Unidad 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 8) Unidad 1
Por dato, +p & q es falso, entonces:
9.
+p &
Luego: I. (p / q) F F F
Razonamiento y demostración
I. (4 + 3 = 7) / (2 + 5 = 8) V
F
/
F
/
II. (p F
II. (3 + 2 1 5) 0 (2 + 4 1 8) F V / V 0
(p & aq) 0 (ar & s) / F F F p & aq / F ar & s / F V F V F aq / F ar / V q = V r = F "
"
F
Clave C
p
q (p ϕ
V V F F
V F V F
q) ϕ (q ϕ
V V F V
V V F V
V F V F
V V V F
+p)
F F V V Clave A
Nivel 2 (página 9) Unidad 1
"
Comunicación matemática 11.
I. Colombia es un país sudamericano. Es una proposición lógica.
12. Clave A
Resolución de problemas
p
q
"
Los valores de verdad de p, q, r y s respectivamente son: VVFF Piden los de r, q y p: FVV
6.
&
10.
Clave D
"
F q) F F
Los valores de verdad serán: FVF
"
&
p F F
0
V
III. (3 + 4 = 7) & (3 + 4 = 8) V F / F &
5.
.
V F (p = F)
1. 2. 3.
4.
q / F
.
Comunicación matemática
q (p
0
+q) &
(p
/
II. 13 es un número primo. Es una proposición lógica.
q)
III. ¿Cómo llegaste? (Es una pregunta) No es una proposición lógica. ` Son proposiciones lógicas I y II.
V V V V F V V V V V F V V V F V
F F
F V F F F V F F V F
F
F
V
V
F
F
F
Clave B
F
Razonamiento y demostración
I. (3 + 7 # 10)
13.
En la matriz principal existen combinaciones de V y F, entonces el esquema es contingente.
V
& (4 # 0 = 4)
F
&
/
F
Clave B
Se tiene que p = V y q = F, entonces: I. +p 0 q F F F II. +q + +p V F F III. q & p F V V
7.
p: 6 es un número par. I. p 0 +p V 0 F V II. +p / p F /V F
8.
2
Intelectum 2.°
II. (12 + 5 1 15) 0 (5 2 -10) F V / V 0 III. (7 # 1 = 7) / (12 $ 9 + 3) V V / V / ` Son verdaderos II y III. Clave B
14. Clave D
p
q (∼p
/
q)
+
(p
0
∼q)
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
V
` Clave A
El número de valores falsos en la matriz principal es 4. Clave D
Unidad 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 8) Unidad 1
Por dato, +p & q es falso, entonces:
9.
+p &
Luego: I. (p / q) F F F
Razonamiento y demostración
I. (4 + 3 = 7) / (2 + 5 = 8) V
F
/
F
/
II. (p F
II. (3 + 2 1 5) 0 (2 + 4 1 8) F V / V 0
(p & aq) 0 (ar & s) / F F F p & aq / F ar & s / F V F V F aq / F ar / V q = V r = F "
"
F
Clave C
p
q (p ϕ
V V F F
V F V F
q) ϕ (q ϕ
V V F V
V V F V
V F V F
V V V F
+p)
F F V V Clave A
Nivel 2 (página 9) Unidad 1
"
Comunicación matemática 11.
I. Colombia es un país sudamericano. Es una proposición lógica.
12. Clave A
Resolución de problemas
p
q
"
Los valores de verdad de p, q, r y s respectivamente son: VVFF Piden los de r, q y p: FVV
6.
&
10.
Clave D
"
F q) F F
Los valores de verdad serán: FVF
"
&
p F F
0
V
III. (3 + 4 = 7) & (3 + 4 = 8) V F / F &
5.
.
V F (p = F)
1. 2. 3.
4.
q / F
.
Comunicación matemática
q (p
0
+q) &
(p
/
II. 13 es un número primo. Es una proposición lógica.
q)
III. ¿Cómo llegaste? (Es una pregunta) No es una proposición lógica. ` Son proposiciones lógicas I y II.
V V V V F V V V V V F V V V F V
F F
F V F F F V F F V F
F
F
V
V
F
F
F
Clave B
F
Razonamiento y demostración
I. (3 + 7 # 10)
13.
En la matriz principal existen combinaciones de V y F, entonces el esquema es contingente.
V
& (4 # 0 = 4)
F
&
/
F
Clave B
Se tiene que p = V y q = F, entonces: I. +p 0 q F F F II. +q + +p V F F III. q & p F V V
7.
p: 6 es un número par. I. p 0 +p V 0 F V II. +p / p F /V F
8.
2
Intelectum 2.°
II. (12 + 5 1 15) 0 (5 2 -10) F V / V 0 III. (7 # 1 = 7) / (12 $ 9 + 3) V V / V / ` Son verdaderos II y III. Clave B
14. Clave D
p
q (∼p
/
q)
+
(p
0
∼q)
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
V
` Clave A
El número de valores falsos en la matriz principal es 4. Clave D
19.
Resolución de problemas 15.
p
q (+p
0
q)
+
(p
V V
q)
&
p
q
∼
(p
&
∼q)
+
(q
&
∼p)
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
Por lo tanto en la matriz principal, hay 4 valores verdaderos. En la matriz principal existe combinaciones de F, entonces es una contradicción.
Clave E
20.
Clave C
16.
& p =
Se tiene: F , p / q / F
Si p = F : V + q
y
q = F
/
(F & F) / (F & V)
F , F / F / F
V
F Entonces: p = F y q = F
/
V / V
II. (p / +q) & (+p 0 q) (V / V) & (F 0 F)
Luego: I. +p / q V
V
I. (+p & q) / (+p & aq)
+p + q /
"
p & q / F
V
F / F
&
Los valores de verdad serán: VF
F
Clave B
V
Nivel 3 (página 9) Unidad 1
II. p & q F F V
Comunicación matemática 21. 22.
III. +q 0 +p "
I. El sol es la unidad monetaria del Perú. Es una proposición lógica. II. El violeta es un color secundario. Es una proposición lógica. III. ¿Dónde está Miguel Grau? (Es una pregunta). No es una proposición lógica. IV. 49 es un cubo perfecto. Es una proposición lógica. V. Buenos días. (No se puede afirmar o negar) No es una proposición lógica. Por lo tanto, hay 3 proposiciones lógicas.
"
V
V
V Clave E
17.
Elaboramos la tabla de verdad: p
q (p
V
V
V F
F
V
F
F F
(+p
0
q)
V
F
V
V
V V
V F
F
F
F
V
F
F
F V
V V
V
F
F
F
V V
V V
F
/
+q) &
Clave C
Razonamiento y demostración Clave C
18.
Elaboramos la tabla de verdad:
23.
p
q (p
0
+q)
&
(p
q)
/ +
V
V V
V
F
F V
F F
p)
V
F V
V
V
V V
V V
V V V F F V V
V V
F
V F
F
F
V F
F F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F F
V
V
F F
F V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
F
p
q (p
& +q) 0
(q
+
Por lo tanto, el n.° de valores verdaderos en la matriz principal es 2. Clave C
Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
3
24.
p & (q 0 r) / F
Luego, III es tautológica (T).
V F q 0 r /F F F Luego: p = V, q = F, r = F F..
Por lo tanto, los esquemas mostrados son FCT FCT.. Clave B
28.
p V
(V) (F) (F)
at) & (p & r) / F
V V
F F
p V
V
r / F F
&
I. (p + t) / +r (V + F) / V
(p / q) & (r 0 t) / F r 0 t / F
at / V
/
t = F p = V, r = F, t = F F..
Resolución de problemas
V F p / q / V
F
at / V Clave A
F
V
/
/
F
II. (ar 0 p) & (at / r) (V 0 V) & (V / F)
Son verdaderas: p y q
`
Clave B `
26.
/
V
I. p es necesariamente verdadero. II. q es siempre verdadero. III. r es verdadero. Se puede afirmar solo I.
25.
(p
V FF
F/ F
&
Elaboramos la tabla de verdad: p q r [(p
& +q) /
r]
+
(p
9
q)
V V V V F F F F
F F V V V V V V
V F V F V F V F
V V V F V F F V
V V V V F F F F
F F V V V V F F
V V F F V V F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V V F F F F
F F V V F F V V
F F V F V F V F
Clave D
29.
(p
/
aq) & (p & r) / F
V p V
/
F aq /
V y p
V
aq /
r
&
V
F
/
F
V
Luego: p = V, q = F, r = F F..
5 - 3 = 2
`
I. (V) p
Clave B
27.
V
I.
p
q (p
V V V F F V F F
& aq)
/
(q / p)
V F F V V V F V F F V V
F F F F
V F F F
II. (V) r F III. (V)
Luego, I es contradictorio (F).
p q [(q & p)
/ a
V V F F
V F V F V F F F F V V V
V F V F
V V F V
( q
9
p
p)]
/
a
V V F F
F F F V
F F V V
30.
& &
F / F q F
/
V
aq 0
p
V
V / V
0
q [p
& (aq
/
p)]
0
[((p
+ q)
0
q)
/
q
V V V F
F
V
V
V V V V
V F V V
V
V
F
F F F F
F V F V
F
V
F
V V V V
F F F V
F
V
V
V F F F
Intelectum 2.°
/
no es cierto que Luis es doctor, entonces +p &
Luego, II es contingente (C). p
Si Carlos no es abogado y +q
III.
4
/
q
Clave D
II.
/
Luis no es doctor o Pedro es ingeniero. +p r 0 La forma simbólica será: (+q / +p) & (+p 0 r) Clave C
TEORÍA DE CONJUNTOS PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 13) Unidad 1
P = {x2 + 3; 28} R = {y + 5; 12} Por ser conjuntos unitarios se cumple: 2 & x + 3 = 28 y + 5 = 12 / x2 = 25 y = 7 x = 5 Piden: x - y = 5 - 7 = -2
8.
Comunicación matemática 1.
2.
3.
Tenemos: A = {m; {m}; Q; {Q}} Luego: I. {m} ! A II. Q 1 A III. { Q} ! A IV. {m; Q} ! A
V V V F
Tenemos: B = {a; m; {m; n}; {a; m; p}} I. m " B II. {m; n} ! B III. a 1 B IV. {a; m; p} 1 B
F V F F
Tenemos: A = {11; 12; 13; 14; 15}; B = {12; 13} a) A + B = {12; 13} = B b) A = {x / x ! N; 10 < x < 16} c) n(A , B) = 5 d) n(B) = 2
16.
Si: n(A) = 2 n(A) = 22 = 4 & n[P(A)] = 2 El conjunto P(A) tiene 4 elementos. & El conjunto P(P(A)) tendrá: n[P(P(A))] = 2n[P(A)] = 24 = 16
9.
`
10.
11.
12.
M = {...; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 7; 9; ...} N = {...; -4; -2; 0; 2; 4; 6; 8; 10; ...} I. M + N = {0} (F), M + N = Q II. Mc = N (V) III. M , N ! Z+ (F), M , N 1 Z
13.
c) V
Dato: A 1 B 1 C n(B) = n(A) + 5 n(C) = 2 # n(B) n(A)+ n(B)+ n(C) = 27 Sea: n(A) = a n(B) = b n(C) = c & b = a + 5 a = b - 5 & c = 2b a + b + c = 27 4b - 5 = 27 b = 32 b = 8 & b = 8 / a = 3 B A
Tenemos: A = {2; {2; 4}; {{1; 4}}; {{{6}}}} Luego: I. Q ! A II. 4 ! A III. 5 " A IV. {2; 4} ! A
F F V V
d) V
17.
Q = {x / x ! Z+; -2 1 x 1 6} Q = {1; 2; 3; 4; 5} & n(Q) = 5 Piden: n[P(Q)] = 2n(Q) = 25 = 32 n[P(Q)] = 32 `
14.
M = {a + b; 12} N = {a - b; 6} Por ser conjuntos unitarios se cumple: a + b = 12 / a - b = 6 Resolviendo: a = 9 / b = 3 Clave A
' 15 ; 54 ; 75 ; 21
B = {2} Luego: a) F
b) F
c) F
5 3
Del gráfico: n(C - B) = 8 n[P(C - B)] = 28 ` n[P(C - B)] = 256 Datos: • n(A - B) = 2 • n[P(B - A)] = 16 2n(B - A) = 24 n(B - A) = 4 • n [P(A , B)] = 256 n(A , B) = 28 & 2 n(A , B) = 8 Sabemos: n(A , B) - n(A + B) = n(A - B) + n(B - A) 8 - n(A + B) = 2 + 4 n(A + B) = 2 Piden: n[P(A + B)] + n(A + B) = 2n(A + B) + 2 = 22 + 2 = 6 &
Determinamos por extensión a los conjuntos A y B: =
c = 16
Clave C
Tenemos: A = {1; 4, 9} B = {4; 5; 6} Luego: a) A = {x2 / x ! N; 1 G x G 3} B = {x / x ! N; 4 G x G 6} b) A + B = {4} c) n(B) = 3 d) n(A , B) = 5
A
/
8
C
Razonamiento y demostración
Clave D
7.
n[P(P(A))] = 16 Clave E
Resolución de problemas 6.
Comunicación matemática
Tenemos: 5a 1 2a + 12 3a 1 12 a 1 4 0; 1; 2; 3 & a + 7: 7; 8; 9; 10 Luego: G = {7; 8; 9; 10} b) V
Clave D
Nivel 2 (página 14) Unidad 1
A = {1; 2; {3; 4}; {{5}}; {{{6}}}} …(V) Q 1A 2!A …(V) {5} 1 A …(F) {{5}} 1 A …(F) {{{5}}} 1 A …(V) {{{6}}} 1 A …(F) ` 3 son verdaderas
a) F
M = {1; 2; 3; 4;...} N = {...; -4; -3; -2; -1} I. M + N = {0} (F), M + N = Q II. Mc = N (F), Mc = {0} , N + III. M , N ! Z (F), M , N 1 Z
Clave B
Clave A
5.
15.
Clave E
Razonamiento y demostración 4.
Resolución de problemas
d) V
Tenemos que a ≠ b, entonces: A = B = {a; b} Luego: I. A ,B ≠ A+B
F
II. A = B III. Ac ≠ Bc IV. A 1 B
V F V
Clave D
18.
Como A y B son comparables y por dato n(B - A) = 6, se deduce que A 1 B. B A
x
6
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
5
Además, del enunciado: n(A , B) = 9 x + 6 = 9 & x = 3 ` n(A) = 3
24.
Clave C
n(U) = 70 n(Ac) = 43 & n(A) = n(U) - n(A’) n(A) = 70 - 43 n(A) = 27 n(Bc) = 34 & n(B) = n(U) - n(B’) n(B) = 70 - 34 n(B) = 36 Además: n(A - B) = 19
19.
A (27)
I. (V) Como A = B, a; b ! Z+ entonces a ≠ 2a ≠ 4a a = 3 / 2b = 6 b = 3 Luego: a + b = 6
Clave C
x 1 87 - x
30.
500 & 19 + x = 27 `
&
x = 8 Clave A
124 - x + x + 187 - x + 200 = 500 511 - x = 500 11 = x
x
65 - x
574 - x + x + 726 - x + 250 = 1000 1550 - x = 1000 550 = x
Nivel 3 (página 14) Unidad 1
n - x + x + p - x = m x = n - m + p
58 - x
Luego: 30 + 65 + 58 - x = 120 ` x = 33
27.
Tenemos: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {0; 1; 2} C = {5; 7; 8} a) A = {x / x ! N / x G 6} b) n(A) = 7 c) B = {x / x ! N / x 1 3} d) n(C) = 3
M (30)
F(30) 8 10
2 10
3 9 2
6 C (35)
50
Se observa que 2 no aprueban ningún curso.
B = {0; 1; 2; 3} A=Q a) n(A) + n(B) = 0 + 4 = 4 b) B = {x / x ! N; x 1 4} c) A = {x / x ! N / 2x = 3} d) B + U = B = {0; 1; 2; 3}
Clave C
28.
U (120) M(60)
Razonamiento y demostración
Por dato: n.º subconjuntos propios de A = 2n(A) - 1 Entonces: 15 = 2n(A) - 1 16 = 2n(A) 4 & n(A) = 4; n[P(A)] = 2 = 16 Por lo tanto, la afirmación incorrecta es n[P(A)] = 8. Clave D
6
Intelectum 2.°
Clave C
Del enunciado tenemos:
F(80) 40 - b
b
Piden los que prefieren solo A: n - x = n - (n - m + p) n - x = m - p
Clave E
Comunicación matemática
23.
p - x
U(m)
30 Clave A
22.
x
C(58)
&
21.
n - x
U (120) F(65)
x 7 26 - x 250 1000
B(p)
A (726)
26. 574 - x
En el salón hay m alumnos. Los conjuntos A y B son los cursos. A(n)
Clave D
I (574)
40 - x + 60 - x + 50 - x + x = 100 150 - 2x = 100 50 = 2x 25 = x ` Hay 25 personas que leen las 3 revistas. &
200 70
50 - x
-x
100
P (187)
124 - x
0
C
C (124)
x
40 - x x
60
Resolución de problemas 25.
B
0
B (36) 19
20.
A
0
II. (F) n(A) = 3 III. (V) De (I): a = 3 = b IV. (F)
29.
a
40
c
- c
50 - a - c H(90)
Dato: todos aprobaron por lo menos 1 curso. & 120 = 60 + 90 - b - c - a Clave B ` a + b + c = 30
NUMERACIÓN PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 18) Unidad 1 1. 2. 3.
Clave E
I. (V) aaaa(b) = b4 - 1 aaaa(b) = (b - 1) (b - 1) (b - 1) (b - 1)(b) a = b - 1
11.
8 + 4 + 1 = ab Razonamiento y demostración
13.
& a = 1 b = 3 / Si el numeral 1a_a2 i_a3 i_2a i está bien Piden: escrito, entonces: a + b = 1 + 3 = 4 a3 1 2a2 a 1 2 2 & a = 1; (2a $ 2) nn(9) = 80 19. 9n + n = 80 II. (F) 10n = 80 2 2 2 1a _ i = (n + a) ! (2n + a) ` n = 8 10
Clave D
mb(2) = 1b(2); Luego: II. F
III. V
ab = 88(9)
.
10 2
_ i
=2
3 a = 7
&
Se observa que n puede ser 0 ó 1. Si: n = 0 1010
11 2
_ i
= 322 + 2 = 32(4) = 14
Luego: I. F
7 b = 3
Clave A
(sí cumple)
Nivel 3 (página 19) Unidad 1 Comunicación matemática 21.
II. V
III. F
22.
Resolución de problemas 15.
202(3) = pq 32(2) + 3(0) + 2 = pq 18 + 2 = pq 20 = pq & p = 2 / q = 0 Piden: p2 + q2 = 22 + 02 = 4
/
Piden: a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40
(no cumple)
Clave B
Clave B
.
Si: n = 1 3211
110(5) = ab 52(1) + 5(1) + 0 = ab 25 + 5 = ab = 30 ` a = 3 / b = 0 Piden: a + b = 3 + 0 = 3
207 + 11a + 11b = 310 + a 11b + 10a = 103
1a(2) + 1b(2) = 2 + a + 2 + b = 4 + a + b 14.
2ab + ba + 7 = 31a (200 + 10a + b) + (10b + a) + 7 = 310 + a
1
Clave C
Se observa: 3 1 a 1 c; b 1 c; c 1 7
53(a) = 48 5a + 3 = 48 5a = 45
Además: aa(c) 1 ba(c) a # c 1 b # c a 1 b
a = 9 Piden: a3 + 1 = 93 + 1 = 730 Clave C
9.
20.
ma(2) = 1a(2); 0 1 m 1 2
ab = 9(8) + 8 ab = 80 Piden: a + b = 8 + 0 = 8
8.
n
III. (V)
Resolución de problemas
7.
Clave A
b l
40 - b
Clave C
6.
13 = ab
I. (V)
2
De la expresión: a(a - 3)(a - 3)(n) = mn(2m)(6)
Luego: I. F
1101(2) = ab 23(1) + 22(1) + 2(0) + 1 = ab
12.
Se observa: a $ 3 m: 1; 2 n 1 6
18.
Comunicación matemática
Clave A
n = 4
`
Nivel 2 (página 18) Unidad 1
II. (F) 1112 = 10 + 1 + 2 + 3 = 16 = 42 ! 43 13 III. (V) V. R. (2) = 2 # 10 = 4 # 5 = V. A.(4) # V. A. (5) 5.
6n + 5 = 29 6n = 24 Clave C
Razonamiento y demostración
n5(6) = 29
17.
4n + 6 = 74 4n = 68 ` n = 17
Comunicación matemática
4.
46(n) = 74
10.
Luego:
Clave E
3 1 a 1 b 1 c 1 7
130(7) = mn 72(1) + 7(3) + 0 = mn 49 + 21 = mn & mn = 70 ` m = 7 / n = 0 Piden: m + n2 = 7 + 02 = 7
16.
10 = a3(4) - 1 11 = 4a + 3 `
Clave B
8 = 4a a = 2
.
.
.
4
5
6
Nos piden: a + b + c = 4 + 5 + 6 = 15 Clave A
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave E
7
Razonamiento y demostración
Luego: 56(n) = 65(n - 1) 5n + 6 = 6(n - 1) + 5
I. V
23.
m2 #
ab
= 2200(m)
m2 #
ab
= 22(m) # m2
ab
= 22(m)
5n + 6 = 6n - 1 7 = n
III.
30a = 30
Clave E
29.
II. V (a)
= a2 + (2b) # a + b2
a = 1
.
= (a + b)2
b = 3
/
Luego: 31(n) = 13 3n + 1 = 13 n = 4
Se sabe que a > 2 y que b puede ser igual a cero, entonces: (a + b)2 = (a + 2b)2 a2 = a2
30.
Por lo tanto: n2 + a2 + b2 = 42 + 12 + 32 = 26
`
25.
^ 2hj^ 7 h = n0nab^2 h
b ab
Se observa: 0 1 b 1 2 y 0 1 a 1 2
& b = a = 1
Luego:
1 ^11^ 2 hh = n0n11 ^2h ^7 h
13(7) = n0n(3)
& n = 1 Se cumple
a2 + b2 = 1 + 1 = 2 = n2 + 1 I. V
3 . 92 + y . 9 + y = (y + 1) . 72 + (y + 1)7 + 3
[(m - 1) (m - 1)(m) + 1]3 [(n3 - 1) + 1]2 = [(m2 - 1) + 1]3 (n3)2 = (m2)3 n6 = m6
A base 10: x . 52 + 0 . 5 + 1 = 2 . 72 + 0 . 7 + 3 25x + 1 = 98 + 3 25x = 100 ` x = 4
56y - 10y = 243 - 59 46y = 184 Clave C
n = 4
`
Clave E
31.
124 1
3 41 2
3 13 1
Clave B
32.
ppp(3) + qq(4) = 111(5) p # 111(3) + q # 11(4) = 111(5)
+ 5q = 31 13p " "
2
1
Piden: p2 - q3 = 4 - 1 = 3 Clave B
33.
3 4 1
125(6) = 104(n) 1 # 62 + 2 # 6 + 5 = n2 + 4 53 = n2 + 4 49 = n2 & n = 7
235(7) a base 3: 235(7) = 2 . 72 + 3 . 7 + 5 = 124 124 a base 3:
II. F
Intelectum 2.°
y = 4
A base 10: n . 72 + 5 . 7 + 3 = 1 . 53 + n . 52 + 1 . 5 + n 49n + 35 + 3 = 125 + 25n + 5 + n 49n + 38 = 130 + 26n 49n - 26n = 130 - 38 23n = 92
& n = m
Por dato, el conjunto A es unitario, entonces: 56(n) = aab(4) = 65(n - 1)
243 + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + 3 243 + 10y = 56y + 59
`
n53(7) = 1n1n(5)
27.
x01(5) = 203(7)
26.
[(n - 1)(n - 1) (n - 1)(n) + 1]2 =
3yy(9) = (y + 1)(y + 1)3(7) A base 10:
Clave B
10 = 9n + n 10 = 10n
Piden: a2 - b2 = 72 - 32 = 49 - 9 = 40 Clave A
Resolución de problemas
III. V
.
3 7 & a = 7 / b = 3
= a2 + 2ab + b2
ba + 21(3) = 11a - ab
11b + 10a = 103
ab # ba(n) = 169 ab # ba(n) = 13 # 13
1 ^2bh^b2h
a = 1
&
Piden: E = a3 + a2 - a = 13 + 12 - 1 = 1
V
ab = (2(3) + 2)2 = 64
8
52(a) + 5(a) = 30 25a + 5a = 30
Por lo tanto: a + b = 2 + 1 = 3
Sabemos que m > 2; además, para que (2m + 2)2 sea de dos cifras, m solo puede ser igual a 3.
24.
aa0(5) = 30
Entonces: aab(4) = 41 = 221(4)
ab = (2m + 2)2
28.
pr (a); aab(c); 4abc(5); 1a(b) 1 < a < b < c < 5 "
3 1
"
"
2 3 4 Piden: 2 + 3 + 4 = 9
235(7) = 11121(3)
`
Clave E
Clave B
34.
+
nx2 + 5x = 81n + 23
-
164(n) = 13(m � 1)(m) -
5x = n(81 - x2) + 23
+
6 < n < m
7 45
• x = 7:
12 32
=
ng Z
• x = 8:
17 17
=
n
=
n=
+
"
1 & 124(5) = 39 = abc(4) & abc(4) = 213(4) a = 2; b = 1; c = 3 Piden: a2 + b2 + c2 = 22 + 12 + 32 = 14 Clave E
�
n54(x) = n30(9) -
p = 9
+ 40.
!
+
Z
+
5 < x < 9; n < 9 6; 7; 8 nx2 + 5x + 4 = 81n + 27
Clave C
xyxy + 79xy = 4140
101xy + 79xy = 4140
180xy = 4140 xy = 23
37.
m(m + 1)(m + 3)(5) = abc(m + 3) m + 3 < 5 0 < m < 2
+
p3 = 729
ng Z
Clave A
36.
2
8
Piden: n2 + m = 49 + 8 = 57
35.
p3 - 1 = 728
5x - 23 81 - x
p3 - 1 = 508(12)
Clave D
6 < n < m < 9 " " 7
&
• x = 6:
13(m � 1)(m) = 115(9) &
39.
2
156(a) = a + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2) = (a + 2)0(a + 3) Por dato: a + 2 = 9 a = 7 Piden: a2 + 1 = 50
xyxy = 2323
`
Clave B
41.
143(10)
(11)
2 = 1441(11)
+
Clave C
Clave C
42.
38.
1a1(b) + 2b(c) + xxxx(a) = def (5) 1 < a < b < c < 5
ab(5) + a + b = 28; a; b < 5 6a + 2b = 28 3a + b = 14
2 3 4 121(3) + 23(4) + 1111(2) = def (5) 16 + 11 + 15 = def (5) 42 = def (5) 132(5) = def (5) d = 1; e = 3; f = 2 Piden: 12 + 3 + 2 = 6
1 11 2 8 3 5 4 2
Piden: 2 # 4 = 8 = 1000(2) Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave E
9
OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 23) Unidad 1
II. F (b - 1) - a = p
Comunicación matemática
cba + 321 ba9
6.
Luego: I. a + b + c = 8 + 6 + 3 = 17 II. ab - cc = 86 - 33 = 53 III. (1c)a - b = 132 = 169
7.
II.
7 termina en 3
10 * 10 100
=
1100 100
4950 + 9(7) = d(c - 4)b3
&
x + y + z = 17 111 xyxy + & zxyz yzzx 18887
d = 5; c = 4;
Nivel 2 (página 23) Unidad 1 Comunicación matemática
400 2
11.
c0a
8.
(57 cifras) " 7…7777 …abc &
12.
8
3 4 7
.
&
III. V
Colocamos 1 y llevamos 43 & b = 1
Del enunciado:
Clave D
1 = 2ab - ba r
+
1
2ba - 2ab = 2 # pq ba - ab = pq Luego: I. V p + q = 9
10
Luego: m = 9; n = 9; (7 - 1) - b = 0 b = 6 Por lo tanto
&
b = 5
I. V II. F III. V
Clave B
(b > a) 10.
ba7 + mn = 7ab & 7ab - ba7 = mn, b < 7
Piden: a2 + b2 = 92 + 52 = 106
ba - 2pq = 2ab - ba
Intelectum 2.°
1
13.
xyz - zyx = 4ab Por propiedad: a = 9 4 + b = 9
Donde b > a, entonces:
0
9
Razonamiento y demostración
2pq; ...; ba - r; ba; ...; 2ab 9.
3
II. 3 + 9 + 1 = 13 III. 8 # 3 = 24
Piden: a . b . c = 8 . 1 . 9 = 72
(k - 1) términos k términos
1
3 3
8 2
#
I. 581 + 332 = 913
En las centenas: 43 + 7 # 55 = 428 55 sumandos & Colocamos 8 y llevamos 42 & a = 8
k términos
5
Colocamos 9 y llevamos 39 & c = 9
En las decenas: 39 + 7 . 56 = 431 56 sumandos
1 1
+
III. SI x = 1, entonces a - c = 1 + 1 = 2 (a - c = x + 1)
En las unidades: 7 # 57 = 399
a + b + c + d = 4
ba - 2pq r
Entonces: I. y = 9 II. x + z = 9
7 + 77 777 57 sumandos 7777
a # 11 + b # 11 + c # 11 + d # 11 = 44 11(a + b + c + d) = 44
5.
xyz
Clave B
Luego:
II. F
a0c -
M = 200
aa + bb + cc + dd = 44 + & a, b, c, d ! Z
Por lo tanto: I. F
Como:
`
Razonamiento y demostración
.
b = 1
Piden: a + b + c + d = 7 + 1 + 4 + 5 = 17
M + S + D = 400 & 2M = 400 M=
= 11
= 10 000 - 3200 = 6800
.
5013 = d(c - 4)b3 &
III. C. A. (20 * 30) = C.A. (3200) =
.
n + 9(a) = d(c - 4)b3
Clave C
I. 16 * 10 + 17 * 18 = 1160 + 1178 = 2338
1 1
9 . 10 2
Clave A
3.
d
4950 + 9a = d(c - 4)b3
Resolución de problemas
c + 3 = 6 & c = 3
4.
110
.
a + 1 = 9 & a = 8 b + 2 = 8 & b = 6
+
110(1 + 2 + 3 + … + 9) + 9(a) = d(c - 4)b3
b - a - 1 = p
III. V tn = 2(54) + 12(n - 1) = 96 + 12n
1. 2.
Z
11a + 22a + 33a + … + 99a = d(c - 4)b3 (110 + a) + (220 + a) + (330 + a)+ … + (990 + a)
9 sumandos = d(c - 4)b3
14.
p + p + p + ... + p = ab0(m) m veces
pm = ab(m) # m p = ab(m) Luego: I. V p = ab(m) & 10(m) # p # (m - 1) (m - 1)(m)
Clave A
18.
8bc - cb8 = xy3 & x + 3
abcd # 7 = e5543
= 9
y = 9
/
/
x = 6
8 - c = x + 1 c = 1
2
m # p # m2 –1
10 21
103 - (xy3) = cb8 + 103 - 8bc
Piden: x . y = 5 . 4 = 20
abcd =
I. V
25 543 7
II. F
III. F
Razonamiento y demostración
(m - 1) (m - 1)
abcd = 3649
2
(m - 1) # m = m - m
b = 6; c = 4; d = 9; e = 2
10(m) = ab(m) (p = m) & a = 1; b
= 0
19.20 2
= 190
III. F ab(m) = 10(m) & 01 = 0
Resolución de problemas
abcd # 95 abcd " 9. abcd 20.
9.abcd - 5.abcd = 15 372 4abcd = 15 372
abcd = 3843 & a = 3; b = 8; c = 4; d = 3
Clave C
&
& 0 1 Residuo 1 d
3q 1 18 q 1 6 Para Dmáx.: q = 5 & Dmáx. = 18 # 5 + 3 # 5 Dmáx. = 90 + 15 Dmáx. = 105 III. F CA(6 Ç a0) = bc
Si 6 #a0 tiene tres cifras entonces su C. A. tendrá tres cifras, luego 6 # a0 es de dos cifras.
Clave C
Nivel 3 (página 24) Unidad 1
Comunicación matemática
Por dato: r = r mín.
21.
r= 1
2
7
2
4
8
1
2
2
3
3 8 3 6 2
D = dq + r Clave C
I. 2 + 7 + 8 = 17 II. 2 # 3 = 6 III. 1 + 2 = 3
CA(xyy) = y(y + 1)(x + 1) Empleando el método práctico: 9 - x = y …(I) 9 - y = y + 1 & 8 = 2y & y = 4 Si: y = 4, en (I): 9 - x = 4 & x = 5
abc � cba = mn(2m) & m = 3 ; n = 9 Luego:
a + b2 + c3 = 8 + 92 + 43 = 153
D = (13)(27) + 1 = 352
17.
Residuo
abc - cab = 396 abc + cba = 1392 . (+) 2 # abc = 1788 abc = 894
Piden: (a + b) - (c + d) = (3 + 8) - (4 + 3)= 4
r 27
II. V D = 18q + 3q
Clave D
Por dato:
22.
Luego: 1 + b + 1 = 3 b = 1 Por lo tanto: b 1a = 151 = 15
Piden el mayor de ellos: 85
---- " 5.
16.
Sean los números a y b. & a + b = 112 / a b 4 3 & a = 3b + 4 Reemplazando el valor de a: (3b + 4) + b = 112 4b = 108 & b = 27 a = 85
D 13
Clave A
19.
1 + 2 + 3 + ... + 19 =
-------
.
5
a + b + c + d + e = 3 + 6 + 4 + 9 + 2 = 24
`
Luego:
15.
a = 3;
&
II. V 10(m) # p # (m - 1) (m - 1)(m)
I. F 1a + ba = 30 & 2a = ...0
23.
Por lo tanto: 100 - 6 a0 = bc 6 a0 + bc = 100 .
40 & b + c = 4 Clave B
24.
ab - ba = c0, a 2 b & c + 0 = 9 c = 9 Luego: (+) ab - ba = 90 ab + ba = d0
xy3 = cb8 CA(xy3) = cb8 + CA(8bc)
..
1
2ab = 90 + d0 & b
= 5
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
11
Además:
2a5 = 10(9 + d) a5 = 5(9 + d) Por lo tanto I. V dmín. = 2 & a = 5
Clave C
abcc ba
28.
a5 = 5 (9 + d)
Clave A
a = 3; c = 7
32.
3b77 # b3 = 4xyz1
impar & d siempre es par.
III. F dmáx. = 8 & a = 8 & (a + d)máx. = 16
&
Resolución de problemas
abcd 820 341 xx
.
.
1 2
1 = 41 301 2 = 75 371 (no cumple)
a = 3; b = 1; c = 7; x = 1; y = 3; z = 0
Piden: a + b + c + x + y + z 3 + 1 + 7 + 1 + 3 + 0 = 15 Clave D
29.
abcd = 820(xx) + 341 abcd = 820(x . 11) + 341 abcd = 9020 . x + 341
&
Cc = k(N(n) + 1) - 11…11(n)
abcd = 9361 a = 9; b = 3; c = 6; d = 1 &
Piden: a + b + c + d = 9 + 3 + 6 + 1 = 19
4000 + abc = 4abc + 4000 + 4 - 1111 1107 = 3abc
369 = abc & a = 3; b = 6; c = 9
33.
mnp # 63 ... … 746
&
En el orden cero: 7x = ...1 Luego: x = 3, pues 7 Ç 3 = 21 (pongo 1 y llevo 2) En el primer orden: 7^8 h = 30 2 + (1 + 2 + 3 + ... + 7) = 2 +
Piden: a + b + c = 3 + 6 + 9 = 18
30.
2
D = 28q + 12
...(I)
k + 2 =
&
2k + 2 =
(28q + 12) + n = 28q + 140 + r
Al sumarle la cantidad, la nueva división puede resultar exacta: r = 0 & nmín. = 128
`
d
tn + t1 2
Intelectum 2.°
27 r
- 1 ...(II)
Clave A
34.
n d n=
n
44 + 2 15 = 345 2
S = 345
1ab; … ; ab2 Por ser números consecutivos: n.° de términos = ab2 - (1ab - 1) La cantidad de cifras empleadas será: (n.° de términos) # 3 = 1ab1 (ab2 - 1ab + 1) # 3 = 1ab1 (10ab + 2 - 100 - ab + 1) . 3 = 1001 + 10ab (9ab - 97) . 3 = 1001 + 10ab 17ab = 1292 ab = 76 & a = 7 / b = 6 Piden: a + b = 7 + 6 = 13
Clave C
31.
abcÇ 37 - - - 7 Ç abc - - - 3 Ç abc - -Producto final
12
+1& 2k =
- 1 ...(I)
Piden: S=
27
44 - 17 r
15 r
n = 15 términos
n = 128 + r
Además: r = r máx. r = d - 1 = 28 - 1 = 27 & nmáx. = 128 + r máx.
+ 1 & k =
4 8 términos términos
& D + n = 28(q + 5) + r ...(II) De (I) y (II):
17 - 2 r
&
Resolviendo (I) y (II): k = 4 / r = 3 2; …; 17; …; 44
Clave C
&
En el segundo orden: 3 + 7 Ç a = 38 7a = 35 & a = 5 x + y + a = 3 + 0 + 5 = 8
k 2k términos términos
Piden la suma de cifras del producto total: 4 + 6 + 7 + 4 + 6 = 27 D 28 12 q
& y = 0
2; … ; 17; ... ; 44
Producto total
27.
...(V)
(pongo 0 y llevo 3)
742 # 63 2226 4452 46746
...(IV)
Colocando en su forma vertical:
Clave B
26.
...(III)
Clave A
4abc = 4(1abc + 1) - 1111
Clave A
...(I) ...(II)
La suma de las 3 últimas cifras es: 1 + 6 + 6 = 13
Llamemos N al número en mención: Luego: N Ç 8 = ...496 N Ç 26 = ...862 Sumando (I) y (II) : 8N + 26N = ...358 34N = ...358 Multiplicando la expresión (III) por 100: 3400N = ...800 (II) – (I) : 18N = ...366 (IV) + (V) : 3418N = ...166 `
k cifras
1
Del dato: 7 Ç abc � 3 Ç abc = 1028 4 Ç abc = 1028 abc = 257 2 2 ` (b � a) + c = (5 � 2) + 7 = 16
.
4xyz1 &
a . c = ...1 .
&
II. F
&
#
(a + b + c + d)mín. = 5 + 5 + 9 + 2 = 21
25.
nmáx. = 155 nmín. # n # nmáx. 128 # n # 155
&
Clave A
35. Productos parciales
1; 2; 3; …; 2ab 1; 2; 3; …; 9 ; 10; 11; 12; …; 99; 9 cifras
90 # 2 cifras
100; 101; …; 2ab
La cantidad de números será: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =
(2ab - 99) # 3 cifras Dato: 9 + 180 + 2ab . 3 - 297 = 6ab 600 + 3ab - 108 = 600 + ab 2ab = 108 ab = 54 & a = 5 / b = 4 Piden la cantidad de cifras de: 1; 2; 3; …; 545 1; 2; 3; …; 9 ; 10; 11; 12; …; 99 ; 9 # 1 cifras
1. 2.
Luego: Son proposiciones compuestas: • •
Clave C
I. 0 ! 2 y 3 < 4 V
7.
V
/
V II. 3 < 11 V
&
`
r
+
1
=
8. A
V
4.
902 - 11 3
+ 1 = 297 + 1
.
a(a + b)b(6) .
.
4
0 1
=
80
U
x
c
m
(a - 2) a + 1 (2a ) (5 - a )(b) 2
a - 2 > 0
5 - a $ 0
/
a > 2
20
z
C /
a#5
a+1 2
!
Z
=
100
200
70 + 80 - 20 - x + 100 - 20 - y - z = 200 x + y + z = 10
(a es impar)
Clave B
Entonces: a: 3; 5 Luego: a = 3: 1262(b)& a2 + bmín. = 9 + 7 = 16 a = 5: 33(10)0(b)& a2 + bmín. = 25 + 11 = 36
a(a + b)b(6) a(a + b)b(6) a(a + b)b(6) 0 1 2 3 4
B
70
y
tn
Clave A
.
=
Clave A
n = 298
1
n(A , B) = n(A - B) + n(B - A) + n(A + B) n(A , B) = 8 + 7 + 6 = 21 Clave E
32 = 9 V
11; …; ab1; ab4; …; 902
n=
yxx + zzy xyz 1776
3.
Clave C
37.
El tigre es carnívoro, entonces no vuela. El tigre es carnívoro o mamífero. Clave B
446 . 3 cifras La cantidad será 9 # 1 + 90 # 2 + 446 # 3 = 1527
tn - t1
x + 9z + y + z2 = (z + 4)2 x + 9z + y + z2 = z2 + 8z + 16 x + y + z = 16
MARATÓN MATEMÁTICA (página 26)
90 # 2 cifras
t1 r=3 n.° de términos: n
x + 9z + y + z2 = z + 4
6.
= 15 Clave B
100; 101; …; 545
36.
5.6 2
.
2
.
0 1 2 3
.
.
3
0 1 2
5
5.
ab(7) - b0(9) = a
.
0
A = {1; 2; 3; 4; 5} n[P(A)] = 25 = 32 n[P(P(A))] = 232
Clave A
&
a(a + b)b(6) .
9.
&
` ba j
2
=
16 9
Clave C
ab(7) = ba(9) 7a + b = 9b + a 6a = 8b a b
=
4 3
Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
13
Unidad 2
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 31) Unidad 2
8.
Comunicación matemática 1.
° 2 = 2° 2° # 2° = (2)
2.
Mi
Ju
Vi
Sa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
7° + 6 7° + 2
7° + 3
(V)
12.
+
° 12
= 5°
.
3
° + 24 = 17 ° + 16 = 17 La 4.ª proposición es falsa (F). ° & 6 + m - 7 - 2 = 11 ° 2 6 7 m = 11 -+-+ ° m - 3 = 11
(V)
& m = 3
Por teoría: ° = 5° 3 # (5)
Razonamiento y demostración 13.
3.
5° = 5°
Razonamiento y demostración
5.
VVFV Clave C
(V)
°
5(x - 3) = 11
°
Clave C
S = 7(1 + 2 + 3 + … + 6) 10.
_
6 6+1 2
i
=
21 . 7
=
147 Clave E
7.
Clave C
14
Intelectum 2.°
`
m n n m & m + n - n - m = 0 mnnm = 11°
Luego: ° + N = 11 ° & N = 11 ° 11 ° 2 = 121 ° N2 = (11)
2x = 10
Piden: 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 + 42 = 96
N = 7°
II. F
&
7° + 6 = 7° + (2x - 4)
{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
&
2 3 1
-+-+
( 7° + 2)( 7° + 3) = 7° + (2x - 4) 7° + 2 # 3 = 7° + (2x - 4)
2x - 4 = 6
Divisores de 42:
4a + 9a + a = 14a = 7°
N3 = 49(7k3) ° N3 = 49
x = 11 + 3
6 términos
&
.
N3 = 343k3
°
`
.
Luego: N = 7° = 7k
x - 3 = 11
S = 7 . 1 + 7 . 2 + 7 . 3 + … + 7 . 6
S= 7.
.
Por propiedad:
Resolución de problemas 6.
I. V N = (2a)(3a)a
Clave C
9.
° 13 ° 13 ° 13
La 3.ª proposición es verdadera (V). ° - 2)4 = ( 17 ° + (-2))4 = 17 ° + (-2)4 Si ( 17
3° = 3°
7° + 5
&
z = 10 ° w = 15
La 1.ª proposición es (F). ° Sea A = 14 y B = 3 & A + B = 17 ! 10
° = 3° 5 # ( 3)
Nos piden: 6 + 3 + 5 + 4 + 1 + 4 = 23
FVVF
/
w = 5°
&
(F)
° = 5° E) 3 # (5)
4.
z = 5°
y = 96 ° z = 10
La 2.ª proposición es verdadera (V). ° & 4 - 15 - 4a - 3 = Si 3 a 5 4 = 13 -14 - 4a = 1431 - + 14 + 4a =
= 5°
° 12
Por teoría:
7° + 5
7° + 1
/
&
° x = 30 x = 30 y = 6°
&
w = 105
° = 3° D) 5 # (3)
7° + 1
7° + 3
w = 3°
Por teoría:
7° + 4
y = 3°
/
z = 2°
° + ° =° 12 C) 12 5
° 12
Del gráfico deducimos: ° x = 3° / x = 5° x = 2; y = 2°
(V)
7° + 7° 7° = 7°
De la pirámide multiplicativa tenemos:
7° + 4
11.
B) 7° + 7° + 7° = 7° 7° + 7° + 7°
Julio 2014 Ma
Comunicación matemática
A) 2° # 2° = 2°
Entonces: Lu
n° - n° = n° ° k = n° (n)
n° # k = n°
Del calendario se deduce: 2° de una cifra = {2; 4; 6; 8} 3° de dos cifras = {12; 15; 18; 21; 24; 27; 30} ° = {11; 22} 11
Do
Nivel 2 (página 31) Unidad 2
Por teoría sabemos: n° + n° = n°
x = 5 Clave E
III. V ° entonces: Si x + y + z = 9, xzy = 9° / yxz = 9°
x26y = 9° / x26y = 8° (x ! 0; y es par) ++++ x + y + 8 = 9°
Luego: ° + 7(9) ° 4(xzy) + 7(yxz) = 4(9) = 9° + 9°
10 x + y = 10
= 9°
&
Clave C
14.
I. V ° & ( 10 ° - 9)10° + 1 = M Si N = 10 ° + 1)10° + 1 = M (10
19.
Sea N el número de páginas. ° ° & N = 4 / N = 6 & N = MCM( 4; 6) ° = 12k N = 12 °
° + 110° + 1 = M 10 ° & 10 + 1 = M
Por dato: 14 1 N 1 26 14 1 12k 1 26 1,16 1 k 1 2,16 2
II. F Si N = 9° ° ( 9° - 9)9 +1 = M ° 9° 9 + 1 = M & 9° = M
`
N = 12k = 12(2) = 24 Clave D
III. V ° & (8° - 9)8° + 1 = M Si N = 8, ° (8° - 1)8 + 1 = M
20.
Como 8° + 1 es impar; entonces: ° (8° - 1)8 + 1 = M
Sea el número de tres cifras: ° N = ab7 = 13 ° ab0 + 7 = 13 ab0 = 13k - 7 .
9 19 29 ... 69
°
& 8 - 1 = M Clave C
Resolución de problemas 15.
Divisores de 54: {1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54}
Existen 7 números.
`
Clave C
Cantidad de divisores de 54 = 8 n.° de varones = 8
Nivel 3 (página 32) Unidad 2
Por dato: n.° de varones + n.° de mujeres = 20 8 ` n.° de mujeres = 12
Comunicación matemática 21.
Del gráfico: (9 # m) # (11 # n) = abcd ° 99 # m # n = abcd & abcd = 99 ° ab + cd = 99 ° & ab + cd = 99 ...(I) Además: ab - cd = 23 ...(II) Sumando (I) y (II), tenemos: ab = 61 ` a + b = 7
22.
Sea: abcd el número formado por las cifras. Como: abcd = 2° & d es par & d = 8
Clave A
16.
(a - 5)(a - 3)a(a - 2) = 3° +
+ +
+
4a - 10 = 3° & 2a - 5 = 3° .
4 7 Nos piden: & 7 + 4 = 11 Clave A
17.
° (a = 3) ° Si: 53a2 = 8; ° & 3a2 = 8 & a ! {0; 3; 9} ` a = 9
Luego: abc8 = 7° .... Clave E
18.
° x26y = 72 8° y 9°
7 términos
&
8 + 3c + 2b - a = 7° 3c + 2b - a + 1 = 7°
1231
.
.
.
-+
7
1
3
El número es: 3178 ` La cifra de orden 3 es: 3 ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
15
27.
Razonamiento y demostración
I. V A # B = C
23.
&
II. F A # B = n° + r
A # B - C = 0 = n° &
= 5° + [5° + (-1)573] = 5° + [5° - 1] = 5° - 1
n° + r + C = n° C = n° - r
= 5° + 4
El residuo es 4.
`
Clave C
III. F 1 = n° como n ! Z+ solo puede ser igual a 1.
28. Clave A
I. V M = 3N
24.
° 11 ° 8N = 11 ° N = 11
& 5N + 3N =
Clave C
29.
9°
2
= 9°
Clave D
Resolución de problemas 30.
...(I)
7° + x = 7° - (7° + 1) . 4 = 7° - 4 7° + x = 7° + 3 & x = 3
...(II)
Clave C
Clave C
...(I)
Reemplazando (II) en (I): ° mn + mn + 7 = 33 ° 2mn + 7 = 33 ° 2mn + 40 = 33 ° mn + 20 = 33 & mn ! {13; 46; 79} ` Existen 3 números que cumplen dicha condición. Clave A
16
Intelectum 2.°
abab = ab10a . abb = (aba)10 . abb 7° + x = (7° + 2)10(7° + 5) = (7° + 210) (7° - 2) 7° + x = 7° - 211 = 7° - 29 . 22 7° + x = 7° - (23)3 . 4 = 7° - (7° + 1)3 . 4
Reemplazando (II) en (I): abc # 11 = 4939 & a = 4, b = 4 / c = 9 ` a + b + c = 17 ° ° mnpq = 33 mn + pq = 33 Del enunciado: pq - mn = 7 & pq = mn + 7 ...(II)
° 33(ab + 48) = 17 ° ab + 48 = 17
° ab + 14 = 17 & ab ! {20; 37; 54; 71; 88} ` La suma de valores de ab es 270.
III. F Para A = 11 = 7° + 4 y B = 18 = 7° + 4 & A ! B
26.
° ab + (ab + 3 . 1) + (ab + 3 . 2) + ... + (ab + 3 . 32) = 17 ° 33ab + 3(1 + 2 + 3 + ... + 32) = 17 ° 33ab + 3 . 32.33 = 17
= 9° + 9°
abc # 11 = 4n3n ° ° & 4n3n = 11 & n + n - 4 - 3 = 11 ° 2n - 7 = 11 ° 2n + 4 = 11 ° n + 2 = 11 & n=9
Observación: (Impar)k = Impar, 6 k ! N ° n 9° + x = (9° + 8)(8 + 7) Impar °9 + x = (9° + 8)b impar 9° + x = (9° - 1)b = 9° + (-1)b 9° + x = 9° - 1 = 9° + 8 & x = 8
II. V cab = 9° & a + b + c = 9° Luego: 4a + 2b + 3c = 40 + a + 20 + b + 30 + c = 90 + a + b + c
25.
131146 = (5° - 2)1146 = 5° + 21146 = 5° + 4573 = 5° + (5° - 1)573
NÚMEROS PRIMOS PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 35) Unidad 2
10.
Comunicación matemática 1.
234 117 39 13 1
16.
2 3 3 13
2
& 234 = 2 × 3
d
2
nd
2.
SD(234) =
3.
SD(234) = 3 × 13 × 14 Luego: SID(234) =
Razonamiento y demostración 4.
2 -1 2-1
I. F CD(N) = CDP + CDC + 1
3
3 -1 3-1
nd
× 13
2
13 - 1 13 - 1
n
18n = (2 . 32)n = 2n . 32n Sabemos: CD(N) = CDC(N) + CDP(N) + 1 (n + 1)(2n + 1) = 63 + 2 + 1 (n + 1)(2n + 1) = 66 = 6 . 11 (n + 1)(2n + 1) = (5 + 1)(2 . 5 + 1) n + 1 = 5 + 1
& SD(234) = 546
&
`
546 & SID(234) = 2,3 234
Clave E
Clave C
Nivel 2 (página 35) Unidad 2
17.
6a . 18b = (3 . 2)a . (32 . 2)b = 3a . 2a . 32b . 2b
Comunicación matemática
II. V
11.
III. F 8 y 38 no son PESÍ. 5.
13.
CD(3)
30 1 x 1 50 x " primo absoluto x ! {31; 37; 41; 43; 47} Por lo tanto, hay 5 números.
N= 14. Clave E
3
3500 = 2 . 5 .7 CDp(3500) = 3 920 = 23 . 51 . 231 2
SD(920) = 2
3 +1
-
1
2-1 4
-
1
1
.
5
. 2
1 +1
5
-
4
1
-
5-1 1
2
.
23
.
-
_ i
900 = 22 . 32 . 52 & 27 divisores (1 + 1)(n + 1 + 1)(1 + 1) = 24
SD N N
2 . (n + 2) . 2 = 24
_ i _ i
SD N
n + 2 = 6 & n = 4
SID N
N = 42 . 34 & N = 3402
I. V Divisores de 71: 1; 71 PD(71) = 1 × 71 = 71 & CA[PD(71)] = CA(71)
` Scifras =
3 + 4 + 0 + 2 = 9 Clave E
N = 2a . 3b
19.
CD(N) = (a + 1)(b + 1) 8(N) = 2a + 3 . 3b
III. F 67 es primo, pero 6 no es impar.
1 +1
23 -1 23 - 1
CD(8N) = (a + 4)(b + 1) (a + 1)(b + 1)
=
Clave A
a
9
+
...(1)
b + 2
9N = 2 . 3
1
22
Resolución de problemas 15.
= 15 . 6 . 24
SD(920) = 2160
`
Clave B
9.
18.
II. F 5 = 1 + 4; 1 y 4 no son primos.
Clave B
SD(920) =
Clave A
N = 42 . 3n = 2 . 3 . 7 . 3 n = 2 . 3n + 1 . 7
SID(N) =
Resolución de problemas
8.
De (1) y (2): b = 4 / a = 2 ` a . b = 2 . 4 = 8
III. V
Clave B
7.
I. V 72 = 32 . 23 & CD(72) = 12 108 = 33 . 22 & CD(108) = 12 ` CD(72) = CD(108) II. F Divisores de 2: 1 y 2 PD(2) = 1 × 2 = 2
III. F Divisores de 13: 1 y 13 SD(13) = 1 + 13 = 14
2
CD(N) = (a + 2b + 1) . (a + b + 1) = 77 = (a + 2b + 1) . (a + b + 1) = 11 . 7 & a + 2b + 1 = 11 / a + b + 1 = 7 a + 2b = 10 ...(1) a + b = 6 ...(2)
Razonamiento y demostración
II. V CD(12) = (2 + 1) # (1 + 1) = CD(4) # CD(3)
6.
N = 3(a + 2b) . 2(a + b)
12.
I. F 53 es un número primo.
CD(22)
n = 5
4n = 22n CD(4n) = 2n + 1 31 = 2n + 1 30 = 2n ` n = 15 Clave E
CD(9N) = (a + 1)(b + 3) = (a + 1)(b + 1) + 10
K = 900 ... 0 & 48 divisores n cifras K = 2n . 32 . 5n (n + 1)(2 + 1)(n + 1) = 48 (n + 1)2 = 16 & n = 3 3 2 3 K = 2 . 3 . 5 K = 9000 Por lo tanto, se deben colocar 3 ceros.
...(2)
Restamos (1) de (2) y efectuando operaciones, tenemos: & 2a - 3b = 2 / a 2 b Cumple para: a = 4 / b = 2 `
N = 24 . 32 = 144
Clave A
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave A
17
Nivel 3 (página 36) Unidad 2
c no puede ser par, ya que es primo.
Comunicación matemática 20.
a = 1; b = 2; c = 5 a + b + c = 1 + 2 + 5 = 8
El único número primo par es 2 y si c = 2, entonces 0 < a < b < 2 (no existe).
Descomprimiendo canónicamente: N1 = 2n+1 . 3n . 5n . 71 N2 = 3n+1 . 5n . 71
28.
II. F Si b = 2, entonces: 0 1 a 1 2
Del enunciado: CD(N1) + CD(N2) = 96 & (n + 2) (n + 1)(n + 1)(2) + (n + 2) (n + 1)(2) = 96 2 2 & (n + 2) (n + 1) = 48 = 4 . 3 ` n = 2
Clave C
abc = a6 . b2
&
Solo cumple: a = 2 No existe un número entero positivo primo menor que 2. III. F a + b + c = c + c = 2c c
Clave A
21. 22.
23.
64a + 17b & a = 2 / b = 3
CD(12) = 3 × 2 = 6; CD(15) = 4
CD(12) 2 CD(15)
a = 2; b = 3
III. V
`
PD _7n i = _7ni
n+1 2 =
29.
+
III. F 792 = 23 × 32 × 11 CD(792) = (3 + 1) Ç (2 + 1) Ç (1 + 1) = 24 CDP = 3 CDC = CD(N) - CDP - 1 = 24 - 3 - 1 = 20 24.
Como a 1 b 1 c son primos absolutos, entonces: I. F Si a ! 2, entonces a es impar, luego: a + b = c -
-
-
Impar Impar Par
18
Intelectum 2.°
1+
1 25
n
=
5
2a
.
26 25
= 4(2a - 1) = 33b
Cumple para: a = 42 & b = 2 ` a + b = 42 + 2 = 44 Clave C
a # b = 6
N1 = 3b . 5a N2 = 2a . 53 (a + 1)(b + 1) - (a + 1)(4) = 3 (a + 1)(b + 1 - 4) = 3 (a + 1)(b - 3) = 3 a = 2 / b = 4 N1 = 34 # 52 N2 = 22 # 53 N1 - N2 = 1525 Clave C
27.
d
N = 52a - 2 . 13 . 2 CD(N) = (2a - 1)(2)(2)
Clave C
26.
N = 25a + 25a - 1 / CD(N) = 33b N = 25a
179 & primo
n
_7n 1i2
b = 3
Clave E
ab0b(4) " n.° primo
I. F
/
2
abc = 2 . 3 = 576 ` a . b . c = 5 . 7 . 6 = 210
Resolución de problemas 25.
6
&
Como c es un número primo, entonces 2c es un número compuesto.
Razonamiento y demostración
CD(abc) = 7 . 3
Si: aabc = c3 # 32 aabc = 53 # 32
30.
N = 13k . 132 - 13k &
N = 13k (132 - 1) = 13k . 168
N = 13k . 23 . 3 . 7 1 & CD(N) = (k + 1)(3 + 1)(1 + 1) (1 + 1) CD(N) = (k + 1)(4)(2)(2) CD(N) = 16(k + 1) & 16(k + 1) = CDP(N) + CDC(N) + 1 Del enunciado: CDC(N) = 75 & 16(k + 1) = 4 + 75 + 1 = 80 ` k = 4
....
1125
Clave C
MCD Y MCM PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 39) Unidad 2
MCM(42k; 7k; 18k) = 6300
Sabemos: MCD(A; B) # MCM(A; B) = A # B MCD(A; B) # 630 = 3780
2
k MCM(7 . 3 . 2; 7; 3 . 2) = 6300
Comunicación matemática
k(7 . 32 . 2) = 6300
1.
MCD(A; B) = 6
`
`
k = 50
Clave E
2.
Clave D
17.
Nivel 2 (página 39) Unidad 2
3.
Sean A y B los números. Tenemos:
Comunicación matemática 11.
Razonamiento y demostración 4.
a) V
b) V
c) F
5.
I. F
II. V
III. F
A
12.
13.
Resolución de problemas 6.
4
a) V b) V
A = 23 . 35 . 52 . 72 B = 2 . 3 . 5 . 11
c) F 3 × MCD(4; 2) = 3 × 2 = 6 MCD(6; 1) = 1 & MCD(6; 1) ! 3 × MCD(4; 2)
C = 22 . 32 . 54 . 132 `
MCD(A; B; C) = 22 . 32 . 5 = 180 Clave D
7.
A = 72x . 750
B = 90x . 4
A = 32x . 23x . 53 . 3 . 2
B = 32x . 5x . 2x . 22
A = 32x + 1 . 23x + 1 . 53
B = 32x . 2x + 2 . 5x
14.
= 2944 2
(x + 1) (3x + 2) = 1472 ` x = 7 Clave C
8.
A = 23 . 52 . 73 / B = 22 . 53 . 112 / C = 33 . 54 MCM(A; B; C) = 23 . 33 . 54 . 73 . 112 `
15.
°
120 1 320
A = 4770
b) V MCM(A; 1) = A / MCM(B; 1) = B & A + B = MCM(A; 1) + MCM(B; 1) c) F MCD(3; 9) = 3 ! 6°
MCD(6750 ; 6300 ; 4050)= 2 # 52 # 32 La cantidad de números será: CD = 2(3)(3) = 18
8
18.
8
Clave A
B = 2n # 32n + 1 # 52
A = 12 . 45n = 3 . 22 . 32n . 5n = 22 . 32n + 1 . 5n B = 12n . 45 = 3n . 22n . 32 . 5 = 22n . 3n + 2 . 5 MCM(A; B) = 22n . 32n + 1 . 5n CD = 90 = (2n + 1)(2n + 2)(n + 1) 45 = (2n + 1)(n + 1)2 & n = 2
MCM(A; B) = 2n # 32n + 1 # 52n + 2
32 . 5
A = 450 # 75n = (32 # 52 # 2) # (52 # 3)n
19.
CD = (n + 1)(2n + 1 + 1)(2n + 2 + 1) = 550
Clave B
2(n + 1)(n + 1)(2n + 3) = 550
k 1 2,6
20.
(n + 1)2(2n + 3) = 275 = 52 # 11
k ! {1; 2}
&
N = abc
Los números son 2: 120 y 240
n = 4
`
Clave B
d
10. MCM 21k ; 7 k ; 9 k 5 10 5
d
B = 38 # 30 B = 1140
Los números: 6750; 6300; 4050 MCD(6750; 6300; 4050) 6750 - 6300 - 4050 2 3375 - 3150 - 2025 25 135 - 126 - 81 9 15 - 14 - 9
×
B = 75 # 18n = 52 # 3 # (32 # 2)n
120k 1 320
`
/
Clave D
A = 2 # 3n + 2 # 52n + 2
CD( MCM(A; B; C)) = (4)(4)(5)(4)(3) = 960
MCM(4; 5; 6; 8) = 120 &
`
A = 159 # 30 A = 4770
Resolución de problemas
Clave C
9.
&
a) V MCD(8; 1) × MCM(8; 1) = MCM(8; 1) 1
MCM(A; B) = 32x + 1 . 23x + 1 . 5x CDMCM(A; B) = (2x + 2)(3x + 2)(x + 1) &
Del Dato: 159k - 38k = 3630 121k = 3630 k = 30
MCD(A; A3) = A × MCD(1; A2) = A × 1 = A
2
3 k 0
Para: B = 35k + 3k B = 38k A = 38k # 4 + 7k A = 159k
Razonamiento y demostración Clave B
4 5 2 B 7k 3k 7k 3k k
n
10MCM 21k ; 7k ; 9 k 5 10 5
=
n
630
=
630 . 10
Clave E
16.
Del enunciado: MCM(A; B) = 630 A # B = 3780
°
4° 5° 6° 8° °
MCM_4; 5; 6; 8i = 120
abc = 120k & k ! {1; 2; 3; ...; 8}
&
8 números Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
19
Nivel 3 (página 40) Unidad 2
24.
I. V ° entonces: B = AK, K Z+ Si B = A, Luego: MCD(A + AK; A) = MCD[ A(K + 1); A] = A # MCD(K + 1; 1) = A II. V Como A y B son PESÍ, entonces: MCD(A; B) = 1 Luego: MCM[MCD(A; B); A # B] = MCM(1; A # B) = A # B III. F MCD(3k1; 3k2; 3k3; 3k4) = 3 # MCM(k1; k2; k3; k4) $ 3
Comunicación matemática 21.
Sea l la longitud de cada trozo, entonces: 260 = °l; 280 = °l; 420 = °l y 480 = °l & l = MCD(260; 280; 420; 480) = 20
a) Se obtuvieron: 260 20
+
280 20
+
420 20
+
480 20
13 + 14 + 21 + 24 = 72 trozos b) Cada trozo mide 20 cm. 22. d
(1) 210 m
d
d
d d
(2) 270 m
d . .
.
. .
...
d
d d
Como: 10 = 2 # 5 & exponentes: 1; 4 15 = 3 # 5 & exponentes: 2; 4 MCD(A; B) = 18 = 2 . 32 2 2 & A = (2 . 3 ) . 3 = 162 B = (2 . 32) . 23 = 144 ` A + B = 306
Además, como es la mayor distancia posible, se cumple: d = MCD(210; 270; 300) = 30
26.
Reconstruyendo el esquema:
210 30
(sin contar los postes de las esquinas) En el lado (2) hay:
270 30
– 1 = 8 postes
En el lado (3) hay:
300 30
– 1 = 9 postes
a) Se colocan: 6 + 8 + 9 + 3 = 26 postes b) Distancia entre poste y poste: 30 m
& &
Cocientes sucesivos
5
1
2
3
A
B
70
30
10
Residuos sucesivos
70
30
10
0
c) F MCM(2 + 3; 3) = MCM(5; 3) = 15
20
29.
30.
B = 70 # 1 + 30 = 100 A = B # 5 + 70 = 100 # 5 + 70 A = 570
Intelectum 2.°
Si: MCD(A; B) = 18; CD(A) = 21; CD(B) =10 Sabemos: MCD(A; B) = d & A = dp; B =dq (p y q son PESÍ) Entonces: A = 18p B = 18q / 2 A = 3 . 2p B = 32 . 2q CD(A) = 21 = (2 + 1)(6 + 1) 2 5 & A = 3 . 2 . 2 A = 26 . 32 CD(B) = 10 = (1 + 1)(4 + 1) 2 2 & B = 3 . 2 . 3 B = 34 . 2 ` A + B = 576 + 162 = 738
Sea: Televisor: T Refrigeradora: R Precio: C T . C = 95 450 / R . C = 19 550 (1) (2) Dividimos (1) y (2): T R
El mayor de los números es 570.
`
Clave A
b) V
...(2)
Clave C
Razonamiento y demostración
a) F MCD(B; 3B; 5B; 2B) = B × MCD (1; 3; 5; 2) = B
MCM(A; B) = 330 d . a . b = 2 . 3 . 5 . 11
Clave B
Clave A
– 1 = 6 postes
d(a - b) = 7
&
De (1) y (2): d = 1 / A - B = 7 & A = 22 / B = 15
Resolución de problemas
Es decir: d es un divisor común de 210; 270 y 300.
23.
•
Clave C
25.
.
...(1)
d
Sea d la distancia entre poste y poste, del gráfico se observa. d° = 210; d° = 270 y d° = 300
En el lado (1) hay:
.
$ 1
300 m (3)
Sean los números A y B: • A - B = 7 da - db = 7
.
d d
28.
27. L1 = 540; L2 = 480; L3 = 360
=
95 450 19 550
=
83k 17k
Sumamos (1) y (2): C(T + R) = 115 000
L1 = 33 . 22 . 5; L2 = 25 . 5 . 3; L 3 = 23 . 3 2 . 5
C . 100k = 115 000 C. k = 1150
MCD(L1; L2; L3) = 22 . 3 . 5 = 60
Máximo
.
Se ha obtenido 60 trozos.
&
k = 1
Vendió: 83k + 17k = 100
`
Clave C
Clave C
CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES ( Q) PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 43) Unidad 2
10. S
Comunicación matemática
S
1. 2.
!
3
=
37 . (0, 081) + 5 37 .
= 3
d n 81 999
333 111
`S = 3
+
5
+
5
E= 37 . 9 . 9 9 . 111
= 3
5
96 # 4 90
888 111
=
=
96 90 1 4
=
64 15
2
Clave D Clave B
2 7
=
3.7+2 7
=
23 7
5
4 9
=
5.9+4 9
=
49 9
1
5 17
6
4 9
Comunicación matemática
a) F 1 +
1 2
3 10
+
7 5
-
=
10 + 5 + 3 - 14 10
=
2 5
11. 12.
Es una fracción propia. b) F 5 2 5 ' # 2 3 3
5 2 3 # # 2 3 5
=
Razonamiento y demostración =
1
öN
13.
a) F
` !
15 99
0, 15 =
c) V 0,1 + 0,03 = !
1 10
3 90
+
=
12 90
=
2 15
2 17 2 & 2 # 42 15 42
b) V 0,2 + 0, 02 =
> 17 # 15
11 99
2
!
a) F Si
17. 3
Nivel 2 (página 43) Unidad 2
Razonamiento y demostración
5.
1 4
E =
= 3
36 90
+
`
3.
4.
+
6 9
2 10
=
+
!
1 9
2 90
=
0, 1
=
20 90
=
17 + 5 17
=
6.9+4 9
=
22 17
=
58 9
23 + 49 + 22 + 58 = 152
0,1
Clave D
2
=
2 9
!
=
18. x + 4 9
0, 2 x+
c) V 47 # 0, 37 + 52 # 37
4 9
=
2 5 6 4 # # # #7 3 7 11 9
=
4 # 20 99
!
84 > 255 (falso)
99
b) V 3+5+8 3+6+8
=
37 99
= 99 #
16 17
14.
= 37
+
1
=
25
2+1 5
b) F f=
3 5
=
10 15
& Es un número fraccionario.
no es irreductible.
19.
c) V 1
Resolución de problemas
1+
!
0,666 ... = 0,6 !
=
6 9
!
=
13 1 90 -
12 90
=
1 5
22 . b4 , 27l
d
S
=
22 . 4 +
S
=
22 .
S
=
423 99
100
=
5 10
!
0, 283
6
+
27 99
+
=
n
6
+
0, 56
6
A
=
`
b l
12 . 0,6
+
3.4.3.2 3.3
!
=
36 11
` x =
4 11
1 N 1 1 1 10 180 9
18 1 N
es irreductible.
N = 19
+
=
1
=
12 . 6 9
+
8+ 1
=
=
1 1 # 2 1 3
1
=
20.
-
!
16. Clave C
19 180
E=
n
1 N 1 1 1 15 60 2 1
N
# 60
30
1
=
-
N = {5; 6; 7; ...; 29}
=
La cantidad de fracciones será: 29 - 4 = 25
1 3
=
d
4
283 28 17 900 60 56 5 17 90 30
1 + 2
Clave E
Nivel 3 (página 44) Unidad 2 =
9
A = 3
=
0, 5
3 2
+
1 2
=
4 2
=
2
!
0, 6 + 0, 39 0, 25
Comunicación matemática 21.
Clave C =
N 180
Clave C +
Reemplazando: 1
20
1
&
1 2
!
10
!
=
5 6
0, 3
0, 3 = 3 9
94 + 6
=
1
#
!
0, 5
Clave A
9. A
=
f pf p 0, 283
!
`
1 6 5
=
0, 56
2 15
=
!
=
9x
!
Clave C
S
80 11
Resolución de problemas 15.
8.
=
`
2 3
=
Clave B
0,13
9x + 4
Clave A
4
7.
80 99
7 7 2 90 100
c) V
0,6
=
a) F
& Es una fracción irreductible.
6.
9x + 4 9
Sea x e y las cantidades que se retiran del recipiente B, para verter en los recipientes A y C, respectivamente. Se cumple: 3 5
- x - y =
1 2
+ x =
1 7
+ y
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
21
a + b + c + d = 4 (no se puede dar este caso)
Se tiene: 3 - x - y =
▪
5
1 10 ▪
1 2
3 5
+ x
1 7
.
.
`
+
...(1)
II. V c = a + b & f 2 =
a+b d f 2 < f 1 + 1 & a + b 1 a d b
+ y
= x + 2y
...(2)
= 3x + 3y
39 70
= 3(x + y)
13 70
= x + y
_
1 + 2 + ... + n
=
3
+
1
>
_
n n+1
i
2
H
=
i
>
_
n n+1
i
2
H
29.
2
_
n n+1
&
f 2 =
a+1 b+1
2 x 3
2 x 3
a 20
Fracción irreductible:
7x 24
x 3
; a y 20 son PESÍ.
!
30.
24
1
& f =
N D
=
ab 99 10
ab 990
4 5
!
=
0,0 ab
c) F Como 0 1 a 1 2 y 0 1 b 1 2, entonces a = 1 y b = 1 Luego: 11 + 11 11(2)
=
22 3
/
27 27 = 11 (2) 3
=
9 -
27.
Fracción:
a b
n+1 n
+
&
I. F f 1 = a y f 2 = c son fracciones, entonces: a, b, c, d
d
° ° + ! Z / a ! b, c ! d
Intelectum 2.°
=
2 3 1 5 # # # # 21 9 2 2 7
x
=
5 2
x
=
5 2
x
=
25 - 8 10
` x =
No es fracción
b
+
=
2
n+1 n
=
-
n = 4
4 5
21000
21 000 & x
=
72 000
24 000 L
=
Gastó
No gastó
1 x 3
x
Gastó Total
31. =
17 10
17 10
n+1+8 n
2n = 8
=
21000
1 x+x 3
=
1 x 3 4 x 3
=
=
4x 3
1 4 Clave B
; donde: a 2 b
n + 1 + 2n = n + 9
=
72 000 3
Clave B
26. 1 # 4 # 2 # 3 + x 2 5 3
=
=
Piden: Total =
Existen 8 fracciones.
ab 99
=
Clave C
`
10
3 x 8
=
Falta para llenarla:
1 a 6 1 1 4 20 5
51 a
3 x 8
-
Valores que toma a = {7; 9; 11; 13; 17; 19; 21; 23}
N = 0, ab =
-
16x 9x 24
Resolución de problemas
b) V =
21000
Clave D
25.
2&D
-
2 x 3
i
& f 1 1 es una fracción propia
=
7k + 3k = 10k = 70
Sea la capacidad de la piscina: x
& f 1 1 f 2
& n(n + 1) 2 6 2 2
22
`
a 1+a 1 b 1+b
n 2 2
24.
k = 7
a(1 + b) 1 b(1 + a)
2
Por dato:
D 5
7k - 3k = 28 4k = 28
Luego: a + ab 1 b + ab
2
=
3
... + n
3k 7k
=
f 1 es propia & a 1 b
n n+1 2
&
a b
Clave D
c – 1 = a & c = a + 1 d – b = 1 & d = b + 1
I. F
+
Fracción:
III. V
13 70
Razonamiento y demostración
3
1
Luego: d - b = n; n ! Z+
Lo que se retira en total del recipiente B es:
1
+
+ ! ! R
& b 1 d & d - b > 0
22.
23.
28.
a+b a+b 1 d b
16 35
x + y =
a + b = 2n + 1 = 9 Clave B
Sumando (I) y (II): 1 10
`
.
1 1 1 1
= 2x + y
- x - y = 16 35
.
Clave D
Tenía al inicio: 9x (Queda) Gasta No gasta 3x 6x
Gana 1 6x 3
_ i = 2x
Queda al final: 8x La pérdida será: 9x - 8x = 12 x = 12 Tenía al principio: 9(12) = S/.108 Clave A
° 11a - 10b = 37
MARATÓN MATEMÁTICA (página 45) 1.
.
S = 18 . 0 + 18 . 1 + 18 . 2 + 18 . 3 + 18 . 4
=
18 .
4 . ^4 + 1h 2
=
36 . 5
=
.
Clave B Clave B
180 Clave D
6. 2.
Sea el número: N = 2°
° / N= 3 ° & N = 6 = 6k
Por dato: 20 < 6k < 30 3,3 < k < 5 4 ` N = 6k = 6(4) = 24 Clave C
k
ab = 7° 7° : ...-14; -7; 0; 7 ; 14; ... ; 98; 105; ...
7.
4.
CDNO SIMPLES = 6(n + 1)2 - 4 = 20 6(n + 1)2 = 20 + 4 (n + 1)2 = 4 ` n = 1
Divisores simples
Clave B
5.
° ; a 2 b abab = 37 ° abab = 37
° 1000a + 100b + 10a + b = 37 ° 11a + 27b = 37
A = 12 . 45 = 2 . 3 . (3 . 5)
3 7
=
2 4
x
=
2 4
x
=
1 14
-
3 7
Clave D
No gastó x
1 x+x 3
Gastó Total
11.
=
=
1 x 3 4 x 3
4x 3
=
1 4 Clave B
Sea la edad de Teresa: x 9
` 5x j
`
=
63
x = 35 años Clave D
12. Clave B
8.
2 3 # 3 4
Piden: Total =
n
Por dato: 90 = (2n + 1) . 2(n + 1)(n + 1) 45 = (2n + 1)(n + 1)2 5 . 32 = (2n + 1)(n + 1)2 & 3 = n + 1 ` n = 2
n
M = 32 . 15 = 2 . 3 . 5 CDM = 6(n + 1)(n + 1)
&
2
N = MCM(A; B) = 22n . 32n + 1 . 5n CD(N) = (2n + 1)(2n + 1 + 1)(n + 1)
Clave E
n
2
=
1 x 3
8k + 2 tiene 28 divisores.
n
3 5 # 5 7
Gastó
10.
A = 22 . 32n + 1 . 5n B = 12n . 45 = (22 . 3)n . (32 . 5) B = 22n . 3n + 2 . 5
ab : 7 # 2; 7 # 3; ...; 7 # 14 ° ` Hay 13 números de dos cifras 7.
5
x+
x+
Clave A
7 # 2 7 # 14
n
9.
k + 2
A = 8 + 8 A = 8k(1 + 82) A = 65 . 8k A = 13 . 5 . 2 3k (1 + 1)(1 + 1)(3k + 1) = 88 3k + 1 = 22 3k = 21 & k = 7 8k + 2 = 89 = 227 CD(227) = (27 + 1) = 28 `
3.
.
1 3 & A = 56 / B = 168
7 4 & a + b = 7 + 4 = 11
S = 18(1 + 2 + 3 + 4) S
m + n = 4
.
Sean A y B los números. Datos: A + B = 224 ...(1) MCD(A; B) = 56 ...(2)
a b + 9 5 5a + 9b 45
!
=
3, 06
=
276 90
5a + 9b = 138
De la ecuación (2): A = 56m / B = 56n (m y n son PESÍ) Reemplazando en (1): 56m + 56n = 224
24 2 15 7 6 12 a: 6; 15; 24 Nos piden: 6 + 15 + 24 = 45
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave E
23
Unidad 3
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN Z+
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 50) Unidad 3
Piden: a + b = 2 + 5 = 7
Comunicación matemática
10.
1. 2. 3.
∴ A = 5 Clave B
19.
2
N
k
r máx.
Clave C
r máx = 24 Por teoría: r máx. = 2k = 24 & k = 12 N = 122 + 24 = 168 ` S cifras: 1 + 6 + 8 = 15
Comunicación matemática 11. 12.
2 valores
Clave D
b) F Si N = k3, entonces N: 27
Razonamiento y demostración 13.
1 valor c) F No hay potencias perfectas de grado 6 en ese intervalo.
a) F a00b = k3 .
20. &
3
a = n
.
720 Por teoría: 720 = 3k(k + 1) 240 = k(k + 1) & k = 15
1 8 (a + b)máx. = 8 + 0 = 8
N . 168 = k2 N . 23 . 7 . 3 = k2 Los exponentes de 2; 7 y 3 deben ser 2.º & N = 2 . 7 . 3 ` N = 42
b) V N = 1 + 3 + 5 + ... + 87 = 442
.
.
15 16 Reemplazando: N = 153 + 720 = 4095
.
cuadrado perfecto c) V N = 1 + 23 + 33 + ... + 93 = 452
Clave C
Sea el número: N N = k3 + r máx.
.
0
Resolución de problemas 6.
.
I. V ° 4323 + 25 = 4348 = 432 & cuadrado perfecto II. V III. F º 227 = 23 & cubo perfecto Nivel 2 (página 50) Unidad 3 a) V Si N = k2, entonces N: 16; 25
Sea A el número menor: 6! # A = k2 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # A = k2 24 # 32 # 5 . A = k2 5
10; 11; 12; …; 21 nº. de términos = 21 - 9 = 12 Por lo tanto: existen 12 números cubos perfectos de 4 cifras.
Clave C
5.
abcd = k3 1000 # k3 1 10 000 10 # k 1 21,54… .
Razonamiento y demostración 4.
18. Clave C
Clave B
.
7.
N . 96 = k2 N . 25 . 3 = k2
cuadrado perfecto 14.
° Los exponentes de 2 y 3 deben ser 2. & N = 2 . 3 ` N = 6 Clave D
Se sabe que si a es impar, entonces b = 7 y si a es par, entonces b es 2, luego: I. F II. V III. V
b = 2 / a ! {0; 2; 6} Además: 4a = n(n + 1) & n = 6 / n(n + 1) = 42 & a = 2
15.
a . b = 2 . 2 = 4
1ab = k3 Para: k = 4 1ab = 64 Para: k = 5 1ab = 125
"
(No cumple)
16.
"
h
h
Intelectum 2.°
" 2n - 1
169 = n2 & n = 13 En la base se deben colocar: 2n - 1 = 2(13) - 1 = 25 Clave B
8 < k3 < 216 2 < k < 6 & k: {3; 4; 5} Hay: 3 cubos perfectos Clave D
17.
3 "5
Sea A el número menor: 1232 . A = k2 24 # 7 # 11 # A = k2 & A = 7 # 11 ` A = 77
(Cumple)
1
Del enunciado: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
Clave C
Para: k = 6 1ab = 216 (No cumple) Se tiene que para valores de k mayores que 6, no van a cumplir la condición. & a = 2 / b = 5
24
21.
Resolución de problemas
Clave B
9.
Comunicación matemática
Clave D
2 8. 4ab5 = k
`
Nivel 3 (página 51) Unidad 3
10 000 # k3 < 100 000 21,5 # k< 46,4 ` Existen k = 46 - 21 = 25 números.
22.
Sea n el n.° de árboles por lado y , la longitud del lado. n2 = 1849 n = 43 , = (n - 1) # 3 & , = 42 # 3 m
,
,
Perímetro = 4 # [3 # (42)] = 504 m Clave A
Clave C
abc(5) = 14 . 22 = 56 25a + 5b + c = 56
Razonamiento y demostración 23.
a) V
28.
2
& a(2a + 1) = n
6
.
6ab
2 `
2 1 1 a + b + c = 4
b) V
24.
;
n^n + 1h 2
2
E
26.
El número: ab(2a)(2b)
c) V
3 # ab(2a)(2b) = k2
I. V Como: mnpq(r + 1)(2r) = k2 = 2° ° & mnpq (r + 1)(2r) = 4 (r + 1)(2r) = 4°
Descomponemos polinómicamente: 3(1020a + 102b) = k2 3060a + 306b = k2 306(10a + b) = k2 Cumple para: k = 102 & 3468 = ab(2a)(2b)
II. F k3 = 3ab 63 = 216 73 = 343 83 = 512 & k + 7 = 7 + 7 = 14
abcabc(5) = k2 abc(5) . 53 + abc(5) = k2 125abc(5) + abc(5) = k2 126abc(5) = k2 2
3 .7.2
7 . 2 . n2 2
& abc(5) = 14n
100(5) # abc(5) # 444(5) 25 1 14n2 1 124 1,336 1 n 1 2,976
Si a = 4 : ° a(2a + 1)00 = 4900 ! 125 & a = 4 Piden: a^2a + 1 h 00
29.
& a = 3 / b = 4 `
a + b = 7 Clave D
27.
Clave B
Resolución de problemas
Si a = 2 : ° (no cumple) a(2a + 1)00 = 2500 = 125
4900
=
=
70 Clave B
III. V (x5)2 + 52 = 6mn [x(x + 1)]25 + 25 = 6mn [x(x + 1)]50 = 6mn & x = 2, m = 5; n = 0 Luego: x + m + n = 2 + 5 + 0 = 7
25.
1 3 2 5 3 7 4 9 & a = 2 o a = 4
Clave A
13 + 23 + ... + n3 =
N = a(2a + 1)00 = k2
Analizando los exponentes: a3(a - 1) / (a - 1)b(2a)
a(a + 1)(a + 2)(3a)(a + 3) a = 1; 2; 3 Para a = 3 el numeral tiene una cantidad impar de divisores: 34 596 = 22 . 32 . 312 & CD = 3 . 3 . 3 = 27 & a(2a)(3a) = 369
... (1)
2 3 4 ° Además, los exponentes tienen que ser 3. Si a = 2: a3(a - 1) = 231 = 3° Si a = 3: a3(a - 1) = 332 ! 3° Si a = 4: a3(a - 1) = 433 ! 3° & a = 2 Reemplazando el valor de a en (1): (a - 1)b(2a) = 1b4 = 3° Luego: 1 + b + 4 = 3° & b + 5 = 3° & bmáx. = 7
20 31 r e = 31 369
`
Clave C
2
30. ^^b + 1h^a + 1h ah
=
^a + 1h ab^a + 1h a
a ! {0; 1; 5; 6} Analizando para a = 6 cumple la igualdad. 2 & (b + 1)76 = 76b76 & b = 1 `
2762 = 76 176 a + b = 6 + 1 = 7 Clave C
& (a + b)máx. = 9
2
Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
25
RAZONES Y PROPORCIONES PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 54) Unidad 3
A B
9.
Comunicación matemática 1. 2. 3.
150 350
=
3 7
10.
a b
8k 15k
=
C A + C & D B+D
=
=
A B
2
2
A B
=
C A B & 2 D B -
_
i
A + B D
&
B
=
2
C) F B - D = B - A 5.
2
`
C =
-
b - a = 15k - 8k = 42
E+1 3
=
=
5 &
B 3
=
C 5
=
72 & B
3
= 3 Ç 72
13k 7k
6k = 72 k = 12 14. Clave B
=
8k 3k
/
a - b = 70
Clave C
7k 13k
/
b - a = 42
& 13k - 7k = 42
`
6k = 42 k = 7 a + b = 13k + 7k = 20k = 20(7) = 140 Clave B
26
2
D
2
=
2
2
2
2
A # C
E
C D
F
=
2
K
=
18. 2 2
_K i
=
=
Intelectum 2.°
+
=
E F
4
=
C D
+
2&
=
A B
+
&
AD + 7B + BD BD
+
1
=
C D
+
_ A + Bi D + 7B BD
7 D
=
=
+
=
5 9
=
5 a+c & 9 162
=
5 9
& a + c = 90
(a + c)2 = a2 + c2 + 2ac 8100 = a2 + c2 + 3600 4500 = a2 + c2 (a – c)2 = a2 + c2 – 2ac
; K 2 1
A + 2B B
c d
a+c b+d
2
K 1 K
=
b + d = 162 a . c = 1800
(a – c)2 = 4500 – 2(1800) (a – c)2 = 900 a – c = 30 Clave C
C + 2D D
19. 7 D
= 12
Proporción geométrica: a b
4
D B
2
48 . 3
2
III. V
&
b=
Clave C
2
I. V
A B
El mayor es: 8(14) = 112
=
C
II. V
k = 14
a b
A + E B+F
=
& D es la media proporcional de C y B.
& 8k - 3k = 70
8.
2
=
A - E + C B-F+D
El menor es: 7(12) = 84 a b
K
=
C) F A = BK E = FK C = DK & A - E + C = BK - FK + DK = K(B - F + D)
& 13k - 7k = 72
7.
2
B #D
a - b = 72
/
2a = 96 a = 48 c = 3 `
&
Resolución de problemas =
b = a . c (b: media proporcional) a + c = 51 (+) a - c = 45
A) V
B
B = 6
a b
17.
1 8
=
B) F
C) V
6.
4 32
A 3
9k - 5k = 4k = 4(4) = 16
`
A + C + E B+D+F
D = 7, E = 14
D + E = 7 + 14 = 21
=
14k + 30 = 86 k = 4
Razonamiento y demostración
`
A 2
7 5
A) 32 - 4 = 28 B)
B) V
2
Clave B
12.
35 D
Futuro 5k + 15 9k + 15
& 5k + 15 + 9k + 15 = 86
n.° carritos rojos: 7 n.° carritos azules: 5 Piden:
A = D
Presente 5k 9k
Carol Roger
Comunicación matemática 11.
13. =
9k - 8k = 3
16.
Nivel 2 (página 55) Unidad 3
D
D
A) F A = DK3 B = DK2 C = DK A B
`
Clave C
Clave E
C-D A - B
&
8k + 12 + 9k + 12 = 75 17k + 24 = 75 k = 3
k = 6
B) V 2
Futuro 8k + 12 9k + 12
&
& 15k + 8k = 138
A) V A B
Andrea Melissa
a + b = 138
/
Presente 8k 9k
15.
Clave C
Razonamiento y demostración 4.
Resolución de problemas
11k - 6k = 60 5k = 60 k = 12
/
El mayor es: 11k = 11(12) = 132
Espacio usado: 500 - 350 = 150 GB Espacio disponible: 350 GB Piden:
6k 11k
=
1
27 a
a=
C+7+D D
=
27 k
b 70
=
15 c
Clave E
d 14
, b = 70k , c =
b – d = 24 70k – 14k = 24 56k = 24
C+D+7 D
=
k=
3 7
=
k
15 k
, d = 14k
Piden a + c + b + d; reemplazamos: `
42 3
. 7 + 84 .
3 7
Del enunciado:
= 98 + 36 = 134 Clave B
20.
=
b a
, (a 2 b)
…(2)
a b
=
20 24
23. A B
Clave A
28.
24.
…(3)
8k - x = 5k x = 3k & x = 60 Deben retirarse 60 mujeres.
`
Clave B
29. a b
A - B = B - C 2B = A + C
Reemplazando el valor de b en (1): a + 25 = 35 & a = 10 ` a . b = 250 Clave D
Nivel 3 (página 56) Unidad 3
=
b c
_bki b + _dki d = 20
... (1)
De (1): b2 = a . c
(b + d)
k k
a. c
625
20
=
= 20
k
=
5
=
5&k
1 k
…(2)
1 25
=
Clave B
Clave A
- 950 ml
Presente 3k 5k
26.
- 850 ml
Víctor Elizabeth
- 800 ml
30. a
Futuro 9 + 3k 9 + 5k
b
- 750 ml
& 9 + 3k + 9 + 5k = 74
- 700 ml
22.
a
3
b
3
&
Elizabeth tiene 5(7) = 35 años de edad.
`
d c
Clave D
12
&
Pasado 4k - 12 7k - 12
27.
Pamela Kimberly 16
&
4k 7k
-
12 12
=
1 4
b
16k - 48 = 7k - 12
c d
=
c
=
e f
=
3
d
e
=
3
5
= 3
=
3
f
5
3
&
3 3 +c +e = 3 3 3 b + d + f
a
3
5
3
...(1)
a = 5b / c = 5d / e = 5f
8k = 56 k = 7
a
d k
+
(2) ' (1):
b = 25 - 900 ml
…(1)
Del dato: b k
b =
x = 850 mL
= bk / c = dk
a . c = 625 (dato)
b=
Comunicación matemática
k
=
Del dato: a + c = 4 bk + dk = 4 (b + d)k = 4
A + C 2
Sean a; b y c los elementos de la proporción geométrica continua. a b
c d
=
& a
Resolución de problemas 25.
5k + 8k = 260 k = 20
/
A # C
B=
De (1) y (3): a + b = 35 b – a = 15 (+) 2b = 50 & b = 25
Varones: V = 5k Mujeres: M = 8k &
B C
=
B=
15(a + b) = (b – a)(b + a)
19 & 17
`
5 8
A Ç C = B2 sacamos raíz
15a + 15b = b2 – a2 15 = b – a
=
Razonamiento y demostración
a2 + 15a = b2 – 15b
=
5 3a & 8 4b
Clave D
De (2):
950 21. x
=
&
Sean a y b dos números tal que: a + b = 35 …(1) a + 15 b - 15
12a 2 16b 2
9k = 36 k = 4 4k + 4 + 7k + 4 = 11k + 8 = 11(4) + 8 = 52
Presente 4k 7k
Futuro 4k + 4 7k + 4
a . c . f b.d.e f e
=
d
2
c
2
5b . 5d . f b . d . 5f
=
...(2)
1 5
=
2
f
=
5
=
e
2
1
=
&
d
2
5
2
3
pd
a . c . f b.d.e
=
25
c
2
+ +
2
f e
2
=
1 5
...(3)
2
De (1); (2) y (3): &
f
a
3
b
3
+ +
c
3
d
3
+
e
+
3
f
_ i_ id n 5
3
5
1
5
2
nf
d c
2
2
2
+
f
+
e
2
p
=
Clave B
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
27
MAGNITUDES PROPORCIONALES PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 59) Unidad 3
6.
Comunicación matemática 1.
Las magnitudes son: TEMPERATURA & 1.° P; 2.° U VOLUMEN & 3.° N TIEMPO & 4.° T ÁREA & 6.° A LONGITUD & 7.° L; 8.° I VELOCIDAD & 9.° D; 10.° A; 11.° D P U N T U A L I D A D
2.
2
1
10
4
5
Nivel 2 (página 60) Unidad 3
Resolución de Problemas
3
Comunicación matemática
IP DP Z 1 ] 5 . 210 = 42k 5 ]] 1 856 [ 6 . 210 = 35k 6 ] 1 . 210 = 30k ] 7 7 \ 42k + 35k + 30k = 856 107k = 856 k = 8 Luego: 42k = 42(8) = 336 35k = 35(8) = 280 30k = 30(8) = 240 ` La mayor cantidad es 336.
11. 12.
n.° de días Eficiencias n.° de pisos Razonamiento y demostración 13.
A) F A DP
3.
9
8
7
2
1
7.
Distancia y tiempo Eficiencia y tiempo n.° de horas diarias y n.° de días
4.
=
Clave C
cte.
8.
A
3
.
C
B =
A & A = 3 6
14
.
=
64
64 14 . 4 8
II. V 2 4 & B = 1 B
3
= 2
`
=
k
6 & B B
= 2
9. Clave B
M Ç N = cte. A) F 8 Ç 3 = 4 Ç N N = 6
A
=
.
3
15. 8
4
B) F 6 Ç 10 = 12 Ç N N = 5 C) V 14 Ç 15 = 35 Ç N N = 6
28
DP B
II. F A DP B2
& A
DP B
III. F A DP B2
& A
DP B
A IP B2
Intelectum 2.°
=
=
25 B 100
=
A . 12
36 2
A.2.3 48
B
A . 6 144
=
=
1 A
2
d n 5B 4
25 16
16A = 25A - 900
`
A = 100 Clave E
A . C
C
IP
5 B 4
= (A - 36) .
A = (A - 36)
16.
Clave C
`
B+
2
A = 40
A IP
& B
A . B2 = k
&
& A . B
= k
A DP B2
= cte.
= A Ç B = cte.
& A
B'
`
10.
1 A & B 1 B
A = 7
5.C.2 2C
A + B C
Clave E
A . 2 2
A . C . D B &
5.
&
I. F A DP B2
Clave A =
A IP B
Resolución de problemas
III. F 3 1
&
14.
`
I. F 2 4
A DP
62k = 62(15) = 930
Razonamiento y demostración
1 B
C) V
(10 + 12 + … + 98)k = 36 450 2430k = 36 450 k = 15
n.° de obreros y n.° de días
A B
A + B DP C
DP Z10k ] ]12k ]] 14k 36 450 [ ] h ] 96k ]] \ 98k
-1
dn
IP
B) F
Clave A
6
1 & A B
2
= K
& A
4 . 16 8
DP DP Z ] A & A2 = 1 & A = 1 8 ] 2 2 ] 1 1 2 1062 [B & B = &B= 50 5 2 ] ]C & C2 = 1 & C = 1 ] 98 7 2 \ =
2
k ; 2
B
=
k ; 5
C=
A + B + C = 1062
4.4 64
k 2
A = 6 Clave B
+
59k 70
k 5
+
k 7
= 1062
= 1062 & k = 1260
k 7
Nivel 3 (página 60) Unidad 3
Piden la mayor parte repartida: k 2
=
1260 2
Clave C
21. 17.
_peso i
Repartir:
A) IMC de Luis
154 = 52 . 33 . 52 . 3 = 75 (52 Ç 33) 25 308 452 = 52 . 33 . 3 = 3 (52 Ç 33)
B) IMC de Martín
753 = 52 . 33 . 54 = 625 (52 Ç 33) 75k + 3k + 625k = 25 308 703k = 25 308 k = 36 ` La menor parte: 3k = 3(36) = 108
2 1
x
4
=
3
2
x
A B
x
23.
. 23 = 22x
2x + 3 = 22x x = 3 A B
3
k&
=
2 1
3
3
A
=
3
3
& A
3
3
=
216
A = 6 `
Si: k =
2
A = 36 Clave A
19.
Gasto: G Sueldo: S S
=
240 S'
a0(9) b^2a - 1h(9)
Precio: P Peso: W P W
2
=
Sea el peso: 5m =
P1
_3mi2
=
_2mi2
Si: b = 1
&
a - 1 = 3 a = 4
Si: b = 4
&
a - 1 = 6 a = 7
`
mn pq
2 _ x + yi L _ x - yi 2 _ x 2 - y 2i
.
k=
&
12 22
x + y; y son &
Clave C
Resolución de problemas 25. A . C
L 6
Clave D
dn
=
L 2
pq = 49
Luego: mn = 9 49 = 63 ` m + 2n + 3p + q = 6 + 2(3) + 3(4) + 9 = 33
B `
Por lo tanto, a la mayor parte le corresponde: L 6
9 & mn = 9 pq
Como pq es un cuadrado perfecto, se cumple: ° pq = 72 = 49r 2
; x ! y
C) V CD(x + y) = CD(y) = 2 números primos
(x + y)k = 3
=
Además: MCD(mn; pq) = 7 & mn = 7k / pq = 7k
L
& P2 = S/.320
La venta será: 720 + 320 = S/.1040 La pérdida será: 2000 – 1040 = S/.960
a + b = 4 + 1 = 5
III. V
Ahora: 2(x + y)k = L
& P1 = S/.720
a2 = 9b + 2a - 1 (a - 1)2 = 9b a - 1 = 3 b .
, se tiene:
Luego, como 2 y 3 son los únicos números primos consecutivos, entonces: y = 2 / 1 + y = 3
P2
9 & 9 a = 9 9b + 2 a - 1
1 4
También, como: CD(x) + 1 = 2 CD(x) = 1 & x = 1
K
=
2a - 1 < 9 a<5
13 2
k= Clave B
_5mi2
II. V
d n(x + y) = L
k=
S' = 600 Ahora si: S' = 600 / G = 240 & A = S/.360
2000
2
13 2
a + b + c + d = 2 + 6 + 2 + 5 = 15
`
k
B) F 2k(x + y) = L
Si: S = 1000 / A = 600 & G = 400
20.
x+y
=
impar º & L = 2 + 1
K
S – G = A (Ahorro)
=
C
=
13(x + y) = L G
400 1000
B y
Como CD(x) = CD(y) = CD(x + y) = 2, entonces: x; x + y, y son números primos, además: x + y > 2 impar
& x + 3 = 2x
3
25 = bcd bcd = 625
A) F kx + ky + k(x + y) = L 2k(x + y) = L
x
& 2
3
=
9 bcd
Entonces: 225 = 9 bcd
Sean las cantidades a repartir: A; B y C Entonces: A x
=
2a + 5 = 9° & a = 2
Razonamiento y demostración
= k
3
IMC de Jorge
1
9 & aa5
=
Luego: aa5 = 9°
22.
Clave A
Ax DP B3 &
aa5
IMC de María
1
= 9 = k
9
I. F
cte.
bca
DP
18.
=
27
= k &
B
2
IMC # _estaturai
Se tiene: A
Comunicación matemática
630
=
24.
26.
2
=
B=
k &
18 . 15 30
2
=
20. 27 B
2
30 2
(Potencia)(Años de uso) = k Capacidad
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave E
29
80 . 3 & 4
=
P1 . 3
90 . x 6
& 15x = 60
=
15 `
x = 4
`
P2 . 2
&
8
P1 + P2
=
P1
P2 P1
=
9 5
Clave C Clave D
Clave A
27.
Se da la siguiente regla de proporción: P # Am n.°m
=
k
Donde: P: producción Am: antigüedad de las máquinas n.° m: número de máquinas En el problema: n.º m: 15 8 Am: 9 4 P1 . 15
30
9 =
P2
28.
Pr ecio Peso 2997 81
2
Precio1 2 Peso1
&
&
Intelectum 2.°
29.
k
k
=
37
Luego para cada pedazo: =
Precio 1 4
2
=
37
=
37
=
37
Precio1 = S/.592
2 Peso 2
8
=
=
Precio 2
4
Precio3 = S/.148 Se perderá: 2997 - (592 + 333 + 148) = 1924 Por lo tanto, se pierde S/.1924. &
4 5
=
Precio 2 3
2
Precio2 = S/.333
Precio 3 2
Peso3
=
Precio 3 2
2
Repartir: DP 4 895 6 9
IP 1/3 1/8 1/10
& & &
4/3 . 60k 3/4 . 60k 9/10 . 60k
80k 45k 895 54k Sumamos: 80k + 45k + 54k = 895 179k = 895 k = 5 &
Piden: 80k - 45k = 35k = 35(5) = 175 Clave E
REGLA DE TRES PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 64) Unidad 3 Comunicación matemática 1.
IP Obreros días 6 3 6 + x 2 6 # 3 = 2(6 + x) 3 = x
6.
1y
x 3 2
1 2
=
B) F T2 =
480 # 3 64
= 22,5
C) V T3 =
160 # 3 64
= 7,5
= 4,5
15 días 21 días
x h/d (x - 2) h/d
15x = 21(x - 2) x = 7 & x - 2 = 5 h/d
Tiempo (horas)
105
96 # 3 64
Resolución de problemas
2.
Precio (S/.)
A) F T1 =
3 2
2
Clave A
7.
x = 2 Ç 105
7 días 11 días
x h/d (x - 4) h/d
7x = 11(x - 4) & x= 11
x = 140
Piden: x - 4 = 11 - 4 = 7 h/d
Respuesta: S/.140 3.
Clave B
IP
8.
DP
Obreros 120 110 1 20 . 3 6 36m
Razonamiento y demostración 4.
Kilómetros 195 325 260 130
Tiempo (horas) 3 T1 T2 T3
325 # 3 195
110 . x & x 11m
= 12
Clave A
DP
9.
Obra 4m m
= 5 horas
Obreros 28 (28 + x)
28 . 7d . 2a 4m
B) F
=
IP
IP
Días 7d 2d
h/d 2a a
_28 + x i_2d ia m
x = 21
`
T2 =
260 # 3 195
= 4 horas
Clave B
10.
C) V T3 = 5.
=
Obra 36m 11m
El retraso será: (25 + 12) - 36 = 1 día
A) F T1 =
Días 36 x
130 # 3 195
Área (m2) 64 96 480 160
= 2 horas
Tiempo (días) 3 T1 T2 T3
DP Área total 6 13,5
Costo 100 x
6 . x = 13,5 . 100 x=
13, 5 . 100 6
x = $225
`
Clave A
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
31
Nivel 2 (página 64) Unidad 3
18.
Comunicación matemática
IP n.° hombres
11.
Fabrican
29
29 70
2050
x
41 70
2050 . x 41 70
=
x = 45 días
`
Clave E
19.
Fabrican
DP Área total 6 . (10)2 6 . (15)2
Precio 2400 x
6 . (10)2 . x = 6 (15)2 . 2400 x = (15)2 . 24 ` x = S/.5400
S/. 425
12.
2250
2250 . 29 29 70
Entonces:
DP Provisiones
Días
Razonamiento y demostración 13.
Clave B
Área (m2)
n.° de obreros 10 8 60 10 # 3
=
n.° de días 3 3
60 A
A & A = 48 8#3
20.
m2
DP Volumen 323 (128)3
Tiempo 44 x
x . 323 = 1283 . 44
Es necesario utilizar ambos datos.
`
3
&x
Clave C
=
128 . 44 32
3
x = 2816
`
14.
n.° de hombres 20 H
h/d 9 6
Clave C
Tiempo (días) 15 25
Nivel 3 (página 65) Unidad 3 Comunicación matemática
H Ç 6 Ç 25 = 20 Ç 9 Ç 15 H = 18 ` La información I es suficiente.
21.
Tiempo (h) 3 t
Recorrido (km) 180 300
Clave A
180t = 3 Ç 300 t = 5 Tiempo total: 3 + 5 = 8 horas
Resolución de problemas 15.
( 2) 3 40
=
(5) 3 & x
x
=
40 . 5 2
3
3
& x = 625
22.
Se venderá en S/.625.
`
Obreros
Tiempo
Obra
20 35
7 t
150 300
Clave A
( 2) 3 16. 24 x
=
=
(3) 3 x 24 . 3 2
3
3
35 # t 300
& x = 81
Clave E
90 2 πr
=
x 2 π (2r )
90 . 4 = x 360 = x
Clave E
Intelectum 2.°
23.
Usando I: n.° de trabajadores
Tiempo (días)
mn
9
mn + 15
6
9mn = 6 (mn + 15) 3mn = 90
Tendrá que pagar 360 - 90 = S/.270 más.
`
32
7 # 20 & t = 8 días 150
Razonamiento y demostración
Entrarían 81 canicas.
`
17.
=
mn = 30
26.
Luego: n.° de trabajadores
Tiempo (días)
30
9
18
n.° ag. 54 27 &
t
Efic. 1 3
54 . 1 . 84 1254
& x . 9 . 1254
18t = 30 Ç 9 t = 15 días
Área 1254 6270
n.° días 84 x
27 . x . 3 6270
=
= 54 . 28 . 2090
x = 280
`
Clave E
Usando II. n.° de trabajadores
Tiempo (días)
mn
9 10
27
IP
27.
Rapidez 2 1 3
Juan Héctor Juntos
9mn = 27 Ç 10 mn = 30
Días x 18
1 . x = 3 . 18 ` x = 54 días
Cada una de las informaciones por separada es suficiente.
`
Clave B
Clave C
24.
28.
Usando I y II: En el numeral: _p2i 0
Sea x los días que duró la visita. 29
.
12 22 32
p: 2; 3
24 – x 6 miembros
Además: p2
-
q2 2
-
1 =
k
+ !Z /
p + q - q4 r
8 miembros
6.29 = 6(24 - x) + 8x 174 = 144 - 6x + 8x 30 = 2x ` x = 15 días
!Z
p2 - q2 = 2k + 1 ! Z+ .
x
.
impar par par impar
Clave C
Como p > q y ambos son números primos, entonces q = 2 (par primo). Luego: p = 3 / r = 11 n.° obreros
h/d
9
10
90
n
9
216
29.
Obra (m) Tiempo (días)
IP IP DP n.° pág. n.° líneas n.° palabras n.° días 125 36 11 5 x 30 12 6 &x
6 9
`
=
125 .
36 11 6 . . 30 12 5
x = 165 Clave A
n=
9 # 10 # 6 # 216 90 # 9 # 9
30.
n = 16 Clave C
Sean los rendimientos: R1 y R2 Luego:
R1 R2
=
1k 4k
Soldados (IP) x x - 40
IP Rendimiento 5k 4k
Por semana 18 28
18(x) = 28(x - 40) 18x = 28x - 40 . 28 x = 112 `
= k
R2 = 4k
Resolución de problemas 25.
& R1
Días 80 x
4k . x = 5k . 80 x
Quedan 112 - 40 = 72 soldados.
=
5 # 80 4
=
100 días Clave C
Clave C
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
33
TANTO POR CIENTO PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 69) Unidad 3
x% . 24 200 = 1210
8.
x 100
Comunicación matemática
B) F N + 5%N = 100%N + 5%N = 105%N C) F
. 24 200 = 1210 x . 242 = 1210
1. 2. 3.
0,7%A =
x = 5
`
2
3
6
25% de 400
7
4
5
50% de 48
1
0
0
8
9
0
9.
A 100
. 2600 = 650 & A = 25
B 100
. 4000 = 640 & B = 16
C 100
. 6000 = 840
`
4.
A) V 30%(500) = 25%(500) + 5%(500) = 25%(500) + 25 B) F 5% 2% 40%(25) =
A) V 22%(22) = 4%(4) = 1%(16) $ 1%(16) B) V 5%(8) =
A + B + C = 25 + 16 + 14 = 55
. 400 = 72 & x = 18 =
y . 900 = 135 100 & y = 15
Clave D
Ç 77 = 7,7
A) V 30%(20) =
=
Nivel 2 (página 69) Unidad 3 Comunicación matemática
12. A1
20 30 100
_ i
=
h
d
b+B 2
=
16.
x
-
8
n
1
_x
-
8
i
% . 800
=
1
_x
-
8
i
.8
17.
=
22 # 3 100
=
22%
_ 3i
x%
S. 7200
= 360
72x = 360 x = 5 x% = 5%
Aumento único = (100 + 10)% (100 + 50)% (100 + 20)% - 100%
=
=
=
_
80%h 75%b + 75%B
A2 = 80% 75%
4
i
= 198% - 100%
_
h b + B
i
`
2
Aumento único = 98% Clave D
A2 = 60% A1
2 = x - 8 x = 10
Luego:
Clave C
60% A1 - A1 A1
18.
= -40%
Disminuye en un 40%
`
(4n - 2)% . 9000 = 1260 (4n - 2) . 9000 = 1260 100 (4n - 2) . 90 = 1260 4n - 2 = 14 ` n = 4
Razonamiento y demostración 13.
Clave C
Intelectum 2.°
= 110% . 150% . 120% - 100%
2
4
`
34
_ i
Clave D
4
1 . 800 100
3 15 100
10x = 70 x = 7
B
A 2 .
15 3 100
+
= 8,91
Resolución de problemas 1
i+
Tanto por ciento
C) F 5%5%5%N = 0,0125%N
d
21
Clave A
h
891 100
_
n
b
9 # 99 100
Ç 5 = 5 Ç (0,08)
= 20%(30) = 6
B) F 9%(99) =
8 100
Resolución de problemas 15. (10x - 20) . 30 000 = 15 000 100 10x - 20 = 50
11.
5.
7 100
7 3 100
x + y = 18 + 15 = 33
C) V 12%(77) - 2%(77) = 10%(77)
30 # 20 100
Ç 8
7 %_ 21 i + 3 %_15i
`
10 100
5 100
C) V x 10. 100
= 0,01
7.
= Clave E
5 2 40 # # # 25 100 100 100
=
14.
C = 14
&
Razonamiento y demostración
6.
= 0,07A < 0,7A
Clave A
75% de 100
0, 7 100
A) V 1%P + 3%P + 5%P = 2(4%P) 8%P = 2(4%P)
40% A 6
=
50%B 4
=
50%C 5
=
k
A = 15k B = 8k C = 10k A + C = 25k B = 8k &
B A + C
=
8 25
. 100% = 32% Clave B
B) V 0,mn%[CA(mn)] =0,1204
19. 64 m
2
S
12 m
8m
2
64 m
=
mn% [100 - mn] = 0,1204 0,mn% Ç 100 - 0,mn%(mn) = 0,1204 0,mn - (0,mn) Ç (0,mn) = 0,1204 0,mn - (0,mn)2 = 0,1204 100mn - mn2 = 1204 mn2 - 100mn + 1204 = 0 & 0,
12 m
8m S
12 m
S
Varía =
`
c
144 - 64 64
=
2
144 m
m . 100% = 125% Clave C
20.
Consideramos a N como su sueldo del año anterior: Al comenzar el año gana: 120%N (le aumentaron 20%)
mn mn mn = 14
En julio recibe: 110%(120%N) (le aumentaron 10%)
=
110 120 # #N 100 100
C)
Nivel 3 (página 70) Unidad 3 Comunicación matemática
N%
Área total = (3r)2p = 9r 2p Área sombreada = 7(pr 2) = 7r 2p 7r π
Piden:
2
9r π
d
N 100
Ç 100% = 77,78% 2N 100
22.
N
M
1+
+
f p 1
1 2
-
A) V
& [(x
2
3
=
x - N%x = T xx
1
+
2
4
+
...
n
+
n % N = k
+ !Z
° (x - 1)(x + 2) + 3 Si x = 2: = (2° - 1)(2° + 2) + 3 = 2° + 1
26.
=
12
24
Si x = 2° + 1: (x - 1)(x + 2) + 3 ° + 3) + 3 = 2° + 1 = 2(2 Si x = 2° - 1: (x - 1)(x + 2) + 3 =( 2° - 2)(2° + 1) + 3 = 2° + 1
+ +
4k . y 4k
#
a 27 = a28 p - p
-
-
n _ =
a
28
-
27.
≠
B) F
=
x y
=
3 4
2
90%b . H 2
=
H
=
=30% N
H `
+1
m
120%
b.h 2
4 h 3
El aumento será:
3 N
10%N 1000
3my 3m
^90%bh . H
a ! Q - {1}
10%N
+
b . h 2
`
1
+
Por dato: A 2 = 120% A1
!Q
+
c 44mxm
Área inicial: A1
A2 =
100p
^3%N + 7%Nh65 (2%N) @
25
Luego:
i ; a 1
3 1000 ^N - 90%NhN
=
Clave A
A1 =
1 p
m
24(3x + 4y) = 25(4x + 3y) 72x + 96y = 100x + 75y 21y = 28x `
0,mn = (a - 1)p mn + 1 = a ; a ≠ 1
10%N
Luego: [(x - 1)(x + 2) + 3] y 2 son PESÍ & [(x - 1)(x + 2) + 3] y 4 son PESÍ Entonces N = 4°
c 3k .3xk
mn mn mn 2 3 #a+ #a + #a + 100 100 100
d
!Q
Sean: x e y los precios de las 2 clases de soya. Del enunciado: Pv1 = Pv2 120Pm1 = 125Pm2
= 600
mn a 28 1 100 a 1
&
100T 100 - N Clave B
mn (1 + a+ a2 + a3 + ... + a27) = (a28 - 1)p 100
[(x - 1)(x + 2) + 3]N = 4°
= T
100
x =
12
... + mn 100
- 1)(x + 2) + 3]N = 100k(x - 1) ! Z+
= T
_100 - Ni
`
A) F a%mn + a2%mn + a3%mn + ... + a27%mn + p = a28p - 0,mn mn 100
Nx 100
Luego:
12 & N
=
23. x +x+1 x-1
1
1
Razonamiento y demostración
2
Sea el promedio original: x Del enunciado:
n - m " Z+
24.
M = 125% 160% 150% N M = 3N Los números serían: 45 927; 15 309; 5103; 1701; 567; 189; 63; 21 y 7
d
25.
V 0,5%N + 0,25%N + 0,125%N + 0,625%N + ... = 12 - 1%N 1%N + 0,5%N + 0,125%N + 0,625%N + ... = 12 1 2
r # r 52 10 .
Resolución de problemas
mn = 86
0
10 # r # r 52 100
1 cifra decimal
- 14
m2 + n = 5 = 5°
Clave E
2
=
`
x = 132 x% = 132%
21.
2 Ç 5 Ç r% r52 =
- 86
n - m ! Z+
Nos piden: x . N 100
C) F Para p = 2 y q = 5
-
h
=
4 h 3
-
h
=
h 3
Entonces aumentó en su tercera parte.
3 # ^10%N h
Clave C
3
N
=
10
_10%Ni
10%N
10%N
10%N
3
3 gQ
= 3 & 10%N = 3 3
28.
Para que su efectividad aumente ya no debe seguir fallando, entonces: Tiros fallados: 9
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
35
Anotaciones: 1 + x
d
9 10 + x
n
. 10 0%
3. 7 5%
=
2k + 16 5k + 10
a
Gana: S/.N Mamá 40%N 60%N
=
7k 3
4 7
7k , 3
=
+
`
b
=
5k
2k +
2k, c
a = 280 Clave B
n.º de asistentes = 2k + 16 + 5k + 10 = 7k + 26 = 7(12) + 26 = 110
Hermano 30%60%N 70%60%N
x%N = 70%60%N + 20%N
x% = `
7 6 . 10 10
+
20 100
=
4.
62 100
x% = 62%
8.
A B
k
=
3
3
& B
B.C
/
=
A k
/
4
B
=
m
3
3
m
=
12
C
x . 4 + ^200 - xh4, 5 200
=
Pm
Del enunciado: 3,3 = Pm - 20%Pm = 80%Pm & Pm = 4,125
...(1)
`
9.
`
A es IP a C12
=
30 . 12 . 1 = 20 . x . 2 ` x = 9 días Clave D
Clave A
10.
...(2)
Reemplazando (2) en (1): =
A k
Clave C
7 . 23 Luego: (7 . 2) . 7 . 2 3 = k2 N ` N = 14
5.
4x + 4, 5 ( 200 - x) 200
Sea N el número. Entonces: N . 56 = k2 (cuadrado perfecto)
m3 & A . C12 k . m3 p = = C12
&
.
Clave C
30.
(a > b > c)
= 670 & k = 120
4
Clave E
&
5k 4
=
14k + 112 = 20k + 40 72 = 6k & k = 12
Clave B
Da: Queda:
2k 5k
=
Luego de 2 horas:
12 = 10 + x ` x = 2
29.
Niños Niñas
4, 125
3600 < k2 < 10 000 602 < k2 < 104 602 < k2 < 1002
100 x
Valores de k para que termine en 6: 64; 66; 74; 76; 84; 86; 94; 96
x = 150 Clave D
Gasto 100 x
DP
=
1
Área 6 . 12 6 . 1,52
2
1, 5
2
x = $225
&
Clave A
Por lo tanto, son 8 números.
MARATÓN MATEMÁTICA (página 72)
Clave A
11.
1.
Presente 8 años A: 3k 3k + 8 B: 5k 5k + 8 & 3k + 8 + 5k + 8 = 56 8k = 40 k = 5 &
3k + x 5k + x
=
Futuro x 3k + x 5k + x
6.
a 5 6
=
=
c 3 4
=
5 . 30 720
k
&
5 3 3 k+ k+ k 6 8 4
=
235
47 k 24
=
235
4 5
5 . 1 20 6
=
1 00
Dentro de 25 años la relación de edades será de 4 a 5.
b
=
3 . 1 20 8
=
45
Clave C
c
=
3 . 1 20 4
`
Bblancas: 70
=
=
90
7.
Se deben retirar 22 bolas blancas.
`
Clave B
Intelectum 2.°
670
&
3a 7
DP 7 4 5
a b c =
2b 4
=
4c 5
V1 =
IP 3 2 4 =
/
E=
V 5
Luego, falta llenar lo que justamente se extrae. Si se agrega 25% de lo que falta llenar:
Clave B
70 - x = 16 . 3 x = 70 - 48 x = 22
36
.
25%NE + NE = V 125%NE = V 4 & NE = V
La menor parte es: 45. 3 5
Sea V el volumen del recipiente. Del enunciado: E + NE = V
5
Brojas: 80 70 - x 80
8 . 25 x
Clave A
k = 120 =
k
x = 960 kg
12.
& a
=
=
`
a + b + c = 235
15k + 5x = 20k + 4x x = 5k x = 5(5) = 25
2.
b 3 8
n.° l eon es . n.° d ía s Cant. carne
k
& V1 =
4V 5
+
25%
c m V 5
c m = 85%V 17V 20
Por lo tanto, estará lleno el 85%. Clave C
Unidad 4
PROMEDIOS
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 77) Unidad 4
C) F
MA(P; N) =
Comunicación matemática 1. 2.
Sean las edades de las mujeres: M1 y M2. Sean las edades de los varones: V1; V2 y V3. Del enunciado: V1 + V2
+
V3 + M 1 + M 2
=
5
Entonces: 2+3 2
= 2,5 2 M + P + 2 = 2,3
=
Resolución de problemas 6.
MG
18
MG
V1 + V2 + V3 + M1 + M2 = 90
= =
3
3
12 # 32 # 36
12.
4#3#4#8#9#4
=
3
3
3
4 #2 #3
33 7.
V1 + V2 + V3 3
57 3
=
MH
1+
19
=
MH
3.
Razonamiento y demostración 4.
=
18 6+3+2
=
=
=
3#6 6 6 6+ + 2 3
13.
= 23
B) F
MA(12; 20; 31) = 21 MA(50; 60; 70) = 60 & MA(12; 20; 31) 1 MA(50; 60; 70)
MG =
7
MG =
7
MG =
7
i
2
MG(1; 3; 6) = 3 18 2 MH_1,3 i
_ i_ 3 i
2 1 =
1+3
=
3 2
3 # 9 # 27 # 81 # 243 # 729 # 2187 2
3
4
5
6
II. V
7
3 # 3 #3 # 3 #3 # 3 #3
MA(1; 2; 3; ...; n)
1 + 2 + ... + 7
3
7 (8)
MG = 3 2 # 7
`
=
34 = 81
=
C) F
n_n + 1i 2n
1
n _n + 1i 2
=
Sn
Clave C
0, 9 MA(0,3; 0,9) = 0, 3 + 2
M = MH
d
1 1 1 ; ; 2 3 4
n
=
_ i 4N; M
3 2+3+4
_ id n
=
d n dn _ id n d n 1 3
=
#
& MG
=
d n 1;3 3
1 3
2
3
=
+
1 1 4
+
=
1 3
Del enunciado: 85 = 100 =
S5 5
...(1)
S5 + x 6
…(2)
d n
11.
m1 + m2 + m3 + ... + m6
=
1 ;N M
=
21
m1 + m2 + m3 + ... + m6 = 126
d n MH d n 1 1 ; 3 3
MA (x; y) =
Sean las edades de las mujeres: m1; m2; m3; ...; m6 6
MH(3; 3) = 3 2 3+3 2
=
V1 + V2 + V3
d n
MH M;
1 N
3
=
24
& V1 + V2 + V3 = 72
&
= n + 1 ! n
x+y+z 3
x+y 2
=
=
2z 3
z 2
z 2z 1 2 3
MA(x; y) < MA(x; y; z) C) V Si {a; b; c} 1 N, entonces: x = MA(a + 1; b + 2; c + 3) x=
Sean las edades de los varones: V1, V2; V3
1 3
i
2
MA(x; y; z) =
Comunicación matemática
MH 1 ; 3 3
_
n+ n+2
B) F Si {x; y; z} 1 Z+, entonces:
Nivel 2 (página 77) Unidad 4
B) F
MH
MA =
Reemplazando el valor de S5 en (2): 100 . 6 = 425 + x 600 = 425 + x ` x = 175
0, 6
Clave D
A) V Si n ! N, entonces:
De (1): S5 = 425
2
=
2 2 15
14. 10.
1
3 5
=
3
MG(S4; S9) = 15
Clave B
3
=
III. V
Por definición, el promedio se encuentra entre el mayor y menor número. 12 1 P 118
9.
Clave E
1 3
2 3
MH 1 ; 3 3
=
1 3
4 3
Luego: A) V MG 1 ; 3 3
3 1 1 3
+
2+3+4 3
N = MA(2; 3; 4) = P = MG
1 1 2
=
1, 2 = 0,6 2
dn dn dn =
&
_
n n+1
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n =
Sean los números:
8.
es un número primo.
5.
0, 3 # 13 + 0, 4 # 12 + 0, 3 # x 0, 3 + 0, 4 + 0, 3
I. F Clave C
21 + 23 + 25 3
22
=
Razonamiento y demostración
18 11
A) V
MA =
+ V2 + V3
12 = 8,7 + 0,3x ` x = 11
18 11
MH =
`
3 1 1 + 2 3
... + m6 + V1
Sea P el promedio ponderado: P=
Clave E
& V1 + V2 + V3 = 57
Luego:
3
126 + 72 9
MG = 4 # 2 # 3 = 24
`
+
9
1 3
=
m1 + m2 + m3
=
a + 1 + b+ 2+ c+ 3 3 a+b+c 3
+
= MA(a; b; c) +
2
4
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
37
Resolución de problemas 15.
Del enunciado: S 40 40
20
S 40 - 200 35 -
=
MA = 56
=
2ab a+b
56
& MA
=
=
10,8
=
c 4
22.
42
ab = 2352
d 5
=
36 + 45 + 48 3
Mayor promedio: Menor promedio:
1 36 =
+
3 51 720
=
21
MG(A; B) =
... + a8
& a1 + a2 + a3 + ... a1 + a2 + a3
=
...
6
=
65 6 - 230 6
01_
Clave B
+
...
+ n40
40
n1 + n 2 + ... + n5 5
=
18;
=
d
A + B 2
n d #
2 AB A + B
n
n6 + ... + n20 15
n1 + n2 + … + n40 = 40 # 16 n1 + n2 + … + n40 = 640 n1 + n2 + ... + n5 = 18 # 5 = 90 n6 + n7 + n8 + … + n20 = 15 # 12 = 180 & n21 + n22 + … + n40 = 370
Intelectum 2.°
=
12
AB
2
A + B 2 AB A + B 2 1 A
+
1
1,54
=
4, 83k = 1,61 m 3k
=
Clave B
S31 + S10+ S4 = 2475 S31 + 200 + 136 = 2475 & S31 = 2139
Piden el promedio de los restantes: 31
2 A B + A
...(1)
11 1 AB
1 AB
B
MH(A; B) 1 MG(A; B) 1 MA(A; B)
=
2139 31
= 69 Clave D
29. a + b + c + d 4
MA_ A; Bi
MH(A; B) 1 MG(A; B) `
M
S45 = 11 + 13 + 15 + ... + 99 = 2475
R31
De (1): 2 AB
ΣEM
/
Cantidad de n.° impares de 2 cifras = 45
MG(A; B) 1 MA(A; B)
16
90 + 180 + n21 + ... + n40 = 640
1
= 1,57
S4 = 136
i2
2 AB 1 A + B
AB n1 + n2 + n3
B - A
3k 4k
28. S10 = 200
AB
Como A y B son números enteros positivos distintos, entonces:
0 1 B -
71
=
V
82
+ a6
=
SEV + 1,54(4k) = 1,57(7k) & SEV = 4,83k
= AB
24.
V M
V = 75%M & ΣE V + ΣE M
= [MG(A; B)]2
+ a8 = 82 # 8 = 656 +
27.
42,35
ΣE V
Sea la MA: +
=
Clave C
1 48
+
2 AB = 1 1 A + B + A B
=
8
16
=
Piden la estatura promedio de los varones:
MA(A; B) Ç MH(A; B) =
2k + 5k = 7(6) = 42
16
e1 = 128 - 98 & ` e1 = 30
2
Clave A
a1 + a 2 + a3
=
e1 = 16 # 8 - 14 # 7
43
2
&
MA =
3 1 45
=
MA(A; B) = A + B
k = 6 `
... + e8
e1; e2; e3; e4; ...; e8 $ 14
Razonamiento y demostración
MH(A; B) =
+
V+M
2k + 3k + 4 k + 5 k 4
426 6
e1 + e 2 + e3
e1 + 14 # 7
k
=
Sean las edades:
8
14k = 84
MA =
26.
Comunicación matemática
23. =
Clave C
21.
MH = 42
/
Clave C
b 3
104 = 20 + 36 + 14 + 2x ` x = 17
8
(112)2 - 4(2352) = (a - b)2 ` 56 = a - b
38
2+3+1+2
Clave D
Sabemos: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab (a + b)2 - 4ab = (a - b)2
19.
25. 13 = 10 . 2 + 12 . 3 + 14 . 1 + x . 2
Nivel 3 (página 78) Unidad 4
a + b = 112
18.
Resolución de Problemas
18,5
12 (3) + 10 (5) + 11 (2) 10
7000 35
Clave C
=
Promedio =
Promedio = 108 10
P = 200
a+b 2
20.
(nuevo promedio)
7 20 0 2 00 35
P=
a 17. 2
=
= 180 & S40 = 7200
& P =
16.
370 20
=
Clave C
Si se descartan cinco números cuya suma es 200,
`
n21 + n22 + ... + n40
MA =
=
11
a+b+c 3
=
k;
b+c+d 3
=
k+4
a+b+d 3
=
k + 2;
c+d+a 3
=
k+6
Sumando las expresiones: 3a + 3b + 3c + 3d = 12k + 36 3(a + b + c + d) = 12k + 36
3(44) = 12k + 36
132 = 12k + 36
12k = 96 & k = 8
a = 8; b = 2; c = 14 y d = 20 ` El menor número es 2. Clave A
30.
2
MH(a; b) = 3 &
&
1 a
+
1 b
=
1 a
2 3
1 a
+
1 c
=
1 a
1 c
+
=
2 1 b
&
+
1 b
=
1 c
+
1 c
=
a1 + a2 + ... + an - 20x n-x
100 3
48 7
50n - 20x n-x
7 24
PA = 31
PA = y
6
20
PA = 52
30 alumnos
x
`
+
1 b
+
1 c
=
Reemplazando (4) en (3):
PAmín. = x 4
... (3)
50 . 8k - 20 . 3k 8k - 3k
= 50 + 3k
340 5
= 50 + 3k
MH(a; b; c) =
1 a
+
3 1 b
+
1 c
=
3 19 24
=
186 + 20y + 4x = 1560 10y + 2x = 687
19 24
.
Sean los números: a, b, c y d. 0 < a < b < c < d a.b.c.d
=
9
3
a . b . c . d = 94 . 32 = (32)4 . 32 = 310 a . b . c . d = 3 . 32 . 33 . 34 & a = 3, b = 9, c = 27 y d = 81 `
M=
3 + 9 + 27 + 81 4
Clave E
...(1)
.
35.
máx. mín.
Clave E
4
&
6 . 31 + 20y + 4x = 52 30
72 19
1 44 2 44 3
31.
68 = 50 + 3k k = 6 ` n = 8k = 8(6) = 48
Luego:
19 24
x 17
y 18
40 alumnos 17 edad promedio
10 . 16 + 17x + 18y = 17 40
Reemplazando este valor en (1): 600 + 2x = 687 ` x = 43,5
Además: 10 + x + y = 40 & x + y = 30 y = 30 - x ...(2)
a1 + a2 + ... + an
34. Clave D
10 16
Del enunciado: y # 60 & ymáx. = 60
Clave C
= 30
...(3)
3
Sumamos (1); (2) y (3): 1 a
= 50 + x
Además del enunciado: n 8 & x = 3k / n = 8k ...(4) =
Clave E
33.
= 50 + x ...(2)
Reemplazando (1) en (2):
... (2) &
Si se suprimen todos los 20, tenemos:
120x + 600 = 100x + 1000 20x = 400 ` x = 20
3,2
=
5 8
48 7
MH(b; c) =
2
Sea x: el número de obreros que tenía inicialmente la empresa. Del enunciado: 40x + 20 . 10 x + 10
... (1)
MH(a; c) = 3,2 & &
+
32.
3
=
1 b
n
= 50
a1 + a2 + ... + an = 50n
&
...(1)
Reemplazando (2) en (1): 160 + 17x + 18(30 - x) = 680 540 - x = 520 ` x = 20
...(1)
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
Clave A
39
ESTADÍSTICA APLICAMOS LO APRENDIDO (página 80) Unidad 4 1.
Ii
f i
Fi
[10,2; 11,2H [11,2; 12,2H [12,2; 13,2H [13,2; 14,2]
4 5 2 1 n = 12
4 9 11 12
b = 4 Piden: f 3 = 28 + 32 + 24 = 84 Clave C
6.
n = 80
R = 14,2 - 10,2 = 4 c=
4 4
= 1
F2 + F3 = 9 + 11 = 20 Clave E
2.
f i
Fi
[50; 60H [60; 70H [70; 80H [80; 90H [90; 100]
16 20 24 22 18
16 36 60 82 100
n 2
= 40
Ii
f i
F1
[20; 24H [24; 28H [28; 32H [32; 36H [36; 40]
10 16 20 19 15
10 26 46 65 80
d
40 - 26 20
Me = 28 + 4
Completando la tabla de frecuencias. Ii
&
Me = 30,8
! Me
n Clave E
7. Ii
f i
16 23 27 21 13
[40; 60H [60; 80H [80; 100H [100; 120H [120; 140]
Piden: f 3 + f 4 + F4 = 24 + 22 + 82 = 128 Clave C
!Mo
d1 = 27 - 23 = 4; d2 = 27 - 21 = 6 3.
8 b
Ii
f i
hi
Fi
[10; 30H [30; 50H [50; 70H [70; 90]
2 6 8 4
2/n 6/n 8/n 4/n
2/b 8/b 16/b 20
=
2 b
+
6&b
=
1/n
=
Mo = 80 + 20
8. Ii
[10; [12; [14; [16;
20
f 3 + h1 + h2 = 8 + 0,1 + 0,3 = 8,4
X=
Clave A
f i
Fi
[10; 14H [14; 18H [18; 22H [22; 26]
18 22 21 19
18 40 61 80
12H 14H 16H 18H
f i
Fi
xi
14 26 24 16
14 40 64 80
11 13 15 17
11 # 14 + 13 # 26 + 15 # 24 + 17 # 16 80
X = 14,05
Completamos la tabla: Ii
4 10
Clave E
`
4.
d n = 88
Clave C
9.
Ordenando de menor a mayor, tenemos: 2 3 3 4 4 4 4 6 6 6 7 7 Mo = 4 Me = 4 + 4 = 4 2
Piden: x + y + z + t = 22 + 40 + 19 + 18 = 99
Me - Mo = 0
`
Clave D
5.
Clave B
10.
X=
7b # 350 + 32 # 450 + 6b # 550 + 16 # 650 7b + 32 + 6b + 16
478 =
2450b + 14 400 + 3300b + 10 400 13b + 48
478 =
5750b + 24 800 13b + 48
40
Intelectum 2.°
10 10 10 10 12 12 12 12 12 14 14 14 16 16 17 Mo = 12 X=
4 # 10 + 5 # 12 + 3 # 14 + 2 # 16 + 17 15
=
12,73
X - Mo = 12,73 - 12 = 0,73
`
Clave D
11.
Del gráfico tenemos:
B) F Ç 360° = 100,8°
α2 =
α3 = 144° y α4 = 36°
α1 + α2 = 190,8°
`
α1 + α3 α2 + α4
72° + 144 ° 108° + 36°
=
=
3 2
C) F α3 =
Clave C
12.
28 100
α1 = 72°; α2 = 108°;
n = 26
A) V
x13 + x14
g
α1 = 90° = 100
2
20 20 20 20 20 20 20 20 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 30 30 30 30 36 36
B) V 100,8° + 111,6° + 57,6° = 270°
24 + 24 = 24 / Mo = 24 2
C) V a3 2 a1
Me + Mo = 24 + 24 = 48
`
Clave C
Resolución de problemas
13. 6.
Ii
f i
xi
[300; 400H [400; 500H [500; 600H [600; 700H [700; 800]
6 12 14 10 8
350 450 550 650 750
X=
Ç 360° = 111,6° 2 90°
5.
& Me =
Me =
31 100
1; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 8 Me =
5+6 2
= 5,5 Clave C
7.
11; 11; 12; 12; 13; 13; 13; 14; 15; 16; 16; 16; 16; 17; 17; 18 Mo = 16
6 # 350 + 12 # 450 + 14 # 550 + 10 # 650 + 8 # 750 50
Clave E
X = 554 Clave E
8.
xP =
2 + 3 + 3 +5 +7 +5 +7 + 5 +8 +4 10
xQ =
6 + 7 + 5 + 2 + 7 + 1 + 7 + 6 +4 +2 10
xR =
3 + 4 + 6 +6 +8 +9 10
14. Ii
xi
f i
Fi
[200; 280H [280; 360H [360; 440H [440; 520H [520; 600]
240 320 400 480 560
10 16 22 32 20 n = 100
10 26 48 80 100
n = 100
&
n 2
50 - 48 32 10 10 + 12
2
R: 2; 3; 3; 4; 6; 6; 6; 7; 8; 9 MeR = 6 ` MeR > MeQ > MeP
Mo + Me = 476,36 + 445 = 921,36 Clave D
1. 2. 3.
P: 2; 3; 3; 4; 5; 5; 5; 7; 7; 8 MeP = 5 Q: 1; 2; 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7 MeQ = 5 + 6 = 5,5
`
Comunicación matemática
= 5,4
Clave B
n = 445 n = 476,36
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 82) Unidad 4
+3 +2
xR > xP > xQ
9.
d Mo = 440 + 80 d
6
= 4,7
`
Me y Mo
!
= 50
Me = 440 + 80
+7 +
= 4,9
Clave A
10.
P: 2; 3; 3; 4; 5; 5; 5; 7; 7; 8 MoP = 5 Q: 1; 2; 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7 MoQ = 7
Razonamiento y demostración 4.
A) F α1 =
R: 2; 3; 3; 4; 6; 6; 6; 7; 8; 9 MoR = 6 MoQ > MoR > MoP
`
25 100
Ç 360° = 90°
Clave D
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
41
Nivel 2 (página 82) Unidad 4
A) V B) V C) V
Comunicación matemática 11.
De 70 a 80: f i = 0 De 80 a 90: Hi = 0,75
&
hi = 0,75 - 0,50 = 0,25
0,25(4000) = 1000
Resolución de problemas 15.
`
12.
.
4
Hi = 0,50 ` 0,50(2000) = 1000
x
Razonamiento y demostración 13.
9 + 2w = 17 & a = 5; b = 13 / c = 21
=
7 # 4 + 11 # 8
15 # 5 + 19 # 4 21
+
X = 12,71
Si n = 60, entonces: Ii
f i
Fi
[6; 16H [16; 26H [26; 36H [36; 46H [46; 56]
f 1 16 20 9 5
F1 26 46 55 60
n = 60
&
n 2
`
a + b + c + X = 51,71 Clave D
! Me
16.
= 30
A) V Me = 26 + 10 B) F Mo = 26 + 10
d
30 - 26 20
d
4 4 + 11
n = 28 X=
n = 28,67
`
C) F
Ii
Xi
f i
[13; 17H [17; 21H [21; 25H [25; 29]
15 19 23 27
10 20 22 23 n = 75
15 # 10 + 19 # 20 + 23 # 22 + 27 # 23 75
X = 22,1 Clave B
Ii
f i
Fi
[6; 16H [16; 26H [26; 36H [36; 46H [46; 56]
30 16 20 9 5
30 46 66 75 80
n = 80
&
n 2
Me = 16 + 10
17. ! Me
= 40
d
40 - 30 16
n = 22,25
f i
Fi
Xi
[16; 26H [26; 36H [36; 46H [46; 56]
16 20 9 5 n = 50
16 36 45 50
21 31 41 51
n 2
f i
[0; 1H [1; 2H [2; 3H [3; 4H [4 ; 5]
4 8 11 15 12
Mo = 3 + 1 Ç ! Me y Mo
d
4 4+3
n = 3,57 Clave B
18.
k
= 25 ; d1 = 4 d2 = 11
2k
X = 21 # 16 + 31 # 20 + 41 # 9 + 51 # 5 50 = 31,6
d n = 30,5 Mo = 26 + 10 d n = 28,67 25 - 16 20
4 15
42
β
α
Luego:
Me = 26 + 10
! Mo
d1 = 15 - 11 = 4 d2 = 15 - 12 = 3
14. Ii
Ii
Intelectum 2.°
Sean: y: n.° de alumnos que viven en Los Olivos. x: n.° de alumnos que viven en San Juan de b = 24% Ç 360° & b = 86,4° α = 16% Ç 360° & α = 57,6°
Lurigancho.
Luego: 3k + 86,4° + 57,6° = 360° 3k = 216° k = 72° & 2k = 144°
c = 31
l = 306,5
&
l + 3c
xn + 1 =
`
x 500
Ç 360°
144° =
•
y = 24%(500) & y = 120
&
22.
23.
Nivel 3 (página 83) Unidad 4
2_306 , 5 i + 7 _31 i
Ii
f i
Fi
Xi
[0; 7H [7; 14H [14; 21H [21; 28]
4k 5k 7k 4k n = 20k
4k 9k 16k 20k
3,5 10,5 17,5 24,5
Completando la tabla:
! Me
Ii
f i
Fi
[30; 50H [50; 70H [70; 90H [90; 110]
18 a 27
18
h3 = 27 n 0,30 =
= 10k & h1 =
d
10k - 9k 7k
Razonamiento y demostración
Ii I1
&
18 90
=
= 0,20
a 90
= 0,10 & a = 9
Clave A
24.
Completamos el cuadro:
xi x1
[ ; H
n
= 90
f 2 + h1 = 9 + 0,20 = 9,2
= n + 1 sea c el ancho de clase.
2
f 1
27 & n n
`
El intervalo central estará en la fila: 2n + 1 + 1
0,20 0,20 0,10 0,30 0,30 0,60 0,40 1
h2 = 0,10
n = 15
&
21.
Hi
Luego:
X = 14,35
Me = 14 + 7
hi
n
X = 3, 5 # 4k + 10, 5 # 5k + 17, 5 # 7k + 24, 5 # 4k 20k 20.
2
A) V; A) V; A) F
Comunicación matemática
`
7c
2
Resolución de Problemas
Clave E
n 2
+
A) V; B) V; C) F
Piden: x - y = 200 - 120 = 80
19.
2l
=
xn + 1 = 415
x = 200
•
4c
2
=
Entonces:
+l+
Edades
h
fi
hi
Hi
[12; 18H
a = 10
0,10
0,10
In - 1 & [l + c; l + 2cH
[18; 24H
b = 30
0,30
0,40
In & [l + 2c; l + 3cH
[24; 30H
40
40 n
[30; 36]
20
20 n
n = 100
1
In - 2 & [l; l + cH
322
In + 1 & [l + 3c; l + 4cH
xn + 1
In + 2 & [l + 4c; l + 5cH
446
h
I2n + 1 & [ ;
H
+
20 n
= 1
0,40 +
60 n
= 1
60 n
= 0,6 & n = 100
0,10 + 0,30 +
En una distribución simétrica se cumple: x = Me = Mo = xn + 1
40 n
Entonces: l+l+c 2
= 322
l + 4c + l + 5c 2
(2) - (1): 8c = 248
&
2l + c = 644
= 446
&
... (1)
2l + 9c = 892... (2)
Como: h1 = 0,10 a n
= 0,10 &
a 100
= 0,10
a = 10 ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
43
h2 = 0,30 b n
27. b 100
= 0,30 &
Ii
f i
hi
Xi
[0,20; 0,40H [0,40; 0,60H [0,60; 0,80H [0,80; 1]
a b b a
0,10
0,30 0,50 0,70 0,90
= 0,30
b = 30 Sea z% el tanto por ciento del total que tienen edades desde 18 hasta 30 años. z% = 30% + 40%
0,10
n
z% = 70%
`
0, 3a + 0, 5b + 0, 7b + 0, 9a n
Clave D
1,2
25. Intervalos
fi
hi
Fi
Hi
a = 30 0,3 25 0,25 20 0,2 m = 100
n = 80 100
0,25 0,55 0,8 1
25 100
hi(máx.) = 0,40 Clave E
28.
Se tiene: k 50
+
3k 100
2k 25
3k 50
+
+
k 100
=
1
20k = 100
k = 5 Además, sea a = xmín. y c la amplitud o ancho de clase, entonces: a+a+c 2
= 0,3 & a = 30
= 45
a + c + a + 2c 2
& n = 80
f 1 + f 2 + n = 105
`
Clave C
f i
Fi
k 2k 4k 8k
k 3k = 60 7k 15k
&
2a + 3c = 110 ... (II)
Ii
Xi
hi
hi%
[40 ; 50H [50 ; 60H [60 ; 70H [70 ; 80H [80 ; 90]
45 55 65 75 85
0,10 0,15 0,40 0,30 0,05
10% 15% 40% 30% 5%
x 10%
F2 = 60 & 3k = 60 k = 20
=
3 10
x = 3%
y 40%
=
6 10
& y = 24%
3% + 15% + 24% = 42%
Piden: F3 = 7k = 7 Ç 20 = 140
`
Clave B
Intelectum 2.°
= 55
... (I)
Completamos la tabla:
26.
Edades [20, 30H [30; 40H [40; 50H [50; 60]
2a + c = 90
&
De (II) y (I), se tiene: 2c = 20 c = 10 & a = 40
Además: f 1 + f 2 + 30 + 25 + 20 = 100 f 1 + f 2 = 25
+
2k + 3k + 8k + 6k + k = 100
= 0,25
F4 + f 5 = 100 n + 20 = 100
b n
`
h3 = 0,3 a 100
d n = 0,6
1,2h2 = 0,48 & h2 = 0,40> h1
= 0,2 & m = 100
h4 =
44
a
n
h5 = 0,2 20 m
0, 6
b l + 1,2 d bn n = 0,6
1,2(0,1) + 1,2
[10; 20H [20; 30H [30; 40H [40; 50H [50; 60]
=
Clave C
ANÁLISIS COMBINATORIO PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 87) Unidad 4
Nivel 2 (página 87) Unidad 4 Comunicación matemática
Comunicación matemática 1.
4 3
4!
5 2
5!
_ i # _ i = 1! # 3! # 3! # 2! 4!
5!
2.
_ 42 i # _ 53 i = 2! # 2! # 3! # 2!
3.
_ 44 i # _ 15 i = 5
=
=
13!
11.
_134 i = 9! # 4!
12.
= _13 3 i 10! # 3!
715
=
40 13!
=
286
60
Razonamiento y demostración
= 84 13. Cm 3 m!
_m
Razonamiento y demostración
6 ómnibus
4.
I. 6 # 5 = 30
...(V)
II. 5 # 5 = 25
...(V)
III. 6 + 3 = 9
...(F)
_m
3 ! # 3!
-
3 !# m
i _ _m
84
=
i
-
i _ 3 i ! # 3!
-
-
2 # m
-
i
1 #m =
84
(m - 2) Ç (m - 1) Ç m = 7 Ç 8 Ç 9 & m = 9
Clave B
910 = (2° + 1)10 = 2° + 1
`
5. 14.
A) F
Como p > 0 y además: m Cm p = Vp
P1 = 1! = 1 P2 = 2! = 2
_m
& P1 + P2 = 3 1 P3 = 6
-
2 C1
=
2
_2
-
n! np
`
2!
i
1 ! # 1!
=
2
15.
C) V
=
5
C3
16.
=
_n
-
1i !
!N
5! 3! . 2!
=
=
10
1.er caso M M 3
Clave C
10! 7! . 3!
=
Se tienen 4 hombres y 3 mujeres, entonces:
De los 6 jugadores, 1 no varía. Las formas diferentes serán: 5! = 120
=
n! n
Clave D
Resolución de problemas
10
pi !
-
De un grupo de 5 personas, una comisión de tres personas:
4P3 = 4 Ç 3! = 4!
C3
_m
Resolución de problemas
+ 3 = 2 + 3 = 5
& C1
7.
m!
=
p! = 1 & p = 1
B) V
6.
m! pi ! # p!
C2
2.o caso V M 4 # 3 = 12
3
=
El número de formas diferentes será: 3 + 12 = 15
120
Clave B
Clave C
8.
3
5
C 2 # C3
=
3 # 10
=
17.
30 Clave C
9.
2 C1 #
5 C4 =
2 #5
=
5!
5 =
_5
-
i
5 !
=
=
60 Clave D
Se observa que importa el orden de colocación de las vocales, es una variación: V5
5
C3 # 3!
10 Clave B
10.
Una vez seleccionado el grupo de 3 colores de los 5 distintos, estos pueden permutar:
5! 0!
18.
Importa el orden de las cifras en el número.
6
=
V3
120
6!
6
V3
=
_6
-
i
3 !
=
6.5.4. 3! 3!
= 120
Por lo tanto, se pueden formar 120 números. Clave E
Clave C
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
45
19.
Importa el orden para las señales. 5 3
V
5! =
_5
-
=
i
3 !
5! 2!
=
Resolución de problemas 25.
60
Por lo tanto, se pueden hacer 60 señales.
Entonces: n C 2 = 105
Clave C
20. V 46 6
V4
6! =
=
_6
-
=
i
4 !
Sean n el número de personas que asistieron a la fiesta. n.° de apretones de mano = Cn2
6.5.4.3.2! 2!
n!
_
i
2! n - 2 !
360
= 105
n(n - 1)(n - 2)! = 105 . 2! . (n - 2)!
Por lo tanto, se pueden formar 360 palabras. Clave B
n(n - 1) = 210
n(n - 1) = 15(15 - 1) `
Nivel 3 (página 88) Unidad 4
n = 15 Clave A
Comunicación matemática 16!
21.
_162 i = 14! # 2!
22.
_162 i + _162 i = 120 + 120 = 240
=
120
26.
• Si contesta 7, como las dos primeras son obligatorias, falta escoger 5
preguntas de las 8 restantes: 8 C5 = 56 formas
Razonamiento y demostración 23. Cp8 + 2
=
2Cp8 + 1
Si solo debe contestar 3 de las 6 primeras: 6 C3 = 20 formas
•
8!
_6 - pi! # _p + 2i!
=
2 # 8!
_ 7 - pi ! # _ p + 1 i !
Las otras 4 la escoge de las 4 últimas: 4 C 4 = 1 forma
_7 - p i # _6 - pi ! # _p + 1i ! = 2 _6 - p i! # _p + 2i # _p + 1i ! 7-p p+2
=
En total: 20 # 1 = 20 formas
2
Clave A
7 - p = 2p + 4 3 = 3p
&
27.
. . .
p = 1
998 & 9 # 9 # 8 = 648
Luego, como n ! N, entonces:: & (n + 4)! = 3! Ç 4 Ç ... `
_n + 4 i! 3
=
abc
Ç (n + 4)
Clave E
_
3! # 4 # ... # n + 4
i
3
28.
= 1 Ç 2 Ç 4 Ç ... Ç (n + 4) ! N
Cifras pares {2; 4; 6} ab . .
24.
32
Sean los n vértices del polígono regular: A1; A2; ...; A n, entonces cada segmento es determinado por un par de puntos: A1 A 2; A1 A3 ; ... A2
& 3 # 2 = 6 Clave B
A3
A1
Entonces el número de segmentos determinados será: incluidos los lados y las diagonales.
A4
An
29.
Cifras impares {1; 3; 5; 7} ab . .
43 & 4 # 3 = 12
Luego: n.° de diagonales = Cn2 - n.° de lados n.° de diagonales = n.° de diagonales = n.° de diagonales =
46
n
_n - 2i ! # 2! _
n n-1 2
_
i
-
n
Clave A
30.
Como siempre utilizó el verde y el azul, solo queda por tomar de los 7 restantes uno: 7
C1 -
n# n-3
i
2
Intelectum 2.°
=
7
n
Por lo tanto, se forman 7 tríos diferentes. Clave C
PROBABILIDADES PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 91) Unidad 4
Nivel 2 (página 91) Unidad 4
20.
Comunicación matemática
Comunicación matemática 1.
5 9
2.
4 12. 9
11.
S
1 $ (S; 1) 2 $ (S; 2) 3 $ (S; 3) 4 $ (S; 4) 5 $ (S; 5) 6 $ (S; 6)
C
1 $ (C; 1) 2 $ (C; 2) 3 $ (C; 3) 4 $ (C; 4) 5 $ (C; 5) 6 $ (C; 6)
Razonamiento y demostración
3.
13.
A) V
Razonamiento y demostración
W = {(1; S); (2; S); (3; S); (4; S); (5; S); (6; S);
4.
(1; C); (2; C); (3; C); (4; C); (5; C); (6; C)} n(W) = 12
A) F n(W) = 62 = 36
B) V 3 12
B) F 10 36
=
5 18
=
1 2
1 4
2 12
C) F 3 12
C) F 18 36
=
=
0, 5
=
A) F n(W) = 2 Ç 2 Ç 2 = 8
Clave C
A) F n(W) = C a2 + b
Nivel 3 (página 92) Unidad 4
B) F
21.
4! 5!
22.
2! # 4! 5!
Comunicación matemática
b
a
C2
3 8
Razonamiento y demostración
a+b C2
15.
W = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {3; 4; 5; 6} 4 & P(A) = 6
=
23.
A) V n(W) = CNr
Resolución de problemas
Resolución de problemas
2 3
n(W) = 36 A = {(1; 2), (3; 2), (4; 2), (5; 2), (6; 2), (2; 1), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6)} P(A) =
10 36
=
P(A) =
8
16.
N
Cr
20
=
56 # 220 38 760
308 969
=
Clave E
3
17.
C1
#
9
C3
12
C4
W ={SC; SS; CC; CS}
3
+
9
C 2 # C2 12
C4
3
+
=
=
12
C4
=
369 495
=
41 55
Cr
6 20
=
3 10
Sea n = n(W) y m = n(A). Como A es cualquier evento de W, entonces:
Si A = Q: P(A) = 0 (m = 0)
A = {3; 6; 9; 12; 15; 18} P(A) =
24.
A= Q o A= W
18. W = {1; 2; ... ; 20}
1 2
A: se extrae una bola roja 4 10
9
Clave C
Clave A
= 0,3
Si A = W: P(A) = 1 (m = n) Clave C
2 5
Luego, se cumple: Clave D
10.
N
C3 # C1
A = {SC; CS}
P(A) =
n
Cr Clave C
2 4
N-n
C) V
12
C3 C3 C6
1 6
P(A) =
n
Ck # C r - k
Clave D
W = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {2}
B) F
5 18
Clave D
9.
2 5
=
C) V
C) F
8.
1 5
a+b
C2
3 8
7.
=
C2
B) V {CSS; SCS; SSC}
6.
1 6
1 4
14.
5.
=
A: se extrae una ficha de color rojo. P(A) = 7 16
19.
n(W) = 36 A = {(1; 1); (1; 2); (1; 4); (1; 6); (2; 1); (2; 3); (2; 5); (3; 2);(3; 4);(4; 1);(4; 3);(5; 2);(5; 6);(6, 1);(6; 5)} P(A) =
Clave E
15 36
=
5 12 Clave B
0 # m # n 0#
m n
# 1
0 # P(A) # 1
ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
47
