15
Akreditacija: Ministarstvo prosvjete i kulture RS broj: 6-01-353/05; registracija, Osnovni sud Banja Luka. Tel: 00387 (0) 51 349 580 fax: 349-581; dekanat: 00387 (0) 51 349 582, Management Management 322 850, Odjeljenje u Bijeljini 00387 (0) 55 225 999; Odjeljenje u Travniku 00387 (0) 30 517 454
Predmet: Viša matematika
SEMINARSKI RAD Matrice
Profesor: Esad Jakupović
Student: Tuševljak Njegoš
Banja Luka januar 2009 godine
15
Sadržaj : 1. Uvod
3
2. Determinanta matrice
4
2.1. Pojam, način izračunavanja i osobine determinanti 4 3. Izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda 4 4. Osobine determinanti
6
5. Inverzna matrica
6
5.1. Način izračunavanja inverzne matrice 6 6. Rang matrice 8 7. Elementarne transformacije matrice 9 8. Matrične jednačine 11 9. Primjena matričnih jednačina 10.
Literatura 15
13
15
1. UVOD Da bi smo mogli govoriti o matričnim jednačinama potrebno je prvo znati šta je to matrica, njene osobine te kako se vrše osnovne operacije sa matricama. Matrica (MxN) definiše se kao pravougaoni raspored realnih brojeva svrstanih u M redova i N kolona. Matrice mogu korisno poslužiti pri rješavanju mnogih problema a naročito u svrhu rješavanja sistema linearnih jednačina. kolona a a A = ... a
11
a12
...
21
a 22
...
...
...
a M 2
...
M 1
a1 N
red ... a a 2 N
MN
Brojevi aij (i= 1,2,…,M ; j= 1,2,…,N) su elementi matrice A. Član a ij se obično upotrebljava za označavanje tipičnog elementa matrice A. Broj redova i kolona, dan s MxN, zove se red ili dimenzija matrice.
Matrica reda 1x1 je skalar (jedan red, jedan kolona).
Matrica reda Mx1 zove se vektor kolona (samo jedan kolona).
Matrica reda 1xN zove se vektor red (samo jedan red).
15
Matrica s jednakim brojem reda i kolona je kvadratna matrica. Dijagonala matrice je kvadratna matrica čiji je svaki element izvan
glavne dijagonale jednak nuli. a 0 A = ... 0
11
0
...
a 22
...
...
...
0
...
0
... a 0
MN
Ovo su samo neki od osnovnih pojmova koje je potrebno poznavati da bi lakše riješili matričnu
jednačinu.
Međutim, da bi se riješila matrična
jednačina potrebno je izračunati njenu determinantu, inverznu matricu, rang ili izvršiti potrebne transformacije da bi se izračunao rang matrice.
2. DETERMINANTA MATRICE 2.1.
Pojam, način izračunavanja i osobine determinanti
Stroga definicija determinante matrice, baš kao i stroga definicija matrice je matematički dosta zahtjevna stoga je nećemo ovdje navoditi. Smatrat ćemo da je determinanta kvadratne matrice A∈ RNxN realan broj pridružen toj matrici. Označavat ćemo ga sa det A ili
A
. Napomenimo,
da se determinanta pridružuje isključivo kvadratnoj matrici. Ukoliko je matrica formata NxN, za determinantu pridruženu toj matrici kažemo da je reda N.
3. IZRAČUNAVANJE DETERMINANTI DRUGOG I TREĆEG REDA
Neka je
a A = c
Po definiciji je
b
proizvoljna
d
a A = c
b
matrica formata 2x2.
= ad − bc .
d
15
Dakle, determinanta drugog reda se izračunava tako što se od proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali (ad) oduzme proizvod elemenata na sporednoj dijagonali (bc) te determinante.
Primjer. Izračunajmo determinantu matrice Imamo determinantu
Neka je
a A = a a
A =
3
−2
4
3
3 A = 4
− 2 . 3
= 3 x3 − 4 x (−2) = 9 +8 =17 .
c1
1
b1
2
b2
c 2
3
b3
3
c
proizvoljna matrica formata 3x3. Determinantu
matrice A ćemo izračunati na sljedeći način:
s desne strane determinante ćemo dopisati prve dvije kolone matrice A
a zatim množimo elemente na tri glavne dijagonale, saberemo ih
i od tog zbira oduzmemo zbir elemenata sa tri sporedne dijagonale.
Imamo: A
a1
b1
c1 a1
b1
= a2
b2
c2 a 2
b2
a3
b3
c3 a 3
b3
( a1b 2c 3 +b1c 2 a 3
=
+c1 a 2b 3
) −(b1a 2c 3 +a1c 2b3 +c1b 2 a 3)
Postoje i drugi načini izračunavanja determinanti trećeg reda ali je ovaj najjednostavniji pa ćemo ga stoga i koristiti.
Primjer. Izračunajmo determinantu matrice
1 A = − 2 0
2 3 2
0
−1
1 .
Imamo: 1 det A
2
0
1
= −
3
1
−
0
2
−
2
3 −4 −2
=−
2
1 0
9
=−
2 3 2
=
(1 x3 x ( −1) + 2 x1 x 0 +0 x ( −2) x 2) −( 2 x ( −2) x (−1) +1 x1 x 2 +0 x3 x0)
=
15
4. OSOBINE DETERMINANTI U prethodnom primjeru uočili smo da ukoliko u determinanti postoji dosta nula, lakše je izračunati njihovu vrijednost. Sada ćemo navesti nekoliko osobina determinanti, pomoću kojih ih je lakše izračunati.
Za svaku kvadratnu matricu A je det A= det A T.
Ako su u matrici A elementi jedne vrste ili kolone jednaki ili proporcionalni elementima druge vrste ili kolone, determinanta je jednaka nuli
Determinanta se množi (dijeli) brojem različitim od nule tako da se elementi jedne vrste ili kolone determinante pomnože (podijele) tim brojem
Ako dvije vrste ili kolone zamijene mjesta, determinanta mijenja predznak
Vrijednost determinante ostaje ne promijenjena ukoliko sve elemente neke vrste ili kolone pomnožimo sa nekim realnim brojem i saberemo sa odgovarajućim elementima neke druge vrste ili kolone.
Za kvadratne matrice A i B, istog formata, vrijedi det(AxB)= det A x det B.
5. INVERZNA MATRICA Matricu A za koju vrijedi A x A-1= A-1 x A= EN, zovemo inverznom matricom matrice A. Ukoliko je det A= 0, onda matrica nema inverznu matricu i takva matrica se naziva singularna matrica. Ukoliko je det A ≠ 0, matrica je invertibilna i vrijedi:
A-1= 1/ detA x A* 5.1.
Način izračunavanja inverzne matrice
Neka je dana matrica A(aij)nxn. Inverznu matricu matrice A izračunavamo na sljedeći način:
15
Izračunamo determinantu detA matrice A, ukoliko je ona jednaka 0
onda matrica nema inverzne tako da je ne možemo ni izračunati, međutim, ako je detA ≠ 0, onda idemo na sljedeći korak
Odredimo kofaktore Aij svih elemenata aij matrice A
Formiramo matricu kofaktora, pa je transponujemo, na taj način smo dobili matricu A*= (Aij) T
Podijelimo matricu A* sa det A
Na taj način smo dobili matricu A-1= 1/ detA x A*
Primjer. Ispitajmo da li matrica
1 A = − 2 0
0
2
−1
3
1
2
ima inverznu matricu i
ukoliko ima odredimo je. Izračunajmo determinantu matrice A. 1 det A
2
0
1
= −
3
1
−
0
2
−
2
3 −4 −2
=−
2
2
3
1 0
=
(1 x3 x ( −1) + 2 x1 x 0 +0 x ( −2) x 2) −( 2 x ( −2) x (−1) +1 x1 x 2 +0 x3 x0)
2
9
=−
Vidimo da je det A ≠ 0, pa dana matrica ima inverznu, sad prelazimo na sljedeći korak, izračunavanje kofaktora svih elemenata matrice A. Imamo: A11
A21
A31
=
=
=
3
1
2
−
2
0
2
−
2
0
3
1
1
1
=
3 x ( −1)
=
2
1x 2
=−
1
0
0
−
−
A22
=
= 2 −0 = 2
5
1
A32
A12
=
1 −0
=−
=
1 2
−
−
2
1
0
1
−
A23
1
=−
0 1
2
=−
1
=−
=
A13
1
2
0
2
A33 =
=
ćemo transponovati da bismo dobili A*=
Sada je A-1=
− 5 1 −2 −9 − 4
2
−1 −2
2
5 / 9 −1 = 2 / 9 7 4 / 9
−2/9 1/ 9 2/9
−2 −1 −1
− 2 / 9 1/ 9 . − 7 / 9
2
3
0
2
4
=−
2
=−
1
2
−2
3
−5 2 2
Dobijene kofaktore složit ćemo u sljedeću matricu −5 2 2
−
T
− 4 − 2 7
=3 +4 = 7
−2 −1 −1
−5 = − 2 − 4
− 4 − 2 , 7 2
−1 −2
koju
2
−1 . 7
=
15
Provjerimo na kraju da li je rezultat tačan. Da bismo to uradili moramo pomnožiti matrice A i A -1 i vidjeti da li je njihov proizvod matrica E3. Imamo: 1 AxA-1 = − 2 0
0
5 1 1 x x 2 9 −1 4
2 3 2
−2 1 2
− 2 9 1 1 = x 0 9 − 7 0
0
0
9
0 = E3. 9
0
Dakle, matrica A-1
jeste inverzna matrica matrice A.
6. RANG MATRICE
Neka je
a a A = ... a
11
a12
...
21
a 22
...
...
...
a M 2
...
.
M 1
a1 N
proizvoljna ... a a 2 N
matrica formata MxN.
MN
Ukoliko ta matrica nije kvadratna, ne možemo izračunati njenu determinantu. Međutim, od kolona i vrsta matrice A moguće je formirati submatrice matrice A koje su kvadratne. Ako je B submatrica matrice A formata rxr kažemo da je ta submatrica reda r. Ukoliko je, npr. M
Red submatrice najvećeg
mogućeg reda, čija determinanta je različita od nule zovemo rangom matrice A.
Primjer. Determinanta matrice
2 1 5 6 A = 9 10 13 14
3
4
7
8
11 12 15 16
jednaka je nuli, što
znači da je red matrice manji od 4, tj. može biti najviše 3. Da bismo ustanovili da li je red matrice jednak 3 ili manje, po definiciji morali bismo
15
formirati sve submatrice matrice A reda 3 ( to bi zapravo bili kofaktori elemenata matrice A, njih 16) i vidjeti da li među njima postoji neka koja je različita od nule. Ukoliko postoji, tada bi rang matrice bio jednak 3. međutim, ako je svih 16 determinanti reda 3 jednako nuli tada bismo morali izračunavati determinante reda 2. Vidimo da je ovakav način određivanja ranga matrice veoma komplikovan, zbog toga ćemo u narednom paragrafu objasniti kako se na mnogo elegantniji način može određivati rang matrice.
7. ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE MATRICE Elementarne transformacije matrice su one transformacije nad vrstama
(rredovima) ili kolonama (stupcima) matrice koje ne
mijenjaju njen rang. To su sljedeće transformacije:
Međusobna zamjena mjesta dva reda ili kolona matrice
Množenje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice realnim brojem, različitim od nule
Sabiranje elemenata jedne vrste ili kolone matrice sa odgovarajućim elementima druge vrste ili kolone, prethodno pomnoženim nekim brojem Matrice koje se mogu transformirati iz jedne u drugu elementarnim
transformacijama zovemo ekvivalentne matrice. Ekvivalentne matrice imaju isti rang. Ako su A i B ekvivalentne matrice, pišemo A~ B. Svaku matricu možemo elementarnim transformacijama svesti na tzv. „trapezni oblik“ pomoću kojeg je lako odrediti rang: rang trapezne matrice jednak je broju vrsta te matrice koje nisu sastavljene od svih nula. Pokažimo to na sljedećim primjerima:
Primjer. Odrediti rang matrice
1 −2 −1 3 A = 1 −1 2 −4
0 1 0 1
2
. − 2 13 3
15
Data matrica je formata 4x4 pa je njen maksimalni mogući rang 4. Pri određivanju ranga koristit ćemo se elementarnim transformacijama matrice na sljedeći način: U prvoj koloni matrice A, u drugoj, trećoj i četvrtoj vrsti trebamo dobiti nule. To ćemo uraditi transformacijama nad vrstama. Prvu ćemo prepisati, zatim ćemo drugu vrstu sabrati s 1 0 1 2
−2
0
1
1
−1
0
−4
1
matricu
prvom i dobiti matricu
2
. − 2 13 5
1 0 0 2
Zatim ćemo od prve vrste oduzeti treću vrstu i dobiti
−2
0
1
1
−1
0
−4
1
2
. 4 13 5
Na kraju, od četvrte vrste ćemo oduzeti prvu
vrstu pomnoženu sa 2 i dobiti
1 0 0 0
−2
0
1
1
−1
0
0
1
2
. 4 9 5
Sada smo u prvoj koloni
dobili nule ispod elementa 1, trebamo dobiti nule u trećoj i četvrtoj vrsti druge kolone. Prvu i drugu vrstu ćemo prepisati. Ostalo je samo da saberemo treću vrstu s drugom, jer u četvrtoj vrsti već imamo nulu gdje
nam je potrebna. Dobijemo matricu
1 0 0 0
−2
0
1
1
0
1
0
1
2
. 9 9 5
Na kraju, potrebno je
u trećoj koloni dobiti nulu u četvrtoj vrsti. To ćemo dobiti tako što prve tri vrste prepišemo, a od četvrte vrste
oduzmemo treću. Imamo elementarnim
1 0 0 0
−2
0
1
1
0
1
0
0
2
. 9 0 5
Sada
smo završili
sa
15
transformacijama nad matricom A, jer smo dobili trapeznu matricu (potrebno je da ispod elemenata glavne dijagonale matrice budu sve nule). Pogledajmo sada koliko ova matrica ima vrsta koje nisu sastavljene od svih nula. Vidimo da ih ima 3. Dakle, rang matrice A jednak je 3.
8. MATRIČNE JEDNAČINE Jednačine oblika A+X=B, A*X=B i sl. u kojima je nepoznata varijabla matrica nazivaju se matrične jednačine. Očigledno je da matrična jednačina A+X=B, za matrice A,B formata MxN ima jedinstveno rješenje, matricu X=B-A. b = B i b a
a11 A = a 21
Primjer. 1
A+X=B,
a12
11
22
21
b12
b 22
X=?
X=B-A b11 X = b 21
Rj:
b12
a − b a
11
22
21
a12
(b11 − a11) X = (b21 − a 21)
a 22
(b12 − a12)
(b22 − a 22)
Možemo vidjeti da je rješavanje ove vrste matričnih jednačina veoma jednostavno, međutim, to nije slučaj sa jednačinom A*X=B ili Y*A=B, pri čemu pretpostavljamo da su matrice odgovarajućih formata.
Ukoliko je matrica A kvadratna i invertibilna (napomenimo da samo za kvadratnu matricu možemo govoriti o invertibilnosti) tada gore navedene jednačine imaju jedinstveno rješenje X=A *B, odnosno, Y=A-1*A. Pri rješavanju ovakvih jednačina potrebno
1
15
je voditi računa o tome s koje strane matrica A množi nepoznatu X, odnosno Y,jer množenje matrica nije komutativno. Primjer. 2. 1 A = 3 2
−3 − 4 0
2 2
−1
−3
1 i B = 10 10
2 7
0
8 7
A * X = B, X=? X=B*A-1
A-1- inverzna matrica matrice A, koja se po formuli izračunava: A-1= 1/ detA x A* det A =
1
2
−
3
2
−
2
−
1
3 1
2
4 3
2
0
2
= ( 1x2x0+2x(-4)x2+(-3)x(-1)x3) – (-3)x2x2-(-
1
−
4)x(-1)x1-0x3x2=
A*=
A-1 =
− 4 −3 − 2
6 5
T
−7 −5 − 4
− 4
−3
8
6
− 7
−5
1 1
1 X = 10 10
Rj:
8
−3 2 7
=
− 4 8 − 7
−3 6
−5
− 2 5 − 4
− 2 5 − 4
0 − 4
7 * 8 8 − 7
−4 X = 80 − 70
= 0+(-16)+9+12-4-0= =-16+9+12-4= =-20+21= 1
9 12
−35
−3 6
−5
− 2 5 − 4
0
35
−32
Jednačine A*X=B i Y*A=B mogu imati rješenje i u slučaju da matrica A nije kvadratna matrica, kao i u slučaju da matrica A jeste kvadratna ali nije invertibilna. U tom slučaju jednačina može
15
imati i beskonačno mnogo rješenja. Također, može se dogoditi da u ovom slučaju jednačine nemaju rješenja.
9. PRIMJENA MATRIČNIH JEDNAČINA Kada govorimo o primjeni matričnih jednačina onda se moraju spomenuti sistemi od M jednačina sa N nepoznatih koji se najjednostavnije rješavaju pomoću matrica. Ovi sistemi su jako bitni za određivanje ravnotežnog stanja ili ekvilibriuma što se najčešće koristi u ekonomiji. Sistem jednačina od M jednačina sa N nepoznatih x1,x2,…,xN je skup jednačina oblika: a 11 x 1
+a 12 x 2 +
... +a1
a 21 x1
+a 22 x 2 +
x N
N
... +a 2
x N
N
=b1 =b 2
......... a M 1 x 1
+a M 2 x 2 +
... +a
x N
MN
=b M
Matrice za rješavanje sistema možemo koristiti na različite načine. Prije svega svaki sistem jednačina se može napisati u matričnom obliku. Ukoliko je
A = ( aij )
matrica sastavljena od koeficijenata uz nepoznate, tu
matricu zovemo matrica sistema. Vektor kolona slobodnih članova, a vektor kolona
X = ( xi )
B = ( bi )
zove se kolona
, kolona sa nepoznatim. Uz
navedena oznake, gore navedeni sistem možemo napisati kao matričnu jednačinu AX=B. Ukoliko je matrica A kvadratna, tj. broj nepoznatih u sistemu jednak je broju jednačina, i ukoliko je det A ≠ 0, tada sistem jednačina ima jedinstveno rješenje dato sa X= A-1×B. Ako matrica A nije kvadratna onda sistem ne može imati jedinstveno rješenje. Može imati ili beskonačno mnogo rješenja ili nemati rješenja, što je lakše utvrditi pomoću Kronecker- Capellievog metoda za rješavanje sistema, međutim mi ga ovdje nećemo koristiti iz jednog razloga jer nije sadržan u temi maturskog rada.
Primjer. X1+2X2= 4 -2X1+3X2+X3=6
15
2X2-X3=2 Prvo, ovaj sistem moramo napisati u matričnom obliku, gdje će nam biti 1 A = − 2 0
0
2
1 , −1
3 2
matrica sistema, vektor kolona
članova, i vektor kolona
x X = x x
1
2
3
,
4 B = 6 , 2
kolona slobodnih
kolona sa nepoznatim. Naša jednačina
sada izgleda ovako A×X= B. X=A-1×B A-1= X=
5 / 9 − 2 / 9 −1 −1 = 2 / 9 1 / 9 −2 7 4 / 9 2 / 9 − 2 / 9 − 2 / 9 4 1/ 9 1 / 9 × B = 6 − 7 / 9 2/9 2
−5 1 −2 −9 − 4
5 / 9 2 / 9 4 / 9
2
2
− 2 / 9 1/ 9 − 7 / 9
X 20 / 9 −12 / 9 − 4 / 9 X = 8 / 9 + 6 / 9 + 2 / 9 X 16 / 9 12 / 9 14 / 9 + − 1
2
3
Rj:
X1=4/9, X2=16/9, X3=14/9
Matrična metoda rješavanja sistema jednačina je naročito zastupljena u ekonomiji prilikom računanja nacionalnog dohotka i dr.
10.
LITERATURA:
1. Enes Jakupović, Viša matematika, Banja Luka 2008 godine 2. Internet
15
