Ciencia…Ahora, nº 22, año 11, septiembre 2008 - marzo 2009
TEOREMA DE STEINER Patricio Salgado A Departamento de Física, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Concepción.
Introducción A petición expresa del del director de la revista, el profesor Patricio Salgado decidió escribir la demostración del teorema de Steiner, que en apariencia es muy sencillo, pero que tiene dos partes en su demostración que algunos textos no explican, al parecer dando por entendido que el lector aprendiz debiera saber y que lo pudiera aplicar en forma inmediata. En la demostración que ustedes verán, creo que todos los alumnos que se encuentren estudiando esta materia, la comprenderán fácilmente.
Teorema El momento de inercia de un cuerpo respecto a cualquier eje es igual a su momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masa y paralelo al anterior, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes.
Demostración: El momento de inercia para un sistema de n partículas con respecto de un eje de giro es n
I =∑ r i mi 2
i =1
Si el cuerpo es tal que su masa está distribuida en forma continua, subdividimos su masa en elementos infinitesimales dm ubicados a una distancia r del eje de rotación. Esto significa que el momento de inercia esta dado por:
I = ∫ r dm 2
En el diagrama que se presenta a continuación, se da a conocer la ubicación del elemento de masa dm, su ubicación relativa a los ejes ( ubicados en el centro de masa y en P, respectivamente). respectivament e). El lector se da cuenta de forma inmediata que la separación entre los ejes es constante; en este caso simbolizado con la letra a.
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La figura representa un cuerpo continuo ubicado en el plano de la hoja, donde el eje z pasa por el centro de masa del cuerpo. Esto significa que las coordenadas del centro de masa son dadas por: X CM
=
0 ,
Y CM
=
0,
Z CM
=
0
=
0
Las coordenadas del elemento de masa dm son: x
=
R cos θ ;
y
=
Rsenθ ;
z
Las coordenadas del punto P son: x = a; y
=
0;
z
=
0
Por P pasa otro eje de giro perpendicular a la hoja y paralelo al eje z. El trazo CP = momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z que pasa por el centro de masa es:
I CM
=
∫ R
2
a.
El
dm
El momento de inercia del cuerpo con respecto de un eje que pasa por P y que es paralelo al eje z del centro de masa, es:
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I P
=
∫ r dm 2
De la figura y aplicando el teorema del coseno para un triángulo, que relaciona las dimensiones de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos, se obtiene: 2
2
2
θ
r = R + a - 2 a Rcos
2
2
= R + a -2ax
x De manera que :
∫ r dm = ∫ ( R + a − 2ax)dm = ∫ R dm + ∫ a dm − 2 ∫ axdm
I p
=
2
2
2
I p
2
2
Dado que a= constante, tenemos: I p
=
∫ R
2
∫
∫
∫
∫
dm + a 2 dm − 2a xdm = I CM + a 2 dm − 2a xdm
Por otro lado sabemos que por definición de coordenada del centro de masa:
X CM
xdm ∫ = , M
donde
M = ∫ dm
De manera que
∫ xdm = MX
CM
Y puesto que hemos dicho que el centro de masa tiene coordenada
X CM
=
0
Tenemos
∫ xdm = 0 De manera que I P
=
I C . M
Lo cual prueba el teorema.
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+
a 2 M
