f 150 cm -fr ¡
�t,
1 U etrama ime e s barra está ara a ya m e iia e a fgra PS-. Determar a erzas reee y e et terre e trsmite a eió reee e a arra ABC aa
10 kN
Cable
(
a
· �- e
� 45 cm-40 cm 50 cm. 10m N! 000 ,•. ; ; · :'
89 &·&·0* etraa me e tre barra etá ara y a m se iia e a igra -2. Determiar as erzas eitete y e mmt iterire qe trasmite a ; Ieió bb e a barra DEF. , �·e
U etraa ime e tre barra etá ara y a ya m se iia e a ra 22 Determar a erza eitetes y e mmet iterire qe trasmte a eió aa e a barra DF eió bb e a ra ABCD.
I 400mm 200200mmmm
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00 N 400mm Loomm 8
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J. l I 400mmmm0 00mm,¡ 44mm_ 400 mm_ F 8
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5kN;'
A
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S
1
FUERZAS CORTNT Y MOMENO HTO HTO N VIG
o srucul o un coponn un dndo pnpl �n sopo u u jn ppndculn l dl . Ét � .- r l no d g L dfnc pncpl n vg un o cgdo xln o u ol sodo orn (pdo .) s l "{ d crg plcd. E gl, ngud d vg gd n nsons d su scc c A í í u os nr s 'ons cs d un vg s l sul or d j cnod o . · al de a viga u d d frm rm ea l l f sea gun s v, , se seg c v ct o c d sr sr ct iga Una vga pu ud
ntod n l onstuin d dfios chs gs s n o
. ,\• �1
_'RZ�, ! TIOES FJ vi:\B
n horzontal s ben tambén s nuntran gas rtales rtales e nlnadas en otr lco. prl prl rmó or lxó
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(a)
(b)
M
R�(t;
>. -4isc
(e)
Figura 8-
a
No unifrme
n horzontal s ben tambén s nuntran gas rtales rtales e nlnadas en otr lco. prl prl rmó or lxó Agnas as están argaas urament a flexón metr u otr l ometda rg letoras n ombnan on rg rg axl ortant y torsoras a mayoría d los mmbros mulerza el aartao .3 ran gas d te to o mro lto omto r xl omr eom olums o mmbro ebeltos somedos a aras aals om resas ombnadas on arga que orgnan len rebn l nombr d o lnas letntes n este aartado slo se an a onsdrar gas esbelts on la o lxón). al arga lo argas ansrsales n un lano (llamdo lao orgnarán una urza ortant V y n momento letor M ue transmtrá una e re ulr l tes d roder l nál d l frza ortante r y del momnto letor a a a a al lo aoyo de l l r l mm y ló os tres tos de aoyo qu se utlzan orrentmnt orrentmnt ar las gas son los aoyos or rodllo los aoyo or ador y los aoyos jo. jo. l oyo or rodllo (g 8) rsst l momto la g la re n erendular a su eje ugo la ran n un aoyo d rodllo d una ga horzontal una urza rtal a ga ude grar brmnt toro l aoo d rodllo 2 l aoyo or asador ( . -) resst el e l momnto d la ga en ual r ró l lo r ró l aoyo e aor d na ga orzontal se suel rreentar mdant las omonntes hor zontal y ertal d la furza a ga uede grar lbrement torno l aoyo de asador l aoyo jo ( g ) md tanto la roan de de la ga omo su mo mnto n ualur r dl lo e ara ar a a rean dl aoyo jo ued rresntarse medant do omonentes de urza y un mo mento as l ú l o r oor e tr ota a ara oentras ras dtrbudas o a ars (mo ments onentrados) que an olo o n ua omb ulqur.
b
L
e,
2,
(e)
figur 9
3.
as aras aladas a una orn muyequeña de la longtud de una ga se llaman argas onntradas Una arga onentrada (. g. 8-9a) ue dlzr medat una uerza dsreta u s ejere sobre un unto onreto d l g s ras ue s jrn a lo largo una lontud nta de ga s deno mnan argas dstrbudas a dstrbu ( g 89b uee er unor m o o l so de l a onttuy un ejemlo de ara dstrbuda unormemnt. l mmto ontro ( f. 89) e u r rdo or do urzas d sent dos ouestos aladas a la g en gual mdulo y dren ero de sentdos una sn artular n la gura 9 s mutran las dos orma d r rsntan del ar.
a gas tambén se lasn atendndo al to de aoyo que utlzan a g aoya e or rollo o urf urf l xtrmo ( f. 8-lOa) s u stá smlmnte aoyada
-
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3.
as aras aladas a una orn muyequeña de la longtud de una ga se llaman argas onntradas Una arga onentrada (. g. 8-9a) ue dlzr medat una uerza dsreta u s ejere sobre un unto onreto d l g s ras ue s jrn a lo largo una lontud nta de ga s deno mnan argas dstrbudas a dstrbu ( g 89b uee er unor m o o l so de l a onttuy un ejemlo de ara dstrbuda unormemnt. l mmto ontro ( f. 89) e u r rdo or do urzas d sent dos ouestos aladas a la g en gual mdulo y dren ero de sentdos una sn artular n la gura 9 s mutran las dos orma d r rsntan del ar.
a gas tambén se lasn atendndo al to de aoyo que utlzan a g aoya e or rollo o urf urf l xtrmo ( f. 8-lOa) s u stá smlmnte aoyada
-
2. La vga smpemene smpemene apoyada que se poongue más aá e sus apoyos e uno o ambos eemos (v g 8-lOb) se ce que es na vga sobesaiene p o un exemo ibe po e oo o o v. 8O) se ce 3 a va que es ja po que es una vga en voazo o ménsua 4 La va ue esá ia po un eemo y smpmene apoyaa en e oo (v - lOd) se c que es una va sopoaa sopoaa 5 L vga que ene más e dos apoyos smpes (v g 8e) se enoina va connua 6 La va que esé o bien ia sn oacón) o ben ia oación maa se dice que esá empoaa Las igas abén pueen csicase en esácaene eeminaas (isos ácas) y esácamene ineerminaas hpeesácas) Cuano se puedan obene as eacciones e os apoyos a pa e as ecuacones e a a Esáca so amene, a viga es esácamene eeminaa S S as uezas apicaas a a vga esán maas maas a un pano p e e pano xy), se spone de es ecuaciones e equbo paa eemna as eaccones e os apoyos. Las ecuacones son íF
X
=
F
O
y
=
O
one A es un puno cuquie e pano e cga pano x). Así pues se po án etemna es componenes e as eacciones como mmo as ue zas apcaas y as eaccones e os apoyos son sempe pepencu pepencuaes aes a ee ongna ong na e a vga a ecuacón IF IF = O se cumpe auomáicamene Paa que esa vga sea esáicamene eemnaa sóo podán habe os uezas eacivas incógnas ya que e númeo e ecuacones de equbo e ue se ispone se a eucio a os cuaes son F =
O
y
Son eempos e vgas esátcamene eemnadas eemnadas as vigas simpes si mpes as sobe saenes y as ménsuas Cuano a ga enga más má s apoyos e os necesaos paa manene e equ bo as ecuacones e equbio no son sucenes paa eena as ec cones e os apoyos De icas vigas se ce que son esácamene ne enaa o peesácas y paa eemina as eaccones e os apoyos se enaa ha de echa mano enonces de as popeaes que eaconan a caga con a deomacón e a vga aemá e as ecuaciones e equbo Ene os eem pos e vias esácamene neeminadas se pueden ca a va en e n voao sopoaa viga connua y a ga empoada. empoada. n ese bo b o sóo se aaán as vigas esáicamene eeminaas o soscas) s vs pa aaán en cusos poseoes que aen a Mecáca Mecá ca e maeaes maeaes os esuezos y eomaciones e as vigas son unciones e as uezas n eioes eioe s as uezas neoes que ansmien as seccones ecas de una viga son as ueza y moenos que se neces necesnn paa esisi as uezas eeioes y manene e equbo onsiese a vga epesenaa n a igua 8-la que es somea a una caga isibuida unomemene w, os caas con n y eacciones e os apoyos en sus eemos Las eaccones e os apoyos puee ee y g o be e oa va Las uezas neioes ansmas po una sección eca abiaa p e a seccón aa e a viga pueen eem 1
2
-
]41
8.4 FUERZAS COT COTNH NH Y MM Ll VI
(a) p
w
(b) p
w
e
lp
w
,: , : .� .�··
{d
(e )
f
igura B-1
342
FUERZAS INTO Mi!vB CL
nare haciendo paar un plano por la ección que epare epare la viga en do parte. Como la iga total está en equilibrio cada una de las artes searadas or la ección aa deerá tamié estar en equilirio equilirio ajo la acción de la uerza inte riore Cuando se alica la ecuación de eilibrio 2Fy = O al diagrma de sólido li bre de la gura el resultado e podrá ecribir en a forma R-wxP 1
=
V,
o sea (al
(b)
Figura 8-1
eercen donde Va es la resultante de las ueras tranersale exteriore que se eercen sobre la arte de la iga sitada a no otro lado de d e la sección Eta erza re ultante Vª e la llamada uerza cortante tranera en e n la ección ección Seg se e en la igura -, la uera cortante Va tiene igal módulo y dirección pero entido oeto que la uerza cortante reitente Vr Como eta ueras cor tantes n siempre de igual módulo recentemente e tatan como i ueran idntca or razón r azón de encillez, de ahora en adelante e utiliará el ímbolo V ara reresentar tanto la era cortante transersal Va cmo la era cortante resitente . uando e aca a ecuacón de ebrio zA diagm de sido libre de la igra 8, el reultado e pede escriir en la rma
o ea
donde Ma e la uma algebraica de lo momento repecto a un ee en la ección erendicular al lano de eión (lano xy), de la uerza eteriore que se eerce sobre a arte de iga situada a no otro lad de a sección A mo meto Ma e le da el nombre de momento ector o implemente momento momento en la ección egún e e e en la gura 8-1 lb el momento ector M tiene igual mó dulo y dirección, pero entido opueto, qe el momento reitente omo eto momento on iemre de igual módlo ecuenemente e atan como i ueran idnco. Por razón de encez de ahora en adelte e utilar el ímolo M para repre repreenta entarr tanto al omento ector M como al momento re sisente n el diagrama e ódo libre no e e repreentan normalmente l momento feco a fera tnsersa V Lo corriente es reresenta indiidua· indiidua · mente cada era eterior como e indica en la igura la. as ariacione e y a o argo argo e la g se eden eresar mediante ecuaciones o re preentare grácamente grácamente por medio de digramas de era cortante y de mo mento lector que se erán má adlante en el apartado 85 ara interpretar correct correctamente amente lo reulado reulado ote otedo do de la ecuaciones o los diagramas de d e uera cortante y momento ector erá neceario neceario un cone a
i a a fra 82 iia h inira év a fra 82 t r a a ii a i a a ar rr a v ia aa et a a ri a iir a ai L in r V M arir a C ara s is ara M V a arr iaraa i i r a ia a j 4 ia rnt r
M
V
x
x,
ZS TN Y IG
r
a
4�J G l!m dil� a
. rn -
F. coante +
(a) 1
,t)¡(& '�) !(
ª
Momo
Momo
PROBLEMA EJEMPLO
8.4
Una vga está cagaa y apoyada ún se ndca en la gua Escb las ecuacones de la eza cotante y el momento ecto paa toda seccn del ntvao 0 m < m la vga somtda a la cga dstbuda que se n dca 8-13a.
V
M
x
17 N/m
rOkN
SOLUCIÓN
n la fra s a reresentado el agrama d sóldo bre de una pocón d ga compndda n s trmo uedo una seccón abtaa bao a carga dstrbuda bsvese que se epesentan posos la eza cotante e sstente y el momento esstente En geneal, no es posbl dec s clculo s la feza cotante o el momento son postvos o negavos en una seccón pa tcula. Po esta aón, y se epesentaán osos n s daramas de só ldo lb y la cuacones que esulen dán sus valoes con el sgno algebaco coecto. a'eaccón en el apoyo se detemna ulzando un dagama de sóldo l be de la va entea y sumando momentos especto al apoyo B. Así pues R(3)10(39)-17(1,)(15)10(06 = O de donde R 303 D la dncón de o de la ecuacón bro F esp 00( 06 = - +0k De la decón de o de la ecuacón de eulbo O 0x(x 09) � 7( 0 6{ c 0 } _ - 06 · k as cacones e Vy M n los otos nteaos se puen a análga. b
V
M.
V
y
M
A
A
V
y
V=
M
0
X
2
0,S
En los problemas 8-23 a 89, as vigas están cargadas y apoya
6
kN (b)
! lOkN
En los problemas 8-23 a 89, as vigas están cargadas y apoya das según se indica en as guras adjtas. Escribir as ecuacio nes de a uerza cortante V y e momeno lector M (utzar os ees de coordenadas que se ndcan) para toda sección de os tramos de via ue se especican ·
0 kN 0 /
* En el tramo O< x < m de a ga representada en la i gura PS
a 7 En e amo < x < m de a vga epesentada: en la gura S
Fa 4 En el amo O< x < m de a viga repesentada en a gura S
° En e amo O x m de la ga repreentada en a ga S8
k
1
fa
/
5 En e tramo x J m de a ia repreentada en a ua S
En el tramo < < dea vga epesenada ena gua S
y
y
/ 1 6 En e amo < x < m de a vga epesenaa en a ura S
a
�-·
0 Una ga está cgda y apoada como se ndca en la iga S3asUtlzando losdeeaesfua e oodenada uel momene nd can escb ecuacones coae o feco en en Vy
M
y
1
.. 30 kN
0 Una ga está cgda y apoada como se ndca en la iga S3 Utlzando los e e s e oodenada ue e nd can escb as ecuacones de a fua coae l momeno feco en en tamo O< 6 mm. a nEn elel tamo Vy
M
x
x
N/
y
.. 30 kN
y
1
[ ) � Una viga está cgaa y apoyada como se indica en a iguraescrbir 83.asUtilzando losdeejlaesfuea de coordenadas queel momen se ind can ecuacione corante y o ector en las secciones de la viga nn elel ramo O<8<<<83,. m amo Utizar ls resuados de os apartados y para deermi nar o y del módulos la máxima mámoy situaciones momento delector M enuera la vgacotante V
M
P
x
a
1* a viga esá cargada y apoyada como se indica en·a uraésib 8 3.asUtliando osdeejaesuera de coordenadas quee momen se indi ogfeco cuaciones corane y en as secciones de a vga a nn € ramo 3<<<<4; 8 m. amo Ulza los esulado de os apaado y paa deem nalosy móduo y tuacones de a mxma ueza coane máimo momeno fectr M en la porcn . de viga delomprendda entr s apoyos
Vmá
mx
kN
M
y
x
a
m
b
á
16,7
k/
20
kN
F P Una viga está cagada y apoyada como se ndca en la fgura 84 Uzando lo e de coodendas ue se indi escrbi enasasecuacones toca,lecto seccondedelalafuea vga coane el momen EnEn ele trmo amo O< < 6 m En e ramo 6 < 9 m. y
2 Una viga está cargada y apoyada como se ndca en la ga lasando odeeauerza d ue momen nan ecbir ecuaones cotante olecor en las seccones de la vga . nel n e amo<<4m. tamo < < m. Utlza n el amo 4< < 8 m. los esulados de los apartados y para deter mnar osV módulos y situacones de la omáima ea nole M n a ga
M
x
x
M
3
y
a, b
y
Figura P8-34
kN l
8.5
346
FUERZAS INTÉO 'v\l,iBR CRL
wdx y
�(
M+M
!)
VdV
Figura 8-14
GM D Á Y MM
Los digrms de uerza cortnte y de momento fetor se utlzn pr pro porconr una representón grác de vrón de l uerz ortnte V y del momento flector M a lo lrgo de la vg. En el dagrma de uerz ortnte, se representa gráamente la fuerz ortnte trnsvers V en nón de po són a lo rgo de vga n e dgrm de momento se represent gáfa mente el momento etr M en ncón de la osón o argo de a vg n tes dgrms se estabeen fálmente los vlores mxmos de la erza cor tante y el momento fletor sí como ls poscones en que tenen ugr Los dgrmas de erza cortante y de momento fletor se pueden dujr alulndo los vlores de estas mgntudes en dversas secones o rgo de l vg y representndo gráfcmente un número de puntos sufente para tr ua a. t roemeno ret un tto lento y ue no se pue de esrr un expresón eleenta de la fuerz ortnte V o del momento ector M que sea pe toda a vg a menos que a arg esté dstbud normemene o vre a o rgo de a vg obedeendo un euaón ono d En quel cso será neesro dvdr ga en trmos ltados por los camos rusos de rg os dgrms de erz cortnte y de momento flector se pueden tmn estbleer drectmente a partr de un dgrm de sóldo lre (dagam de rgs) de vg utlzndo vars relones mtemátcas sencas que exs tn entre ls crgs dstrbuds y ls fuerzs ortntes y entre las erzas cor tntes y los ·momentos Estas relacones pueden desrollarse partr del dgrma de sóldo lre de una ongtud elementl de l vga según se nda en l fgur 8-14. En este dagrm se consdera posto el sentdo hac rr b pr arga aplada w y ls erzs cortntes y os momentos segrn e onveo de snos estaledo en el apartado 8.4. Como la vg está en equ lro el elemento tmbén eberá estaro y a pe eu de e bro IFy = O se' tene V+dx-(Vd) =0
de donde V.
=
w
o
V
(8-1)
Esta últma ecuacón nos nd ue en tod secón de la vga a pendente del dagram de erz cortante es gal a la ntensdd de rg uando se onoz w en unón de x, se podrá ntegrr l ecucón entre ímtes dendos y será: (8-2)
As pues vraón de erz ortnte entre as secones en x1 y 2 es gu l área encerrd ao e agrama entr one s no h ueras onentrds en el trmo x < x < 2 .
Apcad a ecacó de qbr LM0 = O a mt repreetad e a ra 84 t � kM 0
=
M + V dx w d d - ( M + dM) 2
d dd dx 2 d Vd+ 2
Dvdd pr d paa a ímte e tee o s
dM
Vdx
(3
Eta ecacó dca q e tda eccó de a a a pdt de darama d mmet e a a a erza crtat. Itrad a cacó e tre te dd e t
J V.dx M2 dM • J 1 x,
x,
M
M2 M 1
(8-4)
í p e camb de mmet etre a eccn n x x a a ára ecerrada baj e darama d rza crtate etr dca ecce a ar acad n tam 1 < < • béree q a ecac a ddcd tmad aca a drca em pt aca arrba a cara apcada pta de a era crtat e mmet ú dc a fra e cambara a m d ta póte pdr er cear atear aera d a ecacó a reac q acaba d dearrar prprca md d d bjar daraa d rza crtate d mmt ctr de cacar ar de a ra crtat mmet dta ecce de a a. E mtd c dbjar e darama d era ctat a partr d dara ma de cara e darama d mmt a par d darama e frza crta t apcad a ecace de a t m métd a cad pda dar a cra preca prprca a rmac de a ra crtate e mmt qe e ecetare ara prctar a e má rápd q e pr mr méd darama cmpet de erza crtat d mmt dcara ar d a erza crtante e mmt cada ccó dde camb bruscamente a carga y las sccios as qu aquélos sea máximos o
mím (are mám eat ambé cazaría a ecc
las qe so cero a fura cortant o l momto. Cado se coozca todas
a cara racce a ura crtat mmt fecr e m e a e pdr dtrmar pr mpe pccó trm br d una viga, la uerz cotnt y momno f vldrá c o ms q e e e a e a rza par amba ca; t ca a era crtte es igual a la urza y e mometo fctor s igua a momo d p. E
147
.5 IAGRMS FURZ COTNE Y D, i L
1-b ·- �
FUZAS INROE �.\!EtvB TCL
6 kN
o
1 I 5 kN/ m �0,9 mo, m-1,8 m (a)
extemo simpleente apoyado o con apoyo po pasado a uerza cortante debe ser igua a la reacción n e xtemo y el momnto d se no. n exemo empotrado o jo, las reacciones son de iga vaor que la erza cor tante y e momento ecto Una vez stabecio un punto e arranque para e diagama e uerza cor tant se porá esquematzar icho agama inmeiatamente ebao e iagaa e caga utzano a ecin e ueza cortante y e eco e que � peniente e iagrama e ueza C!tante puee obtenerse e iagra e carg Tomano os sentios positivo hacia arriba y haci a erecha una car ga distibuida positva (que se eece aca arriba) da luga a una pendiente · positiva en e diagma de ueza corant; y una caga negtiv aía una pen iente negava na erz concentraa a uga a un cambo bruso e ueza cotante E cambio de uerza cortante entre dos seccoes dadas viene dado por el ea encerada bajo el diagrama de carga ente dcas secciones l cambio de eza coante en una carga concenrada es iga a ésta eiatmente ebajo e iagama de ueza cortant se pude dibuja e agama e omento. La peniente en too punto e ete útio viene aa por a uerza cotante en e punto corresponiente de iagama de ue za cortante una ueza cortante positiva representa una pendiente positiva si os sentidos positivos son hacia arriba y acia dereca y una uerza cortante negatva representar una pendiente negatva l cambio de omento ene dos secciones daas vine meo po e ea enceraa bao e iagm d uerz cortnte entre ichas secciones n par apcao a a vig ar que e oento variara buscaente en una cantad iga oento e par n los pobemas eempo 8-5 y 8-6 se ilusta a constuccin de los iagr ms d uz cortante y e momento lctor rectamente a partir e iaga ma de carga utizano as cuacones e 81 a 84
1 kN/ m Mo
o
kN
l)
9
SOLUCIÓN
1 (e)
93 2 o
i 8-15b s a st e r s ib iaraa d , S D N ca c fy = O VO
+
�
85
8-15a. tt y t i a
E
PROBLEMA EJEMPIO
V
b)
+
.
º
= (18) 6 - 1(1,8) 1 k
IM O
A
0
1,7
�
(d)
figura lF!5
M0 (18)(27) + 97 (18) (,8)(9) 172 m ·
s is rz ctat y t ctr s ir d
cortante del momento fector. El diagrama de uerza corane de la figra S se dibuja directamente debajo del diagrama de carga a ferza cortante en el e remo izquierdo de la viga es nula La pendiene del diaama de fueza corane es igua a la carga w; or tanto la endiente del diagrama entre A y C será de + k / m La viación de uerza corne enre y es igal al áea ecerrada bao e diarama d caa; as u V
V
V 5(18) =
349 IGR FURZ TN Y
9
En C hay aplicada una carga concenada P por tanto la fuerza corane camba bruscamente en el módulo de la carga y en el sendo de ésta. As ues Entre C y D hay apcada una carga unifome omo la pendiene del diagra ma de ueza corante es igal a la caga w, la endente del diagrama ene C' y D será 0 k m a viación de fuerza cortante entre C y D es iual al rea encerrada bajo el diagrama de carga as pues w.
V 3 - 101,8 - 15 Esta erza cortante es igual a la reacción en D lo que constituye una comro bacin e diuj¡ el diagrama de momento fector directente debao del de erza coae, se se idica en la ga 8-15d. E momeno en el temo izqerdo de la viga es nulo La pendiente del diagrama de momeno es igual a la fueza coane V; por ano la pendiene de diagrama crece niformemente desde O en A hasta 4 k en B, donde hay alicado un momeno concentrado a va riación de momento de A a B es igal a área encerrada bao el diagrama de e za cortante as pues V D = V
MB
M M
1)(0) ,03 ·
En el ntevao AB de la vga M V= Sx d -
(a)
porue la carga disibuida sobre la viga es positiva (hacia arriba) y vale k m Así ues, M
= x 2 C1 = x2
(b)
ya que C O a causa de a condición de conoo O en x O Las euaciones n e una cara distribuida constante da luar a una distribuón inea de eza coae y a una disiucin adca de momeno en e amo ° B de a via El grado 2 de a euacin del momeno ene y B se a di cado en el diagrama de momeno flecor En B, el momento cambia bruscamente en una cantdad ial al momento (+ 097 m k) del par aplicado a la viga en . ste moento no aarece en el agaa de erza otante, or lo ue cuan do se dibue el diagrama de momeno uzando la información que da el diagrama de erza cortte ar que aritrar algún rocedimiento ue re cuerde su presencia en la viga. Así ues, M8
=
M8 C
22
De B' a la pendente de diarama de momnto crc uformmn 4
De B' a la pendente de diarama de momnto crc uformmn 4 k en B' a 9 k en De nuo, a aan momnto ene Ces ua a área encerraa ajo e arama fuerza corane; así ue, M M + 6M + 21 9)09) 908 · La nn e agraa e momento camba bruscamente en C e 9 a 3 k Después dsmnuye uiformemnt 3 en Ca - en La pndnt dl iarama d momnto es nua en l unto E qu se halla 3 m a a drea o C as áeas ncerraas ao l arama furza cor tant se edue que os momentos en E y son M M M = 9, 1 ( = 9 M M AM 5 ¡ 1 (- 5(5 7 e
E
0
l momeno es ua salvo el redondeo a la raccón n , o ue constt una comroacón.
.
PROBLEMA EJEMPLO
86
Una vga est carada apoyada seún s nica n a fura 8-16a. bujar os agramas cmtos frza cortan momno fctor a va. SOLUCIÓN
n a figura 8-6b s a rrsnado e iagrama de sólio br o dagrama d ar, e a a. S aula las eaones n B, y E utzando las euacones e ero e a vga enra oo asaor en no asmt momno a apan d la uaón de equilo M Oa a porión recha de a va a R 0 k onoca R la cuacn uiibro M Oda 3 . Por útmo a ecuacin e quro F a 0
8
y
8
\ N/ N/
_ J,
(e) (a)
·._J kN/m ; 4 0lH _:-.
4� kNm
�- , o) . · (d)
ü
(
onocidas as eaccones R R y R os dagamas de fea cortante y de momento flector se pueden dedui diecamente del diagrama de caga según se ndica en a figura 86. La ferza cortate en el extremo zquierdo de la viga es nula. La pendente de dagrama e fuera cotante es ga a a caga w; po tanto la enente e iagama entre A y B será 80 m La varan e ferza cortante de a B es gua a rea encea pues V = V +óV 0+(-0)1,5) 20 La fuerza_éotante ara buscamente en e apoyo : As e
8,
E
A
8
La pendiente del iagrama de ferza cortante ente y C es -40 k / m. La a racn e fea cotante e B' a C es igual al área encerrada bajo e dagama de carga as pues V +óV 95+0)2) = +15 La ferza cortante caba brusamente en el apoyo As V' V + = 15+ (-35) -20 ne C y E, a viga no está cargaa; por tanto, a pendente del iagrama de fer za ortte ser nula y V V+óV -20 (0)(25) = 20 La fueza cotante camba buscaente en el apoyo Así, V = VE+ RE = -20+50 = 0 La endente el diagrama e ferza ornte smuye uormemente desde O en asta -0 k / m en As pues teniendo en cuenta e ea encerada bao e agrama de carga B
B
' E
E
F.
La fea cortate en el extremo erecho e la ga debe ser nula por ser un ex tremo be S a fea cotate ccuaa no ese nula en F, serí señal e ha be cometdo agún eror E dagama de momento feto epresentado en la fgura 8-16d, se dbuja directamente debajo de diagrama de fuerza cortante. E momento en e eemo zuerdo de la vga es nulo La pendente del diagaa de momento ector es gual a la fuerza cotante V; por tanto, la pendente del dagrama de momento dismnuir unfomemente dese en A a -20 k en e apoyo B. La aacn de momento de A a B es igua l área enerrada bajo el dagrama de fuerza cor tante así pues M = M M 0+�-120)1,5) = 90· En el apoyo B la peniente el dagrama de momento amba bruscamente de -20 k a 9 k; despus dsmnuye nfomemente de+9 en e apo yo B a k en e apoyo C Ateniendo a ea enceada bajo e dagama de ferza ortnte el momento en C esuta se
351
DIG\ FUZ TN Y
RZAS INTOE MB UC;\L
En el apoyo C la pendiente del diagrama de momento cambia bruscamene de+ 15 k a - 0 k; después se matene constantemente igual a0 k entre los apoyos y E. Teniendo en cuenta el área encerrada bajo el diagrama de fuer za cortante el momeno en E se M MM +20+20, 0 En el apoyo , la pendiente del diagrama cambia bruscamente de - 0 k a + 30 k. Despus dsmnuye parabólicamente desde + 30 k en el apoyo a O en e extremo F de la viga enendo en cuenta el área encerrada bao el diagrama de ferza cortnte el momento en resulta ser M F M /M = - +2(0)() = O l momeno en el eremo dereho de l vga ha de ser nulo porque se tata de un eremo lbre. Si e momento en F calculado no u do nulo sea señal de que se haba cometdo algún error. Adems Mo M�M 2020) O El momento en el gozne debe ser nulo no hubera resulado nulo M0, sera seal de haber cometido algún error El lculo tesimal sugeriía que las posiciones de mxia uera cor tante y máxio momento flector se enconaran donde se cumplera dV/dx w O y dMdx = V= O respecvamente ora ben las cuvas represetavas de las fnciones w(x) y V(x) suelen no ser lsas o continuas y los vaores mxios de V y M se presentan a menudo en puntos donde se han aplicado a la viga ar gas concenadas o pare y no donde w() O o donde V(x) OHay que com probar ambas posibilidades. Las seccones donde el momento flecor es nulo llamadas puntos de n lexión se peden localiar igualando a cero la epresión de M En dias sec ciones el esfero en la ibra es nulo y si hubiera que ayust la vga, el auste debería hacerse en dcho punto de nlexón si lo hubiere o ceca de l
.
PROBLEMAS
E los problemas 83 a 80 las vgas esn cargadas y apoya das segn se indica en la fi gra correspondiente Dbujar los diagramas completos de fera cortante y de momento flector de la viga en cuestón. ' Viga de la fgura P8
N
4 N
l1,2 m> -5 _3 � figura P8.
-
6* Viga de la fgura P8
l4 m -�
F
8-37
Viga d la iga PS-37.
1
y
y
f 8
a a ga P
Figura P8·41
e a 2 ga a ga P.
Fur B ga
9* Vga d a ga P y
8-43
Vga d a iga
Fiura P8-43
40 Vga a iga P.
ga a a PS.
y
Figura P8-4
IHO
-. 7
35
49 gura P8-45
0 V de i
86 Vi de l .
-2 m
2 m
P Fu
En s is os pobms 1 s hn pto dm to l Dbj m c y z ne de vi epones V l i
3¡, V g ?
f P7 I ·* V d l
82 V 3 kN 14
8-53
Viga de la fgra PS.
ga d a fga PS
8-53
Viga de la fgra PS.
ga d a fga PS
Fu 4
Viga de a figa PS
6
Vga de a a PS
+
2
7e 2
I
1,Sm�l mL2m-m
8.6
CABLES FXI
Los cables flexiles se utlizan como suspensión de puee y telericos, lneas de transmisión de energía eécrica y eas elefóicas ientos paa antenas emisoa de adi d vii y para otras muchas aicaci e igeniera. Se dice que un cabe es eectame exile cuado no ofece ninuna esisecia a ser doblado os cables reales nunca son peectamene exibles; a a ca q c a ad a equña que al cosidelos eecamente fexibes se nroduce e u a tamente despreciables Admitiendo que e cable no ofrece resisencia a ser do bado la fuerza iterior resultane en ualquier secció reca del mismo debeá esta diiida tanente al cable en dica seción. En las aplicaciones istas anteoente se suponía ue los cables eran miembos de dos fezas capaces d ransmitir fuerzas axiales solamente Cuando a cale se alique fuerzas rasversales dejaá de ser recto y se com bará. Se lama echa a la diferencia e eaci u má ao del cae u u d ueci Cuando os uos de sueción no en a iua atura la eca media a pari e u e _ d a medida a artir de oro. A a distacia orzontal enre os untos de ueción e le da e o da de cae
Los ca bles flexi l pudn me dos a un ri caga ta-
da ditta, pd r someios a cagas distribuas unfom -
RZAS INTOE ,.' MB �UCi\L
bre la cuerda horizontal de cable o pueden estar distribuidas uniormemente a lo largo de éL os eos de las cabinas y su contendo en un elefrico cons tituyen un ejemplo de cable sometido a una serie de cargas concentradas. El peso de la calzada de un puente colgante constiye un eemplo de carga u ormemente distribuida a lo largo de la cuerda horionta de cable l eso de un cable de sección constante, de una lnea de ansmisión constuye un ejem lo de carga uniormemene distibuida a lo largo del cable En el siguiente estdio de os cables se suondrá que son erectamente feibles e inextensibles. as relaciones eisentes ente su longitud cuerda flecha tensión del cable y cargas a l aplicadas se determinarn mediante con sideraciones acerca de su euilibrio 8.61
Cables sometido crg concntr
n la figura 8-17 se ha representado u cable someido a caras concen P1, P2 y P3 en puntos discretos de su longitud El cabe est ancado por sus ex tremos A y Ben paredes rígidas. Cuando las cargas sean mucho mayores ue el eso de cable ste podr despreciarse en el anlisis y los sementos del ca ble se tratarn como si ueran barras recta de dos fueras n el estudio ue sigue se suondrán onocidas las cargas P P y P unto con las distcias 1 2, 3 y la cueda as incógnitas a determina serán las distancias y1 e y. n la figura 7 puede verse un diagrama de sólido libre del cable Como las distancias e son incóntas no s conocen las pen dientes de los segmentos de cable en sus etremos A y B; por anto las reaccio nes en A y B se representarn mediante dos comonentes cada una de ellas Dado que intervienen cuatro incónits as tres cuacioes de euilibrio obte das de este diagrama de ólido libre (fig 7) no son sucientes para dter minar as reacciones en y B. a noón ue se puede determnar es la siguiente: De la ecuación de euilibrio MA = O 1,
2
3,
2
+�ByP P2 3 3
O
1
B= ª< 1 2 2 3 ) De la ecuación de euilibrio F O l AB - 3 O A 1 2 3 - B ;( X l 2X 3
De la ecuación de euiibrio Fx B A O B A nteriormente al estudiar los enramados y muinas se oen ecua cones adicionales considerando el euilibrio de una orción de estructura n
. _
.)J .
8.6 CABLES FXI
(d)
Figura
8-17
l caso d n cabe, si se espre s pes s ezas nos n los den tes segments dl al s dn snta n la oa q s ndca n la fa 8-17. De sa se d daamas d sóldo l y d a ecacón de eq lo Fx O se sva q sa ecacón ndca la cmonen honal d la fa d nsón es l msma n odo no dl cal al a la cnene nal d la e accón d os anclajs. La tensón máma T s la dl smn e na a e e a n s se er ím cs . cho semento d s adyaene a n de ls nto d anca as ee d qb = O Í O alcadas a os os de anla A B dan A T cos B 4 cos e4 T x
x
1
1
x
y
1
Y
4
J5U
de donde
FL Z/\S iNTIORE MlíB fUCA
(a)
Si en un problema concreto se especica la tensión máima o la pendiente máma se podrán utilizar las euaiones para determinar las omponentes horizontales de las reacciones en o anclajes. Una vez conocida A o B , se po drán determa las restantes inógnitas T1, T2 T3 4 y y e y3 utilizano los dagramas de sólido libre representados en la figura 817 En el probema eemplo 87 e ilustra el pocedimiento as omponentes orontales de las reaiones e los anlaes también se pueden determiar si se conoce a disana verial desivel entre un anlaje un punto cualquiera del able Por ejemplo, onsirese e iagrama e si do ibre de a figura 8 donde se supone conocida a distancia y a ecua ción de equiirio M = O da x
0.
0
.
de donde or úlimo los problemas de este ipo se pueden resolve espeiando la lontud del cable En tal caso la longitud de ada seento se esribe en fun ión de las distanias vertiales y y2 e y3, de las distanias horzonales x 1, x , x de la cuerda a ecuación adicional que se ne_esita se obtiene entonces igualando la suma de las longitudes individuales de lo segmentos a la longi tud total L: 2
3
L
=
+y+ (x -X + (y y J ) y Y ) J - ) +y�
2
z
¡
¡
Como os trminos e eta ecuacón coreponienes a ongie e os segmentos presentan raíces cuadradas de as distancias vertiales inógnitas la solución esulta mu engorrosa si se realizan los cálculos a mano Para resol ver los problemas de ables mediante esta ormulaión se recomienda utilizar un ordenador .
PROBLEMA EJEMPLO
87
ee 6e:{25k 8-18a. Si mám 5 e La eae e a ; D D La teie T e es ee e ae. a itnia eae y eY ee a ve e a A. a e ae
1,
2
3
y
- 3,
6 m
3 CB FXIS
3 � m
--r--� -- I
V e
Y B
(a)
1 N
25 k
b
N
(e)
N Figura 8-18
SOLUCIÓN
a. En l figur 8-8b se h representdo un digrm de sóido lire pr e cle De l ecc de equl LM = O v
Ay
2 l0, [ 5(66) + (3)]
=
9 k
Re
sin mim de endráJug e:ero AB de le Aí pe de drm de sdo re en e puno A de e ( 88) T y 2
2
1
X
Js 2 9 '
46
dems e¡
tn 1
A
-
Ax
tn
'
4,62
22'4º
ep
· !EZ\S I MÍV U
olvendo a dgama de sólido bedel cae entero, represenado en la figr se obtiene de la ecuación dé euilibrio LF x O =
D x =A 4,62k
Resp
e la ecuación de equibio LF =O Y
D : 5-A
-912 = ,88
ep
Para determnar las tensiones se pueden uta os diagaas de sóldo libe en os puntos By (g ) e las ecuaciones de equiibrio L= O F yO n e punto B: 2
3
T o 2 ¡ = 224 ° =A = 4,62k z y = T ; 25- 1 = 2- 5 22,48 0,588k T = Jr +T 4•66 N Resp. -2 x y , '62 +O z y 5 O ' = 7' 2 = 1 462 x =
2
1
2
2
2
2
2
n el punto C: 3 T3COS8 = T22 = 466,253 ° A 4,62k T Y = T = 1+466 ,253º ,588N +T2 T3 J T y3y = ,14 62 1' 588 489k Resp. • ' 18,969 tan e t- T 462
3
3
3
3x
2
=
º
3
x
Como comprobación en e punto D:
T = JD; D � = J 4,622+15882 = 4,885 = 489k 3
Conocidos los ángulos, as distanas vercaes YB e Y son y = 6 = ,6 224 = 1490 Ye = 3 3 18969 = 1,031 8
1
Resp
esp Resp
a longud del cable se obene de las longitudes de los segmenos en a forma L J3,62 490 2+J 362 1,490 1,031) 2 J 32+103 2 = 0,67 = 070
esp
PROBLEMAS
* Un able soporta dos cargas vertiaes según se ind en u -5 i ens mm l cbl de er determnar Las cqmoetes orzontal y vertal de as reiones de os nlaes A y . as dstaas vertles B e · c a ongtud de cable L
º'
.
kN
0 N
N
3 4, __
-1
YB
.
-,-
Ye
l
1 N F 8
e
4,
8 U cbe sopor res crs vericales seún se dca en a fgur PS-6. i tensn máma de cable puede ser 5 deermr s ompoenes horizo vericl de ls reccoes de los acljes A y D Las disancas vericales Y Y e Y c a oud de be. L
88 Un able sopora dos cargas vertiaes se se dica en l fura S-5 a fe en e punto del cabe es de 2 m eterminar Ls compoees horizol y vericl de las recciones de los aces A y Las ensioes e los tres segmetos de cble L lonitud del able B
1kN
5 m-)r �4 mi
=-� 1
2lmB
0 kN
Figura
. - ' "
l
E.
k
8
e
kN 8
89 E cabe soporta tres rgas verces seún se indica en l fura PS a fe en e punto C del able es de m etermnr as componetes orizota y vertil de as reiones de los nljes b. o o cro semeos del ca lonud L de be A
kN
8 Resolver el roblem 57 s l es máxma del ca ble uese 75 8 esover e problem 6 si la tensón máxm del c ble fuese 5 8- Un cable soporta dos caras vertcales eún se da e l fgr P-6 i l tensó máma de cle es de ermiar Ls comoetes hoiontl y vertic de s reacioes e os anaes A y D. b. Las distnc les e La logtud del able. G
La coponete ho y vericl de as reaccnes de s cles A y Ls tensines en ls res segens del cble c L disanci vericl y8. lngid del cble
24 ) l e , m __ m 1+ m . ¡
k F P863
1
•·
YB
J_j
kN
B
8-64 Un cble está cargad y ncd segn s indic en l fi gr Deernr Las cpnenes hrint y verica de as reaccnes de ls aclaje A y s nsnes en s res segets de cbe La ditanca vetial Y· L lngid L del cabe
0 kN P8 n cabe esá cargd y nclad según se ndica en f gur Si a ensión áxi de cbe es detenar La cpnente hozontal y vercal de ls reaccnes e ls cles y D. as disncas vericle e Y lngd L de cbe.
; !
7 m 3 mO m
A
l, f S
!ª 0 kN • kN L 5 m -s mH I m � 84 !
865* n cale et carado anclado eún e dic en l f a a dtaa vetia es 1,2 . eterina
0 kN
kN 8
8-67 Resver e prble en el cs de qe se virer e send de l carg de e e �n C. 868 Reslver el prbea en el cs de qe se virer e end de la carga de 1 e e pto B.
Cables con cargas uniformemente distibidas a lo lago de la hznta
a ur9 uta ae oeo a ua aa W tua u oemete a o aro e ua itaa a o ale uee aaiare ti zao o métoo tuao aatao ateo; mo oeo ía ao ooo a aua e a meo e aa u t E a ue tamé aaza tao a mo aa eta omo t ta uomete w(x) = W/a a o ao a oota Eta aoa tou u o ño
36 -
8.6 CABLES FLXI A
B
kN/m
- a/2I w
{a) y
R {b)
To� ! Je T
X
R {e) y
N/ I �a2I
w
(d) Figura 8-19
pso l cabl s pqueño fente a eso e soorta Las cagas n os cabs un punt colante se aoxman mucho a st tpo e caa ya que el eso ca su u n a la cazaa ue soorta ste útmo stá stbuo unommnt a lo lao la calzaa as cuacns u aonan a ontu L, la cua a la cha h l ca l cuyos anclajs stán a la msma atua, la tnsón T l ca la caa s tua w() a é alcaa s pun esaoa a at e consacons de equili brio y dl dagam s lbe de una porción d a a epesenada en la figura 8-19b. En st arma, e po ás bajo e cae
O o como on ssma e cooenaas x.
ZS i\TRIOE 'vlMB _JCTL' R -ES
El semento de ale epesenado en la fi gra 8-9b está sometido a es ezas: la ensión T 0 del cale en el punto O, la tensión del cale en un pun o C ariario siuado a una distana x del origen y la resulante R ( = wx) de a cara distriuida cuya eca sopore está localizada a una disana x/2 el uno . omo el semeno del cale está en equiliio ajo la acción de esas tres fuerzas ellas deerán se cocurenes en un _Uno D según se nd ca en la fura 819 Las dos ecuaones de euiliio Lf y FY para este sistema de fuerzas concuenes da x
+ � 'F T o o + j FY R
T o T
=
X
X
y
=
R w
(a)
(b)
a l omonene horonal x de la ensión es la misma paa odos los punos del cale e ial a la ensn O en no o esolviendo el sisema ue consuyen las ecuaciones y b, se otiene
=
(
JT'b 2
(8-5)
t-1 wx a
86
+
a ecuación 85 indica ue la ensión es mma en el puno ms ao del ale (donde ) y máxima en los anclajes (donde a/2). Así pues
J wa = Tb 2
Tmáx
4
87
La forma de la va se puee deermina utiliando la euain 86 la cual da la pendiene As dy dx
=
tan(=
e
Inegando la ecuación se ene
a consane se deemina uliando las condiiones e conono resulan es de la elección de los ees n el sisema de coordenadas xy empleado y es iual a ceo cuando x es i gal a ceo; por tanto es igual a ceo y la ecuación el le caado es y
=
20
kx 2
(8-)
a ecuación 88 indica ue la oa del cale es una paáola cyo vétice está en el punto ás ao del cale Aplicando la condición de contono y h (fle ha ando x /2 se oiene una expresin de la tensin TO en fncin de la caga aplcada w, la cueda y la fleha h. As
(8-9)
a ecuacn -7 se susuye a 9, s obtne a tensón máxma de abe Sen T en fnón de a arga apada w, a eda y la fleca h. Así w242 w22 6 w8 J Las ecacones 9 y se ueden tambén deermnar uzando e dagama d sód bre de a mad deecha de cae eesenado en a ra -1. De a ecuacn de equbo ÍM = O: + �M (�)-T0( O T w82 De a ecuacn e equbo Fx O a
má
Tm á
-+-
=
+ (
=
2
(8-1 O)
8
B
D a ecuacn de equb O w B - "F + ¡ s ues y
y
=
=
y
O
=
B w
B J B;+B (�) (T 2
Tmá
=
2
=
wa J a2 En toda rva la lnd de n aco eementa se uede obtene de a ecuacn 8h
(
2
(8-10)
dL
J 1+(�) dx 2
d L J(dx) 2 + (dy) 2 =
(d
s es seún as ecuacones y aa e cabe y kx (2 ; 0)x = (�)x 2
2
2kx � 2 J f a/ +k = [xJ I+4k x +Zk (2kx+J I+4k ] iJI k +i (ka+ 1 dx
=
2
x
cuerda
O
2
2
2
k
2)
0
C XIU5 3fí5
36
FUERZAS INTOS MB CL
Por útimo, sustituyendo k = h /a2 se tiene ,--. 1 a 2 + 16h L = -Ja I -(4 2 8h a h a 6h) 2
2
(8-1)
Cundo los ncljes están ferente ltur, segn se ndc en l igu 80 no se conoce stución del punto más bjo del cble (ogen del sistem de oordends xy), por o que brá que determinrl. L ecuión de cbe rdo ec 88 siue siendo válid y que el dgrm de sólido ibre ig 89 utiizdo en su desrroo serí e msmo pr un be ue tuer sus njes dierente tur omo el representdo en ur 80 Si se onocen ls les A y B el e eeco os nes A y B, se podrá utiiz ecución 88 pr ocir e orgen de sistem de coordends As de l cucón y= kx
k = hB x
=
x
hA
x
e
Como x x a, l ecución se puede poner en orm
que llev l ecución udráti
Despejndo x8 se tiene (8-12)
Adems como 8 a, 13
L distnci orizont entre e nje y e orien O del sistem de coorde nds se seño den u 80 En e ncle , x . As pues
J hBhAh a h h B
H4
A
L tenón TO de be se puede r utndo uión 88 As (:l-15)
Figura 8-20
La ecuacón 5 dca que la tensión del cable vara dese un valo mnm e el punt más baj e cable hasta un valr máx en e anlaje más ele va ás distante. Susttuyend en la ecuacón ls alres e A y y utilzan la ecuain , se encuentra que las tenses el cable en ls an clajes sn 6 (6 ne ¡ el punt más baj O y un anclae se uede de a lngtud de la cua entre terina utilzan la ecuacn sí ara el anclae B 0 = fdB JI + 4k ['J¡ 2 4k 4k l 2 k 4 x )] = ;Ji k � 4 k 2k +JI 4 § Pr últm hacend la sustición § se ene J d� + 4hj 4h§ ln 2hB d§ 4h§ 87 L nálamente (8-18) ameias lngituddesde ttalelgen el cabea cada es laancla smaee las lngitues y de ls arcs TO
A
=
8
A
=
8
d.
2
2
=
2
2+
2
+
=
ª8
8
h8
+
·
2
2
+
k
oB
2
+
B
+
A
08
PROBLEMA EJEPLO
8.8
Un cable sopota una carga unormemente disbuida de k / m a lo lago de la horzonta, según se indica en la ira 8-21 Determnar L mn te ón del bl
PROBLEMA EJEPLO
8.8
Un cable sopota una carga unormemente disbuida de k / m a lo lago de la horzonta, según se indica en la ira 8-21 Determnar . La mnma tensón del cable a tensón del cable en los anclajes y el nulo ue oma con la ozontal c a lontud L del cable
y
w= 5 kN/m �240
600 kN (b)
(a)
Figura 8-21
SOLUCIÓN
os apatados y del prolema se esolven utilizando el diaama de sóldo lbe epesentado en la gura 82 Como los anclae están a la msma altra el punto ms bo del cable se allar en el punto medo de la cueda Aí, W
=
w(i)
5(0)
=
=
600
De la ecuaón de equilbrioM = O: 8
�
B
=
w( X;)- T
60060 T36 O TO= 000 B
=
=
Resp
e la euan de eulof O x
B
000
De la ecuan de equlboF = + LF B W B 600 O B 600 TA ; T T JB; B J000 600 66 B 600 a I 000 9 Oº y
y
y
x
X
=
y
Resp Res
La lond del éable se deterina mediante la euación 8�1 Así, .
L
�a2 = 21 J + h + 1 ( h + J 6h ) �J40 3 + <:¿) !0 [ + 0 + 5,7 5
"
2
2
Resp.
.
PROBLEMA EJEMO '
8.9
E cabe repesentado en _a fua 8- soporta una ubea de conduccn que paa oe o l anlaje en el unto edo de o está por enca de os ancajes stados a uo y otro ado os puntos ás baos del cable e allan m po deao del nclaje cental Detenar a tein mima del ale a tensn ma del ale a lngid L del cable
y
900 kN (b)
(a)
Figur
SOLUCIÓN
E puno ás bao de cabe que seá el ogen del sistema de coodenadas x se puede locazar uzando a ecuacn 8 s
.69
{ZAS E M U
' ·a Cooda laesolver dstancia seee ulizr el d iagraa de sódo libre de la fua coodenadas al aclajlose apartados e a y b del probla a distanca del oen de x - 30020 = 180 m W = w( ) 80) = 900 kN De la ecuación de equi iio O _ w( X;)- T
B
B
8
B
O
e la ecuación de eubo F O x
B 800 kN
D a ecuacón de equlrio O = B W B -900 = O B = 900 kN ;B = (800 ) ( 900) = 2010 kN Resp. a longtd del cable se deterna utlizndo las ecuacones · s, y
y
= A
B
�--
L = J� � : 1 2 h +J 4 h� = �J(80) 445) 8
08
B
2
B
2
+ ( ( � ) l n 1 0 [2 4 5) J( 18 0) 4 ( 4 ) ] 2
18724 m náloaete L = J 4 h +: I 2 + J +4 (20 420) 0
A
(8-18)
A
<¡� ) I n ; 0 [2 2 0 ) + J( 12 0) 4 2 0 ) ] 2
229
2
2
m
Po tnto L = 2L +L ) 222,9 8724) = 6189 619 m 0
Resp
:ho. El nto má bo del cable etá 7 m or debjo de je izqierdo. Detemnar a enón nma del cable a tenió máxa del cable ánlo qe orma el cable con la horzontal en el anclae eecho. ª lnitd dl cable * El anclae derecho de n cabe etá ado 4 r de: del ane querdo a eaacón hoona ente elo e 25 m. El nto má bajo del cable etá 1 m o debajo anclaje derecho Si la enión máima del cable debida a cra unt diibda eún la hoontal e ; k deteminar w
El ánlo qe ora el cable con la horonal en el anclaje derecho El valor de la caa ditrbida w. a lond del cable
88 E cable rrntado en la a P0 oota na caa noremente ditrbud de k por tr'n la horzontal. El anclaje zqierdo del able et tado 50 or debajo del nclaje deech El nlo qe oa el cable con la horizntal en el anclae izqerdo e de 0 º. Deena La tenión del cable en el ancaje qedo La tenión del cable en el anclaje derecho l lo qe oma el cable con la hoizontal en el anclaje derech a lond del cable
9 El anclaje izqerdo de cable reeentado en la i ga ·7 etá iado 2 m or debajo del anclaje derecho El cable oontal en el nclaje izqirdo i la tenión máima del le debida a na cara nomemente dbida eún oizontal e de 0 k determn w
E ánlo qe oma el cable con la rontal en el ancla drecho. l var d aa dsua w a lond del cable 6
----- F 88
-150
Cables con cargas uniformemente distribuidas a lo largo de su longitud
ls s prtas rs ps r puñ f s gs u sprr s s ss gí é ís fs y s s ss y s, ps s g p u p ss p ps s su ur . Cu s s s gu ur f s puñ ( s), urv u u srrs si rr sse e a pr u u rg stru urt g s s rg sru ufr sg u s lat gr (h/a > 1 rá u utr ls rls pr s p l gur 8-23a s ps u uf u u ps p u gu w. U srs a su u g s u p rs gur 3 s pu s s s su )72
lngd L, su ud a y u flch h pr a par, T po or E oad e put má bjo de b (un O tm oo gen d d ds xy. o cabl prto la fgu 823 e somtido ts us: l ión T0 dl cb n p nto O ens d p o ar C u R ws) a carga drbda a ra opo taa dnc d x dl pto O E peso actú e ntoid qu om l abl. ánglo ue enón T om o l hoizon psena po oo mnto O e cabe stá e equio ba o a in " es fuezs c fe dbá un _n D, ú nda r 3 Ls ds cuons d quro Fx = FY de ete tem de fz cc d
37 6 B XI
w
.
-· .:_
a
j
y
, ú;
o� HP"
X
wN/m (a)
To�-l 'x J� T
LF T O- + = R 0
x
T
x
T
y
= T e r T R
(a)
WS
b
a euó nia qu l cmn hoznl d un q d bl sim a sma l a la eión n l puno a o D nd T d l u b, s e:
(b)
O
T
[ w s
2 2
] 12
(8-19) 20
'ºT (e)
a 8-9 da u la s nma n l pno m a o ab (ode ia ls ncj dodm u valor o . Q dma a da Se ued dmin l d cuv lo 0 n Así dy ws = e= dx oo a ió = x)+ y) d dond 0
(d
ye la ecución n l , s tin
[(; ) -1] = ; 12
d done x dx
(T /w) dx ��� 0
[ (Tolw) 2 + s) 12
374
FUZA. iNTIC)RES MMBO L
Ingrando la cuaió e s
La onsan d ntgraón C pud drminas susuyndo la oiión d nono = O uano x . Así, or ano
( T ) s + [ (T /w) 2 + ] 1 = _ ln - 0 ,- 2
X
W
2
(T0/w)
(8-21)
a uaón 8-21 ambé ud rsars n foma onna n a oma Dsjndo· s n (8-22)
Conoda la dsana n unón d x, a uaón 8-19 da [ h wx/ h wx/T 83 Anáogamn s ud susur a uaón 822 n a uaón aa ob nr h(w) dx 0 qu ingrada da O
2
Susundo a ondón d onono n s in y
x
. =-C:) C
As us
24
a uaón 84 s a aón arsana d una anara.
La nión Tn un puno arbtraro dl able pud xpréar n funón d T y d la coodnada dl uno dsjando cosh(wx/T0) d la uaón 8-24 y uuyndo l rulado n la uaón 82. Fnalmn rula = 0+wy a uaón 82 pud ulzar abn ara drmnar T onon la do oordnada d un punto dl abl. Por mlo la oordnaa d un anla d un abl d urda a y flha h uyo nla �n a gual alura on x a/2 h. Aí h =.· :· ( Tº) [ ( .)2 1] amnablmn, no pud dpar dramn d la uan 6; or ano lo valor d T habrán d obnr por apromaon uva modo rao oluon numra gráfo o abla. y
O
T
(8-25)
T
0
y
6
w
O
O
PROBLEMA EJEMPO
8.10
U a u aa t a a a atra ua ra E a a 3 N / a a u ut . Dtrar a a u ut a t a u aa a a SOLUCIÓN
a tó l a u t u trar uzan a a 8. : cosh ( 2 � :)- 1 J [h 8 _ J a taa ut u vr ua u a arr ua r ara uva S a ua a a 9 rrt a u al araból ara br una rra aó TO= a /8h 8 / = 99 N 99 º[ 99 % rrr To 83 To T + 5 99 1,4387 132,5 11000 7 8 0
2
2
cos
-
h1 83
10500
0
h
375
8.6 CABLES FEXI
sí ps,
�UZAS INTORr F:' MiEB L
5 ep. a teó del cable e u puto meo e pede tmbé detema nd éd d wn-phsn q s n pénd D. e ecbe pmeamete la eccó 826 e oma TO=
pdo éd d wnpsn
omado e vlo ( 0) = 996 996 429,276 69 ,9 2 7 , 0
n
o n
,6321 9 f (T
o
o
Ón
679,1267 6,4 ,47
e elta
sp y ll ns d n d dl gd d pxn d s éd Cnd nsn n pn paa dt tesó e , cess,pd cn sp T To+ wh + 6 T T0
b.
8
c.
=
má
=
=
=
gd d e l pn ás j y n nj s pd d dn l n 822 sí _ (1) ; s 5 , Po tato ep , s
8
Los resutdos quivene que se obnen uiano s euones p . abóca n T8 21 wa [ ( 4h )2] 12 40 )2] /2 = 4 086 N 18340 [ + ( 460 ongtud de be se deerin ene eun - Así, a 1 4hJ6h l. h ; �40 60 c:�°/ !0 460 40 10 Rep 754 7 m En b uene euen l eua ue e benen uzan s euones pr e be prbio y e en 2
8.6 CABLES FXI
a
1
=
·, 3T,
�-
Mgnud To
má
L
2
Cenri 00 0 6
Prbio 9960 0 PROBLEMAS
* En fi P e repreen un ro e un ne eonuin e enerí é Anes e rrr ne orres e oe un fer orion e k peso e ne es e Deernr L i nsn de be fe en e puno eio de ro n e be
Un reoor e n br eún e ini en ur P peso e be eneno en cuen e epuje e Aquees que e u e ejere e e 0 L opo nene oon de fuer que e be ejere bre br e e 0 k Deerinr a enn áxi d b fe e be en u puno á bo nud e be
I-20 m.
-" _ ,_ 30 m --�-
Figura P8-81
igua P-2
·83 Un cble fexble co cles l msm l ee cuea d 120 m. Sil log el cble es150 m, t l fech e su puo meo
B
1i
-4 cble fexble co cljes msm lu ee cue e lec e su puo meo es e 0 eer l logu el cble
60 m
�-* cbe lebe co cles ms u ee cue e 7 E cbe e N / y og es m Deem L fle e el uo meo ete cles L máxm esó el cble
1- m
figura P889
8-86*
l cble flebe uo sue el globo epese o e l fg P0 pes 0 / m ee u log e 100 m l globo eece sobe el eemo B el cbe u ue cesol vec e 00 Deem
log e cble esó má e cble
e que eece el eo obe el cble lu h ue se ecue el globo sc hool d ee el cle A el gobo
80
cble fexble co cles l s ee cue e cble pes 1 / m l ec e e puo eo ee ces es e 0 ee
cble co cles l msm l ee ce e 16 m l cble es 6 / m l flech e su uo me o es e 0 m Dee es el cble e el uo eo e cue esó el cble e u ce log e cble
f viento
cbe co cles l msm u ee cue e 0 m l cble es / m l fech e e uo me o u es m Deem esó e cble e el uo meo e su cue esó el cble e u cle logu el cble
h
9 l cble fexble eese e l fg P es / m l cble es hool e el cle e l ze Dee m esó el cble e el cle A. e e be e el cle B. log e cble
370
-d
Figura PB-90
1 Un cble de n íne de condcción de enegí elécti ca pe 42 N / m y etá jeto a do toe itd no y oto ado de n valle eún e india e l ia S9 Detemn a L tenión del cble en pnto má bao a máma dl able La lonitd del abe
etbiliz n to de teevión de 00 m de al t e tilizn e pae e cble exble epdo cd no 20º En la figa S-9 e epeentn l toe n p d abl El eo de lo able e de 50 N / m La compoente ho izontal de la fera re ada abl e de 0 kN n el n A, o e oma ab AC o slo a d sr de 40. Dete mina L tenión mxim del cable AC La daa oontal d ente l to y el clje A longtd del bl AC.
P8 l able eeentado en la fi S-9 pea 30 N / m. la fecha del able e de 200 m, detemn L tenión del cable e pno má bao. La tenión del cable en el aclaje A. La enin del cable en el nclaje B. L longitd del cable
Jm f. "
F 8·
a P8
RESUMN
Cua u r sruura u ua ua s s u ssa aras rrs s sara, r r, u ssa urs rsss rrs qu qura a as r rrs rsu s uras rs u r rr u ur s u rr su qu a sara a ur s ars C ur s qur aa ua sus rs deberá stalo bajó l ccin urs ror qe e sara s s a s urs rrs s u repe379
8 Una viga está cargada y apoyada según se idca en la gura 0
X
y
Utlando los ejes de coodenadas ue se indican escrb las ecuaones aa la fuerza cotante V y el momento flec to M en una seccón cualuea el amo e vga O < 3 m Dibuar los diagramas compleos de fueza cotate y de momento ector de la vga.
4 m
F P898 9* Una viga está cargada y apoyada según se ndica en la ;ua S Determar la ueza cortate Vy el momento lector M en na seción recta suada a 3 m del extemo zquedo de a ga Dibur los diagras completos de fueza cortate y de moento flector de la vga.
---- -f a P811 81El cable epesentado en la gura 0 pesa 5 kN / m etemar la tensn máma del cable y la lecha A si La longitud del cable es 3 m La longid del cable es 45 m. La longiud del cable es 60 m
8,3 kN/m
�k-' 3:m _ ¡_, h
a P81 8 Una viga está cargada y apoyda segú se indica en la fgua S00. a Deterinar a uera cortate V y el momento flecto M en una secin recta situada a ,75 m del exemo deeo de la vga Dibuja los dagamas completos de uera cortante y de momento fetor de la vga
í
60 /m
300 Nm
·" ,� 2 -1 m+l m m
382
81 El agulón CB y el cable fexible AB soportan un bloque W que pesa 25 kN según se dca en la fgura 0. El agu lón pesa 5 N y el cable 2 N m eterminar la tensón máxma del cable su longtud L y la flecha h en su punto me dio upóngase ue e peso del cable está dstibudo unifo memente segn a oriontal
· ,1f '" 8
- ·
Problemas para rsovr con ordnador
C El anho represenado en a fura P8104 sopota ua a e k. eeeta áfcamente las fuerzas ress tentes inteas P y V y e m9mento que rans one e uó de ánguo (O : S 150 ) (Utlícense los sentdos ndcados en a fgura P8104b para los sendos posi tvos en las grfcas) º
> rodo que se apoa sore la iga de la ura P8-106 opota una ara de 00N Deotra que e moment d a a e e uar en su ontacto con el rodllo Repreetar gráamente el máximo moento flector de a vga IM' en fuión e la posición b de rodio (O b: )
kN
2500
(a) P
M
�V
·.
� 10 N
F A los mago de os aate de la iura P805se apican fueras de 100N. Representar ráfaete·a uer as resstente terore P Vy e momento M que transmte la eción d ano, n uncón de la ditaa d (20 d 30m).
7 arrto ue eda sore ua via soporta una carga de 15N según se indica en a gura - Demorar qu mmo momento flector de a va tene lugar en su contacto con a eda más próxma al punto edo de la viga. Repreentar rfaete el máimo omento lector e a ga M e funcón de a posicón b de carrito (1 b: 5
aa
7, kN
