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Ó C I T Á M E r ? * n
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O Z A R
ECUACIONES
m é m ..
Las ecua e cuacion ciones es constituye constituyen n un constante planteo de los problemas problemas diari diarios, os, aunque prestan p restan su mayor ma yor util utilid ida ad en la resoluci r esolución ón de d e compl co mplejas ejas interrogantes relacionadas con co n la ciencia y con co n la técnica.
/ y ,
£ e d w i a
5
¿ C u á l e s s o n l as as raíces de la ecuación 2 * = x r ?
os de esas raíces raíces son evidentes: evidentes: x —2 y x —4. Mas al trazar los gráficos de las funciones y~2x y cons co nsta tata tam m os que q ue hay h ay u n a rn r n h neg n egat ativ iva, a, como se ve en la figura de la derecha,. Nos preg pr egun unta tam m os: os : 1- ¿Es tal raíz un un. núm ero racional o irracional t 2- ¿Es posible obtenerla por un proceso proceso pu ram en te algebraico algebraico ? Estamos condicionados a preferir métodos "algebraicos", fó rm u la s tales tal es como co mo la de la ecuaci ecu ación ón de 2- grad gr ado, o, o arti ar tific ficio ioss específico específicoss pa ra cada ecuación que enfrentamos . Al ad optar este este pu p u n to de vista vi sta,, no obstan obst ante, te, esta e sta m os olvi ol vida da nd o do s aspectos: a) Una "fórmula cerrada" cerrada",, como la que existe pa ra ecuaciones de intersección intersección que son solución 2S, 2S, 3S y 4- grado, es much as veces veces una victoria ilusoria: ni de la ecuación duda. siquiera nos da una idea del orden de la magnitud de las soluciones; b) Todo proceso proceso de resolución de u na ecuación reca recae, e, tarde o temprano, e n ü n cálculo numéric o que que dar á el resultado fina l, con las aproximacione s deseadas: deseadas: En el caso en cuestión, cuestión , la raíz raí z nega tiva de la ecuación 2*’=x~ pu ed e ser obtenida, obtenida , de modo mod o simple, por el método de las aproxim aciones deseadas. El resultado es x=-07666646959, con 10 cifras decimales exactas. Ahora abordemos las preg pr egun un tas. ta s. L a prim pr im e ra respu res puest estaa es e s nega ne gativ tiva, a, esto es, la raíz ra íz ne ga tiv a de d e la l a ecua e cuació ciónn prop pr op uest ue staa es un núme ro irraciona irracional. l. E sto se prueba por reducción reducción al absurdo. absurdo. Supon gam os que plq fuese una fracción irreducible irreducible positiva tal que 2~e 2~e:q-(-piq)'¿ Elim inan do den omin adores y elevando am bos mie mbros a la potenc ia q, ten dría m os entonces 2,, 2,,.p2q .p2q=:q 2q Aho A ho ra bien, b ien, si p es e s impar, imp ar, el e l p rim ri m e r miem mi em bro br o de esta e sta ú ltim lt im a ig i g u a ld a d es un entero ent ero que q ue cont c ontien ienee un número im par de factor factores es iguales a 2, 2, m ientras que el segundo miembro contiene contiene un número pa p a r (tal (ta l vez cero) cero ) de factor fac tores es 2. Si, Si , a l contra con trario rio,, p es pa p a r entonc ent onces es q será ser á im par; pa r; luego lue go el pr im e r miem bro es divisible po r 2, 2, m as el segun do no lo es. es. De cualq uier manera, se tiene la eontradicción: eontradicción: no existe existe número racional r= piqta l que2~’=(-r)2, que2~’=(-r)2, donde r>0 L a se gu nd a pr eg u nt a equiv eq uiv ale al e a in d a g a r si nu estr es traa solu so luci ción ón ne gativ ga tiv a es u n nú m ero er o algebrai algebraico. co. Recordemos que un nú m ero (real (real o complejo) complejo) se se llam a algebraico algebraico cuand o es ra íz de alg una ecuación del tipo p íx)=0, do nd ep (xj es un polino mio con coeficient coeficientee enteros enteros.. Por ejemplo, ejemplo, lodo núm ero que se obtiene obtiene a par tir de núm eros racionales, sometiéndolos o u n número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción, de: raíces (de cualq uier índice) es algebraico. algebraico. Un núm ero que no es algebraico se lla m a trascendente. Por ejemplo, ejemplo, n y e son números trascendentes. La L a respu re spu esta es ta a la se gu nd a pre pr e g u n ta tam t am bi én es e s NO. NO . L a ra íz ne ga tiva ti va de d e la e c u a c iá n é f^ x 2 no pu p u ed e ser se r obten id a p o r métod mét odos os p u ra m en te algebr alg ebraic aicas, as, po rq ue es un u n nú m e ro tra scen sc ende dent ntee , ,
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¿ C u á l e s s o n l as as raíces de la ecuación 2 * = x r ?
os de esas raíces raíces son evidentes: evidentes: x —2 y x —4. Mas al trazar los gráficos de las funciones y~2x y cons co nsta tata tam m os que q ue hay h ay u n a rn r n h neg n egat ativ iva, a, como se ve en la figura de la derecha,. Nos preg pr egun unta tam m os: os : 1- ¿Es tal raíz un un. núm ero racional o irracional t 2- ¿Es posible obtenerla por un proceso proceso pu ram en te algebraico algebraico ? Estamos condicionados a preferir métodos "algebraicos", fó rm u la s tales tal es como co mo la de la ecuaci ecu ación ón de 2- grad gr ado, o, o arti ar tific ficio ioss específico específicoss pa ra cada ecuación que enfrentamos . Al ad optar este este pu p u n to de vista vi sta,, no obstan obst ante, te, esta e sta m os olvi ol vida da nd o do s aspectos: a) Una "fórmula cerrada" cerrada",, como la que existe pa ra ecuaciones de intersección intersección que son solución 2S, 2S, 3S y 4- grado, es much as veces veces una victoria ilusoria: ni de la ecuación duda. siquiera nos da una idea del orden de la magnitud de las soluciones; b) Todo proceso proceso de resolución de u na ecuación reca recae, e, tarde o temprano, e n ü n cálculo numéric o que que dar á el resultado fina l, con las aproximacione s deseadas: deseadas: En el caso en cuestión, cuestión , la raíz raí z nega tiva de la ecuación 2*’=x~ pu ed e ser obtenida, obtenida , de modo mod o simple, por el método de las aproxim aciones deseadas. El resultado es x=-07666646959, con 10 cifras decimales exactas. Ahora abordemos las preg pr egun un tas. ta s. L a prim pr im e ra respu res puest estaa es e s nega ne gativ tiva, a, esto es, la raíz ra íz ne ga tiv a de d e la l a ecua e cuació ciónn prop pr op uest ue staa es un núme ro irraciona irracional. l. E sto se prueba por reducción reducción al absurdo. absurdo. Supon gam os que plq fuese una fracción irreducible irreducible positiva tal que 2~e 2~e:q-(-piq)'¿ Elim inan do den omin adores y elevando am bos mie mbros a la potenc ia q, ten dría m os entonces 2,, 2,,.p2q .p2q=:q 2q Aho A ho ra bien, b ien, si p es e s impar, imp ar, el e l p rim ri m e r miem mi em bro br o de esta e sta ú ltim lt im a ig i g u a ld a d es un entero ent ero que q ue cont c ontien ienee un número im par de factor factores es iguales a 2, 2, m ientras que el segundo miembro contiene contiene un número pa p a r (tal (ta l vez cero) cero ) de factor fac tores es 2. Si, Si , a l contra con trario rio,, p es pa p a r entonc ent onces es q será ser á im par; pa r; luego lue go el pr im e r miem bro es divisible po r 2, 2, m as el segun do no lo es. es. De cualq uier manera, se tiene la eontradicción: eontradicción: no existe existe número racional r= piqta l que2~’=(-r)2, que2~’=(-r)2, donde r>0 L a se gu nd a pr eg u nt a equiv eq uiv ale al e a in d a g a r si nu estr es traa solu so luci ción ón ne gativ ga tiv a es u n nú m ero er o algebrai algebraico. co. Recordemos que un nú m ero (real (real o complejo) complejo) se se llam a algebraico algebraico cuand o es ra íz de alg una ecuación del tipo p íx)=0, do nd ep (xj es un polino mio con coeficient coeficientee enteros enteros.. Por ejemplo, ejemplo, lodo núm ero que se obtiene obtiene a par tir de núm eros racionales, sometiéndolos o u n número finito de operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción, de: raíces (de cualq uier índice) es algebraico. algebraico. Un núm ero que no es algebraico se lla m a trascendente. Por ejemplo, ejemplo, n y e son números trascendentes. La L a respu re spu esta es ta a la se gu nd a pre pr e g u n ta tam t am bi én es e s NO. NO . L a ra íz ne ga tiva ti va de d e la e c u a c iá n é f^ x 2 no pu p u ed e ser se r obten id a p o r métod mét odos os p u ra m en te algebr alg ebraic aicas, as, po rq ue es un u n nú m e ro tra scen sc ende dent ntee , ,
PLANTEO DE
IO O b je tiu o ó
1. 2. 3. 4. 5.
Revisarlos principios principios básicos básicos para pa ra la resoluci resolución, ón, principalmente, de ecuacione ecuacioness de primero y segundo | grado grad o con una incógnita y ¡a resolu resolución ción de sist emas de ecuaciones ecuaciones con con dos y tres incógnitas. Ejerci Ejercitar tar la capacidad de compr comprensi ensión ón de textm te xtm (enu (e nu n cia dó 0e los problemas) problemas) de diver diversa sa índole índole para \ su posterior simbolización. Desarrollar Desarrollar la capacidad de abstracción abstracción para representar y relacionar relacionar simbólicamente los datos dato s de un problema con las variables variables elegidas para las incógnitas. incógnitas. Comprender y asimilar de manera adecuada la solución solución de los los problemas proble mas planteados. 1 Relacionar Relacionar e interpretar matemá ma temática ticame mente nte hechos cotidianos. cotidianos.
u c c io n
En el transcurso de la vida diaria, podemos observar la relación que existe entre la matemática y la realidad... ¿Cómo “traducir" una situación real que involucre el aspecto matemático al lenguaje propio de la matemática? Esto no ex sencillo, requiere de una gran capacidad de observación y abstracción. Ciertos Ciertos problema prob lemass reales reales pueden pued en ser traducidos al lenguaje algebraico mediante med iante una expresión numérica llamada llamad a ecuación ecuac ión en la que una o más má s cantidades son desconocidas. desconocidas. Para Para encontrar dichas cantidades cantidad es debemos debe mos ejercitarnos previame previa mente nte en diferentes diferen tes cuestiones básicas, básicas, y una de ellas es es desarrollar la la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir la capacidad para representar simbólicamente las cantidades y las relaciones existentes entre ellas. El meollo del asunto, sin embargo, es la dificultad que un estudiante encuentra al momento de enfrentar un problema enunciado en forma de texto, cuya solución requiere ineluctablemente la transformación de aquello que está en form fo rm a verbal a la la form fo rmaa matem m atemáti ática ca cuyo lenguaje es simbólico. simbólico. No es tarea sencill sencillaa pero puede pu ede serlo si ponemo pon emoss en su realización voluntad volu ntad y constancia. constancia. “Estamos convencidos que la capacidad de plantea plan tearr y resolver una ecuación refleja, refleja, en buena parte, p arte, el nivel que ha alcanzado un estudiante estudia nte en el el estudio del álgebra. Más que ¡a asimilación de reglas reg las'y 'y procedimie proce dimientos ntos algorítmicos, requiere tener una comprensión de las operaciones elementales elementa les con con expresiones expresiones algebraicas algebraicas y una iniciativa iniciativa para emprender un procedimiento de resoluc resolución ión creativo y óptimo. La ecuación, ecuación, que es la la parte pa rte sustanti sust antiva va de las matemáti mate máticas, cas, tiene el mayor mayo r número de aplicaciones aplicaciones como herramienta de resolución de problemas”.
1711 17
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
Antes Antes de entrar al tem a de p lanteo de ecu aciones darem os algunos alcances teóric teóricos. os.
¿Qué es una identidad? Es una igualdad absoluta q ue se veri verifi fica ca para todo valor que asum an las las variables variables involucrada involucradas. s.
Ejemplo:
(a + b )2 = a 2 + 2 ab
Si a = 1 ; b =2 => Si a = 2 ; b = 2 => => Si a = 3 ; b = -1 =>
'-------- r ~ 9 16 4
9 16 16 4
¿Qué es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones algebraicas que tienen como mínimo u na variable. Esta igualdad pu ede verifica verificarse rse o no y si es que se verif verifica ica,, esto ocurre pa ra un valor de su variable variable o un determina do conjunto de valores asignados a sus variables variables.. Adem ás a las las variable variabless qu e intervienen en un a ecuación se les les deno de no m ina incógnitas y a los los valores que satisfacen satisfacen laigualdad laigualdad se llaman soluciones soluc iones de la ecua ción. Así: sí: Se suele suele decir decir también a esto, se tiene: Ejemplo: 3x + 12 = 42 P a r a x = 8 ;3(8) + 12 P a ra x = 9 ;3(9) 3(9) + 12 Parax Parax =1 0 ;3(10) 3(10) +1 2 P a ra x = 11 11 ;3(11) + 12
q ue u na ecu ación es un enun ciado abierto o igualdad relati relativa. va. De acuerdo
= = = =
36 39 42 45
Luego el único valor que verifica verifica la igualdad es x = 10 Dada s 2 expresiones algebraicas algebraicas relacionadas relacionadas de la siguiente siguiente manera: M (x (x; y; z ; .....) .....) = N (x; y; z ; )
\____ ____ / ler. miem bro
\
___
____ ; .....
2do. miembro
do nde M y N son expresiones matemáticas. Ahora, transp oniend o términos pod em os llega llegarr a lo sigui siguient ente: e: M (x; (x; y; z ; .....) - N (x (x; y; z ; ) = 0 v F(x; y; z; ...) = 0 Forma general de una ecuación .....
172
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
Otaestuacúu: Dependiendo de F(x) una ecuación puede ser;
No debes olvidar que resolver una determinar el conjunto solución.
ión significa
X3 - 5X2 + 3 = 0 Ecuación polinomial
5 + ^ x x -2
=0
Ecuación fraccionaria
yX —3 —X — 0
Ecuación irracional
♦ 2* —4x + 1 ~ 0
Ecuación exponenciai
♦
Logx
♦
s e nx -
—
Ecuación compatible
=
0
Ecuación logarítmica
=
0
E cu a ci ón tri go no mé tri ca
SOLUCION DE UNA ECUACION Es aquel valor que a dmite la incógnita de una ecuación y verifica la igualdad. Ejemplo: x 3 = x Si: x = 0 O3 = 0 (V) Si: x = 1 ^ l3= 1 (V) Si: x = -1 ; (- 1 )3 = -1 (V) l 2? = 2 Si: x = 2 (F) Vemos que 0, 1, -1 son soluciones de dicha ecuación. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (C.S.) Es la reunión de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación: Ejemplo: (x - 3 )3 (x+5) (x—7)s = 0 vemos que las soluciones son: 3; -5; 7; entonces su C. S. = {-5; 3; 7} Para determinar el conjunto solución de una ecuación se utiliza el siguiente teorema: i ab =■ 0 ' «=> a = 0 v b = 0
Ejemplo: (x-3) (x+2) (x-5) = 0 Resolución: x-3=0 v x+2=0 v x = 3 v x = -2 v Entonces: C. S.= {-2; 3; 5}
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES SEGÚN SUS SOLUCIONES De acuerdo a ello pueden ser compatibles o incompatibles.
-5 = 0 x=5
Es aquella que tiene al menos un elemen to en su conjun to solución. Se subdivide en: ♦ Ecuación compatible determ inada. ♦ Ecuación compatible indeterm inada. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de elementos en su conjunto solución.
Ejemplo: (x-3)(x+5)(x-7) = 0 C. S. = {-5; 3; 7} Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de elementos en su conjunto solución.
Ejemplo: 2(x - 3) = 2 x - 6 Esta igualdad cumple para cualquier valor num érico qu e se le asigne a la variable x
Ecuación Incompatible Es aquella que no tiene ningún eleme nto en su conjunto solución, es decir no existe valor numérico que asignado a la variable verifique la igualdad. Ejemplos: ♦ 0x = 5 5 , . „ , 5 + x = 3 + x -3 x -3 x -3
= 0
173
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático ¡¡¡I
De acuerdo a te expuesto haremos un estudio de la Dada la ecuación: j a x = b
Resolución: Transponiendo términos tendremos: a2x - 3ax + 2x = a 2 - 5a + Factorizando: x(a 2- 3 a + 2 ) = a 2- 5 a + 6
donde: X a; b : parámetros podemos indicar que:
Sea: I. Com patible determ inada. II. Com patible indeterm inada. III. Incompatible.
&
Despejando: x=*
(a-3)(a/2)
a -3
-l)(a/2) ^
A.
La ecuación será compatible determinada si: | a * 0 !.
B.
La ecuación es compatible indeterminada,' si: [ a = 0
a
b = 0 |.
C. La ecuación es incompatible,
Ejemplo: Determine las condiciones que debe cumplir el parámetro real a para que la ecuación en x: a 2 x - a 2 = 3ax - 5a - 2x + 6
a - 1 * 0 => a * 1 II. Para que la ecuación sea compatible indeterminada se tendrá: a- 1 = 0 \ a- 3 = 0 a = 1 a a = 3 III. Pa ra que la ecuación sea incompatible: a- 1= 0 a a = 1
a
a- 3 *0 a
3
EJERCICIO I Halle x en:
2x + 10 = x + 30
1ax + b = 0 ! ; a • 0
Resolución:
donde: C.S. =
2x
Ejemplos: ♦
174
3 x -9 = 0
C.S. = {3}
5x - 7 = 0
C.S. = 1^
a- 1
Ahora pasemos a determinar las condiciones que deb e cumplir el parám etro real a para cada caso: I. Para que la ecuación sea compatible determ inada deb erá ocurrir:
ECUACIONES LINE Se denomina ecuación lineal a la ecuación polinom ial de la forma:
6
10= x
►
30
2x-x = 30-10 x = 20
C A P Í TU L O V
Planteo de Ecuaciones
EJERCICIO 2 Calcule x en:
2x = 1 - 3 x = —2 = -11
* + 1 0 = x +
2
20
Resolución: Multiplicando am bos miembros p or 3: 3| -
+ 101 = 3l x + —
x = -l
EJERCICIO 5 Calcule el valor de a en:
x + 30 = 3x + 20 10
= 2x
Resolución: Multiplicando en a spa: n (a + m) + m (a + n) _ ^ mn
x = 5
EJERCICIO 3 Halle x en: 2x
- [- 2x - 2 + 10] = 2(10 - x ) + x na + nfn + ma + mn = rrfn na + ma = - mn
Resolución: 2x + 2x + 2 - 10 = 20 - 2x + x 4 x - 8 = 20 - x 4x + x = 20 + 8 5x = 28
a(n + m) = - mn -m n a = --------n+m mn
28
n+m
EJERCICIO 6 Halle x en:
EJERCICIO 4 Calcule x en: 1 _ x + 1 x + x 2 3 _ 2
x = - + — + - + -+ 9 6 12 7 2 6
Resolución: Multiplicando am bos miembros p or 6 : 6
i £ ± I + *) = 6 [ * + I
2
6
Resolución: Multiplicando am bos miembros po r 84: 6
12
7
2
84x = 14x + 7x + 12x + 42x + 9x£ 3(x+l) + 2x = 3x + 1
84x = 75x + 9x84
tyc+ 3 + 2x = tyc+ 1
0x = 0x84
'
x = 84
175
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Razonamiento M atemático
ECUACIONES CUADRÁ'
■
Se denomina ecuación cuadrática a la ecuació n polinomial de la forma: av + bx + c
Ejemplo 1 Resuelva: x 2 - Ix -
0 :a * 0
Despejando: \XÜ2)
para -b ± vb 2 - 4ac ! Fórmula general ------------------- ^ rA^nlvur n/'ii'»rín»i resolver una ecuación 2a
cuadrática
donde: b 2 - 4ac es el discriminante, ade má s
8= 0
Resolución: Factorizando (aspa simple)
_ - b + \j b 2- 4 a c - b - y b 2- 4 a c y x2 = 2a 2a siendo xx y x 2 las raíces de la ecuación.
x 2- 7 x - 8 = 0
x. x.
1
( x - 8) ( x + l ) = 0 de donde C. S. = {-1; 8}
Ejemplo 3 Resuelva ap licando la fórmula general: 4X2 - 5x - 51 = 0 Resolución: -( -5 ) ± y'(—5) —4(4) (—51 ) 2(4)
Ejemplo 2 Resuelva: 2. x \¡2x - \¡3 x + \¡6 = 0
Resolución: x - V2"x
- t /3"x + V 6 = 0
5 ± v/841
5 ±2 9
Luego, se obtiene las siguientes respuestas: = 5 + 29 = 34 = 17 8 8 Xl 4 5-29
-24
= -3
( x - \ / 3 ) ( x - \¡2) = 0 de donde C. S. = {\/3; \¡2 }
Fórmula General j~ax2+ hx + c = 0 i ; a ^ 0
Multiplicando por (4a): 4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 Sum ando y restando b2: 4a 2x 2 + 4abx + b 2 - b 2 + 4ac = 0 v _______ .. _______ y (2ax+b).\2 _= ub 2-4 ac V
176
EJERCICIO I Halle el me nor valor d e x x 2 + 10 = 3x + 28 Resolución: x 2 - 3x - 18 = 0 Aplicando as pa simple: x 2- 3 x - 18 = 0 -6 I x = 6 . x x + 3 J x = -3 El menor valor es x = -3
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
EJERCICIO 2 Halle el mayor valor de x x + — = 9
Resolución: Multiplicando en aspa. x 2 + 14 _ „ x
EJERCICIO 4 Halle x en: x 2 - (m+n) x + mn = 0 Resolución: Po r asp a simple: x - (m + n)x + mn = 0 x .. x
x 2 + 1 4 = 9x x2- 9x + 14 = 0 x-.. x = 7 x '' ' - - 2 J x = 2 El ma yor valor es x = 7
- mIx =m ■- n f x = n
C.S = {m ; n}
EJERCICIO 5 Halle x 2 en: — + — + 3x = x ; x e C x 3
EJERCICIO 3 Halle x en: x (3x + 4) = 15
Resolución:
Resolución: Multiplicando todo por 3x
3x 2+ 4x = 15 3x2+ 4x -15 = 0
(3x) ( -^ + | + 3 x | = (x) (3x)
3x-.. x
9 + x 2 + 9 x 2 = 3X2
' - 5| x = 5/3 +3 I x = -3
••• C.S. = {-3 ; 5/3}
7 v¿
_
_ Q
. SS»s®>i -A J
«* * >
A.
2
_
7
(el cuadrado de un
nú m ero real es positivo => x e C)
SISTEMA DE ECUACION Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto de ecu aciones cuyas soluciones com unes se pretende obtener en caso que existan. La solución del sistema d e ecuaciones es todo conju nto d e valores de las incógnitas que verifican a la vez toda s las ecuacio nes del sistema. Resolver el sistema es precisamente encon trar su solución o dem ostrar qu e es INCOMPATIBLE o ABSURDO. Por ejemplo, el sistema, x + 2y = 4 (1) 2x + 4y = 5 (2)
es incompatible porque al multiplicar por 2 la primera ecuación resulta 2 x + 4 y = 8 lo que contradice a la segunda ecuación. Si el sistema tiene al menos una solución se dice que es COMPATIBLE, y a su vez puede ser: DETERMINADA Si tiene un número limitado de soluciones. Por ejemp lo el sistema: x + y = 10 x -y = 2 es compatible y determinado, puesto que su solución es: x = 6 e y = 4
177
Razonamiento Matemático
Lumbreras Editores INDETERMINADA Si tiene un número ilimitado de soluciones. Por ejemplo, el sistema: x + y + z = 2 (1) 2x + 2y + 2 = 5 (2) es compatible e indeterminado, porqu e adm ite un número ilimitado de soluciones como: x = 0 ; y = 3 ; z = -1 x = l ; y = 2 ;z=l
C*. 1< Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución, se dice que sus ecuaciones son simultáneas, indicando con ello que los valores de las incógnitas deben verificar simultáneamente todas, las ecuaciones del sistema. 2. Si el número de incógnitas es mayor que el el sistema es indeterminado. .;J:Si las ecuaciones del sistema son de primer grado, el sistema se llama lineal: si al menos una ctela» ecuaciones es de segundo grado, se llama cuadrático, etc. Seguramente recordarás que hay diversas formas de resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo: ♦ Método de reducción o de Gauss. ♦ Método de sustitución. ♦ Método de igualación. ♦ Método de determ inante. Vamos a resolver, a continuación, algunos ejercicios empleando indistintamente los tres prim eros método s y daremos al final de los ejercicios un breve alcance acerca del cuarto método.
EJERCICIO 1 Si: x + y = 28 y + z = 12 Halle x - z
178
Resolución: Restando las 2 ecuaciones: _ x +/= '*
2S
+ z = 12 »
■x - z = 16
EJERCICIO 2 Si: 2x + y = 26 x - y = 10 Halle x.y Resolución: Sum ando las dos ecuaciones: / 2x+ y = 2 6
n +' !+ * x y _ = 10 *
3x
= 36
x = 12 Reemplazando en la segunda ecuación: 12- y = 10 y=2
x y = 12x2 = 24 xy = 24
EJERCICIO 3 Si: x 2 - y 2 = 12 x- y= 2 Hallar el valor de x. Resolución: x 2 - y2 = (x + y) (x - y) = 12 2 x + y = 6 Luego: x+y = 6 x _ y = _ 2 _* = 8 2x x = 4
E j er ci ci os P r opuestos I.
Halle el valor de x en cada una de las siguientes ecuaciones:
1. 2x + 1 = - - 1 3 3
III. Resuelva los siguientes sistemas de ecuación: 1.
3x + y = 8 x - y= 4
2 . 8x + l y —22 2 . 4x + 1 = 2 + —
3.
xb -a
x a -b
7x - 8y = —
3.
\/x + y = 6
=2
4.
(m + x) [n - m] = 1
5. x - [m (- n + 1) ] + 1 = mx
4. \/a + \/b = 4 2 ya + 3\/b = 12
5. Si: / a + b - \ / a - b = 2 6.
— + — = 10 x 2x
II. Despeje x en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1. 30X2 + x2 = 20 2 + (50 -x )2
2.
3.
——
=
66
x + ! * * ! + 2 = 2X2 (100 -x)20 _ 15x 3x 100 - x
va + b + \ a — b = 6
6 . a + b = 10
b + c = 12 a+c=8
7. x + y + z = 12 x - y + z= 8 z= 4
1 1 1 +
x
=
y
8
1+ 1= 1 y z
2
1+ 1= 1 5. (x-l)2+x2+( x + l) 2 = (x+2)2 + (x+3)2
z
x
4
179
Razonamiento Matemático
Lumbreras Editores IV. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Crámer: 1. 4x + 3y = -2 3x + 4y = -5
5. 3x + 3y + z = 2 4x + 2y = -2 5x + y + z = -2 V. Resuelva para valores enteros (Dé la solución general)
2. 3a + 4b = 10 2 a + 6 b = 10
1. 49x + 99y = 1034
2. 33x + 32y = 553 3. 2x + y = 14 3x - 2y = 7
3.
4. 3m + 2n + 2p = -1 4m n + p = -3 2m + n + 4p = 2 _
_
_
_
18x + 17y = 55
4. 3x + 7y = 83 5. 9x + 5y = 101
_
EL ARTE DE PLANTEAR UNA ECUACI
Un problema muy remoto que se solían plantear los juristas rom an os decía: “Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas qu e le dejó su marido. Si nacía una niña, la madre, d e acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño, la madre recibía la mitad de la parte del hijo. Pero inacieron mellizos: un niño y una niña!” (Y ahora. I (¿qué hacemos?!
Resolución: Observemos el siguiente esquema: niña
mam á
Niño
i
------
h ' 1 = 350 0 Recibe el doble de la niña
Reciba el doble de la mamá
Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta a S/.500 cad a parte. El reparto deb e efectuarse del siguiente modo üjí niñ a —> SI. 500 m am á —► SI. 1 000 niño —► S/. 2 00 0 Como podemos observar, para resolver el problema, luego de interpretar a decuadam ente el texto, hem os ido transform ando las condiciones en una igualdad que bien pudo haberse incluido variables pa ra originar una ecuación, niña mamá niño
¿Cómo hay que dividir la herencia para cumplir con las condiciones im puestas po r dicha ley?
180
x
+ 2x
+ 4x
7x = 35 00
= 3 500 .-. x = 500
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
Veam os otro caso:
El Combate de Tirar de una Cuerda I.
Cuatro jóvenes jalan la soga tan fuerte como cinco señoritas.
¿Qué lado g ana rá en este último caso?
Resolución: En el último caso se pue de reemplazar al perro por 2 señoritas y un joven (y esto gracias a la parte II) entonces tendremo s un enfrentamiento entre cinco señoritas más un joven a la izquierda y cuatro jóvenes, a la derecha. r * y } -> ¡5 n
II.
Dos señoritas y un jove n jalan la soga tan fuerte como un perro
III. El perro y tres señoritas se enfrentan a ho ra con cu atro jóvenes. * A » - A « .N . /*
\
.
Estos 2 grupos tienen la misma fuerza (parte I) Este joven marca la diferencia
Luego, se deduce que el grupo de 5 señoritas y 1 joven ganará el lance. El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamente importante para la resolución de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos, variables o incógnitas. A continuac ión, resolverem os a mo do de ejercicio la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica m atemática.
ENUNCIADO
F.XPRKSION MATEMATICA
La suma de dos números consecutivos más 3.
^
(x) + (x+1) + 3
Yo tengo S/. 20 más que tú.
lo que y ° = 20 + *° que ^ 'r teng o tienes
El cua drad o de la suma de dos núm eros x é y
(x + y )2
La sum a de los cuadrados de dos números x é y
x2 + y2
El cuádruple de lo que tengo, aum entado en 20 .
4y + 20 ;
El cuádruple, de lo que tengo a um e nta do en 20 .
^
4 (y + 20 ) ;
. yo : 20 + x ’ tú : x
tengo : y tengo : y
181
Razonamiento Matemático
Lumbreras Editores
♦
Yo tengo S/.40 me nos que tú o también se dice tú tienes S/.40 más qu e yo.
y = x - 40 ;
♦
A excede a B en 4; lo cual se puede enunciar como: A es mayor que B en 4. El exceso d e A sobre B es 4. B es excedido por A en 4. La diferencia entre A y B es 4.
A-B=4
♦
A es el doble de B o equivalentem ente: A es dos veces B. B es la mitad de A.
yo : x -40 tú : x
A : x +4 B :x
A B
A = 2B
2K K
Aquí también p odem os afirmar que A tiene una vez más de lo que p ose e B. Entonces la frase una vez más equivale a el doble.
A
B
(2 )
( 1)
A es dos veces más que B, o A es dos veces mayor que B.
tres veces
O
A
A = 3 B
A tiene el triple En resumen: Una vez más Dos veces más Tres veces más
A
B
(3)
(1)
B
:
3x
: X
de lo que tiene B ó A tiene dos veces más de lo que tiene B. < > < > < >
el doble. el triple. el cuádruple.
A es a B como 3 es a 5. la relación entre A y B es 3/5 A y B están en la razón de 3 a 5. A es a 3 como B es a 5.
182
dos veces más
A B
3 5
’
A : 3k B : 5k
C A P ÍT U L O V
Planteo de Ecuaciones
Por ca da 3 fichas rojas teng o 4 fichas azules.
rojas 3 azules ~ 4
Tres me nos dos veces un núm ero x.
3 - 2x
Tres me nos de dos veces un núm ero x.
2 x - 3
El producto de cinco números consecutivos es m. ♦
Tú tienes el doble de mi dinero que es S/.30 más que el dinero de él.
Si tú me das S/.20, entonces tendremos igual cantidad de dinero.
’
rojas : 3k a 201®5 : 4k
(x)(x+l)(x+2)(x+3)(x+4) = m (a - 2 )(a - l)(a)(a+ l)(a+ 2 ) = m
sSKSpJ-"
El
X
Tú
2 k
Yo
30 + x
Yo
k
Tú
> O + K C O
El
k-30
Yo : S/. a Tú : a + 40
notem os que si tú me das S/.20, entonces tendremos lo mismo
Ahora podemos concluir que eá : líneas generales plantear una ecuación consiste básicamente en realizar la tarea qstó tedica el siguiente «squema: Forma Verbal
Forma Simbólica
Enunciado
Lenguaje matemático j
Veamos la aplicación en algun os ejemplos.
Ejemplo 1 Tú tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo qu e tienes. Si tuvieras lo qu e tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es nueve soles más de lo que tú tendrás. ¿Cuánto más qu e tú es lo que tengo? Resolución: Tú Tú Tú Lo que NTenía s, ,Tienes , ^Tendrás , y o tengo, 2x x 3x si tuvieras: x + 2x + 3x = 6x <-----------6x -3x = 9 x=3
3 x= 9
Luego: yo
9 + 3(3) = 18
tú ^
S/.3
18
- 3 = S/.15
Ejemplo 2 En un salón de clase, si los alumno s se sientan de 3 en 3 se quedarían de pie 8 alumnos. En cambio, si se sientan de 4 en 4. una carpeta que daría vacía. Halle el núm ero de alumnos.
183
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
Resolución: Sea el número de carpetas igual a n. Caso 1
Pedro
[a+i)' . + 10 .. T
V
Caso 2
Carlos
V
a + 20
a-10
a + 20 = 3(a- 10) Resolviendo a = 25 n carpetas
carpetas
Resolviendo:
n = 12 carpetas
Resolución: Recordando que el exceso equivale a una diferencia entre dos cantidades y siendo n el número en referencia podemos plantear:
# alumnos: 3(12) + 8 = 44
Ejemplo 3 í Dame 5 cié tus canicas y t en d r e m o s t a n t o el u n o com o <_•! ot ro
# canicas de Pedro : 35
Ejemplo 4 Halle un núm ero en tero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del núm ero sobre 8 .
+ 8 de pie 3{n) + 8 = ¡ 4(n —1) ■
# alumnos:
# canicas de Carlos : 25
■ M e j o r d a m e 10 de l a s I j tu y a s y ten d ré el tr ip le ! | de las que te queden I
n- - 119
i Carlos Pedro
¿C uántas canicas tienen Carlos y Pedro?
Resolución: Según Carlos, si Pedro le entrega 5 canicas quedarían igualados; entonces deducimos que Pedro tiene más canicas que Carlos, exactamente 10 canicas más. Así: Carlos Pedro
n~ 119 Por dato: ¡
------
I I
décuplo
119 =10(n-8; lOn - 39 = 0 -1 3 — >■ n =1.3.;
+3 — >- n = - 3 se descarta
a + 10
Según Pedro; si Carlos le da 10 canicas, dice que tendría el triple de las que le qu ed en a Carlos.
184
recuerde que n es positivo, por dato. El número es 13.
P r oblemas R esu eltos PROBLEMA I En un a feria, Isabel juega el “tiro al bla nc o” con la condición de q ue por ca da tiro que acierte recibirá a soles y pagará b soles por cada uno de los que falle. Después de n tiros ha recibido c soles. ¿Cuántos tiros dio en el blanco?
_______ ( Efectúa
r
x = 22 Deben llegar 22 mujeres.
Resolución: ; i Acierta
Digamos que deben llegar x mujeres para que la relación sea d e 1 a 1. C uan do do s cantidades están en relación de 1 a 1 significa que de ben ser iguales. 33 + x = 55
PROBLEMA 3 Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 paso s más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?
n tiros '-------
n
c/u: S/. a
c/u: S/. b
Como recibe una cantidad de c soles, se deduce que lo que él gana por los aciertos es mayor de lo que él pa ga por los que no acierta; por lo tanto, la diferencia es lo que recibe. Recibe: ax - b(n-x) = c bn + c •. x = --------a+b
Resolución: Sea x el núm ero d e escalones de la escalera.
esc.í
i¡»fc \ cscdloi
, Si
# d e p a so s =
PROBLEMA 2 En un a fiesta, la relación de mujeres y homb res es de 3 a 4. En un mom ento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres debe n llegar para que la relación sea de 1 a 1.
■: l --
# d e p a so s = - | -
En el primer caso, se dieron 3 paso s más qu e en el segun do caso, por lo tanto: — =3 4 5 Resolviendo: x = 60 La escalera tiene 60 escalones
Resolución: Mujeres
Hombres
3n
4n
Antes :
i
|-6
J+3
Ahora : 3n - 6
4n + 3:
i 3n 6 3 Luego: --------- = — 4n + 3 5
í j ^¡ n = 13 j L___i
Entonces, ahora hay 33 mujeres y 55 hombres.
PROBLEMA 4 Si com pro 7 cuad ernos y 3 lapiceros, gasto S/.44; pero si compro 7 lapiceros y 3 cu ad ernos, gasto S/.36. ¿C uánto cuesta 1 cua dern o y cuánto 1 lapicero? Resolución: Costo de 1 cuaderno: S/.C Costo de 1 lapicero : S/.L
185
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
De los datos: 7C + 3L = 44 . 3C + 7L = 36 .
PROBLEMA 6 Lo que tú gana s y lo que yo gano sum an S/.600. Si tú ganaras S/.80 más y yo S/.80 menos, tendríamo s la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenemos cada uno?
( 1) (2 )
(1) + (2): 10(C + L) = 80 (1) - (2): 4(C - L) = 8
!
Resolución: De los datos podemos plantear lo siguiente: Tú Yo + : !■■ = 6 00
2C = 10 (C=5] |L = 3| Por lo tanto: 1 cuaderno cuesta: S/.5 1 lapicero cuesta : S/.3
+ 80
PROBLEMA 5 Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10 g cada un a y otro cajón con 5 4 manzanas d e 25 g cada una. ¿Cuán tas man zanas deb en intercambiarse para que, sin variar el número de manzanas de cada cajón, ambas adquieran el mismo peso? Resolución: Supongamos que intercambiamos x manzanas. 84 manzanas 54 manzanas c/u: 10 g c/u: 25 g
-80
Entonces, de la condición final, retroced em os así: Tú Yo 220 + -80 300
+ 80 300
/La suma de \ \ambos es 600/
Estas dos cantidades serían iguales Yo tengo S/.380 y tu tienes S/.220
Ira. caja
2 da. caja V
Peso Total: 840g
J 'V
Pes o Total: 13 50g
Por 1 manz ana que intercambiamo s de cada caja, la que sale de la Ira. caja pesa 10 g y la qu e sale de la 2da., pesa 25 g ; entonces la Ira. caja gana 15 g y la 2da., pierde 15 g. Luego si intercambiamos x man zanas, la Ira. caja gana 15x g y la 2da., pierde 15xg, entonces am bas cajas tendrán el mismo peso. Es decir: 840 + 15x = 1350 - 15x x = 17
186
F*.OBLEMA7 El pa pá de José acu de al hipódromo con S/.4 300 y cuando y a ha perdido S/.700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿Ganó o perdió? ¿Cuánto? Resolución: Al inicio tenía: S/.4300 Dinero: S'. 4300 No ha perdid o: x
Ha p erdido : x + 700
Entonces, le queda: S/. 1 800.
2x + 70 0 = 43 00 x -1800
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
Luego apuesta lo que le queda y lo triplica: ^
3 (1 80 0) = 5 4 00
Ahora tiene: S /.5400
Resolución: Se an los núm eros: n y (n + 1) Luego, del enunciado planteamos: n + (n + 1) = —(n) + —(n 4 ' gV + 1)
Ganó: 5 400 - 4 300 = 1 100 soles
n= 8
Los número s son: 8 y 9
PROBLEMA 8 Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada u na y adem ás le regalan 4 por cada 19 que compra. Si recibió en total 391 carteras, ¿cuál fue la inversión del com erciante? Resolución: Del enunciado:
Compra 19
Le regalan 4
Recibe 23
l
xl7
Recibió en total
Compra
Le regalan
Recibe
19
4 j x l 7
23
j x l 7
j x l 7
@¡23;
El consecutivo del mayor es 10
PROBLEMA 10 En un a granja se observa 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie? Resolución: Se a el núm ero de cerdos igual a x entonces, como en total son 40 animales, el número de gallinas es igual a 40 -x (estamos usando sólo una variable). Luego, el núm ero total de patas es 100 y sabem os que cad a cerdo tiene 4 patas y c ada gallina tiene 2 patas, en tonce s podem os plantear: 4x + 2 (40-x) = 100 4x + 80 - 2x = 100 c = 10 Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas. Nos piden la diferencia de estos núm eros, es decir, .-. 30 - 10 = 20.
Entonces el número de carteras que compró es 323. Adem ás por el dato, el costo de cada cartera es de S/.75 Inversión = 323(75) = S/.24225
Estimado lector, lo que se ha explicado en la resolución del problema 10, se puede esquematizar en el siguiente cuadro: i
PROBLEMA 9 Halle dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segun do. Dé com o respu esta el consecutivo del may or de dichos números.
cer dos
í# ^ nim a le í: ¡
x
[ 4 0 - x
f # pa tas:
4x
1 80
|
gallina
¡
2x j
Total de patas: 4x + 80 - 2x = 100 ” Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas. Nos piden: 30 - 1 0 = 20
187
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
PROBLEMA II Tengo 5 6 soles entre mo ned as 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad de m onedas que tengo. Resolución: Sea el número de monedas de 2 soles igual a x, entonces: Monedas <’;<■ S K') iecl.ib i s q |||
Monedas cc t 2
x+ 2 10 (x+ 2 )
2 (x)
Por dato, en total tengo 56 soles entonces: 10(x+2) + 2x = 56 lOx + 20 + 2x = 56 x = 3 Luego: # mo nedas de 10 soles = 5 # mo nedas de 2 soles = 3 Tengo 5 + 3 = 8 monedas
PROBLEMA 12 Un carpintero ve ndió 3 sillas más que m esas; pero tanto en las sillas como en las mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos artículos vendió, si las mesas las vende a S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 9 600 en total?
Pero, por dato, cada mesa lo vende a 360 soles más que ca da silla. Esto significa que la diferencia de precios es de 36 0 soles, en tonces plantea mo s la siguiente ecuación: 4800
4800
x
x+3
Simplificando:
40 _
x
40
x+3
= 360 = 3
Resolviendo: x = 5 .'. Vendió 5 mesas y 8 sillas, o sea que vendió: 5 + 8 = 13 artículos.
PROBLEMA 13 Para ganar S/.180 en la rifa de un televisor, se hicieron 120 boletos, vendiéndose únicame nte 75 bo letos y originándose así u na pérd id a de S/.45. ¿Cuál es el valor de dicho televisor? Resolución: En este ejercicio nos sugieren comparar el valor del televisor con el de la venta de cierta cantidad de boletos. C uan do hay gananc ia es porq ue lo que se obtiene de la venta excede al costo del televisor y cuando hay pérdida es el caso inverso. Se a el precio de cada boleto: x soles Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles ' C osto ^ entonces: 120x = 180 . ( 1) T.V. Pero, sólo se vendió 75 boletos y se perdió 45 Costo ^ soles, entonces: 75x = - 4 5 . . . . (2) TV
Resolución: Sea el número de mesas que vendió igual a x entonces el núm ero de sillas es igual a x + 3. De la recaudación total, que es 9 600 soles, a las sillas le correspon de 4 800 soles y a las mesas tam bién 4 80 0 soles, esto es, según el dato del problema. Cad a m esa lo vendió en
4800
Cad a silla lo vendió en
--------soles
188
4800
x+ 3
soles
Restamos miembro a miembro (1) y (2): 120x - 75x =
Cos/to + 180T.y.
45x = 225 x = 5 Reemplazam os en (1): 120(5) = ( ^ “ toj + 180 El costo del TV es 420 soles
Cosío
T V.
-45
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones Alié
Este problema se puede resolver, utilizando un gráfico y considerando lee ecuaciones (1) y (2), ------------------------
Costo TV.
........
8x
*
180
Dinero ;
12
f-.................... .................... i 5x 15 : 5x + 15 + 12 = 8x
...... .....
75x
45
IZOx = 75x + 45 + 180 que: 45x = 225 x=5
# hijos = 9 - 2 = 7
Costo T.V. = 75(5)+45 = 420 soles'
PROBLEMA 15 PROBLEMA 14 Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al tea tro con sus hijos. Si compra entrad as de S/.8 , le faltaría S/.12 y si adquiere entradas de S/.5, le sobra ría S/.15. ¿Cu ántos hijos tiene el matrimonio?
Si a cada niño de los que tengo le entrego tantos caramelos como niños hay, me faltaría 12 caramelos; pero si le entrego a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sob raría lo mismo que me faltaba. ¿Cuántos niños tengo?
Resolución: Se a el núm ero de niños igual a x.
Resolución: Sea el número total de personas igual a x; si compra entradas de 8 soles le faltaría 12 soles; entonces el dinero que tiene no le alcanza, por lo tanto: 8x = (dinero que tienen) + 1 2 ......... (1)
Si com pra en trada s de 5 soles, le sobraría 15 soles, osea: (dinero que tienen) = 5x + 15 . . . . (2) Reemplazamos (2) en (1): 8x = (5x + 15) + 12
3x = 27
^ x —9
Entonces son 9 pe rson as en total, incluidos el pa pá y la mamá. El número de hijos es: 9 - 2 = 7
Se a el núm ero de caramelos que tiene igual a C. Si a cada niño le entrega tantos caramelos como niño s hay, es decir, x caramelos, faltaría 12 caram elos. Esto significa que los caramelos qu e se dispone no alcanzarían, es decir: x . x = C + 1 2 ......... (1) Pero, si le entre ga a cada niño 2 caramelos menos, es decir x -2 caramelos, sobraría 12 caramelos, es decir: C = x (x-2) + 12 . . . . (2) Reemplazamos (2) en (1): /
= (y ® -2 x + 12) + 12
x = 12 Hay 12 niños.
189
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
PROBLEMA 16 Si hoy gasto lo mismo que ayer, m añ ana gastaría la mitad de hoy entonces me qued aría sin dinero alguno; pero en cambio, si ayer hub iese gastad o la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar S/.10 más de lo que gasté realmente ayer. ¿Cuá nto gasté ayer? Resolución: Sea lo que gastó ayer igual a 2x De la primera parte: “Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy y me qued aría sin dinero”, tenemos: Ayer Hoy M añana 2x
|^2xi
ix i
Total = 5x . . . . (1)
La suma 5x se acabaría. Luego: “Si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar 10 soles más de lo que gasté realmente ayer”, entonces: Ayer Hoy !x
2x + 10 ZI^ Total = 3x + 10 . . . . (2)
Como el total es el mismo, igualamos (1) y (2): 5x = 3x + 10 x = 5 Ayer gasté: 2(5) = S/.10
PROBLEMA 17 Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamo s S/. 60. ¿Cuá nto tenem os entre ambos? Resolución: Sea lo que yo tenía igual a x soles y lo que yo tengo igual a y soles. Entonces, según las condiciones: A l in ic io > o
El
190
x
;
2y
A l final
y 3x
Luego, por dato, lo que él tenía (2y) y lo que yo tengo (y) suman 60 soles, es decir: 2 y + y = 60 ^
y = 20
Además, el total al inicio y el total al final deben ser iguales, es decir: x + 2y = y + 3x x + 2 (20) = 20 + 3x ^
x = 10
Entonce s yo teng o 20 soles y él tiene 30 soles. Entre ambos tenemos 2 0+ 30 = 50 soles
PROBLEMA 18 Un ganadero compró 30 caballos más que vacas y tantos cerdos como vacas y caballos juntos; además por 2 vacas pagó tanto como por 7 caballos. ¿Cuántos animales compró sabiendo que pag ó po r el total de vacas el doble qu e p or los caballos? Resolución: Sea el número de vacas igual a x. Entonces: # vacas # caballos # cerdos f x ] [ x + 30 ) [2x + 30]
Total 4x + 30
Además: “Por 2 vacas pagó tanto como por 7 caballos”, es decir: 2.(V) = 7.(C) Esto significa qu e cad a vaca c uesta com o 7 y que cad a caballo como 2. Digamos que sean 7 soles y 2 soles respectivamente. Luego, de la condición final del problema: Pago total = 2 Pag o total por las vacas por los caballos 7 (x) = 2[2(x + 30)] 7x = 4x + 120 x = 40 Total de animales = 4(40)+60 = S/.220
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
PROBLEMA 19 Los ahorros de un niño consta de (p+1 ), (3 p- 5) y (p+3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamen te. ¿A cuánto asciend en sus ahorros?, si al cambiarlo en monedas de 2 5 soles, el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 soles. Resolución: Recuerda que si multiplicamos el número de monedas de una denominación por el valor en soles de cada moneda, nos resulta el monto en soles. Entonces, el niño tiene: de 5 , de 10 '■oltí'j «oli-s ■■ nonedas j............ m onto en soles ............... ,.... ¿¿i
p + 1
i 3 p -5
de 20 soles j p + 3
5(p+l) j 10(3p-5) j20(p+3)
Total ahorrado = 5 (p + l) + 10(3p-5)+20(p+ 3) Total ahorrado = ; 55p + 15 - .............. (1) Luego, al cambiar el total de sus ahorros en monedas de 25 soles, el número de monedas que obtiene, según el dato, es 2 (p + l). Entonces: el total ahorrado = 25 . 2 (p+ 1) 50 p + 50 ............(2) Pero entende mo s que sólo se ha cambiad o el tipo de moneda mas no el total ahorrado, lo que significa que debemos igualar ( 1) y (2 ) así: 55p + 15 = 50p + 50
p = 7
Reemplazamos p = 7 en (2) Total ahorrado = 400 soles
PROBLEMA 20 Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yo tengo y tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para tener el doble de lo que tienes, resulta que lo mío y lo tuyo estarían en la relación de 5 a 4. ¿En qué relación se encon traban nuestras cantidades iniciales?
Resolución: Se a lo que: Yo tengo = [ x ¡ Tú tienes = j y j dond e, por condición del problema, x > y Te falta para tener lo que yo tengo = x - y Me falta para ten er el doble de lo que tienes = 2y - x Luego, si yo te doy x - y 1y tú me das j 2y - x |, yo tendría = j x - (x - y) + (2y - x) •- 3y tú tendrías = |y + (x-y) - (2 y - x) = 2x - 2 y ¡ Entonces, la relación sería de 5 a 4, es decir: 3y -x _ 5 2x - 2y 4 X 11 De esta ecuación obtenemos: — = — y 7
Las cantidade s iniciales estab an en la relación del 11 a 7
PROBLEMA 21 En una familia se cuenta varios niños y niñas. Alguien les preguntó: “¿Cuántos son?” y la niña mayo r respond e que tiene tantos herm anos como 5 veces el número de hermanas; pero el niño mayor dijo que tenía tantos hermanas como 3 veces el núme ro de herm anas. ¿Cuántos niños son en total? Resolución: Sea el número de hermanas de la niña mayor igual a x. Primero, la niña mayor dice que tiene tantos hermanos como 5 veces el número de hermanas, o sea: niña mayor hermanas hermanos (¡Ge7] 5x
191
Razonamiento M atemático
Lumbreras Editores Entonces podemos deducir que: | Total de varon es = 5x I f Total de m ujeres = x + 1 ¡ A partir de esto, podemos indicar: niño mayor
&
El número total de personas que había inicialmente fue 3n = 3(50) = 150
hermanos hermanas ■5 x - i i \ ■n
Luego, de lo que dice el niño mayor planteamos: 5x - 1 = 3(x + 1) x = 2 Finalmente, el número total de niños, entre varones y mujeres, es: 6x + l = 6(2) +1 = 13
En un a fiesta hay tantos caballeros bailand o com o dam as sin bailar y ningún cab allero sin bailar; un a vez que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salen a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas personas habían inicialmente?
Resolución: Sabemos que en una fiesta, donde hay damas y caballeros, lo má s lógico es que se baile en pareja, entonces pod em os afirmar que: | # caballeros que bailan = # damas que bailan luego, según los datos: C .ibdlle ros No bailan Total:
!
ti
Ddllld!»
192
Se tiene 48 palitos de fósforos divididos en 3 grupos. Del primer grupo se pasan al segun do tantos palitos com o tiene éste; luego, del segundo grupo se pa san al tercero tantos palitos com o tiene éste y lo mismo se hizo del tercero al primero, resultado al final los tres grupos con igual cantid ad de palitos. ¿Cu ántos palitos tenía el primer grupo al inicio?
Nos piden averiguar cu ántos palitos tenía el prim er grupo al inicio. Digamos que al inicio el número de palitos que había en cada grupo era: ler . grupo 2do. grupo 3er. grupo
Luego, del prim ero se pa sa y palitos al segun do grupo, quedando así: ler. grupo2do. grupo 3er. grupo x- y
2y
2y~z
0 2n
2n - 70
z
Después, del seg und o se pa sa z palitos al tercer grupo, quedando así: ler . grupo 2do. grupo 3er. grupo
i.---
Luego, se retiran 20 caballeros y 70 damas; entonces quedan: Caballeros Damas n -2 0
PROBLEMA 23
Resolución:
PROBLEMA 22
Rñilriii
Pero, po r dato nad ie se que da sin bailar, entonces el núm ero de caballeros y damas que qu edan son iguales, es decir: n - 2 0 = 2n - 70 _ n = 50
2z!
Finalmente, del tercero se pa sa x-y palitos al prim er grup o y quedan ca da uno de los grupos con igual número de palitos, es decir con 48-^ 3 = 16 palitos. Así: ler . grupo 2do. grupo 3er. grupo 2x - 2y
| 2y-z |
2 z-(x-y) j
16
16
16
CAPÍTULO V Entonces: x -y
8 ...( 1)
y - z16 ...(2)
2 2
Planteo de Ecuaciones
z - x +16 y ...(3)
Sum amo s miembro a miemb ro las ecuaciones (1) y (3): 2z = 24 z = 12 Reemplazamos z=12 en (2) : y = 14 Reemplazamos y = 1 4 en (1) : x = 22 Al inicio, en el primer grupo había 22 palitos
Ahora, lo que tenemo s que hacer es regresar, del final al inicio. Pa ra ello realizamos operacio nes contrarias a las ya indicadas, po r ejemplo, si en la ida se multiplicó por 2 ahora en el regreso se divide entre 2. Además, recuerda que en todo momento, el total de palitos es 48, es decir la sum a de lo que hay en los tres grupos debe ser 48 palitos. Entonces regresamos de abajo hacia arriba, en el gráfico: le r Grupo 2do Grupo 3er Grupo Al inicio: L 22
12
2* L ]
12
1
1
__7 k
El problema 23 se h a resuelto utilizando tres variables (x, y, z) para representar a las cantidades iniciales de palitos en cada grupo, ya que éstas eran desconocidas. Finalmente se llegó a plantear tres ecuaciones. Es decir, se ha dado una solución algebraica al problema. Ahora lo que va mo s a ver, amigo lector, es otra forma, otro mé todo par a resolver el problema, de mod o que no se emplee variables. Esto es utilizando un procedimiento regresivo. Es decir, de las condiciones finales vamos a regresar a las condiciones iniciales. Cuando en el problema se afirma que del primer grupo se pasa al se gundo tanto s palitos como hay en éste se entiende que se le está duplicando la cantidad de palitos del segundo grupo. Así mismo ocurre, cuan do se pa sa palitos del 2o al 3o y del 3oal Io. Pod em os indicar lo que o curre, en el siguiente gráfico: ler Grupo
2do Grupo 3er Grupo
Al inicio:
L
A _
8
ir, ]
* .' 24 I
I íT
17» 3
16
A o Al final:
|
_ 1 4 J
48 palitos Al inicio en el primer grupo había 22 palitos.
PROBLEMA 24 Cada vez que Raúl se cruza con Marcos, éste le duplica el dinero que lleva Raúl en ese m om ento y en retribución, Raúl le entrega 10 soles. Si se ha n cruzado 3 vece s luego de los cuales Raúl tiene 250 soles y Marcos 100 soles. ¿Cu ánto tenía cada uno al inicio? Resolución: Sea al inicio: Raúl Marcos
Por dato, al final: Raúl
Marcos
¡ 250 1 I 100 1 Pero ente nde mos qu e el total de dinero al inicio y al final deben ser iguales, es decir:
:*2
x + y = 250 + 100 .............. (1) Al final:
16
J 6j
48 palitos
J 6 _
Cada vez que Raúl se ha cruzado con Marcos, el dinero que tenía Raúl, primero fue duplicado y desp ués fue disminuido en 10 soles.
193
Razonamiento Matemático
Lumbreras Editores Raúl empezó con x soles, después del primer cruce tiene 2x -10 . Después del segundo cruce tiene 2 (2x - 10)-10 y luego del tercer cruce tiene: 2[2(2x—10)—10] - 10 = 250 ............(2) Resolviendo: i x = 4 0 1 Reem plazando x = 4 0 en (1), se obtiene: fy' = 310 ] Al inicio, Raúl tiene 40 soles y Marcos 310 soles
Resolución: Al inicio bailan la cuarta parte del total de personas. Al final el número de los que bailan, ju egan y charlan, son iguales. Es decir, el total queda dividido en tres partes iguales. Por eso es conveniente que el número total de personas tenga cuarta y tercera parte, es decir que sean como 12. Sea el número total de personas igual a 12x. Entonces al inicio bailan: 3x Al final bailan: 4x Luego: Procesos Efectuados Inicio
Hemos calculado lo que tenía Raúl, al inicio, mediante la ecuación (2), pero ahora vamos a calcularlo usando un procedimiento regresivo. Como en el proceso de ida, cada vez que se cruzaban, el dinero de Raúl primero fue duplicado y después disminuido en 10 soles. Ahora en el proceso de regreso, hacemos lo contrario, primero sumamos 10 soles y después dividimos entre 2. Asilo hacemos tres veces consecutivas a partir de 250 soles. i'Al final: 25tF]
í;
Al inicio: C H O t
+ 10 ~r -2
C
___ +10~7-2 ...*
E
C 3 D
Bailan:
[3*1
Total:
12x
+4
2o +1
3o
-1
+2
Final
E H
\
■*— Iguales
/
-2 12x
Para las person as que bailan, pode m os plantear: 3xi + 4 - 2 = 4x Resolviendo: x = 2
_____ _ , r
Entonces, al inicio Raúl tenía 40 soles. ;A Fijate que se obtiene lo mismo que en la ecuación (2).
PROBLEMA 25 En una reunión, unos estamos jugando, otros charlando y bailando la cuarta parte de los reunidos. ♦ Después 4 de ellos dejan el jueg o por el baile. ♦ Uno deja la charla po r el juego. ♦ Dos deja n el baile po r la charla. Resulta entonces que bailan tantos como juegan y juegan tantos como charlan. ¿C uán tas perso nas asistieron a la reunión?
194
Charlan:
□ □
Juegan:
1° -4
El número total de personas es 12(2) = 24
PROBLEMA 26 Dos cirios de igual altura se encienden simultáneamente, el primero se consume en 4 horas y el segundo, en 3 horas. Si cad a cirio se quemó en forma constante. ¿Dentro de cuántas horas, después de haber encendido los cirios, la altura del primero es el doble que la altura del segundo? Resolución: Según los datos iniciales, los cirios son de igual altura, la cual equivale a la unidad . Uno se consume en 4 horas y el otro, en 3 horas.
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones Resolución:
4h
1 4 1 4 1 4 1 4
Cuando se afirma que son de igual calidad significa que si se prenden simultáneamente, entonces, después de un cierto tiempo lo consumido en uno es igual a lo consumido en el otro.
i i h f 3
)ih
1 3
i
3h
1 3
Después de t horas de haber encendido ambos cirios, se consumen así: Para el primero:
Para el segundo:
En 1 hora
! En 1 hora
En t horas
!En t horas
Se a x la longitud de la vela mayor. Seg ún el enunciado del problema, la vela menor duró 150 minutos. En tonces cuan do le falte 30 minutos para terminarse, ya habrá transcurrido 120 minutos en am bas velas y en ese instante tendremos:
1 3
24cm 120
120
min.
min.
Falta 30
t horas
¡
t 1horas 1--J
1-
Por condición del problema, ahora la altura del primero es el do ble de la del segund o, es decir:
min.
Según el problema, en este mom ento, la altura de la vela mayor es 4 veces la altura de la menor; por lo tanto, su tiempo de duración será 4 veces el tiempo d e la menor, veamos: 24cm
120
120 min.
30
min.
min.
1-
-
=
4
12
2
1-
2
Resolviendo: t = — = 2 - horas 5 5
PROBLEMA 27 De dos velas de igual calidad una tiene 24cm de longitud más qu e la otra. Se prend en am bas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total?
120
Del gráfico: x cm
240 minutos
24cm
90 minutos
24x240 90
x = 64cm
195
Lumbreras Editores
Razonamiento M atemático
PROBLEMA 28 Si por S /.200 dieran 6 pelotas más d e las que dan , la doc ena costaría S/.90 menos. ¿Cuá nto vale cada pelota?
con 6 botellas y recibe 80 soles de vuelto y el segundo paga con 2 botellas de vino pero recibe 40 soles de vuelto. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino?
Resolución:
Resolución:
En el problema hay dos casos que analizar, un caso real (dan) y un caso supuesto (dieran).
Sean-
Sea n el número de pelotas que dan por 200 soles, entonces: Dan
Dieran
ía
va^or ^
*mPuesto d e ca da botella
[ b -► valor de cad a botella de vino
El I o ten ía
El 2o tenía
' 64 botellas
¡2 0 botellas ]
El ler. negociante sólo paga impuestos por 58 botellas, ya que 6 botellas las utiliza para el pago de dichos impuestos y todavía recibe 80 soles de vuelto; por eso planteamos la siguiente ecuación. 6 b = 58a + 8 0 ......... (1)
Según el problema, en el caso supuesto, la doc ena costaría 90 soles menos. Su planteam iento es: 1 2 1 2C #j
_ 1 2| _ 2 ^ _ j = 9 0
El 2do. negociante sólo paga impuestos por 18 botellas, ya que 2 botellas las usa para el pago de impuestos y recibe 40 soles de vuelto, entonces. 2b = 18a + 4 0
Simplificando las ecuaciones (1) y (2), tenemos:
c- p tí80 80 óo sim lif ic an d o :----------------= n n+ 6 a
C ada pelota vale:
3b
=
2 9 a + 40
b
=
9 a + 20
Resolviendo: a = 10
Resolviendo: n = 10 10
= 20 soles
............(2)
; b = 110
El precio de cad a botella de vino es 110 soles
PROBLEMA 30
PROBLEMA 29
Un salón está iluminado por 4 8 focos y otro salón
Dos negociantes de vino ingresaron, por una de las fronteras del Perú, portando uno de ellos 64 botellas de vino y el otro, 20 , todos de la misma calidad. Co mo no tienen suficiente dinero pa ra pagar los derech os de aduana, el prim ero paga
está a oscuras.
196
Si en el primer salón se apa ga 4
focos y en el segundo se enciende 2 , y esta operación se repite hasta que ambos salones queden con igual número de focos encendidos, entonces el número total de focos encendidos es:
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
Resolución:
Así podem os graficar:
Según el enunciado, en cada operación, en el primer salón se apagan 4 focos y en el segundo se encienden 2 focos. Entonces después de n operaciones, se han apagado 4n focos en el primero y se han encend ido 2n focos en el segun do salón. Así tendremos: 2do salón le r salón # focos encendidos 48 1 ] al inicio + 2n -4 n # focos encendidos 48--4 n al final Pero, al final ambos salones quedan con igual número de focos encendidos, es decir: 48 - 4n = 2n Reemplazando: n = 8 Al final:
ler salón
2do salón
16
16
Total de focos encendidos: 32
PROBLEMA 31 Al finalizar el juego de pin-pong, Carmen com enta a María: “Si te hubiera d ad o tres puntos menos de ventaja, te habría ganado con una diferencia de seis pun tos” . Se sabe qu e María anotó 10 puntos (sin contar con la ventaja dada) y el juego de pin-pong es hasta los 21 puntos, ¿cuántos puntos de ventaja dio Carmen a María? Resolución: Sea x puntos la ventaja que le dio Carmen a María. Según los datos, se está comp arand o un caso real con otro supuesto, además, Carmen ha ganado, es decir, Carmen ya hizo los 21 puntos y María todavía.
2?Jnal: ^
Caso Real: jcjaantos
10 puntos )
9HÉSBP.
Caso Supuesto:
Del gráfico: x - 3 + 10 + 6 = 21 La ventaja fue 8 puntos.
PROBLEMA 32 En un viaje realizado fuera de la ciudad, pude observar: ♦ Llovió 7 veces en la m añ an a o en la tarde ♦ Cuan do llovía en la tarde, estab a despejada la mañana ♦ Hub o 5 tardes despejadas ♦ Hubo 6 mañanas despejadas ¿Cuántos días duró mi viaje? Resolución: Sea n el número de días, entonces hubo n m aña na y n tardes. O rdenando los datos en una tabla tenemos: ¡ Despejadas
i Lluviosas
| m añanas (n) i
n -6
: ta rili- (n) - d
n- 5
(7) i
Seg ún el dato, llovió 7 veces: (n- 6 ) + (n-5) = 7 n=9 El viaje duró 9 días
197
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
PROBLEMA 33 Podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana de sol gasto S/.9 en helados y cada mañana fría gasto /.6 S en café. Si ya tengo aho rrad o S/.258, ¿durante cuántos días ahorré? (sólo hay ma ñan as frías o soleadas).
3y = 11 + 5 pero 11 = 0, 1 1 ,2 2 ,3 3 ,4 4 , . .
Lo que tenem os que hacer es reemplazar un 11 de modo que obtengamos para y un valor entero positivo. Evaluando, al reem plazar 22 se ob tiene
Resolución: Sean x mañana s soleadas
y= 9
y mañanas frías Entonces el núm ero de días es: x + y
Ahora, reemplazamo s y = 9 en (a): l l x + 14(9) = 258
mañanas soleadas
m añan as frías
*
x = 12J
El núme ro d e días que ahorré es 12 + 9 = 21
# días ^
I
irro diario. | 2 0 - 9 = 11
2 0 - 6 = 14
Luego el aho rro total, en soles, es 258: | ll x
14y = 258
(a)
La ecuación (a) tiene dos variables (x e y), las cuales sólo pueden admitir valores enteros positivos. Dicha ecu ación recibe el nombre de Ecuación Diofántica.
Si seguimos evaluando can los múltiplos de 11, al reemplazar 55 obtenemos y=20 y luego en (a), obtenemos x=-2. Pero sabemos que x no puede ser negativo por lo tanto descartamos esta solución. De la misma forma, si evaluamos para 88, obtenemos y=31 y x=-16. Pero también, esta solución queda descartada. Entonces pelemos asegurar que la única solución válida es x=12, y=9.
Para resolver la ecuación tenemos que encontrar valores enteros positivos pa ra x é y de m odo que se cumpla con la igualdad. Es posible qu e una ecuación diofántica tenga más de una solución, eso depe nd e de las condiciones de cad a problema (se debe relacionar siempre los resultados con la realidad).
PROBLEMA 34 Hace muchos años pud o comprarse pavos a S/.10, pato s a S/.5 y pollos a S/.0,5. Si en total se pudo comprar 100 animales, e ntre pavo s, patos y pollos, con S/.100, ¿cuántos fueron los animales de cada especie?
En este caso, vamos a utilizar propiedades de los múltiplos, veamos:
Resolución: Sea: # pavos
ll x + 14y = 258 ll x + l ly + 3y = 11(23) + 5 11 + 11 + 3y = 11 + 5
198
#patos pollos
#
al
b
c/u: S/.10
c/u: S/.5
1c >
c/u: S/. — 2
C A P Í TU L O V
Planteo de Ecuaciones
Pudo comprarse 100 animales: ^
PROBLEMA 35
a + b + c = 1 0 0 .............. (1)
Adem ás, el gasto total fue 1 00 soles 10a + 5b + - = 100 2
Un negociante cambia 2 monedas de S/. 1 y le dan monedas de 25 céntimos y de 10 céntimos. ¿Cuántas m onedas como m áximo recibe entonces dicho com erciante?
multiplicamos por 2 : 20 a
+ 10 b + c = 2 0 0 ......... (2 )
Restam os (2) - (1):
Resolución:
19a + 9b = 100 ................ (a)
Según el enunciado, pode mo s plantear que el valor del dinero que el comerciante entrega de be ser igual al valo r de lo que le dan. Es decir:
La ecuación (a) es también una ecuación diofántica donde las variables a y b son enteros positivos.
( 2 monedas 'j ( x monedas ( y monedas \ { de 1 sol j ( de 25 céntimos j ( de 10 céntimos )
si expresam os todo en céntimos, tendremos:
Evaluamos 19 + 9b = 100
200 = 25x + lOy íb = 9]
simplificando:
Luego, reemplazamos a = l y b = 9 en (1): 1 + 9 + c = 100
. c = 90J
Fueron: 1 pavo, 9 pato s y 90 pollos.
| 5 x + 2 y = 4 0 j .............. (a) Nuevam ente estamos frente a una ecuación diofántica, donde x é y son variables que sólo pueden admitir valores enteros positivos. Pero en el problem a querem os calcular el núm ero
Si seguimos evaluando en (i/), para a y b veremos que ya no hay más soluciones enteras positivas. La ecuación Ja) también se puede resolver usando | múltiplos, veamos: .4» 19a + 9b = 100 18a + a + 9b = 99 + l 9 t a r 9 = 9 + 1 .. Ék. a =9 + 1 a = l ,1 0 , 1 9 , 2 8 , .. .
Pera evaluando en la ecuación (a) ia igualdad sólo verifica para Ja = 1 y se obtiene fb = 9 1 Luego,: ai reemplazar a = l y b=9 la ecuación (1), se obtiene
máximo de monedas que recibe el comerciante. Entonces, para que esto ocurra, el comerciante debe recibir más monedas de 10 céntimos que de 25 céntimos. Es decir que y deb e admitir su may or valor y x su m eno r valor. Es decir: 5x + 2y = 40 !i. n mínimo máximo Analizando la ecuación: es par es par 5x + ¡2y¡=í4Ó;
yr debe ser -^r par
_ o¿,/i4,c.6 ,
X -
..........
199
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Razonamiento Matemático
Empezamos dándole un valor mínimo a x : es
PROBLEMA 37
j —2 y luego reemplazamos para obtener decir x
Luego de gastar exactamente la mitad de su
el valor máxim o de y, así:
dinero, Tania observa que tiene tantos centavos
5(2) + 2y = 40 ^
como pesos tenía al entrar a la tienda y tantos
[7 ^ 1 1 ]
peso s co mo la mitad de los centavo s que había El número máximo de monedas es 2+ 15 = 17
PROBLEMA 36 Pedro reparte 26 caramelos entre sus 4 sobrinos. Com en, cada uno de los cuatro, varios caramelos. Al cabo de una hora Pedro com prueba que le qu eda a cada uno el mismo número. Si el mayor hab ía comido tantos como el tercero; el segund o comió la mitad de su número inicial y el cuarto comió tantos como los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió el menor de los sobrinos? Resolución: Se a a el núm ero de caramelos que le qu edó a cad a u no al final, y sea x el número de caramelos qu e comió el mayor. Entonces, según el enu nciado, regres ando del final al inicio:
tenido .
¿Cu ánto dinero (en centavos) tendría
finalmente, si lograse ganar tantos centavos como pesos tiene y tanto s pesos como centavo s tiene, sabiendo que la cantidad que tenía al inicio es lo mínimo posible? Observación: 1 pes o < > 100 centavos
Resolución: Se a lo que tenía:
.Mayor Secundo Ten i-ro Menor
Comieron
x+a 2a v' + a 2x + 2a
Final
y
2b centavos,
entonces: Pesos Tenía: a
Centavos
y ¡ 2b ¡
Tiene: ptTj y Inicio
a pesos
J a" j
Si ganase:
y
Tendría: a+fe
y
fb
a X
2x
+a
a a a
a+ b
Según el enunciado, ella gastó la mitad de su dinero. Entonces, lo que tiene es igual a la mitad
Total: 4x + 6a = 26 2x + 3a = 13 [2
3;
(es la solución)
!5
1:
(se descarta ya que 1 no es varios)
x = 2 y a = 3 El menor recibió: 2(2) + 2(3) = 10 caramelos
200
de lo que tenía, lo cual expresado en centavos es: 100 b
+ a = | ( 100a + 2 b)
Operando , obtenemos: 9%
= 4 9a
a = 99 b 49
C A P ÍT U L O V
Planteo de Ecuaciones
Pero por dato lo que tenía al inicio es lo mínimo
PROBLEMA 39
posible. Enton ces a y b deben ser mínimos:
Se divide un terreno rectangular en parcelas lográndose 108 parcelas cuadradas de 121 m 2 cad a uno. En cad a esquin a de las parcelas, se coloca un poste, em pleán dose e n total 130 postes. Halle la diferencia entre el largo y el ancho del terreno rectangular.
a = 99
y
b = 49
Finalmente, si lograse ganar:
Tendría
Pesos
Centavos
148
14 8
.'. Tendría 148 x10 0 + 148 = 14948 centavos
Resolución:
PROBLEMA 38
Sean m parcelas a lo largo del terreno y n parcelas a lo ancho.
observa la parte superior de un loto, 1 m por
Entonces, a lo largo se cuen ta (m +1 ) p ostes y a lo anch o se cuenta (n + 1) postes.
encim a de la superficie del agua . Forzado por el
Gráficamente:
En un estanque donde hay gansos y cisnes, se
viento se inclina desd e su base y la parte superior desapareció a 2 m hacia un lado. ¿Cuál es la pro fu ndidad del estan que?
Resolución: Si la profundidad del estanque es x metros, entonces, según el enunciado, podemos graficar: flor de loto A ’ )
m . n = 1 0 8 ...........................(1) Par a el número de postes:
1 ,
Pa ra el núm ero de parcelas planteamos:
‘ U S t
( m + l ) ( n + l ) = 1 3 0 ......... (2) Resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones (1) y (2 ), obtenemos: ¡m =121 y j n = 9 I
Por el teorema de Pitágoras: (x + l )2 = x 2 + 4 Resolviendo: x = 1,5 La profundidad del estanque es 1,5 metros.
Finalmente, las dimen siones del terreno son: Largo = ll m = 11(12) = 132 metros Ancho = l l n = 11(9) = 99 metros La diferencia entre el largo y el ancho es: 132 - 99 = 33 metros
201
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Razonamiento Matemático
PROBLEMA 40 Con los alumnos de un salón se formaron 2 cuadrados compactos y se observa que el número de alumnos ubicados en cada lado del primero y segund o cua drado se en cuentran en la relación de 1 a 2. Si en el salón hub iera 20 alumno s más, se formaría un sólo cua drad o comp acto. Halle la cantidad de alumnos del salón si es la menor posible.
Si en el salón hubiera 20 alumnos más, se formaría un sólo cuadrado compacto así: K Total de alumnos = k
Entonces, ecuación:
Resolución: Un ejemplo de cuadra do com pacto visto de arriba hacia abajo es: Tiene 5 alumnos en • • • • # cada lado. □ total de alumnos • • • • • es 5 2 = 25 alumnos.
podemos
plantear
5n2 + 20 - le
la
siguiente
(a)
Analizando con múltiplos: í 5n2j + [20 l = í K2.: 5 5 Deboe ser 5
un alumno El cuadrado se dice que es compacto, por qut en su interior tamb ién está lleno de alumn os. Según el problema, con los alumn os del salón se formaron 2 cuadrados compactos. Digamos que en el lado del primero hay n alumnos, entonces en el lado del segundo habrá 2 n alumnos, así:
Po r condición del problem a n debe ser el men or valor posible: (n e Z +) Si k= 5, entonces n = l, pero n tiene que ser mayor que 1 para que se forme el cuadrado pequeño. Entonces descartam os esta solución. Si
k = 10
entonces en (a)
5n + 20 = 100
n = 4 (este valor si es posible)
Total de alum nos del salón: 5n 2 = 5(4 )2 = 80
alumnos=n2
a lu m n o s ^
Total de alum nos del salón = n 2+ 4n 2=5n
202
P r oblemas P r opuestos i.
Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que pudo haber aum enta do a lo que repartió para que cada mendigo hubiese recibido exactam ente S/.10 m ás de lo que recibió? A) S/.120 D) S/.130
B) S/.140
C) S/.160 E) S/.150
2 . Se tiene un nú mero impar, se le añad e el par
de números impares que le anteceden y los tres números pares que son inmediatamente anteriores a dicho número, dando un resultado de 939 unidades. Halle la sum a de cifras del núm ero impar men cionado. A) 26 D) 19
B) 15
C) 13 E) 20
3. Para envasar 15 000 litros de aceite se disponen de botellas de Vz litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio litro. Al term inar de envasar el aceite no sobró ninguna botella vacía. ¿Cu ántas botellas hab ían en total? A )14 600 D) 24 2 00
B )18 600
C) 27 000 E) 16 000
4. Sobre un estante se pued en colocar 24 libros de RM y 20 libros de RV ó 36 libros de RM y 15 libros de RV. ¿Cu ántos de RM únicamente entrarían en el estante? A) 8 D) 120
B) 24
C) 240 E) 72
5. Con 195 soles se compra ron chom pas de 7, 8 y 13 soles respectivam ente. ¿Cu ántas chompas se compraron si en total se
compraron el máximo núm ero de chompas y por lo m enos se compró uno de cad a precio? A) 23 D) 26
B) 30
C) 24 E) 25
6 . Con motivo de su cum pleaños, los hijos de la señora María decidieron hacerle un regalo. Magaly propus o dar cad a uno S /.6 , pero faltó /.8 S para comprar el regalo, por lo que decidieron o ptar por contribuir cada uno con S/.7, de esta manera compraron un regalo cuyo precio era la mitad del primero y aún sobró S/.20. ¿Cuál es la sum a de los precios de los dos regalos? A) S/.44 D) S/.72
B) S/.22
C) S/.60 E) /.66 S
7. Con billetes de 100 soles y de 50 soles se pagó una deuda de 2 800 soles. El número de billetes de 5 0 soles excede en 8 al núm ero de billetes de 100 soles. Si los billetes que tenemos de 100 soles, los contaríamo s com o billetes de 50 soles y viceversa, ¿qué cantidad de d inero tendríamos? A) S/.4 500 C) S/.3 200 D) S/.3 800
B) S/.2 900 E) S/.4 200
8 . Un comerciante tiene al inicio del día 8 lapiceros de 10 soles cada uno y 4 lapiceros de 20 soles cada uno; si al final del día tiene 120 soles, ¿cuántos lapiceros le sobran si le quedan por lo menos 1 lapicero de cada precio? A) 4 D) 2
B) 5
C) 6 E) 3
203
Lumbreras Editores
Razonamiento Matemático
9. En una granja, por cada gallina hay tres pavos y por cada pav o hay 4 patos. Si en total se han contado 160 patas de animales, ¿cuántos pavos hay? A) 14 D) 20
B) 10
C) 15 E) 8
10. Un caminan te ha recorrido 1 000 metros unas veces avanzando otras retrocedien do. Si sólo ha avanzado 350 metros, ¿cuántos metros recorrió retrocediendo? A) 300m D ) 2 80 m
B )425 m
C ) 325 m E) 345 m
11 . Dos depósitos contiene n 2587 y 1850 litros de agua y con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros por segund o. ¿Después de cuánto tiempo un o co ntendrá el doble de litros que el otro? A) 4 min 37 s B) 3min 21 s D) 5 min 24 s
C) 4 min 38 s E) 3 min 42 s
12. Un maestro y su ay udan te trabajan juntos. El primero gana 25 soles por día más que el segundo. Si después de trabajar cada uno el mismo número de días, el primero recibe 1 05 0 soles y el segundo, 875 soles. ¿Cuál es el jornal del ayudante? A) S/.120 D) S/.125
B) S/. 115
Q S/.1 5 2 E) S/.130
13. Tres jugad ores A, B y C conviene n en que el perd edor de cada partida; dup licará el dinero de los otros dos. Pierden un a partida cada uno en orden alfabético y al final cada un o se qu eda con 40 soles. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno? A) 65 ; 35 y 20 soles. B) 100 ; 30 y 18 soles. C) 80 ; 45 y 23 soles. D) 96 ; 30 y 14 soles. E) 41 ; 23 y 16 soles. 204
14. La regla de juego de cierta competencia de azar es que el perdedor de cada partida duplique el dinero de los otros participantes y adem ás les da rá S/.10. Si hay 3 personas que están jugando y cada uno pierde una partid a y al final tienen cada uno S/.70, halle el dinero inicial del participante que tuvo may or cantidad. A) S/. 120 D) S/. 140
B) S/. 180
C) S/. 110 E) S/. 220
15. Maribel va al cine con sus primas y al que rer sacar entradas para mezanine de 30 soles cada una, observa que le falta dinero para 3 de ellas, por tal motivo tiene que sacar entradas de 15 soles cada una, entrando toda s al cine y sobrándole aú n 30 soles para las gaseosas. ¿C uántas primas fueron al cine con Maribel? A) 6 D) 9
B) 7
C) 8
E) 10
16 Si compro 2 revistas gastaría 2 soles más qu e si com prara 3 periódicos. Pero si com prara 5 periódicos gastaría 2 soles más que si com prara 2 revistas. ¿Cu ánto cuesta cada periódico? A) S/. 4 D) S/. 1,5
B) S/. 3
C) SI. 5 E) SI. 2
17. Entre pollos, patos y pavo s un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 12 pav os más, 4 pato s más y 7 pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. El número de pollos que tiene es: A) 42 D) 35
B) 33
C) 39 E) 40
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
18. Milagros viaja en el último vagón de un tren, el cual tiene 9 vagones, c uan do av anza de un vagón a otro tiene que pagar S/.16 y cuando retrocede de un vagón a o tro le pag an S/.12. Si para llegar al primer vagón realizó 24 cambios de vago nes, calcule la cantidad que tenía inicialmente si es igual a la suma de lo que pagó y cobró, además lo que pagó excede a lo que cobró en 10 veces la cantidad que pagó por avanzar un vagón. A) S/. 35 0 D) SI. 344
B) S/. 352 C) SI. 298 E) SI. 426
19. En un salón de clases, hay 6 asientos desocupados, 9 estudiantes sentados y 3 estudiantes de pie al lado de la pizarra. Si 7 estudiantes salen del salón y 8 entran, ¿cuántos asientos desocupados h abrá cu ando se sientan todos los alumnos? A) 4 D )1
B) 3
C) 2 E )0
20. En una familia, el hermano mayor dice: “Mis hermanos son el doble de mis hermanas”. Y la herm ana mayor dice: “Tengo 5 hermanos más que hermanas"
¿Cuántas hijas tiene la familia? A) 9 D) 10
B) 11
C) 3 E) 8
21. “Pagué 12 centavos por los duraznos que compré al almacenero”, explicó la cocinera, “pero m e dió dos duraznos extra, porqu e eran muy pequeños, eso hizo que en total pagara un centavo m enos por doc ena qu e el primer precio que me dio ”. ¿C uántos duraznos compró la cocinera? A) 14 D) 12
B) 20
C) 18 E) 16
22. Si tú me dieras 2 de tus canicas, tendríam os la misma cantidad; en cambio, si yo te diera 3 de las mías, tú tendrías el doble de los que a mí me qued aría. ¿Cuán tas canicas tenemo s entre los dos? A) 40 D) 60
B) 30
C) 35 E) 42
23. María, cad a día, gasta la mitad de lo que tiene má s 2 soles. Si después de 3 días le qu eda 30 soles, ¿cu ánto tenía al inicio? A) 234 D )240
B) 300
C )268 E) 215
24. Se lanza 3 dad os simultáne amente. El triple del resultado del primer dado, más el doble del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuán tos posibles resultados pudieron darse? A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E )5
25. Una sala tiene 3 metros más de largo que de anch o. Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el anch o fuese dos metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. A) 150 m 2 D) 170 m 2
B) 180 m 2
C) 160 m 2 E) 120 m 2
26. Dos seño ras llevan al mercado 100 m anzanas. Una de ellas tenía mayor número de manzanas que la otra; no obstante, ambas obtuviero n iguales sum as de dinero. Una de ellas le dice a la otra: “Si yo hubiese tenido la cantidad de m anzanas qu e tú tuviste y tú la cantidad que yo tuve, hubiésemos recibido ¿Cuántas respectivamente 15 y 20/3 soles. ”
manzanas tenía cada una? 20 5
Razonamiento Matemático
Lumbreras Editores A) 30 y 70 D) 40 y 60
B) 45 y 55
C) 20 y 80 E) 48 y 52
27. Un comerciante compró 2 500 botellas a 20 soles el ciento. En el camino se el rom pieron 190 botellas y luego regala 5 botellas por ca da 100 que vendía. ¿En cuánto vendió el ciento si en total ganó 116 soles? B) S/.32
A) S/.30 D) S/.28
C) S/.25 E) S/.26
2
D) p
B) n
n
C) n
E)P
7
P n n 7p
29. Un tren al final de su recorrido llega con 40 adultos y 30 niños con un a recauda ción de 20 soles. Ca da adulto y cada niño pagan pasajes únicos de 0,2 y 0,1 soles respectivamente. ¿Con cuántos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada parada suben 3 adultos con 2 niños y bajan 2 adultos junto con 5 niños? A) 160 D) 120
B) 70
C )8 0 E) 90
30. Una señora quiso comprar cierto número de limones con cierta sum a de dinero, p ero al ver que el precio de c ada limón había bajad o en S/.2, compró 4 limones más por la misma suma. Si el núm ero de soles que pagó por cada limón y el número de limones que compró suman 16, ¿cuánto gastó en la com pra de limones?
206
B) S/.60
C) S/.64 E) SI.12
3 1 . Un poste de a metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pinta b m etros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuán tos metros de poste están pintado de blanco?
A)
28. Un estudiante gasta 7 soles en pasajes cuando va a un a conferencia. Si en n días ha gasta do p soles. ¿Cuántos días no asistió a la conferen cia dura nte los n días? A) n - P
A) S/.10 D) S/.48
D)
a - 2 b
B)
a+ b
a
C) E)
2 +b
a -b
2 -b
32. Un vendedor afirma que como hoy vendió cada caramelo a 10 céntimos más que ayer, vendió 10 caramelos menos que ayer. Además hoy vendió tantos caramelos como céntimos cobró por cada uno. Respecto a la venta de ayer, ¿cuánto ganó o perdió hoy día? A) ganó 10 céntimos. B) ganó S/.l. C) perdió S/.l. D) perdió 10 céntimos. E) no gana ni pierde.
33. De un grupo de caramelos retiro 5 y el resto los reparto entre un grupo de niños a quienes les doy 11 caramelos a cada uno, menos al último a quien le doy 15. Si antes de repartirlos retirase 20 caramelos más ahora sólo podría darles 9 caramelos a todos menos al último a quien ahora sólo podrían darle 5 caramelos. ¿Cuán tos niños hay? A) 6 D) 75
B) 9
C) 11 E) 30
CAPÍTULO V
Planteo de Ecuaciones
34 . En el tercer día de su viaje, una nave del planeta Pin llega al p la neta Pum . Al baja r a la superficie uno de sus tripulan tes le dice a su compañero: “Los habitantes de este planeta, aunque tienen 20 dedos en total como nosotros, tiene una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad.” ¿Cuántas
extremida des tienen los habitantes del planeta Pum? A) 5
B) 4
D) 6
C) 3
37 . Si se corta una banda de un centímetro de ancho de todo el contorno de una hoja rectangular de papel, su área disminuye en 66 cm2; si, además, se sabe que el largo excede al ancho en 5 cm antes de cortarse, ¿cuál es el largo y el ancho de la hoja original del papel? A) 20 cm y 26 cm B) 30 cm y 35 cm C) 21 cm y 25 cm D) 17 cm y 22 cm E) 15 cm y 20 cm
E) 10
38 . Si se posaran (n- 1) jilgueros en cad a un o de 35 . Un comerciante compró telas de dos calidades po r el valor de 30 0 soles. De la primera calidad adq uiere 6 m más que de la segunda. Si po r la tela de la primera calidad hubiera pagado el precio de la segunda, su costo hubiera sido 180 soles; pero, si por la tela de la segunda calidad hubiera pa gad o el precio de la primera, el costo hubiera sido 120 soles. ¿Cuántos metros compró de cada calidad? A) 10 m y 16 m
B) 14 m y 20 m
C) 8 m y 14 m D) 18 m y 12 m
E) 11 m y 17 m
36 . Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de gozne y la punta tocando el piso en un pun to localizado a 20 pies de la base. Se reparó, pero se rompió d e nuevo. Esta vez en un p unto localizado 5 pies más abajo que la vez anterior y la pu nta toc and o el piso a 30 pies de la base. ¿Qué longitud tenía el asta? A) 43 pies D) 50 pies
B) 55 pies
C) 58 pies
los n postes, sobrarían 10 jilgueros; pero si en cada poste se posaran 3 jilgueros más, quedarían 2 postes vacíos. ¿Cuánto es la mitad del número de postes? A) 14 D) 12
B) 10
C) 8 E) 7
39 . Un terreno tiene forma rectangular. Si tuviera 5 metros más de largo y 5 metros más de ancho, su área se duplicaría. Si tuviera 2 metros menos de largo y 2 metros menos de ancho, el área disminuiría en 46 m 2. Halle el área del terreno y dé com o respuesta la suma de sus cifras. A) 5 D) 6
B )'
C) 8 E) 9
40 . Al regalar el Sr. Pérez tan tas veces 5 céntim os de soles como soles tenía en su bolsillo, le qu edó 38 soles. ¿Cu ántos soles le hubiera qu eda do si hubiera regalado tantas veces 50 céntimos como la mitad del número de soles qu e tenía? A) 20 D) 25
B) 30
C) 35 E) 40
E) 62 pies
207
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Biografía
B
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Biografía
Í
os babilonios ya conocían reglas para resolver ecuaciones de segundo grado en form a de problemas (1 7 00 a.n .e.), como el de hallar 2 números conociendo su suma y su producto. Más adelante j los griegos perfeccionaron ese conocimiento pues demostraron tales reglas y consiguieron, mediante la utilización de procedimientos geométricos, obtener raíces irracionales aún en una época en que los números irracionales toda vía no eran conocidos. En 1 494 el monje Luca Pacioli, amigo de Leonardo da Vinci, renombrado profesor de matemática, escribió el libro Suma de Aritm ética y Geometría un buen compendio de matemática, que contiene nociones de cálculo aritmético, radicales, problemas con ecuaciones de primer grado y segundo grado. Hasta la aparición del álgebra de Raphael Bombelli, en 1 752, el libro de Luca Pacioli tuvo gran divulgación y prestigio. Como era costumbre, la incógnita que hoy llamamos x en él se denominaba “la cosa” mientras que x 2 era “censo", x 3 era "cubo” y x 4 “censo censo”. El Algebra en esa época era llamada “el arte de la cosa”, después de enseñar, en forma de versos, la regla para resolver la ecuación de segundo grado, Pacioli afirmaba que no podía haber regla general para la solución de una ecuación cúbica. Muchos matemáticos, entre ellos Girolamo Cardano, creyeron esa afirmación perentoria de Pacioli, por lo menos, uno no la creyó. Scipione Ferro (1 465 - 1 526), profesor de la Universidad de Bolonia, personaje sobre cuya vida muy poco se conoce, fue quien pudo resolver la ecuación cúbica. Hasta donde se sabe, nadie superó su logro, al resolver un problema que haya desafiado el ingenio de los matemáticos por más tiempo. Lo curioso es que Ferro nunca publicó su solución. Se sabe que él comunicó a dos personas el secreto de la solución uno era Annibale Della Nave (más tarde su yerno y sucesor en la silla de Matemática en Bolonia) y Antonio María Fiore, a este último le dio la regla pero no la prueba. Probablemente el descubrimiento haya sido en 1 51 5. En 1 53 5 Fiore tuvo la infeliz idea de desafiar a Tartaglia (Nicolo Fontana) para una contienda matemática. Tar taglia era profesor en Venecia y ya había derrotado a otros desafiantes. Fiore propuso 3 0 problemas, todos tenían que ver con ecuaciones de 3er. grado. Tartaglia hizo tam bién su lista de naturaleza más variada. La única arma de Fiore era la fórm ula de Ferro. Las de Tartaglia eran su sólido conocimiento y su inteligencia. Ocho días antes del encuentro, después de largos intentos, a Tartaglia se le ocurrió cómo deducir la fórmula de la ecuación de 3er. grado. Sin duda esto fu e un descubrimiento notable, pero no tanto como el de Ferro. Llegó la hora de la contienda y Tartaglia resolvió de un golpe los 3 0 problemas de Fiore, ganó la contienda y rehusó magnánim amente los 30 banquetes estipulados como recompensa al ganador. Luego el doctor Girolamo Cardano, al enterarse de este incidente, se interesa por conocer más de cerca a los autores de la solución de la ecuación cúbica, que Pacioli juzg ar a imposible. Cardano hizo todo lo posible para llevar a Tartaglia a su casa y una vez allí, mediante la promesa de guardar el secreto, obtuvo de él, en 1 53 9 la regla para resolver la ecuación x 3 + px = q. La vida de Nicoló Tartaglia (1 499 + 58 = 1 557) fu e muy difícil. Nacido en Brescia, quedó huérfano de padre a los seis años y fue criado, con sus tres hermanos por una madre devota y paupérrima. A los 14 años, en el saqueo de Brescia por las tropas francesas, se refugió en la Catedral pero, allí mismo, fue herido seriamente en el rostro por golpes de sable que le dejaron desfigurado y, por largo tiempo, casi sin poder hablar. 209