PENGERTIAN GRAPH 1. DEFINISI GRAPH Graph G adalah pasangan terurut dua himpunan (V(G), E(G)), V(G) himpunan berhingga dan tak kosong dari obyek-obyek yang disebut himpunan titik (vertex) dan E(G) himpunan berhingga (boleh kosong) sedemikian hingga setiap anggotanya merupakan pasangan titik-titik di V(G). Himpunan E(G) disebut himpunan sisi. Contoh : Graph 1
G1 adalah graph dengan V(G) = { 1, 2, 3, 4 } E(G) = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Graph 2
G2 adalah graph dengan V = { 1, 2, 3, 4 } E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) } = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} Jika sebuah sisi graph menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri, maka disebut gelung (loop). Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik pada suatu graph, maka sisi tersebut disebut sisi rangkap atau sisi ganda. Contoh :
-
e1 dan e2 adalah sisi-sisi rangkap
-
e5 adalah sebuah gelung (loop)
1.1 Ketetanggaan (Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung. Tinjau graph : simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
1.2 Bersisian (Incidency) Untuk sembarang sisi e = (vj, vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , atau e bersisian dengan simpul vk Tinjau graph : -
sisi (2, 3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3,
-
sisi (2, 4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4,
-
sisi (1, 2) tidak bersisian dengan simpul 4.
1.3 Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Tinjau graph : simpul 5 adalah simpul terpencil
1.4 Graph Sederhana Graph sederhana adalah graph yang tidak memiliki gelung dan sisi rangkap. Contoh :
1.5 Graph Rangkap Graph rangkap adalah sebuah graph yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak memiliki gelung (loop). Contoh :
1.6 Graph Komplit Graph komplit adalah graph sederhana yang setiap titik yang berbeda dihubungkan oleh garis. Contoh :
1.7 Graph Null (kosong) Graph kosong adalah graph yang tidak mempunyai garis. Contoh : 1
4
2 5 3
2. Derajat Titik Derajat suatu titik v di G, dinyatakan dengan d(v), adalah banyak sisi G yang terkait dengan v dengan masing-masing loop dihitung sebagai dua sisi yang terkait dengan v. Derajat minimum dan derajat maksimum titik-titik di G berturut-turut dinyatakan dengan δ (G) dan ∆ (G). Tinjau graph G1: d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3
Contoh :
d(1)=3, d(2)=3, d(3)=4 d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2 x (banyak sisi pada graph) Karena dalam menghitung jumlah derajat semua titik di sebuah graph, setiap sisi graph dihitung tepat dua kali maka jumlah derajat semua titik graph selalu sama dengan dua kali banyaknya sisi graph tersebut. Pernyataan tersebut dikenal dengan teorema jabat tangan Teorema : (Teorema Jabat Tangan). Jika G sebuah graph maka
Jika 1 dan v titik-titik di G dan e = uv suatu sisi di G, maka dikatakan: e menghubungkan u dan v, u dan v terhubung langsung (adjacent), u terkait (incident) dengan e, e terkait (incident) dengan u, u dan v disebut titik ujung dari e. dua sisi atau lebih yang menghubungkan satu pasang titik disebut sisi rangkap (multiple edges). Suatu sisi yang titik ujungnya sama disebut loop. Graph tanpa sisi rangkap dan tanpa loop disebut graph sederhana (simple graph).
G
H Gambar 1. 1
Pada Gambar 1, graph G adalah sederhana, dengan V(G) = {u, v, w, x}, E(G) = {uv, uw, xw, vx, wx}, |V(G)| = 4, |E(G)| = 5, Graph H tidak sederhana karena memuat loop dan sisi rangkap.
G
H1
H2
H3 Gambar 1. 2
Pada Gambar 2, terhadap G, H1 adalah graph bagian rentangan, H2 adalah graph bagian tetapi bukan graph bagian rentangan, dan H3 bukan graph bagian. 1.2. DERAJAT TITIK
Derajat suatu titik v di G, dinyatakan dengan d(v), adalah banyak sisi G yang terkait dengan v dengan masing-masing loop dihitung sebagai dua sisi yang terkait dengan v. Derajat minimum dan derajat maksimum titik-titik di G berturut-turut dinyatakan dengan δ (G) dan ∆ (G).
Gambar 1. 3 Untuk graph G pada Gambar 3, d (s) = 3,
d (v) = 6,
δ (G) = 0,
d (t) = 3,
d (w) =1,
d (u) = 3,
d (x) = 0,
∆ (G) = 6.
Graph yang semua titiknya berderajat sama disebut graph beraturan (regular graph). Suatu graph dikatakn beraturan-r (r-reguler) jika setiap titiknya berderajat r. Pada Gambar 4, G1 beraturan-3 dan G2 beraturan-0. *
* *
*
*
G1
G2 Gambar 1. 4
Pada suatu graph masing-masing sisi bertitik ujung dua, sewaktu derajat titik-titiknya dijumlahkan masing-masing sisi dihitung dua kali. Maka diperoleh lema sebagai berikut. Lema: (Lema Jabat Tangan). Jumlah semua derajat semua titik pada semua graph sama dengan dua kali banyak sisinya. Lema jabat tangan dapat dinyatakan dengan: untuk suatu graph G berlaku:
∑
v∈V (G )
d(v)=2|E(G)|.
Akibat Lema jabat Tangan. a) Pada graph, jumlah semua derajat titik adalah genap. b) Pada graph, banyak titik berderajat ganjil adalah genap. c) Jika G suatu graph beraturan-r, maka E (G ) =
1 r V (G ) 2
