Solucionario Ficha 05

ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA LA RESOLUCIÓN DEL PRACTIQUEMOS DE LA FICHA N° 5 COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Matematiza situaciones de regularidad,

INDICADORES

Usa modelos de variación referidos a la función lineal al plantear y resolver problemas.

ITEM 1: Cuando un explorador ingresa a una cueva, la temperatura aumenta 1 °C cada 100 m de profundidad. Teniendo en cuenta que la temperatura en la superficie es de 10 °C, resuelve los siguientes problemas: a. Halla la fórmula de la función f unción que relaciona la temperatura con la profundidad. b. ¿Qué temperatura habrá a 230 m de profundidad? c. ¿Cuántos metros habrá que bajar para que la temperatura sea de 25 °C? Resolución: 1era forma:

Profundidad- m

0

100

200

300

400

…

Temperatura °C

10

11

12

13

14

…

10 + 0

10 + 1

10 + 2

10 + 3

10 + 4

Dando forma

f(x) = 10 + x . 100

400 = 4 100 2da forma:

Observamos en la tabla que el cero se relaciona con 10 (0 ; 10), eso nos indica que es una función afin por lo tanto tendrá la siguiente forma: f(x) = mx + 10 Para determinar el valor de “m”, tomamos el punto X= 100 y f(100) = 11 reemplazamos: f(100) = m(100) + 10 11 = 100m + 10 11 – 10 = 100m

1 = 100m

EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

1/100 = m

por lo tanto: f(x) = x + 10 100

1

b) temperatura a 230m reemplazamos: f(230) = 230 + 10 = 2,3 + 10 = 12,3° C 100 Rpta: La temperatura a 230m de profundidad es de 12,3° C

c) Temperatura 25° C este dado nos indica que f(x) = 25 Reemplazando: f(x) = x + 10 25 = x + 10 100 100

15 = x 100

1500 = x

Rpta: Debemos bajar a una profundidad de 1500m

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente Matematiza en situaciones de regularidad,

INDICADORES Usa modelos de variación referidos a la función lineal y lineal afín al plantear y resolver problemas.

ITEM 2: Una empresa interprovincial de buses lanza una oferta dirigida a estudiantes

que desean viajar al sur de la capital. La oferta consiste en pagar una cuota fija de S/. 10 más S/. 0,02 por cada kilómetro recorrido. a. Halla la fórmula de la función que relaciona el costo del viaje con los kilómetros recorridos. b. Calcula el dinero que debe pagar un estudiante si quiere hacer un viaje cuyo recorrido es de 120 kilómetros. c. Teniendo en cuenta la pregunta anterior, si cada estudiante de un aula de segundo grado pagó S/. 16 en un viaje, ¿a cuántos kilómetros estuvo su destino?

Resolución: a) Elaboramos una tabla: Distancia Km 1 Costo S/. 10, 02 Dando forma 10 + 0,02

2 10,04 10 + 0,04

3 10, 06 10 + 0,06

4 (0,02)

4 10,08 10 + 0,08

… …

f(x) = 0,02x + 10

b) Viajar 120 km es decir f(120) Reemplazando: f(120) = 0,02(120) + 10 = 2,4 + 10 = 12,4 Rpta: Debe pagar S/ 12,4 EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

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c) Pagaron S/. 16 es decir f(x) = 16 f(x) = 0,02x + 10 16 = 0,02x + 10

reemplazando:

16 – 10 = 0,02x

6= 2 x 100 Rpta: El destino se encontraba a 300 km de distancia.

600 = x 2

x = 300

COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Comunica y Describe gráficos y tablas que expresan funciones en situaciones de regularidad, representa ideas lineales, afines y constantes. matemáticas. ITEM 3. ¿Cuál de las siguientes gráficas es una función lineal afín?

a) Es una función lineal decreciente (pendiente negativa) porque pasa por el origen coordenadas. b) Es una función lineal creciente (pendiente positiva) porque pasa por el origen coordenadas. c) Es una función lineal afin creciente (pendiente positiva) porque no pasa por el origen de coordenadas. d) Es una función lineal creciente (pendiente positiva) porque pasa por el origen. Rpta: La alternativa “c”

COMPETENCIA Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio. ITEM:

a. b. c. d.

CAPACIDAD Comunica y representa ideas matemáticas.

INDICADORES Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes

AI, BII, CIII AIII, BII, CI AII,BIII, CI AII, BI, CIII


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Solución: Función constante: Una función f es constante si su regla de correspondencia es f ( x) = b, para cualquier valor x y b que sean números reales. A = II

II

Función lineal : La representación de una función lineal es una línea recta que siempre intercepta al origen de coordenadas (0,0). B = III

Función lineal afín: Son aquellas funciones cuya grafica es una línea recta que no pasa por el origen de coordenadas. Su expresión algebraica es y = mx + n C=I

Respuesta: AII – BIII – CI

COMPETENCIA CAPACIDAD Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, Matematiza equivalencia y cambio.

CLAVE: C


ITEM 5: La distancia que recorre un avión que viaja a una velocidad de 500 millas por hora ( mph) es una función del tiempo de vuelo. Si S representa la distancia en millas y t es el tiempo en horas, entonces la función es: a. S (t ) = t /500 b. S (t ) = 500t c. S (t ) = 500 + t d. S (t ) = 500/ t

Solución:

Identificamos los datos: Distancia: S Tiempo: t Velocidad: 500 mph La distancia que recorre un móvil es igual a la velocidad que aplica el móvil en un determinado tiempo. EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

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Respuesta: La función es: S(t) = 500t

CLAVE: B

COMPETENCIA Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.

CAPACIDAD

INDICADORES Usa modelos de variación Matematiza referidos a la función lineal y lineales afín al plantear y resolver problemas. ITEM 6: El padre de familia de un estudiante de segundo grado le enseña a su hijo la factura de gas natural que llegó, y le pide que le ayude a averiguar el costo del  de gas y la fórmula para calcular el costo total del recibo en función de los  de gas consumido. a. 0,15; f ( x) = 7,74 + 0,15 x

Conceptos

b. 15; f ( x) = 7,74 + 15 x

Cargo fijo

c. 0,15; f ( x) = 0,15 + 7,74 x d. 15; f ( x) = 15 + 7,74 x

Consumo (111 ) S/. 16,65

S/. 7,74

Solución: Para averiguar el costo de un  de gas, necesitamos saber: Total de consumo en soles

: 16,65

Total de consumidos

: 111 

Así el costo unitario de m3   



 

   

El costo de cada de gas es S/. 0,15

o 15 céntimos

Para expresar una fórmula que permita calcular el costo total en  de gas consumido: Representaremos la cantidad de gas consumido con: x Entonces x = número de m3 de gas EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

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La fórmula para calcular el costo total en  de gas consumido es: f ( x) = 7,74 + 0,15 x CLAVE: A


CAPACIDAD Comunica y representa ideas matemáticas

INDICADORES Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes.

ITEM 7.

En muchas provincias del Perú, el agua corriente no es medida. Una familia paga siempre la misma tarifa, independientemente de la cantidad de agua que haya consumido. Una de estas tarifas es S/. 25,06.

Consumo de agua (L) Costo (S/.)

0 25,06

1000 25,06

2000 25,06

3000 25,06

…

Halla la fórmula de la función e indica cómo se llama la función encontrada. a. F ( x )= 25,06 + 1000 x ; función lineal. b. F ( x )= 25,06; función lineal. c. F ( x )= 25,06; función constante. d. F ( x )= 25,06 x ; función lineal afín. Observemos que la variable x nos representa el consumo de agua, asimismo la variable y representa el costo que en este caso es el mismo (25,06). Es decir que, aunque varíe la cantidad de agua el consumida el costo a pagar se mantiene. Por lo tanto podemos inferir que se trata de una función lineal constante de la forma: f(x)= b y su formula en este caso es: f(x)= 25,06 Rta: c) F ( x )= 25,06; función constante.


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CAPACIDAD Comunica y matemáticas

representa

ideas

INDICADORES Describe gráficos y tablas que expresan funciones lineales, afines y constantes.

ITEM 8.

La siguiente tabla muestra el costo y el número de fotocopias realizadas por algunos estudiantes.

Carlos 0,12 2

Costo (S/.) Cantidad de copias

Juan 0,60 10

Luz 6 100

María 0,06 1

¿Cuál de las siguientes expresiones determina la situación dada? a. f ( x )= 0,12 x b. f ( x )= 0,05 x c. f ( x )= 0,06 x d. f ( x )= 0,06

Costo (S/.)

Carlos

Juan

Luz

0,12

0,60

2

10

6 100

Cantidad de copias

María 0,06 1

K = 0.06

Observamos la tabla y deducimos que hay una constante entre los valores del costo y la cantidad de copias que en este caso viene hacer el precio a pagar por una copia que es 0,06. De lo expuesto anteriormente podemos deducir que el costo depende de la cantidad de copias, es decir que es una función lineal de la forma: f(x)= 0,06x, donde x es la cantidad de copias y f(x) el costo a pagar. Comprobando la expresión: f(x) = 0,06x F(2)= 0,06 (2)= 0,12 F(10)= 0,06 (10)= 0,60 F(100)= 0,06 (100)= 6 F(1)= 0,06 (1)= 0,06 Entonces la expresión algebraica que modela la situación dada es : f(x) = 0,06 x

Rta: c) f ( x )= 0,06 x


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COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES Describe gráficos y tablas que Actúa y piensa matemáticamente Comunica y representa ideas expresan funciones lineales, en situaciones de regularidad, matemáticas afines y constantes. equivalencia y cambio. ITEM 9. 1. Del siguiente gráfico:

f(x) 11

7 5

1 2 3 4

Calcula el valor numérico de E = a. b. c. d.

3 4,5 1,5 -3,6

x

()() ()()

A partir del grafico tenemos que: F(2) = 7

F(4) = 11

F(3) = 9

F(1) = 5

Remplazando los valores tenemos: 

()  () ()  ()



 



 

 

Rta: b) 4,5


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COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES

Actúa y piensa matemáticamente en Comunica y Describe gráficos y tablas que expresan situaciones de regularidad, equivalencia representa ideas funciones lineales, afines y constantes y cambio. matemáticas ITEM 10:

La siguiente tabla corresponde a una función afín: y = mx + n. x 0 10 20 30 40 50 y -3 37 97 Completa la tabla y obtén su expresión algebraica hallando su pendiente y la ordenada en el origen. a. y = 2 x + 3 b. y = 3 x + 2 c. y = 2 x – 3 d. y = 3 x – 2

Resolución: 1° Antes de completar la tabla tenemos que encontrar los valores de “ m ” y “ n ” con los datos que me dan; utilizamos la función: y = mx + n reemplazando el primer par ordenado: (0 ; - 3) y = mx + n -3 = m ( 0 ) + n -3 = 0 + n -3 = n 2° Reemplazamos el valor de n en la función obteniendo y = mx - 3 ahora reemplazamos otro par ordenado de la tabla (20 ; 37): y = mx - 3 37 = m ( 20 ) - 3 37 = 20.m - 3 37 + 3 = 20.m 40 = 20.m m= 2 Así determinamos m que también es la pendiente de la función. 3° Ahora reemplazamos el valor de m = 2 en la regla de correspondencia obteniendo: y = 2.x - 3 , que es la expresión algebraica solicitada. Podemos comprobar verificando para el otro par ordenado (50 ; 97), reemplacemos: 97 = 2 ( 50 ) - 3 97 = 100 - 3 97 = 97


9

4° Ahora pasamos a completar la tabla, donde visualizamos los valores que puede tomar la primera componente “ x ” procediendo a hallar la segunda componente “ y ” empleando la regla de correspondencia encontrada; f(x) = 2x – 3

y = 2 ( 10 ) - 3 y = 20 - 3 y = 17

y = 2 ( 30 ) - 3 y = 60 - 3 y = 57

y = 2 ( 40 ) - 3 y = 80 - 3 y = 77

x

0

10

20

30

40

50

y

-3

17

37

57

77

97

5° Ahora leo la pregunta del problema: Sabemos que la expresión algebraica es la Regla de correspondencia: y = 2.x - 3 f(x) = 2.x - 3 6° También sabemos que la pendiente es igual a la Tangente del ángulo de inclinación de la recta, así veamos el gráfico de esta función: y 97

77

57

37

#

17

x -3

0

10

20

30

40

50

Tan # = 37 – 17 = 20 = 2 20 – 10 10 7° Todo par ordenado tiene la forma: ( x; y ). Donde: x es la abscisa e y es la ordenada. Por lo tanto: en el origen: Para x = 0 le corresponde un y = -3. 8° Respuesta: La tabla ya está completa, la expresión algebraica hallando su pendiente es: y = 2.x – 3; y la ordenada en el origen es menos tres. Respuesta correcta alternativa c)

TENER CUIDADO, EN EL MANUAL DE CORRECCIÓN SE TIENE COMO RESPUESTA LA ALTERNATIVA “b” DEBE SER “c” EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

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COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente Razona y Justifica a partir de ejemplos, en situaciones de regularidad, Argumenta reconociendo la pendiente y la equivalencia y cambio. generando ideas ordenada al origen el comportamiento matemáticas de funciones lineales y lineales afín.. ITEM 11: Sea f una función lineal, tal que f (2) = 8. Determina su regla de correspondencia. a. y = 2 x b. y = 8 x c. y = 4 x d. y = 4 x + 2 Resolución: 1° En el enunciado nos indica de que se trata de una función lineal por lo tanto su regla de correspondencia tendra la siguiente forma: f(x) = mx 2° Sabemos por dato que f(2) = 8 , es decir x= 2 y al reemplazar en la función: f(x) = mx f(2) = m(2) 8 = m (2) 8/2 = m 4=m 3° Por lo tanto la función tiene la forma f(x) = 4x Respuesta: La regla de correspondencia de la función lineal donde f(2 ) = 8 es: y = 4x La alternativa correcta es la “c”

MAESTROS, MUCHO CUIDADO PORQUE EN EL MANUAL DE CORRECCIÓN SE TIENE COMO RESPUESTA LA ALTERNATIVA “b” LO CORRECTO DEBE SER LA ALTERNATIVA “c” OTRA FORMA: 1° Otra forma de verificar si el valor numérico de f( 2 ) es ocho, sería POR EL METODO DEL TANTEO que es probar en cada una de las reglas de correspondencia. Así tenemos que: a) Y = 2.( 2 ) = 4 b) Y = 8.( 2 ) = 16 c) Y = 4.( 2 ) = 8 d) Y = 4.( 2 ) + 2 = 10 Respuesta: La regla de correspondencia de la función lineal donde f( 2 ) = 8 es: y = 4x La alternativa correcta es la “c” EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

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COMPETENCIA CAPACIDAD INDICADORES Actúa y piensa matemáticamente en Matematiza. Usa modelos de variación referidos a la situaciones de regularidad, equivalencia función lineal y lineales afín al plantear y y cambio. resolver problemas. ITEM 12: Un fabricante de ventanas cuadradas cobra a razón de S/. 15 por cada metro de marco y

S/. 60 por el cristal, sean cuales sean las dimensiones. Encuentra la expresión que dé el precio de la ventana en función de las dimensiones y calcula el costo de una ventana de 2 m de lado. a. F ( x ) = 60 + 15 x ; 90 b. F ( x ) = 15 + 60 x ; 495 c. F ( x ) = 15 + 60 x ; 180 d. F ( x ) = 60 + 15 x ; 180 1° Sea “ x ” el perímetro de la ventana. 2° Como el enunciado nos dice que cada metro lineal del marco de la ventana cuesta quince nuevos soles. Entonces el precio del marco de la ventana se representaría así: 15. Perímetro del cuadrado 15.x 3° También en el enunciado nos indican que el cristal, independientemente de su área o dimensiones su precio es de sesenta nuevos soles. Por lo tanto si agregamos este costo al precio del marco de la ventana, EL PRECIO TOTAL DE LA VENTANA SERÍA: 15.x + 60

4° A partir de lo anterior ya tenemos la regla de correspondencia y = 15 x + 60 . Calculamos el costo de una ventana de 2 metros de lado, pero primero debemos hallar su perímetro de la ventana, que sería igual a 4(2) = 8 reemplazamos este valor en la función. y = 15.x + 60 y = 15( 8 ) + 60 y = 120 + 60 y = 180 Respuesta: La expresión que da el precio de la ventana en función a las dimensiones es y = 15.x + 60; y el costo de una ventana de dos metros de lado es 180 nuevos soles. Respuesta correcta: la alternativa “d”


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COMPETENCIA

CAPACIDAD INDICADORES y Describe gráficos y tablas que expresan funciones Actúa y piensa Comunica matemáticamente en representa ideas lineales, afines y constantes. matemáticas situaciones de regularidad, ITEM 13:

¿Cuáles de las siguientes expresiones son funciones afines? II. Y = 2 x III. f ( x ) = 20 – 0,2 x I. f ( x ) = 3 x – 5 a. Solo I. b. Solo II. c. II y III. d. I y III. Solución: 1° Comparación con la forma de una función afín: Función afín tiene la forma: f ( x ) donde

m

= mx + b

es la pendiente de la recta.

I. f ( x ) = 3 x – 5 ; donde m=3 ; b= -5 (función afín ya que la recta de la función no pasa por el origen) II. Y = 2 x ; donde coordenadas)

m=2 ; b=0 ( no es una función afín porque la recta pasa por el origen de

III. f (x) = 20 – 0,2x ordenando sería f (x) = – 0,2x + 20 donde m = -0,2 y b = 20 (función afín, la recta de la función no pasa por el origen de las coordenadas) Respuesta: La alternativa “c” I y III.

COMPETENCIA

CAPACIDAD INDICADORES y Describe gráficos y tablas que expresan funciones Actúa y piensa Comunica matemáticamente en representa ideas lineales, afines y constantes. situaciones de regularidad, matemáticas ITEM 14:

¿Cuáles de las siguientes situaciones son funciones lineales? I. El costo de una llamada por celular está dado por los segundos consumidos. II. Un electricista que da servicios a domicilio cobra S/. 20 por cada hora de trabajo más S/. 50 por la visita. III. El precio en soles que hay que pagar por un viaje de x km viene dado por la expresión y = 2 x + 1,5. a. II y III.

b. Solo I.

c. Solo II. d. Solo III.


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Solución: Analizando cada situación: I. El costo de una llamada por celular está dado por los segundos consumidos. Supongamos que no se realiza ninguna llamada entonces no habrá cobro alguno, es decir paso por el origen de coordenadas, por lo tanto es una función lineal. Su ecuación seria y= m x donde m = costo por segundo; x = la cantidad de segundos consumidos. Su gráfica sería así: Si x = 0, y =0

II. Un electricista que da servicios a domicilio cobra S/. 20 por cada hora de trabajo más S/. 50 por la visita.

En esta situación su expresión corresponde a una función lineal afín, ya que los S/.50 se paga por una sola vez en cambio los S/.20 soles variaría según las horas de trabajo. Su expresión algebraica seria: F(x) = 20x + 50. III. El precio en soles que hay que pagar por un viaje de x km viene dado por la expresión y = 2 x + 1,5 Reemplazando en una tabla: X( km) 0 1 5 10 Y(soles) 1,5 3,50 11,50 31,50 No es una función lineal porque cuando x = 0, y = 1,5 Esta expresión algebraica corresponde a una función lineal Afín. Respuesta: La situación que es una función lineal es solo I. Clave b

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente Matematiza en situaciones de regularidad,


ITEM 15:

Midiendo la temperatura a diferentes alturas se han obtenido los datos de esta tabla:

Obtén la expresión algebraica de la temperatura en función de la altura e indica cuál sería la temperatura a 3240 m de altura. a. f ( x) = - x/180 + 10; 18 °C b. f ( x) = - x/180 + 10; -8 °C c. f ( x) = -180 x + 10; 18 °C d. f ( x) = x/180 + 10; 18 °C


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Solución: Observamos de la tabla cuando altura es 0 la temperatura es de 10°, por lo tanto la grafica no pasa por el origen de coordenadas, entonces es una función lineal afín de la forma: f(x) = mx + b Ahora reemplacemos el primer par ordenado: (0 ; 10) en la expresión: f(x) = mx + b 10 = m(0) + b

10 = 0 + b

10 = b

La nueva expresión, reemplazando el valor de b=10 sería: f(x) = mx + 10, pero aun nos falta hallar el valor de m (pendiente), para ello utilizamos el siguiente par ordenado (360 ; 8) reemplazando en: f(x) = mx + 10: 8 = m(360) + 10

8 – 10 = m(360

-2= m(360)

-2/360 = m

Simplificando: m = -1/180 Finalmente remplazamos en f(x) = mx + 10, obteniendo la expresión algebraica: f(x) = - x/180 + 10 que es la regla de correspondencia de la función pedida. b) Hallando la temperatura a 3240m de altura, que representa el valor de x, reemplazamos en: f(x) = - x/180 + 10 f f

(x ) = -(3240) /180 + 10 (x ) = -18 + 10

f(x) = -8 °C

Respuesta: La temperatura a 3240 m de altura es de -8 °C . Clave b

"Eres realmente exitoso cuando puedes extender una mano fuerte a alguien que necesita ayuda. Ayuda a otros y ellos te ayudarán a ti."


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Solucionario Ficha 05

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