MATRICES DEFINICIÓN, OPERACIONES Y APLICACIONES
Caso: Tienda Coolbox El administrador de una tienda Coolbox sabe que, en esta semana la tienda I vendió 88 alar larmas, 48 USB, 16 lap laptops y 12 reproductores MP3. La tienda II vendió 100 alarmas, 70 USB, 20 laptops y 50 reproductores MP3. La tienda III III vendió 60 alar larmas mas, 40 USB, ning inguna lap laptop y 35 reproduct ducto ores MP3. a) ¿Se podrá usar algún arreglo de números para expresar la información sobre las las ventas de las las tres tiendas? b) Durante la siguiente semana, las ventas en la tienda I se incrementaron 25%; las ventas en la tienda II se incrementaron en 10% y las ventas en la tienda III se incrementaron 5%. ¿Cómo expresaría algún arreglo de núme nú mero ross de vent ventas as para para esa esa sema semana na? ?
¿Cómo determinar la posición de su compañero en el aula? ¿Qué es una fila? ¿Qué es una columna? ¿Qué entiendes por matriz? ¿Qué operaciones se pueden realizar con matrices?
LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios y problemas de contexto real relacionados a la gestión empresarial haciendo uso de la teoría de matrices, de forma correcta.
SABERES PREVIOS (PRE REQUISITOS)
Números reales Operaciones con números reales Operaciones algebraicas, factorización, productos notables Resolver ecuaciones
CONTENIDO DE LA SESIÓN
Matrices Matrices especiales Operaciones con matrices Determinante de una matriz Propiedades de determinante Aplicaciones
MATRICES: TIPOS Y OPERACIONES
MATRIZ
Se llama matriz de orden m x n a todo arreglo rectangular de elementos aij distribuidos en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas). Columna 1
Columna 2
Columna 3
1 2 3 A 4 5 6
Fila1
Fila 2
Orden de la matriz = N filas x N columnas °
°
Orden de la matriz = 2 x 3 La matriz tiene 6 elementos
MATRIZ Notación: Se denota como A = (aij), con i =1, 2, ..., m,
j =1, 2, ..., n.
Los aij indican la posición del elemento dentro de la matriz, el (i) denota la fila y ( j) la columna.
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13
a33
a23
Ejemplos: a32
Es el elemento de la 3ra fila y de la 2da columna.
a13
Es el elemento de la 1ra fila y de la 3ra columna.
MATRICES ESPECIALES
Matrices iguales
La matriz A es igual a la matriz B, cuando tienen el mismo orden y los
Matriz Nula
Es aquella matriz de orden m x n cuyos elementos son todos ceros.
elementos que ocupan el mismo lugar (elementos homólogos)
son
iguales . Es decir, A = (aij) = B = (bij) si y sólo si aij = bij para todo i, j.
1 1 22 2 1 2 3 0 6 0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
MATRICES ESPECIALES MATRIZ FILA Es una matriz de orden 1 x n.
A a11 a12 a13 .... a1n
MATRIZ CUADRADA Es aquella cuyo número de filas es igual al número de columnas. ¿Cuál es orden de una matriz cuadrada?
MATRIZ COLUMNA Es una matriz de orden m x 1.
a11 a 21 A .... a 1 m
Diagonal Principal 3 2 4 A 1 0 0 2 3 1
MATRICES ESPECIALES MATRIZ DIAGONAL
MATRIZ ESCALAR
= , ∀ ≠
= , ∀ ≠
3 0 0 C 0 1 0 0 0 2
3 0 0 C 0 3 0 0 0 3
MATRIZ TRANSPUESTA
MATRIZ IDENTIDAD Es la matriz In se define
aij =
1
si
i= j
0
si
i j
1 0 I3 = 0
0 1 0
0
1 0
La
matriz
traspuesta
se
obtiene
cambiando las filas por las columnas. Es decir, si = entonces = . 2 −1 2 1 3 = 1 0 ⇒ = −1 0 4 3 4
MATRICES ESPECIALES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Si a i j = 0 para i > j
Si a i j = 0 para i < j
3 2 4 A 0 1 0 0 0 2
MATRIZ SIMÉTRICA Matriz cuadrada que cumple A = At 1 4 5 A 4 7 12 5 12 2
3 0 0 B 2 1 0 1 0 2
MATRIZ ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que cumple A = - At y los elementos de su diagonal principal son todos ceros.
0 3 6 A 3 0 2 6 2 0
OPERACIONES CON MATRICES
ADICIÓN
C A B c a b para todo ij ij ij ij
Si A =(aij), y B =(bij) son matrices de orden m x n, entonces la suma A+B es también una matriz de orden m x n que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y B, esto es, A + B = (aij + bij).
Para sumar las matrices A y B deben ser del mismo orden, es decir , de tamaños iguales.
Ejemplo:
2 1 0 A 1 4 2
4 3 2 2 B 3 2
2 4 1 2 AB 7 0
OPERACIONES CON MATRICES MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea A = (a ij) de orden m x n y ≠ 0 un escalar. El producto es la matriz C = (k cij) de orden m x n. Ejemplo: Encuentre la matriz donde = 6 ⋅ 2 = 0 −4
4 9 5
7 −1 3
12 = 6. = 0 −24
24 54 30
42 −6 18
OPERACIONES CON MATRICES MULTIPLICACIÓN Sea A = (a ij) de orden m x n y B = (bij) de orden n x p. ¿Cuándo se puede multiplicar dos matrices? Orden de A
Orden de B
mxn
n x p
igual entonces el orden de A.B es m x p El producto AB es la matriz C = (cij) de orden m x p, tal que: c ij = ai 1b 1 j + ai 2b 2 j
+ … + ain b nj
OPERACIONES CON MATRICES MULTIPLICACIÓN Ejemplo: Si
A
2 1 4 5 3 0
3 2 1 0 y B 2 3 5 9 ; calcular AB. 4 7 2 1
Solución:
3 2 1 0 2 1 4 A 2x3B3x4 . 2 3 5 9 5 3 0 4 7 2 1
C11 =
2(3) + (1)(2)+4(4) = -8
C21 = 5(3)
C12 =
2(2) + (1)(3) + 4(7) =
C22 =
C13 =
C23 =
C14 =
C24 =
+ (3)(2) + (4) =
5(2) + (3)(3) + 0(7) =
5(0) + (3)(9) + 0(1) = 27
OPERACIONES CON MATRICES PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Si todas las sumas y productos están definidas: 1. A (BC) = (AB) C asociativa 2. A (B+C) = AB + AC distributiva 3. (A+B) C = AC + BC distributiva 4. A.I = A = I.A Nota: La multiplicación de matrices por lo general no es conmutativa.
OPERACIONES CON MATRICES POTENCIACIÓN Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la késima potencia de A denotada Ak , es el producto de k factores de A. Ak = A.A.A . . ….. A K factores
1 0 3 Ejemplo: Si A , calcular A 1 2 Solución: A
2
1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 3 4
A 3 A 2 A
1 0 1 2
APLICACIÓN Una fábrica de muebles hace mesas, sillas , y armarios, y cada uno de ellos en tres modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes produce:
Mesas Sillas Armarios
E
N
L
50 200 40
40
100 20
150 30
30
Calcule la matriz que da la producción de un año.
Solución: 50 P ... * 200 40
40 150 30
100 20 30
SOLUCIÓN AL CASO: Tienda Coolbox Solución: a) Si, la matriz de venta de esta semana es:
88 48 16 12 A 10 70 20 50 60 40 0 35
b) Luego la matriz de venta de la siguiente semana es:
88 48 16 12 A 10 70 20 50 60 40 0 35
25% 10% 5%
B
SOLUCIÓN AL CASO: Tienda Coolbox Solución b) Entonces la matriz que representa las ventas totales de las dos semanas es:
88 48 16 12 A B 10 70 20 50 60 40 0 35
A + B =
+
METACOGNICIÓN
✓ ¿Qué tipos de matrices existen? ✓ ¿Cómo aprendieron la teoría de matrices? ✓ ¿Qué dificultades tuvieron para aprender
este tema? ✓ ¿Qué aplicaciones de matrices encuentras
en la vida cotidiana? ✓ ¿Qué he aprendido en esta sesión?
CONCLUSIONES
Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas). El orden de una matriz es = N filas x °
N columnas °
Matrices especiales
Matrices fila Matriz columna Matriz nula Matriz cuadrada Matriz diagonal Matriz escalar Matriz Identidad Matriz simétrica Matriz antisimétrica Matrices triangulares
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Ayres Frank. Matrices: Teoría y Problemas. Código 512.9434 AYRE 2. STEWART, James, REDLIN, Lothar y WATSON, Saleem. Precálculo, Matemáticas para el cálculo, 6ª edición. México D.F. 2012. 3. Grossman Stanley. Álgebra Lineal con Aplicaciones. Código 512.5 GROS.
