Vjerojatnost i statistika - odgovori na pitanja

1. Što je algebra događaja (koji su aksiomi)? Netrivijalan primjer familije skupova koja

jest, i koja nije algebra događaja.

σ -algebra je familija F podskupova nekog skupa Ω koja zadovoljava sljedeće aksiome: i) ∅ ∈ F ii) A∈ F AC ∈ F iii) (A k )k>0, Ak ∈ F ∩ ∞ i=1 Ak ∈ F Pr.: Definiramo Ω = {a,b,c,d}. F={∅ ,{a,b}, {c,d}, {a,b,c,d}}. Tada je F σ -algebra. Objasnimo zasto. Kao što vidimo prazan skup je dio nase familije F. Također, od svakog skupa njegov komplement u skupu F te na kraju svaka proizvoljnoa unija je u skupu F. Skup F' = {{a}, {b}, {a,b,c,d}} nije σ -algebra zato jer ne zadovoljava prvi aksiom. Skup G = {∅ , {a}, {a,b,c,d}} nije σ -algebra jer ne zadovoljava drugi aksiom, komplement skupa {a}, odnosno {b,c,d}, nije sadrzan u skupu G. Skup H= {∅ , {a},{b,c,d},{b},{a,c,d},{a,b,c,d}} nije σ -anija skupova {a} i {b} nije element H. 2. Dokaži iz aksioma za danu algebru događaja F , da ako su A1 , , A2 , , ..., An elementi od F ,

da je tada i njihov presjek element od F , a također i skup A1 \ A2 .

A1,..,An ∈ A ∪ nk=1 Ak ∈ Ω ; A1, A2 ∈ A A1| A2 ∈ A Pošto vrijedi aksiom i) A1,...,An ∈ A ∩ nk=1 Ai ∈ A ii) A∈ A, AC∈ A, ∪ nk=1 Ak = (∪ nk=1Ak C)C ∈ A po i), ii) ∪ nk=1Ak ∈ A A1\ A2 = A1 ∪ AC2 = (AC1∩ AC2) A1\ A2 ∈ A 3. Što je σ-algebra događaja (koji su aksiomi)? Netrivijalan primjer familije skupova koja jest, i koja nije σ-algebra događaja. σ -algebra je familija F podskupova nekog skupa Ω koja zadovoljava sljedeće aksiome: i) ∅ ∈ F, ii) A∈ F AC ∈ F, iii) (Ak )k>0, Ak ∈ F ∩ ∞ i=1 Ak ∈ F . Pr.: σ -algebra događaja je familija F podskupova od Ω = {a,b,c}. F= P(Ω )={{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{∅ },{a,b,c}} Nije σ -algebra: Ω = {a,b,c,d}, F = {∅ ,{a,b},{c,d},{a,b,c,d}}; Ω = {a,b,c,d}, F= {∅ ,{a,b}}. 4. Što je vjerojatnostna funkcija P na danoj σ-algebri događaja F ? Koji su aksiomi? Što

je vjerojatnosni prostor? Netrivijalni primjer (npr. iz kombinatorike).

Zadani su Ω i F⊆ P(Ω ), F je σ -algebra na Ω . Funkciju P: F→R zovemo VJEROJATNOST ako: 1) P(A) ≥ 0, ∀ A∈ F, 2)P (Ω )=1, 3) Ako je (A k )k>o disjunktna familija, Ak ∈ F P(∩ ∞ i=1 Ak ) = ∑∞ k=1 P(Ak ). ). Vjerojatnosni prostor je uređena trojka (Ω ,F,P), gdje je Ω skup elementarnih događaja, F⊆ P(Ω ) je σ -algebra te P: F→R. Pr.: bacanja kocke. Ω ={1,2,..,6} , |Ω |=6, F=P(Ω ), A={pao je neparan br}={1,3,5}, |A|=3, P(A)=|A|/|Ω |= 3/6. Provjera: P(A)= ½, P(Ω )= 6/6=1; iii) A={2,4,6}, B={1,3,5}; A∩ B∩ C=Ω , P(A∩ B∩ C)=P(Ω )=1. P(A)+P(B)+P(C)=1/2 + ½ =1. 5. Zadan je vjerojatnostni prostor (Ω,F, P). Dokaži iz aksioma vjerojatnosne funkcije, da

je P(B

\ A) = P(B) – P(A). Objasni grafički i na primjeru!

Iz trećeg aksioma vjerojatnosne funkcije slijedi formula: P(A∩ B) =P(A)+P(B) ako su A i B disjunktni. Tada na skupove A i B\A primjenimo formulu formulu pa vrijedi: P(A∩ (B\A))=P(A)

+P(B\A). Malo sredimo skupove na lijevoj strani pa dobijemo: dob ijemo: P(B)=P(A)+P(A\B). Prebacivanjem na drugu stranu dobijemo traženu formulu. Pr: Bacamo jednu ispravnu i simetričnu kocku. Definirajmo tada skupove A={pao je br3}, B={pali su br. 1,3,4}. P(A)=1/6, P(B)=1/2. A sada pogledajmo što je B\A={pali su brojevi 1,4}, P(B\A)=2/6, što se može ozračunati iz formule P(B)-P(A)=1/2-1/6=2/6=P(B\A). 6. Zadan je vjerojatnostni prostor (Ω,F, P). Dokaži iz aksioma vjerojatnosne funkcije, da

je P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B). Objasni grafički i na primjeru!

Definirajmo disjunktne skupove A i B\(A∪ B) te na njih primjenimo formulu P(A∩ B)=P(A) +P(B), dobijemo P(A∩ (B\(A∪ B)))=P(A)+P(B\(A∪ B)). (1) Zatim na dio P(B\(A∪ B)) primjenimo formulu P(B\A)= P(B)-P(A). Tada dobijemo sljedeći izraz: P(B\(A∪ B))=P(B)-P(A∪ B) te to uvrstimo u izrat (1). Također malo sredimo skup na lijevoj strani te dobijemo: P(A∩ B)=P(A)+P(B)-P(A∪ B). Pr.Bacamo kockicu. Def. skupove A={pali su brojevi 1,3,6}, B={pali su br 2 ili 6}. P(A)=1/2, P (A)=1/2, P(B)=1/3, P(A∪ B)=1/6. P(A∩ B)= P(A)+P(B)-P(A∪ B)=1/2+1/3-1/6=4/6. Provjera: A∩ B={pali su br 1,2,3,6}. Vjerojatnost tog skupa: P(A∩ B)=4/6. 7. Navedi netrivijalan primjer konačnog vjerojatnosnog prostora (Ω,F, P), za koji

vjerojatnosna funkcija jest definirana formulom P(A)=card (A) / card (Ω). Pokaži da je to zaista vjerojatnosni prostor! Pr: Bacanje kockice. Ω={1,2,3,4,5,6}, F=P(Ω)={ ∅ ,{1},{2,3},...} Prazan skup je dio partitivnog skuppa, zatvoreno je na komplemente te je proizvoljna unija opet dio partitivnog skupa. P(A)=card(A)/card(Ω), svi aksiomi su trivijalno zadovoljeni. 8. Navedi primjer konačnog vjerojatnosnog prostora (Ω,F, P)., za koji vjerojatnosna

funkcija nije definirana formulom P(A)=card (A) / card (Ω). Pokaži da je to zaista vjerojatnosni prostor!

Pr: Bacanje asimetričnog novčića. Ω={pismo,glava}, F={∅ ,{P},{G},{PG}. Vjerojatnosna funkcija se definira prema slučajevima i to svaki zasebno. zasebn o. Ako je A=∅ , P(A)=0; A={P}, P(A)=p; A={G}, P(A)=1-p; P(Ω)=1. Tako definiran P zaista zadovoljava aksiome vjerojatnosne funkcije. 9. Kako se definira vjerojatnosni prostor za ove eksperimente: (i) bacanje dvije simetrične

kockice; (ii) Gađanje na slijepo u okruglu metu (pod pretpostavkom da je uvijek pogodimo). (odgovor na (ii) ne mora m ora biti sasvim matematički precizan).

(i) Bacanje dvije kockice. Ω={1,2,3,4,5,6}^2, F=P(Ω), P(A)=card(A)/card(Ω). |F |= 2^36. Ω ={(i,j)|i,j∈ {1,...,6}}, |Ω|=36. (Objasniti prema pitanju 5.) (ii) Gađanje naslijepo u okruglu metu. Ω=K(0;1)={(x,y)∈ R^2 | (x2+y2)1/2≤ 1}, F=''izmjerivi'' podskupovi od Ω, P(A)= PovA/Pov Ω (oznaka Pov=površina)

10. Koja je definicija definicija uvjetne vjerojatnosti P(A│B) ? Koja Koja je vjerojatnost da iz šešira u kojem su tri karte (jedna crna s obe strane, jedna bijela s obe o be strane, jedna ima dvije strane različite boje – bijelu i crnu), ako je vidljiva strana karte crna, da je druga strana bijela? Objasni pomoću uvjetne vjerojatnosti.

Zadan je vjerojatnosni prostor (Ω, F, P). Dana su dva događaja Ai B, t.d. P(B)≠ 0. Deiniramo uvjetnu vjerojatnost A|B (A uz uvijet B) te vrijedi: P(A|B) = (P(A ∪ B))/P(B). Pr: Označimo karte: a1, a2 bijela karta s obje strane, b1,b2 bijela i crna, c1,c2 crna i crna. Ω={a1, a2, b1, b2, c1, c2}, A={donja strana je crna}, B={gornja strana je crna}, A ∪ B={c1, c2}, P(A∪ B)=1/3, B={b1, c1, c2}, P(B)=1/2. P(A|B)= (P(A∪ B))/P(B)= (1/3)/(1/2)=2/3.

11. Koja je formula formula potpune potpune vjerojatnost vjerojatnosti? i? Izvod? Izvod? Skup {H1, H2,..., Hn} zovemo potpun sistem događaja ako Hi∈ F, ∀ k, ∩ ni=1 Ak ∈ Ω te su disjunktni (u parovima). Zadan je potpun istem događaja {H1, H2,..., Hn} t.d. P(Hk )≠ 0, ∀ k. Za A∈ F vrijedi: P(A)= ∑∞ k=1P(A|Hk )P(H )P(Hk ). ). ∞ Dokaz: ∑ k=1 P(A|Hk )P(H )P(Hk )={def )={def – uvj – ∞ vj}=∑ k=1(P(A∪ Hk )/P(H )/P(Hk ))*P(H ))*P(Hk )={P(A )={P(A∪ Hk )disjunktna )disjunktna familija}={svojstvo – kon – n n aditivnosti}= P(∩ k=1(A∪ Hk )=P(A )=P(A∪ (∩ k=1Hk ))=P(A ))=P(A∪ Ω )=P(A).

12. Koja je formula potpune vjerojatnost vjerojatnosti? i? Netrivijalan Netrivijalan primjer primjene? primjene? Skup{H1, H2,..., Hn} zovemo potpun sistem događaja ako Hi∈ F, ∀ k, ∩ ni=1 Ak ∈ Ω te su disjunktni (u parovima). Zadan je potpun istem događaja {H1, H2,..., Hn} t.d. P(Hk )≠ 0, ∀ k. Za A∈ F vrijedi: P(A)= ∑∞ k=1P(A|Hk )P(H )P(Hk ). ). Pr: U 1.kutiji se nalazi 5 bijelih i 6 crvenih kuglica,a u 2.kutiji 2.k utiji se nalazi 3 bijele i 5 crvenih kuglica. Koja je vjerojatnost da ćemo izvući jednu bijelukuglicu? H1=odabrali smo 1.kutiju, H2=odabrali smo 2.kutiju. P(A|H1)=5/11, P(A|H2)=3/8. Prema formuli za potpunu vjerojatnost slijedi: P(A)=1/2*5/11+1/2*3/8.

13. Kada su dva događaja nezavisna? Koja je karakterizacija nezavisnosti pomoću uvjetne vjerojatnosti? Izvod? Neka je (Ω ,F,P) vjerojatnosni prostor. Kažemo da su A i B nezavisni, A,B ∈ F ako P(A∪ B)=P(A)P(B). Izvod: Znamo da vrijede sljedeće ekvivalencije: P(A∪ B)=P(A)P(B) P(A|B)=P(A) P(B| A)=P(B). Ako P(A|B)=P(A), tada u formuli za uvjetnu vjerojatnost: P(A|B)=P(A∪ B)/P(B) uvrstimo navedeni izraz te dobijemo: P(A)= P(A∪ B)/P(B) pa je: P(A)P(B)= P(A ∪ B). 14. Pokaži da ako su A, B nezavisni događaji, da su tada i parovi Ac , B; te Ac , Bc nezavisni.

Za komplemente AC,BC znamo da vrijedi: P(A)P(B)= P(A B). P(AC)P(BC)=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)={nezavisnost )=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)={nezavisnost od A i B}=1-P(A)-P(B) +P(A∪ B)={vjerojatnost unije događaja}=1-P(A∩ B)={vjerojatnost komplementa}=P((A∩ B)C)={de Morganov zakon}=P(AC∪ BC). Za par AC, B: P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B), P(AC| B)=P(AC∪ B)/P(B)=(P(B\A∪ B))/P(B)={ A∪ B⊆ B}=(P(B)-P(A∪ B))/P(B)={A,B nezavisni}=(P(B)-P(A)P(B))/P(B)=1-P(A)=P(AC). AC i B nezavisni.

15. Koja je je Bayesova Bayesova formula? formula? Izvod? Izvod? Ako je {Hk , k=1,...,n} potpun sistem dogadjaja i P(Hk )≠ 0, ∀ k, tada vrijedi: P(A|Hk )=(P(A| )=(P(A| n Hk )P(H )P(Hk ))/( ))/( ∑ i=1P(A|Hk )P(H )P(Hk )). )). Rastavimo prvo brojnik: P(A|Hk )P(H )P(Hk )={po )={po def}=P(A∪ Hk )/P(H )/P(Hk )*P(H )*P(Hk )= )= P(A∪ Hk ). ).

Rastavimo sad nazivnik: ∑ni=1P(A|Hk )P(H )P(Hk )={formula )={formula potpune vjerojatnosti}=P(A). Podijelimo sad brojnik i nazivnik: P(A∪ Hk )/P(A)={po )/P(A)={po def uvjetne vjerojatnosti}=P(A|Hk ) 16. Koja je Bayesova formula? Netrivijalni primjer primjene? Ako je {Hk , k=1,...,n} potpun sistem dogadjaja i P(Hk )≠ 0, ∀ k, tada vrijedi: P(A|Hk )=(P(A| )=(P(A| n Hk )P(H )P(Hk ))/( ))/( ∑ i=1P(A|Hk )P(H )P(Hk )). )). Pr:Vjerojatnost da prvi strijelac pogodi metu je 0.6, a drugi 0.7. ako znamo da je meta pogođena jednim metkom, kolika je vjerojatnost da ju je pogodio samo prvi strijelac? Rastavljamo na potpun sistem događaja: H1=meta nije pogođena, P(H1)=0.4*0.3 H2=metu pogodio samo 1.strijelac, P(H2)=0.6*0.3 H3=metu pogodio samo 2.strijelac, P(H3)=0.4*0.7 H4= oba strijelca pogodila metu,P(H4)=0.6*0.7 Događaj A=meta je pogođena jednim metkom P(A|H1)=0, zato jer znamo da je meta pogođena P(A|H2)=1, zato jer je metu pogodio samo jedan strijelac P(A|H3)=1, zato jer je metu pogodio samo drugi strijelac P(A|H4)=0, zato jer znamo da je meta pogođena samo s jednim metkom, a ne s dva Tražimo vjerojatnost P(H2|A). Uvrstimo sve u Bayesovu formulu: P(H2|A)=(0.6*0.3*1)/ (0.4*0.3*0 + 0.6*0.3*1 + 0.4*0.7*1 + 0.6*0.7*0)

17. Kako se definira definira vjerojatnosni vjerojatnosni prostor prostor za n ponavljanja ponavljanja istog pokusa? pokusa? Ω n=Ω x....xΩ , Fn=P(Ω n). Neka je A⊆ Ω n. Definiramo vjerojatnost od A: Pn(A)= ∑P({w1})...P({w2}); (w 1,...,wn)∈ A. Zadan je direktan (konačno prebrojiv) vjerojatnosni prostor (Ω ,F,P). Prostor je: (Ω n, Fn, Pn). 18. Kako se definira vjerojatnosni prostor Bernoullijeva shema? Kako se računa

vjerojatnost elementarnih događaja za dani n? Zašto?

Bernoulijeva shema jr diskretan vjerojatnosni prostor (Ω ,F,P), gdje je Ω ={0,1}, F=P(Ω ), P({1})=P, P({0})=q=1-p, P(∅ )=0, P({0,1})=1. Koristi se npr pri bacanju asimetričnih novčića. To je model za n nezavisnih pokusa od kojih svaki ima 2 moguća ishoda, uspjeh 1, neuspjeh 0, pri emu je vjerojatnost usjeha pri svakom pokusu ista. Ako je A={od n pokusa k uspjeh} elementarni događaj, tada se vjerojatnost elementarnog događaja računa po formuli P(A)=pk qn-k (vjerojatnost jedne n-torke s k-uspjeha), pk –vjerojatnost tih k-uspjeha. Ako je k uspjeha, broj neuspjeha je n-k qn-k . 19. Što je binomna distribucija? Kako se računa vjerojatnost elementarnih događaja za

dani n? Primjer eksperimenta sa binomnom distribucijom?

Slučajna varijabla X: Ω → R ima binomnu distribuciju sa parametrima n, p , gdje je n∈ N, p∈ R, 0≤ p≤ 1, ako ima vrijednosti 0,1,...,n s vjerojatnošću P(x=m)=(n povrh m)pm qn-m gdje je q=1-p te 0≤ m≤ n. Pišemo X~ B(n,p). Pr: Bacanje novčića 100 puta gdje je vjerojatnost pisma 0.5 20. Koja je definicija normalne funkcije distribucije? Kako se definiraju funkcije φ, Φ, za

dane parametre σ, μ? Kako se približno računa funkcija Φ za dane parametre σ, μ pomoću logaritamskih tablica?

Neka je X~ N(μ,σ). Tada je vjerojatnost P(a≤ X≤ b)= ∫ baϕ (x)dx gdje je ϕ (x)=1/(σ√ 2π ) * e1/2(x-μ)^2/σ^2 ili ϕ =1/√ 2π *e-x^2/2 Φ se definira kao Φ(x)= ∫ ∞ -∞ .ϕ (t)dt.

21. Koja je formula normalne aproksimacije binomne distribucije? Grafičko Grafičko objašnjenje zašto? Neka je slučajna varijabla X~ B(n,p). Tada vjerojatnost iznosi P(X=k)=(n povrh m)pk qn-k . Tada varijablu X možemo aproksimirati pomoću normalne distribucije tako da d a definiramo μ=np i σ=√ (npq), odnosno definiramo Y~(μ,σ). Tada se vjerojatnost računa: P(a≤ X≤ b)≈ P(a1/2≤ Y≤ b+1/2)= ∫ b+1/2a-1/2=1/√ 2π *e1/2 – ((t-μ)/σ)^2dx= Φ((b+1/2- μ)/σ)- Φ ((a-1/2-μ)/σ). Grafičko objašnjenje: ako puno puta ponavljamo pokus i to crtamo u stupcima na grafu, za sve veći broj ponavljanja dobiva se normalna distribucija. 22. * Koja je formula normalne aproksimacije binomne distribucije? Ideja dokaza? (vidi prethodno pitanje)

pr imjer vjerojatnosnog prostora i diskretne slučajne 23. Što je slučajna varijabla? Navedi primjer varijable sa bar 5 različitih vrijednosti, te nacrtaj n acrtaj funkciju distribucije.

Ako je (Ω ,F,P) vjerojatnosni prostor, tada je slučajna varijabla bilo koja funkcija X: Ω → R. Pr: Bacanje dvije kockice. Ω ={(x,y)|x,y=1,...,6}, F=P(Ω ), P(A)=kA/k Ω X=suma ishoda na kockicama. Tada su ai brojevi od 2 do 12, pi je vjerojatnost svake sume. X≤ 4={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}, P(X≤ 4)=1/6. 24. Što je binomna slučajna varijabla s paramtrima n, p? Kako izgleda funkcija

distribucije? Koja je formula? Zašto?

Neka je p vjerojatnost realizacije događaja A pri izvođenju nekog pokusa. Pretpostavimo da istovjetan pokus ponavljamo n puta. Neka slučajna varijabla X mjeri broj ponavljanja događaja A. Onda kažemo da X ima binomnu razdiobu s parametrima n i p i pišemo X~ B(n,p). X poprima vrijednosti u skupu 0,1,..,n. Odredimo pk =P(X=k). =P(X=k). Ako se realizirao događaj X=k, to znači da se u n pokusa A ostvario o stvario točno k puta, a n-k puta se nije ostvario. Broj različitih mogućnosti za odabirpokusa u kojima se A ostvario je (n povrh k). Zato je pk =P(X=k)=(n =P(X=k)=(n povrh k)pk (1-p)n-k . Uobičajeno je označiti q:=1-p. Pr: Što je vjerojatnije u igri sa ravnopravnim protivnikom: dobiti 3 partije od 4 ili 5 partija od 8? (igra nema neriješenog ishoda). Broj dobivenih partija računa se po binomnoj razdiobi. U prvom sllučaju to je zakon X~B(4,1/2), a u drugom slučaju x~B(8,1/2). P(3partijeod4)= (4povrh3)1/2^3*1/2=8/32. P(5partijaod8)=(8povrh5)1/2^5*1/2^3=7/32.

25. Ako želimo slučajnom varijablom modelirati slijedeći slijedeći eksperiment: «dobitak na ruletu ruletu ako se kladimo na crveno», kako ćemo definirati vjerojatnosni prostor, i slučajnu varijablu? Budi precizan! Definiramo vjerojatnosni prostor na sljedeći način: Ω ={0,1,...,36}, F⊆ P(Ω ), P(A)=kA/k Ω . Uložimo 1kn na crveno. Tada su mogući događaji: a1=0 ako kuglica padne na 0 ili neparne brojeve, a2=2 ako kuglica padne na parne brojeve. Tada p1=19/37, a p2=18/37. ( A={0,1,3...,35}, B={2,4,...36}, |A|=19, |B|=18).

26. Koja je definicija nezavisnosti slučajnih varijabli? Primjer dvije slučajne varijable

(precizno definirane, na istom vjerojatnosnom prostoru) koje k oje su nezavisne, i dvije koje nisu. Neka su X i diskretne slučajne varijable s vrijednostima a1, a2,... i b1, b2,... Kažemo da su X i Y nezavisni za bilo koji ak i bk događaji (X= ak ) i (Y= bk ) nezavisni. Pr: bacanje kockica. X=ishod 1.kocke, Y=ishod 2.kocke P(X=a)=1/6, P(Y=b)=1/6, P(X=a,Y=b)=1/36; P(X=a)P(Y=b)=1/36, X,Y-nezavisni Pr: bacanje kockica |Ω |=36, X=min ishod, Y=max ishod, a=6, b=6, P(X=6)=1/36, P(Y=6)=11/36, P(X=6,Y=6)=1/36≠ P(X=6)P(Y=6)=11/36^2, X,Y-zavisni

27. Kako se definira definira matematičko očekivanje za diskretnu diskretnu slučajnu varijablu? Koje je matematičko očekivanje za ishod bacanja dvije simetrične kockice? Dokaz! Neka je X slučajna varijabla s konačno mnogo vrijednosti ai s vjerojatnošću pi. Tada je očekivanje EX=∑ni=1a p i i. Neka je X1 rezultat na 1.kocki, X2 rezultat na 2.kocki. Ω ={(x,y)|x,y∈ {1,..,6}}. Računamo očekivanje: EX1=EX2=1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6=3.5 Tada zbog tm o aditivnosti očekivanja: EX= EX1+EX2=3.5+3.5=7. 28. Kako se definira matematičko očekivanje za diskretnu slučajnu varijablu? Koje je

matematičko očekivanje za binomnu slučajnu varijablu sa parametrima n, p? Zbog kojeg identiteta? Neka je X slučajna varijabla s konačno mnogo vrijednosti ai s vjerojatnošću pi. Tada je očekivanje EX=∑ni=1a p i i. Neka je X binomna slučajna varijabla X~B(n,p). X možemo rastaviti na n slučajnih varijabli Xk oblika. Xk sa ishodima a1=0, a2=1 sa vjerojatnostima p1=q, p2=p. Očekivanje od EXk =0*q+1*p=p. =0*q+1*p=p. EX={zbog aditivnosti očekivanja}=EX1+EX2+....+EXn=p+p+...+p=np. 29. Dokaži da je očekivanje za binomnu slučajnu varijablu X sa parametrima n, p jednako np.

Neka je X binomna slučajna varijabla X~B(n,p). X možemo rastaviti na n slučajnih varijabli Xk oblika. Xk sa ishodima a1=0, a2=1 sa vjerojatnostima p1=q, p2=p. Očekivanje od EXk =0*q+1*p=p. =0*q+1*p=p. EX={zbog aditivnosti očekivanja}=EX1+EX2+....+EXn=p+p+...+p=np. 30. Dokaži da za očekivanje diskretne slučajne varijable X vrijedi E(kX) = kEX , gdje je k

konstanta. Koji je dovoljan uvjet da vrijedi E(XY) = EX ∙ EY ?

Neka je X slučajna varijabla sa vrijednostima ai s pripadnim vjerojatnostima pi. Tada je slučajna varijabla kX sa vrijednostima kai i jednakim vjerojatnostima pi. Računamo očekivanje: n E(kX)={po def}=∑ni=1(kai)pi=∑ni=1k(a p i i)={k ide van}=k ∑ i=1a p i i.=kEX. Dovoljan uvjet da vrijedi E(XY)=EX*EY jest homogenost očekivanja. 31. Dokaži da je očekiv očekivanje anje aditivno aditivno.. 32. Dokaži da, ako su X, Y nezavisne slučajne varijable, da je tada E(XY) = EX ∙ EY ? Neka X poprima vrijednosti a1,a2,.. i neka Y poprima poprima vrijednosti b1,b2,.. E(XY)=∑cP(x+y=c)= ∑∑cP(x=a,y=b)=∑∑(a+b)P(x=a,y=b)= ∑∑aP(x=a,y=b)+ ∑∑ bP(x=a,y=b)= ∑∑aP(x=a,y=b)+

∑∑ bP(x=a,y=b)=∑(∑P(x=a,y=b))+∑ b(∑P(x=a,y=b))= ∑aP(x=a)+ ∑ bP(y=b)=EX+EY. ∑aP(x=a)= ∑ak P(x=a), P(x=a), ∑P(x=a,y=b)=P(x=a).

33. Za zadanu diskretnu slučajnu varijablu X , dokaži da je EX = ∑ j=1,∞ P(X ≥ j ). ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑ j=1P(X≥j)= ∑ j=1∑ j=1P(X=i)= ∑ i=1∑ j=1P(X=i)= ∑ i=1iP(X=i)={po def}=EX

34. Kako glasi Markovlj Markovljeva eva nejednakost? nejednakost? Daj neki primjer primjer gdje se koristi. koristi. Neka je X slučajna diskrenta varijabla koja poprima samo nenegativne vrijednosti te ima konačno očekivanje . tada P(X≥ λ )≤ EX/λ , za λ >0. markovljeva nejednakost se koristi kada slučajna varijabla ima više vrijednosti. ( u dokazu Čebiševljeve Če biševljeve nejednakosti). Pr: izračunati ishod: X~( ), EX= 2/6, P(X≥ 5)=(21/6)/5=70%

35. Napiši Napiši i izvedi izvedi Markovljevu Markovljevu nejednakos nejednakost.t. EX=∑ak ak P(X=a P(X=ak )=∑ )=∑ak ≥ aak P(X=a P(X=ak )+∑ )+∑ak0 >0 jer je nenegativan}≥ ∑ak ≥ a ak P(X=a P(X=ak ) ≥ ∑aP(X=ak )=a∑P(X=a )=a∑P(X=ak )=a∑P(X=a )=a∑P(X=ak )=aP(X )=aP(X≥ a) EX≥ aP(X≥ a).

standardn a devijacija? Napiši bar dvije ekvivalentne formule za 36. Što je varijanca, a što standardna

računanje varijance, i dokaži da su ekvivalentne za diskretnu slučajnu varijablu X . Daj netrivijalan primjer.

Varijanca slučajne varijable X definira se formulom Var(X)=E[(X-EX)2]. Ovaj se izraz najčešće računa na način: Var(X)=E(X2)-(EX)2X. Jednakost ovih dviju formula slijedi iz svojstva linearnosti očekivanja: E[(X-EX)2]=E[X2-2X*EX+(EX)2]={linearnost očekivanja}=E(X2)2EX*EX+E2X=E(X2).(EX)2. Veličinu D:= √ Var(X) nazivamo standardna devijacija (odstupanje) varijable X. Pr: bacanje kockica: X~ ( ), X2~ ( ), 2 EX=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=7/2, EX =91/6, VarX=EX2-(EX)2=35/12. 37. Čemu je jednako Var(aX + b) ? Dokaz? Var(aX+b)=a2VarX Dokaz: Var(aX+b)=E(aX+b-E(aX+b))2=E(aX+b-E(aX)-E(b))2=E(aX+b-E(aX)-b)2=E(aXE(aX))2=E(aX-E(aX))2=Var(aX)=a2Var(X) 38. Koji je dovoljan uvjet da je Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y). Iskoristi tu formulu za

računanje varijance binomne slučajne varijable.

Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable, onda vrijedi Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Neka je X binomna varijabla s paramtrima n, p, X~B(n,p), Xi~( ). Možemo je rastaviti na niz nezavisnih varijabli X1, X2,...,Xn koje sve imaju dva događaja 0 i 1te su im vjerojatnosti p i q. EXi=0*q+1*p=p, VarXi=E(X2)-(EX)2=p-p2=p(1-p)=pq. VarX={nezavisnost}=EX1+EX2+.. +EXn=pq+pq+...+pq=npq.

39. Kako glasi Čebiševljeva nejednakost? Daj neki primjer gdje se koristi. koristi. Neka je X diskretna slučajna varijabla s konačnom varijancom. Tada za ∀ h>0 vrijedi: P(|X-EX| ≥ k σ (X))≤ 1/k 2. Nejednakost se čita: vjerojatnost da je odstupanje očekivanja po modulu veće k puta standardna devijacija jest 1/k 2. Čebiševljeva nejednakost se koristi za dokazivanje slabog zakona velikih brojeva.

40. Napiši Napiši i izvedi Čebiševlj Čebiševljevu evu nejednakost nejednakost.. Neka je X diskretna slučajna varijabla s konačnom varijancom. Tada za ∀ h>0 vrijedi: P(|X-EX| ≥ k σ (X))≤ 1/k 2. Dokaz: µ =EX, δ =δ (X). Uočimo {|X-EX|≥ k δ (X)}={|X-µ |≥ k δ }={(X-µ )2≥ k 2δ 2} (*) (izrazi unutar skupa su ekvivalnetni) , stavimo Y=(X-µ )2 po def VarX=EY=δ 2 (**). Primjenimo Markovljevu nejednakost na Y: P(Y≥ k 2δ 2)≤ EY/k 2δ 2=(**)= δ 2/k 2δ 2=1/k 2. Uvrštavanjem (*) i definicije od Y na lijevu stranu dobijemo: P(|X-EX|≥ k δ (X))≤ 1/k 2.

41. Kako glasi slabi slabi zakon velikih velikih brojeva? brojeva? Koje je njegovo značenje? značenje? Neka je X1,X2,..,Xn niz slučajnih varijabli s istom distribucijom kao slučajna varijabla X koja ima konačno očekivanje i varijancu. Tada za ∀ ∂ >0 vrijedi: limnP(|Xn-EX|≥ ∂ )=0. gdje je Xn=(X1+..+Xn)/n. Njegovo značenje jest da ako puno puta ponavljamo pokus, srednja vrijednost ishoda konvergira očekivanju.

42. Napiši Napiši i dokaži slabi slabi zakon zakon velikih velikih brojeva. brojeva. Neka je X1,X2,..,Xn niz slučajnih varijabli s istom distribucijom kao slučajna varijabla X koja ima konačno očekivanje i varijancu. Tada za ∀ ∂ >0 vrijedi: limnP(|Xn-EX|≥ ∂ )=0. gdje je Xn=(X1+..+Xn)/n. Dokaz: računamo EXn=E((X1+..+Xn)/n)={linearnost očekivanja}=1/n∑nk=1EXk =1/n =1/n∑nk=1EX=n/nEX=EX. Računamo nadalje: VarXn=Var((X1+.. +Xn)/n)=1/n2Var(X1+..+Xn).

43. Kako glasi centralni centralni granični granični teorem? teorem? Koje je njegovo značenje? značenje? Neka je X bilo koja slučajna varijabla s konačnim očekivanjem EX i varijancom VarX, δ (X)=√ Var(X). Neka je X1,X2,..,Xn n nezavisnih ponavljanja pokusa s distribucijom kao X. Tada vrijedi: Yn=( X1+..+Xn)/n, Zn=(Yn-nEX)/((√ n)δ (X)).tada za velike n, Zn~N(0,1) (približno točno za n→ ∞ ) 44. Koje je očekivanje, varijanca i standardna devijacija binomne distribucije sa

konstantama n, p? Zašto?

X binomna slučajna varijabla, X~B(n,p). Tada je EX=np, VarX=npq, δ (X)=√ npq. Dokaz: X1∈ {0,1}- ishod 1.ponavljanja pokusa,..., Xk ∈ {0,1}-ishod k-tog ponavljanja pokusa,...,Xn∈ {0,1}-ishod n-tog ponavljanja pokusa. Xk ~( ~( ), EXk =∑ak pk =0*q+1*p=p; =0*q+1*p=p; 2 2 2 2 2 VarXk =EX =EXk -(EXk ) =0 *q+1 *p-p =p(1-p)=pq. Slučajne varijable X1,...,Xn su nezavisne i X=X1+.. +Xn. Po tm koji smo dokazali EX=E(X1+..+Xn)={aditivnost očekivanja}=EX1+....+EXn=np. VarX=Var(X1+..+Xn)={aditivnost vaarijanca za nezavisne sl.varijable}=VarX1+...+VarXn=npq; δ (X)=√ Var(X)=√ npq 45. Koje je očekivanje, varijanca i standardna devijacija uniformne distribucije na skupu

{a, a+1,...,b} ? Zašto?

Slučajna varijabla X ima neprekidnu uniformnu distribuciju na intervalu i pišemo X~U(a, b) ako joj je funkcija gustoće f(x) = { 1/(b-a) , a < x < b; 0, inače. EX= ∫ -∞ ∞ Xf(X)dx=∫ a bX/(b-a)dx=1/(b-a)*X2/2| ba=(a+b)/2. E(X2)= ∫ -∞ ∞ X2f(X)dx=∫ a bX2/(b-a)dx=1/(b-a)*X3/3| ba=(a2-2ab+b2)/3. VarX=E(X2)-(EX)2=(a2-2ab+b2)/3-((a+b)/2)2=(a-b)2/12.

δ (X)=√ Var(X)=(a-b)/2√ 3. F(X)= ∫ -∞ xf(t)dt={0, xb; ={0, xb.

46. Koje je očekivanje, varijanca i standardna devijacija geometrijske distribucije? Zašto? Neka je X geometrijska slučajna varijabla, X~G(p). Neka X broji broj neuspjeha do prvog uspjeha uključujući taj uspjeh. P(X=k)=qk-1 p, p∈ <0,1>, q=1-p. Očekivanje: ∞ ∞ k1 EX=∑ k=1kp(x=k)=∑ k=1kq p=p∑∞ k=1kqk-1=p(∑∞ k=0qk )'=p(1/(1q))'=p*1/(1-q)2=p/p2=1/p. p(X2=k 2)={zbog pozitivnosti}=p(X=k)=qk-1 p; EX2=∑∞ k=1k 2qk-1 p. ∞ ∞ ∑ k=0Xk =1/(1-X) |' , ∑ k=1kXk-1=1/(1-X)2 | *x, ∞ ∑ k=1kXk =X/(1-X)2 |', ∞ ∑ k=1k 2Xk-1=(1+x)/(1-x)3 ⇒ EX2=(1+q)/(1-q)3*p=(1+q)/p3*p=(1+q)/p2. ⇒VarX=(1+q)/p2-1/p2=q/p2. X~ ( x1 p1x2 p2....) ⇒f(X)~( f(x1) p1.... ..), Ef(X)= ∑∞ k=1f(Xk )p )pk . 25

21

20

15

13

10

7

8

5

0

1

47. Koje je očekivanje, varijanca i standardna devijacija Poissonove distribucije? distribucije? Zašto? Neka je λ ∈ R, λ >0. kažemo da slučajna varijabla X ima Poisonnovu distribuciju ili da je X Poissonova slučajna varijabla (oznaka: X~P(λ )) ako joj je distribucija zadana sa: P(X=k)=λ k /k! *e-λ , k ∈ No. Pozitivan realan broj λ nazivamo paramtrom Poissoneve slučajne varijable.

48. Kako se definira definira očekivanje, varijanca varijanca i standardna devijacija za neprekidnu slučajnu varijablu? Primjer? Neprekidna slučajna varijabla je slučjna varijala čija vrijednost može biti bilo koji realni broj. Funkcija gustoće distribucije slučajne varijable X je funkcija ϕ : R →R t.d. ∀ a≤ b, a,b∈ R vrijedi: P(a≤ X≤ b)= ∫ a bϕ (X)dx. Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija Φ : R →R td ∀ a≤ b, a,b∈ R vrijedi: P(a≤ X≤ b)= Φ(b)-Φ(a).. za neprekidnu slučajnu varijablu vrijedi: računanje vjerojatnosti: P(a≤ X≤ b)= ∫ a bϕ (X)dx; Očekivanje EX= ∫ -∞ ∞ Xϕ (X)dx; Varijanca: VarX=E(X-EX)2=∫ -∞ ∞ (X-EX)2 f(X)dx. 49. Dokaži da je očekivanje slučajne varijable sa standardnom normalnom distribucijom 0,

a varijanca i standardna devijacija 1.

ϕ (X)=1/(σ √ (2π ))*e-(x-µ )^2/(2σ ^2) tada ∫ -∞ ∞ ϕ (X)dx=1. Dokaz: µ =0, σ =1. Računamo: I=∫ -∞ ∞ 1/√ (2π )*e-x^2/2dx (*) I2=(∫ -∞ ∞ 1/√ (2π )*e-x^2/2dx)2=1/2π ∫ -∞ ∞ ∫ -∞ ∞ e-(x^2+y^2)/2dxdy={(x,y)→(r, ϕ ); x2+y2=r 2; x=rcosϕ , y=rsinϕ }=1/2π ∫ o∞ ∫ 02π re-r^2/2dϕ dr=2π /2π ∫ o∞ re-r^2/2dr={supstitucija: s=-r 2/2}=1

50. Definiraj sljedeće sljedeće pojmove: uzorak, aritmtička sredina, medijan, frekvencija, relativna frekvencija, uzoračka varijanca. Niz podataka X1,..,Xn, ishoda nekog pokusa zovemo uzorak. Aritmtičku sredinu definiramo kao: X=1/n∑nk=1Xk .

Medijan je ona vrijednost m uzorka td ima jednko mnogo elemenata u uzorku m. Odnosno medijan skupa podataka je srednji podatak ako ima neparno podataka, a aritmetička sredina dvaju srednjih ako ima parno podataka. Frekvencija: f 1,..,f k k gdje se u uzorku pojavljuju vrijednosti a1,...,ak; vrijednost a j točno f j puta. Vrijedi: f 1+...+f k k=n. = n. Relativna frekvencija se definira: r j=f j/n. Vrijedi: X=∑k j=1(f ja j)/n=∑k j=1r ja j. Uzoračka varijanca def: s=∑k j=1a j2r j- (X)2. Analogno: VarX=EX2-(EX)2. 51. Zadan je sljedeći uzorak:

{3,4,4,2,1,5,4,3,4,5,5,2,3,2,4,4,3,3,3,4,5,5,2,5,5,5,2,3,4,4,4,5,5,4,2,4,4,5,2,4,4,3,4,4,4,4,5,4,4,5}. Nacrtaj histogram te izračunaj : aritmetičku sredinu, medijan, frekvenciju, relativnu frekvenciju, uzoračku frekvenciju.

Dani su brojevi y1 , , y2..,yn. Neka se medu njima pojavljuje f 1 brojeva x1, f 2 brojeva x2, . . ., f r r brojeva xr pri pri čemu su brojevi x1 , , x2 , , . . . , xr medusbno razliˇciti. Brojevi x1 , , x2 , , . . . , xr su razredi i obično su sortirani uzlazno (tj. vrijedi x1 < x2 < . . . < xr ), ), a brojevi f 1 , , f 2 , , . . . , f r r su frekvencije. Br. 1 pojavljuje se 1 put Br. 2 pojavljuje se 7 puta Br. 3 pojavljuje se 8 puta Br. 4 pojavljuje se 21 put Br. 5 pojavljuje se 13 puta f 1+...+f r r=n=1+7+8+21+13=50, = n=1+7+8+21+13=50, suma frekvencija jednaka broju danih podataka. X 1 2 3 4 5 f 1 7 8 2 1 Grafiˇcki prikaz gornje tabele (u kojoj je frekvencija svakog podatka 1 3 predstavljena pravokutnikom čija je visina upravo jednaka toj frekvenciji) se zove histogram: Aritmetička sredina uzorka: X=1/n∑nk=1Xk =1/50*(1+2+3+4+5)=14/50 =1/50*(1+2+3+4+5)=14/50 Aritmetička sredina podatka: 1/50*(1*1+2*7+3*8+4*21+5*13)=188/50 Medijan: uzoraka 1,2,3,4,5 je 3! Relativna frekvencija: r j=f j/n ; ∑k j=1(f ja j)/n=(1*1+2*7+3*8+4*21+5*13)/50=188/50 Uzoračka varijanca: s=∑k j=1a j2r j- (X)2 52. Što je kovarijanca i koeficijen korelacije dvije slučajne varijable? Koji je koeficijen

korelacije dvije nezavisne slučajne varijable? Zašto?

Neka su X i Y dvije diskretne slučajne varijable s konačnom varijancom. Definiramo kovarijancu: cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] i koeficijen korelacije: ρ (X,Y)=cov(X,Y)/ ∇ (X) = √ VarX, ∇ (Y)=√ VarY. Ako su X,Y nezavisne slučajne varijable s konačnom varijancom, tada vrijedi: cov(X,Y)=0, ρ (X,Y)=0. Dokaz: cov(X,Y)={def}=E[(X-EX)(Ycov(X,Y)={def}=E[(X-EX)(Y-EY)]={a=EX, EY)]={a=EX, b=EY}=E[(X-a)(Y-b)]= E(XY bX-aY+ab)={linearnost očekivanja}=E(XY)-bEX-aEY+ab={X,Y nezavisni}=EXEY-bEXnezavisni}=EXEY-bEXaEY+ab={supstitucija a=EX, b=EY}=EXEY-EXEY-EXEY+EXEY=0. Iz def ρ (X,Y)=0.

Vjerojatnost i statistika - odgovori na pitanja

Recommend Documents