REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL EXPERIMENTAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL (UNEFA) NÚCLEO MIRANDA EXTENSIÓN OCUMARE DEL TUY, EDO. MIRANDA INGENIERIA CIVIL, SECCIÓN: 2 TURNO NOCTURNO, SEMESTRE 5 ESTATICA APLICADA
CABLES Y CATENARIAS
PROFESOR: HECTOR VELAZSCO
BACHILLER: ZÁRATE S., Jennifer T. C.I.11.075.640 C.I.11.075.640
Ocumare del Tuy, julio de 2009
Cables Los cables se utilizan para transmitir grandes fuerzas de tensión, por ejemplo cuando se izan o se remolcan objetos pesados, se suben elevadores, se aseguran las torres (se colocan vientos) y se soportan puentes colgantes. A diferencia de los resortes y las barras prismáticas los cables no pueden resistir compresión, además tienen poca resistencia a la flexión. Por consiguiente: los cables pueden ser curvos y/o rectilíneos. Un cable se considera como un miembro con carga axial porque solo esta sujeto a fuerzas de tensión. Como las fuerzas de tensión en un cable se dirigen en el sentido del eje, pueden variar tanto en dirección como en magnitud, dependiendo de la configuración del cable.
Los cables se fabrican a partir de una gran cantidad de alambres devanados (enrollados en forma helicoidal). Si bien existe una gran forma de devanar los hilos de un cable, que depende principalmente de la forma y para que se vaya a utilizar, el más común es el cable de seis cordones como se muestra en la figura, de trenzado helicoidal, en torno a un eje central o alma. Cada cordón, por su parte esta compuesto por muchos alambres que también están enrollados de forma helicoidal.
El área transversal de un
cable es igual al área transversal total de los alambres individuales, que es llamada área efectiva o área real. Por ejemplo: el área transversal real de un cable de 1 pulg. de diámetro es de 0.471 mm 2, mientras que el área de círculo de 1 pulg. de diámetro es de 0.785 mm 2
Bajo una misma carga de tensión, el alargamiento de un cable es mayor que el de una barra maciza del mismo material y la misma área transversal, porque los alambres de un cable: se aprietan” de la misma manera que las fibras de una cuerda. Es por eso que el modulo de elasticidad (llamado modulo efectivo en un cable) es menor que el del material del que esta hecho. El modulo efectivo de los cables de acero es 20,000 klb/pulg 2 (140GPa) aproximadamente, mientras que el modulo
del
acero es
de 30,000 klb/pulg 2 (210 GPa). Para determinar el alargamiento de un cable se hace
con la ecuación
y se usa el modulo efectivo como E y el área efectiva como
A. En la practica tanto el área efectiva como el modulo efectivo se obtienen con los fabricantes de cables.
La última columna contiene la resistencia a la ruptura, que es la que hace que el cable se rompa. La carga admisible se obtiene a partir de la carga última, aplicándole un factor de seguridad que puede ir desde 3 a 10 dependiendo del uso que vayan a tener los cables.
CAMBIOS EN LONGITUD DE BARRAS NO UNIFORMES Cuando una barra prismática de un material linealmente elástico se carga solo en los extremos se determina su cambio de longitud con la ecuación δ = PL /AE..
Barras con Cargas Axiales Indeterminadas Para determinar el cambio de longitud de una barra prismática con una o mas cargas axiales actuando en puntos intermedios a lo largo del eje, se suma algebraicamente todos los alargamientos y acortamientos de cada segmento individual
Barras Formadas por Segmentos Prismáticos El mismo método general se puede usar cuando la barra esta formada por varios segmentos prismáticos cada uno con distintas fuerzas axiales, distintas dimensiones y materiales diferentes. El cambio de longitud se puede determinar con la ecuación:
En donde el subíndice i es un índice numerador para los distintos segmentos de la barra y n es la cantidad total de segmentos. En especial, observe que Ni no es una carga externa, sino una fuerza axial interna en el segmento i.
Barras con Cargas o Dimensiones en Variación Continua La fuerza axial N y el área transversal A pueden variar en forma continua como vemos en la figura con una barra cónica. Esta barra no solo tiene un área transversal variable en forma continua, sino una axial en variación continua, sino una axial en variación continua. De acuerdo al dibujo, la carga consiste en dos partes: una fuerza única PB que actúa en el extremo B de la barra y las fuerzas distribuidas p(x) que actúan a lo largo del eje (las unidades de una fuerza distribuidas son fuerzas por unidad de distancia, p.e. libras por pulgadas o newtons por metro). Una carga axial distribuida pudiera ser el resultado de factores como fuerzas centrifugas, fuerzas de fricción o el peso de una barra que cuelga en posición vertical.
Con estas condiciones ya no es
posible la utilización de la ecuación anterior para obtener el cambio de longitud. En lugar de ellos, se determina el cambio de longitud de un elemento diferencial de la barra, para después integrar sobre la longitud de esta. Seleccionaremos un elemento diferencial a la distancia x del extremo izquierdo de la barra. La fuerza axial interna N(x) que actúa en su sección transversal se puede determinar a partir del equilibrio, usando el segmento AC o bien el segmento CB como cuerpo libre. En general, esa fuerza es una función de x. También conocemos las dimensiones de la barra, se puede expresar el área transversal A(x) en función de x.
El alargamiento dδ de elemento diferencial se puede obtener con la ecuación δ=PL/AE, sustituyendo N(x) por P, dx por L y A(x) por A, como sigue: N(x) dx d δ = ------------EA(x)
El alargamiento de toda la barra se obtiene integrando sobre la longitud:
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Los resortes, barras y cables que hemos estudiado hasta este momento comparte una propiedad muy importante: podemos determinar sus reacciones y fuerzas internas utilizando nada más que los diagramas de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio. A este tipo de estructura se les clasifica como
Estructuras Estáticamente Determinadas.
Las fuerzas en una estructura estáticamente determinada se pueden encontrar sin conocer las propiedades de los materiales.
En nuestro mundo las estructuras existente
son mas complejas que las barras, resortes o cables que hemos estudiado, y no se pueden determinar sus reacción y fuerzas internas solamente con la estática. Si vemos el caso del grafico que presentamos en que la barra AB esta fija en ambos extremos. Esta tiene dos reacciones verticales (RA y RB) , pero una sola condición de equilibrio útil: la suma de las fuerzas en dirección vertical. Esta ecuación tiene dos incógnitas, no basta para determinar las reacciones. Este tipo de estructura se clasifica con Estructuras Estáticamente Indeterminadas. Para analizarlas es necesario utilizar las ecuaciones de equilibrio conjuntamente con las ecuaciones que describen los desplazamientos de la estructura. Veamos el siguiente ejemplo para entender mejor: Tomemos una barra prismática AB que esta fija a soportes rígidos en ambos extremos y esta cargada axialmente por una fuerza P en un punto intermedio C. ∑ F vert= 0 = RA – P +RB Se necesita una ecuación mas para despejar las dos reacciones desconocidas. Esta ecuación adicional se basa en que una barra con ambos extremos fijos no cambia de longitud.
Si la separamos de sus soportes, obtenemos una barra que esta libre en ambos extremos y cargada con tres fuerzas: RA, RB y P. Esas fuerzas producen en la barra un cambio e longitud δ AB que debe de ser igual a cero.
δ AB = 0 Esta ecuación se
llama Ecuación de Compatibilidad y expresa el hecho de que el cambio de longitud de la barra debe ser compatible con las condiciones de soporte.
CABLES PARABÓLICOS Y CATENARIAS
Se llama catenaria la curva asumida por un cable de sección transversal uniforme que está suspendido entre dos puntos y que no soporta más carga que su propio peso, como muestra la figura 1 en la hoja de gráficos; La carga que se hace que adopte la forma de una parábola en que en el primer caso la carga está uniformemente
repartida a lo largo del cable en tanto que en la gráfica 2 lo está sobre la proyección horizontal.
El estudio de la catenaria tuene importancia práctica únicamente en el caso de los cables en el caso de los cables en lo que la flecha es grande en proporción a la luz, ya que en caso contrario la curva asumida por el cable puede considerarse como una parábola sin grave error. Para determinar la ecuación de la catenaria y deducir al mismo tiempo algunas relaciones importantes entre cantidades tales como la flecha, la luz, la longitud del cable, la tensión etc. Estudiaremos el equilibrio de una parte OA del cable (figura 1), siendo O el punto más bajo del cable y A otro punto cualquiera. Tomaremos el punto O como el origen de coordenadas, designaremos por
u'
el peso
del cable por unidad de longitud y por s la longitud de arco AO . La porción OA del cable está en equilibrio bajo la influencia de tres fuerzas, a saber, la tención H en el punto O , la tención T , en el punto A y el peso
ws
.
Designaremos por θ el ángulo que T forma con la horizontal. Las ecuaciones de equilibrio del sistema de fuerzas concurrentes son:
∑ F = T cos ∑ F = T sin x
y
− H = 0 ∴ T cos θ = H θ − ws = 0 ∴ T sin θ = ws θ
Si se resuelven las ecuaciones para determinar T y
θ ,
en términos de H ,
w
y s, se
obtiene: T = H 2
+ ( ws ) 2 −1 ws θ = tan H En la primera ecuación de las dos enunciadas previamente, la distancia s se mide a lo largo del cable a partir de su punto más bajo, y
w denota el peso por unidad de longitud
del cable, puesto que
w es constante, la razón w es constante para un cable dado. H
En consecuencia, al derivar la ecuación que nos da el ángulo, obtenemos: sec 2 θ
d θ ds
=
w H
Esta ecuación es la ecuación diferencial del segmento del cable, en términos de
θ ,
como función de s . Con el fin de obtener una ecuación diferencial para el segmento, y ( x)
como una función
, se debe volver a escribir la ecuación anterior en términos de
x . Para determinar sec 2 θ como una función de donde
y '
denota
dy / dx
y ( x)
, observe que tan θ = y ' , en
sec 2 θ =1 + tan 2 θ =1 + ( y' ) 2
. De esta forma:
Para determinar d θ / ds como una función de
y ( x)
, considere un punto P
de la curva y un elemento diferencial ds en P , que contiene el ángulo infinitesimal d θ que emana de O , el centro de curvatura de la curva, (véase figura 4). El Radio
es el radio de curvatura de la curva. De la figura 4. ds d θ ds
r
= rd θ . Por tanto:
1
= = k r
Donde 1 / r = k es la curvatura de la curva en el punto P . La fórmula para la curvatura k , en términos de
y ( x)
, se puede consultar en los libros de cálculo: d θ ds
= k =
y
n
[1 + ( y' ) ]
2 3/ 2
En consecuencia, las ecuaciones nombradas anteriormente conducen a: y
n
1 + ( y ' ) 2
=
w H
Para despejar y( x) en la ecuación anterior, se establece y ' = p . Entonces, la ecuación anterior queda: dp
1 + p 2
=
w H
dx
Al integrar la ecuación anterior se tiene:
wx + C H
p = sinh
Donde C es una constante de integración. Por lo tanto: dy dx
wx = y' = sinh + C H
Se integra la ecuación anterior, se encuentra la ecuación general de la curva y
= y( x) como: wy
wx = H cosh +C + K H
Donde K es una constante de integración, Esta curva es una catenaria. Si y = y' =0 , la ecuación queda así: wy
= H cosh
wx H
−1
Si se simplifica todavía más, eligiendo ejes de coordenadas xy tales que, para x = 0 , y
= H / w y
y ' =0
. Entonces, la ecuación se reduce a: wy
= H cosh
wx H
La segunda ecuación resaltada, es la ecuación general de la curva que un cable forma cuando se sujeta a
w , su propio peso por unidad de longitud. Contiene dos
constantes C y K , que se pueden ajustar para satisfacer condiciones en los extremos del cable. Así mismo, la constante w / H puede ser desconocida. Cuando un cable cuelga con libertad, como se muestra en la figura 5, está en equilibrio bajo las fuerzas internas ( w, H y T ) y no se tienen fuerzas externas que tiendan a cambiar la forma del cable. Por lo tanto, su se construye un arco de modo que tenga la forma de una curva de coseno hiperbólico –es decir, con la forma de una catenaria- No existen fuerzas que distorsiones ese arco. Si el arco se voltea (véase la figura 6), todas las fuerzas se
invierten y el arco sigue estando en equilibrio (mantiene su forma). Esta situación condujo a arquitectos e ingenieros a elegir una curva catenaria para el Arco de Entrada en St. Louis, Missouri.
Para expresar ka distancia s a lo largo de un cable como una función de x , en primer lugar observa, en la figura 4, que ds 2 = dx 2 + dy 2 , o bien ds
La longitud L del cable es L =
=
1 +( y ' ) 2 dx
∫ ds . Si los extremos del cable están en los puntos
( x0 , y0 ) y ( x1 , y1 ) , la longitud es: L
x1
= ∫ x 0
1 +( y' ) 2 dx '
Si se sustituye la expresión de la ecuación por y en la ecuación anterior y se observa la identidad
1 + sinh
2
θ
= cosh
θ
para las funciones hiperbólicas, por integración se
obtiene: L =
Esta se puede expresar
H w x + C − sinh w x sinh 1 0 w H H
y '
en términos de s : y' = tan θ =
ws H
Entonces, las dos ecuaciones anteriores se reducen a:
dx
H ds = 2 w H + s 2 w
Al integrar la ecuación anterior se obtiene: x
∫
dx =
0
H w
x
ds
∫ H 0
2
+ s 2 w
+ C
x =
H w
ws H
sinh −1
O bien: ws
wx = Hsenh H
Entonces, al expresar la tensión T como función de x
wx = H cosh wx H H
T = H 1 + sinh 2
Estas ecuaciones son suficientes para resolver problemas en los que intervienen cables sujetos a un peso uniformemente distribuido sobre si longitud total. En particular, par un cable sometido en sus extremos por anclas a la misma elevación, la figura 5, dan la razón de la flecha d al claro
a como: d a
=
wa −1 cosh wa 2 H H
Entonces, par un cable dado, con valores conocidos de
w,
d y
a , la ecuación
anterior da la tensión mínima H en el mismo y, con la ecuación penúltima, la tensión T en cualquier punto del cable.
Tipos de Cables: -Rectilíneos en cuyos puntos de inflexión soportan cargas concentradas. -Parabólicos que soportan cargas repartidas. -Cables que soportan su peso propio.
Por su sistema de cargas: Una primera clasificación de las estructuras por su sistema de cargas se identifica:
-Las cargas externas: actúan sobre la superficie del elemento estructural. -Las cargas internas: actúan dentro del elemento estructural (
Con base en lo anterior, cuando la estructura soporta un sistema de cargas externo se identifican: Por el tipo de carga, por su permanencia y por la forma en que actúa.
Por el tipo de carga: -Cargas concentradas : Son aquellas que tienen un solo punto de aplicación. -Cargas Axiales: Son aquellas que están actuando en el centro geométrico de una sección transversal.
-Cargas no axiales: Son aquellas que actúan fuera del centro geométrico de una sección transversal, generando una excentricidad (e).
-Cargas repartidas: Es un sistema de fuerzas que actúa sobre una unidad de longitud. -Carga uniformemente distribuida: La variación de la carga es constante sobre el claro "L" donde esta actuando
-Carga no uniforme: La variación de la carga no es constante sobre el claro "L" donde esta actuando. Por ejemplo, una carga de variación lineal sobre el tramo "a" y con una variación cuadrática sobre el tramo "b".
Por su permanencia: Las cargas vivas, las cargas muertas y las cargas accidentales.
-Cargas vivas: Para una simple identificación y un tanto coloquial, se definen como aquellas que se mueven; por ejemplo en un salón de clases la carga viva esta representada por el peso de los alumnos que se expresan en unidades de longitud al cuadrado.
-Cargas muertas: Están representadas por el peso propio del elemento estructural
-Cargas accidentales: Son aquellas que están representadas por la fuerza sísmica, por la fuerza del viento, por el peso de la nieve, etc.
Por la forma en que actúan: Las cargas activas, las cargas reactivas y las cargas internas.
-Cargas activas: Están representadas por el sistema de cargas externo (y = mx; y = mx²) que están actuando sobre el elemento estructural.
-Cargas
reactivas: Están representadas por las componentes de cada uno de los apoyos
que soportan al elemento estructural (RA; RB) identificándose también como vínculos o reacciones.
-Cargas internas: Son las que actúan dentro del elemento estructural, mismas que se oponen a la acción de las cargas externas. Dentro de ésta clasificación se distinguen: La fuerza normal, es una fuerza interna que esta actuando perpendicularmente a la sección transversal del elemento estructural. La fuerza cortante, es una fuerza interna que esta actuando paralelamente a la sección transversal del elemento estructural. Por los efectos que generan éstas fuerzas internas, se les asocia con los elementos mecánicos del elemento estructural.
