2 RELACIONES ENTRE CARGAS, FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES Ahora obtendremos obtendremos algunas algunas relaciones relaciones importantes entre carcargas, fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. Estas relaciones son muy útiles al investigar i nvestigar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en toda la longitud de una viga y son de utilidad especial al dibujar diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Con objeto de obtener las relaciones, consideremos un elemento de una viga cortado en dos secciones transversales transversales que están separadas una distancia dx (Fig. 22). 22). La carga que actúa sobre la superficie superior del elemento puede ser una carga distribuida, una carga concentrada o un par, como se muestra en las Fig. las Fig. 22 a, b y c, respectivamente. Las convenciones de signos para estas cargas son las siguientes: las cargas distribuidas y las concentradas son positivas cuando actúan hacia abajo sobre la viga y negativas cuando actúan hacia arriba. Un par que actúa como una carga sobre una viga es positivo cuando lo hace en sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj.
b MOMENTO FLEXIONANTE
El equilibrio de momentos del elemento de la viga ∑M = 0 dx −M − q dx − (V + d V)dx + M + d M = 0 2 d M
(3)
dx
= V
Integrando B
B
A
A
∫ d V = −∫
q dx
La integral del lado izquierdo es M B − MA (4)
M B − MA =
B
∫
A
V dx
= ( área diagr. fuerza cortante entre A y B)
B CARGAS CONCENTRADAS
El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical da
∑ F y = 0
V − P − (V + V1) = 0
(5)
Fig. 22 Viga fuerzas cortantes y momentos flexionantes
a FUERZA CORTANTE
El equilibrio de fuerzas en la dirección vertical da
∑ F y = 0
V − q dx − (V + d V) (1)
dx
=
0
Se puede obtener una relación r elación útil respecto de las fuerzas cortantes en dos secciones transversales de una v iga integrando la ecuación (1) a lo largo del eje de la viga. Para obtener esta relación, multiplicamos multiplicamos ambos lados de la ecuación (1) por dx y luego l uego integramos entre cualesquiera dos puntos A y B sobre el eje de la viga; por tanto, B
B
A
A
q dx
Integrando (2)
V B − VA = −
Del equilibrio de momentos con respecto a la cara izquierda del elemento (Fig. 22 b), obtenemos dx −M − P − ( V + V1 ) dx + M + M1 = 0 2 o dx M1 = P + V dx + V1dx 2
en el momento flexionante flexionante también es infinitesimalmente infinitesimalmente pequeño. Por tanto, el momento flexionante no cambia conforme pasamos por el punto de aplicación de una carga concentrada. C CARGA EN FORMA DE PARES
El equilibrio de momentos (Fig. 22 c) con respecto al lado izquierdo del elemento da −M + M0 − ( V + V1 ) dx + M + M1 = 0
= −q
∫ d V = −∫
P
= −
Como la longitud dx del elemento es infinitesimalmente pequeña, en esta ecuación observamos que el incremento M1
A CARGA DISTRIBUIDA
d V
V1
B
∫
A
q dx
Si no tomamos en cuenta los términos que contienen diferenciales (ya que son despreciables comparados con los términos finitos), obtenemos (6)
M1
M0
= −
Esta ecuación muestra que el momento flexionante disminuye en M0 conforme nos movemos de izquierda a derecha por el punto de aplicación de la carga. Por tanto, el momento flexionante cambia abruptamente en el punto de aplicación de un par.
= −( área del diagrama carga entre A y B )
Ing. Mario Carranza Liza
177
3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante interna y un momento flexionante que, en general, varían de un punto a otro a lo largo del eje de la viga. Por lo tanto, para diseñar correctamente una viga es necesario determinar la fuerza cortante y el momento máximos en la viga. Una forma de hacerlo es expresar V y M en función de su posición arbitraria x sobre el eje de la viga. Después, estas funciones de fuerza cortante y de momento pueden representarse mediante gráficas llamadas diagramas de fuerza cortante y de momento. Los valores máximos de V y M pueden obtenerse a partir de estas gráficas. Además, como los diagramas de fuerza cortante y de momento proporcionan información detallada sobre la variación de la fuerza cortante y del momento en el eje de la viga, son utilizados con frecuencia por los ingenieros para decidir dónde colocar los materiales de refuerzo dentro de la viga o para determinar la proporción del tamaño de la viga en varios puntos de toda su longitud. 3.1 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL CASO DE CARGA CONCENTRADA
Comencemos con una viga simple AB que soporta una carga concentrada P. La carga P actúa a una distancia a del apoyo izquierdo y a una distancia b del apoyo derecho.
Estas expresiones son válidas sólo para la parte de la viga a la izquierda de la carga P. Enseguida cortamos a través de la viga a la derecha de la carga P (es decir, en la región a < x < L y de nuevo dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga.
De las ecuaciones de equilibrio para este cuerpo libre obtenemos las siguientes expresiones para la fuerza cortante y el momento flexionante: V = R A − P =
P b L
−P = −
Pa L
y
Pa P b x − P( x − a ) = ( L − x) L L
M = R A x − P( x − a ) =
Observe que estas expresiones sólo son válidas para la parte derecha de la viga ( a < x < L) .
Fig. 23 Viga simple con carga concentrada
Considerando toda la viga como un cuerpo libre, con facilidad podemos determinar las reacciones de la viga a partir de su P b P a equilibrio; los resultados son: R A = y R B = L L
V
Fig. 24
Ahora cortamos la viga en una sección transversal a la izquierda de la carga P y a una distancia x del apoyo en A. Luego dibujamos un diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga. De las ecuaciones de equilibrio para este cuerpo libre obtenemos la fuerza cortante V y el momento flexionante M a una distancia x del apoyo:
V
=
R A
178
=
P b L
y
P b x L
M = R A x =
M
Fig. 25 Diagramas de fuerza cortante y de momento fle xio-
nante para una viga simple con una carga concentrada.
(0 < x < a)
Vigas. Cables y Fricción
En el primer diagrama observamos que la fuerza cortante en el extremo A de la viga ( x = 0) es igual a la reacción R A . Luego permanece constante hasta el punto de aplicación de la carga P. En ese punto la fuerza cortante disminuye abruptamente en una cantidad igual a la carga P. En la parte derecha de la viga la fuerza cortante de nuevo es constante pero numéricamente igual a la reacción en B. Como se muestra en el segundo diagrama, el momento flexionante en la parte izquierda de la viga aumenta linealmente desde cero en el apoyo hasta P ab en la carga concentrada
3.2 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL CASO DE CARGA UNIFORME
En la Fig. 26 se muestra una viga simple con una carga uniformemente distribuida con intensidad constante q.
L
( x= a). En la parte derecha, el momento flexionante de nuevo es una función lineal de x, variando de P ab en x= a a cero L
en el apoyo ( x= L). Por tanto, el momento flexionante máximo es: M = P ab y ocurre debajo de la carga concentrada. máx
L
Fig. 26 Viga simple con carga uniforme
Como la viga y su carga son simétricas, de inmediato observamos que cada una de las reacciones ( R A y R B ) es igual a q L 2
Ahora se pueden observar ciertas características de los diagramas de la fuerza cortante y del momento flexionante (Fig. 25). Primero observamos que la pendiente d V del dia-
. Por tanto, la fuerza cortante y el momento flexionante
a una distancia x del extremo izquierdo son V = R A − q x =
dx
q L 2
−qx
y
x qLx qx 2 = 2 − 2 2
grama de la fuerza cortante es cero en las regiones 0< x< a y a< x< L, lo que concuerda con la ecuación d V = −q (ecua-
M = R A x − q x
dx
ción 1). Además, en estas mismas regiones la pendiente d M del diagrama del momento flexionante es igual a V dx
(ecuación 3). A la izquierda de la carga P, la pendiente del diagrama de momento es igual a P b
L
Estas ecuaciones, que son válidos en toda la longitud de la viga, se trazan como diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante en las Fig. 27 b-c, respectivamente.
; a la derecha, es ne-
gativa e igual a − P a
. Por tanto, en el punto de aplicación L de la carga P hay un cambio abrupto en el diagrama de la fuerza cortante (igual a la magnitud de la carga P) y un cambio correspondiente en la pendiente del diagrama del momento flexionante. Ahora considere el área del diagrama de la fuerza cortante. Conforme nos movemos de x=0 a x= a, el área del diagrama de la fuerza cortante es P b a , o P ab . Esta cantidad re L L presenta el incremento en el momento flexionante entre estos mismos dos puntos (consulte la ecuación 4). De x= a a x= L, el área del diagrama de la fuerza cortante es P ab , lo que significa que en esta región el momento fle− L xionante disminuye en esa cantidad. En consecuencia, el momento flexionante es cero en el extremo B de la viga, como se esperaba. Si los momentos flexionantes en los dos extremos de una viga son cero, como es usual en el caso con una viga simple, entonces el área del diagrama de la fuerza cortante entre los extremos de la viga debe ser cero siempre que no actúen pares sobre la viga. Como ya se mencionó, al diseñar vigas se necesitan los valores máximos y mínimos de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionantes. Para una viga simple con una sola carga concentrada, la fuerza cortante máxima ocurre en el extremo de la viga más cercano a la carga concentrada y el momento flexionante se tiene bajo la propia carga.
(
)
V
M
Fig. 27 Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
para una viga con una carga uniforme
Ing. Mario Carranza Liza
179
El diagrama de fuerza cortante consiste de una recta inclinada con ordenadas en x=0 y x= L numéricamente iguales a las reacciones. La pendiente de la recta es –q, c omo se esperaba de la ecuación (1). El diagrama de momento flexionante es una curva parabólica que es simétrica con respecto al punto medio de la viga. En cada sección transversal la pendiente del diagrama de momento flexionante es igual a la fuerza cortante dM dx
=
qx2 q L − − q x = V = dx 2 2 2
Para el tercer segmento de la viga conviene considerar la parte derecha de la misma en lugar de la izquierda, ya que actúan menos cargas sobre el cuerpo libre correspondiente. De aquí, obtenemos V = −R B + P3
M = R B ( L − x ) − P3 ( L − b 3 − x)
y ( a2 < x < a3 )
d qLx
Por último, para el cuarto segmento de la viga, obtenemos
El valor máximo del momento flexionante se tiene en el punto medio de la viga donde tanto d M como la fuerza cortante dx
V son iguales a cero. Por lo tanto, sustituimos x= L /2 en la expresión para M y obtenemos q L2 M máx = 8
V = −R B
y
M = R B ( L − x)
( a3 < x < L )
Las ecuaciones anteriores pueden emplearse para elaborar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante.
como se muestra en el diagrama del momento flexionante. El diagrama de la intensidad de carga (Fig. 27 a) tiene un área q L y de acuerdo con la (ecuación 2) la fuerza cortante V debe disminuir en esta cantidad conforme nos movemos a lo largo de la viga de A a B. Podemos ver que este es en efecto el caso, debido a que la fuerza disminuye de q L a − q L 2
2
.
El área del diagrama de la fuerza cortante entre x=0 y x = L
2 es q L y observamos que esta área representa el
2 8 incremento en el momento flexionante entre estos mismos dos puntos (ecuación 4). De una manera similar, el momento 2 flexionante disminuye en q L
8
en la región de x = L
2
V
a
x= L. 3.3 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL CASO DE VARIAS CARGAS CONCENTRADAS
Si en una viga simple (Fig. 28) actúan varias cargas concentradas, se pueden determinar las expresiones para las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes para cada segmento de la viga entre los puntos de aplicación de las cargas.
M
Fig. 28 Viga simple con varias cargas concentradas
Empleando de nuevo diagramas de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga y midiendo la distancia x desde el extremo A, obtenemos las ecuaciones siguientes para el primer segmento de la viga: V = R A
y
M = R A x
( 0 < x < a1 )
Para el segundo segmento, obtenemos V = R A − P1
180
y
M = R A x − P1 ( x − a1 )
( a1 < x < a2 )
Fig. 29 Diagramas de fuerza cortante y de momento fle xio-
nante para una viga simple con varias cargas concentradas
En el diagrama de fuerza cortante observamos que la fuerza cortante no varía en cada segmento de la viga y cambia abruptamente en cada punto de carga, con el valor de cada cambio igual a la carga. Además, el momento flexionante en cada segmento es una función lineal de x y, por tanto, la parte correspondiente del diagrama de momento flexionante es una recta inclinada. Como ayuda para el trazo de estas rectas, obtenemos los momentos flexionantes bajo las cargas concentradas sustituyendo x = a1 , x = a2 y x = a3 .
Vigas. Cables y Fricción
De esta manera obtenemos los siguientes momentos flexionantes: M1 = R A a1 ; M2 = R A a2 − P1 (a2 − a1 ) y M3 = R B b3 Conociendo estos valores, podemos elaborar fácilmente el diagrama de momento flexionante conectando los puntos con rectas. En cada discontinuidad en la fuerza cortante hay un cambio correspondiente en la pendiente d M del diagrama de mo dx
mento flexionante. Además, el cambio en el momento flexionante entre dos puntos de carga es igual al área del diagrama de fuerza cortante entre estos mismos dos puntos. Por ejemplo, el cambio en el momento flexionante entre las cargas P1 y
P2
es M2 − M1 . Sustituyendo en las ecuaciones anteriores,
obtenemos M2 − M1 = (R A − P1 )( a2 − a1)
que es el área del diagrama rectangular de la fuerza cortante entre x = a1 y x = a2 . El momento flexionante máximo en una viga sólo con cargas concentradas debe ocurrir bajo una de las cargas o en una reacción. Para demostrar esto, recuerde que la pendiente del diagrama de momento flexionante es igual a la fuerza cortante. Por tanto, cuando el momento flexionante tiene un valor máximo o mínimo, la derivada d M (y por tanto la dx
fuerza cortante) debe cambiar de signo. Sin embargo, en una viga sólo con cargas concentradas la fuerza cortante cambia de signo sólo bajo una carga. Si, a medida que continuamos a lo largo del eje x, la fuerza cortante cambia de positiva a negativa (como en la Fig. 29 b), entonces la pendiente en el diagrama de momento flexionante también cambia de positiva a negativa. Por tanto, debemos tener un momento flexionante máximo en esta sección transversal. A la inversa, un cambio en la fuerza cortante de un valor negativo a uno positivo indica un momento flexionante mínimo. En teoría, el diagrama de fuerza cortante puede intersectar el eje horizontal en varios puntos, aunque esto es muy poco probable. Correspondiendo a cada uno de esos puntos de intersección, hay un máximo o mínimo local en el diagrama de momento flexionante. Los valores de todos los máximos y mínimos locales se deben determinar a fin de encontrar los momentos flexionantes máximos positivos y negativos en una viga.
Ing. Mario Carranza Liza
181
Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la flecha que se muestra en la figura. El soporte en A es una chumacera de empuje y el soporte en C es una chumacera lisa.
(HIBBELER, 2010) – Ejemplo 7.6
182
Vigas. Cables y Fricción
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga que se muestra en la figura.
(HIBBELER, 2010) _ Ejemplo 6.1
Ing. Mario Carranza Liza
183
En la figura: a)
Determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
(BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace, 2008) – 10.23
184
Vigas. Cables y Fricción
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para una viga simple con una carga uniforme de intensidad q que actúa sobre parte del claro.
(GERE, James y BARRT Goodno, 2009) _ Ejemplo 4.4
Ing. Mario Carranza Liza
185
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para una viga en voladizo con dos cargas concentradas.
(GERE, James y BARRT Goodno, 2009) _ Ejemplo 4.5
186
Vigas. Cables y Fricción
Para la viga acotada en la figura, P=800 N se pide: a) Determinar las componentes de las reacciones. b) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector debidamente acotados.
(VILLAREAL CASTRO, 2011) – 5.12
Ing. Mario Carranza Liza
187
Para la viga mostrada, P = 6 T se pide: a) Calcular las reacciones en los apoyos. b) Graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector debidamente acotados.
(VILLAREAL CASTRO, 2011) – 5.20
188
Vigas. Cables y Fricción
1.
En la figura
4.
a)
Determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x. b) Demuestre que las ecuaciones para V y M en función de x satisfacen la ecuación V = dM
dx
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga en voladizo.
.
Estrategia: Para el inciso a) corte la viga en una posición x arbitraria y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga que se encuentra a la derecha del plano.
(MERIAM, J.L. y KRAIGE, L.G., Reimpresión 2010) – 5.116 5.
Trace los diagramas de carga y momento flexionante que correspondan al diagrama de fuerza cortante indicado. Suponga que no se aplican pares a la viga.
(BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace, 2008) – 10.24
2.
Para la viga y las cargas mostradas en las figuras Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. b) Determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.
(PYTEL, Andrew y KIUSALAAS, Jaan, 2004) – 6.58
a)
6.
(BEER, Ferdinand P. y otros, 2010) – 7.31
3.
Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga saliente.
Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga.
(RILEY, William y STURGES, Leroy, Reeimpresión 2004) – 8.47 7.
Una tubería está soportada de manera simple en un extremo y remachada de forma efectiva en el otro como se muestra en la figura. Calcule las fuerzas de reacción y las fuerzas internas, grafique los diagramas de cortante y de momento e indique el momento flexionante máximo generado al sostener una carga en el punto indicado.
(HIBBELER R. C., 2010) – 7.48
(SOUTAS-LITTLE, Robert W y otros, 2009) – 8.19
Ing. Mario Carranza Liza
189
8.
Dada la siguiente viga, graficar los diagramas de fuerza cortante y momento flector debidamente acotados.
12.
Construir los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga cargada por la fuerza de 2 kN y el par de 1,6 kN.m.
VILLAREAL – 5.13
9.
En la figura, se tienen las cargas C=800 N.m y F = 200 N .
(MERIAM, J.L. y KRAIGE, L.G., Reimpresión 2010) – 5.124
a)
Determine las fuerzas y el momento interno como funciones de x. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.
(BEDFORD, Anthony y FOWLER, Wallace, 2008) – 10.29
10.
Para la viga y las cargas mostradas en las figuras a)
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. b) Determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.
(BEER, Ferdinand P. y otros, 2010) – 7.36
11.
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene por medio de un rodillo en C . Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga
(HIBBELER R. C., 2010) – 7.61
190
Vigas. Cables y Fricción
