1_ Prueba de Hipótesis prop y medias

Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ciencias Químicas Ingeniero Industrial Administrador Prueba de Hipótesis

Una hipótesis estadística es una declaración o afirmación tentativa acerca del valor de un parámetro o parámetros de una población. Tal declaración se considera tentativa debido a que los valores verdaderos de los parámetros en cuestión se desconocen. La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certeza, a menos que se examine toda la población, lo cual por supuesto, sería poco práctico en la mayoría de las situaciones. En vez de eso se toma una muestra aleatoria de la población de interés y se utilzan los datos contenidos en ella para proporcionar evidencia que respalde o no la hipótesis. La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada conduce al rechazo de la misma. Planteamiento de la Hipótesis Hipótesis Nula (Ho)

Hay dos tipos de hipótesis, uno denominado hipótesis nula, se forma principalmente para determinar si puede rechazarse. Tal hipótesis de denota por Ho. En general la hipótesis nula es una declaración tentativa de que un parámetro de la población es igual a un valor específico es decir que no hay diferencia. Hipótesis Alternativa. (H1)

Al otro tipo de hipótesis hi pótesis se le denomina hipótesis alternativa, denotada por H1 la hipótesis alternativa se acepta cuando se rechaza Ho y es una declaración tentativa de que el e l mismo parámetro de la población tiene un valor diferente del específico de la Ho. Por ejemplo: 1) Una tintorería afirma que un nuevo removedor de manchas quitará más del 70% de las manchas en la que se aplique. Ho: p= 0.7 H1: p> 0.7 2) Una tintorería afirma que un nuevo removedor de manchas quitará menos del 70% de las manchas en la que se aplique. Ho: p= 0.7 H1: p< 0.7 1) Una tintorería afirma que un nuevo removedor de manchas quitará el 70% de las manchas en la que se aplique. Ho: p= 0.7 H1: p≠ 0.7 Especificación del nivel de significación

Supóngase que se plantean dos hipótesis hi pótesis Ho: p= 0.7 H1: p> 0.7

Para probar la hipótesis se toma una muestra y se calcula su proporción, entonces la proporción muestral puede ser más grande que la proporción esperada esperada (0.7) y se rechazará la Ho aún cuando en realidad es verdadera.

Agosto – Diciembre 2013 2013

Estadística Aplicada

M.E.S. Norma Norma Jeaneth Treviño Hdz Hdz

Ingeniero Industrial Administrador

FCQ

Entonces ¿Qué tanto más grande deberá ser una proporción muestral que la proporción esperada para poder justificar rechazar la Ho? O en otras palabras ¿Cuánto puede considerarse una proporción muestral como significativamente mayor? La respuesta a esa pregunta depende del nivel de error que se desee tolerar es decir de la probabilidad de que la muestra haya proporcionado una proporción lo suficientemente grande que el valor hipotético debido a factores aleatorios. Cuando una proporción muestral lo bastante grande para provocar que se rechace la Ho ocurre no mas de 5 de 100 veces, entonces el nivel de error es de 0.05 (también se utilizan otros valores como 0.01 y 0.02) entonces 0.05 se le llama nivel de significación. Tipo de Errores

El nivel de significación es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera (lo que se denomina como error tipo I) a esta probabilidad se le denota por la letra α

100

0.05

Ahora conforme α disminuye, aumenta la probabilidad de aceptar una Ho falsa. El error de no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa se denomina Error tipo II y se denota por β Rechazar Ho cuando es verdadera Aceptar Ho cuando es falsa

Error tipo I Error tipo II

Probabilidad α Probabilidad β

Estadístico de Prueba

Un estadístico de prueba es una variable aleatoria cuyo valor se utiliza para llegar a la decisión de rechazar o no la hipótesis nula puede ser la media muestral o la puntuación Z Región Crítica

Los valores estadístico de prueba se divide en 2 categorías: la región de rechazo (o región crítica) y la región de no rechazo (aceptación). La región crítica es el conjunto de valores para el estadístico de prueba que llevará a rechazar la Ho. La región de no rechazo es el conjunto de valores para el estadístico de prueba que provocará la aceptación de la Ho. El valor que separa a las dos regiones es el valor crítico

1- α

Re ión de no rechazo μ Z0.02 = 2.05

Valor crítico para Z α

Región crítica

Z0.15 = 1.04

Agosto – Diciembre 2013

Z0.01 = 2.326


M.E.S. Norma Jeaneth Treviño Hdz

Ingeniero Industrial Administrador Z0.05 = 1.65

Z0.025 = 1.96

FCQ Z0.005 = 2.58

En la Estadística Aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa el método del valor P. Valor P

Una forma de reportar el resultado de un análisis de prueba de hipótesis consiste simplemente en decir si la hipótesis nula fue rechazada para un nivel especificado de significancia. Así el investigador puede expresar que Ho fue rechazada a un nivel de significancia de 0.01 o que el uso de una prueba de nivel de 0.05 resultó en el no rechazo de la Ho. Este tipo de enunciados es un poco inadecuado porque no dice nada acerca de si el valor calculado del estadístico de prueba apenas cayó en la región de rechazo o si rebasó el valor crítico por una cantidad grande. Entonces cada individúo desearía entonces seleccionar su propio nivel de significancia, algunos escogen α= 0.05, otros 0.01 y así sucesivamente, y llegan a una conclusión conforme a su selección. Esto podría resultar en que algunos individuos rechazan la Ho, mientras que otros concluyen que la información no muestra suficiente contradicción de H0 para justificar este rechazo. Un valor P contiene mucha información relacionada con la evidencia contra Ho y permite a quien toma decisiones sacar una conclusión a cualquier nivel α especificado. Consideremos la forma como la conclusión en un problema de prueba de hipótesis depende del nivel α seleccionado. Suponga una prueba de contenido de nicotina estudiado implicó la prueba de Ho: μ= 1.5 H1: μ > 1.5 Debido a la desigualdad en la H1 la región de rechazo es de cola superior, con Ho rechazada si Zc ≥ Zα. Supóngase que Zc =2.10. La tabla siguiente presenta la región de rechazo para cada una de cuatro α diferentes, con la conclusión resultante. Nivel de significado α 0.05 0.025 0.01 0.005

Región de Rechazo Zc ≥1.645 Zc ≥1.96 Zc ≥2.33 Zc ≥2.58

Conclusión Rechazar Ho Rechazar Ho No Rechazar Ho No Rechazar Ho

Curva Normal Estándar Área sombreada = 0.0179

2.10= Zc

Área de cola capturada por la Zc





FCQ

Área sombreada = α

2.10 Zα

Cuando α es mayor a 0.0179, Zc >Z α y la Ho es rechazada.

Área sombreada = α

2.10 Zα

Cuando α es menor a 0.0179, Zc no es mayor a Zα y la Ho No es rechazada. En general, supóngase que se ha determinado la distribución de probabilidad de un estadístico de prueba cuando Ho es verdadera. Entonces para un α especificada, la región de rechazo se determina al hallar un valor crítico o valores que capturan el área de cola α (superior, inferior o de dos colas, lo que sea apropiado) bajo la curva de distribución de probabilidad. El valor mínimo de α para que la Ho sea rechazada es el área de la cola capturada por el valor calculado del estadístico de prueba. Esta α mínima es el valor P. Una vez que el valor P se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel α particular resulta de comparar el valor P con α: 1. Valor P < α entonces Rechazar Ho al nivel de α 2. Valor P ≥ α entonces No Rechazar Ho al nivel de α Se acostumbra llamar significativa la información cuando Ho sea rechazada y no significativa de otra forma. El valor P es entonces el nivel mínimo en el cual la información es significativa. El calculo del valor P depende de si la prueba es de

cola superior, inferior o de dos colas, sin embargo una vez que se haya calculado la comparación con α no depende de qué tipo de prueba se haya utilizado. Para una prueba z de cola superior Valor P=P(Z> Zc) (que se busca en la tabla) Para una prueba z de cola inferior Valor P=P(Z< -Zc) (que se busca en la tabla) Para una prueba z de dos colas Valor P=2P(Z> Zc) (que se busca en la tabla) Agosto – Diciembre 2013




FCQ

Por ejemplo. Supongamos que Ho: μ= 7 H1: μ > 7 Si Zc = 2.32 entonces el valor P =P(Z> 2.32)= .0102 para un nivel de α Mayores a este valor se rechazará la hipótesis nula a nivel de esa α. Supongamos que Ho: μ= 7 H1: μ < 7 Si Zc = -2.32 entonces el valor P =P(Z<- 2.32)= .0102 para un nivel de α Mayores a este valor se rechazará la hipótesis nula a nivel de esa α. Supongamos que Ho: μ = 7 H1: μ ≠ 7 Si Zc = 2.32 entonces el valor P =2P(Z> 2.32)= 2( .0102 )= 0.0204 para un nivel de α Mayores a este valor se rechazará la hipótesis nula a nivel de esa α. La mayoría de los paquetes de los paquetes de computadora para efectuar análisis estadísticos calculan e imprimen de manera automática un valor P cuando se efectúa un análisis de pruebas de Hipótesis. Entonces se puede sacar una conclusión directamente del recultado sin referencia a una tabla de valores críticos. Conclusión.

a. Si la decisión es “Rechazar la Ho”, entonces la conclusión debe escribirse más o menos como “Hay suficiente evidencia al nivel de significancia α para decir que … (el significado de la H1)” b. Si la decisión es “No Rechazar la Ho”, entonces la conclusión debe escribirse más o menos como “No hay suficiente evidencia al nivel de significancia α para decir que … (el significado de la H1)”





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1. Prueba de Hipótesis para proporciones en la Población

Cuando n es lo suficientemente grande, la variable aleatoria X se distribuye casi en forma normal, con media de np y varianza de np(1- p) Toma de Decisiones.

Si se emplea la razón Z como estadístico de prueba, la puntuación Zc calculada se compara con el valor crítico Zα tomado de la tabla normal estándar. Ho: p= po Ho: p= po Ho: p= po H1: p ≠ po H1: p > po H1: p < po Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si Zc ≥ Zα /2 ó Zc ≤ - Zα /2 Zc ≥ Zα Zc ≤ - Zα Zc =

x − np np(1 − p)

Por ejemplo: 1.- Muchas personas se quedan dormidas los fines de semana para recuperar las ¨noches cortas¨ de la semana laboral. Investigadores reportan que el 61% de las personas duerme más de 7 horas por noche durante el fin de semana. En una muestra aleatoria de 350 adultos, se encontró que 235 durmió más de siete horas cada noche durante el fin de semana pasado. Al nivel de significancia de 0.05 ¿estos hechos demuestran que más del 61% duerme siete o más horas por noche durante el fin de semana? 2.- Se cree que menos del 40 % de los estudiantes prefieren internet que la televisión para conocer las noticias más relevantes, para aceptar esta aseveración, un investigador social entrevistó una muestra aleatoria de 150 estudiantes encontró que sólo 80 estudiantes prefieren internet que la televisión para conocer las noticias más relevantes. Pruébese la Ho de que el 40 % de los estudiantes prefieren internet que la televisión para conocer las noticias más relevantes contra la alternativa de que menos del 40 % de los estudiantes prefieren internet que la televisión para conocer las noticias más relevantes. Con α= 0.01 3.- Algunos científicos afirman que los robots jugarán un papel esencial en las fábricas en los próximos 20 años. Supongamos que, en un experimento para determinar si es factible el uso de robots para trenzar cables de computadora, se empleó un robot para ensamblar 500 cables. Se examinaron los cables y encontraron defectuosos 14 de ellos. Si los ensambladores humanos tienen una tasa de 0.03 (3%). ¿Apoya esta información la hipótesis de que la proporción de partes defectuosas es menor para Robots que para humanos? Utilice un nivel de significancia de 0.05 4.- Una línea aérea ha desarrollado un plan para un club del viajero ejecutivo, sobre la premisa de que 5% de sus clientes actuales llenarían los requisitos para ser socios. Una muestra aleatoria de 500 clientes dio por resultado que 40 llenarían los requisitos. Con estos datos pruebe con un nivel de 0.01 la Ho de que la premisa de la compañía es correcta contra la H 1 de que no es correcta.





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2. Prueba de Hipótesis para la media de la población

2

σ

Conocida

Toma de Decisiones

Si se emplea la razón Z como estadístico de prueba, la puntuación Zc calculada se compara con el valor crítico Zα tomado de la tabla normal estándar. Ho: μ= μo H1: μ ≠ μo Rechazar Ho si Zc ≥ Zα /2 ó Zc ≤ - Zα /2

Ho: μ= μo H1: μ > μo Rechazar Ho si Zc ≥ Zα Zc =

Ho: μ= μo H1: μ < μo Rechazar Ho si Zc ≤ - Zα

x − µ σ

n

Por ejemplo: 5.- Un profesor afirma que tiene una clase superior a su clase en el periodo anterior. Es por eso que pone un examen a su clase que, sabe por experiencia, proporciona un rendimiento de µ= 78 y σ= 7. Su clase actual de 22 alumnos obtiene x = 82. Realice una prueba de hipótesis para α =0.01, ¿hay evidencia suficiente para asegurar que el profesor tiene una clase superior? 6.- Un fabricante de sistemas de aspersión utilizados para protección de incendios en edificios de oficina, afirma que el verdadero promedio de temperatura de activación de sistema es 130ºF. Una muestra de 9 sistemas, cuando se prueba, produce un promedio de temperatura de activación de 131.08ºF. Si la distribución de los tiempos de activación es normal con desviación estándar de 1.5ºF. ¿Los datos contradicen la afirmación del fabricante al nivel de significancia de α =0.01? 7.- La satisfacción en el trabajo es muy importante cuando se trata de hacer producir a los trabajadores. Directivos sindicalistas aplicaron un cuestionario estándar de satisfacción en el trabajo a una muestra de obreros con la esperanza de mostrar que el puntaje promedio de estos trabajadores en el cuestionario es diferente de la media establecida de 68. Se tomó una muestra de 120 trabajadores y obtuvieron un promedio de 72 si se sabe que σ= 13. Realice una prueba de hipótesis para α =0.025, ¿hay evidencia suficiente para asegurar que el puntaje promedio de estos trabajadores en el cuestionario es diferente de la media establecida de 68? 8.- General Electric ha desarrollado un nuevo foco cuyas especificaciones de diseño requieran una salida de luz de 960 lúmenes comparado con un modelo anterior que producía sólo 750 lúmenes. Los datos de la compañía indican que la desviación estándar de la salida de luz para este tipo de foco es de 18.4 lúmenes. Para una muestra de 20 focos, el comité de pruebas encontró una salida de luz promedio de 954 lúmenes por foco. A un nivel de significancia de 0.05, ¿Puede concluir General Electric que su nuevo foco produce la salida especificada de 950 lúmenes?





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3. Prueba de Hipótesis para la media de la población

2

σ

Desconocida

Cuando una muestra es pequeña y la población a partir de la cual se obtiene la muestra tiene una distribución normal, la varianza muestral s2 puede ser muy diferente de la σ 2 por lo tanto usaremos el estadístico de prueba T-Student y se compara con el valor crítico tα,n-1 Tc

=

x − µ s n

Toma de Decisiones

Si se emplea la razón T- Student como estadístico de prueba, la puntuación Tc calculada se compara con el valor crítico Tα, n-1 tomado de la tabla normal estándar. Ho: μ= μo Ho: μ= μo Ho: μ= μo H1: μ ≠ μo H1: μ > μo H1: μ < μo Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si Tc ≥ tα /2,n-1 ó Tc ≤ - tα /2,n-1 Tc ≥ tα,n-1 Tc ≤ - tα,n-1 Tc

=

x − µ s n

9.- El catálogo de cierta universidad afirma que el precio medio de un libro de texto ahí es menor que $75, un ex-alumno desea comprobar esa aseveración, seleccionó al azar 16 libros de texto nuevos en la librería de la universidad, descubrió que la media de los precios era de $70.41 y la desviación estándar era de $19.70. Pruébese la Ho de que el precios medio de los libros es de $75, contra la alternativa de que es menor a $75 10.- Se supone que una máquina vendedora proporciona 8oz de café si se insertan las monedas adecuadas. Para probar si la máquina está operando adecuadamente, se toman 16 tazas de café de la máquina y se miden. Se determina que la media y la desviación estándar de las 16 mediciones son 7.5oz y 0.8oz respectivamente. Pruébese la hipótesis nula de que la máquina esté operando adecuadamente contra la alternativa H1 de que no está operando adecuadamente α=0.005 11.- la Federal Food and Administration está realizando una prueba para determinar si una nueva medicina tiene el indeseable efecto lateral de elevar la temperatura del cuerpo se entiende que la temperatura del cuerpo humano se distribuye normalmente con una media de 98.6 oF, se administra la nueva medicina a 9 pacientes, se toman las temperaturas y se obtiene una media de 99 oF , s=0.36 oF . ¿Deberá permitirse a la compañía permitir la venta de la nueva droga? α=0.01 12.- La especialista en recursos humanos de una importante corporación está reclutando un gran número de empleados para un proyecto en el extranjero. Durante el proceso de selección, la administración le pregunta cómo van las cosas, y ella responde: “Bien. Creo que la puntuación promedio en la prueba de aptitudes será aproximadamente de 90.” Cuando la administración revisa 20 de los resultados de la prueba, encuentra que la puntuación media es de 84, y la desviación estándar de esta puntuación es 11. la administración desea probar su hipótesis al nivel de significancia de 0.10.





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4. Prueba de Hipótesis para dos Proporciones .

Existen muchas situaciones importantes y reales en las que es necesario utilizar datos muestrales para comparar dos proporciones poblacionales. Cuando se prueba una hipótesis hecha acerca de dos proporciones poblacionales partimos de los siguientes supuestos y utilizamos la siguiente notación. 1. Tenemos proporciones de dos muestras aleatorias independientes. 2. Existen al menos 5 éxitos y 5 fracasos en cada una de las dos muestras. 3. probaremos la aseveración de que dos poblaciones tienen proporciones iguales para que p1-p2 =0 Notación para dos proporciones. Para la población 1 P1= Proporción de la Población n1= tamaño de la muestra. x1 = número de éxitos en la muestra pˆ 1

=

qˆ1

=

x1 n1

Proporción muestral

1 − pˆ 1 Proporción muestral de fracasos

De igual manera para la población 2 Si establecemos la hipótesis de que no hay diferencia entre las dos proporciones de la población , entonces la mejor estimación de la proporción global de éxitos en la población es, tal vez, la proporción combinada de éxitos en ambas muestras, esto es: Mejor estimación de la proporción global de éxitos en la población con la hipótesis de que las dos proporciones son iguales

=

Número de éxitos en la muestra 1

+

Número de éxitos en la muestra 2

Tamaño total de ambas muestras

Proporción global estimada de éxitos en dos poblaciones p =

x1 + x2 n1 + n2

entonces

q

=

1 − p

Sólo probaremos la aseveración de que p1 = p2 y utilizaremos el siguiente estimado agrupado del valor que p1 y p2 tienen en común. Por la forma del estimado apareado p usted puede ver que éste, básicamente combina las dos muestras diferentes en una gran muestra.





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Prueba estadística para dos proporciones. Zc =

pˆ 1 − pˆ 2 pq n1

pˆ 1

=

x1 n1

, pˆ 2

=

x 2 n2

, p =

+

pq

donde,

n2

x1 + x2 n1 + n 2

y q = 1 − p

Si se emplea la razón Z como estadístico de prueba, la puntuación Zc calculada se compara con el valor crítico Zα tomado de la tabla normal estándar. Ho: p1= p2 H1: p1 ≠ p2 Rechazar Ho si Zc ≥ Zα /2 ó Zc ≤ - Zα /2

Ho: p1= p2 H1: p1 > p2 Rechazar Ho si Zc ≥ Zα

Ho: p1= p2 H1: p1 < p2 Rechazar Ho si Zc ≤ - Zα

Por ejemplo: 13.- Una compañía fabrica productos medicinales y está probando dos nuevos compuestos destinados a reducir los niveles de presión sanguínea. Los compuestos se administran a dos conjuntos de animales de laboratorio. En el grupo 1, 71 de 100 animales respondieron a la droga 1 con niveles menores de presión arterial. En el grupo 2, 58 de 90 animales respondieron a la droga dos con menores niveles de presión sanguínea. La compañía desea probar a un nivel de significancia de 0.05 si existe una diferencia en la eficacia de las dos medicinas. 14.- Suponga que con fines de impuestos el gobierno de una ciudad ha utilizado dos métodos para registrar las propiedades. El primero requiere que el dueño de la propiedad se presente para proporcionar la información; el segundo método permite que el dueño de la propiedad envíe por correo una forma fiscal con la información requerida. El alcalde de la ciudad piensa que el método que requiere la presencia de la persona produce menos errores que el otro. Autoriza un estudio de 50 listas hechas con el primer método y de 75 listas tomadas de los datos enviados por correo. El 10% de las formas llenadas ante el representante fiscal tiene errores; el 13.3% de las formas llenadas por correo tienen errores. El alcalde de la ciudad desea probar, al ivel de significancia de 0.15, la hipótesis de que el método de entrega personal produce una proporción menor de errores. 15.- La librería de la universidad se enfrenta a una competencia significativa con librerías fuera de ella y está considerando dirigir sus ventas a una generación específica para retener a los estudiantes como clientes. Se realizó un muestreo aleatorio de 150 estudiantes de primer año y 175 de segundo. Encontraron que el 46% de primer año y el 40% de segundo compraban todos sus libros de texto en la librería universitaria. Para α = 0.10 , ¿existe una diferencia significativa en las proporciones de estudiantes de primero y segundo año que compran todo en la librería de la universidad?





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5. Prueba de Hipótesis para dos Medias. σ12 y σ22 Conocidas Toma de Decisiones

Si se emplea la razón Z como estadístico de prueba, la puntuación Zc calculada se compara con el valor crítico Zα tomado de la tabla normal estándar. Cuando ambos tamaños de muestra son mayores de 30 y no conoces las varianzas poblacionales puedes utilizar este estadístico de prueba. Ho: μ1= μ2 Ho: μ1= μ2 Ho: μ1= μ2 H1: μ1≠ μ2 H1: μ1 > μ2 H1: μ1 < μ2 Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si Zc ≥ Zα /2 ó Zc ≥ Zα Zc ≤ - Zα Zc ≤ - Zα /2 Zc =

x 1 − x 2 2

σ 1

n1

2

+

σ 2

n2

Por ejemplo: 16.- Suponga que se tiene el interés de comparar el éxito académico de los estudiantes que tiene un equipo de estudio contra los estudiantes que no tienen un equipo de estudio. Para medir el éxito académico se usa la calificación promedio Los resultados se presentan a continuación. Las calificaciones para ambos grupos se distribuyen de manera normal. Equipo de estudio No tiene equipo de estudio Tamaño de muestra n1=40 n2=40 Rendimiento promedio x1 = 8.3 x 2 = 6.3 2 2 Varianza σ 1 = 0.68 σ 2 = 0.59 Para α = 0.10 ¿Existe suficiente evidencia para afirmar que tener un equipo de estudio mejora tu promedio? 17.- Block, una compañía fabricante de chips para computadoras, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamble semiautomática por otra completamente automatizada. Block a reunido algunos datos de pruebas preliminares acerca de la producción de chips por horas que se resumen en la tabla siguiente y desea saber si debe actualizar su línea de ensamble. Establezca (y pruebe con α = 0.02) las hipótesis apropiadas para ayudar a Block a tomar una decisión.

Tamaño de muestra producción promedio (por hora) Desviación estándar

Línea Semiautomática n1=150 x1 = 198 σ 1 = 32

Línea Automática n2=200 x 2 = 206 σ 2 = 29

18.- La tienda de Soriana está orgullosa del servicio que presta a sus clientes. La tienda espera que toda la cadena esté dando el mismo nivel de servicio de costa a costa, así que encuestaron algunos clientes. En el Sureste una muestra aleatoria de 97 clientes dio una calificación de la satisfacción global promedio de 8.8 sobre 10 puntos con desviación estándar de la muestra de 0.7. en el noreste, la muestra aleatoria de 84 clientes dio una calificación promedio de 9 y la desviación estándar de la muestra fue de 0.6 ¿Puede concluir Soriana con α = 0.05, que los niveles de satisfacción de los clientes en los dos mercados es significativamente diferentes? Agosto – Diciembre 2013




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6. Prueba de Hipótesis para la diferencia de Medias. σ12 y σ22 Desconocidas pero iguales Toma de Decisiones

Si se emplea la razón T como estadístico de prueba, la puntuación Tc calculada se compara con el valor crítico T α tomado de la tabla normal estándar. Ho: μ1= μ2 Ho: μ1 = μ2 Ho: μ1 = μ2 H1: μ1 ≠ μ2 H1: μ1 > μ2 H1: μ1 < μ2 Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si Tc ≥ tα /2,gl Tc ≥ tα,gl Tc ≤ - tα,gl Tc ≤ - tα /2,gl Tc

=

x 1 − x 2 2

s p n1

2

+

(n1 − 1) s1 2 + (n2 − 1) s2 2 s p = n1 + n2 − 2 2

s p

gl. n1+n2-2

n2

19.- Remítase a los resultados muestrales que se muestran a continuación para el contenido medio de nicotina de cigarrillos largos con filtro y sin filtro seleccionados al azar. Todas las mediciones están en miligramos y los datos son de la Federal Trade Commission. Utilize un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que los cigarrillos largos con filtro tienen una cantidad media más baja de nicotina que la cantidad media de nicotina en los cigarrillos largos sin filtro. Tamaño de muestra Perdida promedio de peso en libras Varianza muestral

Largos con Filtro n1=21 x1 = 0.94 s1 2 = 0.31

Largos sin Filtro n2=8 x 2 = 1.65 s2 2= 0.16

20.- El análisis de una muestra aleatoria formada por m= 20 especímenes de acero laminado en frío, para determinar su resistencia, dio por resultado una resistencia promedio muestral de x =29.8 ksi. Una segunda muestra aleatoria de n= 25 especímenes de acero galvanizado de dos lados mostró una resistencia promedio muestral de x = 34.7 ksi. Si se supone que las dos distribuciones de resistencia son normales con s1=4 y s2= 5 ¿los datos indican que las verdaderas resistencias promedio para los dos tipos son diferentes? Realiza una prueba a nivel de significancia de 0.01 21.- Se hicieron pruebas de resistencia a la tensión a dos tipos distintos de varilla para alambres producidos por la misma compañía y la resistencia promedio real para los dos tipos de varilla forman una distribución normal no hay diferencia en las varianzas, se obtuvieron los siguientes datos: Grado AISI 1064 Grado AISI 1078 Tamaño de muestra n1=129 N2=129 2 Promedio kg/mm x1 = 107.6 x 2 = 123.6 Varianza muestral s1 2 = 1.3 S2 2= 2.0 ¿Los datos indican que hay evidencia suficiente para llegar a la conclusión de que la resistencia promedio real del grado 1078 es mayor que la del grado 1064 en más de 10kg/mm2? Con un nivel de significancia de 0.02 Agosto – Diciembre 2013




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7. Prueba de Hipótesis para la Diferencia de Medias. σ12 y σ22desconocidas pero diferentes. Toma de Decisiones

Si se emplea la razón T como estadístico de prueba, la puntuación Tc calculada se compara con el valor crítico T α tomado de la tabla normal estándar. Ho: μ1- μ2= 0 Ho: μ1- μ2= 0 Ho: μ1- μ2= 0 H1: μ1- μ2≠ 0 H1: μ1- μ2 > 0 H1: μ1- μ2< 0 Rechazar Ho si Rechazar Ho si Rechazar Ho si Tc ≥ tα /2,gl , Tc ≤ - tα /2,gl Tc ≥ tα,gl Tc ≤ - tα,gl

Tc

=

x 1 − x 2 s12 n1

+

gl. =

s 22

 s12   n1

(s12

n1 − 1

n2

2

+

2

n1 )

s2 

+

2



n2 

(s22 n2

2

n2 ) −

1

Por ejemplo. 22.- Una organización de investigación de mercados seleccionan varios modelos de automóviles cada año y evalúa su eficiencia en el consumo de combustible. Este año, en el análisis de dos modelos subcompactos similares de dos fabricantes distintos, el millaje promedio de 12 autos de la marca A fue 27.2 millas por galón y la desviación estándar fue de 3.8mpg. los 9 autos de la marca B que se probaron promediaron 32.1 mpg, con desviación estándar de 4.3 mpg, con un nivel de significancia de 0.01, ¿puede concluir que la marca A da un millaje promedio menor que la marca B? 23.- Se aplica un examen estándar a dos muestras aleatorias de estudiantes universitarios de primer año. Una muestra está formada exclusivamente por estudiantes hombres y la otra, independiente de la primera, contiene estudiantes mujeres. Se proporcionan los siguientes datos: Hombres Mujeres Tamaño de muestra n1=72 n2=36 Puntuación muestral promedio x1 = 80 x2 = 84 2 Varianza s1 = 64 s2 2= 40 Para α = 0.01. ¿Proporciona los datos anteriores suficiente evidencia para indicar una diferencia en las puntuaciones de prueba de los estudiantes universitarios de primer año hombres y mujeres? 24.- El deterioro de muchas redes de tubería municipal en todo el país es un asunto que preocupa cada vez más. Una de la tecnologías propuestas para la rehabilitación de las tuberías consiste en usar un forro flexible alrededor del tubo existente. El artículo “Effect of Welding on a High- Density Polyethylene Liner” (J.of Materials in Civil Engr.,1996,pp 94-100) informa los datos siguientes de Resistencia a la tensión, en psi, de especímenes de forro, tanto en el caso en que cierto proceso de fusión se usa, como cuando no se usa. Sin fusión n1=10 x1 = 2912.8

Con Fusión n2=8 x2 = 3108.1

Tamaño de muestra Resistencia promedio a la tensión de los especímenes Varianza s12= 277.3 s2 2= 205.9 Los autores del artículo afirman que el proceso de fusión aumenta la resistencia promedio a la tensión. Haga una prueba de hipótesis para ver si los datos respaldan esta conclusión.




1_ Prueba de Hipótesis prop y medias

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