Matematicas y La Bolsa de Valores

Matemáticas Financieras Conceptos básicos para los instrumentos del Mercado de Valores

Pedro Enrique Lizola Margolis

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008−

[1] Conceptos generales .................................................. .......................................................................................................... .........................................................1 .1 Valor del dinero en el tiempo ............................................... ............................................................................................... ................................................ 1 Periodo..................................................................................................................................1 Costo del dinero....................................................................................................................1 [2] Tasa de interés .................................................. ......................................................................................................... .................................................................. ...........22 Concepto ................................................... ........................................................................................................... ............................................................................ ....................22 Tasa de interés de nominal a efectiva ...................................................... ................................................................................... .............................22 Tasa de interés de efectiva a nominal ...................................................... ................................................................................... .............................33 [3] Interés simple......................................................................................................................4 Concepto ................................................... ........................................................................................................... ............................................................................ ....................44 Interés....................................................................................................................................4 Monto....................................................................................................................................5 Capital...................................................................................................................................6 Forma de calcular el tiempo y la tasa de interés...................................................................7 Plazo......................................................................................................................................7 Tasa nominal.........................................................................................................................8 Tasa de rendimiento del plazo ........................................................ .............................................................................................. ...................................... 8 Tasa de rendimiento anualizada............................................................................................9 Tasa de descuento ........................................................ ................................................................................................................ .........................................................9 .9 [4] Interés compuesto.............................................................................................................11 Concepto ................................................... ........................................................................................................... .......................................................................... ..................11 11 Monto..................................................................................................................................11 Capital.................................................................................................................................13 Periodo................................................................................................................................14 [5] Tasa efectiva y equivalente ................................................ .............................................................................................. .............................................. 15 Tasa compuesta del periodo................................................................................................15 Tasa anual compuesta .................................................. ......................................................................................................... ....................................................... 16 Tasa efectiva del plazo........................................................................................................16 Tasa anual equivalente........................................................................................................18 Tasa alambrada ................................................... .......................................................................................................... ................................................................ .........20 20 Tasa efectiva acumulada.....................................................................................................21 Tasa efectiva promedio.......................................................................................................22 Tasa efectiva anualizada ....................................................... ..................................................................................................... .............................................. 23 Tasa efectiva remanente......................................................................................................23 Tasa efectiva real (o tasa premio).......................................................................................24 Tasa de interés nominal ............................................... ...................................................................................................... ....................................................... 24 [6] Inflación............................................................................................................................25 Inflación..............................................................................................................................25 Valor real .................................................. .......................................................................................................... .......................................................................... ..................26 26 Valor nominal ..................................................... ............................................................................................................ ................................................................ .........26 26 Inflación acumulada conocido el I NPC NPC ................................................................................27 Inflación acumulada conocida la inflación ....................................................... ......................................................................... ..................28 28 [7] Evaluación de inversiones .................................................. ................................................................................................ .............................................. 29 Técnicas de evaluación de inversiones .................................................... ............................................................................... ...........................29 29 Valor presente neto (VPN)...................................................................................................29


Valor presente neto equivalente (VPNE).............................................................................31 Indice del valor presente (IVP)............................................................................................32 Tasa interna de rendimiento (TIR ) .................................................. ...................................................................................... .................................... 33 Comprobación:....................................................................................................................35 Interpolación ....................................................... .............................................................................................................. ................................................................ .........35 35 Periodo de recuperación de la inversión.............................................................................37 [8] Anualidades ...................................................... ............................................................................................................. ................................................................ .........38 38 Concepto ................................................... ........................................................................................................... .......................................................................... ..................38 38 Anualidades anticipadas ....................................................... ..................................................................................................... .............................................. 38 Anualidades vencidas .................................................. ......................................................................................................... ....................................................... 41 [9] Tablas de Amortización....................................................................................................44 Objetivo .................................................... ............................................................................................................ .......................................................................... ..................44 44 Procedimiento ..................................................... ............................................................................................................ ................................................................ .........44 44 Tabla de amortización.........................................................................................................46 [10] Fuentes de Financiamiento a corto plazo ..................................................... ....................................................................... ..................47 47 [10.1] Financiamiento Bancario.............................................................................................47 Concepto ................................................... ........................................................................................................... .......................................................................... ..................47 47 Intereses al vencimiento......................................................................................................47 Intereses anticipados...........................................................................................................48 Monto total requerido .................................................. ......................................................................................................... ....................................................... 49 [10.2] Financiamiento por Factoraje......................................................................................50 Concepto ................................................... ........................................................................................................... .......................................................................... ..................50 50 Tasa efectiva del factoraje .................................................... .................................................................................................. .............................................. 50 [10.3] Financiamiento por Proveedores (Crédito Comercial)................................................52 Concepto ................................................... ........................................................................................................... .......................................................................... ..................52 52 Descuento............................................................................................................................52 Tasa efectiva del descuento .................................................. ................................................................................................ .............................................. 52

Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]


[1] C Conceptos g generales La relación existente entre el valor del dinero y el tiempo es uno de los conceptos fundamentales en las finanzas, ya que una misma cantidad de dinero tiene diferente valor, dependiendo del momento en que se reciba por la depreciación que genera la inflación: el dinero pierde poder de compra (un peso hoy vale más que un peso mañana).

Valor d del d dinero e en el t tiempo

Para poder tomar decisiones se debe comparar cantidades de dinero expresadas en el mismo momento en el tiempo. Lí nea d del ttiempo

P0

P1

P2

P3

Pn

P 0 = Periodo de tiempo 0 (es el día de hoy). P 1 = Periodo de tiempo 1 (es el final del periodo 1). P n = Periodo de tiempo n (es el final del periodo n).

Periodo

Es el plazo que existe entre dos momentos en el tiempo. Un periodo puede ser un año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana o un día. 



Costo d del d dinero

Si se dividiera el año en semestres, el tiempo que existe entre esas dos fechas sería de dos semestres, o de dos periodos de seis meses cada uno. Si se dividiera el año en meses, el tiempo que existe entre esas dos fechas sería de 12 meses, o de 12 periodos de un mes cada uno.

El costo del dinero está medido por la tasa de interés. Así, el valor del dinero en el tiempo está incorporado en la tasa de interés con la cual se ajusta en el tiempo. El rendimiento o interés que se obtiene al colocar dinero en un instrumento específico se puede expresar como porcentaje o en pesos: si se habla de porcentaje se hace referencia a una tasa de interés (i)  si se habla de moneda se señala señala la cantidad de dinero (I). (I). 


1


[2] T Tasa d de iinterés Concepto

Es el precio que se paga por p or el uso de fondos prestables. Porcentaje que cotiza en el mercado financiero para los diferentes instrumentos. Las tasas tienen las siguientes características: 1. nominales (contemplan la inflación y un premio) 2. anuales (360 días) 3. Son simples (no compuestas) 4. Porcentuales (se expresan en % y operan en decimales) C l si f la si f icación 1] Tasa activa o de colocación: Es la que reciben los los intermediarios financieros financieros de los demandantes por los préstamos otorgados. Esta última siempre es mayor, porque la diferencia con la tasa de captación es la que permite al intermediario intermediario financiero cubrir cubrir los costos administrativos, dejando además una utilidad. La tasa de interés activa es una variable clave clave en la economía ya que indica el costo de financiamiento de las empresas. 2] Tasa pasiva o de captación: Es la que pagan los intermediarios intermediarios financieros a los oferentes de recursos por el dinero captado

Tasa d de iinterés d de nominal a a efectiva efectiva

Es la tasa de interés, o de rendimiento, que realmente (efectivamente) vamos a pagar o a cobrar. [1]

⎛ i ⎞ ie= ⎜ ∗p⎟ ⎝ 360 ⎠ Donde: ie = Tasa efectiva de interés a p días i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural p = Plazo (número de días días al que quiero llevar la la tasa)

Ejemplo: Si la tasa Cetes a 28 días es de 4.38%, ¿cuál es la tasa efectiva? ⎛ 4.38 ⎞ ∗ 28 ⎟ = 0.3407% ⎜ ⎝ 360 ⎠


2


Tasa d de iinterés d de ef ectiva a a nominal nominal

Es la tasa de interés, o de rendimiento, con la que se negocian los préstamos o las inversiones.

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ p

[2]

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: i = Tasa de interés (nominal a 360 días) ie = Tasa efectiva de interés a p días 360 = Número de días del año natural p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

Ejemplo: Si la tasa efectiva de Cetes a 28 días es de 0.3407%, ¿cuál es la tasa nominal? ⎛ 0.3407 ⎞ ∗ 360 ⎟ = 4.38% ⎜ ⎝ 28 ⎠


3


[3] IInterés ssimple Concepto

Los Intereses son generados con base al Capital 1 [Valor Presente] y no sobre los intereses devengados. El capital permanece constante en el tiempo o Plazo [p] (los intereses no se capitalizan) y el valor del interés y su periodicidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento. Al producto de la suma de los intereses y el capital se le conoce como Monto (Valor Futuro)

Interés

Es la cantidad pagada o recibida por el uso de un dinero prestado. Es la compensación por diferir el consumo presente. i ⎛ I = VP ∗ ⎜ ⎝ 36000

[3]

⎞ ∗p⎟ ⎠

Donde: I = Pesos ganados por concepto de intereses VP = Valor presente (capital) 2 i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

Ejemplo: Ejemplo: Invertimos $150,000 a una tasa del 4.91% anual por un periodo de 90 días, ¿cuál es el importe de los intereses que vamos a cobrar por esos 90 días? ⎛ 4.91 ⎞ 150,000 ∗ ⎜ ∗ 90 ⎟ = $1,841.25 ⎝ 36000 ⎠

1

El Capital es la suma de dinero, que depositamos o nos prestan, en el origen de tiempo. También conocido como Capital Invertido o Monto Inicial.

2


4


Al producto de la suma de los intereses y el capital se le conoce como Monto (Valor Futuro).

Monto

Lí nea d del T Tiempo

C

M = ¿?

[4]

⎡ ⎛ i ⎞ ⎤ M=C∗ ⎢ ⎜ ∗ p ⎟ + 1⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 36000 Donde:

M = Monto (capital más intereses) 3 C = Capital (capital invertido) i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

Ejemplo: Ejemplo: Invertimos $150,000 a una tasa del 4.91% anual por un plazo de 90 días, ¿cuál es el importe total que vamos a recibir? ⎡ ⎛ 4.91 ⎞ ⎤ 150,000∗ ⎢ ⎜ ∗ 90 ⎟ + 1⎥ = $151,841.25 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 36000

Ejemplo: Ejemplo: Invertimos, durante tres años, $1,000 a una tasa del 10% anual. Los intereses no se reinvierten . Con estos datos, determinar: a) ¿cuánto cobraremos de intereses cada año? = $100.00 b) ¿cuál será la cantidad total de intereses que recibiremos al final de nuestra inversión? = $300.00 c) ¿cuál será nuestra riqueza total, capital más intereses, al final de los tres años? = $1,300.00 Inter és S Sim pl ple Ca pi Inter eses pital 1,000.00 100.00 1,000.00 100.00 1,000.00 100.00 1,000.00 300.00

Per iodo 1 2 3 Total

Monto 1,100.00 1,100.00 1,100.00 1,300.00

3

También conocido como Monto Final. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

5


Valor al día de hoy, de un flujo de efectivo futuro, descontado con una tasa de interés dada.

Capital 4


M

C = ¿?

C=

[5]

I i ⎛ ⎞ ⎜⎜ ∗ p ⎟⎟ ⎝ 36000 ⎠

Donde: C = Capital (capital invertido) I = Pesos ganados por concepto de intereses i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

Ejemplo: Ejemplo: ¿Qué capital se invirtió durante 90 días a la tasa del 4.91% anual para generar $1,841.25 de intereses? 1,841.25 = $150,000 ⎛ 4.91 ⎞ ⎜ ∗ 90 ⎟ ⎝ 36000 ⎠

4

Se obtiene el Capital (Valor Presente), a partir de los intereses ganados, o del Monto (Valor Futuro). Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

6


C=

[6]

M ⎛ i ⎞ ∗p⎟ +1 ⎜ ⎝ 36000 ⎠

Donde: C = Valor futuro (capital más intereses)

Ejemplo: Ejemplo: Si recibimos $151,841.25 después de un periodo de 90 días de inversión, ¿qué capital se invirtió al inicio del periodo a una tasa del 4.91% anual? 151,841.25 = 150,000 ⎛ 4.91 ⎞ ∗ 90 ⎟ + 1 ⎜ ⎝ 36000 ⎠

Forma d de c calcular el t tiempo y y lla t tasa de iinterés

Es importante notar que las ecuaciones de Monto y Capital se componen de cuatro variables: 1) M = Monto (Valor Futuro) 2) C = Capital (Valor presente) 3) i = Tasa de interés 4) p = Plazo si se conocen los valores de tres de ellos, se puede encontrar el valor del cuarto.

Plazo

Número de días al que está la tasa. Es el lapso en que permanece depositado el capital. [7]

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ I ⎟ ∗ 360 p=⎜ i ⎜⎜ C ∗ ⎟⎟ ⎝ 100 ⎠ Donde: p = Plazo. I = Pesos ganados por concepto de intereses C = Capital invertido i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural.

Ejemplo: ¿Durante cuánto tiempo se invirtieron $150,000 para generar $1,841.25 de interés a una tasa del 4.91% anual? ⎛ ⎞ ⎜ 1,841.25 ⎟ ⎜ ⎟ ∗ 360 = 90 días ⎜⎜ 150,000 ∗ 4.91 ⎟⎟ 100 ⎠ ⎝


7


Tasa n nominal

Tasa de interés, nominal a 360 días, que representa Valor de la tasa real más el por ciento de la inflación. i=

[8]

I ⎛ C ⎞ ⎜⎜ ∗ p ⎟⎟ ⎝ 36000 ⎠

Donde: i = Tasa de interés I = Pesos ganados por concepto de intereses C = Capital invertido 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuál es la tasa nominal que obtendremos si invertimos $150,000 durante 90 días para generar un interés de $1,841.25? 1,841.25 = 4.91% ⎛ 150,000 ⎞ ⎜ ∗ 90 ⎟ ⎠ ⎝ 36000 Tasa d de rendimiento d del plazo

La tasa de rendimiento del plazo es la tasa efectiva obtenida en p días a partir del Capital (Valor Presente) y del Monto (Valor Futuro). [9]

⎛ VF ⎞ TR p = ⎜ − 1 ⎟ ∗100 VP ⎝ ⎠ Donde: TR p = Tasa de rendimiento del plazo VF = Valor futuro VP = Valor presente

Ejemplo: ¿A qué tasa invertimos $150,000 durante 90 días para generar un monto de $151,841.25? ⎛ 151,841.25 ⎞ − 1 ⎟ ∗100 = 1.2275% ⎜ ⎝ 150,000 ⎠


8


Tasa d de rendimiento anualizada

Es la tasa de rendimiento del plazo (o efectiva) llevada al plazo anual de 360 días, a partir del Capital (Valor Presente), del Monto (Valor Futuro) y del número de días transcurridos en la inversión. [10]

VF ⎞ ⎛ 36000 ⎞ TR = i = ⎛ − 1⎟ ∗ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ VP ⎠ ⎝ p ⎠ Donde: TR = Tasa de rendimiento anualizada VF = Valor futuro (capital más intereses). VP = Valor presente (o capital invertido). 36000 = 360 (Días del año natural) por 100 (Base porcentual). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa.

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuál es la tasa de rendimiento anualizada que obtendremos si invertimos $150,000 durante 90 días para generar un monto de $151,841.25? ⎛ 151,841.25 ⎜ ⎝ 150,000

⎞ ⎛ 36000 ⎞ = 4.91% ⎟ ⎠ ⎝ 90 ⎠

− 1⎟ ∗ ⎜

o bien: i=

Tasa d de d descuento

1,841.25 I = = 4.91% ⎛ 150,000 ⎞ ⎛ VP ⎞ ⎜ ∗ 90 ⎟ ⎜⎜ ∗ p ⎟⎟ ⎝ 36000 ⎠ ⎝ 36000 ⎠

Es el porcentaje de descuento sobre el valor nominal de un instrumento, típicamente los bonos cupón cero, lo que nos permite calcular su precio de adquisición5 y por diferencia, la ganancia de capital6 . Bonos cupón cer o 7 cero

Instrumentos de corto plazo que cotizan abajo de su valor nominal y su rendimiento esta dado por el diferencial entre el precio de venta (valor nominal) y precio de compra con descuento (por debajo de su valor nominal). Ab’s (Aceptaciones bancarias)  Cetes (Certificados de la Tesorería de la Federación)  Papel comercial  Prlv's (Pagaré rendimiento liquidable al vencimiento) 

5

⎛ ⎛ TD ∗ p ⎞ ⎞ ⎟⎟ ⎝ ⎝ 36000 ⎠ ⎠

Precio de adquisición (bajo par): Pr = VN ∗ ⎜ 1 − ⎜

6

Ganancia de capital: GC = VN − Pr Estos instrumentos no tienen cupón, ya que no realizan pagos periódicos de interés.

7


9

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− [11] 8

TR TD = ⎛ TR ∗ p ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 36000 ⎠ Donde: TD = Tasa de descuento TR = Tasa de rendimiento anualizada 36000 = 360 (Días del año natural) por 100 (Base porcentual). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa.

Ejemplo: Dada una tasa de rendimiento de 12% para una emisión de Cetes a 28 días (valor nominal, $10.00) estimar: 1. La tasa de descuento 2. El precio de adquisición del Cete 3. La ganancia de capital: Tasa de descuento: TD =

12 = 11.89% 12 ∗ 28 ⎞ ⎛ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 36000 ⎠

⎛ ⎛ 11.89 ∗ 28 ⎞ ⎞ Precio del Cete: Pr = 10 ∗ ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ = $9.91 ⎝ ⎝ 36000 ⎠ ⎠ Ganancia de capital: GC = 10 - 9.91 = $0.09

8

La Tasa de Rendimiento, a partir de la de Descuento, se plantea en los siguientes términos:

TD

TR = 1−


⎛ TD ∗ p ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 36000 ⎠

10


[4] IInterés c compuesto Concepto

Es el que se calcula sobre el principal más los intereses acumulados en periodos anteriores. A diferencia del interés simple , aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización.

Monto

Es el valor del capital [C] tal que invertida ahora a una tasa dada de interés (i) alcanzaría un monto (M) después de una serie de periodos de capitalización (n). Lí nea d del T Tiempo

VP

P1

M =C∗

Pn

P2

⎡⎛ i ⎞ ⎤ ∗ p ⎟ +1 ⎜ ⎢⎣⎝ 36000 ⎠ ⎥⎦

VF = ¿?

n

[12] 9

Donde: M = Monto (Valor futuro) compuesto C = Capital (Valor presente) i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión.

Ejemplo: Invertimos $120,000 a la tasa del 7% anual capitalizable cada 60 días durante un periodo de 180 días. ¿Con qué cantidad se contará al final de los 180 días? 180 60

120,000 ∗

⎡⎛ 7 ⎞ +1⎤ ∗ 60 ⎢⎣⎜⎝ 36000 ⎠⎟ ⎥⎦

= $124,249.19

9

Comparar con ecuación número 4, Valor Futuro Simple. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

11


Ejemplo: Invertimos, durante tres años, $1,000 a una tasa del 10% anual. Los intereses se reinvierten . Con estos datos, determinar: a) la cantidad total de intereses que recibiremos al final de nuestra inversión = $331.00 b) el efecto de que los intereses se capitalizaran (intereses generan intereses) = $31.00 Per iodo 1 2 3 Total

Inter és S Sim ple Ca pital Inter eses 1,000.00 100.00 1,000.00 100.00 1,000.00 100.00 1,000.00 300.00

Monto 1,100.00 1,100.00 1,100.00 1,300.00

Per iodo 1 2 3 Total

Inter és Compuesto Compuesto Ca pi Inter eses pital 1,000.00 100.00 1,100.00 110.00 1,210.00 121.00 1,331.00 331.00

Monto 1,100.00 1,210.00 1,331.00 1,331.00


12


Capital

Es valor del capital [C] que se tendría el día de hoy si se descontara un monto (cantidad futura) a una tasa de interés (i) durante una serie de periodos (n). Lí nea d del T Tiempo

VP = ¿?

VP =

P1

Pn

P2

[13] 10

VF

⎡⎛ i ⎢⎣⎜⎝ 36000

VF

⎞ ⎤ ⎟ ⎠ ⎥⎦

n

∗p +1

Donde: C = Capital (Valor presente) M = Monto (Valor futuro) compuesto i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión.

Ejemplo: ¿Qué capital invertimos durante 180 días a una tasa del 7% anual capitalizando intereses cada 60 días, para contar con $124,249.19 al final de los 180 días? 124,249.19

⎡⎛ 7 ⎢⎣⎜⎝ 36000

⎞ +1⎤ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦

180 60

= $120,000.00

∗ 60

10

Comparar con ecuación número 5, Valor Presente Simple. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

13


Periodo

Número de días totales de la inversión, conocido el capital y el monto final. logM − logC q = ∗p ⎛ ⎛ i ⎞ ⎞ log ⎜1 + ⎜ ∗ p⎟⎟ 36000 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝

[14] 11

Donde: q = Periodo log = Logaritmo común (base 10) de un número positivo logM = Logaritmo del Monto (Valor Futuro) logVP = Logaritmo del Capital (Valor Presente) i = Tasa de interés (nominal a 360 días) p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa

Ejemplo: ¿Durante cuánto tiempo invertimos $120,000 a una tasa del 7% anual, capitalizable cada 60 días para obtener $124,249.19? log 124,249.19 − log 120,000 ∗ 60 = 180 días ⎛ ⎛ 7 ⎞ ⎞ log⎜1 + ⎜ ∗ 60 ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 36000

11

Comparar con ecuación número 7. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

14


[5] T Tasa e ef ectiva y y e equivalente A n te te ce ce d e n te te s Recordar los conceptos de: Tasa de interés simple de Nominal a Efectiva (fórmula 1)

⎛ i ⎞ ie = ⎜ ∗p⎟ ⎝ 360 ⎠ Tasa de interés simple de Efectiva a Nominal (fórmula 2)

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ p Tasa c compuesta d del periodo

⎞ ⎟⎟ ⎠

Es la tasa de interés, o de rendimiento, que realmente (efectivamente) vamos a pagar. Conocida, también, como tasa efectiva equivalente . Nos sirve para comparar tasas con plazos distintos en un mismo plazo de referencia. Para homogeneizar los plazo en forma anual se puede utilizar (complementariamente)- la tasa anual equivalente o curva de rendimientos . n ⎡ ⎛ ⎛ i ⎤ ⎞ ⎞ i ec = ⎢ ⎜ ⎜ ∗ p ⎟ + 1 ⎟ − 1⎥ ∗100 ⎠ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎝ 36000 ⎥⎦

o bien:

⎛ M ⎞ iec = ⎜ − 1⎟ ∗ 100 ⎝ C ⎠

[15] 12

[16] 13

Donde: iec= Tasa efectiva compuesta en q días (es una tasa de rendimiento) i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión. iec = Tasa de rendimiento del periodo (es una tasa efectiva). C = Capital invertido (Valor presente) . M = Monto (Valor futuro) = Capital más intereses.

12

Comparar concepto y resultados con ecuación número 10. Comparar concepto y resultados con ecuación número 10.

13


15


Ejemplo: ¿Qué tasa de rendimiento se obtiene si invertimos $120,000 a plazos de 60 días, capitalizables durante un periodo de 180 días y al final se contarán con $124,249.19? 180 ⎡ ⎤ ⎛ 7 ⎞ ⎞ 60 ⎢ ⎛ ∗ 60 ⎟ + 1 ⎟ − 1⎥ ∗ 100 = 3.5410% ⎜⎜ ⎢ ⎝ ⎝ 36000 ⎥ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦

o bien:

⎛ 124,249.19 ⎞ − 1⎟ ∗100 = R: 3.5410% ⎜ ⎝ 120,000 ⎠

Tasa a anual compuesta

Es la tasa de interés que realmente (efectivamente) se va a pagar en el año.

⎛ i ec i = ⎜⎜ ∗ 360 q ⎝

[17] 14

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: i = Tasa de interés iec= Tasa efectiva compuesta en q días (es una tasa de rendimiento) q = Periodo

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuál es la tasa de interés anual compuesto que se obtiene si la tasa efectiva de un periodo de 180 días es de 3.5410%? ⎛ 3.5410 ⎜ ⎝ 180

Tasa e ef ectiva d del plazo

⎞ ⎠

∗ 360 ⎟ = 7.0820%

Tasa de interés efectiva a la que se invirtieron los recursos en el plazo. 1 ⎡ ⎤ ⎛ M ⎞ n ⎥ ⎢ i e = ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ∗100 ⎢ ⎝ C ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

[18] 15

Donde: ie = Tasa de interés efectiva C = Capital M = Monto n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión

14

Comparar concepto y resultados con ecuación número 2. Comparar concepto y resultados con ecuación número 9.

15


16


Ejemplo: Invertimos $120,000 con una tasa del 7% anual a plazos de 60 días, capitalizables durante un periodo de 180 días. Si al final se contarán con $124,249.19 ¿cuál es la tasa de interés efectiva? 1 ⎡ ⎤ 124,249.19 ⎞ 3 ⎥ ⎢ ⎛ ⎜ ⎟ − 1 ∗ 100 = 1.1667% ⎢ ⎝ 120,000 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

o bien: ⎞ ⎛ 7 ∗ 60 ⎟ = 1.1667% ⎜ ⎝ 360 ⎠

¿cuál es la tasa de interés nominal? ⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ q

[19] 16

⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ 1.1667 ⎜ ⎝ 60

⎞ ⎠

∗ 360 ⎟ = 7.0%

16

Comparar concepto y resultados con ecuación número 2. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

17


Tasa a anual equivalente 17

A partir del rendimiento de un instrumento es posible obtener el rendimiento implícito (Rendimiento en Curva o Rendimiento Equivalente) del mismo en un diferente plazo a vencimiento de acuerdo a la siguiente fórmula: t ⎡ ⎤ m ⎛ ⎛ i ⎞ ⎞ ⎛ 36000 ⎞ ⎢ Tae = ⎜ ⎜ ∗ m ⎟ + 1 ⎟ − 1⎥ ∗ ⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎝ 36000 ⎥ ⎝ t ⎠ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦

[20]

Donde: Tae = Tasa anual equivalente o tasa curva i = Tasa de interés a m días o tasa conocida (nominal a 360 días). m = número de días al que está la tasa o plazo conocido t = número de días al que quiero llevar la tasa.

Ejemplo: Ejemplo: La tasa curva a un plazo t dde 180 ddías con respecto de una tasa cconocida ddel 112% a un plazo m dde 3360 ddías, es: la tasa [[11.66%]a la que es necesario invertir al plazo t dde 1180 días, para que capitalizándola se pueda llegar al mismo monto (capital más intereses) equivalente a la tasa cconocida ddel 112% en el plazo m dde 3360 ddías. 180 ⎡ ⎤ 360 12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥ ⎛ 36000 ⎞ = 11.66% Tae = ⎢⎢⎜ ⎜ ∗ 360 ⎟ + 1 ⎟ − 1⎥ ∗ ⎜ ⎟ ⎝ 36000 ⎠ ⎠ ⎝ 180 ⎠ ⎝ ⎢⎣ ⎥⎦ Comprobamos: n ⎡ ⎛ ⎛ i ⎤ ⎞ ⎞ i ec = ⎢ ⎜ ⎜ ∗ q ⎟ + 1 ⎟ − 1⎥ ∗100 36000 ⎠ ⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎝ ⎦⎥ 360 ⎡ ⎤ 180 ⎛ 11.66 ∗ 180 ⎞ + 1 ⎞ ⎢ ⎛ − 1⎥ ∗100 = 12% ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎝ ⎝ 36000 ⎥ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦

17

La Tasa Curva a un plazo t con respecto de una tasa conocida a un plazo m, es: la tasa a la que es necesario invertir al plazo t , para que capitalizándola se pueda llegar al mismo monto (capital más intereses) equivalente a la tasa conocida en el plazo m. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

18


Ejemplo: Ejemplo: Tenemos las siguientes tasas en Certificados de la Tesorería: Cetes 182 días = 7.83%  Cetes 364 días = 7.90%  Con los datos anteriores: a. ¿Cuál sería la tasa de 182 días llevada al plazo de 364 días? b. ¿Cuál tasa nos dará el mejor rendimiento y, por lo tanto, nos conviene para invertir? Tasa del 7.83% a 182 días, equivalente a 364 días: 364 ⎡ ⎤ 36000 182 ∗ 7.83 182 ⎛ ⎞ ⎢ − 1⎥ ∗ ⎜ +1 ⎟ = 7.98% ⎢ 36000 ⎥ ⎝ 364 ⎠ ⎣ ⎦

(

)

a. La tasa Cetes de 182 días llevada al plazo de 364 días es de 7.98% b. La mejor tasa para invertir es Cetes a 182 días, ya que es superior en equivalente a la tasa de 364 días: 7.98% es mayor que 7.83% i. ii.

¿Cuál sería la tasa de 364 días llevada al plazo de 182 días? ¿Se refrendaría la decisión anterior? 182 ⎡ 7.90 ∗ 364 ⎤ 36000 364 ⎛ ⎞ = 7.75% ⎢ − 1⎥ ∗ ⎜ +1 ⎟ ⎢ 36000 ⎥ ⎝ 182 ⎠ ⎣ ⎦

(

)

i. La tasa Cetes de 364 días llevada al plazo de 182 días es de 7.75% ii. Si se refrendaría la decisión anterior, porque Cetes a 364 días es inferior en equivalente a la tasa de 182 días: 7.75% es menor que 7.83%


19


Tasa a alambrada 18

Se utiliza cuando necesitamos una tasa nominal para hacer un cálculo financiero y la estructura de tasas del mercado no corresponde a nuestras necesidades.

⎛ Pb−Pc ⎞ ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎪⎢⎛ ⎛ Tpl∗Pl ⎞ ⎞⎝ Pl−Pc ⎠ ⎥ ⎪ ⎪⎢⎜ ⎜1+ ⎥ ⎪ ⎟⎟ ⎪⎪⎢ ⎝ 36000 ⎠ ⎛ Tpc ∗ Pc ⎞⎥ ⎪⎪ 36000 ⎜ ⎟ ⎢ ∗ ⎜1 + Ta = ⎨ ⎟⎥ − 1⎬ ∗ 36000 ⎝ ⎠ ⎥ ⎪ Pb ⎪⎢⎜ ⎛ Tpc∗Pc ⎞ ⎟ ⎥ ⎪ ⎪⎢⎜ ⎜1+ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ 36000 ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎢⎣

[21]

Donde: Ta = Tasa alambrada (interpolada linealmente) Tpl = Tasa de largo plazo Pl = Plazo largo Tpc = Tasa de plazo corto Pc = Plazo corto Pb = Plazo buscado

Ejemplo: Ejemplo: Encontrar la tasa alambrada a 60 días, dada la siguiente estructura de tasas (Cetes) en mercado secundario: 1 día = 4.17%  28 días = 4.30%  90 días = 5.20%  182 días = 5.70%  360 días = 6.50%  ⎛ 60 −28 ⎞ ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎜⎜ 90 −28 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎪⎢⎛ ⎛ 5.20 ∗ 90 ⎞ ⎞ ⎥ ⎪ ⎪⎢⎜ ⎜ 1+ ⎥ ⎪ ⎟ ⎟ ⎪⎪⎢ ⎝ 36000 ⎠ ⎛ 4.30 ∗ 28 ⎞⎥ ⎪⎪ 36000 ⎜ ⎟ = 4.99% ∗ ⎢ ⎜1 + ⎟⎥ − 1⎬ ∗ ⎨ 36000 60 ⎝ ⎠⎥ ⎪ ⎪⎢⎜ ⎛ 4.30 ∗ 28 ⎞ ⎟ ⎥ ⎪ ⎪⎢⎜ ⎜ 1+ ⎟⎟ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ 36000 ⎠ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎢⎣

18

Se obtiene por el método de interpolación lineal. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

20


La tasa efectiva acumulada capitaliza el principal e intereses en tiempo y tasas diferentes.

Tasa e ef ectiva acumulada

ie acumulada = {[(1 + ie1) ∗ (1 + ie2 ) ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ (1 + ien )] − 1}∗100

[22]

Donde: ie1 = Tasa de interés efectiva para el periodo 1. ie2 = Tasa de interés efectiva para el periodo 2. ien = Tasa de interés efectiva para el periodo n.

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuál será la tasa efectiva acumulada y el monto a obtener si invertimos y capitalizamos consecutivamente $500,000 bajo el siguiente esquema de tasas y plazos? Plazo T Nominal TEf ectiva 19 28 días 7.70% 0.5989% 31 días 7.66% 0.6596% 45 días 7.53% 0.9413% 91 días 7.41% 1.8731% Σ195 d días Tasa efectiva acumulada: ⎧ ⎡ ⎛ 0.5989 ⎞ ⎫ ⎤ ⎟⎟ ∗ (1.006596 ) ∗ (1.009413 ) ∗ (1.018731 )⎥ − 1⎬ ∗ 100 = 4.1302% ⎨ ⎢ ⎜⎜ 1 + 100 ⎠ ⎦ ⎩ ⎣ ⎝ ⎭

Monto a obtener: ⎛ 4.1302 ⎞ 500,000 ∗ ⎜ + 1 ⎟ = $520,650.83 ⎝ 100 ⎠

19

⎛ i ⎞ ∗ p ⎟ ⎝ 360 ⎠

Tasa efectiva = ⎜


21


Tasa e ef ectiva promedio

⎤ − 1⎥ ∗ 100 ⎦

[23] 20

1 ⎡ ⎤ ⎛ M ⎞ n ⎥ ⎢ i e promedio = ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ∗100 ⎢ ⎝ C ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

[24] 21

⎡ ie promedio = ⎢ 1+ ie ⎣

1 n

( )

o bien:

Donde: ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. M = Monto (capital más intereses) C = Capital invertido n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuál será el rendimiento promedio diario si invertimos $500,000 y obtenemos $520,650.83 durante 195 días ? ⎡ ⎢ 1.041302 ⎣

(

1 195

)

⎤

− 1⎥ ∗ 100 = 0.0208%

⎦

o bien: 1 ⎡ ⎤ 520,650.83 ⎞ 195 ⎥ ⎢ ⎛ ⎜ ⎟ − 1 ∗100 = 0.0208% ⎢ ⎝ 500,000 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

20

Ver ecuación número 18, Tasa Efectiva del Plazo. Ver ecuación número 18, Tasa Efectiva del Plazo.

21


22


Tasa e ef ectiva anualizada

⎡ ie anualizada = ⎢ 1+ ie ⎣

360 n

( )

[25]

⎤ − 1⎥ ∗ 100 ⎦

Donde: ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión

Ejemplo: Si una tasa acumulada de 4.1302%, permaneciera constante durante 360 días, ¿cuál será la tasa anualizada? ⎡ ⎢ 1.041302 ⎣

(

Tasa e ef ectiva remanente

360 195

)

⎤

− 1⎥ ∗ 100 = 7.7579%

⎦

La tasa efectiva remanente es la tasa de interés efectiva, a la que se desea llegar en un tiempo meta.

⎡1 + iem ⎤ ie remanente = ⎢ − 1⎥ ∗ 100 ⎣ 1 + ie ⎦

[26]

Donde: iem = Tasa meta efectiva para el periodo. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo.

Ejemplo: Nos interesa conservar la inversión por un periodo de 360 días y alcanzar un rendimiento del 8% (tasa meta a la que queremos llegar). Considerando que en 195 días obtuvimos una tasa efectiva acumulada de 4.1302% ¿a qué tasa debemos invertir por el tiempo restante de 165 días para lograr la tasa meta? ⎡ 1.08 ⎤ ⎢⎣1.041302 − 1⎥⎦ ∗ 100 = 3.7163%


23


Tasa e ef ectiva r real ((o tasa p premio)

Es la tasa de interés a la que se le han descontado los efectos de la inflación. Ésta puede ser positiva: cuando es superior a la misma, o negativa, si es inferior a la inflación. [27]

i ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎢ ⎜⎝ 1 + 100 ⎠⎟ ⎥ − 1⎥ ∗ 100 r=⎢ ⎞ ⎥ ⎢ ⎛ 1 + ⎢⎣ ⎜⎝ 100 ⎠⎟ ⎥⎦ π

Donde: i = Tasa de interés nominal para el periodo. r = Tasa de interés real para el periodo. π = Tasa de inflación para el periodo.

Ejemplo: Ejemplo: Considerando una tasa de interés nominal del 8%, ¿cuál es el interés real si la inflación del periodo es del 5%? r=

Tasa d de iinterés nominal

(1+ 0.08 ) −1= 2.86% = 2.86% (1+ 0.05 )

Es la que otorga un instrumento determinado sin tomar en cuenta la inflación. Puede ser fija, es decir que no se modifica durante la vigencia del contrato o variable, que cambia mes con mes y se calcula sobre la base de una tasa de referencia como los Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES) o la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE). i=

π

100

+

r ⎛ π ∗ r ⎞ +⎜ ⎟ 100 ⎝ 100 100 ⎠

[28]

Donde: i = Tasa de interés nominal para el periodo. r = Tasa de interés real para el periodo. π = Tasa de inflación para el periodo.

Ejemplo: Ejemplo: Considerando una tasa de interés real del 2.86% y la inflación del periodo en del 5%, ¿cuál es la tasa nominal? ⎛ 2.86 5 ⎛ 2.86 5 ⎞ ⎞ ⎟⎟ ⎟ ∗100 = 8% i=⎜ + + ⎜⎜ ∗ ⎝ 100 100 ⎝ 100 100 ⎠ ⎠


24


[6] IInf lación Inf lación 22

Fenómeno que consiste en un desequilibrio crónico entre la oferta y la demanda de una economía, que se manifiesta en un persistente aumento de nivel general de precios. Así, la inflación es el aumento, en términos porcentuales, de los precios experimentados por todos los productos en una economía de forma continua durante un periodo determinado.

π

[29] 23

⎛ Pr t1 ⎞ =⎜ − 1 ⎟ ∗ 100 Pr t0 ⎝ ⎠

Donde: π = Tasa de inflación para el periodo.

Pr t1 = Precio en el periodo 1 Pr t0 = Precio en el periodo 0

Ejemplo: Ejemplo: Si en t0 el precio de un artículo era igual a $100 y en el periodo tl, el precio es de $115, ¿cuál sería la inflación? π

⎛ 115 ⎞ − 1 ⎟ ∗ 100 = 15% ⎝ 100 ⎠

=⎜

22

Consultar información en el Banco de México: http://www.banxico.org.mx/PortalesEspecializados/inflacion/inflacion.html 23 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

25


Valor r real

Cantidad expresada en términos nominales llevada a términos reales, quitando la inflación. Vr =

[30] 24

ValorNominal

⎛ 1 + ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠

n

π


n = Número de periodos.

Ejemplo: ¿Cuál es el valor real en t0 de $500 que se reciben en tl si hubo una inflación de 5 %? $500 = $476 (1+0.05 )

¿Cuál es el valor real de $1,000 pagaderos en dos años, si la tasa de inflación anual es de 4.5%? $1,000

(1+0.045)2

= $916

Valor n nominal π ⎛ ⎞ Vn = Valor Real ∗ ⎜ 1+ ⎟ ⎝ 100 ⎠

n

[31] 25


n = Número de periodos.

Ejemplo: Ejemplo: ¿Cuánto costarán dentro de un año un bien si pago ahora $1,500 y espero que se dé una inflación del 6% en este año? $1500∗(1+0.06) = $1,590 ¿Cuál sería el valor nominal dentro de siete años de $3,000 si la tasa de inflación anual se estima en 5%? 7 $3,000∗(1+0.05 ) = $4,221

24

Comparar con ecuación número 13, Valor Presente. Comparar con ecuación número 12, Valor Futuro.

25


26


Inf lación a acumulada conocido e el IINPC 2266

π

⎡ ⎛ INPC año referencia INPC año base ⎣ ⎝

[32] 27

⎤ ⎞ ⎟⎟ − 1 ⎥ ∗ 100 ⎠ ⎦

= ⎢ ⎜⎜

Donde: INPC = Indice Nacional del Precios al Consumidor

Ejemplo: En función de la tabla del Indice Nacional de Precios al Consumidor, calcular: a) la inflación del mes de mayo de 2004. b) la inflación acumulada de 2004. INPC m mensual

Mes Diciembre Enero Marzo Abril Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo

a. Inflación (mensual) mayo del 2004.

b. Inflación acumulada (dic03/may04)

Año 2002 2003 2003 2003 2003 2004 2004 2004 2004 2004

Indice 102.904 103.320 104.261 104.439 106.996 107.661 108.305 108.672 108.836 108.563

π

⎡ ⎛ 108.563 ⎞ ⎤ = ⎢⎜ ⎟ − 1 ⎥ * 100 ⎣ ⎝ 108.836 ⎠ ⎦

= (0.25%)

π

⎡ ⎛ 108.563 ⎞ ⎤ = ⎢⎜ ⎟ − 1 ⎥ * 100 ⎣ ⎝ 106.996 ⎠ ⎦

= 1.46%

26

Publicado por el Banco de México en los primeros 10 días de cada mes. Para ver el Índice Nacional de Precios al Consumidor, visitar: http://www.banxico.org.mx/portalesEspecializados/inflacion/indicadores.html 27 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

27


Inf lación a acumulada conocida lla inf lación 2288

⎡⎛ ⎛ π 1 ⎞ ⎛ π 2 ⎞ ⎛ π ⎞ ⎞ ⎤ π = ⎜ ⎜1 + ⎟∗⋅ ⋅ ⋅∗⎜1 + n ⎟ ⎟⎟ −1⎥ ∗100 ⎟ ∗ ⎜1 + ⎢⎜ ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠

[33] 29

Donde: π = Tasa de inflación acumulada. π1 = Tasa de inflación para el periodo 1. πn = Tasa de inflación para el periodo n.

Ejemplo: Ejemplo: En función de la tabla de los registros de inflación, calcular la acumulada del 2004. Inf lación m mensual

Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

Año 2004 2004 2004 2004 2004 2004

BdeM 0.62 0.60 0.34 0.15 (0.25) 0.16

La inflación acumulada hasta mayo de 2004 es: π

⎡⎛ ⎛ ⎣⎝ ⎝

=⎢⎜ ⎜1 +

⎞ ⎤ ⎟ ∗ (1 + 0.006 ) ∗ (1.0034 ) ∗ (1.0015 ) ∗ (0.998 ) ⎟ − 1⎥ ∗ 100 = 1.46% 100 ⎠ ⎠ ⎦

0.62 ⎞

28

Para ver el índice de inflación, visitar: http://www.banxico.org.mx/eInfoFinanciera/FrinfoFinanciera.asp?liga=INFLACION 29 Comparar con ecuación número 22, Tasa Efectiva Acumulada. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

28


[7] E Evaluación d de iinversiones Técnicas d de evaluación d de inversiones

1. 2. 3. 4. 5.

Valor presente neto (VPN). Valor presente neto equivalente (VPNE) 30 . Indice de valor presente (IVP). Tasa interna de rendimiento (T IR). Periodo de recuperación (PR).

Cr iter io dde ddecisión

Cuando tenemos más de un proyecto con: Diferente monto de inversión inicial (I o ), decidimos con  la técnica del VPN y con IVP. Diferente periodo de vida (n ), decidimos con la  técnica del VPN y con VPNE. Diferente inversión inicial (I o ) y periodo de vida (n ),  decidimos con la técnica del VPN y con T IR. Si existieran diferencias en el criterio de aceptación o rechazo entre el V PN y el T IR , el método correcto es el del valor presente neto.

Valor p presente n neto (VPN)

Es la suma del valor presente de una serie de flujos de efectivo positivos y negativos a cuyo resultado se le resta la inversión realizada en el periodo cero. n

CFn VPN= ∑ n − Io CF = 1 (1+ie )

[34] 31

Donde: CFn = Flujo de caja del periodo n. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos. Io = Inversión inicial. 32 PN representa el Costo de Capital , el La tasa de interés de la fórmula de V cual es el promedio ponderado de las diferentes fuentes de financiamiento (pasivo y capital) que tiene una empresa para realizar su inversión.


Si el valor presente neto del flujo de efectivo del proyecto es positivo, entonces es rentable, por lo que se debe aceptar. En caso contrario (negativo), se debe rechazar.

30

Conocido también como Valor Actual Neto Equivalente. Comparar con ecuación número 13, Valor Presente. 32 Ver el apartado 9, correspondiente al Costo de Capital. 31


29


Ejemplo: Con los datos que se proporcionan, calcular el VPN:   

Inversión neta: $1,000. Vida económica: cinco años. Flujo de efectivo: año 1: $200 año 2: $300 año 3: $400 año 4: $500 año 5: $600

a) ¿Se debe aceptar el proyecto si el costo de capital es del 10% anual? b) ¿Cual sería la decisión si el costo de capital es del 25% anual? a) VPN con un costo de capital de 10% anual: ⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞ ⎟ − $1,000 = $444.34 VPN = ⎜⎜ + + + + 1 2 3 4 5 ⎟ (1.10) (1.10) (1.10) ⎠ ⎝ (1+0.10) (1.10)

I0=1000

CF1=200

CF2=300

CF3=400

CF4=500

CF5=600

VPN=444.34

El proyecto es rentable, dado que el valor presente neto del flujo de efectivo es positivo con $444.10, por lo que se debe aceptar. Con otro enfoque, significa que si obtenemos un préstamo de $1,000 con una tasa de interés del 10% anual, el proyecto permite pagar el principal y sus intereses, generando un beneficio neto de $444.10. b) VPN con un costo de capital de 25% anual: ⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞ ⎟ − $1,000 =($41.79) + + + + VPN = ⎜⎜ 1 2 3 4 5 ⎟ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.25 1.25 1.25 1.25 1.25 + ⎠ ⎝ El proyecto no es rentable, dado que el valor presente neto del flujo de efectivo es negativo con $41.83, por lo que se debe rechazar.


30


Valor p presente n neto equivalente ((VPNE)

Indica la cantidad promedio que recuperamos de la inversión en cada periodo. El resultado, es el valor presente de una anualidad vencida (pagada al final de un periodo) 33 . Es el monto de los flujos de caja iguales y periódicos que poseen un valor actual equivalente al valor presente neto. VPNE =

[35]

VPN

⎡1 − 1+ ie ⎢ ⎢ ie ⎣

−n

( )

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

o bien: [36]

n

VPNE =

CFn ∑ n − Io CF=1(1 + ie ) ⎡1 − 1+ ie ⎢ ⎢ ie ⎣

−n

( )

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Donde: VPN = Valor presente neto. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos. Io = Inversión inicial. Cr iter io dde ddecisión

Se utiliza, como complemento del VPN, cuando tenemos que evaluar proyectos de inversión con diferentes periodo de vida (n ).

Ejemplo: Ejemplo: Con los datos del ejercicio anterior (interés al 10% y VPN de $444.34), calcular el VPNE: VPNE =

444.34

⎡1 − 1.10 ⎢ ⎢ 0.10 ⎣

(

−5

)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

= $117.22

33

Ver el apartado de Anualidades (serie de pagos iguales, en periodos iguales, a tasa iguales). Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

31


Indice d del v valor presente ((IVP)

Es la cantidad de pesos recuperados por cada peso invertido. VPN Io

[37]

CFn ∑ n − Io CF =1(1 + ie )

[38]

IVP =

o bien: n

IVP =

Io

Donde: VPN = Valor presente neto. Io = Inversión inicial. Cr iter io dde ddecisión

Se utiliza, como complemento del VPN, cuando tenemos que evaluar proyectos de inversión con diferentes montos de inversión inicial (I o ). El valor del índice será conveniente cuando sea  mayor de la unidad. 

Ejemplo: Ejemplo: Con los datos anteriores (Inversión Inicial de $1,000 y VPN de $444.34), calcular el IVP: IVP =


444.34 = 0.44 1,000

32


Tasa iinterna d de rendimiento ((TIR)

Es la tasa de interés que hace que el valor presente del flujo de efectivo, restado del valor presente de la inversión, sea igual a cero. Equivale a la tasa de interés (tasa efectiva) 34 que un proyecto le proporcionaría a un inversionista.

⎡ n ⎤ CFn 0 = − I ⎢∑ ⎥ o n ⎣CF = 1 (1+Tir ) ⎦

[39] 35

Donde: CFn = Flujo de caja del periodo n. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos. Io = Inversión inicial. Metodología dde ccálculo

1. Seleccionar arbitrariamente una tasa de interés con la cual se calcula el VPN de los flujos de efectivo del proyecto. 2. Si el VPN es positivo, seleccionamos otra tasa de interés más grande y calculamos nuevamente el VPN 36 . 3. Si el VPN es negativo, seleccionamos una tasa de interés más chica y calculamos nuevamente el VPN. 4. Una vez obtenidos resultados cercanos a cero, mediante interpolación , encontrar la tasa de interés que da el VPN igual a cero.

34

La TIR nos proporciona una tasa de interés efectiva, por lo tanto, es necesario convertirla a tasa nominal. Comparar con ecuación número 34, Valor Presente Neto. 36 Considerando que el cálculo del valor presente es un quebrado, en donde el numerador es dinero y el denominador es una tasa de interés, si éste aumenta, el valor presente disminuye y si la tasa d e interés disminuye, el valor presente aumenta. 35


33


Inter po polación

⎞ ⎡⎛ ⎤ VpnΔ ⎟ ∗ Tma ( TIR = T me + ⎢⎜ − Tme)⎥ ⎢⎣⎜⎝ VpnΔ − Vpn∇ ⎠⎟ ⎥⎦

[40]

Donde: Tme = Tasa de interés menor. Tma = Tasa de interés mayor. VpnΔ = Valor presente neto positivo. Vpn∇ = Valor presente neto negativo.

T asa d de interés ((%)

Valor p presente neto ((VPN):

Menor Mayor Dif erencia:

Ejemplo: Ejemplo: Comprobar, con los datos que se proporcionan, que la TIR estimada es del 23.291941%   

Inversión neta: $1,000. Vida económica: cinco años. Flujo de efectivo: año 1: $200 año 2: $300 año 3: $400 año 4: $500 año 5: $600

⎡ n ⎤ CFn I TIR =⎢ ∑ 0 = − ⎥ o n Tir ( + ) 1 = CF 1 ⎣ ⎦ ⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞⎟ VPN = ⎜⎜ + + + + − $1,000 = 0.00 1 2 3 4 5 ⎟ ⎝ (1.2329) (1.2329) (1.2329) (1.2329) (1.2329) ⎠


34

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− Comprobación:

Tasa d de iinter és (1ª sselección)

Partiendo -arbitrariamente- de los datos obtenidos en la opción “A”, calculamos el valor presente neto de los flujos de efectivo del proyecto con una tasa de interés del 10%. ⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞⎟ ⎜ + + + + ⎜ (1+0.10)1 (1.10)2 (1.10)3 (1.10) 4 (1.10) 5 ⎟ − $1,000 = $444.34 ⎝ ⎠

R esultado

Dado que el valor presente neto, para una tasa de interés del 10%, es positivo con $444.10, tendremos que incrementar el valor de la tasa de interés.


Planteamos una tasa de interés del 23%

⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞ ⎟ − $1,000 = $7.42 VPN = ⎜⎜ + + + + 1 2 3 4 5 ⎟ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0.23 1.23 1.23 1.23 1.23 ⎝ ⎠ R esultado


Toda vez que el VPN sigue siendo positivo en $7.42, tendremos que incrementar todavía más la tasa de interés. Sin embargo, dado que el valor presente neto está cercano a cero, dicho incremento a la tasa de interés deberá ser pequeño. Escogemos una tasa de interés del 24%

⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞ ⎜ ⎟ + + + + ⎜ (1+0.24)1 (1.24)2 (1.24) 3 (1.24) 4 (1.24) 5 ⎟ − $1,000 = ($17.65) ⎝ ⎠ R esultado

Interpolación

Dado que el valor presente neto es negativo, -$17.65, sabemos entonces que la tasa interna de rendimiento del proyecto está entre 23% y 24%. ⎞ ⎡⎛ ⎤ VpnΔ ⎟ ∗ Tma ( TIR = T me + ⎢⎜ − Tme)⎥ ⎜ ⎟ ⎣⎢⎝ VpnΔ + Vpn∇ ⎠ ⎦⎥

[

Donde: Tme = Tasa de interés menor. Tma = Tasa de interés mayor. VpnΔ = Valor presente neto de la tasa de interés menor. Vpn∇ = Valor presente neto de la tasa de interés mayor.


35


Menor Mayor

T asa d de interés ((%) 23 24 1

Valor p presente neto ((VPN): $7.42 $17.65 $25.07

⎛ $7.42 TIR = 23 + ⎜ ⎝ $25.07

⎞ ⎠

∗1 ⎟ = 23.29%

⎛ $200 $300 $400 $500 $600 ⎞ ⎟−$1,000 = 0.00 VPN=⎜⎜ + + + + 1 2 3 4 5 ⎟ ⎝ (1.2329) (1.2329) (1.2329) (1.2329) (1.2329) ⎠


36


Periodo d de recuperación d de lla inversión


Tiempo que se requiere para recuperar el valor presente del dinero que se invirtió inicialmente en un proyecto. Se acepta el proyecto que tenga el menor periodo de recuperación de la inversión, el cual deberá ser menor que la vida económica del mismo.

Ejemplo: Ejemplo: Con los siguientes datos, calcular el Periodo de Recuperación del Proyecto:    

Inversión neta: $1,000. Vida económica: cinco años. Costo de capital: 10% Flujo de efectivo: año 1: $200 año 2: $300 año 3: $400 año 4: $500 año 5: $600

Año

Flujo de efectivo Valor presente neto (CF) neto (VPN):

Valor presente neto acumulado

⎛ CFn ⎞ ⎜⎜ ⎟ n ⎟ 1+i ) ( ⎝ ⎠

0 1 2 3 4 5

$(1,000) $200 $300 $400 $500 $600

($1,000) $181.80 $247.80 $300.40 $341.50 $372.60

($1,000) ($818.20) ($570.40) ($270.00) $71.50 $444.10

Para determinar con mayor precisión el periodo de recuperación de la inversión, dividimos el valor presente del monto que falta por recuperar en el tercer año entre el valor presente del flujo de efectivo del cuarto año, ya que es en este año cuando se termina de recuperar la inversión: (270.00 / 341.50) = 0.79 años. Dado que un año tiene 52 semanas, 0.79 años equivale aproximadamente a (0.79 x 52) = 41 semanas, aproximadamente (41 ÷ 4) = 10 meses. Por lo tanto, de acuerdo al método del periodo de recuperación, se recuperará la inversión en tres años y diez meses.


37


[8] A Anualidades Concepto

Una anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo y tasas iguales. Existen dos tipos: 1. Anualidades anticipadas 2. Anualidades vencidas

Anualidades anticipadas

Los pagos son efectuados al inicio de cada periodo o intervalo de pago.


A1

A2

An

A3

Caso: V Valor F Futuro Valor Futuro de u una A Anualidad A Anticipada Futuro d

[41]

⎡ (1 + ie )n − 1 ⎤ VFAA = A ∗ ⎢ ∗ (1 + ie )⎥ ie ⎣ ⎦ Donde: VFAA = Valor Futuro de una Anualidad Anticipada. A = Valor de la Anualidad. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Durante un año vamos a ahorrar $2,000.00 al inicio de cada mes a una tasa nominal del 12%, ¿cuánto tendremos al final del año? ⎡ (1.01)12 − 1 ⎤ VFAA = 2,000 ∗ ⎢ ∗ (1.01)⎥ = $25,618.66 ⎣ 0.01 ⎦

A1=2,000

A2=2,000

A3=2,000

A12=2,000 VF12=25 618.66


38

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− Valor de la Anualidad c el V Valor F Futuro Anualidad conocido e

A=

[42]

VFAA

⎡ (1 + ie )n − 1 ⎤ ( ) 1 i ∗ + e ⎢ ⎥ ie ⎣ ⎦

Donde: A = Valor de la Anualidad VFAA = Valor Futuro de una Anualidad Anticipada. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Deseamos tener $25,618.66 dentro de un año y sabemos que la tasa nominal que nos ofrecen es del 12%, ¿qué cantidad debemos ahorrar al inicio de cada mes? A=

A1=2,000

A2=2,000

A3=2,000

25,618.66

⎡ (1.01)12 − 1 ⎤ ( ) 1.01 ∗ ⎢ ⎥ ⎣ 0.01 ⎦

= $2,000.00

A12=2,000 VF12=25,618.66

Caso: V Valor P Presente Valor Presente Presente d de u una A Anualidad A Anticipada

[43]

⎡1 − (1 + ie )-n ⎤ VPAA = A ∗ ⎢ ∗ (1 + ie )⎥ ie ⎣ ⎦ Donde: VPAA = Valor Presente de una Anualidad Anticipada. A = Anualidad. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Vamos a recibir al inicio de cada mes $2,000.00 durante un año. Deseamos saber cuánto representa el ingreso total el día de hoy, considerando una tasa nominal del 12%. ⎡1 − (1.01)-12 ⎤ VPAA = 2000 ∗ ⎢ ∗ (1.01)⎥ = $22,735.26 0.01 ⎣ ⎦

A1=2,000 VP1=22 735.26

A2=2,000

A3=2,000


A12=2,000

39

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− Valor de la Anualidad conocido e el V Valor P Presente Anualidad c

A=

[44]

VPAA

⎡1 − (1 + ie )-n ⎤ ( ) 1 i ∗ + e ⎢ ⎥ ie ⎣ ⎦

Donde: A = Valor de la Anualidad VFAA = Valor Futuro de una Anualidad Anticipada. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Deseamos tener $22,735.26 el día de hoy y sabemos que la tasa nominal que nos ofrecen es del 12%, ¿qué cantidad debemos ahorrar durante un año, al inicio de cada mes? A=

A1=2,000 VP =22 735.26

A2=2,000

A3=2,000


22,735.26 = $2,000.00 ⎤ ⎡1 − (1.01)-12 ∗ (1.01)⎥ ⎢ 0.01 ⎣ ⎦ A12=2,000

40


Anualidades vencidas

Los pagos son efectuados al final de cada periodo o intervalo de pago. Lí nea d del T Tiempo

A1

A2

A3

An

Caso: V Valor F Futuro Valor Futuro d una A Anualidad V Vencida Futuro de u

[45]

⎡ (1 + ie )n − 1⎤ VFAV = A ∗ ⎢ ⎥ i e ⎣ ⎦ Donde: VFAV = Valor Futuro de una Anualidad Vencida. A = Valor de la Anualidad. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo 37 . n = Número de periodos.

Ejemplo: Durante un año vamos a ahorrar $2,000.00 al final de cada mes a una tasa nominal del 12%, ¿cuánto tendremos al final del año? ⎡ (1.01)12 − 1⎤ VFAV = 2000 ∗ ⎢ ⎥ = $25,365.01 0.01 ⎣ ⎦

A1=2,000

A2=2,000

A12=2,000 VF12=25 365.01

37

Ver ecuación número 1, Tasa Nominal a Efectiva. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

41


Valor de la Anualidad c el V Valor F Futuro Anualidad conocido e

A=

[46]

VFAV

⎡ (1 + ie )n − 1⎤ ⎥ ⎢ i e ⎣ ⎦

Donde: A = Valor de la Anualidad VFAV = Valor Futuro de una Anualidad Vencida. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Deseamos tener $25,365.01 dentro de un año y sabemos que la tasa nominal que nos ofrecen es del 12%, ¿qué cantidad debemos ahorrar al final de cada mes? A=

A1=2,000

A2=2,000

25,365.01

⎡ (1.01) − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 0.01 ⎦ 12

= $2,000.00

A12=2,000 VF =25 618.66

Caso: V Valor P Presente Valor Presente Presente d de u una A Anualidad V Vencida

[47]

⎡1 − (1 + ie )-n ⎤ VPAV = A ∗ ⎢ ⎥ ie ⎣ ⎦ Donde: VPAV = Valor Presente de una Anualidad Vencida. A = Anualidad. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Ejemplo: Vamos a recibir al final de cada mes $2,000.00 durante un año. Deseamos saber cuánto representa el ingreso total el día de hoy, considerando una tasa nominal del 12%. ⎡1 − (1.01)-12 ⎤ VPAA = 2000 ∗ ⎢ ⎥ = $22,510.15 0.01 ⎣ ⎦

A1=2,000

A2=2,000

A12=2,000

VP =22 510.15


42

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− Valor de la Anualidad c el V Valor P Presente Anualidad conocido e

A=

[48]

VPAV

⎡1 − (1 + ie )-n ⎤ ⎢ ⎥ ie ⎣ ⎦

Donde: A = Valor de la Anualidad VPAV = Valor Presente de una Anualidad Vencida. ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

Ejemplo: Deseamos tener $22,510.15 el día de hoy y sabemos que la tasa nominal que nos ofrecen es del 12%, ¿qué cantidad debemos ahorrar durante un año, al final de cada mes? A=

VP1=22 510.15

A1=2,000

A2=2,000


22,510.15 = $2,000.00 ⎡1 − (1.01)-12 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 0.01 ⎦

A12=2,000

43


[9] T Tablas d de A Amortización Ob je jetivo

Construir tablas de amortización de deuda que nos permita conocer el periodo de referencia, el capital por amortizar, el pago del periodo (con su estructura de intereses y capital), así como el saldo insoluto; considerando, para tal efecto, el plazo, el monto del préstamo y la tasa de interés del mismo.

Procedimiento

1. Calcular el valor del pago (anualidad) a partir del monto de la deuda. 2. Calcular los intereses 3. Calcular la aportación a capital 4. Calcular el saldo insoluto

Ejemplo: Se tiene una deuda de $10,000 a 7 pagos anuales al 5%. 1. V Valor del pa pago

Monto del pago o valor de la anualidad vencida P=

[49] 38

C ⎡1 − (1 + ie )-n ⎤ ⎢ ⎥ i e ⎣ ⎦

Donde: P = Pago. C = Capital (Valor Presente de una Anualidad Vencida (VP AV)). ie = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos.

P=

10,000

⎡1 − (1 + .05)-7 ⎤ ⎢ ⎥ 0.05 ⎣ ⎦

= $1,728.20

38

Utilizamos la ecuación del Valor de la Anualidad conocido el Valor Presente (Ver fórmula 48) Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

44


2. IInter eses

Cantidad que se paga por el uso del dinero prestado. i ⎛ I= C ∗ ⎜ ⎝ 36000

[50] 39

⎞ ∗p⎟ ⎠

Donde: I = Pesos pagados por concepto de intereses C = Capital (Valor presente (VP)) 40 i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

5 ⎛ ⎝ 36000

I = 10,000

∗⎜

⎞ ⎠

∗ 360 ⎟ = $500.00

3. A A por tación aa C Ca pital

AC = A − I

[51]

Donde: AC = Aportación a capital A = Valor de la Anualidad (Pago) I = Pesos pagados por concepto de intereses

AC= 1,728.20 − 500 = $1,228.20

4. S Saldo IInsoluto

Cantidad total que se adeuda por periodo (es la suma de lo que debía menos el abono a capital o porción capitalizable). [52]

SI = C − AC Donde: SI = Saldo insoluto C = Capital AC = Aportación a capital

SI = 10,000 − 1,228.20 = $8,771.80 Al obtener el saldo insoluto, se conoce exactamente cuanto es lo que falta por pagar en cada periodo. De tal forma que si después de realizar el pago programado, se decidiera cancelar la deuda, lo que se tendría que pagar sería dicho monto.

39

Comparar con ecuación número 3, Interés Simple. También conocido como Capital Invertido o Monto Inicial.

40


45


Tabla d de amortización

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Capital

Pago

10,000.00 10,000.00 8,771.80 7,482.19 6,128.10 4,706.30 3,213.42 1,645.89

0 1,728.20 1,728.20 1,728.20 1,728.20 1,728.20 1,728.20 1,728.20

Intereses 0 500.00 438.59 374.11 306.40 235.32 160.67 82.29


Aportación a capital 0 1,228.20 1,289.61 1,354.09 1,421.80 1,492.88 1,567.53 1,645.91

Saldo insoluto 10,000.00 8,771.80 7,482.19 6,128.10 4,706.30 3,213.42 1,645.89 0

46


[10] F Fuentes d de F Financiamiento a a c corto p plazo [10.1] F Financiamiento B Bancario Concepto

El cálculo de los intereses que el banco cobra en una línea de crédito, se puede realizar bajo dos esquemas: 1. Intereses al vencimiento 2. Intereses por anticipado

Intereses a al vencimiento

En un préstamo a interés simple, el prestatario recibe el valor nominal del préstamo y reembolsa, en la fecha de vencimiento, el principal y el interés, incluyendo los costos adicionales tales como la comisión del banco y la reciprocidad requerida. [53] 41

⎛ M + I ⎞ ie = ⎜ − 1⎟ ∗ 100 M ⎝ ⎠ y la tasa nominal:

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ p

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: ie = Costo del financiamiento (Tasa efectiva al vencimiento) M = Monto del préstamo solicitado I = Pesos pagados por concepto de intereses 42 i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural p = Plazo del préstamo

Ejemplo: Considerando los datos que se proporcionan, ¿cuál es la tasa real de interés que nos cobra un banco si pagamos los intereses al vencimiento? Préstamo o monto solicitado: $500,000 Plazo: 45 días Tasa: 12% ⎛ 500,000 + 7500 ⎞ ie = ⎜ − 1⎟ ∗ 100 = 1.50% 500,000 ⎝ ⎠ y la tasa nominal:

⎛ 1.50 ⎞ i= ⎜ ∗ 360 ⎟ = 12.00% ⎝ 45 ⎠

41

Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo y con la ecuación 2, Tasa Nominal. Para calcular los intereses (I), ver ecuación 3.

42


47

Temas selectos de Matemáticas Financieras −Versión 2008− Intereses anticipados

En un préstamo con interés anticipado, el banco deduce el interés en forma anticipada (descuenta el préstamo). Por lo tanto, el prestatario recibe una cantidad inferior al valor nominal del préstamo. [54]

I + Co ⎛ ⎞ ie = ⎜⎜ ⎟⎟ ∗100 M I + Co + R ( ) ⎝ ⎠ y la tasa nominal:

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ p

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: ie = Costo del financiamiento (Tasa efectiva al anticipada o al inicio) M = Monto del préstamo solicitado I = Pesos pagados por concepto de intereses 43 Co = Comisión del banco R = Reciprocidad M = Monto solicitado i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural p = Plazo del préstamo

Ejemplo: Ejemplo: Considerando los datos que se proporcionan, ¿cuál es la tasa real de interés que nos cobra un banco si pagamos los intereses por anticipado? Préstamo o monto solicitado: $500,000 Plazo: 45 días Tasa: 12% Comisión: 1% Reciprocidad: 5% 7500 + 5000 ⎛ ⎞ ie = ⎜⎜ ⎟⎟ ∗ 100 = 2.70% 500,000 7500 + 5000 + 25000 ( ) ⎝ ⎠ y la tasa nominal:

⎛ 2.70 ⎞ i= ⎜ ∗ 360 ⎟ = 21.62% ⎝ 45 ⎠

43

Para calcular los intereses (I), ver ecuación 3. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

48


Monto t total requerido

Es la cantidad que vamos a solicitar al banco para que, una vez descontados los intereses, las comisiones y la reciprocidad, recibamos el monto neto buscado. I + Co ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎟⎟ ⎟ MT = M ∗ ⎜1 + ⎜⎜ ( ) M I + Co + R ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

[55]

Donde: MT = Monto total requerido M = Monto del préstamo solicitado I = Pesos pagados por concepto de intereses 44 Co = Comisión del banco R = Reciprocidad

Ejemplo: Considerando los datos que se proporcionan, ¿cuál es el monto total que debemos solicitar para que, una vez descontado el interés, la comisión y la reciprocidad, nos quede la cantidad neta deseada? Préstamo neto requerido: $500,000 Plazo: 45 días Tasa: 12% Comisión: 1% Reciprocidad: 5% 7500 + 5000 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎟⎟ ⎟ = $515,513.51 MT = 500,000 ∗ ⎜1 + ⎜⎜ ⎝ ⎝ 500,000 - (7500 + 5000 + 25000 ) ⎠ ⎠

44

Para calcular los intereses (I), ver ecuación 3. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

49


[10.2] F Financiamiento p por F Factora je Concepto

Obtención de liquidez a través de una línea de crédito cuya garantía es la cesión en favor de la empresa de factoraje del valor de los documentos (facturas) generados por la producción de bienes y/o prestación de servicios del facturado (receptor de crédito). El costo financiero del factoraje es el que asume el facturado por los servicios de administración y cobranza de los derechos de crédito, así como el riesgo por la probable falta de pago de los documentos cedidos. El factoraje es más barato que el crédito de corto plazo, ya que sólo nos cobran intereses sobre las facturas que nos prestan, sin considerar el Aforo.

Tasa e ef ectiva d del f actora je e j

Es la tasa de interés que efectivamente nos están cobrando por el factoraje, a la cual le incluimos los honorarios y el aforo 45 . I+H ⎛ ⎞ ie = ⎜⎜ ⎟⎟ ∗ 100 ⎝ M - (I + H + A ) ⎠

[56] 46

A ⎞ ⎛ i ⎞ ⎛ I = M ∗ ⎜1 − ∗p⎟ ⎟∗⎜ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 36000 ⎠

y la tasa nominal:

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 ⎝ p

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: ie = Costo efectivo del financiamiento a p días (Tasa efectiva del factoraje) I = Intereses 47 H = Honorarios A = Aforo M = Valor de las facturas i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa)

Ejemplo: 45

El aforo es el valor de facturas que conserva la empresa de factoraje y sobre las cuales no nos prestan cantidad alguna. 46 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. 47 Se calculan sobre el monto neto que resulta de restarle al valor de las facturas, el valor del aforo. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

50


Calcular el monto de los intereses y el costo de financiamiento, efectivo y nominal, de una operación de factoraje, a partir de los siguientes datos: Valor de las facturas: $500,000 Tasa: 12% Plazo: 45 días Honorarios: 1% Aforo: 10% 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞ I = 500,000 ∗ ⎛ ∗ 45 ⎟ = $6,750.00 ⎜1 − ⎟∗⎜ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 36000 ⎠ 6,750 + 5,000 ⎛ ⎞ ie = ⎜⎜ ⎟⎟ ∗100 = 2.68% 500,000 6,750 + 5,000 + 50,000 ( ) ⎝ ⎠

⎛ 2.68 ⎞ i= ⎜ ∗ 360 ⎟ = 21.45% ⎝ 45 ⎠


51


[10.3] F Financiamiento p por P Proveedores ((Crédito C Comercial) Concepto

El crédito comercial (proveedores) es una fuente espontánea de financiamiento que surge de las transacciones ordinarias y no se paga ningún interés explícito sobre los fondos que se obtienen.

Descuento

Es el que realiza un proveedor a sus clientes, bajo ciertos términos 48 , a cambio de recuperar anticipadamente el valor de las mercancía vendidas.

Tasa e ef ectiva d del descuento

Es la tasa de interés que efectivamente nos están descontando por pagar antes del vencimiento de las facturas.

⎛ id ⎞ ⎞⎟ ⎜ M ∗ ⎛ ⎜ ⎟ 100 ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ie = ⎜ ∗100 ⎟ i d ⎞ ⎞ ⎛ ⎜⎜ M ∗ ⎜1 − ⎛ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ⎝ 100 ⎠ ⎠ ⎠

[58] 49

y la tasa nominal:

⎛ i e i = ⎜⎜ ∗ 360 p t ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

Donde: ie = Descuento efectivo otorgado por el proveedor a p días M = Monto de la deuda con el proveedor id = Tasa de descuento otorgado por el proveedor por pronto pago en p días i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 360 = Número de días del año natural. p = Plazo u horizonte de crédito otorgado originalmente. t = Número de días o plazo en el que se debe efectuar el pago para aprovechar el descuento.

48

Por ejemplo: 2/10, neto 30, significa que se da un descuento del 2% si el pago se hace dentro de 10 días contados a partir de la fecha de factura, y el monto total de la factura vencerá y se deberá pagar en un plazo de 30 días en caso de que no se tome el descuento. 49 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. Pedro Enrique Lizola Margolis [email protected]

52

Matematicas y La Bolsa de Valores

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