134
4.3 Problemas resueltos
lo tanto QA (λ) = λ4 . Tenemos pues un u ´ nico valor propio λ = 0 con multiplicidad algebraica 4. Calculemos ahora los vectores propios asociados al valor propio λ = 0. Sea v = (x,y,z,t) uno de tales vectores propios. Entonces se verificar´a que Av = λv = 0, es decir
0 0 0 0
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
x y z t
=
0 0 0 0
.
Este sistema lineal homog´eneo es triangular superior y tiene por soluci´on y = z = t = 0. En definitiva, los vectores propios asociados al valor propio λ = 0 son v = (x, 0, 0, 0) = x(1, 0, 0, 0). Por lo tanto el subespacio propio asociado al valor propio λ = 0 es V 0 =< (1, 0, 0, 0) > siendo dimV 0 = 1 la multiplicidad geom´etrica del valor propio λ = 0. Puesto que, aunque el polinomio caracter´ıstico ha descompuesto totalmente, las multiplicidades algebraica y geom´ etrica asociadas al valor propio λ = 0 son distintas, se concluye que A no diagonaliza. 21. Sea λ un valor propio de una matriz A. Demostrar que p(λ) es valor propio de p(A) para cualquier polinomio p. Soluci´ on. Sea v un vector propio asociado al valor propio λ, es decir, Av = λv con v = 0. Puesto que A2 v = AAv = λAv = λ 2 v, utilizando un argumento de inducci´on se tiene
Ak = λ k v , k = 0, 1, 2, . . . , donde se ha tenido en cuenta que A0 es la matriz identidad I del mismo orden que A. Hemos demostrado hasta el momento que, si λ es un valor propio de una matriz A entonces λk es un valor propio de la matriz Ak para todo k N.
∈
El polinomio p se escribe de la forma p(x) = Entonces n
p(A)v
=
n
k
ak A
k=0
v =
k=0
con lo cual queda demostrado.
k
ak A v =
k=0
ak λk
ak xk con ak
n
n
=
n k=0
v = p(λ)v ,
k=0
ak λk v
∈ R.
Diagonalizaci´ on de Endomorfismos
22. Dada la matriz A =
135
1 2 a 2 1 b 2 2 c
,
(i) Calcular los valores de los par´ ametros reales a, b y c de manera que A posea el valor propio λ = 1 con vector propio asociado v = (1, 1, 1). (ii) Hallar los vectores y valores propios asociados a A para los valores de a, b y c hallados en el apartado anterior. ¿Diagonaliza la matriz A? Soluci´ o n. (i) Si λ = 1 es valor propio de A con vector propio asociado v = (1, 1, 1) se verificar´a Av = λv, es decir,
1 2 a 2 1 b 2 2 c
1 1 1
=
1 1 1
.
En definitiva, de la anterior ecuaci´on se obtiene a = b = (ii) Con los valores hallados a = b QA asociado a la matriz A es QA (λ) = det(A
− λI 3) =
1
−λ 2 2
−2, c = −3.
− 2, c = −3, el polinomio caracter´ıstico 2 1
−λ 2
−2 −2 −3 − λ
= (1
− λ)(1 + λ)2 .
Por lo tanto, los valores propios de A son λ1 = 1 con multiplicidad algebraica m1 = 1 y λ2 = 1 con multiplicidad algebraica m2 = 2.
−
Puesto que el valor propio λ1 = 1 es simple, el subespacio propio V 1 asociado al valor propio 1 tiene dimensi´on 1. Como ya conocemos del apartado anterior se tiene que V 1 =< (1, 1, 1) >. S´olo falta pues obtener los vectores propios asociados al valor propio λ 2 = 1. Sea V −1 el subespacio propio asociado al valor propio 1 y sea w = (x,y,z) V −1 . Entonces se verifica (A + I 3 )w = 0. Desarrollando esta ecuaci´on se obtiene el sistema lineal homog´eneo
−
−
2 2 2 2 2 2
−2 −2 −2
x y z
=
0 0 0
∈ ,
que es compatible indeterminado, siendo sus soluciones de la forma z = x + y. Se tiene pues que w = (x,y,x + y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 1). Se ha probado que V −1 =< (1, 0, 1), (0, 1, 1) >, siendo dim V −1 = 2 = m2 . Por lo tanto A diagonaliza.
Cap´ıtulo 5
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas 5.1.
Resumen de teor´ıa
Sea E un R-espacio vectorial. Una aplicaci´on φ : E E R es una forma bilineal si u,v,w E y α, β R satisface: (i) φ(αu + βv,w) = αφ(u, w) + βφ(v, w); (ii) φ(w,αu + βv) = αφ(w, u) + βφ(w, v). Las formas bilineales φ sobre E se denotar´ an por φ B(E ).
∀
∈
× →
∀ ∈
∈
Formas Bilineales y Matrices: Sea φ B(E ) y = v1 , . . . , vn una base de n n E . Sean x, y E tales que x = i=1 αi vi , y = i=1 β i vi . Entonces φ(x, y) = n on matricial es φ(x, y) = xt Ay, siendo i,j =1 αi β j φ(vi , vj ). Una representaci´ x = (α1 , . . . , αn )t , y = (β 1 , . . . , βn )t y A = (aij ) n (R) la llamada matriz asociada a φ en la base cuyos elementos son aij = φ(vi , vj ).
∈
∈
B
{
}
∈ M
B
Teorema 10 Sea φ B(E ) y , dos bases de E . Sean A y A las matrices asociadas a φ en las bases y respectivamente. Entonces A = P t AP , siendo P la matriz de cambio de base de la base a la base .
∈
B B B B
B
B
Dos matrices A y B se dice que son congruentes si existe una matriz no singular P tal que B = P t AP . En este caso rangA = rangB. Se define entonces el rango de una forma bilineal φ como el rango de cualquiera de sus matrices asociadas y se denota por rangφ. Clasificaci´ on 1 de Formas Bilineales: φ B(E ) se dice que es sim´etrica si verifica φ(x, y) = φ(y, x) x, y E y antisim´etrica si φ(x, y) = φ(y, x) x, y E .
∀
∀ ∈
∈
∈
−
Es f´acil ver que φ B(E ) es sim´etrica o antisim´etrica si y s´olo si su matriz asociada A en cualquier base de E es sim´etrica (At = A) o antisim´etrica
∈
137
138
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
(At = A) respectivamente. Adem´as, si φ es sim´etrica, se define su n´ ucleo como Kerφ = y E : φ(x, y) = 0 x E .
− { ∈
∀ ∈ }
Clasificaci´ on 2 de Formas Bilineales Sim´ etricas: Se dice que φ B(E ) sim´etrica es degenerada si Kerφ = 0E y se llama no degenerada si Kerφ = 0E .
∈
{ }
{ }
Proposici´ on 9 Sea E un R-espacio vectorial y φ dimE = dim Kerφ + rangφ. Corolario 2 Sea φ si rangφ = dimE .
∈ B(E ) sim´etrica. Entonces
∈ B(E ) sim´etrica. Entonces φ es no degenerada si y s´ olo
N´otese que una forma bilineal φ B(E ) sim´ etrica es degenerada o no degenerada si y s´olo si det A = 0 o det A = 0 respectivamente, siendo A la matriz asociada a φ en cualquier base de E .
∈
Clasificaci´ on 3 de Formas Bilineales: Sea φ B(E ). Entoces: (i) φ es definida positiva si φ(x, x) > 0 x E con x = 0E . (ii) φ es definida negativa si φ(x, x) < 0 xE con x = 0E . (iii) φ es semidefinida positiva si φ(x, x) 0 x E . (iv) φ es semidefinida negativa si φ(x, x) 0 x E . (v) En caso contrario φ es no definida .
∈
∀ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
Sea A n (R). Entonces, se define el menor principal de orden i de la matriz A, y se denota por ∆ i con i = 1, . . . , n, como el determinante formado con las i primeras filas y columnas de A. En particular ∆n = det A.
∈ M
Teorema 11 (Sylvester) Sea φ B(E ) sim´etrica y ∆i con i = 1, . . . , n todos los menores principales de una matriz asociada a φ. Entonces: (i) φ es definida positiva si y s´ olo si ∆i > 0 i; (ii) φ es definida negativa si y s´ olo si ( 1)i ∆i > 0 i; (iii) Si ∆i > 0 para i = 1, . . . , n 1 y ∆n = 0 entonces φ es semidefinida positiva; (iv) Si ( 1)i ∆i > 0 para i = 1, . . . , n 1 y ∆n = 0 entonces φ es semidefinida negativa; (v) Si ∆n = 0 y φ no es ni definida positiva ni definida negativa entonces φ es no definida.
∈
−
−
−
∀
∀
−
Proposici´ on 10 Sea A etrica. Entonces, todas las ra´ıces de su n (R) sim´ polinomio caracter´ıstico son reales y adem´ as A siempre diagonaliza.
∈ M
Teorema 12 Sea φ B(E ) sim´etrica y A n (R) la matriz asociada a φ en alguna base de E . Sean λi con i = 1, . . . , n los valores propios de A. Entonces: (i) φ es definida positiva si y s´ olo si λi > 0 i; (ii) φ es definida negativa si y s´ olo si λi < 0 i;
∈
∈M ∀ ∀
5.1 Resumen de teor´ıa
139
(iii) φ es semidefinida positiva si y s´ olo si λi 0 i y adem´ as existe un λj = 0; (iv) φ es semidefinida negativa si y s´ olo si λi 0 i y adem´ as existe un λj = 0; (v) φ es no definida si y s´ olo si existe un λi > 0 un λj < 0.
≥ ∀ ≤ ∀
Se define un producto escalar φ como una forma bilineal sim´ etrica y definida positiva. Un espacio eucl´ıdeo es un par (E, φ), siendo E un R-espacio vectorial y φ un producto escalar sobre E . El producto escalar eucl´ıdeo ordinario es aquel que tiene asociado en la base can´onica la matriz identidad, es decir φ(x, y) = x t y. Se define la norma de un vector x E como x = φ(x, x) 0. Adem´as, los vectores del conjunto v1 , . . . , vn E son ortogonales si φ(vi , vj ) = 0 i = j y son ortonormales si son ortogonales y φ(vi , vi ) = 1 para i = 1, . . . , n.
∈ }⊂
{
≥
∀
Proposici´ on 11 Un conjunto de vectores ortogonales siempre es linealmente independiente. Proposici´ on 12 Sea A etrica. Entonces, los vectores propios de n (R) sim´ A asociados a valores propios diferentes son ortogonales respecto del producto escalar eucl´ıdeo ordinario.
∈ M
Una matriz P as P −1 = P t , es n (R) es ortogonal si es invertible y adem´ decir, P t P = P P t = I n .
∈M
Proposici´ on 13 Sea P n (R) ortogonal con P = col v1 , . . . , vn = fil w1 , Rn y w1 , . . . , wn Rn son . . . , wn . Entonces, los conjuntos v1 , . . . , vn ortonormales respecto del producto escalar eucl´ıdeo ordinario.
∈ M
}
{
}⊂
{
{
} { }⊂
Teorema 13 (Ley de Inercia) Sea A etrica. Entonces, existe n (R) sim´ t una matriz ortogonal P tal que D = P AP = diag λ1 , . . . , λn .
∈ M
{
}
Sea E un R-espacio vectorial y φ B(E ) sim´etrica. Entonces, se define la signatura de φ como sigφ = p n, siendo p y n el n´ umero de valores propios positivos y negativos respectivamente de cualquier matriz asociada a φ. Adem´ as, se tiene que el rango de φ es rangφ = p + n.
∈
−
Obs´ervese que el Teorema 13 asegura que, para cualquier A n (R) n sim´ etrica, siempre existe una base de R formada por vectores ortonormales respecto del producto escalar eucl´ıdeo ordinario tal que adem´a s dicha base est´a formada por vectores propios de A. En particular, el Teorema 13 muestra que cualquier forma bilineal φ B(Rn ) sim´etrica diagonaliza.
∈M
∈
Formas Cuadr´ aticas: Sea E un R-espacio vectorial. Una aplicaci´on q : E R se denomina forma cuadr´ atica si q (x) = φ(x, x) para alguna φ B(E ) sim´etrica. Si A = (aij ) etrica asociada a la forma bilineal n (R) es la matriz sim´ sim´etrica φ y x = (x1 , . . . , xn ) E , entonces q (x) = xt Ax = i,j aij xi xj = n 2 atica q tiene i=1 aii xi + 2 i
∈ M
∈
∈
→
140
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
una representaci´on q (x) =
n i=1
aii x2i conocida como la forma reducida de q .
Clasificaci´ o n de C´ onicas y Cu´ adricas: Sistema de referencia: Se dice O, u1 , u2 , . . . , un es un sistema de referencia de Rn si O es un punto de Rn y u1 , u2 , . . . , un es una base del espacio vectorial Rn . El punto O es llamado origen del sistema de referencia. Si la base del sistema de referencia es ortogonal (ortonormal), se dice que el sistema de referencia es ortogonal (ortonormal). Se define sistema de referencia can´ onico al sistema de referencia que tiene como origen el punto O = (0, . . . , 0) y como base del sistema referencia la base can´onica.
{
}
{
}
Coordenadas de un punto: Si O, u1 , u2 , . . . , un es un sistema de referen como combicia de Rn para un punto P de Rn la expresi´on del vector OP = x1 u1 + x2 u2 + . . . + xn un se naci´ on lineal de u1 , u2 , . . . , un es u ´ nica. Si OP dice que (x1 , x2 , . . . , xn ) son las coordenadas de P en el sistema de referencia O, u1 , u2 , . . . , un .
{
{
}
}
Variedad cuadr´ atica de Rn : Fijado un sistema de referencia ortonormal de Rn , definimos variedad cuadr´ atica como el conjunto de puntos (x1 , x2 , . . . , xn ) n R que satisfacen la ecuaci´ on
∈
n
n
aij xi xj + 2
i,j =1
donde aij , bi y c
(x1 , x2 , . . . , x )
∈ R con a
i=1
ij
a11 a21
a12 a22
.. .
.. .
n
a
n1
a
n2
bi xi + c = 0
= aji . La forma matricial de esta ecuaci´on es
· ·· · ·· .. . · ··
a1 a2
n
m
.. . a
nn
x1 x2
.. . x
n
+2(b1 , b2 , . . . , b ) n
x1 x2
.. .
+c = 0.
x
n
Si definimos los puntos x = (x1 , . . . , xn )t Rn , b = (b1 , . . . , b n )t Rn y la matriz sim´etrica A = (aij ) on de la variedad cuadr´atica se n (R), la ecuaci´ t t escribe de la forma x Ax + 2b x + c = 0.
∈ M
∈
∈
Las variedades cuadr´aticas de R2 se llaman c´ onicas y las variedades cuadr´ati3 cas de R se llaman cu´ adricas . La clasificaci´o n de una c´onica o una cu´adrica consiste en encontrar un sistema de referencia ortonormal en el cual la c´onica o cu´adrica posea la forma m´as simple posible, llamada ecuaci´ on reducida de la c´onica o de la cu´adrica. La manera de encontrar la forma reducida es la siguiente: (i) Cambio de base del sistema de referencia. Los nuevos vectores de la base son los vectores propios ortonormalizados de los valores propios reales asociados a la matriz sim´etrica A. Geom´etricamente, este proceso corresponde a realizar un cambio de coordenadas del tipo rotaci´on o giro.
5.1 Resumen de teor´ıa
141
(ii) Cambio del origen del sistema de referencia mediante una traslaci´on. Ecuaciones reducidas de las c´ onicas: Dada una c´onica a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2b1 x + 2b2 y + c = 0 existe un sistema de referencia en el cual la ecuaci´on adopta una de las siguientes formas: a2 x2 + b2 y 2 = 1, 2 2 2 2 a x b y = 1, 2 2 ax + y = 0, ´o x + by = 0, a2 x2 + b2 y 2 = 1, a2 x2 + b2 y 2 = 0, a2 x2 b2 y 2 = 0, a2 x2 = 1, ´o b2 y 2 = 1, a2 x2 = 1, ´o b2 y 2 = 1, x2 = 0, ´o y 2 = 0, x = 0, ´o y = 0,
−
−
−
−
−
Elipse, Hip´erbola, Par´abola, C´onica irreducible imaginaria, Par de rectas imaginarias no paralelas, Par de rectas reales no paralelas, Par de rectas reales paralelas, Par de rectas imaginarias paralelas, Recta doble real, Recta real.
Ecuaciones reducidas de las cu´ adricas: Dada una cu´adrica a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + +2a13 xz + 2a23 yz + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0 existe un sistema de referencia en el cual la ecuaci´on adopta una de las siguientes formas: a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 = 1, a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 = 1, a2 x2 + b2 y 2 c2 z 2 = 1, a2 x2 b2 y 2 c2 z 2 = 1, a2 x2 + b2 y 2 + z = 0, a2 x2 b2 y 2 + z = 0, a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 = 0, a2 x2 + b2 y 2 c2 z 2 = 0, a2 x2 + b2 y 2 = 1, a2 x2 b2 y 2 = 1, a2 x2 + b2 y 2 = 1, ax2 + y = 0, a2 x2 + b2 y 2 = 0, a2 x2 = 1, a2 x2 b2 y 2 = 0, a2 x2 = 1, x2 = 0, x = 0,
−
− −
− −
−
− −
−
−
Elipsoide real, Elipsoide imaginario, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, Paraboloide el´ıptico, Paraboloide hiperb´olico, Cono imaginario, Cono real, Cilindro el´ıtico, Cilindro hiperb´olico, Cilindro imaginario, Cilindro parab´ olico, Par de planos imaginarios no paralelos, Par de planos imaginarios paralelos, Par de planos reales no paralelos, Par de planos reales paralelos, Plano doble real, Plano real.
142
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
5.2.
Problemas propuestos
5.2.1.
Formas bilineales
1. Sea φ : R3 R3 etrica de R3 tal que φ(e1 , e1 ) = R una forma bilineal sim´ 1, φ(u, e1 ) = 1, φ(e2 , e2 ) = 2, φ(u, e2 ) = 1, φ(e3 , e3 ) = 5 y φ(v, v) = 9, donde e1 , e2 , e3 es una base de R3 , u = 2e1 e3 y v = e 2 e3 .
× −→ { }
−
−
a ) Probar que φ queda un´ıvocamente determinada y encontrar la matriz asociada a φ en la base e1 , e2 , e3 .
{
}
b) Encontrar el rango y la signatura de φ. c ) Encontrar < e1 >⊥ . 2. Sea φ : 2x2 )(y1
R3
× R3 −→ R definida por φ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = (x1 −
− 2y2) + x2 + y2 + (x2 + x3)(y2 + y3).
a ) Probar que φ es una forma bilineal sim´etrica de R3 . b) Encontrar la matriz asociada a φ en la base can´ onica. c ) Encontrar el rango y la signatura de φ. d ) Encontrar la matriz asociada a φ en la base (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) .
{
}
3. Discutir seg´ un los valores del par´ ametro a el rango y la signatura de las formas bilineales sim´ etricas φa de R3 definidas por: φa ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) = ax 1 y1 + ax2 y2 + (a
− 1)x3y3 + x1y2 + y1x2
4. Sea φ una forma bilineal sim´ etrica de R3 verificando que los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (1, 1, 1) son is´ otropos de φ, que φ((1, 2, 0), (2, 1, 0)) = 1 y que < (3, 2, 1) > ⊥ = (x,y,z) R3 y = 2x .
{
∈
|
− }
a ) Encontrar la matriz asociada a φ en la base can´ onica. b) Encontrar el rango y la signatura de φ. R la forma bilineal sim´ 5. Sea φ : R3 R3 etrica que en la base can´ onica tiene como matriz asociada
× −→
2 1 1 1 1 1 1 1 2
.
a ) Obtener la expresi´ on de la forma bilineal φ. b) Probar que φ es no degenerada y definida positiva. c ) Encontrar una base ortonormal para φ. d ) Dar la matriz de φ en esta base ortonormal y la matriz de cambio de base.
5.2 Problemas propuestos
143
6. La matriz de la forma bilineal φ de R2 en la base can´ onica es
1 2
−
−2 1
.
Encontrar una base en la que φ diagonaliza. 7. La matriz de la forma bilineal φ en la base can´ onica de R4 es
− −
1 2 1 0
2 3 0 1
−1 0 3 2
0 1 2 1
−
.
Encontrar una base ortonormal en la que φ diagonaliza. 8. Clasificar la formas bilineales que en la base can´ onica tiene como matriz asociada A =
5.2.2.
−
2 1 3
−1
3 1 4 4 1
,
B =
−
4 3 2
−3
2 11 1 1 6
,
Formas cuadr´ aticas
1. Expresar la forma cuadr´ atica q (x,y,z) = 10x2 + 2y 2 + z 2 + 8xy + 4xz + 4yz, como suma de cuadrados. 2. Expresar la forma cuadr´ atica q (x,y,z) = 5x2 + 2y 2 + 2z 2
− 4xy + 4xz + 8yz,
como suma de cuadrados mediante un cambio ortogonal. 3. Clasificar la forma cuadr´ atica q (x,y,z) = x 2 +2y 2 +5y 2 y encontrar su expresi´ on can´ onica af´ın y eucl´ıdea.
− 6xy +6xz +2yz,
4. La matriz de una forma bilineal sim´etrica de R3 en la base can´ onica es
1 1 0 1 2 2 0 2 5
.
Calcular su matriz asociada en la base (1, 2, 1), (2, 1, 2), ( 1, 2, 2) y la expresi´ on de la forma cuadr´ atica asociada a esta forma bilineal en las dos bases.
{
− −
− }
144
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
5. Dada la forma cuadr´ atica de R3 q (x,y,z) = 2x2 + 3y 2 + 3z 2 + 2xy
− 2xz + 4yz,
calcular la matriz de la forma bilineal sim´ etrica asociada y su radical. Indicaci´ on: El radical de una forma bilineal φ es el conjunto de vectores 3 u R tales que φ(u, v) = 0 para todo v R3 .
∈
6.
∈ Considerar la forma cuadr´ atica q : R3 −→ R definida por q (x,y,z) = 2 2 2 2x + y + 2z + 2xy + 2yz y sea φ la forma bilineal asociada. a ) Calcular el rango y la signatura de φ. b) Encontrar una base ortogonal para φ. c ) Encontrar el subespacio de vectores is´ otropos.
7. Encontrar la forma reducida y dar una base ortogonal de las formas cuadr´aticas siguientes: a ) 2x2 + 5y 2 + 5z 2 + 4xy b) x2 c )
− 4xz − 8yz.
− 2y2 + z2 + 6xy − 2yz. 2x2 + 2y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz + 2yz.
d ) 2xy + 2xz + 2yz. e ) x2 + y 2 + 5z 2 f ) x2 + 2y 2
5.2.3.
− 6xy − 2xz + 2yz.
− z2 + 2t2 + 2xy + 2xz + 2yz + 2yt − 2zt.
Aplicaciones: Clasificaci´ o n de c´ onicas
1. Calcular la ecuaci´ on de la elipse que tiene los focos en los puntos (2, 1) y (0, 3) y el semieje mayor igual a 2. 2. Calcular la ecuaci´ on de la hip´erbola que tiene los focos en los puntos ( 1, 2) y (3, 0) y el semieje real igual a 2.
−
3. Calcular la ecuaci´ on de la par´ abola que tiene el foco en el punto ( 2, 1) y la recta directriz es la recta de ecuaci´ on x + 2y 3 = 0.
−
4.
− Calcular la ecuaci´ on reducida de la c´ onica 10x2 − 12xy − 6y 2 − 12x − 12y −
129 = 0 a partir de las ecuaciones de giro y de traslaci´ on. Clasificarla y calcular sus ejes.
5. Calcular la ecuaci´ on reducida de la c´ onica x 2 + 2xy + y 2 + 8x 8y + 16 = 0 a partir de las ecuaciones de giro y de traslaci´ on. Clasificarla y calcular sus ejes.
−
6. Estudiar la c´ onica de ecuaci´ on dada y representarla gr´ aficamente. a ) 3x2 + 2xy + 3y 2 + 16x + 16 = 0.
5.2 Problemas propuestos
145
b) 4x2
− 4xy + y2 + 32x + 34y − 11 = 0. 3x2 − 4xy − 8x + 8y = 0. 3x2 + 10xy − 8y 2 + 8x + 4y + 4 = 0. 5x2 + 2xy + y 2 − 10x + 2y + 10 = 0.
c ) d ) e )
7. Clasificar, dibujar, encontrar la ecuaci´ on reducida y dar las coordenadas de la nueva referencia de cada una de las c´ onicas siguientes, que en una referencia ortonormal tienen por ecuaci´ on: a ) 4x2
− y2 + 8x − 2y + 3 = 0. x2 + 4y 2 − 4y + 2x − 2 = 0. 3x2 + 4xy − 12x + 16 = 0. 5x2 + 24xy − 5y 2 = 0.
b) c ) d )
e ) 4xy + 3y 2 + 16x + 12y + 28 = 0. f ) x2
− 4xy + 4y2 + 7x − 12 = 0. x2 − 6xy + y 2 + 6x + 6y + 9 = 0. 8x2 + 4xy + 5y 2 + 16x + 4y − 28 = 0.
g ) h )
8. Encontrar la ecuaci´ on en la referencia can´ onica de la elipse de centro (6, 6) y semiejes a = 5 y b = 3 en la direcci´ on de los vectores (1, 1) y (1, 1).
−
−
9. Estudiar el conjunto de puntos de R3 que equidistan del plano de ecuaci´ on x + y + 2z = 6 (en referencia ortonormal) y del punto (0, 0, 0).
5.2.4.
Aplicaciones: Clasificaci´ on de cu´ adricas
1. Estudiar la cu´ adrica de ecuaci´ on dada y representarla gr´ aficamente. a ) 6x2 + 5y 2 + 7z 2 + 4xy b) c ) d ) e ) f )
− 4xz + 6y − 24z + 24 = 0. x2 − y 2 + 4xz − 4yz − 6x + 6y − 3 = 0. 9x2 + 2y 2 − 4z 2 − 12xy − 12xz − 2x + 24y + 14z − 5 = 0. x2 + y 2 + 4z 2 + 2xy + 4xz + 4yz − 48x − 24y + 84 = 0. 4x2 + 4y 2 + z 2 + 2xy + 4yz − 4xz + 2x − 2y + 4z − 6 = 0. 2x2 − 3y 2 − 2z 2 + 5xy + 5yz − 3xz − 5x − 8y + 5z + 3 = 0.
2. Clasificar, dibujar, encontrar la ecuaci´ on reducida y dar las coordenadas de la nueva referencia de cada una de las cu´ adricas siguientes, que en una referencia ortonormal tienen por ecuaci´ on: a ) x2 + 3y 2 + 4yz b)
− 6x + 8y + 8 = 0. x2 + 5y 2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2yz − 5 = 0.
146
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
c ) d ) e ) f ) g )
x2 + y 2 + z 2 4x 2y + 2z 10 = 0. 2x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz 1 = 0. y 2 4xz + 1 = 0. 2x2 7y 2 + 2z 2 10xy 8xz 10yz + 6x + 12y x2 + y 2 + 10z 2 6xz + 2yz 3x + 9z + 1 = 0.
− −
− −
−
− −
−
−
−
−
− 6z + 5 = 0.
3. Clasificar seg´ un los valores de a la cu´ adrica de ecuaci´ on 3x2 + 3y 2 + z 2
5.3.
− 2xy + 4x + 4y − 2az = 2 + 5a
Problemas resueltos
1. Sea ϕ : R3 R3 matriz asociada
× → R la forma bilineal que en la base can´ onica tiene como
1 1 3 1 5 1 3 1 1
.
(i) Encontrar la matriz asociada a ϕ en la base (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) utilizando el cambio de base de una forma bilineal. (ii) Encontrar el rango y la signatura de ϕ y una base ortonormal en la que ϕ diagonaliza.
{
}
Soluci´ o n. (i) Sea A la matriz asociada a ϕ en la base can´onica y sea B la matriz asociada a ϕ en la base (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) . La relaci´on existente entre dichas matrices es el cambio de base de una forma bilineal que viene dado por B = C T AC . La matriz A es la matriz del enunciado del problema y la matriz C viene dada por
{
C = de manera que su traspuesta es T
}
1 1 1 0 1 1 0 0 1
C =
1 0 0 1 1 0 1 1 1
,
.
Finalmente, la matriz B viene dada por el siguiente producto de matrices B = C T AC =
=
1 0 0 1 1 0 1 1 1
1 2 5 2 8 12 5 12 17
1 1 3 1 5 1 3 1 1
1 1 1 0 1 1 0 0 1
5.3 Problemas resueltos
147
Otra forma de resolver el problema es utilizando la definici´on de forma bilineal, es decir, la matriz B vendr´a dada por la expresi´on B =
ϕ(e1 , e1 ) ϕ(e1 , e2 ) ϕ(e1 , e3 ) ϕ(e2 , e1 ) ϕ(e2 , e2 ) ϕ(e2 , e3 ) ϕ(e3 , e1 ) ϕ(e3 , e2 ) ϕ(e3 , e3 )
donde ϕ(ei , ej ) = eT i Aej y los ei son los vectores de la nueva base. Por lo tanto, sabiendo que e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0) y e3 = (1, 1, 1), se tiene que ϕ(e1 , e1 ) = (1, 0, 0)
ϕ(e1 , e2 ) = (1, 0, 0)
ϕ(e1 , e3 ) = (1, 0, 0)
ϕ(e2 , e2 ) = (1, 1, 0)
ϕ(e2 , e3 ) = (1, 1, 0)
ϕ(e3 , e3 ) = (1, 1, 1)
1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 1 3 1 5 1 3 1 1
1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
=1,
=2,
=5,
=8,
= 12 ,
= 17 .
Adem´ as, como ϕ es una forma bilineal sim´etrica puesto que su matriz asociada en cualquier base es sim´ etrica, se tiene que ϕ(ei , ej ) = ϕ(ej , ei ) con lo cual se completa por simetr´ıa todos los elementos de la matriz B . (ii) El polinomio caracter´ıstico de la matriz asociada a la forma bilineal es
| − λI 3| = −36 + 7λ2 − λ3 = (3 − λ)(λ − 6)(λ + 2),
QA (λ) = det A
descompone totalmente y adem´ as todos los valores propios λ1 = 2, λ2 = 3 y λ 3 = 6 son simples. Por tanto el rango de ϕ es 3 y la signatura es (2, 1). Como los vectores propios asociados a valores propios distintos son ortogonales, para encontrar una base ortonormal es suficiente con encontrar los vectores propios de cada valor propio y normalizarlos. Su c´alculo es el siguiente:
−
148
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
Sea v1 = (x,y,z) Ker(A λ1 I 3 ), entonces v1 verifica (A λ1 I 3 )v1 = 0. Resolviendo el sistema homog´eneo se obtiene v1 = ( 1, 0, 1).
∈
−
−
−
Sea v2 = (x,y,z) Ker(A λ2 I 3 ), entonces v2 verifica (A λ2 I 3 )v2 = 0. En este caso se obtiene v2 = (1, 1, 1).
∈
−
−
−
Sea v3 = (x,y,z) Ker(A λ3 I 3 ), entonces v3 verifica (A λ3 I 3 )v3 = 0. De donde se obtiene v3 = (1, 2, 1).
∈
−
−
Finalmente normalizando los vectores, la base ortonormal en la cual la matriz asociada a la forma bilineal ϕ es diagonal esta formada por los siguientes vectores ¯v1 = ( 1/ 2, 0, 1/ 2), v¯2 = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3) y v¯3 = (1/ 6, 2/ 6, 1/ 6).
√ − √ √ √
√
√ − √ √
2. Sea φ : R3 R3 zx + 2yz + zz .
× → R definida de la forma φ((x,y,z), (x, y, z)) = 2xx +
(a) Demostrar que φ es una forma bilineal sobre R3 . (b) Calcular la matriz asociada a φ en la base can´onica de R3 y utilizarla para hallar φ((1, 2, 0), (0, 1, 0)).
−
(c) ¿Es φ degenerada?
Soluci´ on. (a) La aplicaci´on φ ser´a bilineal si es lineal respecto de sus dos argumentos, es decir, si u,v,w R3 y α, β R se verifica φ(αu + βv,w) = αφ(u, w) + βφ(v, w) y φ(w,αu + βv) = αφ(w, u) + βφ(w, v). Sean u = (x,y,z), v = (x , y , z ) y w = (x , y , z ) y veamos que φ es bilineal.
∀
∈
∀ ∈
Puesto que φ(αu + βv,w) = φ(α(x,y,z) + β (x , y , z ), (x , y , z )) = φ((αx + βx , αy + βy , αz + βz ), (x , y , z )) = 2(αx + βx )x + (αz + βz )x +2(αy + βy )z + (αz + βz )z = α(2xx + zx + 2yz + zz ) +β (2x x + z x + 2y z + z z ) = αφ((x,y,z), (x , y , z )) +βφ((x , y , z ), (x , y , z )) = αφ(u, w) + βφ(v, w) , se verifica la primera condici´on de bilinealidad. Un segundo c´alculo semejante al anterior muestra que φ(w,αu + βv) = φ((x , y , z ), α(x,y,z) + β (x , y , z )) = φ((x , y , z ), (αx + βx , αy + βy , αz + βz ))
5.3 Problemas resueltos
149
= 2x (αx + βx ) + x (αz + βz ) +2z (αy + βy ) + z (αz + βz ) = α(2xx + zx + 2yz + zz ) +β (2x x + z x + 2y z + z z ) = αφ((x , y , z ), (x,y,z)) +βφ((x , y , z ), (x , y , z )) = αφ(w, u) + βφ(w, v) , de manera que se verifica tambi´ en la segunda condici´on de bilinealidad. (b) Sea e1 , e2 , e3 la base can´onica de im´ agenes dadas por φ
{
}
φ(e1 , e1 ) φ(e2 , e2 ) φ(e3 , e3 ) φ(e1 , e2 ) φ(e1 , e3 ) φ(e2 , e1 ) φ(e2 , e3 ) φ(e3 , e1 ) φ(e3 , e2 )
= = = = = = = = =
3 R .
Calculemos las siguientes
φ((1, 0, 0), (1, 0, 0)) = 2 φ((0, 1, 0), (0, 1, 0)) = 0 φ((0, 0, 1), (0, 0, 1)) = 1 φ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = 0 φ((1, 0, 0), (0, 0, 1)) = 1 φ((0, 1, 0), (1, 0, 0)) = 0 φ((0, 1, 0), (0, 0, 1)) = 0 φ((0, 0, 1), (1, 0, 0)) = 0 φ((0, 0, 1), (0, 1, 0)) = 2
, , , , , , , , .
La matriz A = (aij ) asociada a φ en la base can´onica e1 , e2 , e3 de tendr´ a por elementos a ij = φ(ei , ej ), de manera que
{
A = Finalmente
2 0 1 0 0 0 0 2 1
φ((1, 2, 0), (0, 1, 0)) = (1 2 0)
−
}
R
3
.
2 0 1 0 0 0 0 2 1
− 0 1 0
=0.
(c) Por definici´on, φ ser´a degenerada si rangφ < dim R3 = 3. Puesto que rangφ = rangA = 2 < 3 se tiene que φ es degenerada. R la forma bilineal definida por ϕ((x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )) 3. Sea ϕ : R3 R3 = x1 x2 + x2 y1 + x1 y2 + y1 y2 + x2 z1 + y2 z1 + x1 z2 + y1 z2 z1 z2 .
−
× →
−
(i) Encontrar la matriz asociada a ϕ en la base can´ onica de R3 .
150
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
(ii) Demostrar que ϕ es sim´ etrica y no degenerada. Encontrar el n´ ucleo de ϕ. (iii) Encontrar la matriz asociada a ϕ en la base (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) . (iv) Encontrar el rango y la signatura de ϕ y una base ortonormal en la que ϕ diagonaliza.
{
}
Soluci´ on. (i) Sea e1 , e2 , e3 la base can´onica de R3 , es decir, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) y e3 = (0, 0, 1). La matriz A = (aij ) 3 (R) asociada a la forma bilineal ϕ en la base can´onica tiene, por definici´on, los elementos a ij = ϕ(ei , ej ) con i, j = 1, 2, 3. En concreto ϕ(e1 , e1 ) = 1, ϕ(e1 , e2 ) = 1, ϕ(e1 , e3 ) = 1, ϕ(e2 , e1 ) = 1, ϕ(e2 , e2 ) = 1, ϕ(e2 , e3 ) = 1, ϕ(e3 , e1 ) = 1, ϕ(e3 , e2 ) = 1 y ϕ(e3 , e3 ) = 1, de manera que
{
}
∈M
−
−
A =
−
1 1 1 1 1 1
1 1 1
−
.
(ii) Puesto que una forma bilineal ϕ es sim´etrica si y s´olo si la matriz asociada a ϕ en cualquier base es una matriz sim´etrica y hemos visto en el apartado anterior que la matriz A obtenida es sim´etrica, se concluye que ϕ es sim´etrica. Por otra parte, se sabe que una forma bilineal sim´etrica ϕ es degenerada si y s´olo si la matriz asociada a ϕ en cualquier base es singular, es decir, con determinante nulo. Conocemos, por el apartado anterior, la matriz A asociada a ϕ en la base can´onica. Como det A = 4 = 0 se tiene que ϕ es no degenerada.
El n´ ucleo de ϕ es, por definici´on, Kerϕ = y R3 : ϕ(x, y) = 0 x R3 . Por lo tanto, y Kerϕ si se verifica xt Ay = 0 para todo x R3 . Se tiene pues que Ay = (0, 0, 0)t , cuya ´unica soluci´on es y = (0, 0, 0) ya que det A = 0. En resumen Kerϕ = (0, 0, 0) . Obs´ervese que los resultados obtenidos est´an en total acuerdo con el hecho de que, por ser ϕ una forma bilineal y sim´etrica definida sobre R3 , se verificar´a dimR3 = dimKerϕ + rangϕ, es decir, 3 = 0 + 3.
{ ∈
∈
{
∀ ∈ } ∈
}
(iii) Sea = v1 , v2 , v3 con v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) y v3 = (1, 1, 1) una base de R3 . La matriz C asociada a la forma bilineal ϕ en la base es C = P t AP , donde P = col v1 , v2 , v3 es la matriz de cambio de base de la base a la base can´onica. En definitiva
B {
}
{
B
C = P t AP =
=
−
1 1 1 0 1 1 0 0 1
1 0 1 0 2 4 1 4 5
.
B
}
t
−
1 1 1 1 1 1
1 1 1
−
1 1 1 0 1 1 0 0 1
151
5.3 Problemas resueltos
Existe otra forma de calcular la anterior matriz C = (cij ), que consiste en calcular sus elementos cij = ϕ(vi , vj ). (iv) El rango de la forma bilineal ϕ es el rango de cualquiera de sus matrices asociadas. Por ejemplo, como ya sabemos que det A = 0, rangϕ = rangA = 3.
La signatura sigϕ de la forma bilineal ϕ es la diferencia entre el n´umero p de valores propios positivos y el n´umero n de valores propios negativos que tiene cualquiera de sus matrices asociadas. En el caso que nos ocupa, el polinomio caracter´ıstico Q A (λ) de la matriz A es
− − 1
QA (λ) = det(A
− λI 3) =
λ
1
1 1
1
1 1 1 λ
−λ 1
− − = −λ3 − λ2 + 4λ + 4 = −(λ + 2)(λ − 2)(λ + 1) , de manera que los valores propios de A son λ1 = −2, λ2 = −1 y λ3 = 2. Se tiene pues p = 1 y n = 2 con lo cual sigϕ = p − n = 1 − 2 = −1. Calculemos los vectores propios ui asociados a cada valor propio λi para i = 1, 2, 3. Puesto que u1 = (x,y,z) V λ es vector propio de A con valor propio λ1 = 2 se verificar´a u 1 Ker(A + 2I 3 ), es decir,
∈ ∈
−
1
1 1 1 1 3 1 1 1 1
x y z
0 0 0
=
,
cuya soluci´on es y = 0, x = z. Entonces v1 = ( z, 0, z) = z( 1, 0, 1) y por lo tanto V −2 =< ( 1, 0, 1) >.
−
−
−
−
Sea u 2 = (x,y,z) V λ vector propio de A con valor propio λ2 = Entonces se verificar´a u2 Ker(A + I 3 ), es decir,
∈
2
∈
0 1 1 1 2 1 1 1 0
x y z
0 0 0
=
−1.
,
cuya soluci´on es x = z = y. Entonces u2 = (x, x, x) = x(1, 1, 1) y en consecuencia V −1 =< (1, 1, 1) >.
−
−
−
−
Si u3 = (x,y,z) V λ vector propio de A con valor propio λ3 = 2 se verificar´a u3 Ker(A 2I 3 ), es decir,
∈
∈
3
−
−
3 1 1
1 1 1
−
1 1 3
−
x y z
=
0 0 0
,
152
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
cuya soluci´on es x = z, y = 2z. Entonces u3 = (z, 2z, z) = z(1, 2, 1), con lo que V 2 =< (1, 2, 1) >. Se tiene que, el conjunto de vectores u1 , u2 , u3 = ( 1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 1) es una base de R3 formada por vectores propios de A. Adem´as, puesto que A es una matriz sim´ etrica y los vectores ui est´an asociados a valores propios λi diferentes, se sabe que el conjunto u1 , u2 , u3 es ortogonal respecto del producto escalar eucl´ıdeo ordinario. En definitiva, una base ortonormal de R3 en la cual ϕ diagonaliza es u1 / u1 , u2 / u2 , u3 / u3 , es decir,
{
}
} { −
−
{ {
}
√ −
1 1 1 ( 1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 2, 1) 2 3 6
√ −
√
.
4. Sea e1 , e2 una base de R2 y consideremos la aplicaci´ on bilineal φ : 2 R R definida por:
{ →
}
φ(e1 , e1 ) = 1,
φ(e2 , e1 ) =
−1,
φ(e1 , e2 ) = 1,
}
R2
×
φ(e2 , e2 ) = 3.
(a) Encontrar la matriz asociada a φ en la base e1 , e2 . (b) Calcular φ(v, w) siendo v = 2e1 3e2 y w = e1 + 2e2 . (c) Calcular la matriz asociada a φ en la base u1 , u2 donde u 1 = e1 +e2 y u2 = e1 + e2 .
{ } − { }
−
−
Soluci´ on. (a) Teniendo en cuenta que φ(e1 , e1 ) = 1, φ(e2 , e1 ) = 1, φ(e1 , e2 ) = 1 y φ(e2 , e2 ) = 3, la matriz A = (aij ) asociada a f en la base can´ onica e1 , e2 de R2 tendr´ a por elementos aij = φ(ei , ej ), de manera que 1 1 A = . 1 3
−
{
}
−
(b) El c´alculo de φ(v, w) es el siguiente φ((2, 3), ( 1, 2)) = (2
1 1 1 3
1 2
−19 . (c) A es la matriz asociada a φ en la base can´onica {e1 , e2 } y sea B la matriz asociada a φ en la base {u1 , u2 }. La relaci´on que existe entre dichas matrices proviene del cambio de base de una forma bilineal que viene dado por B = C AC siendo C la matriz del cambio de base de la base {u1 , u2 } a la base {e1 , e2 }. La matriz C viene dada por 1 −1 C = . − −
− 3) −
−
=
T
1
1
Finalmente, la matriz B es B = C T AC =
1 1 1 1
−
1 1 1 3
−
1 1
−1 1
=
4 4 0 4
.
153
5.3 Problemas resueltos
5. Sea φ : R3 xx yy .
−
× R3 → R una aplicaci´ on definida por φ((x,y,z), (x, y , z)) =
(i) Demostrar que φ es una forma bilineal. (ii) Obtener la matriz asociada a φ en la base can´ onica de R3 y averiguar si φ es sim´etrica y degenerada. (iii) ¿Define φ un producto escalar en R3 ? Soluci´ on. (i) Una aplicaci´on φ : R3 u,v,w R3 y α, β R satisface:
∀
∈
∀ ∈
× R3 → R es una forma bilineal si
φ(αu + βv,w) = αφ(u, w) + βφ(v, w); φ(w,αu + βv) = αφ(w, u) + βφ(w, v). Veamos que la aplicaci´on φ((x,y,z), (x , y , z )) = xx yy es una forma bilineal. Sean u = (x,y,z), v = (x , y , z ), w = (x , y , z ) R3 y α, β R. Entonces:
−
∈
∈
φ(αu + βv, w) = φ(α(x,y,z) + β (x , y , z ), (x , y , z )) = φ((αx + βx , αy + βy , αz +βz ), (x , y , z )) = (αx+βx )x (αy +βy )y = α(xx yy ) + β (x x y y ) = αφ(u, w) + βφ(v, w);
−
−
−
φ(w,αu+βv) = φ((x , y , z ), α(x,y,z)+β (x , y , z )) = φ((x , y , z ), (αx +βx , αy + βy , αz + βz )) = x (αx + βx ) y (αy + βy ) = α(x x y y) + β (x x y y ) = αφ(w, u) + βφ(w, v).
−
−
−
(ii) Sea e1 , e2 , e3 la base can´onica de R3 . La matriz A = (aij ) asociada a φ en dicha base tiene por elementos aij = φ(ei , ej ), de manera que, a partir de la definici´on φ((x,y,z), (x , y , z )) = xx yy , se tiene
{
}
−
A =
1 0 0
0 0 1 0 0 0
−
.
Obs´ervese que A es una matriz sim´etrica, por lo tanto, φ es sim´etrica. Adem´ as, como rangφ = rangA = 2 < 3 = dim R3 , se deduce que φ es degenerada. (iii) Un producto escalar es, por definici´on, una forma bilineal, sim´etrica y definida positiva. Por el apartado anterior se sabe que las dos primeras condiciones son satisfechas por φ. Sin embargo, φ no es definida positiva puesto que los valores propios asociados a la matriz A no son todos estrictamente positivos. De hecho, al ser A diagonal, por simple inspecci´on de sus elementos se ve que sus valores propios son 1 y 0.
±
154
Formas Bilineales y Formas Cuadr´ aticas
6. Calcular la ecuaci´ on reducida de la c´ onica 10x2 12xy 6y 2 12x 12y 129 = 0 a partir de las ecuaciones de giro y de traslaci´ on. Clasificarla y calcular sus ejes.
−
− −
−
−
Soluci´ on. El proceso para obtener la ecuaci´on reducida de esta c´onica consta de dos etapas. En primer lugar, hay que encontrar las ecuaciones de giro que nos permiten diagonalizar la matriz correspondiente a la parte cuadr´ atica de la c´onica y, en segundo lugar, hay que expresar los t´erminos obtenidos como una suma de cuadrados para obtener las ecuaciones de la traslaci´ on y la ecuaci´on reducida. En este caso la matriz de la parte cuadr´atica de la c´onica es
A =
10 6
−6 − −6
.
Su polinomio caracter´ıstico viene dado por QA (λ) = λ2 4λ 96 = (λ 12)(λ + 8). Por tanto los valores propios son λ1 = 12 y λ2 = 8. Los vectores propios asociados a estos valores propios son v1 = (3, 1) y v2 = (1, 3). Normalizando estos vectores se obtiene u1 = v1 / v1 = (3/ 10, 1/ 10) y u2 = v2 / v2 = (1/ 10, 3/ 10). Por tanto, si hacemos el cambio de coordenadas o las ecuaciones del giro
− −
−
√ − √
√
|| ||
x y
=
1 10
√
3 1 1 3
−
− − || ||
√
x y
,
la ecuaci´on de la c´onica en las nuevas coordenadas (x , y ) es 12 x 2
− 8 y 2 − √ 2410 x − √ 4810 y − 129 = 0,
Como sabemos que el cambio de coordenadas es en realidad un giro se tiene que los coeficientes en x 2 e y 2 son los valores propios de la matriz A, que los nuevos coeficientes 2b1 y 2b2 de x e y vienen dados por la igualdad
2b1 2b2
= =
1 10 1 10
√ √
− − 3 1 1 3
2b1 2b2
3 1 1 3
−
−
12 12
=
1 10
√
− −
24 48
,
y que el t´ermino independiente c no var´ıa. Agrupando los t´erminos en x y en y de la anterior ecuaci´on de la c´onica en dos cuadrados perfectos la podemos escribir como 12(x a)2 8(y b)2 +c = 12x 2 8y 2 24ax +16by +12a2 8b2 +c = 0.
− −
−
−
−
−
155
5.3 Problemas resueltos
Igualando los coeficientes de x e y y el t´ermino independiente se obtiene
−24a
− √ 2410 ,
=
− √ 4810 , 12a2 − 8b2 + c = −129. √ √ De donde, obtenemos que a = 1/ 10, b = −3/ 10 y c = −123. Por tanto, 16b =
la ecuaci´on de la c´onica se puede escribir de la forma
12 x
2
− √ − 1 10
8 y +
2
√ − 3 10
123 = 0,
Finalmente, la ecuaci´on reducida de la c´onica es 12x 2 8y 2 123 = 0 y se llega a esta ecuaci´on mediante la traslaci´on x = x 1/ 10 e y = y + 3/ 10. La c´onica es una hip´erbola.
− √ − −
√
Los ejes de la hip´ erbola son rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores los vectores propios de la matriz A. El centro es el punto de coordenadas (x , y ) = (0, 0), o bien de coordenadas x = 1/ 10 e y = 3/ 10. Entonces, las coordenadas (x, y) del centro son
√
√ −
x y
=
√ 110 −31
1 3
1 10 3 10
√ − √
=
0 1
−
.
De donde, el eje de las x es la recta que passa por el centro y tiene como vector director v1 = (3, 1), es decir, la recta de ecuaci´on x + 3y + 3 = 0. El eje de las y es la recta que passa por el centro y tiene como vector director v2 = (1, 3), es decir, la recta de ecuaci´on 3x y 1 = 0. La expresi´ on del cambio de coordenadas que lleva a la ecuaci´on reducida es
−
− −
x y
=
0 1
−
+
1 10
√
3 1 1 3
−
x y
.
