Unidad 2. Fuerza internas en vigas. Ing. Ana Isabel Rosado Gruintal, M.I.
Contenido •
Objetivo
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Sistema general de fuerzas internas.
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Naturaleza de las fuerzas internas en vigas.
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas: fuerza cortante y momento flexionante. flexionante.
Relación entre carga, fuerza cortante y momento flexionante. Diagramas de fuerzas internas: de fuerzas cortantes y de momentos flexionantes. Bibliografía 2
Objetivo •
Obtener las fuerzas internas, sus ecuaciones y sus diagramas en vigas isostáticas.
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Introducción •
Viga.- Elemento estructural diseñado para soportar cargas que sean aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento. En la mayoría de los casos las cargas son perpendiculares al eje de la viga y únicamente ocasionaran corte y flexión. Cuando las cargas no formen ángulo recto con la viga, producirán fuerzas axiales en ella.
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Introducción •
Las vigas se clasifican de acuerdo con la forma en que estén apoyadas.
= − ( + ))
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Determinadas (
•
Indeterminadas 5
Introducción •
Tipos de cargas:
Concentrada
Uniformemente distribuida
Momento
Variable
Combinación
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Sistema general de fuerzas internas. •
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En la figura se representa una viga simplemente apoyada, en equilibrio bajo la acción de una fuerza concentrada P y de sus reacciones R1 y R2. Por el momento se desprecia el peso propio de la viga y solamente se tiene en cuenta el efecto de la carga P. Supongamos que se corta la viga en una sección a-a a una distancia x de R1, quedando la viga dividida en dos partes.
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Sistema general de fuerzas internas. Para mantener el equilibrio, en la sección de corte a-a deben aparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer las condiciones de la estática, fuerzas que representan la acción de la parte derecha suprimida sobre la porción izquierda.
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Sistema general de fuerzas internas. •
Para satisfacer la condición ∑Y=0, las fuerzas interiores en la sección a-a deben originar una fuerza resistente que se oponga a R1. Esta fuerza es V1.
− = 0
El momento flexionante es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha de una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas.
− = 0 9
Sistema general de fuerzas internas.
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− = 0 − = 0 = = 6 − = 0 − + = 0 M = = 6 10
Naturaleza de las fuerzas internas en vigas. •
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Para examinar las condiciones internas de una viga es preciso estudiar un cuerpo libre en el que se ponga de manifesto las fuerzas que deben estar presentes para que ese cuerpo permanezca en equilibrio.
Fuerza normal: la suma algebraica de las fuerzas externas que son paralelas al eje de la viga. Normalmente la fuerza normal se considera positiva si la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección esta dirigida hacia la izquierda, la fuerza interna a la izquierda necesaria para el equilibrio esta dirigida hacia la derecha. 11
Naturaleza de las fuerzas internas en vigas. •
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Fuerza cortante: la suma algebraica de las fuerzas externas que son perpendiculares al eje de la viga. Normalmente la fuerza cortante se considera positiva si la suma de las fuerzas a la izquierda de la sección esta dirigida hacia arriba, la fuerza interna a la izquierda necesaria para el equilibrio esta dirigida hacia abajo.
El momento flexionante es la suma algebraica de los momentos causados por todas las fuerzas externas de una sección. Se calcula respecto a un eje que pase por el centroide de la sección transversal. Un signo positivo indica que la suma de los momentos externos a la izquierda tiene sentido horario. Es decir, el momento flexionante interno necesario para el equilibrio tiene sentido antihorario. 12
Ecuaciones de fuerzas internas en vigas •
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El diseño de una viga requiere un conocimiento detallado de las variaciones de la fuerza normal N, la fuerza cortante V y momento interno M actuando en cada punto a lo largo del eje de la viga. Las variaciones de N, V y M como una función de la posición x de un punto arbitrario a lo largo del eje se puede conseguir mediante el método de secciones.
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas El procedimiento siguiente proporciona un método para determinar la variación de N, V y M en función de la posición x.
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas Reacciones en los apoyos •
Determine las reacciones en los apoyos de la viga y resolver todas las fuerzas externas en componentes que actúan perpendicular y paralelo al eje de la viga.
= − cos = 0 = cos = + − sin = 0 = ()− sin (/2) = 0 = sin (/2) sin = 2 sin = 2
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas Funciones de fuerza normal, cortante y momento. •
Cortar un cuerpo libre de la viga hasta una posición de x, cada vez que la carga cambia a lo largo de la viga.
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas Funciones de fuerza normal, cortante y momento. •
Definir el diagrama de cuerpo libre de cada segmento para determinar las incógnitas N, V y M en la sección de corte como función de x.
0 ≤ 1 < /2
≤ 2 ≤
L/2
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas
0 < < /2
Ecuación de cortante
− = 0 − = 0 sin () = = 2 Ecuación de normal
+ = 0 + = 0 () = −= −cos
Ecuación de momento
+ = 0 − + = 0 () = () = sin2 ()
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas
<<
L/2
Ecuación de cortante
− = 0 −sin − = 0 () = −sin sin sin () = 2 − sin = − 2 Ecuación de momento Ecuación de normal
+ = 0 − cos + = 0 = − + cos = −cos + cos = 0
+ = 0 − + sin( − /2) + = 0 = − sin − 2 = sin2 − sin − 2 = sin 2 − +
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Ecuaciones de fuerzas internas en vigas
0 < < /2 sin () = 2 () = −cos sin () () = 2
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<< sin () = − 2 =0 sin = 2 − + = Los resultados pueden comprobarse observando que = y donde , donde w es positivo cuando actúa hacia arriba. L/2< < 0 < < /2 () = sin = () () = − sin = () ()2 () 2 = 0 = 0 L/2
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Relación entre carga, fuerza cortante y momento flexionante. Los diagramas de cortante y momento pueden ser graficados con las funciones (ecuaciones) de cortante y momento. Estos pueden ser graficados usando las siguientes dos relaciones:
= Pendiente del diagrama de cortante = intensidad de la carga distribuida
= Pendiente del diagrama de momentos = Cortante
Notar que en el punto donde el cortante es cero se localiza el punto de máximo momento.
∆ = Cambio en el momento = área debajo del diagrama de
∆ = Cambio en el cortante= área debajo del diagrama de carga
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Diagramas de fuerzas internas •
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Un diagrama de fuerzas cortantes, normales o momentos flexionantes es una grafica que muestra las magnitud de la fuerza a lo largo de la viga. Las graficas de las fuerzas internas de cortante, normal y momento se pueden obtener de graficar cada una de las ecuaciones. El método usual para obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante es construirlo a base de las relaciones desarrolladas. Usar las relaciones es mucho mas rápido que graficar las ecuaciones, especialmente cuando hay cargas múltiples. 22
Diagramas de fuerzas internas •
Procedimiento:
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1. Calcular las reacciones.
•
2. Calcular los valores de la fuerza cortante en los puntos de discontinuidad.
Ubicación 0 L/2
Cortante
Izquierda Derecha
L
sin 2
−
sin − 2
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Diagramas de fuerzas internas •
3. Trazar el diagrama de fuerza cortante.
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Diagramas de fuerzas internas •
4. Determinar los puntos de fuerza cortante nula. L/2
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5. Calcular los valores de momento flexionante en los puntos de discontinuidad o cambio de cargas y en los puntos de cortante nula, empleando
∆ =
Cambio en el momento = área debajo del diagrama de cortante
1 = × = 4 2 = − × = − 4 25
Diagramas de fuerzas internas •
6. Trazar el diagrama de momentos flexionantes.
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Diagramas de fuerzas internas •
7. Calcular los valores de la fuerza normal en los puntos de discontinuidad. Ubicación 0 L/2 L
Cortante
−cos Izquierda −cos 0 Derecha 0
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Diagramas de fuerzas internas •
8. Trazar el diagrama de fuerza normal.
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Diagramas de fuerzas internas •
Se pueden trazar mas rápidamente los diagramas cuando se conoce la forma general de la curva para casos particulares de carga. Carga concentrada
Carga uniforme
Carga uniforme variable
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Diagramas de fuerzas internas •
Tarea 2.1. Calcular las reacciones de las siguientes vigas, las ecuaciones y diagramas de los elementos mecánicos.
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Diagramas de fuerzas internas •
Tarea 2.2. Calcular las reacciones de las siguientes vigas, las ecuaciones y diagramas de los elementos mecánicos.
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Diagramas de fuerzas internas •
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Tarea 2.3. A) Encontrar la ecuación de V y M y las reacciones en los soportes. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
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Diagramas de fuerzas internas
Viga
Cortante y Momento
−
= − =− 2
+ = = 2 33
Diagramas de fuerzas internas − +
Viga
−
Cortante y Momento
3 = − + 2 = − 2 + 6
3
= − 2 = − 6
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Diagramas de fuerzas internas Viga
−
Cortante y Momento
3 = − 2 = 2 − 6
3
= 2 = 6
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