantes e ausência de geração de calor no interior do corpo, determine a regiões nas quais a temperatura varia com o tempo. Resp.: como ∂T ∂t = 0 tem-se que a temperatura em qualquer ponto é independente do tempo, para o instante em questão.
7 E XERCÍ CI O 2.25 – I NCROPERA ET AL . [2011] Em uma parede plana com espessura 2L = 40mm e condutividade térmica k = 5W /(m .K ) há geração de calor volumétrica uniforme a uma taxa q ˙ , enquanto transferência de calor por convecção ocorre em suas duas superfícies (x = −L , +L ), cada uma exposta a um fluido com temperatura T = 20 °C. Em condições de regime estacionário, a distribuição de temperatura no interior da parede tem a forma T (x ) = a + bx + c x 2 , onde a = 82,0°C, b = −210°C/m , c = 4 3 −2 × 10 °C/m e x está em metros. A origem da coordenada x encontra-se no plano central da parede. ∞
(a) Esboce a distribuição de temperatura e identifique características físicas significativas. (b) Qual a taxa volumétrica de geração de calor, q ˙ , no interior da parede? Resp.: q ˙ = 2 × 105W /m 3
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(c) Determine os fluxos térmicos nas superfícies, q x (−L ) e q x (+L ). Como esses fluxos estão relacionados com a taxa de geração de calor? Resp.: q x (−L ) = −2950W /m 2 e q x (+L ) = 5050 w /m 2 ; os fluxos estão relacionados com a geração de calor através da 1a Lei da Termodinâmica
(d) Quais são os coeficiente de transferência de calor por convecção nas superfícies x = −L e x = +L ? Resp.: h (−L ) = 51W /(m 2 .K ) e h (+L ) = 101W /(m 2 .K )
(e) Obtenha uma expressão para a distribuição de fluxos térmicos, q x (x ) . O fluxo térmico é nulo em algum local? Explique qualquer característica significativa desta distribuição. Resp.: q x (x ) = 1050 − 2 × 105 x ; o fluxo é nulo em x = −5,25mm (onde a temperatura máxima)
q = 0), qual é a taxa de vari(f) Se a fonte de geração térmica for subitamente desativada ( ˙ ação da energia acumulada na parede nesse instante? Resp.: E ˙ac u = −2 × 105W /m 3
(g) Com ( ˙ q = 0), qual temperatura de parede será atingida após um longo período de tempo? Que quantidade de energia tem que ser removida da parede pelo fluido, por unidade de área da parede ( J /m 2 ), para ela atingir esse estado? A massa específica e o calor específico do material da parede são 2600kg /m 3 e800 J /(kg .K ), respectivamente. Resp.: T = 20o C ; E ˙s ai = 4,94 × 106 J /m 2
8 E XERCÍ CI O 2.37 – I NCROPERA ET AL . [2011] Um tubulação de vapor é envolvida por isolamento térmico cujos raios interno e externo são r 1 e r 2 , respectivamente.Em um dado instante de tempo, sabe-se que a distribuição de temperatura no isolamento tem a forma
r
T (r ) = C 1 l n
r 2
+
C 2
O sistema encontra-se em regime estacionário ou transiente? Como variam com o raio o fluxo térmico e a taxa de transferência de calor? Resp.: Regime estacionário já que ∂T ∂t = 0; A taxa de transferência de calor é independente do raio enquanto o fluxo térmico é inversamente proporcional ao raio.
9 E XERCÍ CI O 3.02 – I NCROPERA ET AL . [2011] O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela passagem de ar quente sobre a superfície interna.
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a) Se o ar quente está a T ,1 = 40o C e o coeficiente de transferência de calor por convecção correspondente é de h 1 = 30W /(m 2 .K ), quais são as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro, que tem 4mm de espessura, se a temperatura do ar ambiente externo for T ,2 = −10o C e o coeficiente convectivo associado for h 2 = 65W /(m 2 .K ) ? ∞
∞
b) Na prática, T ,2 e h 2 variam com as condições climáticas e com a velocidade do carro. Para valores de h 2 = 2;65e 100W /(m 2 .K ), calcule represente graficamente as temperaturas das superfícies interna e externa do vidro como funções de T ,2 , para −30 ≤ T ,2 ≤ 0o C ∞
∞
∞
Resp.: (a) q
=
969W ; T i nt = 7,7o C e T ex t = 4,9o C
10 E XEM PL O 3.04 – I NCROPERA ET AL . [2011] O diagrama mostra uma seção cônica fabricada em pirocerâmica. Ela possui seção transversal circular com diâmetro D = ax , onde a = 0,25. A base pequena se encontra a x 1 = 50mm e a maior em x 2 = 250mm . As temperaturas nas bases são T 1 = 400K e T 2 = 600K . A superfície lateral do cone é isolada termicamente. (a) Deduza uma expressão literal para a distribuição de temperatura T (x ) supondo condições unidimensionais. Esboce a distribuição de temperatura; (b) Calcule a taxa de transferência de calor q , através do cone.
Resp.: (a) T (x ) = T 1 + (T 1 −
T ) 2
(1/ x )−(1/x 1 ) (1/x 1 )−(1/x 2 )
; (b) q
x = −2,12W
11 E XEM PL O 3.05 – I NCROPERA ET AL . [2011] A possível existência de uma espessura ótima para uma camada de isolamento térmico em sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento dessa espessura. Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição do isolante, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Dessa forma, deve existir uma espessura de isolamento que minimize a perda de calor pela maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esse problema levando em consideração o seguinte sistema:
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1. Um tubo de cobre com parede delgada, de raio r i , é usado para transportar um refrigerante a uma baixa temperatura T i , que é inferior a temperatura ambiente T adjacente ao tubo. Há uma espessura ótima associada à aplicação de i solamento sobre o tubo? ∞
2. Confirme o resultado anterior calculando a resistência térmica total, por unidade de comprimento do tubo, em um tubo com 10mm de diâmetro possuindo as seguintes espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20 e 40 mm . O isolamento é composto por vidro celular (κ = 0,055W /(m .K )) e o coeficiente de transferência de calor por convecção em sua superfície externa é de 5W /(m 2 .K ). Resp.: (1)Nãoexiste espessura ótima de isolamento e sim um raio crítico de isolamento, onde κ abaixo dele a taxa de calor aumenta e acima dele diminui (r c r i t i c o = h ); (2) r c r i t i c o = 0,011m
12 E XEM PL O 3.05 – I NCROPERA ET AL . [2011] A possível existência de uma espessura ótima para uma camada de isolamento térmico em sistemas radiais é sugerida pela presença de efeitos concorrentes associados ao aumento dessa espessura. Em particular, embora a resistência condutiva aumente com a adição do isolante, a resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Dessa forma, deve existir uma espessura de isolamento que minimize a perda de calor pela maximização da resistência total à transferência de calor. Resolva esse problema levando em consideração o seguinte sistema: 1. Um tubo de cobre com parede delgada, de raio r i , é usado para transportar um refrigerante a uma baixa temperatura T i , que é inferior a temperatura ambiente T adjacente ao tubo. Há uma espessura ótima associada à aplicação de i solamento sobre o tubo? ∞
2. Confirme o resultado anterior calculando a resistência térmica total, por unidade de comprimento do tubo, em um tubo com 10mm de diâmetro possuindo as seguintes espessuras de isolamento: 0, 2, 5, 10, 20 e 40 mm . O isolamento é composto por vidro celular (κ = 0,055W /(m .K )) e o coeficiente de transferência de calor por convecção em sua superfície externa é de 5W /(m 2 .K ). Resp.: (1)Nãoexiste espessura ótima de isolamento e sim um raio crítico de isolamento, onde κ abaixo dele a taxa de calor aumenta e acima dele diminui (r c r i t i c o = h ); (2) r c r i t i c o = 0,011m
R EFERÊNCIAS Frank P. Incropera, David P. Witt, Theodore L. Bergman, and Adrienne S. Lavine. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa . 6 edition, 2011. Yunus A. Çengel and Afshin J. Ghajar. Transferência de Calor e Massa . 4 edition, 2012.
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