Matemáticas Financieras
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Dt = C n
Dt = C n
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Contenido INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................................4
OBJETIVO: ......................................................................................................................................................5 1.
Elementos de las matemáticas financieras: .........................................................................................6
A.
Porcentajes ...........................................................................................................................................6
B.
Exponentes ............................................................................................................................................6
C.
Logaritmos ............................................................................................................................................7
D.
Progresiones Aritméticas .....................................................................................................................7
2.
Principales usos de las matemáticas financieras para una organización. ..........................................7
3.
Importancia de las matemáticas financieras para las empresas. .......................................................8
El interés .......................................................................................................................................................8 Desarrollo y análisis ......................................................................................................................................8 Desarrollo para la obtención del crédito a. .................................................................................................9 Desarrollo para la obtención del crédito b y c. ............................................................................................9 Diagrama de tiempo .................................................................................................................................. 10 Bibliografía ................................................................................................................................................. 15
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INTRODUCCIÓN. Las herramientas financieras son muy útiles porque nos permiten organizar los estados financieros para llevar un mejor manejo y tener la seguridad de que se están manejando y aplicando las herramientas financieras correctamente para incrementar las utilidades de la empresa. Teniendo en cuenta el mercado empresarial, donde es frecuente la toma de decisiones, en especial las financieras, es importante que se domine conceptos como valor del dinero en el tiempo, tasas de interés, anualidades, tasa interna de retorno, valor presente neto y muchos más. Estas herramientas constituyen un factor determinante en el desarrollo de las empresas colombianas, si observamos que es muy común la utilización de créditos, el análisis de proyectos de inversión y el conocimiento del mercado financiero. Los estados financieros, la toma de decisiones, las proyecciones financieras y aplicando las políticas de capital de trabajo y buena administración, son una de las herramientas financieras que debe tomar en cuenta las empresas La determinación de la estructura financiera óptima, el nivel de apalancamiento, las proyecciones futuras, los presupuestos, las inversiones, las coberturas de riesgos, el valor actual de flujos esperados en una inversión o en la propia compañía, son solo algunos de los temas que invariablemente tendrán que ser analizados con las herramientas proporcionadas por las matemáticas financieras que terminan siendo un elemento inherente a la información utilizada para la toma de decisiones. Para llevar a cabo los objetivos antes descritos, es necesario conocer determinados conceptos que son la base de cualquier cálculo que implique matemáticas financieras. Los conceptos que son de conocimiento obligatorio para cualquier person a o especialista en el área son: Capital : Es el monto del dinero prestado o sujeto a inversión. Interés: Es el precio que se debe pagar por el dinero en un determinado tiempo. Tasa: Es un porcentaje que representa el interés pactado. Tiempo: Es el periodo usado como referencia para calcular los intereses generados en
un préstamo o inversión. La constante volatilidad de los mercados y la influencia de estos en el valor del dinero han llevado a los actores del sistema financiero a crear esquemas e instrumentos cada vez más complejos, buscando un equilibrio entre los inversionistas que intentan maximizar sus recursos, acreedores que buscan financiamiento, o simplemente nulificar los riesgos que implican dichas variaciones; los esquemas antes mencionados son materia de análisis y cálculo con las diversas herramientas aportadas por las matemáticas financieras.
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OBJETIVO: Realizar el análisis sobre la importancia que tienen las matemáticas financieras para las empresas; para que puedas explicar conceptos como: porcentajes, exponentes, logaritmos y progresiones aritméticas. Este proyecto consiste en la resolución de diferentes ejercicios, así como en la elaboración de un documento que explique la importancia de saber matemáticas financieras para un adecuado manejo de las finanzas de una empresa.
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1. Elementos de las matemáticas financieras: A. Porcentajes Cuando dices "por ciento" en realidad dices "por cada 100". Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Es el lenguaje matemático más presente en la vida real, a pesar de su uso generalizado, la experiencia muestra una dificultad bastante extendida a todos los niveles en la comprensión y manipulación de los porcentajes. Se considera que un porcentaje es una expres ión del tipo X% (de A), donde “X” es un número decimal y “A” una cantidad absoluta llamada cantidad de referencia. El porcentaje indica una cantidad relativa (respecto a la de referencia) de forma que es “X” fragmentos de cien partes iguales en las que se considera dividida la cantidad “A”. Por tanto, X% equivale a la "fracción"
X/100. Su fórmula es la siguiente: El X% de A es (X/100)A o (XA)/100
El valor de un porcentaje es siempre relativo a la cantidad de referencia dependiendo su valor absoluto correspondiente del valor de ella.
B. Exponentes El producto de un número real que se multiplica por sí mismo, “a x a”, o bien “a*a”, se expresa
como a2. Si el mismo número se multiplica por sí mismo n veces, se expresará como a n.
El número “a” se llama base y el número “ n” escrito arriba y a la derecha del mismo, se llama exponente o potencia. Así, el exponente indica el número de veces que la base “a” se multiplica
por sí misma. La expresión a n se lee como ”a elevado a n”. Si n es un número entero positivo: a n = a * a * a * a...* ...a, n veces Por ejemplo: A. Si a = 2 y n = 3, entonces 2 3 = 2 * 2 * 2 = 8 B. Si a = (1+i) y n = 3, entonces a 3 = (1+i)3 y si asignamos a i un valor, por ejemplo 5% (cinco
por ciento, 5/100, lo cual indica que el entero se ha dividido en cien partes y se han tomado cinco, esto equivale en una expresión de tanto por uno a 0,05), la expresión sería: (1+i)3 = (1+0,05)3 = 1,157625
SUS REGLAS EN EL USO DE LOS EXPONENTES Sí “a” y “b” son números reales distintos de cero y los exponentes “m” y “n” son enteros positivos,
veamos algunas reglas necesarias para trabajar con exponentes: Multiplicación de dos potencias de igual base: am y an son dos potencias de igual base “a”. La multiplicación o producto de am x an = am+n Como, por ejemplo:
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si m = 3 y n = 2, entonces a m x an = a3 x a2 = a3+2 = a5 (a x a x a) (a x a) = a x a x a x a x a = a 5
C. Logaritmos Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
Por ejemplo: 5 0 = 1 51 = 5 52 = 25 53 = 125, etc. A instancias de las matemáticas, un logaritmo es el exponente al cual es necesario elevar a una determinada cantidad positiva para que resulte un número determinado. También se lo conoce como la función inversa a la función exponencial. En tanto, se denomina logaritmación a la operación matemática a través de la cual, dando un número resultante y una base de potenciación se tendrá que hallar el exponente al cual habrá que elevar la base para así conseguir el mencionado resultado.
D. Progresiones Aritméticas Para conocer más de las progresiones deberán conocerse también términos como interpolación de términos, suma de términos equidistantes y desde luego otro tipo de progresión como la geométrica, que es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. Progresión aritmética es una sucesión de términos, en que dos términos consecutivos cualesquiera están separados por una misma cantidad, llamada diferencia: 1. 3. 5. 7. 9, la diferencia es 2 24, 20, 16, 12; la diferencia es -4 Si t1 es el primer término y d la diferencia común entre los términos y n es el número de términos de la progresión aritmética, esta puede expresarse en función del primer término: t 1, t1 +d, t1 +2d, t1 +3d, ... t 1 +(n-1)d, t1 +nd.
2. Principales usos de las matemáticas financieras para una organización. Las matemáticas financieras tienen aplicación en la vida cotidiana de las personas y las empresas, por ello resulta imprescindible su cabal comprensión, pues los errores que con ellas se cometen tienen repercusión directa en el bolsillo. El estudio de las matemáticas financieras permitirá al estudiante adquirir los conocimientos necesarios para comprender las implicaciones que tienen las variaciones del valor del dinero en el tiempo.
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Se relaciona multidisciplinariamente, con la Contabilidad, por cuanto suministra en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público, con el Derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, con la Ciencia Política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, con la Ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, con la Informática, que permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones, entre muchas otras áreas de vital importancia para el desarrollo y crecimiento de las empresas al momento de tomar decisiones.
3. Importancia de las matemáticas financieras para las empresas. La importancia de las matemáticas financieras radica en que permiten al administrador financiero tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, son la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. De esta forma podemos concluir que las matemáticas financieras son la aplicación de las matemáticas a las finanzas, con especial atención en el estudio del valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación
El interés Como concepto general, es la renta que se paga por emplear dinero ajeno o que se obtiene al destinar ese capital a la inversión, durante un número de periodos de tiempo determinados. Si este interés se configura como interés simple, los intereses que se generan al ceder o recibir un capital durante un número determinado de periodos de tiempo, se deben sólo a la aplicación del tipo de interés al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, a la tasa de interés y al plazo.
Desarrollo y análisis Analizar la siguiente información referente al caso de la empresa familiar: I.
II.
Al revisar los créditos actuales de la empresa, te percatas que contrató créditos, a los cuales nadie le dio seguimiento y ahora solo se sabe que: a) Uno de ellos se liquidó y el monto pagado fue de $110,730.50 pesos, se firmó el 30 de enero y venció el 30 de abril , a una tasa del 18% anual , pero no se tiene antecedente del capital que le dio origen. Adicionalmente, se detectaron otros 2 créditos que se firmaron el 30 de mayo a una tasa del 22% anual, b) Uno se liquidó el 28 de agosto y el monto pagado fue de $120,360.80 y el otro c) Se pagó el 27 septiembre con un monto de $225,860.20
Identificación del capital
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Creditos Estatus
Monto pagado
a b c
$110,730.50 $120,360.80 $225,860.20
pagado pagado pagado
Fecha de firma 30-ene 30-may 30-may
Formula:
Fecha de Fecha de Tasa anual liquidacion vencimiento 30 de abril 28-ago 27-sep
18% 22% 22%
Capital inicial. Monto inicial de una deuda o crédito. Interés. Aumento del dinero, en un periodo.
M = C(1 + in)
Periodo en años.
Desarrollo para la obtención del crédito a.
= ⁄1+
Desarrollamos los siguientes pasos Identificar y establecer los datos. -
Realizamos el procedimiento de la formula. Obtenemos el interés desembolsado durante la deuda.
Fecha inicial
30/01/2017
Fecha final Días
30/04/2017 90
Meses
3
Años
0.25
Datos
Procedimiento Formula:
M= C= n= i=
110,730.50
$
105,962.20 C=M/1+in
18%=
Formula=
Interésa=
$
0.25
Interés
I=Cin C=110,730.50/1+((0.18)(0.25) Ia=(105,962.20)(0.18)(0.25)
0.2 $
105,962.20
$
4,768.30
De esta forma identificamos que el capital que dio origen al crédito “a” es de $105,962.20 pesos donde se establece $4,768.30 de intereses.
Desarrollo para la obtención del crédito b y c. Desarrollamos los siguientes pasos Identificar y establecer los datos de los créditos b como el c. -
Realizamos el procedimiento de la formula.
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-
Obtenemos el interés desembolsado durante la deuda.
Credito Fecha b Fecha c
Fecha inicial echa final 30/05/2017 28/08/2017 30/05/2017 27/09/2017
Días 90 120
Meses 2 3
Años 0.25 0.333333
Datos:
M1=
C1=
$
$120,360.80 114,086.07
n1= i=
0.25 22%=
M2=
$
225,860.20
C2=
$
210,428.76
n2= i=
0.22
0.333333333 22%= 0.22
Procedimiento:
Formula: C=M/1+in Fecha b C=120,360.80/1+((0.22)(0.25)) $
114,086.07
Fecha c C=225,860.20/1+((0.22)(0.333)) $
210,428.76 Interés:
Formula=
I=Cin Ib=(114,086.07)(0.22)(0.25)
Interésb=
$
6,274.73
Ic =(210,428.76)(0.22)(0.3333) Interésc = $ 15,431.44
De esta forma sabemos que el capital inicial del créd ito “b” nos da un monto de $114,086.07 pesos y un pago de $6,274.73 pesos, por otro lado, para el crédito “c” el monto de es de
$210,428.76 pesos con un interés de $15,431.44 pesos. De esta forma conocemos que el monto pagado de interés por los créditos da una suma de $ 26,474.47 pesos.
Diagrama de tiempo Los diagramas de tiempo, nos ayudan a definir en qué situación y su relación se encuentran los valores de tiempo y valores de un problema. Para ilustrar esto, se tienen los diagramas para el crédito “b”: Fecha b
Salidas
30/05/2017 -$
Entradas
114,086.07
28/08/2017
$120,360.80
Diagrama de tiempo credito b 200000 100000 Salidas
0 -100000
42885
42975
Entradas
-200000
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Del mismo modo para el crédito “c”: Fecha c
Salidas
30/05/2017 -$ 27/09/2017
Entradas 210,428.76 $ 225,860.20 Diagrama de tiempo del credito c
$250,000.00
$200,000.00
$150,000.00
$100,000.00
$50,000.00 Salidas
$01/05/2017
01/06/2017
01/07/2017
01/08/2017
01/09/2017
Entradas
-$50,000.00
-$100,000.00
-$150,000.00
-$200,000.00
-$250,000.00
Cuando los intereses se calculan a intervalos de tiempo (periodos), estos intereses se agregan al capital y este nuevo monto genera intereses, entonces se dice que es Interés Compuesto. Este interés se agrega al capital y este nuevo capital genera interés.
El interés Como concepto general, es la renta que se paga por emplear dinero ajeno o que se obtiene al destinar ese capital a la inversión, durante un número de periodos de tiempo determinados. Si este interés se configura como interés simple, los intereses que se generan al ceder o recibir un capital durante un número determinado de periodos de tiempo, se deben sólo a la aplicación del tipo de interés al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, a la tasa de interés y al plazo.
a. Interés simple, El interés simple se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período; concluyéndose que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado será igual en todos los períodos de la inversión o préstamo mientras la tasa de interés y el plazo no cambien. La fórmula de capitalización simple nos permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. La fórmula general del interés simple es la siguiente: CF = CI (1+n*i) CF: Capital Final; CI: Capital Inicial; n: número de periodos; r: tasa de interés en tanto por uno.
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Por tanto, debemos tener claro que el interés simple se aplica a la cantidad inicial, los intereses no se agregan al capital productivo.
b. Interés compuesto, En el interés compuesto los intereses de cada periodo se suman al capital inicial a la hora de generar nuevos intereses. El interés compuesto es una pieza fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la capitalización de este, lo que obtenemos son intereses sobre intereses. Esto se conoce como la capitalización del dinero en el tiempo. La fórmula que debemos usar para el cálculo del interés compuesto es: CF = CI (1+r)^n
CF: Capital Final; CI: Capital Inicial; n: número de periodos; r: tasa de interés en tanto por uno El periodo de capitalización es el intervalo al final del cual capitalizamos el interés. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.
c. Tasas equivalentes Dos tasas se dicen equivalentes si para un mismo capital producen el mismo interés en un mismo tiempo. Bajo la capitalización simple, dos tasas proporcionales también son equivalentes. Esta propiedad no es cierta para el caso de la capitalización compuesta. La noción de equivalencia depende de la ley de capitalización aplicada. 2. Analizar la siguiente información referente al caso de la empresa familiar: I.
La empresa donde trabajas está considerando adquirir nuevos equipos y deberá pagar por ellos $2,750,635.00. La empresa que vende el equipo, requiere de un pago inicial de $412,595.25, equivalentes al 15% del valor del equipo y tiene la propuesta de un banco que le ofrece financiamiento al 40% capitalizable trimestralmente, se te pide que determines en cuantos trimestres se pagaría.
Datos
¿np?
C = $ 412,595.25 i= 0.4 p= 4 ip = 0.1 n= np =
18.20
M = $ 2,338,039.75
Formula
=(+ )
Despejando
=(1+ )
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De acuerdo a los resultados se determina que en el crédito se pararía en 4 años y dos meses. II.
Por otra parte, el dueño mencionó que puede conseguir un crédito, pero el monto a pagar después de 2 años sería de $3,713,350, si el capital inicial es de $2,750,635, quiere saber cuál es la tasa nominal mensual del crédito, así como la tasa efectiva anual equivalente a la tasa nominal capitalizable trimestralmente. datos
¿i?
C= $ i= p= ip = n= np = M= $
8,000.00
0.36
12 0.02999999 4 48 33,058.00
Formula
=+/ Despejando
=(1+ ) √
Considerando la primera opción, calcula el número de trimestres en los que se cubriría el pago del financiamiento. o De acuerdo a los resultados se determina que en el crédito se pagaría en 4 años y dos meses, en 18.2 trimestres. De acuerdo a la segunda opción cuál sería la tasa nominal mensual si el dueño decide tomar el crédito, así como la tasa efectiva anual equivalente a la tasa nominal capitalizable trimestralmente. o De acuerdo al cálculo se estima que la tasa nominal capitalizable es del 0.36 de interés.
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