TALLER DE APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
1. Una solución salina salina entra a una razón razón constante de8 de8 litros/minuto en un tanque de gran gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución solución que entra al tanque es de 0.05 kg/ litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en en el tanque a0.02 kg / litro? 2. Una solución salina entra a una razón constante de4 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón de 3 litros/minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.2 kg/litro, determine la masa de sal en el tan-que después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.1 kg/litro?
3. Una alberca cuyo volumen es de 10,000 galones contiene agua con cloro al 0.01%. A partir del instante t = 0, se bombea agua del servicio público con cloro al 0.001% hacia la alberca, a razón de 5 galones/minuto. El agua sale de la alberca con la misma razón. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca después de 1 hora? ¿En qué momento el agua de la alberca tendrá 0.002% de cloro? 4. El aire de una pequeña habitación de 12 por 8 por 8pies tiene 3% de monóxido de carbono. A partir de t = 0, se introduce aire fresco sin monóxido de carbono en la habitación, a razón de 100 pies cúbicos/minuto. Si el aire de la habitación sale por una ventilación la misma razón, ¿en qué momento tendrá el aire de la habitación 0.01% de monóxido de carbono? 5. Desde el instante t =0 se bombea agua fresca a razón de 3 galones/minuto en un tanque de 60 galones lleno con una solución salina. La mezcla resultante se desborda con la misma razón en un segundo tanque de 60 galones que inicialmente contenía sólo agua pura, y de ahí se derrama al piso. Suponiendo una mezcla perfecta en ambos tanques, ¿en qué momento será más salada el agua del segundo tanque? ¿Y qué tan salada estará, comparada con la solución original? 6. Si en un principio se tienen 50 g de una sustancia radiactiva y después de 3 días sólo restan 10 g, ¿qué porcentaje de la cantidad original quedará después de 4 días? 7. Si en un principio se tienen 300 g de una sustancia radiactiva y después de 5 años restan 200 g, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que sólo queden 10 g? 8. Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fósil. Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo sea igual a la edad de la hoguer hoguera. a. Se ha deter determinad minado o que sólo queda 2% dela d ela ca cant ntid idad ad or orig igin inal al de carbono 14 en los restos de madera en la hoguera. Estime la edad del cráneo, si la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años 9. Un vino tinto se saca de la cava, donde estaba a 10°Cy se deja respirar en un cuarto con temperatura de23°C. Si se necesitan 10 minutos para que el vino llegue a los 15°C, ¿en qué momento llegará la temperatura del vino a los 18°C?
10. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llegó a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34.5 °C. Luego salió a comer. Al regresar, a la 1:00 pm, halló que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? [ Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37°C]. 11. Un objeto de 400 libras se libera desde el reposo a500 pies sobre el suelo y se le permite caer bajo la influencia de la gravedad. Suponiendo que la fuerza en libras debida a la resistencia del aire es -10v, donde v es la velocidad del objeto en pies/s,
determine la ecuación de movimiento del objeto. ¿En qué momento tocará el objeto al suelo? 12. Cuando un objeto se desliza en una super ficie, encuentra una fuerza de resistencia llamada fricción.
Esta fuerza tiene magnitud µN , donde µ es el coeficiente de fricción cinética y N es la magnitud de la fuerza normal aplicada por la superficie al objeto. Suponga que un objeto de masa 30 kg se libera desde la parte superior de un plano inclinado 30°con la horizontal. Suponga que la fuerza gravitacional es constante, que la resistencia del airees despreciable y que el coeficiente de fricción cinética es µ = 0.2. Determine la ecuación de movimiento para el objeto conforme se desliza en el plano. Si la superficie superior del plano tiene una longitud de 5 m, ¿cuál es la velocidad del objeto al llegar al fondo?
13. Un circuito RL con una resistencia de 5 Ω y un inductor de 0.05 H tiene una corriente
de 1A en t =0, cuando se aplica una fuente de voltaje E(t)=5 cos120t V. Determine la corriente y el voltaje subsecuentes en el inductor. 14. Un circuito RC con una resistencia de 1Ωy un condensador de 0.000001 F tiene un
voltaje E(t)=sen100t V. Si el voltaje inicial en el condensador es nulo, determine el voltaje en la resistencia, el voltaje en el inductor y la corriente subsecuentes. 15. La trayectoria de una señal eléctrica binaria entre compuertas en un circuito integrado
se puede modelar como un circuito RC, la fuente de voltaje modela la compuerta de transmisión y el condensador modela la compuerta de recepción. Por lo general, la resistencia es 100 Ω y la capacitancia es muy pequeña, digamos 10 -12 F (1picofaradio, pF). Si el condensador no tiene carga inicialmente y la compuerta de transmisión cambia de manera instantánea de 0 a 5 V, ¿cuánto tiempo tarda el voltaje en la compuerta de recepción en alcanzar (digamos) 3 V? (Éste es el tiempo necesario para transmitir un “1” lógico).
