Fundamentos de la Ingeniería
MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M 0F ) Siempre que abres una puerta o un grifo o que ajustes una tuerca con una llave, ejercerás una fuerza de giro que produzca un torque. El torque no es lo mismo que la fuerza, si quieres que un objeto se desplace le aplicaras una fuerza, la fuerza tiende a acelerar los objetos. Si quieres que un objeto gire o de vueltas le aplicaras un torque, los torques producen giros alrededor de un punto o eje de rotación. El momento o torque de una fuerza es una magnitud vectorial. ¡Observe! Al observar los ejemplos gráficos y notamos que el momento de una fuerza (capacidad de producir giro) depende del valor de la fuerza aplicada y la distancia al centro o eje de giro, luego: Cabeza hexagonal de un perno
F 10 N 5 cm
F 10 N
¡El perno no gira!
10 cm
Si se expresa en forma matemática este fenómeno, podemos representar el momento de fuerza mediante un esquema que nos ayudará a comprender mejor su significado. M rxF Línea de acción de F
O Eje de giro
r
d
P
F
La distancia del punto “O” a la línea de acción de “F” es:
d rsen El módulo del Momento de la fuerza “F” con respecto al punto “O” será: M 0 Frsen Nota: Un mismo momento de fuerza puede ser causado por una fuerza de módulo pequeño, cuyo brazo es grande y por una fuerza de módulo grande cuyo brazo es pequeño. Qué dificil
¡El perno gira!
F 10 cm F 10 N ¡El perno gira lentamente!
10 cm F 30 N ¡El perno gira rápidamente!
¡El brazo de palanca es más corto!
Darwin Nestor Arapa Quispe Qué fácil
fuerzas componentes respecto del mismo punto. F4
F
F1
F3
r3 O r2
¡El brazo de palanca es más largo!
r4 r1
CONVENCIÓN DE SIGNOS Momento Positivo
O d
Antihorario
F2
FR = F1 +F2 +F3 +F4
“El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas componentes”
F
MR Mi
M0F ()
r×F R = r1 ×F1 +r 2 ×F 2 +r 3 ×F 3 +r 4 ×F 4 Momento Negativo
O d
Horario
F M0F ()
MOMENTO RESULTANTE.- Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas externas entonces el momento resultante será igual a la suma algebraica de los vectores del momento, generado por cada fuerza externa. TEOREMA DE VARIGNON.- El momento resultante de un grupo de fuerzas respecto de un punto arbitrario es siempre igual a la suma algebraica de los momentos de las
SEGUNDA CONDICION DE EQUILIBRIO Para que un cuerpo mantenga su estado de equilibrio, no debe rotar por lo tanto, el momento resultante que actúa sobre el debe ser cero, respecto a cualquier punto (centro de giro). EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO Cuando un grupo de fuerzas externas, están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar: 1ra. condición: F i 0 : es decir:
Fx 0
;
2da. condición:
Fy 0
;
Fz 0
M0 = 0
Fundamentos de la Ingeniería CUPLA O PAR DE FUERZAS En un sistema de fuerzas paralelas, iguales en módulo y dirigidas en sentido contrario (tal como se muestra en la figura) el momento producido por una cupla es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia entre sus líneas de acción.
M
PAR
M 20 (8)2 (5)2 6 2 M 100 5
Rpta.
PROBLEMA : 02
En el gráfico hallar el módulo del momento resultante, con respecto al punto A:
F Fd
M 20(8i 5j 6k)
d
1
F
F2
1
F1
EMPOTRAMIENTO Es un tipo de apoyo, en el cual existen dos reacciones semejantes al apoyo fijo más un torque llamado momento de empotramiento.
M
A
F4
F3
Resolución: Representando los vectores de posición: 1
Rx
F2
1
Ry
r4
F1
A r1
r3
F4
r2 F3
PROBLEMA : 01
Hallar el módulo del momento generado por la fuerza F 60i 80k y el vector de posición r 2i 2j k . Resolución: i j k M r F 60 0 80 2 2 1 M 160i 100j 120k
r1 3i 2j F1 2i 4j r2 i F2 2i 3j r3 3i j F3 3i j
r4 2i 2j r1 3i 2j
M r1 F1 r2 F2 r3 F3 r4 F4 i j k i M 3 2 0 1 2
4 0
j 0
k i j k i j k 0 3 1 0 2 2 0
2 3 0
3 1 0
M (16 3 6 2)k
3 2 0
Darwin Nestor Arapa Quispe M 15k
PROBLEMA : 03
8j 6k 2 2 (4) 3
F 3 F 3 UF 3
En el gráfico, determinar el módulo del momento total (en N.m) generado por las fuerzas con respecto al origen de coordenadas. F1 3 5 N; F2 10 N; F3 2 61 N
F 3 2 61
F3
2 61 61
6i 4 j 3k
(6) 4 (3) 2
2
2
(6i 4 j 3k) 12i 8j 6k
El momento total es: M 0 r 1 F1 r 2 F 2 r 3 F 3
Y
i j k i j k i j k M0 0 4 3 6 4 0 6 0 3 8 0 3 0 8 6 12 8 6
6 F1
O
M O 12i 24j 24k 24i 36j 48k 24i 48k
F3
F2
Z
M O 12i 12j 24k 12(i j 2k)
4
X 3
Módulo del momento: M 0 12 (1)2 (1)2 (2)2
Resolución:
M 0 12 6 N.m Y
Rpta.
(0, 4, 0)
6
(0, 4, 3)
PROBLEMA : 04
F1
O Z
4j 3k
F 2 10
Rpta.
F3
(6, 4, 0)
F2
4
(6, 0, 0)
3
El peso de la viga en la figura es 40 N y los valores de los pesos son P 15 N y Q 18 N . Hallar las reacciones en “A” y “B” (en Newton) respectivamente son:
X
(6, 0, 3)
Cálculo de los vectores de posición: r 1 4j 3k ; r 2 6i 4j ; r 3 6i 3k Cálculo de las fuerzas:
P
F 1 F 1 U F1 6i 3k F1 4 5 2 2 6 3
F 2 F 2 UF 2
8i 3k
53º A
4m
B
Q
2m
2m
C
Fundamentos de la Ingeniería Resolución: D.C.L. de la viga: 40 N
P
12 N
53º 9N
Ax
Ay
B
4m
2m
C
Resolución: Cálculo de “ ” 6L 3 arctan arctan 8L 4
Elaborando el D.C.L. de la barra:
2m B y 14 N
Ay
Por condiciones de equilibrio:
Fx 0 : 9 A x 0 Fy 0 :
A y B y 42 … (1)
M0 0 :
Ax
Ax 9 N
A y 12 40 14 B y 0 4(54) 6B y 0
Sustituyendo en (1): A y 6 N
RA
81 36
5L 20
4 T 5
4 T0 5 3 Fy 0 : A y 5 T 20 0
Fx 0 :
Ax
20(5L)
Las reacciones totales en “A” y “B” son: 92 62
3 T 5
T 3L
Aplicando momentos de fuerza en el punto “A”: MA 0
B y 36 N
RA
37º
3 T(8L) 0 5
24T 500 T
R A 3 13 N Rpta. R B 36 N
125 N Rpta. 6
PROBLEMA : 06
PROBLEMA : 05
Una barra de peso despreciable, soporta el peso de un bloque de 20 N en la posición indicada, si está sostenida por un cable en el punto “B”. Hallar la tensión en el cable. B
Una barra que pesa 120 N soporta dos cargas P 60 N y Q 20 N , tal como se indica en la figura. Determinar la reacción en el apoyo A. L
3L
A
53º L
P
L Q
6L A
C
3L
5L
20 N
Resolución: Diagrama de cuerpo libre de la barra:
Darwin Nestor Arapa Quispe Tsen53º
Ax
L
T
3L
Ay
60 N
T cos 53º
L 20 N
120 N
120 N
L
2m
Ax
Tsen74º T
2m 1m
Ay
2da. condición de equilibrio: MA 0 :
3 4T 60 300 120 5
2(120) 3(20) 4(75) 6(Tsen74º ) 0 6(Tsen74º ) 120
T
125 N 6
Fy 0 :
1ra. condición de equilibrio: Fx 0 : A x T cos 53º
T cos74º A x 0
Ax
125 7 6 25
A x 7, 2 N
4 A x 200 A x 160 N 5 Fy 0 : A y Tsen53º 200
Fx 0 :
A y 160 200
120 Tsen74º A y 20 75 0
A y 40 N
La reacción total en A es: 2
A y 25
2
R
(160) (40)
R
(40)2(4)2 (40)2 R 40 17
Rpta.
RA
Ax 2 Ay2
RA
(7, 2)2 5 2 R A=
La tensión máxima que puede soportar el cable “P” es 120 N. Cuál es la reacción en el punto “A” para que el sistema se encuentre en equilibrio y el cable “P” a punto de arrancarse, después de colocar el bloque de 75 N de peso, si se sabe que el peso de la barra es 20 N.
A
P
Q
2m
125 24 6 25
Ay 5 N
Finalmente:
PROBLEMA : 07
2m
74º T cos74º
MA 0 : 24 6 T 120 25
T 200 N
2m 75 N
20 N
L(60) 3L(100) 4L(Tsen53º ) 5L(20) 0
12T 5(480)
Resolución: D.C.L. de la barra:
2m
74º B
1921 N Rpta. 5
PROBLEMA : 08
La figura muestra una barra ingrávida AB, de longitud 2 m. ¿a qué distancia del punto A se debe colocar un apoyo fijo para establecer el equilibrio de la barra?
60N
A
40N
B
Fundamentos de la Ingeniería Resolución:
60N
Fx 0 :
x
A
(2 x)
40N
Para la barra MC My
Mx
B
O
M x B x …………(1)
6k
MO 0 : 8k
60(x) 40(2 x) 60(x) 80 40x
x=0,8 m Rpta.
37
Cx Cy
PROBLEMA : 09
Se muestran dos barras articuladas en reposo, la barra AB es homogénea y la barra MC es de masa despreciable. ¿En qué relación están los módulos de las reacciones en B y en C? M es punto medio (g=10 m/s2) M
A
B
M C 0 : M y (6 k) M x (8 k) Mx
Reemplazando en (1): Bx
Bx2 By2
37
RB
C
Mx Cx C x
My
3W 4
Fy 0 :
Mx
Bx
6k
MB 0 : M y (6 k) W(6 k) M y W
Fy 0 :
3W 4
Fx 0 :
Resolución: Sea “W” el peso de la barra AB. Hacemos el DCL de la barra AB.
W
3W 4
La reacción total en B será: RB
6k
3W 4
My By W By 0
By
My Cy Cy W Finalmente: RC RC
2
Cx Cy 2
2
2 3W W 4
Darwin Nestor Arapa Quispe RC
PROBLEMA : 11
5W 4
3W RB RB =0,6 Rpta. Nos piden: = 4 ⇨ RC R C 5W 4 PROBLEMA : 10 La figura que se muestra es una viga en voladizo empotrada. Calcular las reacciones en el empotramiento. Desprecie el peso de la viga.
2m
2m
Resolución: Hacemos el DCL de la viga Como se vio en la parte teórica en un apoyo empotrado existen 3 reacciones (Dos fuerzas perpendiculares y un momento de empotramiento) 60N 2m 2m M A B Rx 40N Ry De la primera condición de equilibrio:
Fy 0 :
200N 2m
2m
Rx 0
R y 40N 60N
R y 20N De la segunda condición de equilibrio y de acuerdo a la convención de signos se tiene: MA 0 : M 40N(2m) 60N(4m)
M 160N.m R x=0 N; R y=20 N y M=160 N.m Rpta.
40N 2m
60N
4m
2m
60N
40N
Fx 0 :
En la figura se muestra un pórtico isostático, el cual consta de tres elementos rígidamente conectados. Despreciando el peso de cada elemento, se pide calcular las reacciones en los apoyos.
Resolución: Hacemos el DCL para el pórtico. 200N 2m
2m
40N 2m
60N
4m
2m A
Bx
Ay
B
By
De la primera condición de equilibrio: Fx 0 : Bx 40N 60N
B x 100N
Fy 0 : A y By 200N ……………(1) De la segunda condición de equilibrio: MA 0 : 200(2) 40(4) 60(2) B y(4)
B y 30N Reemplazando en (1)
A y 170N
L
Fundamentos de la Ingeniería 3L 53º
A
L
En la figura se muestra una barra homogénea de 8kg y 14m de longitud. Determine el momento resultante (en
g 10 m/s 2 .
N.m.) respecto de A.
40 N
A 37º
a) 100 d) 140
a) 20 N b) 24 N c) 12 N d) 48 N e) 60 N
D2
D1
5L
¿Cuánto registra el dinamómetro ideal? Si la barra es homogénea de 200 N y el bloque es de 50 N. c) 130
b) 120 e) 220
a) 100 N
L
b) 200 N c) 300 N
Se muestra una viga homogénea de 20 kg y un bloque de 5 kg en reposo, si las reacciones en A y B son Determine: R A /R B
RA
y
RB
g 10 m/s .
.
2
1 4 1 d) 5
B
b)
1 3
45º
e) 500 N
Sabiendo que la barra mostrada pasa 120N y la tensión en la cuerda horizontal es 90N. a) ¿Cuál es la reacción en el apoyo A? b) ¿Cuál es el valor de ?
7b
a)
L
d) 400 N
PROBLEMA : 05
5b
4b A
c)
1 2
A
e) 1
PROBLEMA : 03
a) 150N ; Tg
Determine la diferencia en las lecturas de los dinamómetros ideales D1 y D 2 si la barra homogénea de 12 kg permanece
horizontalmente g 10 m/s
L
PROBLEMA : 04
9m
100 N
L
Q
P
2
1 1
3 1 1 c) 180N ; Tg 3 1 4 e) 160N ; Tg 3
b) 150N ; Tg
1 2
3 1 2 d) 180N ; Tg 3
Darwin Nestor Arapa Quispe PROBLEMA : 06
Se muestra una placa rectangular homogénea de 6 kg en reposo. ¿Qué valor tiene la fuerza de rozamiento sobre el vértice B? ( g 10 m/s 2 ) a) 30 N b) 35 N B
d) 45 N
4 kg 53º
e) 50 N
(1)
PROBLEMA : 07
10 cm
A
Dos cadenas de 5 kg cada una, sostienen horizontalmente a un tablón homogéneo de 12 kg. Determine el mayor valor de la tensión en una de las cadenas 2
( AB 3BC ; g 10 m/s ).
40 cm
B
C.G.
a) 10 cm d) 15 cm
b) 12 cm e) 16 cm
c) 14 cm
PROBLEMA : 10
a) 80 N b) 40 N g
c) 90 N d) 130 N e) 120 N
PROBLEMA : 09
El sistema que se muestra está formado por la barra homogénea de 2 kg y un bloque (1) de 5 kg, si a 20 cm del extremo B se coloca un bloque de 2 kg. ¿Cuánto hay que desplazar al bloque (1) para que siga habiendo equilibrio?
C.G.
c) 40 N
r d) M Rr Rr e) M Rr
C
A
B
En el gráfico se muestra una barra homogénea de 2,8 kg y un bloque de 10 kg en reposo. ¿Qué valor tiene la reacción entre dichos cuerpos? a) 56,5 N g
b) 57,5 N PROBLEMA : 08
A partir de la figura, ¿qué masa debe tener el bloque, para que el disco homogéneo de masa M quede en reposo? R a) M Rr r b) M Rr Rr c) M R
c) 40 N d) 60,5 N
37º
e) 52 N
8b
2b
PROBLEMA : 11
g
R
r
En el gráfico se muestra una barra homogénea de 14 kg en reposo, si el resorte tiene una rigidez de 1700 N/m. ¿Qué deformación presenta? 2
( g 10 m/s ).
Fundamentos de la Ingeniería a) 12 cm b) 15 cm
a) 7 N
b
b
53º
c) 18 cm
c) 14 N
d) 20 cm
d) 16 N
e) 10 cm
e) 24 N
PROBLEMA : 12
2
cuerda? g 10 m/s ; AB BC ). C
a) 120 N c) 180 N
B
d) 190 N e) 200 N
2 en la cuerda. ( g 10 m/s ). AB 3,6 m ; CD 2,5 m
C
g
37
4 kg
D A
B
A
PROBLEMA : 16
PROBLEMA : 13
En la figura se muestra una barra homogénea de 4 kg apoyada sobre un bloque de 0,5 a punto de resbalar, si la 2
barra es lisa, determina s ( g 10 m/s ). a) 0,8
g
b) 0,75
45º
c) 0,5
e
d) 0,25 e) 0,15
En la figura se muestra una barra homogénea de 5 kg. Determine la tensión
a) 395 N b) 390 N c) 200 N d) 232 N e) 195 N
g 53º
74º 74º
PROBLEMA : 15
El sistema mostrado está en reposo, si la barra homogénea y el bloque son de 10 kg cada uno. ¿Qué valor tiene la tensión en la
b) 150 N
Articulación
b) 12 N
5b
A
PROBLEMA : 14
Se muestra dos barras homogéneas de 4,8 kg cada una unidas por su punto medio de una cuerda ideal. ¿Qué valor tiene la fuerza de tensión en dicha cuerda?
La viga AB se encuentra en equilibrio. Hallar su masa (no hay fricción),
(g 10m / s 2 ) . a) 5 kg b) 8 kg c) 10 kg d) 15 kg e) 18 kg
B 3b
b
53º
A
50N
Darwin Nestor Arapa Quispe
PROBLEMA : 01
Si el sistema se encuentra en reposo y la barra homogénea es de 8 kg, determine el 2
peso de la esfera (g 10 m/s ) . a) 20 N b) 40 N c) 60 N d) 80 N e) 100 N
a) 5º b) 8º
30º
Polea lisa
es a la tensión horizontal como 8 es a 3, hallar " "
c) 16º d) 30º
e) 22º
60º
PROBLEMA : 04
PROBLEMA : 02
La viga de masa “m” se encuentra en reposo, el dinamómetro ideal indica 300 N. Determine el número de pescados de 0,2 kg que se encuentra en ese instante, (Considere masa del platillo de 0,2 kg y g 10 m/s 2 ). M: punto medio de la viga. dinamómetro 37º
En la figura, determine el momento resultante respecto de “A” A) -1N.m 3m
B) -10N.m C) 10N.m
F1=25N
D) 1N.m
37°
F2=20N
2m
E) NA
M
PROBLEMA : 05
Calcular el momento resultante de las fuerzas mostradas respecto al punto “A”
74º
Platillo
a) 28 d) 34
a) +100N.m b) 30 e) 36
c) 32
PROBLEMA : 03
El diagrama muestra el equilibrio de una placa cuadrada homogénea apoyada en un horizonte rugoso, si el peso de la placa
b) +80N.m
60N 3m 10N
c) +200N.m d) +180N.m
2m
4m
e) +90N.m 50N
Fundamentos de la Ingeniería a) 30N b) 40N En la placa cuadrada de lado 2m. Calcular c) 25N el momento resultante con respecto al d) 60N punto “O”. e) 80N 10N 2m PROBLEMA : 06
12 m
O
a) -100 N.m b) -30 N.m c) -150 N.m d) -120 N.m e) -90 N.m
20N
40N
30N
Sobre una varilla sin peso, actúan dos fuerzas tal como se muestra en la figura. Determinar “x” si esta nos da la posición de la resultante. 10N
20N
a) 25N b) 20N c) 30N d) 35N e) 15N
8m 60°
Q
PROBLEMA : 11
Halla la máxima distancia x que puede avanzar el niño de 75 N sin que gire la barra homogénea de 100 N y 16 m de longitud
X 2m
x
PROBLEMA : 08 Calcular la longitud de la barra si se sabe que está en reposo y las tensiones en las cuerdas A y B están en relación de 5 a 1. a) 10 m b) 15 m c) 16 m d) 20 m e) 45 m
Una barra homogénea de 40N se mantiene en equilibrio como se indica. Si el bloque “Q” pesa 50N, halla la tensión en el cable. 4m
PROBLEMA : 07
a) 1,44 m b) 1,33 m c) 1,55 m d) 1,75 m e) 1,25 m
P
PROBLEMA : 10
2m 50N
22 m
a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 12
11m
PROBLEMA : 12 A
B
4m
PROBLEMA : 09
Determina el máximo valor del peso de “P” para que la barra se mantenga en forma horizontal. (La barra es uniforme y pesa 60N).
La barra mostrada en la figura carente de peso está en equilibrio. Determinar la tensión en la cuerda CD (P=200 N y Q=800 N). a) 500 N b) 100 N c) 1000 N d) 200 N e) 700 N
P 30
2m
2m
1m Q
Darwin Nestor Arapa Quispe a) 30°
PROBLEMA : 13
Una palanca de peso despreciable y de 26cm está articulada en B y sujeta en A aun cable de control. Sabiendo que el valor de la fuerza es 400 N. Hallar la reacción en B. 16cm
B 16cm
F
a) 350 N d) 450 N
b) 100 N e) 250 N
c) 50 N
PROBLEMA : 14 La barra quebrada en forma de “L”, es homogénea de peso “3W”. Determinar la magnitud de la fuerza “F” para mantener el segmento BC en posición vertical. BC=2AB a) 1,5W b) 2,5W
A
B
c) 2W d) 4,5W e) 3,5W
L
c) 45° d) 37°
L
6W
e) 16°
L W
A
10cm 30
b) 60°
C
F
Si la barra doblada en forma de T es de peso despreciable y en sus extremos están soldadas dos esferas de pesos W y 6W. Hallar el ángulo “θ” que define la posición de equilibrio
La barra homogénea de 80 N de peso y el bloque de 40 N se encuentran en equilibrio. Calcular la medida del ángulo “α” a) 50° b) 40° c) 60° d) 20° e) 30°
70
La figura muestra tres esferas A, B y C en equilibrio, cada varilla es ingrávida (peso despreciable). Determinar la tensión en la cuerda (1), sabiendo que la esfera A pesa 6N. a) 10 N b) 18 N c) 15 N d) 12 N e) 16 N
4m
A
2m
(2)
3m
(1)
5m
C
B
Una varilla de 40 cm de longitud es doblada en su punto medio (B) formando un ángulo agudo. Hallar el valor de “x”, para que el lado BC permanezca en posición vertical. La varilla es de un material uniforme y homogéneo.
Fundamentos de la Ingeniería a) 10 cm
B
b) 15 cm
Si la barra AB uniforme y homogénea mostrada en la figura peas 10 N y el coeficiente de rozamiento entre esta y el bloque Q es 0,8. Determinar el mínimo peso de Q para que el sistema se conserve en equilibrio.
c) 20 cm d) 12 cm
x
A
e) 14 cm C
La figura muestra una placa, que tiene la forma de un hexágono regular de 5 cm de lado, sobre el cual se encuentran actuando cuatro fuerzas. Encontrar el momento resultante con respecto a “O”. a) 1,7 N.m
53
126N
d) 2 N.m e) 2,2 N.m
B
A
2L
L
L
25N
48N
b) 2,4 N.m c) 1,8 N.m
a) 1 N b) 5 N c) 4 N d) 10 N e) 15 N
O
14N
Si el peso de la esfera mostrada es 10 N y el peso de la barra AB uniforme y homogénea es 8 N. determinar la tensión en la cuerda horizontal BC. M es punto medio de AB. C
a) 10 3 N
B
b) 8 3 N La figura muestra un sistema formado por dos poleas solidarias de radio R=80 cm y r=40 cm apoyado en una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento us=0,25 y una pared vertical completamente lisa. Determinar el máximo peso permisible del bloque “Q” manteniéndose el equilibrio, sabiendo que el peso del sistema es 14 N. a) 14 N b) 20 N c) 15 N
R
r
d) 16 N e) 14 N
Q
c) 6 3 N
M
d) 15 3 N e)
60
3N
La figura muestra una barra ingrávida AB, de longitud 2,5 m. ¿A qué distancia del punto “A”, se encuentra aplicado la fuerza resultante? a) 1 m b) 0,5 m c) 2 m d) 1,2 m e) 0,8 m
80N
20N
2,5m
A
B
Darwin Nestor Arapa Quispe
Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, determinar el peso del bloque B. el peso del bloque A es de 150 N y las barras rígidas son de peso despreciable.
2,5m
c) 172 N
2m
2m
d) 102 N e) 192 N
M
A
30
B
Una barra homogénea de 100 cm es doblada en un ángulo recto tal que AB=40 cm y BC=60 cm. Calcular la distancia “x” del cual se debe sostener. Para mantener el lado AB en posición horizontal.
A
El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Si la estructura es de peso despreciable y la esfera A pesa 50 N. hallar la tensión en la cuerda horizontal BC. a) 20 N b) 30 N c) 35 N d) 25 N e) 40 N
B
2,5m
a) 200 N b) 198 N
a) 2000N/m b) 4000N/m c) 1000N/m d) 3000N/m e) 7000N/m
a) 10 cm b) 6 cm c) 8 cm d) 4 cm e) 12 cm
A
x B
C
1m A
B
C
2m
El sistema físico mostrado en la figura consta de una barra AB uniforme y homogénea de 200 N de peso y 2 m de longitud cuyo extremo lleva soldado una esfera metálica de 500 N de peso. Si el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada por acción del resorte cuya longitud natural es de 0,8m. Determinar la contante de elasticidad del resorte. M es punto medio de AB
Una barra homogénea de peso 17 N, ha sido doblada en tres partes iguales, tal como indica la figura; si se mantiene en equilibrio. Determinar la reacción de piso rugoso sobre la barra. a) 2,25 N b) 4,25 N c) 4,75 N d) 8,5 N e) 4,625 N
Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Hallar en qué relación se encuentran los módulos de las fuerzas horizontales F1 y F2 aplicadas.
Fundamentos de la Ingeniería a) 4/3 b) 5/3 c) 3/5
F2
1
F1
define la posición de equilibrio del sistema mecánico. No existe equilibrio. a) 5,5° b) 4,5° c) 3,5° d) 1,4° e) 3,4°
3
N
M
d) 3/4
1 1
e) 1/2
Si la barra AB pesa 60 N y mide 15 m, determinar el peso del bloque Q para que la reacción en A sea colineal a la barra homogénea (AP=10 m) a) 30 N b) 60 N c) 90 N d) 15 N e) 45 N
P
B
Q 37
W1
W2
La figura muestra dos esferas del mismo material de radios a=3 cm y b=2 cm, sobre una superficie esférica de radio R=11 cm. No existe rozamiento. Sen Hallar la razón: Sen O a) 1/3 b) 1/4 c) 1/2 a b d) 1/5 e) 1
A
Si el peso de la barra horizontal AB, uniforme y homogénea es de 45 N, determinar la tensión en la cuerda que lo sostiene. (Q=10 N) a) 20 N b) 50 N c) 40 N d) 30 N e) 10 N
30
A
L
B
53
37
2L
L
La figura muestra dos esferas de igual radio, unidas por una barra de peso despreciable, apoyados sobre una superficie cilíndrica. Si el peso de las esferas son: W1=6 N y W2=5 N, determinar la medida dela ángulo “θ” que
En la figura mostrada las esferillas son de igual radio “r”, donde A, B y C tienen pesos iguales a 4 N cada uno. Hallar el peso de la esferilla D, tal que el sistema se encuentre en equilibrio del modo indicado, sabiendo que descansan sobre la superficie semiesférica de radio “5r”. a) 10 N b) 11 N c) 12 N d) 9 N e) 8 N
O 5r
A
B
C
D
Tres pequeñas esferas sólidas y rígidas de pesos: W1=1 N; W2=2 N; W3=3 N, que pueden moverse en un aro circular liso, están enlazados por tres varillas de pesos
Darwin Nestor Arapa Quispe despreciables y de igual longitud. Calcular la medida del ángulo “θ” que define la posición de equilibrio. Las tres esferas El sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio, hallar el máximo están contenidas en un plano vertical. peso permisible del bloque “Q”, manteniéndose el estado de equilibrio. El a) 45 ° W1 peso de la barra AB, uniforme y b) 37° homogénea, es de 9 N y el coeficiente de rozamiento estático entre la barra y la c) 16° W3 O polea mayor es 0,25. (R=2r) d) 53° W2 2a a a a) 3 N e) 30° b) 4 N B A R r c) 5 N d) 6 N Si la barra AB uniforme y homogénea que e) NA muestra la figura pesa 16 N y el bloque Q pesa 4 N, determinar las tensiones en las cuerdas “1” y “2”. a) 10 N; 6 N b) 10 N; 8 N c) 9 N; 9 N A d) 6 N; 6 N e) 5 N; 1 N
(1)
(2)
37
4m
B
2m
Q
Se tiene una esfera de radio 60 cm y de peso 2 N, del punto “O” se suspende mediante una cuerda un bloque P de peso 10 N, haciendo que la esfera se desvíe con respecto a su posición inicial. Si la longitud de la cuerda que ata la esfera es 40 cm. Calcular la medida del ángulo “θ” que defina la posición de equilibrio. No hay rozamiento. a) 16 °
Si la barra AB uniforme y homogénea que muestra la figura pesa 28 N. Hallar la tensión de la cuerda que lo sostiene.
b) 37° c) 30° d) 53° e) 35°
A
a
a) 5 N d) 20 N
2a
b) 10 N e) N.A
P
B
37
a
c) 15 N
Una estructura de peso despreciable es mantenida en equilibrio mediante F=70 N. Hallar la reacción en la articulación A. (Desprecie todo tipo de rozamiento)
Fundamentos de la Ingeniería del adulto sea el doble que del muchacho? El peso del cuerpo es 5 N.
a) 10 145 N b) 10 140 N
F
37
a) 30 cm b) 20 cm c) 10 cm d) 50 cm e) 40 cm
c) 5 140 N 3m
d) 5 135 N e) 10 135 N
2m
4m
Una barra homogénea de 100 N está equilibrio de la forma mostrada. W=100N; hallar la suma de deformaciones de los resortes A, B, C k=10 N/cm cada uno. a) 10 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 50 cm e) 25 cm
en Si las de
El sistema mostrado está en equilibrio, si las barras AB y CD son del mismo material y homogéneas. Hallar la reacción en “O”, si: W1 28N , W2 7N . No existe fricción.
D A
L
C
B
W2
53
a
3a
A
W
Las barras A y B son homogéneas. Hallar WE WA para que “B” permanezca vertical, se sabe que los ángulos α y β son complementarios. No hay fricción. a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5 d) 1/2 e) 1
5N
B
A
E
A
W1
O
C
37
B
2L
L
a) 54 N d) 65 N
b) 44 N e) NA
c) 56 N
Determinar la medida del ángulo “θ” parta mantener el sistema físico en equilibrio, donde a=30 cm y b=40 cm. b
Un adulto y un muchacho sostienen horizontalmente por sus extremos una barra de 2 m de longitud y 7 N de peso. ¿A a) 30° qué distancia del adulto debe colocarse un d) 16° cuerpo sobre la barra para que el esfuerzo
a
2m
2m b) 53° e) 45°
c) 37°
Darwin Nestor Arapa Quispe
El joven de 60 Kg está en reposo sobre el tablón homogéneo, si las balanzas (1) y (2) indican 500 N y 380 N respectivamente. A qué distancia de (1) está el C.G. del joven. 2m
(1)
a) 0,5 m d) 0,9 m
(2)
b) 0,6 m e) 1 m
c) 0,8 m
a) 625 N 375 b) N 4 650 c) N 3 625 d) N 6 875 e) N 3
r 2r 74
Se muestra una barra homogénea de 150N en reposo. Determine la deformación del resorte cuya constante de 2
CEPREUNA: 16/06/2014 Una carga de 200 N cuelga del extremo libre de una varilla homogénea y uniforme, cuyo peso es 40 N. una cuerda sujeta la varilla articulada desde el punto medio. Encuentre la tensión en la cuerda (1). a) 450 N b) 400 N c) 440 N d) 410 N e) 500 N
4kg
45
a
a) 10 cm d) 1 cm
3a
b) 5 cm e) 7,5 cm
c) 2,5 cm
30 30
¿Qué fuerza elástica experimenta el resorte debido a la acción de la esfera homogénea de 24 kg? Desprecie la masa dela barra y a fuerza de rozamiento.
(g 10 m/ s 2 )
rigidez es igual a 850 N/m. (g 10 m/ s )
Una barra AB de 14 m de longitud pesa 400 N, es rígida, uniforme y homogénea, y se apoya en una bisagra en C. por los puntos A y B se suspenden dos bloques de 250 N y 50 N de peso respectivamente. Calcular cual debe ser el peso del bloque Q que al colocarse en D logre que la barra quede en posición horizontal (ver figura).
Fundamentos de la Ingeniería a) 30°
Q C
A
B
b) 60°
D
8m
2m
37
c) 37°
d) 45°
G
e) 16° a) 54 N d) 65 N
b) 44 N e) NA
8m
c) 48 N
Una barra uniforme y homogénea de 130N de peso y 12 m de longitud se apoya en la bisagra A. Si en la posición indicada en la figura se encuentra en equilibrio. Calcular el peso apropiado del bloque Q que producirá una compresión de 60 N sobre la barra.
La armadura mostrada es imponderable y se encuentra en equilibrio sostenido en sus extremos por dos cargas P=20 N y Q=70 N. calcular la medida del ángulo “θ” que define la posición de equilibrio del sistema. No existe rozamiento. AB=90cm A C a) 37°
b) 53° c) 45°
P
d) 30° 4m
A
60cm
B
e) 74° Q
2m
53
D
C
Q
B 40N
a) 54 N d) 200 N
30cm
b) 440 N e) 270 N
c) 480 N
El sistema mostrado se encuentra en equilibrio, se sabe que el peso de la barra es P=15 N y mide 15 m, y además el peso del bloque suspendido es 5 N. Calcular la medida del ángulo “θ” que define la posición de equilibrio. NOTA: G=centro de gravedad de la barra horizontal.
Una barra de acero que pesa 1320 N descansa en un plano horizontal y una cuña C. En el extremo B cuelga un bloque que pesa 1000 N. Un equilibrista de 800 N de peso inicia su movimiento desde A. ¿En qué punto respecto a C la barra quedara en posición horizontal? 5m
15m
A
a) 0,5 m d) 2 m
B C b) 0,6 m e) 1 m
c) 4 m
Darwin Nestor Arapa Quispe a) 2 La barra mostrada está en equilibrio, pesa 200 N, y es uniforme y homogénea. El bloque pesa 60 N, y las constantes de elasticidad de los resortes son K 1 4N / cm , K 2 48N / cm . Calcular la suma de las deformaciones de ambos resortes.
K2
A
53
B
5a
3a
b) 3
L L
c) 4 d) 15/4
a
b
e) Ninguna
Calcular la reacción en el pasador A, si la barra uniforme y homogénea pesa 60 N, y las poleas son lisas e ingrávidas.
K1
a) 6 cm d) 5 cm
b) 7 cm e) 10 cm
c) 4 cm
A
La barra mostrada de peso despreciable está en equilibrio. Calcular el peso de las cargas P, si la longitud natural del resorte es l0=15 cm, y su constante de elasticidad es K=4 N/cm. K P
A
10cm
30
B
a
a) 54 N d) 65 N
a
P
b) 44 N e) NA
a
c) 10 N
2m
1m
1m
a) 54 N d) 65 N
b) 44 N e) 20 N
B
c) 10 N
Cada una de las barras de 0,5m de longitud tiene una masa m=10 kg, y están articuladas en B. si el coeficiente de rozamiento en C es 7/12, calcular el máximo ángulo “θ” para el equilibrio. A a) 16° b) 32°
c) 30°
B
d) 37° La figura muestra dos esferas homogéneas rígidas y de igual material, de radios de curvatura a=2 cm y b=3 cm, respectivamente. Las esferas se encuentran en equilibrio debido a la acción de dos cuerdas iguales de longitud L=7 cm. Hallar: Sen Sen Si: OA=OB=L
e) 90°
C
Para el mecanismo de freno mostrado, el coeficiente de rozamiento es 0,8. Calcular el valor mínimo de F que le impide girar al tambor. (R=40 cm y r=10 cm)
Fundamentos de la Ingeniería F
2
(R=20 cm, r=10 cm, g 10 m/ s )
30cm
40cm
r
R
F
r
0,6m
R
0,2m
56kg a) 54 N d) 65 N
b) 44 N e) 75 N
c) 10 N
Los discos mostrados son concéntricos y solidarios, y tienen un peso total 3P. Hallar los valores de µ y θ que definen la posición de equilibrio.
2R
R
a) 54 N d) 100 N
b) 180 N e) 960 N
En un cilindro homogéneo se enrolla un hilo cuyo extremo se sujeta de un parante en el punto superior del plano inclinado. El coeficiente de fricción entre el cilindro y el plano es . ¿Hasta qué ángulo máximo “θ” el cilindro no se deslizara del plano inclinado? a) arcsen(1 )
3 a) 30 ; 3 2 2 7 e) 21 ; 25
c) 45 ;
b) arctan(2) c) arctan()
P
4 b) 37 ; 3
d) 16 ;
16 25
En el sistema mostrado, el bloque de 9 kg desciende con velocidad constante; determine el módulo de fuerza F, perpendicular a la barra de masa despreciable, sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la barra y la polea de menor radio es 0,75.
c) 800 N
d) arccos(1 ) e) arctan(1 )
Darwin Nestor Arapa Quispe
a) 1 N El grafico nos muestra dos tablas homogéneas, de masa m, en reposo. ¿Qué fuerza horizontal es necesario aplicar en el extremo de la tabla horizontal, para que empiece a deslizar?
b) 2 N
c) 3 N d) 4 N
B
A
e) 6 N
1m
2m
a) s mg b)
s mg s sen 1
c)
s mg 2( s tan 1)
liso
d) s mg tan e) NA
s
Se muestran dos barras homogéneas idénticas articuladas y en reposo. si “mg” representa el módulo de la fuerza de gravedad sobre cada barra y F tiene un F
módulo de mg
3 2 . ¿Qué relación
existe entre θ y α?
Del sistema mostrado determine el coeficiente de rozamiento estático mínimo entre la pared y la rueda de radio R 2 , tal que no se pierda el equilibrio. ( R 2 3R 1 )
a) 2 b) 2 3
c) 3 d) e) 2
F
a) 3/5 37
b) 5/3 c) 9/5 d) 5/9
R2
R1
e) 3/8 s
Si la barra es de peso depreciable y los pesos de los bloques A y B se diferencian en 15 N. determinar el valor de la fuerza de reacción en el apoyo para que el sistema se mantenga en equilibrio.
Un cuadro uniforme de 13 N cuelga de dos cuerdas como se muestra. Encuentre la magnitud de la fuerza horizontal F necesaria para mantenerlo en su posición. a) 1 N b) 2 N
45
37
c) 3 N d) 4 N e) 5 N
a F 2a
Fundamentos de la Ingeniería Determinar la relación que debe existir entre la masa del bloque y de la esfera homogénea (M/m), apara que el bloque inicie su desplazamiento. a) 9/4 b) 4/9 c) 2/5 d) 3/8 e) 5/11
s M
1 3
m liso
d)
RA F 3 RD F
La viga PQ está articulada en Q y el extremo P se encuentra apoyada sobre un rodillo. Si a la distancia de 2 m del extremo P actúa una fuerza vertical de 10N. Hallar el modulo de la reacción en Q
74
F 2m
P Se muestra un cilindro homogéneo de 20N en reposo. Si la balanza indica 30 N. ¿Qué modulo tiene la reacción de la pared lisa? a) 15 N O
b) 12 N
a
37
a) 5,4 N d) 10,5 N
m
b)
RD F 2
P
RA F R D 2F
R A 3F c) RD F
b) 1,8 N e) 6,25 N
c) 8,25 N
x
A
Hallar las reacciones en A y D, causadas por la fuerza horizontal F aplicado en el extremo M. Despreciar el peso de las barras.
RA F
Q
Una tabla de masa “M” y longitud L se apoya como se muestra en la figura. Hallar la máxima distancia “x” a la que se puede desplazar el hombre de masa “m” a partir de B.
e) 5 N
a)
2m
a
c) 10 N d) 7 N
RA F 3 R D 3F
e)
4m
M
F
4m A
D
B
a
a
a)
(m M)a ML m
b)
M(L 2a) 2m
c)
Ma mL m
d)
Ma ML m M
e)
2a(M m) ML m
Darwin Nestor Arapa Quispe Una persona de masa “m” camina sobre la tabla AB. ¿Qué grafico representa mejor el comportamiento de la tensión T del cable con respecto al recorrido x? (mbarra m)
x
A
Una grúa fija tiene un peso de 100 N, y se usa para levantar un bloque de 240 N. la grúa se mantiene en su lugar por medio de una pasador es A y un patín en B. el centro de gravedad de la grúa está ubicado en G. Determine las componentes de la reacción en A.
B A
a) T
G
b) T
2m x
x
c) T
B
2m
d) T
x
x
Se muestra una barra homogénea de 4 kg y 1,2 m de longitud en reposo al interior de una cavidad semicilíndrica de 1 m de radio, si solo la parte BC es lisa. Determine el módulo de la fuerza de 2
rozamiento en P. (g 10 m/ s )
A 23
O
a)
A x 172N A y 124N
b)
A x 162N A y 144N
c)
A x 272N A y 224N
d)
A x 172N A y 244N
Las barras homogéneas de 1 m y 4 kg cada una se encuentran en reposo, si los rodillos son lisos y de masa despreciable determine el módulo de reacción en los 2
rodillos A y B. (g 10 m/ s ) .
C
30cm
A
P
30cm
B 20cm
B a) 15 N d) 20 N
4m
b) 14 N e) 16 N
c) 12 N
a) 56 N y 24 N c) 40 N y 40 N e) 20 N y 60 N
b) 50 N y 30 N d) 44 N y 36 N
Fundamentos de la Ingeniería En la figura se muestra dos barras AB y MN rígidas y homogéneas de 10 kg y 8 kg respectivamente, si el módulo de las reacciones en B y A son R B y R A , determine
RB 2 . (g 10 m/ s ) RA M 45
N
A b
a) 0,5 d) 1
B 3b
b) 0,75 e) 2
c) 0,25
