´ nonc´e E
` Probleme eme
La d´ ecomposition ecomp osition LU d’une matrice inversible inversible Soit A une matrice de Mn(K). Une d´ecomposition ecomposition “LU” de A est es t un unee ´egal eg alit it´´e A = LU , o`u L est une matric m atricee triangu tr iangulaire laire inf´erieure erieu re (L (L pour “Low”) a` diagonale unit´e (tous les coefficients diagonaux valent 1), et o` u U est une matrice triangulaire sup´erieure erieure (U pour U pour “Up”).
2 −2 A = 4
−3 1 −1 2 −3 2 −9 −2 3 −2 5 5 −4
Par exemple, exemple,
1 = −1 2
0 1 3 −1 −2
0 0 1 1
0 0 0 1
2 0 0
−3 1 −1 −1 −2 1 0 2 2 0 0 0 −5
Pour tout entier k de {1, . . . , n}, on appelle sous-matrice principale d’ordre k de A, la sous matrice Ak for f orm´ m´ee a` l’intersection des k premi` pr emi`eres eres lignes ligne s et des k premi` pre mi`eres ere s colo c olonne nness de d e A. Par exemple, avec la matrice A matrice A de l’exe l’e xemp mple le pr´ec´ ec´edent ed ent :
A1 = ( 2 ) ,
2 2 −3 A = , A = −2 −2 2 2
3
4
1 −3 ,
−3 2 −9 −2
2 −2 A = 4
−3 1 −1 2 −3 2 −9 −2 3 −2 5 5 −4
4
Dans tout le probl`eme, eme, la matrice A est e st suppos´ supp os´ee ee inversible.
Partie I Dans cette partie, on voit une condition con dition n´ecessaire ecessaire et e t suffisante portant p ortant sur la matrice A matrice A pour pour qu’elle admette admet te une d´ecompositio ecomp osition n LU . LU . 1. Montrer que la d´ecomposition ecomposition LU de A, si elle existe, est unique. 1 2 2. Montrer Montrer que la matrice matrice A = p oss` os s`ede ed e un unee d´ecom ec omp p osit os itio ion n LU . 0 3 0 3 Montrer en revanche que la matrice B = n’en n’e n poss` po ss`ede ede pas. pas . 1 2 3. On suppose suppose que la matrice matrice A poss` po ss`ede ed e un unee d´ecom ec omp p osit os itio ion n LU . Montrer que toutes ses sous-matrices principales sont inversibles. Pour cela, on utilisera une d´ecompositi ecomp osition on par blocs blo cs de A de A,, L, U , sous la forme suivante :
A =
A
k
Ak
Ak Ak
,
L =
L
k
Lk
0 Lk
,
U =
U
k
0
U k U k
4. Montrer que la r´eciproque eciproque de la propri´et´ et´e pr´ec´ ec´edente edente est vraie : si toutes les sous-matrices principales de A sont inversibles, alors A poss` po ss`ede ed e un unee d´ecom ec ompo posit sitio ion n LU . Pour cela, ce la, on raisonnera par r´ecurrence ecurrence sur l’ordre n l’ordre n de d e A : dans le passage du rang n au rang Ln 0 U n C n n + 1, on ´ecrira ecrir a Ln+1 = et U n+1 = o`u Rn est une matrice-ligne de Rn 1 0 λn largeur n, C n est une matrice-colonne de hauteur n, et λn est un scalaire.
5. Conclusio Conclusion n?
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´ Enonc´ e
Probl` eme
Partie II Dans cette partie, on suppose que la matrice A poss`ede une d´ecomposition LU et on voit comment mettre en œuvre une m´ethode de calcul des matrices L et U . On note aij , ij , et aij les termes g´en´eraux de A, L, U . 2 −3 1 1. A titre d’exemple, trouver la d´ecomposition LU de A = −2 2 −3 . 4 −9 −2 2. On revient maintenant au cas g´en´eral. Ecrire les ´egalit´es donnant aik en fonction des ij (avec j i) et u jk (avec j k).
3. En d´eduire les expressions : (a) De uik , pour i k, en fonction de aik , de ij ( j < i), de u jk ( j < i). (b) De ik , pour i > k, en fonction de a ik , de ij ( j < k), de u jk ( j
k).
4. Montrer comment les ´egalit´es obtenues permettent de calculer de proche en proche (et on pr´ecisera dans quel ordre) tous les coefficients de L et de U .
Partie III On sait qu’il existe des matrices A qui n’ont pas de d´ecomposition LU . Dans cette partie, on va voir que pour une telle matrice, il est possible de trouver une matrice inversible “simple” P telle que P A admette une d´ecomposition LU . On appelle matrice de permutation toute matrice P σ d’ordre n dont le terme g´en´eral p ij peut s’´ecrire pij = δ i,σ(i) (notations de Kronecker), o` u σ est une permutation de {1, 2, . . . , n}.
σ(1) = 3 σ(2) = 2 Si par exemple n = 4 et σ est d´efinie par , =4 σ(3) σ(4) = 1
0 0 alors P = 0
0 1 0 1 0
σ
1 0 0 0
0 0 1 0
1. Dans cette question, on ´etudie quelques propri´et´es des matrices de permutation. (a) Que repr´esente P σ si σ est la permutation “identit´e” de {1, . . . , n} ? (b) Soient σ et s deux permutations de {1, . . . , n}. Montrer que P σ P s = P σ s . ◦
(c) Montrer que toute matrice P σ est inversible. Quel est son inverse ? 2. On va ´etudier l’influence du produit par une matrice de permutation. (a) Avec la matrice A du pr´eambule et la matrice P σ de l’exemple ci-dessus, calculer les produits P σ A et AP σ 1 . Que remarque-t-on ? −
(b) Plus g´en´eralement, pour toute matrice A d’ordre n, et toute matrice de permutation P = P σ , comment passe-t-on de A a` P A et de A `a AP 1 ? −
3. On va montrer que pour toute matrice carr´ee A inversible et d’ordre n, il existe une matrice de permutation P telle que la matrice P A poss`ede une d´ecomposition LU . Pour cela, on raisonne par r´ecurrence sur n. 4. Montrer que c’est ´evident si n = 1. On suppose donc que la propri´et´e est vraie pour un certain entier n matrice carr´ee A inversible et d’ordre n + 1. Math´ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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et on se donne une
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´ Enonc´ e
Probl` eme
(a) Montrer qu’il existe une matrice de permutation S telle que la sous-matrice principale B n d’ordre n de B = SA soit inversible. (b) En appliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence a` Bn, montrer qu’il existe une matrice de permutation Q telle que QB admette une d´ecomposition LU . (c) Conclure. 5. Montrer tr`es simplement que la d´ecomposition P A = LU n’est en g´en´eral pas unique. Combien peut-il exister de triplets (P,L,U ) au maximum ?
Partie IV Dans cette partie, M est une matrice quelconque d’ordre n, de coefficients mij . On va ´etudier l’influence qu’ont certaines op´erations sur les lignes ou les colonnes de M et interpr´eter ces op´ erations par des produits a` gauche ou a` droite par des matrices triangulaires inf´erieures a` diagonale unit´e. Posons tout d’abord quelques notations : – On note (E ij ) la base canonique de Mn (K) : la matrice E ij est celle dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui situ´e a` l’intersection de la ligne i et de la colonne j, qui vaut 1. – Pour tous indices i et j (avec i = j) et tout scalaire α, on note L j ← L j − αLi l’op´eration qui consiste a` retrancher a` la ligne d’indice j de M le produit par α de sa ligne d’indice i. – On note Li ↔ L j l’op´eration qui consiste a` ´echanger les lignes d’indices i et j de M . – On d´efinit ´egalement les op´erations C j ← C j − αCi et Ci ↔ C j sur les colonnes de M . – Pour tout j de {1, . . . , n − 1}, et a` condition que le coefficient diagonal m jj soit non nul, on note ϕ j (M ) la matrice obtenue en appliquant successivement a` M les op´erations : mij Li ← Li − λij L j , avec λij = , pour tout i de { j + 1, . . . , n} m jj Dans cette op´eration, dont le but est d’annuler les coefficients sous-diagonaux de la colonne d’indice j de M , le coefficient diagonal m jj est appel´e le pivot . 1. Pour tout couple d’indices (i, j), comparer les lignes de la matrice E ij M et celles de M . Comparer aussi les colonnes de ME ij et celles de M . 2. Montrer qu’une op´ eration du type Li ← Li − αL j , avec i > j, transforme une matrice M en une matrice M = SM , o`u S = I n − αE ij (et S est une matrice triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e, ne d´ependant que de i, j, α.) 3. Avec les notations pr´ec´edentes, identifier la matrice S 1 et interpr´eter le produit M S 1 comme une op´eration sur les colonnes de M . 4. Montrer que si on transforme M en une matrice M par une op´eration du type ϕ j , alors il existe une matrice R triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e telle que RM = M . D´etailler les coefficients de R. 5. Avec les notations de la question pr´ec´edente, interpr´eter le produit M R 1 comme une op´eration sur les colonnes de M .
−
−
−
Partie V Dans cette partie, A est une matrice carr´ee d’ordre n, inversible. On reprend les notations de la partie III, notamment en ce qui concerne les op´erations ϕ j . On suppose que la matrice A poss`ede une d´ecomposition LU . Math´ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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´ Enonc´ e
Probl` eme
1. Montrer qu’on peut appliquer l’op´eration ϕ1 a` la matrice A, et qu’on transforme ainsi A en une matrice B dont les coefficients sous-diagonaux de colonne 1 sont nuls.) 2. Soit k un entier de {2, . . . , n}. On suppose qu’on a appliqu´e a` A les op´erations ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕk 1 (dans cet ordre) et qu’on a ainsi transform´e A en une matrice C dont les coefficients sous-diagonaux des k − 1 premi`eres colonnes sont nuls. Montrer que le k-i`eme coefficient diagonal de C est non nul. −
3. En d´eduire qu’on peut partir de A et appliquer successivement ϕ1, ϕ1 , . . . , ϕn 1 . Montrer que la matrice obtenue est triangulaire sup´erieure a` coefficients diagonaux non nuls, et qu’elle est la matrice U de la d´ecomposition A = LU . −
4. Montrer comment on peut construire la matrice L de la d´ecomposition A = LU , en appliquant a` la matrice I n une succession d’op´erations sur les colonnes, chacune de ces op´erations correspondant a` l’une de celles qui ont permis de passer de la matrice A a` la matrice U . 5. Appliquer ce qui pr´ec`ede a` la recherche de la d´ecomposition de la matrice A utilis´ee dans le pr´eambule de l’´enonc´e.
Partie VI Dans cette partie, A est une matrice carr´ee d’ordre n, qui est seulement suppos´ee inversible. On se propose d’obtenir une d´ecomposition P A = LU (au sens de la partie III) par le biais d’op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes. A la panoplie des op´erations ϕi d´efinies dans la partie IV, on ajoute les op´erations θ ji : pour toute matrice M , θ ji (M ) est la matrice obtenue ´echange des lignes d’indices i et j de M . On pourra consid´erer que θii (M ) = M . 1. Montrer qu’on peut appliquer une op´eration θ i1 puis l’op´eration ϕ 1 a` la matrice A, de mani`ere `a la transformer A en une matrice B dont les coefficients sous-diagonaux de colonne 1 sont nuls. 1
2. Soit k un entier de {2, . . . , n}. On suppose qu’on a appliqu´e A les op´erations θi1 , ϕ1 , θi2 , ϕ2 , . . . , θik −1 , ϕk 1 (dans cet ordre, avec i1 1, i 2 2, . . ., ik 1 k − 1). On a ainsi transform´e A en une matrice C = (cij ) dont les coefficients sous-diagonaux des k − 1 premi`eres colonnes sont nuls. Montrer que l’un au moins des coefficients cik , avec i k, est non nul. −
1
2
k
1
−
−
3. Montrer qu’il existe n − 1 entiers i1 , i2 , . . . , in (avec ik k) tels que la succession (dans cet ordre) des op´erations θ i1 , ϕ1 , . . . , θik , ϕk , . . . , θin −1 , ϕn 1 transforme A en une matrice U triangulaire sup´erieure a` coefficients diagonaux non nuls. −
1
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k
n
1
−
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Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e Partie I 1. Notons tout d’abord que si A admet une d´ecomposition LU alors les matrices L et U sont inversibles : pour L c’est ´evident, et pour U il suffit d’´ecrire U = L 1 A. Supposons que A admette les d´ecompositions A = LU et A = L U . Pour prouver l’unicit´e, il faut montrer que L = L et U = U . On a LU = L U donc L 1 L = U U 1 . Mais l’ensemble des matrices triangulaires inf´erieures a` diagonale unit´e est stable par le produit et par le passage a` l’inverse, de mˆeme que l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures. On en d´eduit que la matrice L 1 L = UU 1 est a` diagonale unit´e et qu’elle est `a la fois triangulaire inf´erieure et triangulaire sup´erieure donc diagonale : ce ne peut ˆetre que la matrice In . Mais L 1 L = U U 1 = In donne L = L et U = U , ce qu’il fallait d´emontrer. −
−
−
−
−
−
−
2. Il suffit d’´ecrire A = LU avec L = I2 et U = A... (on sait que c’est la seule possibilit´e). 1 0 b c b c 0), alors LU = En revanche, si L = et U = (avec b, c = a 1 0 d ab ac + d l’´egalit´e B = LU est impossible, compte tenu des termes d’indice (1, 1). La matrice B ne poss`ede donc pas de d´ecomposition LU .
et
3. Soit k un entier compris entre 1 et n. Il est clair que les matrices L et U peuvent ˆetre d´ecompos´ees en blocs comme le sugg`ere l’´enonc´e. On peut mˆeme affirmer d’une part que L k et Lk sont triangulaires inf´erieures a` diagonale unit´e, d’autre part que U k et U k sont triangulaires sup´erieures. Lk 0 U k U k Ak Ak L’egalit´e LU = A devient = et implique Lk U k = A k en Lk Lk 0 U k A k Ak identifiant au niveau du bloc sup´erieur gauche. Or Lk et U k sont inversibles car leurs coefficients diagonaux, issus de ceux de L et de U , sont non nuls. On en d´eduit que la matrice Ak est inversible, ce qu’il fallait d´emontrer.
0, elle satisfait automatiquement 4. Au rang 1 la propri´et´e est triviale. En effet, si A = (a) avec a = `a l’hypoth`ese (sa seule sous-matrice principale A1 = A est inversible) et on a la “d´ecomposition” A = LU avec L = (1) et U = (a). Soit n un entier strictement positif. On suppose que la propri´et´e a ´et´e d´emontr´ee au rang n. On se donne alors une matrice A inversible d’ordre n +1, et on suppose que toutes les sous-matrices principales de A sont inversibles. En particulier la sous-matrice An d’ordre n est inversible, ainsi que toutes ses sous-matrices principales A1 , A2 , . . . , An 1 , An . On en d´eduit, par hypoth`ese de r´ecurrence, l’existence (et l’unicit´e) d’une d´ecomposition An = L n U n . On cherche alors une d´ecomposition LU de An+1 = A comme le sugg`ere l’´enonc´e. An An Comme dans la question 3, on pose A = . An An Dans ce cas particulier, An est une matrice-colonne de hauteur n, An est une matrice-ligne de longueur n, et An se r´eduit a` un coefficient. Avec ces notations : −
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Probl` eme
Corrig´e
L 0 U C A A LL U C = A = A L U = A ⇐⇒ ⇐⇒ R 1 0 λ A A RR U C += Aλ = A Dans ce syst`eme, l’´egalit´e L U = A est d´ej` a connue. n+1
n
n+1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
– L’´egalit´e Ln C n = A n ´equivaut a` C n = L n 1 An .
−
– De mˆeme, Rn U n = A n ´equivaut `a R n = A n U n 1 .
−
– La ligne R n et la colonne C n ´etant maintenant connues de mani`ere unique, la derni`ere ´egalit´e du syst`eme fournit λn = A n − Rn C n .
On voit donc qu’il est possible de former la d´ecomposition LU de A, ce qui d´emontre la propri´et´e au rang n + 1 et ach`eve la r´ecurrence. 5. Une matrice carr´ee A d’ordre n poss`ede une d´ecomposition LU ⇔ ses sous-matrices principales A1 , A2 , . . . , An = A sont inversibles.
Partie II
1 1. On pose L =
u u u et U = 0 u u . 1 0 0 0 u 0 uu u 2 −3 1 L’´egalit´e LU = A devient 1 0 0 u u = −2 2 −3 , u u 1 0 0 u u 4 −92 −−23 1 = − 2 2 −3 ce qui ´equivaut a` u u + u u + u 0 1 32
21 31
0 0 1
11
12
13
22
23 33
11
21 31
11
13
22
23
32
33
12
21 11
31 u11
12
13
21 12
22
21 13
31 u12 + 32 u22
23
31 u13 + 32 u23 + u33
−9 −2
4
On trouve imm´ediatement : u11 = 2, u12 = −3, u 13 = 1. Connaissant u 11 = 2, les ´egalit´es
21 u11
31 u11
Connaissant u 12 , u13 et 21 , les ´egalit´es
= −2 donnent =4
−1 31 = 2 21 =
21 u12 +
u22 = 2 donnent 21 u13 + u23 = −3
u
22
u23
= −1 = −2
Connaissant 31 , u12 et u22 , l’´egalit´e 31 u12 + 32 u22 = −9 donne 32 = 3. Enfin, l’´egalit´e 31 u13 + 32 u23 + u33 = −2 donne u33 = 2.
2 On a ainsi prouv´e : A = −2
1 0 0 2 −3 1 = −1 1 0 0 −1 −2 4 2 3 1 0 0 2 = 0 quand j > i 2. Le terme g´en´eral a de A = LU s’´ecrit a = u . Or u = 0 quand j > k La somme pr´ec´edente est donc limit´ee a` l’indice j = min(i, k) : a = u . u = u + u = u + u . 3. (a) Supposons i k. Alors a = u . Donc u = a − −3 1 2 −3 −9 −2
n
ij
ik
ik
ij
jk
jk
j =1
min(i,k)
ik
ij
jk
j =1
i−1
i
ik
i−1
ik
ik
ij
j =1
ij
jk
i−1
ij
j =1
jk
ii
ik
ij
jk
ik
j =1
jk
j =1
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Probl` eme
k−1
k
(b) Supposons i > k. Alors aik
Corrig´e
u = u = ij
jk
j =1
ij
jk
+ ik ukk .
j =1
k−1
1 Puisque ukk est non nul par hypoth`ese, on peut ´ecrire : ik = aik − ij u jk . ukk j =1
4. Tout d’abord, seuls nous int´ eressent les coefficients ik avec i > k (c’est-`a-dire qui sont situ´es strictement sous la diagonale de L) et les coefficients uik avec i k (c’est-`a-dire situ´es sur et au-dessus de la diagonale de U ). 0
– Si i = 1, et pour tout k
1, on trouve : u 1k = a 1k
− u ij
jk
= a 1k .
j =1
En particulier u11 = a 11 = 0 (c’est une cons´equence de la question I-3). 0
1 1 Pour tout entier i 2, on trouve alors i1 = ai1 − ij u jk = ai1 . u11 u 11 j =1
On connait donc la premi`ere ligne de U et la premi`ere colonne de L. – Soit m un entier compris entre 2 et n. On suppose connues les lignes 1 a` m − 1 de U , et les colonnes 1 a` m − 1 de L. m−1
La question II.3.a donne alors : ∀k
m, umk = a mk
−
mj
u jk .
j =1
Dans cette expression de umk , tous les coefficients sont d´ej` a connus. On en d´eduit donc la m-i`eme ligne de U et en particulier umm (non nul par hypoth`ese.) La question II.3.b donne alors : ∀i > m, im =
1 umm
m−1
a − u . im
ij
jm
j =1
Dans cette expression de im , tous les coefficients sont d´ej` a connus. On en d´eduit donc la m-i`eme colonne de L. – Ainsi, par une r´ecurrence finie, on voit que les ´egalit´es des questions II.3.a et II.3.b permettent de calculer de proche en proche tous les coefficients des matrices U et L : ligne 1 de U , puis colonne 1 de L, puis ligne 2 de U , puis colonne 2 de L, etc.
Partie III 1. (a) La r´eponse est ´evidente : il s’agit de la matrice identit´e d’ordre n. (b) Notons [M ]ij le coefficient d’indice (i, j) d’une matrice quelconque M . 0 si j = σ(i) Par d´efinition, le terme g´en´eral de P σ est : [P σ ]ij = δ σ(i) j = 1 si j = σ(i)
n
On en d´eduit [P σ P s ]ij
n
[P ] [P ] = δ = σ ik
k=1
σ(i)k
s kj
δ s(k) j = δ σ(i)σ(i) δ s(σ(i)) j = δ s
σ (i) j
◦
k=1
On obtient pr´ecis´ement le terme d’indice (i, j) de P σ s . Conclusion : P σ P s = P σ s . ◦
(c) On a P σ− P σ = P σ− 0 0 2. (a) On a : P σ A = 0 1 1
1
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σ
◦
0 1 0 0
◦
= P Id = I n . Donc P σ est inversible et son inverse est 1 0 2 −3 1 −1 4 −9 −2 −2 2 −3 2 −2 2 −3 0 0 = 0 1 4 −9 −2 3 5 −2 5 −2 5 0 0 5 −4 2 −3 1
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P σ− . 3 2 −4 −1 1
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Probl` eme
Corrig´e
Autrement dit, si L1 , L2 , L3 , L4 sont les lignes de A, P σ A est la matrice dont les lignes sont L1 = L σ(1) = L 3 , L2 = L σ(2) = L 2 , L3 = L σ(3) = L 4 , et L 4 = L σ(4) = L 1.
σ(1) = 3 σ σ(2) = 2 σ Puisque , on a =4 σ σ(3) σ(4) = 1 σ
1
(1) = 4 1 (2) = 2 . On en d´eduit P σ 1 = 1 (3) = 1 1 (4) = 3
− −
−
− −
0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
On remarque que P σ 1 = TP σ , ce qui est normal : les matrices de permutations sont des cas particuliers de matrices orthogonales : pour le produit scalaire canonique de Rn, les colonnes sont unitaires et orthogonales deux a` deux. −
On a AP σ 1 −
2 −2 = 4
−3 1 −1 2 −3 2 −9 −2 3 5 −4 −2 5
0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 = −3 −2 5
−3 −1 −2 2 2 −2 −9 3 4 5 −4 −2
Si C 1, C 2, C 3, C 4 sont les colonnes de A, AP σ 1 est donc la matrice dont les colonnes sont C 1 = C σ(1) = C 3 , C 2 = C σ(2) = C 2 , C 3 = C σ(3) = C 4 , et C 4 = C σ(4) = C 1 .
−
(b) – Les coefficients de la ligne d’indice i de P A s’´ecrivent, pour tout j de {1, . . . , n} : n
[P A]ij
n
= [P ] [A] = δ ik
a
σ (i)k kj
kj
k=1
= δ σ(i)σ(i) aσ(i) j = a σ(i) j
k=1
Autrement dit, ce sont les coefficients de la ligne d’indice σ(i) de A. Calculer P A, c’est donc appliquer la permutation σ sur les lignes de A. – Les coefficients de la colonne j de AP
1
−
n
1
[AP ]ij −
s’´ecrivent, pour tout i de {1, . . . , n} :
n
[A] [P = ik
1
−
k=1
]kj
a δ =
ik σ −1 (k) j
= a iσ( j ) δ jj = a iσ( j )
k=1
Autrement dit, ce sont les coefficients de la colonne d’indice σ( j) de A. Calculer AP 1 , c’est donc appliquer la permutation σ sur les colonnes de A. −
– On peut retrouver autrement le r´esultat sur AP 1 . En effet, la colonne j de M = AP 1 = A TP est la ligne j de TM = P TA, c’est-`a-dire la ligne σ( j) de TA, c’est-`a-dire la colonne σ( j) de A. −
−
3. Ici A = (a11 ) avec a 11 = 0. On ´ecrit P A = LU , avec L = (1), U = (a11 ), et P = (1). (a) Si la sous-matrice principale An d’ordre n de A est inversible, le r´esultat est ´evident avec S = I n+1. On suppose donc que An est non inversible. Rn+1 est une ligne de largeur n An C n+1 On peut ´ecrire A = , o`u C n+1 est une colonne de hauteur n. Rn+1 an+1,n+1 An T = est de rang n car form´ee des n premi`eres colonnes de A inversible. Rn+1 On peut donc en extraire une sous-matrice carr´ ee inversible d’ordre n. Ce n’est pas An , qui est non inversible : la ligne R n+1 fait donc partie de cette sous-matrice. L’´echange de Rn+1 et d’une autre ligne Rk de An (avec 1 k n) permet donc de Bn transformer T en une matrice T = , o`u Bn est carr´ee d’ordre n inversible. Rk Mais cet ´echange s’´ecrit T = ST , o` u S est la matrice de permutation associ´ee a` la bijection de {1, 2, . . . , n + 1} qui se contente d’´echanger les indices k et n + 1.
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Probl` eme
B
Corrig´e
Dn+1 On ´ecrit alors B = SA = o`u Dn+1 est une colonne de hauteur n. Rk ak,n+1 (b) Bn ´etant inversible, on lui applique l’hypoth`ese de r´ecurrence : il existe une matrice de permutation Qn d’ordre n telle que QnBn admette une d´ecomposition Ln U n , c’est-`a-dire telle que toutes les sous-matrices principales de Q nBn soient inversibles. La matrice Qn correspond a` une permutation de {1, 2,...,n} qu’on ´etend en une permutation σ de {1, 2,...,n + 1} en posant σ(n + 1) = n + 1. Qn 0n,1 Celle-ci donne naissance a` la matrice de permutation Q = Qσ = . 01,n 1 Qn 0n,1 Bn Dn+1 Qn Bn QnDn+1 On a alors QB = = . 01,n 1 Rk ak,n+1 Rk ak,n+1 La matrice QB est inversible (car Q et B le sont) ainsi que toutes ses sous-matrices principales d’ordre n (car ce sont les sous-matrices principales de Qn Bn .) La matrice QB admet donc une d´ecomposition LU . n
(c) La matrice P = QS est une compos´ ee de deux matrices de permutations : c’est donc encore une matrice de permutation. Le calcul pr´ec´edent montre que P A admet une d´ecomposition LU , ce qui prouve la propri´et´e au rang n + 1 et ach`eve la r´ecurrence.
a b
, avec a = 0 et c = 0. c d Alors A poss`ede une d´ecomposition A = L 1U 1 (car a et det A sont non nuls.) Autrement dit P 1 A = L 1 U 1 avec P 1 = I2 . 0 1 c d De mˆeme, avec P = , la matrice P A = poss`ede une d´ecomposition P A = 1 0 a b L2 U 2 car c et det P A = − det A sont non nuls. On voit donc qu’il existe ici deux d´ecompositions distinctes P A = LU . Plus g´en´eralement, pour une matrice A donn´ee, il existe au plus n! triplets (P,L,U ) tels que P A = LU (car il y a n! matrices de permutations d’ordre n).
4. Consid´erons une matrice inversible A =
Partie IV 1. – Pour tout k = i, la ligne k de E ij et donc la ligne k de E ij M sont nulles. La ligne d’indice i de E ij M est la ligne d’indice j de M . Le produit E ij M remplace donc la ligne d’indice i de M par sa ligne d’indice j, et annule toutes les autres lignes. – Pour tout k = j, la colonne k de E ij et donc la colonne k de M E ij sont nulles. La colonne d’indice j de M E ij est la colonne d’indice i de M . Le produit ME ij remplace donc la colonne d’indice j de M par sa colonne d’indice i, et annule toutes les autres colonnes. 2. Comme cela r´esulte de la question pr´ec´edente, le produit M = SM = M − αE ij M ne se distingue de M que par sa ligne Li d’indice i, qui s’´ecrit Li = Li − αL j . Calculer SM , c’est donc appliquer l’op´eration Li ← Li − αL j a` la matrice M .
3. – Posons S = I n + αE ij . Le produit SM ´equivaut a` l’op´eration Li ← Li − αL j sur la matrice M . Le produit S SM ´equivaut a` l’op´eration Li ← Li + αL j sur la matrice SM .
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Probl` eme
Corrig´e
Or les op´erations Li ← Li − αL j et Li ← Li + αL j sont inverses l’une de l’autre. Donc S SM = M pour toute matrice M , ce qui prouve que S S = I n . L’inverse de S = I n − αE ij est donc S 1 = I n + αE ij . k. Donc (I n − αE ij )(I n + αE ij ) = I n − α2 E ij2 = I n . Cela r´esulte aussi de E ij E kl = 0 si j =
−
– Comme cela r´esulte de la question (a), le produit M = M S 1 = M + αM E ij ne se distingue de M que par sa colonne d’indice j qui s’obtient par la formule C j = C j + αCi en fonction des colonnes Ci et C j de M .
−
– Calculer MS 1 , c’est donc appliquer C j ← C j + αCi a` la matrice M . −
4. Quand on applique l’op´eration Li ← Li − λij L j a` la matrice M (avec λij = m ij /m jj et i > j) tout se passe comme si on multipliait M a` gauche par la matrice I n − λij E ij , qui est triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e car i > j. Il en est donc de mˆeme quand on applique une succession de telles op´erations ´el´ementaires (et donc une op´eration du type ϕ j ) car l’ensemble des matrices triangulaires inf´erieures `a diagonale unit´e est stable pour le produit. Il existe donc une matrice R, triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e, telle que RM = M . 0 Pour ˆetre plus pr´ecis, il suffit de se dire que R .. . est obtenue en appliquant a` In les op´erations 0 qui conduisent de M a` M . 1 Autrement dit, la matrice R ne se distingue C j = −λ j +1,j de In que par sa colonne C j d’indice j, qui s’´ecrit .. de la mani`ere indiqu´ee ci-contre, le coefficient . “1” ´etant le coefficient diagonal de C j . −λn,j
I
0 On peut ´egalement ´ecrire R = , o`u I j 1 est la matrice identit´e d’ordre j − 1, et o` u 0 R j R j est elle-mˆeme triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e (d’ordre n − j + 1). j −1
−
5. La multiplication a` gauche par R correspond aux op´erations ´el´ementaires successives Li ← Li − λij L j , pour tout entier i de { j + 1, . . . , n}, qui sont respectivement associ´ees aux matrices S i = I n − λij E ij et R est ´egale au produit commutatif S n S n 1 · · · S j +1 . On sait que le produit `a droite par S i 1 correspond a` C j ← C j + λij Ci . Sachant que R 1 est ´egale au produit des matrices S i 1 , le produit a` droite par R 1 ´equivaut `a effectuer successivement (ou en mˆeme temps car elles commutent entre elles) les op´erations C j ← C j + λij Ci , pour tout i de { j + 1, . . . , n}. n Conclusion : le produit a` droite par R 1 ´equivaut a` l’op´eration C j ← C j + λij Ci . −
−
−
−
−
−
i= j +1
Partie V 1. Puisque la matrice A poss`ede une d´ecomposition LU , toutes ses sous-matrices principales A1 = (a11 ), A2 , . . . , An 1 , An = A sont inversibles. En particulier le coefficient a11 est non nul, ce qui permet de l’utiliser comme pivot pour appliquer l’op´eration ϕ1 a` la matrice A. Cette op´eration conduit ´evidemment a` une matrice B dont tous les coefficients sous-diagonaux de la premi`ere colonne sont nuls. −
2. Quand on applique une op´eration ϕ j , tout se passe comme si on multipliait `a gauche par une certaine matrice triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e. Il en est donc de mˆeme si on applique une succession d’op´erations du type ϕ j . Math´ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Corrig´e
Il existe donc une matrice R, triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e, telle que RA = C . D´ecomposons R,A, C en blocs de mani`ere a` repr´esenter leurs sous-matrices principales d’indice Rk 0 Ak ∗ C k ∗ k. On obtient : = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Dans cette ´ecriture, on a not´e ∗ les blocs sans importance pour la d´emonstration.
Par identification, on voit que C k = R k Ak . Or Rk est triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e donc inversible, et Ak est inversible car c’est une sous-matrice principale de A. On en d´eduit que C k est inversible. Or il r´esulte de l’hypoth`ese sur C que cette matrice est triangulaire sup´erieure. Ses k coefficients diagonaux sont donc non nuls. Pour les k − 1 premiers on le savait d´eja (car ce sont les pivots ayant servi a` annuler les coefficients sous-diagonaux des k − 1 premi`eres colonnes de A). Ainsi le k-i`eme coefficient diagonal de C k (donc de C ) est non nul, ce qu’il fallait d´emontrer. 3. Les questions (1) et (2) montrent qu’on peut annuler successivement : 0. – La “sous-diagonale” de la colonne 1 en appliquant ϕ1 a` A, car a11 = – La “sous-diagonale” de la colonne 2 de la matrice B obtenue, en appliquant l’op´eration ϕ2 , car le coefficient diagonal b22 est non nul. – etc. – La “sous-diagonale” de la colonne k de la matrice obtenue, car le coefficient diagonal devant servir de pivot a` ce moment l` a est non nul. – etc. Au bout du compte, on transforme donc A en une matrice U qui est triangulaire sup´erieure a` coefficients diagonaux non nuls. On sait qu’il existe une matrice R, triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e, telle que RA = U . On en d´eduit A = R 1 U , la matrice R 1 ´etant elle aussi triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e. Par unicit´e de la d´ecomposition A = LU , on a ainsi obtenu la matrice U de cette d´ecomposition, avec en prime L = R 1 . 4. On va de A a` U par la succession des op´erations ϕ1 , . . . , ϕn 1 . A chacune d’elles correspond le produit a` gauche par une matrice R j triangulaire inf´erieure a` diagonale unit´e. On a donc RA = U avec R = R n 1 . . . R2 R1 . La matrice L de la d´ecomposition A = LU est donn´ee par L = R 1 = I n R1 1 R2 1 · · · Rn 1 1 . Ainsi L s’obtient en effectuant les produits a` droite successifs de I n par R 1 1 , puis par R 2 1 , etc., et enfin par Rn 1 1. n 1 Mais le produit a` droite par R j correspond a` l’op´eration C j ← C j + λij Ci , avec des i= j +1 notations d´eja vues. On voit ainsi comment construire L a` partir de I n par des op´erations sur les colonnes. Remarque : comme on l’a vu dans la question II.4, on forme donc la ligne 1 de U , puis la colonne 1 de L, puis la ligne 2 de U , puis la colonne 2 de L, etc. 5. Dans la colonne de gauche, on fait figurer les diff´erentes ´etapes du passage de A a` U , et dans la colonne de droite celles du passage de I 4 a` L. −
−
−
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−
L2 ← L2 + L1 L3 ← L3 − 2L1 L4 ← L4 + L1 Math´ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
−
2 2 4 −2
−3 2 −9 5
1 −3 −2 5
−1 2 3 −4
1 0 0 0
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0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
C1 ← C1 − C2 + 2C3 − C4
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L3 ← L3 − 3L2 L4 ← L4 + 2L2
L4 ← L4 − L3
2 0 0 0
Corrig´e
−3 1 −1 −1 −2 1 −3 −4 5 −5 2 6
2 0 0 0
−3 1 −1 −2
1 1 2 3
1 1 2 1
0 1 3 −2
0 0 1 0
0 0 0 1
2 0 0 0
−3 1 −1 −2
1 1 2 −5
1 1 2 −1
0 1 3 −2
0 0 1 1
0 0 0 1
1 −1 Donc A = LU , avec L = 2
0 0
0 0
0 1 3 −1 −2
2 2
2 0
0 0 1 1
− − − − − − − − 0 0 0 1
1 1 2 1
et
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
2 0 U = 0
C2 ← C2 + 3C3 − 2C4
C3 ← C3 + C4
−3 1 −1 −1 −2 1 0 2 2 0 0 0 −5
Partie VI 1. A ´etant inversible l’un au moins des coefficients de sa premi`ere colonne est non nul. On choisit donc un indice i1 tel que ai 1 = 0 et on effectue l’op´eration θi1 , ce qui permet ensuite d’appliquer ϕ1 et d’obtenir ainsi une matrice B dont la premi`ere “sous-diagonale” est nulle. 1
1
2. Si tel n’´ etait pas le cas, la matrice C ne serait pas inversible (la sous-matrice form´ee de ses k premi`eres lignes et colonnes serait en effet triangulaire sup´erieure et son k-i`eme coefficient diagonal serait nul.) Or la matrice C se d´eduit de A par des op´erations ´el´ementaires sur les lignes : elle est donc inversible, tout comme A. 3. Cela r´esulte imm´ediatement de (a) et (b) : on annule d’abord les coefficients diagonaux de la colonne 1, et d`es que k colonnes ont ´et´e “trait´ees” la question (b) montre qu’au prix ´eventuel d’un ´echange de la ligne k et d’une ligne d’indice ik k (dont par une op´eration θik ) on peut annuler les coefficients diagonaux de la colonne k + 1 avec l’op´eration ϕk . Quand les colonnes 1 `a n − 1 ont ´et´e trait´ees, on a ainsi transform´e A en une matrice triangulaire sup´erieure U dont les coefficients diagonaux sont non nuls. k
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