Xi.2 Matrice Si Determinanti

ALGEBRĂ clasa a XI-a 2.Matrice şi determinanţi Nr. Teorie crt. 1. Noţiunea de matrice

Exemple

Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane o funcţie : {1,2, … , }x{1,2, … , } → ℂ. ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ Sau = ∈ , (ℂ) ⋯ În cazul = avem matrice pătratică de ordinul . -transpusa matricei ⋯ ⋱ ⋮ = ⋮ ∈ ⋯

∈ ⋮

→

,

⋯ ⋱ ⋯ = = … = =

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

(ℂ),

=

⋮

=

=(

,

(ℂ)

⋯ ⋱ ⋯

⋮

1 0 ∈ 3 1

(ℂ) )∈

,

(ℂ) matrice linie

∈ , (ℂ) matrice coloană −1 1 2 3 (ℂ) = 2 4 6 ∈ 3 6 9 =

=

1 0 ∈ 3 1

=(

(ℂ) → )∈

,

=

(ℂ) →

1 3 ∈ 0 1 =

1. Rezolvaţi ecuaţia = , unde: 0 (ℂ), a) = ∈ 1 = ∈ , (ℂ), −1 −2 −1 b) = , = +1 1− 0 (ℂ). , ∈

2. Egalitatea a două matrice ,

=

⋮

∈

(ℂ) ,

(ℂ)

4 , 1

a)Ecuaţia nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip. b) = −2 −1 4 = +1 1− 0 1 = −1 = −1 −2=4 =6 → → +1 =0 = −1 1− =1 =0

3. Adunarea matricelor ,

∈ +

=

,

= + ⋮ +

(ℂ) ⋮

⋯ ⋱ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯

⋮

+ + ⋮ +

⋯ ⋱ ⋯

⋮ ∈

⋮

,

(ℂ)

2. Să se determine , , , ∈ ℝ astfel încât 2 −3 +3 matricele să fie egale: = , −1 2− −1 4 (ℝ). = , , ∈ 0 1 1. Calculaţi A+B, unde: 1 0 (ℂ) , a) = ∈ 0 1 = ∈ , (ℂ), −1 1 2 −1 4 (ℂ). b) = , = , , ∈ −1 3 0 1 a)Adunarea nu are sens, deoarece matricele A şi B nu sunt de acelaşi tip.

Profesor Mirela-Gabriela Blaga 1

1 2 −1 b) + = + −1 3 0 1−1 2+4 0 = = −1 + 0 3 + 1 −1

(ℂ), + este grup abelian 1)”+” este bine definită, 2)”+” este asociativă, 3)matricea nulă este element neutru, 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ∈ , = ⋮ , (ℂ), 0 ⋯ 0 4)orice matrice are opusă, − ⋯ − ⋮ ⋱ ⋮ − = ∈ , (ℂ), − ⋯ − 5)”+” este comutativă. 4. Înmulţirea cu scalari a matricelor ,

∈

,

(ℂ) şi

∈ ℂ → a ∈

,

4 1 6 ∈ 4

(ℂ)

2. Calculaţi A+B, unde: 1 2 3 −√3 4 = 2 4 6 , = 0 √2 3 6 9 0 6 ( ) , ∈ ℂ .

1. Calculaţi -2A, unde

(ℂ)

∈

(ℂ).

1 = 2 3

7 −5 , −9

2 3 4 6 , 6 9

−2 ∙ 1 −2 ∙ 2 −2 ∙ 3 −2 = −2 ∙ 2 −2 ∙ 4 −2 ∙ 6 −2 ∙ 3 −2 ∙ 6 −2 ∙ 9 −2 −4 −6 (ℂ) = −4 −8 −12 ∈ −6 −12 −18 2. Calculaţi 4 ∙ , unde 5. Înmulţirea matricelor ∈ ∈

=

∈

, ,

(ℂ) → (ℂ) ⋯ ⋱ ⋯ +. . + ⋮ +. . + , (ℂ) ⋮

∈

(ℂ)

,

⋮

⋮ .. ⋱ ..

⋯ ⋱ ⋯

⋮

=

+. . + ⋮ +. . +

Observaţii: 1.Înmulţirea matricelor AB are sens dacă numărul de coloane din matrice A este egal cu numărul de linii din matricea B, ( , )( , ) → ( , ). 2.Pentru BA avem ( , )( , ) unde numărul de coloane din matrice B este diferit de numărul de linii din matricea A, aşa că înmulţirea BA nu are sens. 3.În general, înmulţirea matricelor nu este comutativă, adică AB≠BA.

=

−1

∈

1. Calculaţi , unde: 1 2 −1 4 a) = , = , , −1 3 0 1 1 2 (ℂ), = b) = ∈ −1 3 5 1 2 3 (ℂ), c) = 2 4 6 ∈ 3 6 9 = (5 −1 0) ∈ , (ℂ), −2 1 3 1 d) = 1 , = 0 −5 −2 3 −3 0 −1 (ℂ). , ∈

(ℂ).

,

(ℂ),

∈ ∈

,

0 4 3

(ℂ),

1 0 , 2

1 2 −1 4 = = −1 3 0 1 1 ∙ (−1) + 2 ∙ 0 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = −1 ∙ (−1) + 3 ∙ 0 −1 ∙ 4 + 3 ∙ 1 −1 4 + 2 −1 6 (ℂ), = ∈ 1 −4 + 3 1 −1

a)

b) =

=

1 3

2 5

−2 ∈ 3 −5

1 ∙ + 2 ∙ (−1) = = −1 3 ∙ + 5 ∙ (−1) , (ℂ),

c)Înmulţirea nu are sens, deoarece matricea A are 3 coloane, iar matricea B are o linie.


−2 1 3 1 0 1 1 0 −5 −2 4 0 3 −3 0 −1 3 2 −2 ∙ 1 + 1 ∙ (−2) + 3 ∙ (−1) = 1 ∙ 1 + 0 ∙ (−2) + (−5)(−1) 3 ∙ 1 + (−3) ∙ (−2) + 0 ∙ (−1) −2 ∙ 0 + 1 ∙ 4 + 3 ∙ 3 −2 ∙ 1 + 1 ∙ 0 + 3 ∙ 2 1 ∙ 0 + 0 ∙ 4 + (−5) ∙ 3 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 + (−5) ∙ 2 3 ∙ 0 + (−3) ∙ 4 + 0 ∙ 3 3 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 + 0 ∙ 2 −7 13 4 (ℂ). = 6 −15 −9 ∈ 9 −12 3

( (ℂ),∙) este monoid, 1)”∙ ” este bine definită, 2)”∙ ” este asociativă, 3) matricea unitate este element neutru, 1 0 … 0 (ℂ). = 0 1 … 0 ∈ … … … … 0 0 … 1

6. Ridicarea la putere a unei matrice =

∙

∙ … ∙ ,

∈

(ℂ),

∈ ℕ∗ ,

=

d)

≥2

2. Calculaţi și ( = ∙ ), unde: 1 2 −1 4 (ℂ), a) = , = , , ∈ −1 3 0 1 1 2 (ℂ), = b) = ∈ ∈ , (ℂ), −1 3 5 1 2 3 (ℂ), c) = 2 4 6 ∈ 3 6 9 = (5 −1 0) ∈ , (ℂ), −2 1 3 1 0 1 d) = 1 0 −5 , = −2 4 0 , 3 −3 0 −1 3 2 (ℂ). , ∈ 1. Calculaţi , unde: −1 0 (ℂ), a) = ∈ 0 −1 1 0 0 (ℂ), b) = 2 1 0 ∈ 3 2 1 (ℂ), c) = ∈ − 1 2 5 −2 (ℝ), d) = 0 1 ∈ 5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 ∈ (ℝ). e) = 0 0 0 1 1 0 0 0 =

a) =

∙

=

∙ = , = ,

1 0 = 0 1 ş.a.m.d. = ă = ă

b)Matricea A are formă diagonală şi o descompunem astfel 1 0 0 0 0 0 = 0 1 0 + 2 0 0 = + 0 0 1 3 2 0 apoi, utilizăm Binomul lui Newton =( + ) = + + + + ⋯+ , unde Profesor Mirela-Gabriela Blaga 3

0 0 0 = 2 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 = 2 0 0 2 0 0 = 3 2 0 3 2 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 → = 0 0 0 0 0 0 0 şi = , = … =

+ ( − 1) = + + 2 1 0 0 0 = 0 1 0 + 2 0 0 1 3 ( − 1) 0 0 0 + 0 0 0 2 4 0 0

c)

0 0 0 0 4 0 0 0 0

0 0 0

+

=

=

∙

= −

−2 2 = − 2

− 2 2

0 0 2

0 0 0

1 = 2 2 +

0 1 2

0 0 1

−

2 −

− şi demonstrăm prin metoda inducţiei matematice. Presupunem cos ( + 1) ( + 1) = verificăm − ( + 1) ( + 1) = ∙ = − − cos ( + 1) ( + 1) = adevărat. − ( + 1) ( + 1) Deducem

=

∙ = 1 2 5 −2 1 2 5 −2 = 0 1 5 0 1 5 0 0 1 0 0 1 1 2( + ) 5( + ) − 2( + ) = 0 1 5( + ) 0 0 1 = = ∙ = = = → = ( ) = ∙ = ∙ = ( ) d)


0 e) = 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 = ∙ = 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 = 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 = 0 1 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ⎧ 0 0 1 0 ⎪ 0 0 0 1 , = 4 + 1, ⎪ 1 0 0 0 ⎪ 0 0 1 0 ⎪ ⎪ 0 0 0 1 , = 4 + 2, ⎪ 1 0 0 0 0 1 0 0 = ⎨ 0 0 0 1 ⎪ 1 0 0 0 , = 4 + 3, ⎪ 0 1 0 0 ⎪ 0 0 1 0 ⎪ 1 0 0 0 ⎪ 0 1 0 0 ⎪ 0 0 1 0 = , =4 , ⎩ 0 0 0 1

0 0 1 0 = 0 1 0 0

∈ℕ

∈ℕ

∈ℕ

∈ ℕ∗

cosx 0 sinx (ℂ), ∈ ℝ ∈ 0 1 0 sinx 0 cosx a)Calculaţi det ( ). b)Arătaţi că ( ) ( ) = ( + ). c)Determinaţi numerele reale pentru care ( ( )) = . ( 2012) 2. ( ) =

7. Urma matricei pătratice TrA=urma matricei pătratice este suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A. = TrA=

⋯ ⋱ ⋯

⋮ +

⋮ +⋯+

∈

(ℂ)

1.Calculaţi urma matricei A, unde: −1 0 (ℝ), a) = ∈ 0 −1 1 (ℂ), b) = ∈ −1 (ℂ), c) = ∈ − 1 − √3 2 (ℂ), d) = ∈ 4 1 + √3 1 log 5 (ℝ). e) = ∈ log 3 2


a)TrA = −1 − 1 = −2 b)TrA = i + i = 2i c)TrA = + =2 d)TrA = 1 − √3 + 1 + √3 = 2 e)TrA = 1 + 2 = 3 2.Calculaţi urma matricei A, unde: 5 4 (ℝ), a) = ∈ 6 9 1+ 3 (ℂ), b) = ∈ −1 1−2 1 1 (ℂ), c) = ∈ 1 + √7 2 (ℂ), ∈ 1 + √7 √7 3 6 (ℝ). e) = ∈ 6 9 1.Calculaţi determinanţii ataşaţi matricelor date: −1 0 (ℝ), a) = ∈ 0 −1 1 (ℂ), b) = ∈ −1 (ℂ), c) = ∈ − 1 − √3 2 (ℂ), d) = ∈ 4 1 + √3 1 log 5 (ℝ). e) = ∈ log 3 2 d) =

8. Determinantul de ordinul doi Determinantul ataşat matricei

=

este det

∈ ℂ.

=

=

−

∈

Observaţie: Matricea este o funcţie, iar determinantul este un număr.

(ℂ)

−1 0 =1−0=1 0 −1 1 b) = + 1 = −1 + 1 = 0 −1 c) = + =1 − 1 − √3 2 d) = 1 − √3 1 + √3 − 8 4 1 + √3 = 1 − 3 − 8 = −10 1 log 5 e) = 2 − log 3 ∙ log 5 = 2 − 1 log 3 2 =1 a)

2.Calculaţi determinanţii ataşaţi matricelor date: 5 4 (ℝ), a) = ∈ 6 9 1+ 3 (ℂ), b) = ∈ −1 1−2 1 1 (ℂ), c) = ∈ 1 + √7 2 (ℂ), ∈ 1 + √7 √7 3 6 (ℝ). e) = ∈ 6 9 1.Să se arate că + 2 + = , unde −1 0 (ℝ). = ∈ 0 −1 d) =

9. Teorema Hamilton-Cayley (T.H-C) pentru matrice pătratice de ordinul doi


Fie

=

∈

Varianta1. Aplicăm T.H-C − (−1 − 1) + 1 ∙ = → +2 + = Varianta2. Calculăm −1 0 −1 0 1 0 = = şi 0 −1 0 −1 0 1 1 0 −1 0 +2 + = +2 0 1 0 −1 1 0 0 0 + = = 0 1 0 0

(ℂ).

− ∙ + ∙ = sau −( + )∙ +( − )∙

=

Propoziţie.Ecuaţia ataşată teoremei este − ( + ) ∙ + ( − ) = 0 cu soluţiile , ∈ ℂ , atunci − − ∙ ∙ + , ≠ = − − + (1 − ) , = = ∈ ℕ∗ , ≥ 2. 10. Determinantul de ordinul trei Metode pentru calcul 1.Calculul determinantului folosind Regula triunghiului = = −

+ −

+

−

2.Calculul determinantului folosind Regula lui Sarrus =

2. Se consideră matricea

=

1 2 . ( 3 5

′2013)

a)Calculaţi det A. b)Arătaţi că −6 = . c)Determinaţi inversa matricei = − 6 . Variantă.Din b) avem ( − 6 ) = , atunci inversa matricei = − 6 , det ≠ 0 este matricea A, deoarece ∙ = . 1.Calculaţi determinanţii: 1 2 3 a) 2 4 6 3 6 9 −√3 4 7 b) 0 √2 −5 0 6 −9 −2 1 3 c) 1 0 −5 3 −3 0 1 0 1 d) −2 4 0 −1 3 2 1 2 5 −2 e) 0 1 5 0 0 1

1 2 3 a) 2 4 6 = ℎ = = + + − 3 6 9 − − 1∙4∙9+2∙6∙3+2∙6∙3−3∙4∙3−6∙6∙1 −2 ∙ 2 ∙ 9 = 36 + 36 + 36 − 36 − 36 − 36 = 0 3.Calculul determinantului folosind dezvoltarea după sau utilizând proprietăţile determinanţilor o linie observăm că avem două linii/coloane proporţionale → determinantul este nul. = −√3 4 7 0 √2 −5 = 0 6 −9 4.Calculul determinantului folosind dezvoltarea după ă ă o coloană = −√3 ∙ √2 −5 = −√3(−9√2 + 30) 6 −9 = +

−

+

+

−

+

b)


Observaţie: Semnele cu care apar elementele provin + − + din signatura permutărilor sau astfel − + − + − + indiferent de valoarea sau expresia care ocupă un loc în determinant. 5.Calculul determinantului folosind proprietăţile→12 Observaţie: Pentru calculul determinanţilor de ordin ≥ 4 se utilizează metodele 3, 4, 5.

−2 1 3 1 0 −5 3 −3 0 = c) = −2 1 3 1 0 −5 = −2 ∙ 0 ∙ 0 + 1 ∙ (−3) ∙ 3 + 3 ∙ 1 ∙ (−5) − −3 ∙ 0 ∙ 3 − (−2) ∙ (−3) ∙ (−5) − 1 ∙ 1 ∙ 0 = = 0 − 9 − 15 − 0 + 30 − 0 = 6 1 d) −2 −1 = +1 ∙

0 1 ă 4 0 = 3 2 4 0 −2 0 −2 −0∙ +1∙ 3 2 −1 2 −1 = 8−0−2= 6 1 2 e) 0 1 0 0

5

−2 5 1

=

1 0

4 3

5 =1 1

2.Calculaţi determinanţii: −1 5 3 a) 4 −2 2 −3 1 6 0 5 3 b) 4 −2 2 0 1 6 2 −1 1 c) 5 3 − 7 3 2 3.Determinaţi numerele reale 1 det ( ) = 0, ( ) = 1

pentru care . ( 1

11. Determinant de tip Vandermonde 1

1

1 =

− −

Folosind proprietăţile determinanţilor obţinem: 1 0 0 = − − − − − − = − − − − = ( − )( + ) ( − )( + ) 1 1 = ( − )( − ) + + = ( − )( − )( − )

1.Calculaţi: 1 1 1 1 − = = 0 − − 0 − − − = − − 1 + = ( − )( − ) 1 + = ( − )( − )( − ) 2.Calculaţi: 1 1 1 1


− −

′2013)

3.Arătaţi că dacă , , sunt lungimile laturilor 1 1 1 unui triunghi şi 2 2 2 = 0, atunci 3 3 3 triunghiul este isoscel. ( ′2012) 12. Proprietăţile determinanţilor 1.Dacă într-un determinant toate elementele unei linii sau coloane sunt nule, atunci determinantul este nul. 2.Dacă un determinant are două linii sau coloane identice, atunci determinantul este nul.

1 1

2 4

0

0

3 5 =0 0

1 4 7 1 4 7 =0 2 9 5

3.Dacă elementele a două linii sau coloane ale unui determinant sunt proporţionale atunci, determinantul este nul. 4.Dacă o linie sau o coloană a unui determinant este o combinaţie liniară de celelalte linii sau coloane, atunci determinantul este nul.

1 2 0 3 6

5.Dacă toate elementele unei linii sau coloane ale unui determinant sunt înmulţite cu un număr k, atunci valoarea determinantului iniţial o înmulţim cu k. 6.Dacă într-un determinant se permută între ele două linii sau două coloane, atunci determinantul obţinut este opusul determinantului iniţial. 7.Dacă într-un determinant se adunǎ la elementele unei linii sau coloane, elementele altei linii respectiv coloane înmulţite cu un acelaşi numǎr, atunci valoarea determinantului nu se schimbă.

8.Determinantul unei matrice pătratice este egal cu determinantul matricei transpuse. det = det( ), A  M (ℂ)

(

=3 )

2 1 7 =0 3 4 7

(

+

7

2

7 9 2

3 1 4 k 2k 5k 4 8 =4 3 5 1 2 5

=k 3 1 4 1 2 5 1 2 3 5 0 1 4

1 3 0

9

=

)

0 1 4 = - 1 2 5 (permutare 3 1 2 3 1 2

cu

)

1 2 1 −2 2 3 −1 = − 1 4 6 1 2−2∙1 1−1 1 0 0 = 2 3 − 2 ∙ 2 −1 − 2 = 2 −1 −3 1 4−2∙1 6−1 1 2 5 −1 −3 = =1 2 5 sau calculând cu Regula triunghiului avem 1 2 1 2 3 −1 = 18 + 8 − 2 − 3 + 4 − 24 = 1 1 4 6 1 2 3 det = 2 3 −1 = 11 1 4 6 1 2 1 ( ) det = 2 3 4 = 11 3 −1 6


9.Dacă A şi BM (ℂ), atunci det (AB)=det A ∙ det B.

10.Dacă o linie sau o coloană a unui determinant este o combinaţie liniară de forma aij+bij, atunci det A=det A ij+det Bij.

−2 1 3 1 = −2 −1 det ∙ det −7 = 6 9 1.

=

1 3 0 −5 → det = 6⎫ ⎪ −3 0 → 0 1 ⎬ 4 0 → det = 6 ⎪ ⎭ 3 2 = 36 13 4 = 36 −15 −9 → det −12 3

(ℝ) şi 2.Dacă , ∈ = , atunci det( + ) ≥ 0. det( + ) = det[( + )( − )] = = det( + ) det( − ) = = det( + ) det( + ) = = det( + ) det( + ) = = |det( + )| ≥ 0 pentru că ∙ ̅ = | | , ∈ ℂ … + + … + = … … … … … = + … … 1 + 1 1 + = 1 1 + 1 1.Calculaţi determinanţii: =(

a) +

+

+ +

+

+

+

1 1 1

=0

) + +

= 1 =( +

1

1

+ )

= ( + + )( + + − − − ) 1 = − ( + + )[ ( − ) + ( − ) 2 +( − ) ] 7 5 b)det , unde = , ∈ ℕ∗ , ≥ 2. −2 3 det = (det ) = 31 2.Calculaţi: 1 1 1 a) ′2013 1 − 1 1 1 b) 1 ′2013 1 − 1 1 1 1 1 c) 1 −1 1 − ′2013 −1 1 Profesor Mirela-Gabriela Blaga 10

13. Rangul unei matrice Dacă ∈ , (ℂ),A nenulă,atunci rangul matricei A este cel mai mare dintre ordinele minorilor nenuli ai matricei A. Dacă A=O , matricea nulă, atunci rang A =0. “minor=determinant de ordin ≤ min ( , )”

Algoritm pentru stabilirea rangului matricei A 3 1 4 6 0 ∈ = , (ℂ) 1 0 1 −2 3 6 ≠ 0 → rang ≥ 1 3 =0 4 6 1 = −4 ≠ 0 → rang ≥ 2 4 0 3 1 4 6 0 = −6 ≠ 0 → rang = 3 1 0 1 Observaţie: rang ≤ min (4,3)

1.Aflaţi rang A : 2 4 a) = 3 7 2 5 3 b) = 2 0 −1 0 2 1 2 4 c) = 3 6 1 2 3 d) = 2 4 6 3 6 9 1 1 e) = 1 −1 1 , discuţie după −1 1 1 2 −1 f) = 2 4 1 1 2 −1 g) = 2 4 −2

∈ℝ

= 5 ≠ 0 →rang A=2 = 6 ≠ 0 →rang A=3 = 0 → 2 ≠ 0 →rang A=1

a) det b) det c) det

d) det = 0 și oricare din determinanții de ordinul doi sunt nuli → 1 ≠ 0 →rang A=1 =

e) det →

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

−1

∈ ℝ − {±1} → det ≠ 0 ș 1 1 = 1 → det = 0 ș ≠0 1 −1 1 −1 = −1 → det = 0 ș ≠ 0 −1 −1

=3 =2 =2

1 2 −1 2 4 1 Calculăm determinanţii de ordinul doi ataşaţi matricei A 1 2 ∆ = =0 2 4 1 −1 ∆ = =3≠0 2 1 2 −1 ∆ = =6≠0 4 1 şi constatăm că cel puţin unul este diferit de zero, atunci rang A=2. f) =

1 2 −1 g) = 2 4 −2 1 2 ∆ = =0 2 4 1 −1 ∆ = =0 2 −2 2 −1 ∆ = =0 4 −2 constatăm că toţi determinanţii de ordinul doi sunt zero, dar există un element diferit de zero şi atunci rang A=1. Profesor Mirela-Gabriela Blaga 11

2.Aflaţi rang A : 1 5 a) = −2 −10 9 3 b) = −2 4 1 2 3 c) = 2 3 −1 1 4 6 1 1 d) = 1 1 , discuţie după 1 1 1 −5 2 1 6 e) = 3 0 1 0 10 −4 −2 −12 14. Matrice inversabilă AM (ℂ) → det ≠ 0 ∗

=

: 2 4 (ℂ) a) = ∈ 3 7 2 5 3 b) = 2 0 −1 ∈ 0 2 1

∈ℝ

1.Aflaţi ∗

∈

(ℂ),

-transpusa matricei -matricea adjunctă

(ℂ)

=2≠0→∃ + − 2 3 = → sunt semnele locurilor, − + 4 7 iar în dreptul acestora vom scrie elementul obţinut prin bordarea(tăierea) liniei şi coloanei fiecărui element din matricea , astfel +7 −4 ∗ = → −3 +2 1 1 7 −4 ∗ (ℂ) = = ∈ det 2 −3 2 Verificare: = sau = a) det

Observaţie: AM (ℤ) este inversabilă în M (ℤ) dacă și numai dacă det = ±1.

=6≠0→∃ 2 2 0 = 5 0 2 3 −1 1 Varianta1. + − + ∗ − + − = + − + Bordăm prima linie şi prima coloană din , calculăm determinantul care va ocupa locul 0 2 5 2 = =2 = = −1 −1 1 3 1 2 0 5 0 = = −5 = =2 3 −1 −1 1 2 0 2 2 = = 2 = = −8 3 1 3 −1 2 0 2 0 = = 4 = =4 0 2 5 2 2 2 = = −10 5 0 +2 −(−1) +(−5) ∗ +2 −(−8) = −2 +4 −4 +(−10) b) det


1 = det Verificare:

∗

1 −5 1 2 = ∈ −2 2 8 6 4 −4 −10 = sau =

(ℂ)

Varianta2. = = ∗

=

matricea adjunctă este matricea complemenţilor algebrici obţinuţi din prin bordarea(tăierea) liniei şi coloanei fiecărui element = (−1) = (−1) ... = (−1) : −3 0 a) = 2 4 −1 2 2 b) = 2 −1 2 2 2 −1 2.Aflaţi

3.Determinaţi numerele întregi pentru care 1 1 inversa matricei = 1 −1 1 are elementele −1 1 numere întregi. ( ′2013)

15. Aplicaţii în geometrie Fie punctele ( ,

Ecuaţia dreptei

), (

,

), (

1 1 = 0. 1 1 1 =0 1

este

, , coliniare ⟺ ∆ =

Aria triunghiului ABC este

,

=

|∆|

.

).

4.Determinaţi inversa matricei (2), unde 1 1 ( )= 1 ′2013) 1 . ( 1 1 1.În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( , ), ∈ ℕ∗ . Determinaţi numărul natural , ≥ 3, pentru care aria triunghiului este egală cu 1. ( ′2013) (1,1), (2, 2 ), ( , ) 1 1 1 ∆ = 2 4 1 = −3 +2 1 |∆| −3 +2 = = 2 2 −3 +2 =1 2


−3 +2 =2 −3 =0 ( − 3) = 0 → = 3 2.Se consideră punctele (2 , 3 ), ∈ ℕ. a)Scrieţi ecuaţia dreptei . b)Demonstraţi că punctele , , nu sunt coliniare. c)Determinaţi numărul natural pentru care aria triunghiului este egală cu 216. ( ′2011)

Bibliografie

Manual pentru clasa a XI-a, Art Grup Editorial Manual pentru clasa a XI-a, Editura Mathpress Didactic.ro - comunitatea online a cadrelor didactice SUBIECTE EXAMENE NAŢIONALE 2012 - 2013


Xi.2 Matrice Si Determinanti

Recommend Documents