Lineas Cortas Medias y Largas

Líneas Cortas, Medias y Largas

FUNCIONAMIENTO FUNCIONAMIEN TO DINAMICO DE LÍNEAS Introducción El objetivo de este este capítulo es definir los modelos básicos de líneas líneas en base a los cuales es posible calcular las tensiones, corrientes, y potencias en distintos puntos de un sistema interconectado a partir de valores conocidos en otros puntos. Con Con tal tal fina finali lida dad d y pens pensan ando do excl exclus usiv ivam amen ente te en las las líne líneas as,, hare haremo mos s una una clasificacin de acuerdo a la longitud de las mismas y formularemos las ecuaciones !ue definen los modelos mencionados.

Representación de las líneas de transisión "ormalmente las líneas funcionan con cargas e!uilibradas y aun!ue no est#n dise dise$a $ada das s sim# sim#tr tric icam amen ente te o no teng tengan an tras traspo posi sici cion ones es,, se pued pueden en cons consid ider erar ar e!uilibradas y por ende supondremos las fases e!uilibradas.


-ebemos reiterar !ue ese conductor si bien nos permite estudiar el sistema, en realidad no conduce corriente y por ende no se lo instala. -e los cuatro parámetros de líneas estudiados /, L, C, 01, la conductancia 0 normalmente no se la toma en cuenta en los estudios dinámicos normales, en los !ue interesa calcular niveles de tensin, corrientes y potencias. 2or lo tanto al sistema elemental representado en la %ig.* deberíamos agregarle la capacidad.

Clasi!icación de las líneas se"#n su lon"itud Las líneas de transmisin de energía !ue funcionan en 34 o 54 ( se pueden clasificar en funcin de su longitud, en cortas$ edias o lar"as% Las primeras son a!uellas de hasta 64 7m de longitud+ las segundas están comprendidas entre 64 y *84 7m y las largas son de más de *84 7m. La clasificacin se hace a los efectos de definir el modelo !ue la representará. Las líneas cortas se representan con un modelo /9L, las medias mediante un modelo /9L9C con parámetros concentrados y las largas con un modelo /9L9C con parámetros distribuidos. Como veremos posteriormente, esta clasificacin en líneas cortas, medias o largas está condicionada a la frecuencia a !ue trabaje.

Líneas cortas El modelo de estas líneas, tal como se dijo en el párrafo anterior estará representado por una impedancia serie /9L como podemos observar en la %ig.: .


El ángulo δ entre las tensiones en los extremos transmisor y receptor es lo !ue se conoce como ángulo de potencia y su valor nos da una idea de la potencia !ue se está transmitiendo.

Líneas edias El modelo representativo de las líneas medias es el representado en la %ig. 8

Las ecuaciones !ue resuelven este modelo son las siguientes;

=s = =r + 
@
+

@ =s ⋅ *

@ 1⋅ ' *

:1

El diagrama vectorial correspondiente a este modelo es el siguiente;


-ebemos aclarar !ue la integracin !ue haremos será en funcin de la distancia al punto de referencia !ue será el extremo receptor, y no consideraremos la variable tiempo. Consideremos el modelo representado en la %ig. 3

La %ig. 3 nos muestra un elemento diferencial de línea en el !ue debemos suponer !ue existen parámetros diferenciales de resistencia, capacidad e inductancia. La capacidad diferencial estará en paralelo y el conjunto r + jl estará en serie. En principio despreciamos la conductancia paralelo no obstante en otro tipo de estudios debería ser considerada. D partir de lo antedicho, podemos plantear las siguientes ecuaciones; d= = <⋅  d= = < ⋅  ⋅ dx ⇒ dx 81


1 = = D ⋅ e γ .x -onde; x es la longitud de la línea desde el extremo receptor ver fig.31 -erivando dos veces esta expresin resulta; d= = D ⋅ γ ⋅ e γ .x dx d* = *

61

= D ⋅ γ * ⋅ e γ .x

dx
F1

∴ γ = ±  ⋅ y La solucin general !ue nos permite obtener la tensin a lo largo de la línea será; = = D&⋅ e γ .x + D * ⋅ e − γ .x = = D&⋅ e

.y

+ D * ⋅ e

−

.y

&41


/eemplaando los valores de D& y D* obtenidos en las ecuaciones &41 y &&1, obtenemos las soluciones finales de = e < en funcin de x+ es decir los valores de tensin y corriente en cada punto de la línea. ==

<=

+

&81

=eamos a continuacin cual es la interpretacin de las ecuaciones &81 γ = α + j ⋅ β ⇒ Es un complejo donde la parte real se la conoce como constante de atenuacin y la parte imaginaria se la conoce como constante de fase. '4 ⇒ Es la impedancia característica de la línea y es un nHmero complejo /eemplaando la constante de propagacin I por sus partes reales e imaginaria resultan las siguientes ecuaciones; ==

<

=/ =/ '4

+

+

+

=/

−

−
⋅ e− α x ⋅ e− jβ x

−αx

− jβ x

&31


==

<=

=/ =/ '4

+

+

*

=

* ⋅ =/ γ x e *

=/ eγ x

=

&51

⋅ eγ x =

* ⋅
=

Bbservando las expresiones &51 podemos concluir !ue la tensin y la corriente en cual!uier punto de la línea mantienen el mismo defasaje !ue =r e
η=

/ )


Conjugado de
=  = <)

=

Conjugado de <)

Cuando 'L  '4 y a partir de las expresiones &51 obtendremos; =s = =/ ⋅ e γ ⋅ x Nambi#n

=/

=

=

⋅ e− γ ⋅ x

&1


La expresin anterior nos muestra !ue en este caso el rendimiento no es & como en el caso de la línea ideal, pero su valor será el máximo y depende de la longitud de la línea y de la constante de atenuacin R. )i la longitud de la línea real tiende a infinito el rendimiento tiende a cero.

η=

limx →

∞

e− *⋅ α ⋅ x

=

4

2ara líneas reales, se puede demostrar !ue la constante de amortiguacin R en funcin de la frecuencia varía dentro de los siguientes límites; 2ara frecuencias tendiendo a cero resulta; α min = r ⋅ g ver Dnexo &1 2ara frecuencias tendiendo a infinito;

α max = *r ⋅

C L

+ g* ⋅

L C

En consecuencia el rendimiento, para líneas de transmisin de energía donde ω → 4 f = 34(1 , !ueda definido por la constante de amortiguacin α → α min . La consideracin de ω=4 para f34( surge de observar el gráfico de α = f  ω 1 inserto en el anexo. 2or lo tanto;

η=

e

*⋅ r ⋅ g ⋅ x

Ejemplo; )upongamos una línea de &:* 7= real , !ue está transmitiendo la potencia natural,

Ω

(

)

Ω −&


D su ve la velocidad de propagacin valdrá; =p =

λ

= λ ⋅ f =

&

N L⋅ C =emos !ue la velocidad de propagacin en una línea ideal depende de producto L ⋅ C . En líneas reales dependerá tambi#n de la constante diel#ctrica del medio !ue rodea al conductor. En líneas de transmisin de energía el producto L ⋅ C es prácticamente una constante e independiente del nivel de tensin. )e asume !ue en líneas de  7m    transmisin la =p es prácticamente la velocidad de la l u  :44 444 seg   2or lo tanto para la frecuencia usual en gran parte de Europa y en Drgentina f = 34 ( , la longitud de onda valdrá; 7m :44 444 seg λ = =p = = 5 444 7m & f 34 seg 2or lo tanto cuando hablamos de líneas largas, nos estamos refiriendo indirectamente a una longitud en Wm !ue guarda una relacin con la longitud de onda para dicha frecuencia. En otras palabras, para hablar de líneas cortas o largas debemos hacer referencia a la frecuencia a la !ue operará dicha línea. -e acuerdo a la clasificacin de las líneas segHn su longitud, vimos !ue para


2ara encontrar la tensin y la corriente en el extremo generador hacemos x  l, siendo l la longitud de la línea. Nambi#n podemos encontrar las tensiones y corrientes en el extremo receptor a partir de las siguientes expresiones; =r = =s.Chγ l −
=s ⋅ )hγ l 'o

&F1

Las expresiones &F1 son las fundamentales de una línea, en las !ue las tensiones son las de fase y las corrientes son las de línea 2ara un sistema e!uilibrado1. Las funciones hiperblicas &F1 son las correspondientes a variables complejas y para su determinacin puede recurrirse a desarrollos en serie o aplicando propiedades de las funciones hiperblicas tal como se indica a continuacin; Chθ )hθ Chα

= &+ =θ+

θ* *X

θ: :X

+ +

θ8 8X

θ3 3X

+ +

θ5 5X

θ EX

+ ........ + .........

+ jβ l1 = Chα l ⋅ cos β l + j)hα l ⋅ senβ l )hα l + jβ l1 = )hα l ⋅ cos β l + jChα l ⋅ senβ l


2artiremos de las ecuaciones de los cuadripolos a partir de los parámetros ' e @, aplicados al cuadripolo de la %ig. 5. =s = 

'Y⋅ @Y + &1 ⋅ =r + 'Y⋅
*41

Comparando la expresin *41 con la &61, podemos observar !ue los coeficientes de =r e
γ  ⋅ )hγ l =  ⋅ l ⋅ )h l y y ⋅ l

=

'⋅

)hγ l γ l

*&1

' = ⋅ l

)h γ l γ l es el factor de correccin por el cual hay !ue multiplicar a ' del cuadripolo nominal1 para obtener el 'Z del cuadripolo e!uivalente. 2ara líneas de mediana longitud, el factor de correccin tiende a la unidad, lo cual demostraría !ue para este tipo de líneas es indistinto usar el cuadripolo nominal o el e!uivalente. 2ara determinar los factores de correccin de los ramales en paralelo, igualaremos La expresin de 'Z nos muestra !ue el factor


La expresin de

@Y nos muestra !ue el factor *

Nh

λl

λl

*

es el factor por el cual hay !ue

* @ @Y para obtener del cuadripolo e!uivalente. * * -e igual forma !ue en el ramal serie, este factor tiende a la unidad cuando se trata de líneas de mediana longitud. multiplicar a

Ipedancia de entrada de líneas -ividiendo miembro a miembro las expresiones &61 de =x e
'i =

=r ⋅ 'o ⋅ Ch γ x +
-ividiendo numerador y denominador de la *31 por

Estas líneas, por su longitud no son utiliadas en la transmisin de energía el#ctrica, no obstante las estudiaremos para entender algunos fenmenos conocidos para los estudiosos de las líneas de transmisin de datos. En primer t#rmino analiaremos el caso de las líneas sin p#rdidas, para las cuales se supone !ue g  4 y r  4 Dnaliaremos puntualmente el comportamiento de la impedancia de entrada para las condiciones de vacío y corto. /ecordando !ue

γ = α + jβ =  ⋅ y = r + jx1 ⋅ g + jb1 )i − r = 4 − y − g = 4 − resulta ; γ = jω L ⋅ jω C = jω ⋅ L ⋅ C = jβ

*F1

Ddemás si la línea tiene una longitud de [ de longitud de onda, es decir; l=

λ 8

=

& *π ⋅ 8 β

=

& 8

*π

ω⋅

L⋅ C

:41

Luego Il en este caso particular valdrá; &

*

π

π


)i realiáramos un análisis semejante al anterior para líneas de media longitud de onda, se demostraría fácilmente !ue en este caso se replica como impedancia de entrada la impedancia de carga es decir en vacío veríamos una impedancia de entrada infinita y en corto una impedancia de entrada nula.


Ane-o . Dnálisis del valor de la constante de propagacin I para líneas reales En este caso;

γ =

⋅ y

=

r ≠ 4 − g ≠ 4

r + jx1 ⋅ g + jb1

= α + jβ = Llamando a = rg − xb y b = rb + xg ∴ γ = a + jb

rg − xb1 + jrb + xg1

2ara resolver la raí del complejo  = a + jb = ρ ⋅ cos α + jsenα 1 * * −& b -onde; ρ = a + b ⋅ y ⋅ α = Ng a cos

α = *

4.3& + cos α 1 sen

α = *

4.3& − cos α 1

 α α = ρ ⋅ cos + jsen 1 = ρ ⋅  & ⋅ & + cos α 1 + j & & − * * *  * ρ + ρ⋅ ρ − ρ⋅ Bperando resulta ;  = cos α + j cos α

∴



*

*

*

*



cos α 1 




En igual forma si hacemos; ω → ∞ , operando con las expresiones anteriores α * = &  r * ⋅ g* + x * ⋅ g* + b* ⋅ r * + x* ⋅ b* + ( rg − xb)   * %actoreando por grupos;

*

α =



&  *

ω

8 *

LC



*

 * *  r *g*  *  rg g r  ⋅  8 * * + * * + * * + &  + ω LC ⋅  * − &   ω LC    ω L C ω C ω L 

%actoreando nuevamente;

*

α =

& * ω LC ⋅ *

  

 *   *   r g rg    & + * *  ⋅  & + * *  +  * − &   ω L   ω C   ω LC       

D continuacin desarrollaremos en series de "eTton los dos factores !ue están debajo de la raí de la Hltima expresin y tomaremos los dos primeros t#rminos por cuanto el segundo ya resulta muy pe!ue$o comparado con el primero. & & ⋅ n ⋅ n − &1 ⋅ n − *1 ⋅ an− : ⋅ b: + ............ a + b1n = an + n ⋅ an− & ⋅ b + n ⋅ n − &1 ⋅ an − * ⋅ b* + *X :X


& ω LC ⋅   g + r   = r LC *  ω C ω L  * L -onde ;

∴α =

+

g LC * C

=

r C * L

+

g L * C

= α max = α C + α d

α C = Dmortiguamiento debido a las p#rdidas en los conductores α d = Dmortiguamiento debido a las p#rdidas en el diel#ctrico !ue separa a los conductores. En síntesis, la constante de amortiguamiento se mueve entre los límites !ue indica el siguiente gráfico.


/r0!icos de 1udru!! 2 Seno

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/r0!icos de 1udru!! 2 Tan"ente

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Lineas Cortas Medias y Largas

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